Grátis: Quiz 1.3.1 - Definição de Matriz Inversa 1. Sejam A = [ 1 2 3 4 ] e B = [ 1 −2 −1 2 6 4 ] Podemos dizer que B é a matriz inversa de A? a) Sim b...

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Quiz 1.3.1 - Definição de Matriz Inversa
1. Sejam
A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
1 −2
−1 2
6 4
]
Podemos dizer que B é a matriz inversa de A?

a) Sim
b) Não

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Para determinar se a matriz B é a matriz inversa da matriz A, precisamos verificar se o produto entre A e B resulta na matriz identidade. Dadas as matrizes: A = \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] B = \[ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \\ 6 & 4 \end{bmatrix} \] Para que B seja a matriz inversa de A, o produto AB deve resultar na matriz identidade. No entanto, as dimensões das matrizes A e B não são compatíveis para a multiplicação. Portanto, não é possível dizer que B é a matriz inversa de A. A resposta correta é: b) Não.

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Quiz 1.1.1 - Soma e Multiplicação de Matrizes

1. Considere as matrizes:

A =

[
1 2 3
3 5 2

]
, B =

[
1 2 3
−3 −5 −2

]
Então A+B é

(a)
[
2 4 6
6 10 4

]
(b)
[
2 4 6
−6 −10 −4

]
(c)
[
0 0 0
6 10 4

]
(d)
[
2 4 6
0 0 0

]
(e)
[
1 2 3
0 0 0

]

Solução:
A+B =
[
1 2 3
3 5 2

]
+
[
1 2 3
−3 −5 −2

]
=
[
1 + 1 2 + 2 3 + 3
3− 3 5− 5 4− 2

]
=
[
2 4 6
0 0 0

].

A alternativa correta é a letra D.

a) AB =
[
1 3 9
−3 −25 −4

]
b) O produto AB não está definido, pois o número de linhas de A é diferente do número de colunas de B.
c) O produto AB não está definido, pois o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B.
d) 100A é uma matriz 3× 2

Quiz 1.1.2 - Matriz Transposta e Propriedades da Álgebra Matricial

2. Assinale a(s) alternativa(s) verdadeira(s):
(a) Se A e B são matrizes quadradas, então AB = BA.
(b) (AB)t = AtBt

(c) A(B + C) = AC +AB

(d) ((At)t)t = At

Solução: Como o produto de matrizes não é comutativo, somos levados a desconfiar que o item A é falso. Para mostrar de fato basta apresentar um contra-exemplo (tem vários possı́veis), por exemplo, usando as matrizes a seguir:

A =

[
0 0
1 1

]
e B =

[
1 1
0 0

]
Realmente,

AB =
[
0 0
1 1

]
e BA =
[
1 1
0 0

]
Logo, AB ̸= BA.

O item B também é falso. Na verdade, vale que (AB)t = BtAt, mas na afirmação está escrito o produto na ordem contrária. Se fosse verdade que (AB)t = AtBt terı́amos então AtBt = BtAt o que é falso, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa.

O item C é verdadeiro pois pela propriedade distributiva temos

A(B + C) = AB +AC.

Por outro lado, a soma de matrizes é comutativa, ou seja, AB + AC = AC + AB (podemos mudar a ordem na soma). Daı́, obtemos que

A(B + C) = AC +AB.

O item D também é verdadeiro, uma vez que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz. Isto é, (At)t = A. Então [(At)t]t = At

Resumindo: são verdadeiras apenas as afirmações C e D.

Quiz 1.2.1 - Matriz aumentada e Forma Escalonada Reduzida

1. Assinale todas as matrizes que estão na forma escalonada reduzida:

(a)


1 0 0 0 6
0 1 0 0 3
0 0 −1 1 2
0 0 0 0 1



(b)


1 0 0 0 6
0 1 0 0 3
0 0 −1 1 2
0 0 0 0 0



(c)


1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0



(d)


1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0



(e)

1 3 0 2
0 0 1 −3
0 0 0 0



Solução:
A terceira linha das matrizes em (a) e (b) começa com −1, logo o pivô não é igual a 1. Isso elimina essas alternativas.

A terceira linha da matriz em (c) é uma linha nula, mas tem uma linha não nula abaixo dela. Isso elimina essa alternativa também.

Por fim, na terceira linha da matriz em (d) temos um 1 acima do pivô da quarta linha. Isso implica em um elemento diferente de zero numa coluna com pivô, o que também elimina essa alternativa.

Nos resta apenas a alternativa (e) que é a alternativa correta (apesar do 3 na primeira linha, que não está violando nenhuma regra, pois na segunda coluna não tem pivô).

2. Suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida a seguir: 1 0 0 0 6

0 1 0 0 3
0 0 1 1 2


Determine a solução geral do sistema

(a) X =


3
6

2− α
α

 ,∀α ∈ R

(b) X =


3
6
α

3− α

 ,∀α ∈ R

(c) X =


6α
3α

2− α
α

 ,∀α ∈ R

(d) X =


6
3

2− α
α

 ,∀α ∈ R

(e) X =


α

2− α
3
6

 ,∀α ∈ R

Quiz 1.2.2 - Método de Gauss-Jordan
1. (Adaptada de UNICAMP - MA141 - P1/2018) Encontre a solução geral do seguinte sistema linear pelo método de Gauss-Jordan: 
x+ 2y + 3z + w = 8
x+ 3y + w = 7
x+ 2z + w = 3
Qual valor de y+8z?

a) 10
b) 11
c) 12
d) 13

Quiz 1.3.1 - Definição de Matriz Inversa
2. Assinale TODAS as afirmações VERDADEIRAS.
(a) Se A é invertı́vel, então A−1 também é invertı́vel
(b) Se A−1 = B−1, então A = B
(c) Se A é uma matriz n× n tal que A4 − 3A3 − 4A = 3In, então A é invertı́vel
(d) Se A e B são matrizes n× n invertı́veis, então A+B também é invertı́vel
a) a e b
b) a e c
c) b e c
d) c e d

Quiz 1.3.2 - Propriedades da Inversa
1. Se A−1 =
[
1 −1
2 2
]
e B−1 =
[
2 1
3 1
], determine (AB)−1

a) [
3 1
5 −1
]
b) [
4 0
5 −1
]
c) [
6 2
5 2
]
d) [
0 1
5 −2
]
e) [
2 1
−2 5
]

Quiz 1.3.2 - Propriedades da Inversa
2. Usando as matrizes da questão anterior, determine (BtAt)−1

a) [
4 5
0 −1
]
b) [
3 5
1 −1
]
c) [
6 5
2 2
]
d) [
4 5
−1 1
]
e) [
−2 2
1 5
]

Quiz 1.3.3 - Encontrando a Matriz Inversa por Escalonamento
Encontre a inversa da matriz A =
[1 2
3 4]
e determine a soma das entradas da segunda linha

(Questão 2 - P1/2009 - Turma Z - UNICAMP) Usando o processo de linha equivalência (escalonamento) calcule a inversa da matriz
[1 2 3
0 2 3
1 2 4]

(a) [1 -1 0
0 2 3
3 3 1]
(b) [1 -1 3
3 2 2
-1 0 4]
(c) [1 -1 0
3 2 1
2 -3 1]
(d) [1 -1 6
3 2 1
2 -3 2]
(e) [1 -1 0
-3 2 1
2 -3 2
-1 0 1]

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Quiz 1.2.2 - Método de Gauss-Jordan1. (Adaptada de UNICAMP - MA141 - P1/2018) Encontre a solução geral do seguinte sistema linear pelo método de Gauss-Jordan: x+ 2y + 3z + w = 8x+ 3y + w = 7x+ 2z + w = 3Qual valor de y+8z?a) 10b) 11c) 12d) 13

Quiz 1.3.2 - Propriedades da Inversa1. Se A−1 =[1 −12 2]e B−1 =[2 13 1], determine (AB)−1a) [3 15 −1]b) [4 05 −1]c) [6 25 2]d) [0 15 −2]e) [2 1−2 5]

Quiz 1.3.2 - Propriedades da Inversa2. Usando as matrizes da questão anterior, determine (BtAt)−1a) [4 50 −1]b) [3 51 −1]c) [6 52 2]d) [4 5−1 1]e) [−2 21 5]

Quiz 1.3.3 - Encontrando a Matriz Inversa por EscalonamentoEncontre a inversa da matriz A =[1 23 4]e determine a soma das entradas da segunda linha

(Questão 2 - P1/2009 - Turma Z - UNICAMP) Usando o processo de linha equivalência (escalonamento) calcule a inversa da matriz[1 2 30 2 31 2 4](a) [1 -1 00 2 33 3 1](b) [1 -1 33 2 2-1 0 4](c) [1 -1 03 2 12 -3 1](d) [1 -1 63 2 12 -3 2](e) [1 -1 0-3 2 12 -3 2-1 0 1]

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x+ 2y + 3z + w = 8
x+ 3y + w = 7
x+ 2z + w = 3
Qual valor de y+8z?

a) 10
b) 11
c) 12
d) 13

Quiz 1.3.2 - Propriedades da Inversa
1. Se A−1 =
[
1 −1
2 2
]
e B−1 =
[
2 1
3 1
], determine (AB)−1

a) [
3 1
5 −1
]
b) [
4 0
5 −1
]
c) [
6 2
5 2
]
d) [
0 1
5 −2
]
e) [
2 1
−2 5
]

Quiz 1.3.2 - Propriedades da Inversa
2. Usando as matrizes da questão anterior, determine (BtAt)−1

a) [
4 5
0 −1
]
b) [
3 5
1 −1
]
c) [
6 5
2 2
]
d) [
4 5
−1 1
]
e) [
−2 2
1 5
]

Quiz 1.3.3 - Encontrando a Matriz Inversa por Escalonamento
Encontre a inversa da matriz A =
[1 2
3 4]
e determine a soma das entradas da segunda linha

(Questão 2 - P1/2009 - Turma Z - UNICAMP) Usando o processo de linha equivalência (escalonamento) calcule a inversa da matriz
[1 2 3
0 2 3
1 2 4]

(a) [1 -1 0
0 2 3
3 3 1]
(b) [1 -1 3
3 2 2
-1 0 4]
(c) [1 -1 0
3 2 1
2 -3 1]
(d) [1 -1 6
3 2 1
2 -3 2]
(e) [1 -1 0
-3 2 1
2 -3 2
-1 0 1]