Para resolver a integral dupla \( I = \int_0^2 \int_0^1 (x^3 + xy) \, dx \, dy \), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a integral interna (em relação a \( x \)): \[ \int_0^1 (x^3 + xy) \, dx = \int_0^1 x^3 \, dx + \int_0^1 xy \, dx \] - Para \( \int_0^1 x^3 \, dx \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \] - Para \( \int_0^1 xy \, dx \): \[ \int xy \, dx = y \int x \, dx = y \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^1 = y \cdot \frac{1^2}{2} - y \cdot \frac{0^2}{2} = \frac{y}{2} \] Portanto, a integral interna resulta em: \[ \int_0^1 (x^3 + xy) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{y}{2} \] 2. Agora, calcular a integral externa (em relação a \( y \)): \[ I = \int_0^2 \left( \frac{1}{4} + \frac{y}{2} \right) \, dy \] - Para \( \int_0^2 \frac{1}{4} \, dy \): \[ \frac{1}{4} \cdot y \Big|_0^2 = \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] - Para \( \int_0^2 \frac{y}{2} \, dy \): \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] Portanto, a integral externa resulta em: \[ I = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] Assim, o valor correto de \( I \) é \( \frac{3}{2} \). A alternativa correta é: B) \( \frac{3}{2} \).

Utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, temos: I = ∫ 2 0 ∫ 1 0 ( x^3 + x*y ) dxdy I = ∫ 2 0 [ (x^4/4 + (x^2*y)/2) ] 1 0 dy I = ∫ 2 0 [ (16/4 + 4*y)/2 - (1/4 + y/2) ] dy I = ∫ 2 0 [ (15/4 - y/2) ] dy I = [ (15/4)*y - (y^2/4) ] 2 0 I = (15/4)*2 - (2^2/4) - [(15/4)*0 - (0^2/4)] I = 15/2 - 1 - 0 I = 13/2 Portanto, a alternativa correta é a letra E, 9/2.