Dibujo_Técnico

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UNIDADES DIDACTICAS 
DE BACHILLERATO A 
DISTANCIA 
 
 
 
 
 
 
DIBUJO TÉCNICO I 
1º de Bachillerato 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REALIZADO POR: Ana M. Lamilla Puente 
I.E.S. ALTAIR Getafe 
 
 
BASADO EN EL LIBRO: 
DIBUJO TÉCNICO I-EDITORIAL SM 
J.ÀLVAREZ /J.L.CASADO / Mª. D. GÓMEZ 
 
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UNIDAD 1: INTODUCCIÓN AL DIBUJO TÉCNICO 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
El Dibujo Técnico requiere el uso de unos materiales e instrumentos para poder 
ejecutarlo luego debemos conocerlos así como sus características y manejo. 
 
De su correcta utilización del compás, la escuadra y el cartabón, la regla y los 
diferentes lápices y estilógrafos, depende la calidad, limpieza y perfección del acabado 
evaluable en esta asignatura. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
Indicarte el mínimo material necesario de dibujo: 
Lápiz, en principio se necesitan dos: uno de dureza HB(semiblando) para 
repasar las soluciones y para la croquización y otro de dureza 2H o 
3H(semiduro) para el trazado con instrumental. El uso de portaminas de 
diferentes grosores es práctico pero acuérdate de usar las diferentes durezas. 
Compás, mejor que tenga el husillo que sirve para abrir o cerrar los brazos y 
nos da mayor precisión en el trazado y el manejo es más fácil. 
Regla milimetrada, el tamaño más conveniente es de unos 30 o 50 cm. 
Escuadra y cartabón, mejor no milimetradas y sin escalón, marca 
recomendada Faber-Castell de unos 21 cm. 
Papel para dibujo lineal satinado, tamaño DIN-A4 
Transportador de ángulos y plantilla de curvas es un material opcional 
Otros como sacapuntas, mejor metálico y goma blanca para mina blanda y 
dura para mina dura 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Distingue las propiedades y características de los materiales descritos. 
• Utiliza de forma correcta; especialmente los lápices el compás, la escuadra y el 
cartabón. 
• Demuestra, mediante ejercicios prácticos, agilidad y destreza en su manejo. 
 
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H 
o de la serie B? Explica la respuesta. 
2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso, 
especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas? 
3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. En una construcción grafica cualquiera ¿qué tipo de mina utilizarías, de la serie H 
o de la serie B? Explica la respuesta. 
 
Las minas de la serie H son duras, y las de la serie B blandas. 
El trazado general debe hacerse siempre con mina dura, incluyendo líneas y 
construcciones auxiliares; sólo el resultado debe repasarse con mina blanda. 
 
Las minas duras generan un trazado más fino, proporcionando a los dibujos mayor 
precisión y limpieza, además dejan menos restos de grafito sobre el papel, por lo que hay 
menos riesgo de que el dibujo se ensucie. 
 
 
2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso, 
especialmente el último. ¿Cuáles son sus medidas? 
 
Las medidas del formato A4 son 210 por 297 mm. 
Las del formato A3 son 297 por 420 mm. 
 
3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico. 
 
Opacos: alisados, texturados, satinados, brillantes 
Semi-opacos: vegetal, poliéster 
Transparentes: acetato 
Pautados: milimetrado, isométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD 2: TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL 
PLANO 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
En esta unidad se estudian trazados geométricos fundamentales en el plano necesario 
como base para iniciar el estudio de esta asignatura y poder conocer sus fundamentos 
teóricos para luego poder aplicarlos en trabajos más complejos. 
 
Importancia en la identificación de los diferentes lugares geométricos. De la realización 
de trazados geométricos de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, así como de 
resolver operaciones con segmentos, ángulos de la circunferencia y potencia. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
APARTADO 1- PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO 
 
Concepto de lugar geométrico: es el conjunto de puntos que gozan de una propiedad 
común. 
Mediatriz de un segmento: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los 
extremos definidores del segmento son iguales o se define también, como la recta 
perpendicular que divide al segmento en otros dos iguales. 
 
