Para resolver a integral de linha \(\oint_C y^3 \, dx - x^3 \, dy\) usando o Teorema de Green, precisamos primeiro identificar as funções \(P\) e \(Q\): - \(P = y^3\) - \(Q = -x^3\) O Teorema de Green nos diz que: \[ \oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \] Agora, vamos calcular as derivadas parciais: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (-x^3)}{\partial x} = -3x^2 \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (y^3)}{\partial y} = 3y^2 \] Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -3x^2 - 3y^2 = -3(x^2 + y^2) \] A região \(R\) é o círculo de raio 2 centrado na origem, onde \(x^2 + y^2 \leq 4\). Portanto, a integral dupla se torna: \[ \iint_R -3(x^2 + y^2) \, dA \] Usando coordenadas polares, onde \(x = r \cos \theta\) e \(y = r \sin \theta\), temos \(dA = r \, dr \, d\theta\) e \(x^2 + y^2 = r^2\). Assim, a integral se transforma em: \[ \iint_R -3r^2 \, dA = -3 \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = -3 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 r^3 \, dr \] Calculando a integral em \(r\): \[ \int_0^2 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \frac{16}{4} = 4 \] Agora, substituindo na integral: \[ -3 \int_0^{2\pi} d\theta \cdot 4 = -3 \cdot 4 \cdot 2\pi = -24\pi \] Portanto, a resposta correta é: E. \(-24\pi\)