X_Sem18

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Radio
Polonio
Semana 18
Álgebra
Anual Virtual UNI Álgebra
Inecuaciones polinomiales II e Inecuación 
fraccionarias
TEOREMA DEL TRINOMIO CUADRÁTICO POSITIVO
↔
P(x)=ax2+bx+c>0 ∀ x ∈ R
a>0 ∧ D<0
Ejemplo
• P(x)=x2+x+1
 siempre da resultados positivos para cualquier valor x ∈ R por-
que su D < 0 y coeficiente principal es positivo.
 En efecto
 P(–1)=1 > 0 P(0)=1 > 0
 P 1
2
7
4
0



= > P(1)=3 > 0
 
P −( ) = >2 3 0
 
 
P −( ) = >3 7 0

Caso III Para las inecuaciones cuadráticas 
cuando D < 0
Se busca que el coeficiente sea positivo para usar el teo-
rema del trinomio positivo y analizamos si la desigualdad 
establecida es verdadera o falsa.
Ejemplo 1
• Resuelva
 x2+x+1 > 0
 
Resolución
 
1 1 02x x+ + >
⊕siempre 
verdadero
� �� ��
� ��� ���
D=–3 < 0
+
 ∴ CS=R
Ejemplo 2
• Resuelva
 x2 – 3x+4 ≤ 0
 Resolución
 
1 3 4 02x x− + ≤
⊕siempre 
falso
� ��� ���
� ��� ���
D=–7 < 0
+
 
 ∴ CS=f
Teorema del Trinomio no negaTivo
ax2+bx+c ≥ 0 ∀ x ∈R
a > 0 ∧ D ≤ 0
↔
Observación
semana
18
Material Didáctico Academia CÉSAR VALLEJO
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Y FRACCIONARIAS
Inecuación polinomial de grado superior
Forma general
a x a x a x a x an n n
n n0 1
1
2
2
1 0+ + + + +− −
−... 
donde a0 ≠ 0; {a0; a1; a2; ...; an –1+an} ⊂ R ∧ n ≥ 3
Ejemplos
 x3 – 6x2+11x – 6 > 0
 9x4+10x2+1 ≤ 0
Teorema 1
 
f P P fx
n
x x x( ) ( ) ( ) ( )
2 0 0 0> ↔ > ∧ ≠
< <
Teorema 2
 
f P P fx
n
x x x( ) ( ) ( ) ( )
2 0 0 0≥ ↔ ≥ ∨ =
≤ ≤
Teorema 3
 
f P f Px
n
x x x( )
+
( ) ( ) ( )> ↔ >2 1 0 0
Aplicación
Resuelva x x x x2 4 5 24 2 1 25 0+( ) −( ) +( ) −( ) < .
Resolución
 x x x x2 4 5 24 2 1 25 0+( ) −( ) +( ) −( ) <
→ x x x+( ) −( ) < ∧ − ≠1 25 0 2 02
→ (x+1)(x+5)(x – 5) < 0 ∧ x ≠ 2
Por el criterio de los puntos críticos
– 5 – 1 52
–– ––+ +
+∞– ∞
∴ CS=〈– ∞; – 5〉 ∪ 〈– 1; 5〉 – {2}
 o también
 CS= 〈– ∞; – 5〉 ∪ 〈– 1; 2〉 ∪ 〈2; 5〉
1. Sea a > 0. Entonces
 af (x) > 0 ↔ f (x) > 0
 Ejemplo
 
x f fx x
2 5 0 0+( ) > ↔ >
+( )
��� �� ( ) ( )
2. Sea a < 0. Entonces
 af (x) > 0 ↔ f (x) < 0
 Ejemplo
 − −( ) + > ↔ + <
−( )
5 2 3 0 3 0� �� �� ( )x x
¡Tenga en cuenta que...!
Para resolver una inecuación polinomial 
se deben tener en cuenta los siguiente 
pasos:
1. Factorizar el polinomio.
2. Reducir la expresión utilizando los 
teoremas.
3. Utilizar el criterio de los puntos 
críticos.
Observación
Anual Virtual UNI Álgebra
1. Sea a > 0. Entonces
 af (x) > 0 ↔ f (x) > 0
 Ejemplo
 
x f fx x
2 5 0 0+( ) > ↔ >
+( )
��� �� ( ) ( )
2. Sea a < 0. Entonces
 af (x) > 0 ↔ f (x) < 0
 Ejemplo
 − −( ) + > ↔ + <
−( )
5 2 3 0 3 0� �� �� ( )x x
¡Tenga en cuenta que...!
Para resolver una inecuación polinomial 
se deben tener en cuenta los siguiente 
pasos:
1. Factorizar el polinomio.
2. Reducir la expresión utilizando los 
teoremas.
3. Utilizar el criterio de los puntos 
críticos.
Observación
INECUACIÓN FRACCIONARIA
Forma general reducida
P
Q
x
x
( )
( )
 0
Donde Q(x) es un polinomio no constante y no nulo.
Ejemplos
 