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos rectos (90º) y son 
paralelas cuando no se cortan en un punto propio, es decir, el punto de intersección se 
encuentra en el infinito. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
A) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda de escuela y cartabón. 
B) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda del compás. 
- Perpendicular a una recta por un punto M perteneciente a ella. 
- Perpendicular una recta por un punto P exterior a ella. 
- Perpendicular a una semirrecta por su extremo. 
- Paralela a una recta r a una instancia dada d. 
- Paralela a una recta r por un punto dado P exterior. 
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AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Observa que todos los ejercicios están basados en el concepto de mediatriz, así si 
queremos hacer una perpendicular por un punto P que pertenece a la recta r o es exterior a 
ella, pinchamos en el punto y con un radio auxiliar cortamos a r, en dos puntos AB. La 
solución es la mediatriz de AB. La perpendicular a una semirrecta por su extremo es igual si 
prolongamos r. 
 
APARTADO 2 - ÁNGULOS 
 
Bisectriz de un ángulo: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los lados 
del ángulo son iguales o también, recta que divide a un ángulo en otros dos iguales. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Tipos de ángulos 
- Construcción de algunos iguales 
- Suma diferencia de ángulos. 
- Bisectriz con el vértice fuera del papel. 
- Trisección de un ángulo recto. 
- Construcción de algunos usuales con el compás 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Bisectriz con el vértice fuera del papel tiene otro método (ver unidad de tangencia) 
 
APARTADO 3 - SEGMENTOS 
 
- Media geométrica o proporcional de dos segmentos dados es un segmento que es igual 
a la raíz cuadrada del producto. X=√ a x b, o también X x X = a x b 
Teorema de la Altura: la altura de un triángulo es media proporcional entre dos 
segmentos en que divide la hipotenusa. 
Teorema del Cateto: el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección 
sobre ella. (Ver actividades de autoevaluación) 
- Tercera proporcional de dos segmentos dados, es el cuadrado de uno de ellos dividido 
por el otro. X= a x a/b 
- Cuarta proporcional de tres segmentos dados, es el producto de dos de ellos dividido 
por el otro. X= a x b/c 
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QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Suma y diferencia de dos segmentos 
- Producto de un segmento por un número. 
- División en partes iguales o proporcionales. 
- Operaciones: Raíz cuadrada de un segmento. 
Producto de dos segmentos 
División de dos segmentos 
- Media proporcional, tercera proporcional y cuarta proporcional 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Observa que la raíz cuadrada de un segmento se halla igual que media proporcional si 
tomamos como valor de un segmento la unidad o también podríamos descomponerlo en 
otros dos, por ejemplo la raíz cuadrada de 12 es igual a media proporcional de dos 
segmentos de 3 y 4 (3 x 4=12), de 2 y 6, de 1 y 12. 
- Observa que producto y división de dos segmentos se halla igual que cuarta 
proporcional tomando para el tercer segmento el valor de la unidad. 
- En la resolución de producto de dos segmentos, división de dos segmentos, tercera y /o 
cuarta proporcional los segmentos sobre las rectas auxiliares se pueden llevar uno a 
continuación del otro o podemos partir del vértice del ángulo los dos y por lo tanto la 
solución también de dará a partir de ese punto. 
 
APARTADO 4 – CIRCINFERENCIAUna circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que 
equidistan de otro llamado centro. Se llama radio a dicha distancia. 
Otras líneas: diámetro, cuerda, secante, tangente y arco. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. 
- División de la circunferencia en “n” partes iguales. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados esta relacionado con el concepto 
de mediatriz. 
- División de la circunferencia en “n” partes iguales. El método general está basado en el 
Teorema de Tales y es igual para realizar polígonos regulares. 
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APARTADO 5 – ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA, ARCO CAPAZ 
 
