APOL1 equaçoes diferenciais 2024 Resolva a equação separável y ′ = 2 x y 2 A y = − 1 x 2 + c B y = x 2 + c C y = x 2 / 2 + c D y = x 2 y 3 / 3 + c

Question

APOL1 equaçoes diferenciais 2024 Resolva a equação separável   y ′ = 2 x y 2   	A	 y = − 1 x 2 + c 	B	 y = x 2 + c  	C	 y = x 2 / 2 + c  	D	 y = x ...

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial separável $ y' = 2xy^2 $, vamos separá-la:

1. Reescrevemos a equação como $ \frac{dy}{dx} = 2xy^2 $.
2. Separando as variáveis, temos $ \frac{1}{y^2} dy = 2x dx $.

Agora, integramos ambos os lados:

- A integral do lado esquerdo: $ \int \frac{1}{y^2} dy = -\frac{1}{y} + C_1 $.
- A integral do lado direito: $ \int 2x dx = x^2 + C_2 $.

Igualando as integrais, temos:

$$
-\frac{1}{y} = x^2 + C
$$

Rearranjando, obtemos:

$$
y = -\frac{1}{x^2 + C}
$$

Agora, analisando as alternativas:

A) $ y = -\frac{1}{x^2} + c $ - Não é a forma correta.
B) $ y = x^2 + c $ - Não é a forma correta.
C) $ y = \frac{x^2}{2} + c $ - Não é a forma correta.
D) $ y = \frac{x^2 y^3}{3} + c $ - Não é a forma correta.

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à solução correta. A solução correta é $ y = -\frac{1}{x^2 + C} $.

Se precisar de mais ajuda, é só avisar!

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial separável $y' = 2xy^2$, primeiro é necessário separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com $y$ de um lado da equação e todos os termos com $x$ do outro lado.

Assim, a equação fica da seguinte forma:
$$\frac{dy}{dx} = 2xy^2$$

Separando as variáveis:
$$\frac{dy}{y^2} = 2x dx$$

Agora, integramos ambos os lados da equação:
$$\int \frac{1}{y^2} dy = \int 2x dx$$
$$-\frac{1}{y} = x^2 + c$$

Multiplicando ambos os lados por $-1$, obtemos:
$$\frac{1}{y} = -x^2 - c$$
$$y = \frac{1}{-x^2 - c}$$
$$y = \frac{1}{-x^2 - c}$$

Portanto, a resposta correta é a alternativa: $A$ $y = -\frac{1}{x^2 + c}$.

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial separável $y' = 2xy^2$, primeiro é necessário separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com $y$ de um lado da equação e todos os termos com $x$ do outro lado.

Assim, a equação fica da seguinte forma:

$$\frac{dy}{dx} = 2xy^2$$

$$\frac{dy}{y^2} = 2x dx$$

Agora, integramos ambos os lados da equação:

$$\int \frac{1}{y^2} dy = \int 2x dx$$

Integrando, obtemos:

$$-\frac{1}{y} = x^2 + c$$

Multiplicando ambos os lados por $-1$, temos:

$$\frac{1}{y} = -x^2 - c$$

E, finalmente, isolando $y$, encontramos a solução da equação diferencial separável:

$$y = \frac{1}{-x^2 - c}$$

Portanto, a alternativa correta é: D) $y = \frac{1}{-x^2 - c}$

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