Grátis: Questão 1 Considere a superf́ıcie z = 3 + x2 + y2. (a) Determine a equação do plano tangente a esta superf́ıcie que é paralelo ao plano 2x+y+3z... – Questões Respondidas

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Questão 1 Considere a superf́ıcie z = 3 + x2 + y2. (a) Determine a equação do plano tangente a esta superf́ıcie que é paralelo ao plano 2x+y+3z = 6; (b) Determine a equação da reta normal à superf́ıcie que é paralela à reta L = {(2, 1, 3) + t(−2, 2, 1); t ∈ R}.

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Questão 2 Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável, e defina g : R2 −→ R por g(s, t) = f(as2 − bt2, bt2 − as2), onde a, b ∈ R. Determine a relação entre as constantes a e b para que a função g satisfaça tgs + sgt = 0.

Questão 3 Seja f : R2 −→ R a função definida por f(x, y) = x4 / (x2 + y2) se (x, y) ̸= (0, 0), e f(0, 0) = 0. (a) Calcule fx(0, 0) e fy(0, 0); (b) Prove que f é diferenciável em (0, 0); (c) Prove que f é diferenciável em cada (x, y) ̸= (0, 0).

Questão 4 Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável. (a) Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = rsen θ, mostre que (fx)2 + (fy)2 = (zr)2 + (1/r2)(zθ)2; (b) Se u = f(x, y), onde x = es cos t e y = essen t, mostre que (fx)2 + (fy)2 = e−2s[(us)2 + (ut)2].