Los ángulos respecto a una circunferencia pueden ocupar distintas posiciones: 
- ángulo central, vértice centro de la circunferencia y sus lados la cortan 
- ángulo inscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan 
- ángulo semiinscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan 
- ángulo interior, vértice dentro de la circunferencia, un lado y otro la cortan 
- ángulo exterior, vértice fuera de la circunferencia y sus lados la cortan 
- ángulo semiexterior vértice fuera de la circunferencia, un lado y otro la cortan 
- ángulo circunscrito vértice fuera de la circunferencia y sus lados tangentes 
 
Relaciones de ángulos: 
- El ángulo inscrito α y seminscrito β si abarcan el mismo arco que el central 
correspondiente su valor es la mitad, es decir, α = β/2 
- El valor del ángulo interior α es la semisuma de los centrales correspondientes β1 y 
β2 es decir, α = β1 - β2 /2 
- El valor del ángulo que tienen el vértice en el exterior α es la semidiferencia de los 
centrales correspondientes β1 y β2 es decir, α = β1 + β2 /2. Se cumple la misma 
formula, por lo tanto, en los caso de ángulo semiexterior y en el ángulo 
circunscrito. 
Arco capaz de un segmento bajo un ángulo dado: es el lugar geométrico de los 
puntos del plano bajo ese ángulo. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Calcular valor ángulos de formas geométricas 
- Calcular arco capaz y entender la aplicación de este concepto 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
En el arco capaz: 
- Si el ángulo es menor de 90º sale un arco peraltado 
- Si el ángulo es mayor de 90º sale un arco rebajado 
- Si el ángulo es igual a 90º entonces media circunferencia 
Observa que todo arco capaz que abarca al mismo segmento AB tiene el mismo 
ángulo α y su valor será la mitad del ángulo central correspondiente pues serán 
ángulos inscritos en la circunferencia si completamos el arco. 
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APARTADO 6 – POTENCIA, EJE RADICAL Y CENTRO RADICAL 
 
- Potencia de un punto P respecto de una circunferencia: es el producto de las 
distancias PA y PB, siendo A y B los puntos de corte con la circunferencia de una 
secante que pasa por P. Es una constante, y se cumple en el caso de la tangente. 
PA x PB = PT x PT, también √ PA x PB = PT. 
 
- Relación de potencia con media proporcional. Observa que si PA = b, PB = a y 
PT=x, entonces X=√ a x b 
 
Casos de potencia: 
1. Si el punto P es exterior la potencia es positiva 
2. Si el punto P es interior la potencia es negativa 
3. Si el punto P está en la circunferencia la potencia es nula. 
 
- Eje radical de dos circunferencias: es el lugar geométrico de los puntos del plano 
que tienen igual potencia respecto ambas. Se demuestra que es perpendicular a la 
unión de centros. 
- ¡Cuidado! no coincide con la mediatriz de los centros, solo cuando tienen el 
mismo radio. (Ver actividades de autoevaluación) 
 
- Centro radical de tres circunferencias: es el punto del plano que tienen igual 
potencia, donde se cortan los ejes radicales. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- La resolución gráfica de los diferentes ejes radicales según casos de 
circunferencias: secantes, tangentes, exteriores, interiores y concéntricas. 
- La resolución gráfica del centro radical cuando tengamos tres circunferencias. 
(Ver actividades de autoevaluación) 
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AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Si me piden hallar una circunferencia ortogonal a tres dadas tiene por centro el 
centro radical y por radio las longitudes de tangencia que son todas iguales. 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Conoce las características de los trazados geométricos fundamentales. 
• Realiza construcciones gráficas relacionadas con el concepto de arco capaz. 
• Comprende las características de los trazados geométricos sobre potencia. 
• Identifica cómo y cuándo se aplica concepto de lugar geométrico a casos reales. 
• Ejecuta con exactitud los distintos trazados geométricos. 
 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales 
2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y 
otro para un ángulo de135º. 
3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel 
4. División de la circunferencia en “n” partes iguales. 
5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la 
misma por los dos métodos. 
6. Hallar el centro radical de tres circunferencias dadas. 
 
