Para encontrar as coordenadas do vetor \(\mathbf{v} = (2, 0, 1)\) na base ortogonal \(\beta = \{(1, 1, 1), (-1, -1, 2), (1, -1, 0)\}\), precisamos projetar \(\mathbf{v}\) em cada vetor da base. A fórmula da projeção de um vetor \(\mathbf{v}\) em um vetor \(\mathbf{b}\) é dada por: \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b} \] Vamos calcular as projeções: 1. Projeção em \((1, 1, 1)\): \[ \mathbf{b_1} = (1, 1, 1) \] \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{b_1} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3 \] \[ \mathbf{b_1} \cdot \mathbf{b_1} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 \] \[ \text{proj}_{\mathbf{b_1}} \mathbf{v} = \frac{3}{3} (1, 1, 1) = (1, 1, 1) \] 2. Projeção em \((-1, -1, 2)\): \[ \mathbf{b_2} = (-1, -1, 2) \] \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{b_2} = 2 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 0 \] \[ \mathbf{b_2} \cdot \mathbf{b_2} = (-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = 6 \] \[ \text{proj}_{\mathbf{b_2}} \mathbf{v} = \frac{0}{6} (-1, -1, 2) = (0, 0, 0) \] 3. Projeção em \((1, -1, 0)\): \[ \mathbf{b_3} = (1, -1, 0) \] \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{b_3} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 2 \] \[ \mathbf{b_3} \cdot \mathbf{b_3} = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2 \] \[ \text{proj}_{\mathbf{b_3}} \mathbf{v} = \frac{2}{2} (1, -1, 0) = (1, -1, 0) \] Agora, somamos as coordenadas das projeções: - Projeção em \((1, 1, 1)\): \(1\) - Projeção em \((-1, -1, 2)\): \(0\) - Projeção em \((1, -1, 0)\): \(1\) As coordenadas na base \(\beta\) são \(1, 0, 1\). A soma das coordenadas é: \[ 1 + 0 + 1 = 2 \] Portanto, a resposta correta é: (c) 2.