Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^4 \sin(x^2) \), vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Regra do Produto: Se \( u = x^4 \) e \( v = \sin(x^2) \), então a derivada \( f'(x) = u'v + uv' \). 2. Derivadas: - \( u' = 4x^3 \) - Para \( v = \sin(x^2) \), usamos a regra da cadeia: - \( v' = \cos(x^2) \cdot (2x) = 2x \cos(x^2) \) 3. Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = 4x^3 \sin(x^2) + x^4 (2x \cos(x^2)) \] \[ f'(x) = 4x^3 \sin(x^2) + 2x^5 \cos(x^2) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 4x^3 \sin(x^2) + 2x^4 \cos(x^2) \) B) \( 4x^3 \sin(x^2) + 4x^2 \cos(x^2) \) C) \( 4x^3 \sin(x) + 2x^4 \cos(x) \) D) \( 4x^3 \sin(x^2) - 2x^4 \cos(x^2) \) A derivada correta é \( 4x^3 \sin(x^2) + 2x^5 \cos(x^2) \), mas como essa forma não está nas alternativas, a que mais se aproxima é a alternativa A, que tem o termo \( 2x^4 \cos(x^2) \) (embora o correto seja \( 2x^5 \cos(x^2) \)). Portanto, a alternativa correta é: A) \( 4x^3 \sin(x^2) + 2x^4 \cos(x^2) \).