 
 
 
 
 
 
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ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
 
1. Trazar la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella, utilizando el 
compás. 
2. Trazar la perpendicular a una semirrecta por su extremo, utilizando el compás. 
3. Construye con regla y compás ángulos de 60º, 75º, 15º, 120º, 135º, 45º, 22’5º. 
4. Dividir un ángulo de 180º en doce partes iguales 
5. Hallar la raíz cuadrada de un segmento AB = 45mm 
6. Deducir el valor de un ángulo interior de un decágono estrellado. Razonar 
adecuadamente la respuesta. 
7. Dadas dos circunferencias de centros 0 y 0´ y con radios de 40mm y 25mm 
respectivamente, hallar los puntos del eje radical, desde los cuales se ve el 
segmento 00´ desde un ángulo de 90º. 
8. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios. 
Utiliza los dos métodos que conoces. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales 
 
1º Por un extremo que queramos, A, trazamos una línea auxiliar formando el ángulo que 
deseemos ≈ 30º. 
2º Llevamos el número de divisiones, n = 6. 
3º Unimos la última división con el otro extremo B. 
4º Las paralelas a la recta 6B nos dan las divisiones en nuestro segmento 
 
2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y 
otro para un ángulo de135º. 
 
 
 
1º Sobre el segmento AC, se dibuja el ángulo que nos piden, 60º o 135º. 
2º Mediatriz de AB 
3º Perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A 
4º Se cortan en O que es el centro del arco solución 
 
 
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3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel 
 
 
 
1º Se dibuja una secante auxiliar a ambas rectas 
2º Se dibujan las bisectrices de los ángulos que se forman y se cortan a su vez en dos puntos 
3º La bisectriz es la recta que pasa por esos puntos 
 
4. División de la circunferencia en “n” partes iguales. 
 
 
 
1º Se divide el diámetro en tantas partes como n. 
2º Con radio el diámetro y pinchando en los extremos AL, se trazan dos arcos que se cortan en 
el punto M. 
3º Unimos M con la segunda división del diámetro, punto 2, y corta a la circunferencia en B. 
4º Se transporta la distancia AB a través de la circunferencia y comprobamos el nº de 
divisiones. 
NOTA: observa que este método sirve para hacer polígonos regulares, en este caso 
tendríamos un endecágono. 
 
 
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5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la 
misma por los dos métodos. 
 
 
 
Teorema de la altura 
1º Colocamos los segmentos AB + CD y dibujamos arco capaz de 90º 
2º Por el extremo común BC, perpendicular y corta al arco en G 
3º X= (BC) G. Observa que es la altura del triángulo rectángulo 
 
Teoremadel cateto 
1º Colocamos los segmentos AB - CD y dibujamos arco capaz de 90º 
2º Por el extremo interior D, perpendicular y corta al arco en G 
3º X= (AC) G. Observa que es el cateto del triángulo rectángulo 
 
6. Hallar eje radical de dos circunferencias exteriores y de diferente radio. 
 
1º Tangente común a ambas saco T y T’ 
2º Mediatriz de TT’ saco M 
3º Por M perpendicular a la unión de centros O1O2 
 
 
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7. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios. 
 
 
 
Será el punto intersección de los ejes radicales de las circunferencias dos a dos. 
1º Sacamos e’ que es la ⊥ a la unión de centros por el punto de tangencia, F 
2º Trazamos una circunferencia auxiliar de centro O, secantes con la O1O2. Los ejes radicales 
serán las rectas AB y CD, respectivamente y ambos se cortan en el punto E. 
Sacamos e que es la ⊥ a la unión de centros O1O2, por el punto E. 
3º La solución es el punto intersección de e’ y e, punto G, en nuestro dibujo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD 3: IGUALDAD, SEMEJANZA Y ESCALAS. 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
En esta unidad se presentan las relaciones métricas entre elementos geométricos que nos 
permitirán definir la semejanza, siendo las escalas para la construcción de planos en dibujo 
técnico, la aplicación más importante de la semejanza. 
Experimentando el uso y la construcción de escalas volantes. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
APARTADO 1- IGUALDAD 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Dos figuras son iguales cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados que se corresponden 
también iguales, es decir se pueden superponer uno encima del otro. 
Construcción de una figura igual a otra por distintos métodos: 
- por copia de ángulos 
- por coordenadas 
- por radiación 
- por triangulación 
- por traslación (ver unidad 5) 
- por cuadricula (utilizado en dibujo artístico) 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Para copiar un polígono regular o inscrito en una circunferencia igual a otro primero 
dibujaríamos la circunferencia y llevamos luego las medidas. 
- Elige el método más adecuado para cada caso. 
 