x
x
2
4
1
1
0
−
+
> 
x x
x
3
2
2
1
0
+ −
−
≤ 
2
1
0
2x +
>
Teorema
P
Q
P Q Qx
x
x x x
( )
( )
( ) ( ) 0 0 0↔ ∧ ≠( )
Aplicación
1. Resuelva 
x
x
2 25
8
0
�
�
� .
 Resolución
 Por el teorema, x x x2 25 8 0 8 0−( ) +( ) ≥ ∧ + ≠
 Luego (x+5)(x – 5)(x+8) ≥ 0 ∧ x ≠ – 8
 Puntos críticos
 
– 8 – 5 5
–– ––+ +
+∞– ∞
 ∴ CS=〈– 8; – 5] ∪ [5; +∞〉
2. Resuelva 
x
x
2 4
6
0
+( )
−
≤ .
 Resolución
 Por el teorema
 x x x2 4 6 0 6 0+( ) −( ) ≤ ∧ − ≠
 x x x2 4 6 0 6+( ) −( ) ≤ ∧ ≠
+( )
��� ��
 → x ≤ 6 ∧ x ≠ 6
 ∴ CS=〈 – ∞; 6 〉
Un problema de inecuación fraccionaria 
se puede resolver analizando el numera-
dor y el denominador.
Ejemplo 
Resuelva
x x
x
2
2
2 3
7
0+ +
−
≤
Resolución
Como x2 + 2x + 3 > 0; ∀ x ∈ R,
por teorema del trinomio positivo, 
entonces
 x2 – 7 < 0
∴ CS = − 7 7;
¡Recuerde que...!
En problemas con expresiones rigurosas 
es importante el enunciado.
Ejemplo
Resuelva la inecuación
x
x
6 1
1
0−
−
>
e indique las soluciones positivas.
Resolución
Aplicando cocientes notables se tiene 
que
 x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 > 0
Luego, cualquier número positivo cum-
ple la condición.
∴ CS = R +
¡Tenga en cuenta que...!
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Problemas resueltos
1. Determine los valores de λ para que la des-
igualdad se cumpla para todo x ∈ R.
 x2 – 6x+1 ≥ λ
 Resolución
 Se tiene, según el enunciado,
 1x2 – 6x+1 – λ ≥ 0 ∀ x ∈ R
 Usando el teorema del trinomio no negativo
 1 > 0 ∧ D ≤ 0
 62 – 4(1)(1 – λ) ≤ 0
 32+4λ ≤ 0
 λ ≤ – 8
 ∴ λ ∈ 〈 - ∞; - 8]
2. Sea la inecuación
 x x x x x2 3 4 22 3 7 0+( ) −( ) + +( ) −( ) <π
 donde su CS=〈 – ∞; a〉 ∪ 〈a; b〉. Calcule a+b.
 Resolución
 x x x x x2 3 4 22 3 7 0+( ) −( ) + +( ) −( ) <
+( ) +( )
π� �� �� � ��� ���
 → x – 7 < 0 ∧ x – 2 ≠ 0
 x < 7 ∧ x ≠ 2
 +∞– ∞ 2 7
 → CS=〈 – ∞; 7〉 – {2} o también
 CS=〈 – ∞; 2〉 ∪ 〈2; 7〉
 Por dato, a=2 ∧ b=7.
 ∴ a+b=9
3. Luego de resolver la inecuación
 
x x x x
x x x
4 3 2 1
5 4 2
0
+ + + +
−( ) +( ) +( ) ≤
 indique la cantidad de valores enteros no 
negativos.
 Resolución
 Analizamos x4+x3+x2+x+1
 x x
x
x x4 3
2
2
4
3
4
1+ + + + +
� ��� ���
 x
x
x x2
2
0
2
2
3
4
1+


