Para determinar a posição e a aceleração da partícula no instante \( t = 1 \) s, vamos analisar as coordenadas dadas: 1. Coordenadas: - \( Z = \frac{2t - 1}{2} \) - \( X = \frac{t^3}{3} + t \) - \( Y = t \) 2. Cálculo das coordenadas no instante \( t = 1 \) s: - Para \( Z \): \[ Z(1) = \frac{2(1) - 1}{2} = \frac{1}{2} \] - Para \( X \): \[ X(1) = \frac{(1)^3}{3} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \] - Para \( Y \): \[ Y(1) = 1 \] 3. Vetor posição: O vetor posição \( \vec{r} \) no instante \( t = 1 \) s é: \[ \vec{r}(1) = \left( \frac{4}{3}, 1, \frac{1}{2} \right) \] 4. Cálculo da velocidade: Para encontrar a aceleração, primeiro precisamos da velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo. - \( \frac{dZ}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{2t - 1}{2}\right) = 1 \) - \( \frac{dX}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3} + t\right) = t^2 + 1 \) - \( \frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt}(t) = 1 \) Agora, substituindo \( t = 1 \): - \( \frac{dZ}{dt}(1) = 1 \) - \( \frac{dX}{dt}(1) = 1^2 + 1 = 2 \) - \( \frac{dY}{dt}(1) = 1 \) O vetor velocidade \( \vec{v} \) no instante \( t = 1 \) s é: \[ \vec{v}(1) = (2, 1, 1) \] 5. Cálculo da aceleração: A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. - \( \frac{d^2Z}{dt^2} = 0 \) - \( \frac{d^2X}{dt^2} = 2t \) - \( \frac{d^2Y}{dt^2} = 0 \) Substituindo \( t = 1 \): - \( \frac{d^2Z}{dt^2} = 0 \) - \( \frac{d^2X}{dt^2}(1) = 2(1) = 2 \) - \( \frac{d^2Y}{dt^2} = 0 \) O vetor aceleração \( \vec{a} \) no instante \( t = 1 \) s é: \[ \vec{a}(1) = (2, 0, 0) \] Resumindo: - Vetor posição no instante \( t = 1 \) s: \( \vec{r}(1) = \left( \frac{4}{3}, 1, \frac{1}{2} \right) \) - Vetor velocidade no instante \( t = 1 \) s: \( \vec{v}(1) = (2, 1, 1) \) - Vetor aceleração no instante \( t = 1 \) s: \( \vec{a}(1) = (2, 0, 0) \)