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Equações Diferenciais

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Determine as funções f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g e seus domínios.
a) f(x) = 2x2 − x, g(x) = 3x+ 2
b) f(x) = 1 / x, g(x) = x3 + 2x
c) f(x) = senx, g(x) = 1− √x
(a) f ◦ g(x) = 3(6x2 + 7x+ 2), R
g ◦ f(x) = 6x2 − 3x+ 2, R
f ◦ f(x) = 8x4 − 8x3 + x, R
g ◦ g(x) = 9x+ 8, R
(b) f ◦ g(x) = 1 / (x3+2x), R∗
g ◦ f(x) = 1 / (x3) + 2 / x, R∗
f ◦ f(x) = x, R∗
g ◦ g(x) = x9+6x7+12x5+10x3+4x, R
(c) f ◦ g(x) = sen(1− √x), [0,∞)
g ◦ f(x) = 1− √senx
f ◦ f(x) = sen(senx)
g ◦ g(x) = 1− √(1− √x), [0, 1]
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Vamos determinar as funções compostas e seus domínios para cada caso: a) f(x) = 2x^2 - x, g(x) = 3x + 2 - f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(3x + 2) = 2(3x + 2)^2 - (3x + 2) - Domínio de f ◦ g: Todos os números reais - g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(2x^2 - x) = 3(2x^2 - x) + 2 - Domínio de g ◦ f: Todos os números reais - f ◦ f(x) = f(f(x)) = f(2x^2 - x) = 2(2x^2 - x)^2 - (2x^2 - x) - Domínio de f ◦ f: Todos os números reais - g ◦ g(x) = g(g(x)) = g(3x + 2) = 3(3x + 2) + 2 - Domínio de g ◦ g: Todos os números reais b) f(x) = 1 / x, g(x) = x^3 + 2x - f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(x^3 + 2x) = 1 / (x^3 + 2x) - Domínio de f ◦ g: Todos os números reais, exceto x = 0 - g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(1 / x) = (1 / x)^3 + 2(1 / x) - Domínio de g ◦ f: Todos os números reais, exceto x = 0 - f ◦ f(x) = f(f(x)) = f(1 / x) = 1 / (1 / x) = x - Domínio de f ◦ f: Todos os números reais, exceto x = 0 - g ◦ g(x) = g(g(x)) = g(x^3 + 2x) = (x^3 + 2x)^3 + 2(x^3 + 2x) - Domínio de g ◦ g: Todos os números reais c) f(x) = sen(x), g(x) = 1 - √x - f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(1 - √x) = sen(1 - √x) - Domínio de f ◦ g: x pertence a [0, ∞) - g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(sen(x)) = 1 - √sen(x) - Domínio de g ◦ f: x pertence a [0, π/2] U [π/2, π] - f ◦ f(x) = f(f(x)) = f(sen(x)) = sen(sen(x)) - Domínio de f ◦ f: Todos os números reais - g ◦ g(x) = g(g(x)) = g(1 - √x) = 1 - √(1 - √x) - Domínio de g ◦ g: x pertence a [0, 1] Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.

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Calcule f(x+ h)− f(x) / h para as funções abaixo.
a) f(x) = x2 − 3x+ 9
b) f(x) = 1 / x2
c) f(x) = 13

Sejam f, g : R→ R dadas por f(x) = 2x+ k e g(x) = 3x− 1. Determine k de modo que f(g(x)) = g(f(x)).

Esboce o gráfico das funções a seguir.
a) y = 1 / x
b) y = tg (x)
c) y = cos (x)
d) y = sen (x)
e) y = 1 / (x− 3)
f) y = ln (x)
g) y = √x
h) y = −x2 + 2
i) y = ex

Sendo f(x) = x3 +2x2 e g(x) = 3x2 − 1, encontre f + g, f − g, f · g e fg e seus domínios.

(f + g)(x) = x3 + 5x2 − 1, R
(f − g)(x) = x3 − x2 + 1, R
(fg)(x) = 3x5 + 6x4 − x3− 2x2, R(f / g)(x) = (x3+2x2) / (3x2−1), {x ∈ R | x 6= ± 1√3}

Expresse, na forma f ◦ g, as funções abaixo.
a) F (x) = (x− 9)5
b) G(x) = x2 / (x2 + 4)
c) u(t) = √cos t

Determine uma fórmula para a função inversa de cada função.
a) f(x) = 1 + 3x / (5− 2x)
b) f(x) = √(2 + 5x)
c) y = ln(x+ 3)
f−1(x) = 5x−1 / (2x+3)
f−1(x) = x / (2−2/5), x ≥ 0
y = ex − 3 / 2

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