 + + +
+( ) ∨ +( )
� �� �� � �� ��
 → x4+x3+x2+x+1 > 0, ∀ x ∈ R
 En la inecuación fraccionaria
 x x x x x x x4 3 2 1 5 4 2 0+ + + +( ) −( ) +( ) +( ) ≤
+( )
� ����� ����� ;
 x ≠ 5; – 4; – 2
 Puntos críticos: 5; – 4; – 2
 – 4 – 2 5
–– ––+ +
+∞– ∞
 → CS=〈– ∞; – 4〉 ∪ 〈– 2; 5〉
 Las soluciones enteras no negativas son 0; 1; 2; 
3 y 4. Por lo tanto, hay 5 valores.
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Práctica dirigida
1. Dado el polinomio P(x)=x2–(m–3)x+m. 
Si P(x) > 0 ∀x ∈ R, halle la variación de m.
A) 〈–9; –1〉
B) 〈– ∞; –9] ∪ [–1; + ∞〉
C) 〈– ∞; –9〉 ∪ 〈–1; + ∞〉
D) 〈– ∞; 1〉 ∪ 〈9; + ∞〉
E) 〈1; 9〉
2. Determine los valores de λ para que la siguien-
te desigualdad se cumpla para cualquier x ∈ R.
 x2 – 3x+1 ≥ λ
A) −{ }5
4
 B) − + ∞


5
4
; C) − + ∞


1
4
;
D) −∞ 

;
5
4
 E) −∞ − 

;
5
4
3. Luego de resolver
 x x x x x3 2 7 23 3 5 0−( ) +( ) − +( ) ≤
 determine la suma de las soluciones enteras.
A) – 6 B) – 5 C) – 3
D) 0 E) 1
4. Resuelva la siguiente inecuación:
 x x x x2 2 29 1 9−( ) +( ) ≤ −( ) 
A) [– 3; 3] B) R C) ∅
D) [3; +∞〉 E) 〈– ∞; 3]
5. Dada la inecuación polinomial
 x4–x3–15x2–19x–30 ≥ 0
 cuyo conjunto solución es S.
 Indique la alternativa correcta después de de-
terminar si cada proposición es verdadera (V) 
o falsa (F) según el orden dado.
I. SC ⊂ [–3; 5]
II. 〈– ∞; –3〉 ∪ 〈5; + ∞〉 ⊂ S
III. Existen 7 números enteros que no pertene-
cen a S.
A) FVV B) FFF C) FVF
D) VVV E) VFF
6. Si el intervalo 〈 – ∞; m〉 ∪ 〈2; 3〉 es el CS de 
x3+ (a – 1)x2+ (b – a)x – b < 0, determine el va--
 lor de 
m a
b
-
.
A) – 1 B) 2 C) 1
D) 3 E) 0
7. Resuelva la inecuación fraccionaria
 
x x
x
x x
x
2 21
1
1
1
0
+ +
+
+ − +
−
≤
A) 〈– ∞; –1〉 ∪ [0; 1〉
B) 〈– 1; 0] ∪ [1; + ∞〉
C) 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1; + ∞〉
D) 〈– 1; 1〉
E) 〈– ∞; 1〉 ∪ [2; + ∞〉
8. Sea la inecuación
 
x a
x a
x b
x b
−
+
<
−
+
 con 0 < b < a
 Si su solución es la unión de dos intervalos, de-
termine uno de ellos.
A) 〈 – ∞; – b〉 B) 〈 – b; 0〉 C) 〈 – b; +∞〉
D) 〈 – a; – b〉 E) 〈 – a; +∞〉
9. Indique el intervalo al cual pertenece el valor 
de k, para que la incecuación
 
3 3
1
2
2
x x
x x
k
+ +
+ +
≥
 se cumpla para todo x ∈ R.
A) 〈– ∞; 3]
B) [3; + ∞〉
C) − 

∪ +∞ ∞; ;
7
3
5
D) − 

∞;
7
3
E) [5; + ∞〉
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10. Dado el polinomio P x x
n
nx( ) = + +
+
2 4
2
.
 Si las raíces del polinomio son reales, halle la 
variación de n.
A) − − ∪ +∞ ∞; ;2
7
4
B) -2
7
4
;
C) − 

∪ +2
7
4
4; ; ∞
D) − ∪ +


∞ ∞; ;2
9
4
E) − − ∪ − +


∞ ∞; ;2
7
4
Práctica domiciliaria
1. Dado el polinomio P x mx mx( ) = + + +2 21
4
.
 Si P(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, halle la variación de m.
A) 〈– ∞; –3〉 ∪ 〈7; + ∞〉
B) [–3; 7]
C) 〈– ∞; –7〉 ∪ 〈3; +∞〉
D) 〈– ∞; –3] ∪ [7; + ∞〉
E) 〈–7; 3〉
2. Determine los valores de n para que la 
inecuación
 x2 – x + 2 > n
 se cumpla para todo x ∈ R.
A) {7/4} B) 
7
4
; + ∞ C) 〈– ∞; 3]
D) −∞ 