APARTADO 2 - SEMEJANZA 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente iguales y sus lados 
proporcionales e inversamente semejantes cuando sus ángulos son iguales tomados en 
sentido inverso y sus lados proporcionales. 
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La proporcionalidad entre lados se llama razón de semejanza, Κ, así tenemos: 
- Proporcionalidad directa razón de semejanza positiva, ejemplo Κ= 2/3 
- Proporcionalidad inversa razón de semejanza negativa, ejemplo Κ= -2/3 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
La construcción de una figura directamente semejante a otra se puede hacer por 
coordenadas o tomando un punto arbitrario O, (centro de homotecia, caso particular de 
semejanza que se estudiará mas adelante). Este punto también puede ser uno cualquiera 
de nuestra figura. 
 
APARTADO 3 - ESCALAS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Es la relación numérica entre el tamaño de un objeto real y su representación, ya sea en 
el plano o en el espacio. 
ESCALA = DIBUJO / REALIDAD 
- Tipos de escalas: 
Escala de reducción, Si ese cociente es menor de uno, ejemplo E= 2/3 
Escala de ampliación Si el cociente es mayor de uno, ejemplo E= 5/3 
Escala natural el cociente es igual de uno, ejemplo E=1 
- Manejo y construcción de las escalas volantes o gráficas, la escala 
transversal y el triángulo universal de escalas 
- Ejecutar dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica 
establecida previamente y las escalas normalizadas 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
La mas utilizada es la escala volante con su contra escala 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Construye figuras iguales y figuras directa o inversamente semejante a otra. 
• Resuelve y aplica problemas gráficos relacionados con la semejanza. 
• Trabaja y utiliza adecuadamente con las distintas escalas. 
• Ejecuta dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica establecida 
previamente y las escalas normalizadas. 
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en 
realidad? 
2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano 
mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta. 
3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón. 
4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s 
 
1. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando 
la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala 
serán de 10 mm. excepto la contraescala. 
 
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
 
1. Construir dos segmentos a y b cuya suma sea 70mm y cuya razón de semejanza 
sea a/b=3/4 
2. Calcula la magnitud real de un segmento que a escala 1/6, mide en el dibujo 
45mm. 
3. En un mapa, la distancia entre Madrid y Zaragoza es de 60mm. Si la distancia real 
entre ambas ciudades es de 300Km. ¿A qué escala está dibujado el mapa? 
4. En un dibujo a escala 3/8 se ha tomado una longitud de 120mm. ¿A qué longitud 
real corresponde? 
5. ¿Qué escala elegirías para dibujar en una lámina de formato DIN A-4 (210mm x 
290mm), un campo de fútbol cuyas medidas son 100 x 80mm? 
6. En una lámina DIN A-4 construir unas reglas con las siguientes escalas; 1:125, 
1;10.000 Y 1;500.000 y su contra escala 
7. Construir una escala decimal de transversales 1:500 y medir en el a una distancia 
63, 45mm. 
 
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SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide en 
realidad? 
 
Los ángulos no varían con la escala, solo lo hacen las magnitudes lineales. Las figuras 
semejantes tienen ángulos iguales lados proporcionales. 
 
2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano 
mide 248 mm. ¿A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta. 
 
