Grátis: Questão 3. Calcule o comprimento da cicloide de equação −→α (t) = ⟨r(t− sen(t)), r(1− cos(t))⟩ para 0 ≤ t ≤ 2π, onde r > 0 é uma constante. Lembret...

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Questão 3. Calcule o comprimento da cicloide de equação −→α (t) = ⟨r(t− sen(t)), r(1− cos(t))⟩ para 0 ≤ t ≤ 2π, onde r > 0 é uma constante. Lembrete: sen2(t/2) = (1− cos(t))/2.

Praticando Para o Saber

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C2 Lista Semanal 5 - 2022_4 (Com Gabarito)

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Para calcular o comprimento da cicloide de equação −→α (t) = ⟨r(t− sen(t)), r(1− cos(t))⟩ para 0 ≤ t ≤ 2π, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco: L = ∫(a até b) √(dx/dt)² + (dy/dt)² dt Substituindo as funções x(t) e y(t) pela equação da cicloide, temos: L = ∫(0 até 2π) √(dx/dt)² + (dy/dt)² dt L = ∫(0 até 2π) √(r(1-cos(t)))² + (r sen(t))² dt L = ∫(0 até 2π) √r² - 2r² cos(t) + r² sen²(t) dt L = ∫(0 até 2π) √r²(1 - cos(t)) dt L = r ∫(0 até 2π) √2 sen²(t/2) dt L = r ∫(0 até 2π) √2 (1 - cos²(t/2)) dt L = r ∫(0 até 2π) √2 - 2√2 cos²(t/2) dt L = r [2√2 t - 4√2 sen(t/2) cos(t/2)] (0 até 2π) L = r [4√2] Portanto, o comprimento da cicloide é 4r√2.

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Questão 1. Seja C a curva definida pela função vetorial: −→α (t) = 2t sen(t)−→i + 3t cos(t)−→j + (t+ 1)−→k , t ≥ 0. a) Determine a equação do cone sobre o qual encontra-se a curva C. b) Trace um esboço do gráfico de C. c) Escreva a equação paramétrica da reta tangente à curva C no ponto P , onde −→α (π/2) = −→OP .

Questão 2. Uma partícula move-se no espaço com vetor posição −→r (t) e velocidade −→v (t). Sabendo que a aceleração dessa partícula no instante t é dada por −→a (t) = ⟨2 cos(t)− t sen(t), 2 sen(t) + t cos(t), 2⟩ , −→v (0) = −−→j + −→k e −→r (0) = −→k , determine −→r (t) e utilize um software gráfico para traçar a trajetória da partícula.

Questão 4. Considere a parábola semicúbica definida pela função vetorial −→α (t) = ⟨t2, t3⟩. Calcule o comprimento dessa curva no intervalo t ∈ [0, s], s > 0.

Questão 5. Faça um mapa de contorno para as funções abaixo, exibindo as curvas de nível associadas aos valores k especificados: a) f(x, y) = x2 + y2 − 8x+ 6y, para k ∈ {−20,−10,−5, 0, 5}; b) f(x, y) = ln(x) + ln(y), para k ∈ {−2,−1, 0, 1, 2}.

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Questão 5. Faça um mapa de contorno para as funções abaixo, exibindo as curvas de nível associadas aos valores k especificados: a) f(x, y) = x2 + y2 − 8x+ 6y, para k ∈ {−20,−10,−5, 0, 5}; b) f(x, y) = ln(x) + ln(y), para k ∈ {−2,−1, 0, 1, 2}.

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