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Álgebra

Colégio Objetivo

Seja (M2(R),+,⋅) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações de adição e multiplicação usuais. Analise as afirmativas:
I. (M2(R),+,⋅) é um anel com unidade.
II. (M2(R),+,⋅) é um anel comutativo.
III. (M2(R),+,⋅) possui divisores de zero.
A I, apenas.
B I e II, apenas.
C I e III, apenas.
D II, apenas.
E II e III, apenas.

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Respostas

Ed

há 5 meses

Vamos analisar cada afirmativa sobre o conjunto \( (M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) \): I. \( (M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) \) é um anel com unidade. Verdadeiro, pois a multiplicação de matrizes possui uma matriz identidade que atua como unidade. II. \( (M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) \) é um anel comutativo. Falso, a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, para matrizes \( A \) e \( B \), geralmente \( AB \neq BA \). III. \( (M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) \) possui divisores de zero. Verdadeiro, pois existem matrizes \( A \) e \( B \) diferentes de zero tal que \( AB = 0 \). Agora, vamos ver quais alternativas contêm as afirmativas verdadeiras: - A) I, apenas. (Falso, pois III é verdadeira) - B) I e II, apenas. (Falso, pois II é falsa) - C) I e III, apenas. (Verdadeiro, ambas são verdadeiras) - D) II, apenas. (Falso, pois II é falsa) - E) II e III, apenas. (Falso, pois II é falsa) Portanto, a alternativa correta que contém todas as afirmativas verdadeiras é: C) I e III, apenas.

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Ed

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Vamos analisar cada afirmativa: I. (M2(R),+,⋅) é um anel com unidade. Verdadeiro. O conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações de adição e multiplicação usuais forma um anel com unidade, pois possui elemento neutro para a multiplicação (a matriz identidade). II. (M2(R),+,⋅) é um anel comutativo. Falso. O conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações de adição e multiplicação usuais não é um anel comutativo, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa. III. (M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. Verdadeiro. O conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações de adição e multiplicação usuais possui divisores de zero, ou seja, existem matrizes não nulas que, quando multiplicadas, resultam na matriz nula. Com base nas análises, a alternativa que contém todas as afirmativas verdadeiras é: C) I e III, apenas.

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Questão 1/10 - Álgebra Moderna
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. Sobre esta noção, é correto afirmar
A ZZ é ideal de Q.Q.
B ZZ é ideal de R.R.
C QQ é ideal de R.R.
D J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R).
E 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.Z.

a) ZZ é ideal de Q.Q.
b) ZZ é ideal de R.R.
c) QQ é ideal de R.R.
d) J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R).
e) 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.Z.

Questão 2/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas e considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, assinale a alternativa correta:
A B={x∈Q; x∉Z}B={x∈Q; x∉Z} é subanel de Q.Q.
B ZZ é um ideal de Q.Q.
C B={[abc0]∈M2(R)}B={[abc0]∈M2(R)} é subanel de M2(R).M2(R).
D I={f:R→R; f(0)=0}I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel das funções F(R,R).F(R,R).

a) B={x∈Q; x∉Z}B={x∈Q; x∉Z} é subanel de Q.Q.
b) ZZ é um ideal de Q.Q.
c) B={[abc0]∈M2(R)}B={[abc0]∈M2(R)} é subanel de M2(R).M2(R).
d) I={f:R→R; f(0)=0}I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel das funções F(R,R).F(R,R).

Questão 4/10 - Álgebra Moderna
A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. ( ) Todo domínio de integridade é anel.
II. ( ) Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade.
III. ( ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
Agora, marque a sequência correta:
A V, V, V.

a) V, V, V.

Questão 5/10 - Álgebra Moderna
Considere o anel R[x]R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x.x. Com base neste anel, analise as afirmativas:
I. O polinômio nulo p(x)=0p(x)=0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].R[x].
II. O elemento simétrico do polinômio p(x)∈R[x]p(x)∈R[x] é o polinômio −p(x).−p(x).
III. Efetuando a multiplicação do polinômio p(x)=1+xp(x)=1+x pelo polinômio q(x)=2+x+x2,q(x)=2+x+x2, obtemos o polinômio p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.
São corretas as afirmativas:
A I, apenas.
B I e II, apenas.

a) I, apenas.
b) I e II, apenas.

Questão 6/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso e dos conteúdos adquiridos nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa.
I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
A V - V - V.

a) V - V - V.

Questão 8/10 - Álgebra Moderna
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
A V, V, V.

a) V, V, V.

Questão 9/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado abaixo e responda de acordo com as informações contidas nele e com os conteúdos estudados nas aulas:
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x):
A 2, 4 e 7.
B -7, -4 e 2.
C -2, 4 e 7.
D -7, -4 e -2.
E -7, -2 e 4.

a) 2, 4 e 7.
b) -7, -4 e 2.
c) -2, 4 e 7.
d) -7, -4 e -2.
e) -7, -2 e 4.

Questão 10/10 - Álgebra Moderna
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa estrutura, analise as afirmativas:
I. ZZ é um subanel de Q.Q.
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R).
III. 2Z={2x; x∈Z}2

a) ZZ é um subanel de Q.Q.
b) L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R}.
c) 2Z={2x; x∈Z}2

Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z. São corretas as afirmativas:
I. I, apenas.
II. I e III, apenas.
A I, apenas.
B I e II, apenas.
C I e III, apenas.
D II, apenas.
E II e III, apenas.

A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. Todo domínio de integridade é anel.
II. Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade.
III. Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
A V, V, V.
B V, F, V.
C V, V, F.
D V, F, F.
E F, V, V.