y = f(x) função derivável pela equação xy²+ y+ x=1

Para determinar se a função \( y = f(x) \) é derivável pela equação \( xy^2 + y + x = 1 \), precisamos aplicar a regra da derivação implícita. 1. Diferencie ambos os lados da equação em relação a \( x \): \[ \frac{d}{dx}(xy^2) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(1) \] 2. Use a regra do produto e a regra da cadeia: \[ y^2 + x(2y \frac{dy}{dx}) + \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \] 3. Reorganize a equação para isolar \( \frac{dy}{dx} \): \[ x(2y \frac{dy}{dx}) + \frac{dy}{dx} = -y^2 - 1 \] \[ \frac{dy}{dx}(x(2y) + 1) = -y^2 - 1 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^2 - 1}{x(2y) + 1} \] 4. Verifique a derivabilidade: A função \( y = f(x) \) será derivável onde o denominador \( x(2y) + 1 \neq 0 \). Portanto, a função é derivável em pontos onde \( x(2y) + 1 \) não é igual a zero.