22. Resolva as seguintes equações:
(a) |x− 1| − x = |2x+ 1|
(b) x2 − 2|x− 1| = 2
(c) |x2 − 2x| = 2x+ 1
(d) |x2 − 3x− 1| = |1− 2x|+ 1 .

Question

Ed · Answer

Para resolver as equações fornecidas, é necessário analisar cada uma separadamente e aplicar as propriedades dos módulos. Vamos resolver uma por uma:

(a) |x - 1| - x = |2x + 1|
Para resolver essa equação, é importante considerar os casos em que o módulo pode ser positivo ou negativo. Vamos separar em casos:
1. Quando x - 1 é positivo (x > 1): x - 1 - x = 2x + 1 => -1 = 2x + 1 => x = -1 (não satisfaz x > 1)
2. Quando x - 1 é negativo (x  -x + 1 - x = 2x + 1 => -2x + 1 = 2x + 1 => -4x = 0 => x = 0
Portanto, a solução para (a) é x = 0.

(b) x² - 2|x - 1| = 2
Para resolver essa equação, também é necessário considerar os casos em que o módulo pode ser positivo ou negativo. Vamos separar em casos:
1. Quando x - 1 é positivo (x > 1): x² - 2(x - 1) = 2 => x² - 2x + 2 = 2 => x² - 2x = 0 => x(x - 2) = 0 => x = 0 ou x = 2
2. Quando x - 1 é negativo (x  x² + 2x = 2 => x² + 2x - 2 = 0 (não possui solução real)
Portanto, as soluções para (b) são x = 0 e x = 2.

(c) |x² - 2x| = 2x + 1
Neste caso, é importante considerar os casos em que o módulo pode ser positivo ou negativo:
1. Quando x² - 2x é positivo (x > 0 ou x  x² - 4x - 1 = 0 (utilizando Bhaskara, encontramos as soluções x ≈ -0,45 e x ≈ 4,45)
2. Quando x² - 2x é negativo (0  -x² + 2x = 2x + 1 => -x² = 1 (não possui solução real)
Portanto, a solução para (c) é x ≈ -0,45 e x ≈ 4,45.

(d) |x² - 3x - 1| = |1 - 2x| + 1
Neste caso, é necessário considerar os casos em que os módulos podem ser positivos ou negativos:
1. Quando x² - 3x - 1 é positivo (x > 0 ou x  x² - x - 2 = 0 (utilizando Bhaskara, encontramos as soluções x = -1 e x = 2)
2. Quando x² - 3x - 1 é negativo (0  -x² + 3x + 1 = 1 - 2x + 1 => -x² + 3x = 2x => -x² + x = 0 => x(x - 1) = 0 => x = 0 ou x = 1
Portanto, as soluções para (d) são x = -1, x = 0 e x = 2.

Espero que essas resoluções tenham sido úteis para você!

Matemática

22. Resolva as seguintes equações: (a) |x− 1| − x = |2x+ 1| (b) x2 − 2|x− 1| = 2 (c) |x2 − 2x| = 2x+ 1 (d) |x2 − 3x− 1| = |1− 2x|+ 1 .

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Exercícios de Inequações

1. Use a análise de sinais de expressões do primeiro e do segundo graus para resolver as seguintes inequações:
(a) 2x− 4 ≤ 5 (b) x2 − 1 ≥ 4
(c) y2 + 5 ≤ 4y (d) y2 < 18y − 77.

3. Use o estudo do sinal do trinômio do segundo grau para resolver as inequações.
(a) 2x2 − x ≤ 3
(b) x ≤ x2 − 1
(c) x− 2x2 ≥ 3x− 2
(d) x2 − x3 > 3x .

4. Analize o sinal das expressões e resolva as inequações dadas:
(a) |x− 3| − 2 e |x− 3| − 2 < 0
(b) |4− x| − x e |4− x| > x
(c) ∣∣|x+ 8| − x∣∣ e ∣∣|x+ 8| − x∣∣ < 0
(d) x2 − |x| e x2 > |x| .

