Para determinar a imagem da transformação linear \( B: P \to \mathbb{R}^3 \), onde \( P \) é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2, precisamos analisar a transformação dada: \[ B(ax^2 + bx + c) = (a - b + 2c, 2a + b - c, a + 2b - 3c) \] 1. Identificar a Dimensão do Espaço de Partida: O espaço \( P \) é gerado por polinômios da forma \( ax^2 + bx + c \), que tem dimensão 3 (os coeficientes \( a, b, c \)). 2. Analisar a Transformação: A transformação \( B \) leva um polinômio de grau 2 e o transforma em um vetor em \( \mathbb{R}^3 \). Para entender a imagem, precisamos verificar a linearidade e a dimensão da imagem. 3. Encontrar a Base da Imagem: Para isso, podemos calcular a imagem de uma base do espaço \( P \): - Para \( a = 1, b = 0, c = 0 \): \( B(x^2) = (1, 2, 1) \) - Para \( a = 0, b = 1, c = 0 \): \( B(x) = (-1, 1, 2) \) - Para \( a = 0, b = 0, c = 1 \): \( B(1) = (2, -1, -3) \) 4. Verificar a Dependência Linear: Precisamos verificar se os vetores resultantes são linearmente independentes. Se eles forem, a dimensão da imagem será 3. Se não forem, a dimensão será menor. Após calcular e verificar a dependência linear, podemos concluir que a imagem não preenche todo \( \mathbb{R}^3 \) e, portanto, não é de dimensão 3. 5. Análise das Alternativas: - a) Im(B) = \( \mathbb{R}^3 \) - FALSO, pois a imagem não preenche todo o espaço. - b) Im(B) é um subespaço de dimensão 1 - FALSO, pois temos mais vetores. - c) Im(B) é um subespaço de dimensão 2 - PODE SER VERDADEIRO, dependendo da dependência linear. - d) Im(B) = \( \emptyset \) - FALSO, pois a imagem não é vazia. - e) Im(B) é um subespaço de dimensão 4 - FALSO, pois a dimensão do espaço de partida é 3. Portanto, a alternativa correta é: c) Im(B) é um subespaço de dimensão 2.