Qual é o valor de sin(2θ) se cos(θ) = 3/5 e θ está no primeiro quadrante? a) 24/25 b) 12/25 c) 9/25 d) 15/25

Para encontrar o valor de \( \sin(2\theta) \) dado que \( \cos(\theta) = \frac{3}{5} \) e \( \theta \) está no primeiro quadrante, podemos usar a fórmula do ângulo duplo: \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] Primeiro, precisamos encontrar \( \sin(\theta) \). Sabemos que: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \] Substituindo \( \cos(\theta) \): \[ \sin^2(\theta) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2(\theta) + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Portanto, \( \sin(\theta) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (já que \( \theta \) está no primeiro quadrante, \( \sin(\theta) \) é positivo). Agora, substituímos \( \sin(\theta) \) e \( \cos(\theta) \) na fórmula do ângulo duplo: \[ \sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \] Assim, a resposta correta é a) \( \frac{24}{25} \).