Para calcular a integral \( \int x \ln(x) \, dx \), podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = \ln(x) \) (então \( du = \frac{1}{x} \, dx \)) - \( dv = x \, dx \) (então \( v = \frac{x^2}{2} \)) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Simplificando a integral: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x}{2} \, dx \] Calculando a integral restante: \[ \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4} \] Substituindo de volta: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \] Portanto, a resposta final é: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \left( \ln(x) - \frac{1}{2} \right) + C \] Assim, a alternativa correta é a D: \( \frac{x^2}{2} \left( \ln(x) - \frac{1}{2} \right) + C \).