7. (ITA-85) Seja f: ℜ→ℜ uma função satisfazendo f(x + αy) = f(x) + αf(y) para todo α, x, y ∈ ℜ. Se {a1, a2, a3, …, an} é uma progressão aritmétca de razão d, então podemos dizer que (f(a1), f(a2), f(a3), …, f(an))

a) é uma progressão aritmética de razão d.
b) é uma progressão aritmética de razão f(d) cujo termo primeiro é a1.
c) é uma progressão geométrica de razão f(d).
d) é uma progressão aritmética de razão f(d).
e) Nada se pode afirmar.

Question

7. (ITA-85) Seja f: ℜ→ℜ uma função satisfazendo f(x + αy) = f(x) + αf(y) para todo α, x, y ∈ ℜ. Se {a1, a2, a3, …, an} é uma progressão aritmétca d...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar a função $ f $ dada pela propriedade $ f(x + \alpha y) = f(x) + \alpha f(y) $. Essa propriedade sugere que $ f $ é uma função linear, ou seja, pode ser expressa na forma $ f(x) = kx $ para algum $ k \in \mathbb{R} $.

Dado que $ \{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\} $ é uma progressão aritmética de razão $ d $, podemos expressar os termos dessa progressão como:
- $ a_1 $
- $ a_2 = a_1 + d $
- $ a_3 = a_1 + 2d $
- ...
- $ a_n = a_1 + (n-1)d $

Agora, aplicando a função $ f $ a esses termos:
- $ f(a_1) = f(a_1) $
- $ f(a_2) = f(a_1 + d) = f(a_1) + f(d) $
- $ f(a_3) = f(a_1 + 2d) = f(a_1) + 2f(d) $
- ...
- $ f(a_n) = f(a_1 + (n-1)d) = f(a_1) + (n-1)f(d) $

Assim, os valores $ (f(a_1), f(a_2), f(a_3), \ldots, f(a_n)) $ formam uma nova progressão aritmética, onde o primeiro termo é $ f(a_1) $ e a razão é $ f(d) $.

Portanto, a alternativa correta é:
b) é uma progressão aritmética de razão f(d) cujo termo primeiro é a1.

Ed · Answer

A resposta correta é a letra d) é uma progressão aritmética de razão f(d).

Para provar isso, podemos usar o fato de que {a1, a2, a3, ..., an} é uma progressão aritmética de razão d, o que significa que a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + 2d, e assim por diante, até an = a1 + (n-1)d.

Agora, podemos aplicar a propriedade dada na função f(x + αy) = f(x) + αf(y) para obter:

f(a2) = f(a1 + d) = f(a1) + f(d)
f(a3) = f(a2 + d) = f(a2) + f(d) = f(a1) + 2f(d)
...
f(an) = f(a1 + (n-1)d) = f(a1) + (n-1)f(d)

Portanto, temos que (f(a1), f(a2), f(a3), ..., f(an)) é uma progressão aritmética de razão f(d).

Matemática

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1. A soma de três números positivos em progressão aritmética é 30. Se esses números forem aumentados de 1, 4 e 14, respectivamente, os novos números estarão em progressão geométrica. Achar esses números.

2. A soma dos 4 termos do meio de uma progressão aritmética de 12 termos é 74. O produto dos extremos é 70. Qual é a progressão?

3. O último termo de uma progressão aritmética é 19; o primeiro termo, a razão e o número de termos são números consecutivos. Formar a progressão.

4. A sucessão S dos números 1, 5, 13, 25,..., ak, ..., possui a propriedade de que as diferenças dk = ak+1 - ak, com k = 1, 2, 3,... formam uma progressão aritmética. O 30° termo de S é:

a) 120
b) 117
c) 871
d) 1741
e) impossível de ser calculado.

5. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1 – a, – a, √11. O quarto termo desta PA é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

6. Os números reais sen π/12, sen a e sen 5π/12 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:

a) 1/4
b) 6/3
c) 4/2
d) 4/6
e) 2/3

8. (ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja a um número real com a > 0 e a ≠ 1 satisfazendo 3ax + 2ay – az = 0. Então r é igual a:

a) a2
b) (1/2)a
c) log2a 4
d) loga (3/2)
e) loga 3

9. Mostre que se a, b e c formam uma PA de termos positivos, então os números 1/(b+c), 1/(c+a) e 1/(a+b) também formam uma PA.

10. Generalize o resultado anterior, ou seja, prove que se a1, a2, a3, … , an formam uma PA de termos positivos, então 1/√a1, 1/√a2, 1/√a3, … , 1/√an também formam uma PA.

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2. A soma dos 4 termos do meio de uma progressão aritmética de 12 termos é 74. O produto dos extremos é 70. Qual é a progressão?

3. O último termo de uma progressão aritmética é 19; o primeiro termo, a razão e o número de termos são números consecutivos. Formar a progressão.

4. A sucessão S dos números 1, 5, 13, 25,..., ak, ..., possui a propriedade de que as diferenças dk = ak+1 - ak, com k = 1, 2, 3,... formam uma progressão aritmética. O 30° termo de S é:a) 120b) 117c) 871d) 1741e) impossível de ser calculado.

5. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1 – a, – a, √11. O quarto termo desta PA é:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

6. Os números reais sen π/12, sen a e sen 5π/12 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:a) 1/4b) 6/3c) 4/2d) 4/6e) 2/3

8. (ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja a um número real com a > 0 e a ≠ 1 satisfazendo 3ax + 2ay – az = 0. Então r é igual a:a) a2b) (1/2)ac) log2a 4d) loga (3/2)e) loga 3

9. Mostre que se a, b e c formam uma PA de termos positivos, então os números 1/(b+c), 1/(c+a) e 1/(a+b) também formam uma PA.

10. Generalize o resultado anterior, ou seja, prove que se a1, a2, a3, … , an formam uma PA de termos positivos, então 1/√a1, 1/√a2, 1/√a3, … , 1/√an também formam uma PA.

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a) 120
b) 117
c) 871
d) 1741
e) impossível de ser calculado.

5. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1 – a, – a, √11. O quarto termo desta PA é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

6. Os números reais sen π/12, sen a e sen 5π/12 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:

a) 1/4
b) 6/3
c) 4/2
d) 4/6
e) 2/3

8. (ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja a um número real com a > 0 e a ≠ 1 satisfazendo 3ax + 2ay – az = 0. Então r é igual a:

a) a2
b) (1/2)a
c) log2a 4
d) loga (3/2)
e) loga 3