Para calcular o comprimento da curva dada pela equação \( y = \frac{1}{3} (x^2 + 2)^{\frac{3}{2}} \) no intervalo de \( x = 0 \) até \( x = 1 \), utilizamos a fórmula do comprimento de arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] Primeiro, precisamos encontrar a derivada \( \frac{dy}{dx} \). 1. Encontrar a derivada: \[ y = \frac{1}{3} (x^2 + 2)^{\frac{3}{2}} \] Usando a regra da cadeia: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (x^2 + 2)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{2x}{2} (x^2 + 2)^{\frac{1}{2}} = x (x^2 + 2)^{\frac{1}{2}} \] 2. Calcular \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \): \[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = x^2 (x^2 + 2) \] 3. Substituir na fórmula do comprimento: \[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^2 (x^2 + 2)} \, dx \] Simplificando: \[ 1 + x^2 (x^2 + 2) = 1 + x^4 + 2x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 \] Portanto: \[ L = \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \] 4. Calcular a integral: \[ L = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( 0 + 0 \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \] Portanto, o comprimento da curva quando \( x \) varia de 0 até 1 é \( \frac{4}{3} \). A alternativa correta é: (C) \( \frac{4}{3} \).