Para calcular o volume do paralelepípedo usando o produto misto, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o produto vetorial \( v \times w \). 2. Calcular o produto escalar \( u \cdot (v \times w) \). Vamos começar com os vetores dados: - \( u = (2, -6, -2) \) - \( v = (0, 4, -2) \) - \( w = (2, 2, -4) \) Passo 1: Calcular \( v \times w \) O produto vetorial \( v \times w \) é dado por: \[ v \times w = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & 2 & -4 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ v \times w = \hat{i} \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando cada determinante: 1. \( \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = (4 \cdot -4) - (-2 \cdot 2) = -16 + 4 = -12 \) 2. \( \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = (0 \cdot -4) - (-2 \cdot 2) = 0 + 4 = 4 \) 3. \( \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (0 \cdot 2) - (4 \cdot 2) = 0 - 8 = -8 \) Portanto: \[ v \times w = (-12)\hat{i} - (4)\hat{j} - (8)\hat{k} = (-12, -4, -8) \] Passo 2: Calcular \( u \cdot (v \times w) \) Agora, calculamos o produto escalar: \[ u \cdot (v \times w) = (2, -6, -2) \cdot (-12, -4, -8) \] Calculando: \[ = 2 \cdot -12 + (-6) \cdot -4 + (-2) \cdot -8 \] \[ = -24 + 24 + 16 \] \[ = 16 \] Portanto, o volume do paralelepípedo é \( V = 16 \). A alternativa correta é: d) 16.