5. Resolva as inequações:
(a) x(2− x) > x
(b) x(x+ 1) ≤ x2
(c) (x− 1)2(x2 − 4) ≤ 4(x− 1)
(d) x(x− 1)(1 + x3) < x(x− 1) .

7. Analise o sinal das expressões associadas as ine- quações a seguir e resolva essas inequações:
(a) x ≥ x x− 1
(b) x+ 2 x2 − x− 6 ≤ 0
(c) 1 ≤ x3 + x− 3 x3 − 27
(d) x+ 1 x2 − 1 ≤ x− 1 x− 1 .

8. Resolva as inequações:
(a) √2x2 − 9 ≤ x
(b) √2x2 − 9 > x2
(c) √x2 − 3x ≥ 2x− 5
(d) √3− 2x < 3−√2x+ 2 .

14. Determine os pontos da reta cujo quadrado da sua distância ao ponto 1 é menor do que o dobro da distância ao ponto 3 .

15. Determine os pontos da reta cujo quadrado, transladado de 5 é menor ou igual ao triplo de sua distância ao ponto 1 .

16. Determine os pontos da reta cuja raiz quadrada do seu transladado por 3 é maior do que a distância da raiz quadrada desse ponto ao ponto 1 .

18. Deseja-se construir un triângulo com lados x , x + 1 e x + 2 onde x ∈ ( 0 ,∞). Pergunta-se: quais valores o parâmetro x não pode assumir ?

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Matemática

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1. Use a análise de sinais de expressões do primeiro e do segundo graus para resolver as seguintes inequações:(a) 2x− 4 ≤ 5 (b) x2 − 1 ≥ 4(c) y2 + 5 ≤ 4y (d) y2 < 18y − 77.

3. Use o estudo do sinal do trinômio do segundo grau para resolver as inequações.(a) 2x2 − x ≤ 3(b) x ≤ x2 − 1(c) x− 2x2 ≥ 3x− 2(d) x2 − x3 > 3x .

4. Analize o sinal das expressões e resolva as inequações dadas:(a) |x− 3| − 2 e |x− 3| − 2 < 0(b) |4− x| − x e |4− x| > x(c) ∣∣|x+ 8| − x∣∣ e ∣∣|x+ 8| − x∣∣ < 0(d) x2 − |x| e x2 > |x| .

5. Resolva as inequações:(a) x(2− x) > x(b) x(x+ 1) ≤ x2(c) (x− 1)2(x2 − 4) ≤ 4(x− 1)(d) x(x− 1)(1 + x3) < x(x− 1) .

7. Analise o sinal das expressões associadas as ine- quações a seguir e resolva essas inequações:(a) x ≥ x x− 1(b) x+ 2 x2 − x− 6 ≤ 0(c) 1 ≤ x3 + x− 3 x3 − 27(d) x+ 1 x2 − 1 ≤ x− 1 x− 1 .

8. Resolva as inequações:(a) √2x2 − 9 ≤ x(b) √2x2 − 9 > x2(c) √x2 − 3x ≥ 2x− 5(d) √3− 2x < 3−√2x+ 2 .

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(b) x ≤ x2 − 1
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(a) |x− 3| − 2 e |x− 3| − 2 < 0
(b) |4− x| − x e |4− x| > x
(c) ∣∣|x+ 8| − x∣∣ e ∣∣|x+ 8| − x∣∣ < 0
(d) x2 − |x| e x2 > |x| .

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(a) x(2− x) > x
(b) x(x+ 1) ≤ x2
(c) (x− 1)2(x2 − 4) ≤ 4(x− 1)
(d) x(x− 1)(1 + x3) < x(x− 1) .

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(a) x ≥ x x− 1
(b) x+ 2 x2 − x− 6 ≤ 0
(c) 1 ≤ x3 + x− 3 x3 − 27
(d) x+ 1 x2 − 1 ≤ x− 1 x− 1 .

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(a) √2x2 − 9 ≤ x
(b) √2x2 − 9 > x2
(c) √x2 − 3x ≥ 2x− 5
(d) √3− 2x < 3−√2x+ 2 .