La escala es E: 1:2.000.000, que sale como resultado de aplicar la formula. 
 
 
 
3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón. 
 
1º Arco capaz de 90º 
2º Introducimos ángulo de 30º en vértice B´ y corta al arco en A´ 
3º Unimos A´ con C´ (el ángulo A´C´B´ forma 60º) 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s 
 
 
1º Triángulo auxiliar con vértices P, A y B 
2º A partir de otro punto auxiliar A´ dibujamos un triángulo por paralelas, obtenemos B´ 
y luego P´ 
3º La recta solución es PP´, por ser figuras semejantes y donde se corten las rectas r y 
s sería centro de homotecia. 
 
5. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando 
la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala 
serán de 10 mm. excepto la contraescala. 
 
 
 
1º Aplicamos el teorema de Tales y dividimos la que mide 7 en 5 partes iguales. 
2º Conseguimos más unidades de la escala prolongando las dos rectas. 
3º Para trazar la contraescala dividimos la primera unidad en 10 partes iguales. 
Otro procedimiento, consiste en dividir numerador entre denominador para hallar la medida 
de la unidad de escala 7/5= 1,4; 10 centímetros de l a escala 7/5 son 14 cm. Y se divide en diez 
partes iguales. 
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UNIDAD 4: POLÍGONOS. 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Esta unidad comprende el estudio de polígonos. Se comienza con la definición, propiedades, 
clasificación para finalmente saber construirlos. Es de suma importancia saber identificar las 
características y diferencias entre los diferentes polígonos así como conocer los fundamentos 
teóricos de dichos trazados para aplicarlos después en la realización de trabajos más complejos. 
 
Los polígonos regulares, dentrode la geometría, adquiere un protagonismo, no sólo como entes 
geométricos, sino como figuras que se pueden encontrar con suma facilidad la vida cotidiana, en 
diseños industriales, constructivos, el mundo animal, etc. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
APARTADO 1- TRIÁNGULOS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Construcción de triángulos a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y 
clasificación. 
 
EQUILÁTEROS Lados =y ángulos = 60º 
ISÓSCELES Dos lados y ángulos = y el otro ≠ 
 
 SEGÚN SUS LADOS 
ESCALENOS Lados y ángulos ≠ 
ACUTÁNGULO Ángulos < 90º 
RECTÁNGULO Un ángulos = 90º 
 
 CLASIFICACIÓN 
 
 TRIÁNGULOS 
 SEGÚN SUS ÁNGULOS 
OBTUSÁNGULO Un ángulos > 90º 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Siempre hacer una figura auxiliar para observar los datos. 
- Recordar todos los triángulos son semejantes. 
- Si entre los datos hay un lado y el ángulo opuesto normalmente se resuelve por arco 
capaz. 
- Si entre los datos hay una altura el vértice estará en una paralela a ese lado. 
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APARTADO 2 - CUADRILATEROS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Construcción de cuadriláteros los a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y 
clasificación 
 
CUADRADO Diagonales = , ⊥ y lados = 
RECTÁNGULO Diagonales =,NO⊥ y lados = 2 a 2
ROMBO Diagonales ≠ ,⊥ y lados = 
 
PARALELOGRAMOS 
 Lados ⁄⁄ 2 a 2 
ROMBOIDE Diagonales ≠ ,NO ⊥ y lados = 2 a 2 
T. ISÓSCELES Simétrico, lados NO ⁄⁄ = 
T. RECTÁNGULO 2 ángulos = 90º 
TRAPECIOS 
2 lados ⁄⁄(bases) y 2 NO ⁄⁄
T. OBLICUO Trapecio puro 
 
 
CLASIFICACIÓN 
 
CUADRIÁTEROS
TRAPEZOIDES Trapezoide puro, solo condición de 4 lados 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Hacer una figura auxiliar para observar los datos 
- No todos los cuadriláteros son semejantes 
- Se pueden descomponer en triángulos y aplicar sus propiedades 
 
