Calcule a área entre as funções y = x² - 4x + 5 e y = -x + 5

Para calcular a área entre as funções \( y = x^2 - 4x + 5 \) e \( y = -x + 5 \), siga os passos abaixo: 1. Encontre os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ x^2 - 4x + 5 = -x + 5 \] Simplificando, temos: \[ x^2 - 3x = 0 \] Fatorando: \[ x(x - 3) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \( x = 0 \) e \( x = 3 \). 2. Determine a área entre as curvas: A área \( A \) entre as curvas de \( x = 0 \) a \( x = 3 \) é dada por: \[ A = \int_{0}^{3} \left( (x^2 - 4x + 5) - (-x + 5) \right) dx \] Simplificando a expressão dentro da integral: \[ A = \int_{0}^{3} (x^2 - 4x + 5 + x - 5) dx = \int_{0}^{3} (x^2 - 3x) dx \] 3. Calcule a integral: \[ A = \int_{0}^{3} (x^2 - 3x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3} \] Avaliando nos limites: \[ A = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ A = \left( 9 - \frac{27}{2} \right) = 9 - 13.5 = -4.5 \] Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto: \[ A = 4.5 \] Portanto, a área entre as funções \( y = x^2 - 4x + 5 \) e \( y = -x + 5 \) é \( 4.5 \) unidades quadradas.