Para calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial \( F(x, y) = xi + xy^2 \) ao longo da curva parametrizada por \( r(t) = 4ti + 2tj \) para \( 0 \leq t \leq 1 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a parametrização da curva: - \( x(t) = 4t \) - \( y(t) = 2t \) 2. Calcular a derivada da parametrização: - \( r'(t) = \frac{d}{dt}(4t, 2t) = (4, 2) \) 3. Substituir \( x(t) \) e \( y(t) \) na função \( F \): - \( F(r(t)) = F(4t, 2t) = (4t)i + (4t)(2t)^2j = (4t)i + (4t)(4t^2)j = (4t)i + (16t^3)j \) 4. Calcular o trabalho: - O trabalho \( W \) é dado pela integral de linha: \[ W = \int_C F \cdot dr = \int_0^1 F(r(t)) \cdot r'(t) \, dt \] - Calculando o produto escalar: \[ F(r(t)) \cdot r'(t) = (4t, 16t^3) \cdot (4, 2) = 4t \cdot 4 + 16t^3 \cdot 2 = 16t + 32t^3 \] 5. Integrar: \[ W = \int_0^1 (16t + 32t^3) \, dt = \left[ 8t^2 + 8t^4 \right]_0^1 = 8(1^2) + 8(1^4) - (0) = 8 + 8 = 16 \] Parece que houve um erro na interpretação do resultado, pois as alternativas não incluem 16. Vamos revisar as alternativas: A) O trabalho realizado é igual a -1,4. B) O trabalho realizado é igual a -2,7. C) O trabalho realizado é igual a 4,5. D) O trabalho realizado é igual a 1,1. E) O trabalho realizado é igual a 11,7. Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, parece que a questão pode estar mal formulada ou as alternativas estão incorretas. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!