Se 2( ) 5f x x ax b= + + , com a b≠ , ( )f a b= e ( )f b a= , qual é o valor de a b+ ? A) 5− B) 1/5− C) 0 D) 1/5 E) 5

Vamos analisar a função dada: \( f(x) = 2x^5 + ax + b \). Sabemos que \( f(a) = b \) e \( f(b) = a \). Vamos substituir: 1. Para \( f(a) = b \): \[ f(a) = 2a^5 + aa + b = b \] Isso implica que: \[ 2a^5 + a^2 + b = b \implies 2a^5 + a^2 = 0 \implies a^2 + 2a^5 = 0 \] Fatorando: \[ a^2(1 + 2a^3) = 0 \] Portanto, \( a = 0 \) ou \( 1 + 2a^3 = 0 \). 2. Para \( f(b) = a \): \[ f(b) = 2b^5 + ab + b = a \] Isso implica que: \[ 2b^5 + ab + b = a \implies 2b^5 + ab + b - a = 0 \] Agora, se \( a = 0 \), então \( f(0) = b \) e \( f(b) = 0 \). Isso não satisfaz a condição \( a \neq b \). Se \( 1 + 2a^3 = 0 \), temos \( a^3 = -\frac{1}{2} \) e \( a = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \). Substituindo \( a \) na equação de \( f(b) \) e resolvendo, podemos encontrar \( b \). Porém, a relação \( a + b \) pode ser obtida diretamente. Como \( a \) e \( b \) são simétricos nas equações, podemos concluir que \( a + b = 0 \). Portanto, a resposta correta é: C) 0.