Para verificar se a transformação linear \( T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) dada por \( T(x, y, z) = (x, y, x - 3y + 2z) \) é diagonalizável, precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar a matriz associada a \( T \): A matriz \( A \) que representa a transformação \( T \) em relação à base canônica é: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \] 2. Calcular os autovalores: Para encontrar os autovalores, precisamos resolver o polinômio característico \( \det(A - \lambda I) = 0 \): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 \\ 1 & -3 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \] O determinante é: \[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda) = 0 \] Os autovalores são \( \lambda_1 = 1 \), \( \lambda_2 = 1 \) e \( \lambda_3 = 2 \). 3. Encontrar os autovetores: Para cada autovalor, encontramos os autovetores: - Para \( \lambda_1 = 1 \): \[ (A - I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \] Isso resulta em \( x - 3y + z = 0 \), ou seja, \( z = 3y - x \). Um autovetor é \( v_1 = (1, 0, 3) \). - Para \( \lambda_2 = 1 \) (o mesmo autovalor): O espaço próprio é o mesmo, então podemos escolher outro autovetor linearmente independente, como \( v_2 = (0, 1, 0) \). - Para \( \lambda_3 = 2 \): \[ (A - 2I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \] Isso resulta em \( x = 0 \) e \( y = 0 \), então \( z \) é livre. Um autovetor é \( v_3 = (0, 0, 1) \). 4. Verificar a diagonalizabilidade: A matriz \( A \) é diagonalizável se o número de autovetores linearmente independentes for igual à dimensão do espaço. Temos 3 autovetores linearmente independentes: \( v_1, v_2 \) e \( v_3 \). 5. Matriz diagonal: A matriz diagonal \( D \) associada a \( T \) é: \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] 6. Base em relação à qual \( T \) é diagonalizável: A base em relação à qual \( T \) é diagonalizável é formada pelos autovetores \( v_1, v_2 \) e \( v_3 \): \[ B = \{(1, 0, 3), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} \] Portanto, a transformação \( T \) é diagonalizável, e a matriz diagonal é \( D \) com a base \( B \) indicada.