Para determinar o operador linear \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) com os autovalores e autovetores dados, podemos usar a forma matricial do operador. Os autovalores são: - \( \lambda_1 = 3 \) com autovetor \( v_1 = (1, 2) \) - \( \lambda_2 = -2 \) com autovetor \( v_2 = (-1, 0) \) A matriz \( A \) que representa o operador linear \( T \) pode ser construída a partir dos autovetores e autovalores. Primeiro, formamos a matriz \( P \) cujas colunas são os autovetores: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] Em seguida, formamos a matriz diagonal \( D \) com os autovalores: \[ D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] A relação entre \( A \), \( P \) e \( D \) é dada por: \[ A = P D P^{-1} \] Agora, precisamos calcular \( P^{-1} \). A matriz \( P \) tem determinante: \[ \text{det}(P) = (1)(0) - (-1)(2) = 2 \] Assim, a inversa de \( P \) é: \[ P^{-1} = \frac{1}{\text{det}(P)} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] Agora, podemos calcular \( A \): \[ A = P D P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] Primeiro, calculamos \( PD \): \[ PD = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \] Agora, multiplicamos por \( P^{-1} \): \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 2 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1.5 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} \] Portanto, a matriz que representa o operador linear \( T \) é: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1.5 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} \]