;
7
4
 E) −∞;
7
4
3. Si P(x)=x2+x+k y Q(x)=2x2 – x+2k – 1
 además se cumple la desigualdad
 P(x) ≤ Q(x) ∀ x ∈ R
 entonces los valores de k son
A) {2} B) 〈– ∞; 2〉 C) 〈2; +∞〉
D) [– 2; +∞〉 E) [2; +∞〉
4. Resuelva las siguientes inecuaciones, 
respectivamente.
 I. 3x2 – 2x+3 > 0
 II. x x2 2 0+ + <
A) CSI=R; CSII=R
B) CSI=∅; CSII=∅
C) CSI=R; CSII=∅
D) CSI=R +; CSII=R +
E) CSI=R +; CSII=∅
5. Determine el conjunto solución de la 
inecuación
 x x x x−( ) +( ) + +( ) <3 2 1 02
A) 〈– 3; 2〉
B) 〈– 2; 0 〉 ∪ 〈0; 3〉
C) 〈– 2; 3〉
D) 〈3; +∞〉
E) R
6. Resuelva la inecuación
 (x–3)5(x2–4x+3) > 0
A) 〈1; + ∞〉
B) 〈–1; + ∞〉 – {3}
C) 〈+ ∞; – 1〉 ∪ 〈3; + ∞〉
D) 〈1; + ∞〉 – {3}
E) 〈3; + ∞〉 – {4}
7. Resuelva
 x x x x2 22 1 2 0− +( ) − −( ) <
A) 〈–1; 2〉 – {1}
B) {–1; 2}
C) 〈– 2; –1〉
D) 〈– 2; 3〉 – {1}
E) 〈0; 2〉 – {1}
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8. Determine el conjunto solución de la siguiente 
inecuación:
 (x2+1)(x–3)3(x2–10x+21) ≥ 0
A) [7; + ∞〉
B) [–7; + ∞〉
C) 〈– ∞; 3] ∪ [7; + ∞〉
D) 〈–7; + ∞〉 – {3}
E) [7; + ∞〉 ∪ {3}
9. Halle el conjunto solución luego de resolver la 
siguiente inecuación.
 x x x x x2 7 2 5 29 6 0−( ) − −( ) − +( ) ≤π
A) [– 3; 3]
B) [– 2; 3] ∪ {– 3}
C) [– 3; 2]
D) [0; 2] ∪ {3}
E) [– 3; – 2] ∪ {3}
10. Indique el conjunto solución de
 x x x x x2 2 3 29 8 9 15 135 0−( ) − −( ) + − <
A) 〈 – 3; +∞〉
B) 〈 – ∞; 3〉
C) 〈 – 3; 5〉 – {3}
D) 〈 – 5; 3〉
E) 〈 – 3; 3〉
11. Indique el conjunto solución de la inecuación
 
− < −
+
<1
3
2 3
2
4
3
x
x
A) 〈–2; –1〉 B) -2
17
2
; C) 〈–2; 2〉
D) 1
17
2
; E) -1
17
2
;
UNI 2018 - I
12. Resuelva la inecuación fraccionaria
 
3 8 56
20
2
2
2
x x
x x
+ +
− +
>
A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈8; + ∞〉
B) 〈– ∞; 2〉 ∪ 〈8; + ∞〉
C) 〈2; 8〉
D) 〈– ∞; – 8〉 ∪ 〈–2; + ∞〉
E) 〈–8; – 2〉
13. Halle el conjunto solución de la siguiente 
inecuación:
 
x x
x
x x
x
2 22 4
1
1
2
0
+ +
+
− − +
−
≥
A) 〈–1; 2〉
B) 〈–1; 2〉 ∪ [6; + ∞〉
C) 〈– ∞; – 2] ∪ 〈–1; 2〉
D) 〈–2; 1〉
E) 〈–2; 2〉 – {–1}
14. Sea la inecuación
 
x
x x
x x
x x x
−
− −
+
− +
−( ) +( ) ≥ −
1
6
2
3 2
2
32
2
 Indique la cantidad de valores enteros positi-
vos que no verifican.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
15. Luego de resolver la inecuación fraccionaria
 
x x x
x x x
3 2
3 2
5 2 8
7 14 8
0
+ + −
+ + +
≥
 halle el complemento de su conjunto solución.
A) 〈 – 1; 1〉
B) 〈 – 1; 1〉 ∪ { – 4; – 2}
C) [ – 1; 1〉
D) [ – 1; 1〉 ∪ { – 4; – 2}
E) f
 
01 - D
02 - E
03 - E
04 - C
05 - C
06 - D
07 - A
08 - E
09 - E
10 - C
11 - D
12 - D
13 - A
14 - A
15 - D