O ângulo entre os planos π_1: -x+z-12=0 e π_2:x+y-10=0 mede

Para encontrar o ângulo entre os planos \( \pi_1: -x + z - 12 = 0 \) e \( \pi_2: x + y - 10 = 0 \), precisamos determinar os vetores normais de cada plano. 1. Identificar os vetores normais: - Para o plano \( \pi_1 \), a equação pode ser reescrita como \( -1x + 0y + 1z - 12 = 0 \). O vetor normal \( \vec{n_1} \) é \( (-1, 0, 1) \). - Para o plano \( \pi_2 \), a equação é \( 1x + 1y + 0z - 10 = 0 \). O vetor normal \( \vec{n_2} \) é \( (1, 1, 0) \). 2. Calcular o ângulo entre os vetores normais: O cosseno do ângulo \( \theta \) entre os vetores normais é dado pela fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} \] 3. Calcular o produto escalar: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(0) = -1 \] 4. Calcular as normas dos vetores: \[ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + 0^2} = \sqrt{2} \] 5. Substituir na fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2} \] 6. Encontrar o ângulo: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] Portanto, o ângulo entre os planos \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \) mede \( 120^\circ \).