APARTADO 3 – POLÍGONOS REGULARES 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Definición de polígonos, clasificaciones y propiedades. 
- Construcción de polígonos regulares a partir de unos datos y conociendo sus 
propiedades y clasificación 
- Podemos utilizar distintos métodos según el dato que nos den: 
- Radio de la circunferencia circunscrita 
- Apotema desde el centro al punto medio de uno cualquiera de sus lados que 
coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono 
- Lado o perímetro que es la suma de todos ellos 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Si conocemos el radio método general: División de la circunferencia en “n” partes 
iguales, pero hay casos más rápidos si conocemos los métodos particulares así el 
 22
hexágono coincide el radio con la medida del lado. (Ver actividades de autoevaluación) 
- Todos los polígonos regulares son semejantes y este puede ser un método general si 
me dan conocido el lado o la apotema pues primero divido la circunferencia en “n” 
partes iguales con un radio auxiliar y luego aplico semejanza (vista en el tema anterior) 
 
APARTADO 4 – POLÍGONOS ESTRELLADOS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Son cóncavos. Se obtienen de unir convenientemente los vértices de polígonos 
regulares convexos. 
- Regla para obtener todos los polígonos regulares estrellados de “n” lados basta 
con tomar para valor del paso (forma de unir las divisiones) los números primos con “n” 
e inferiores a “n” medios. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
¡Cuidado! Tengo que empezar en un vértice y terminar en él sin levantar el lápiz, así por 
ejemplo, el hexágono no tiene ningún estrellado pues no se cumple la regla y lo que 
obtenemos son dos triángulos equiláteros girados 180º. (Ver más casos en actividades de 
autoevaluación) 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Identifica las características y diferencias entre los diferentes polígonos 
• Realiza las construcciones de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y 
estrellados. 
• Conocer los fundamentos teóricos de dichos trazados. 
• Aplicar dichos trazados a la realización de trabajos más complejos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
Se pide dibujar 
1. Un triángulo equilátero conocido la altura 
2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto 
3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados 
4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30, 
CD= 26 Y BC=27 
5. Pentágono regular conocido el lado 
6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos 
salen? 
 
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
 
1. Un triángulo dados los tres lados: a=50, b=48 y c=35 
2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto 
3. Un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido: a=50, c=30 y B=75º 
4. Un rectángulo conocidos el lado mayor y la diagonal 
5. Un romboide ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=35 Y 
A=35º 
6. Un romboide sabiendo que su lado mayor mide 70 y su diagonal mayor mide 100. 
El ángulo que forman las dos diagonales mide 100º 
7. Un trapecio sabiendo que sus dos bases miden 70 y 50 respectivamente y sus 
diagonales 80 y 60 
8. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo tres lados y la diagonal AB=30, 
BC=20, CD=40 y AC=45 
9. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo dos lados y el ángulo comprendido 
entre ellos, Indicar cuantas soluciones tiene el problema y de todas ellas dibujar la 
del perímetro mayor 
10. Un octógono regular y todos sus estrellados. ¿Cuántos se pueden trazar y por 
qué? 
11. Un decágono regular conocida la apotema. 
 
 
 
 24
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
Dibuja: 
1. Un triángulo equilátero conocido la altura 
 
Se dibuja un triángulo equilátero 123 auxiliar y sobre la altura se lleva la que nos dan NA, se 
resuelve por paralelas. (Basado en semejanza) 
 
2. Un triángulo conocido AC = 50mm, ángulo opuesto B = 45º y ángulo C= 60º. 
 
1º Sobre el segmento AC, se traza arco capaz de 45º, con centro donde corta la mediatriz y la 
perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A 
2º Con vértice C introducimos el ángulo de 60º y corta al arco capaz en B, que unimos con A, 
teniendo así nuestra solución. 
 
3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados 
 
 
 25
1º Dibuja un triángulo auxiliar para observar los datos 
2º Se construye un triángulo de base AE, ángulo de 45º (pues es la mitad del ángulo de 90º) y 
el otro lado la diagonal. 
3º Desde el vértice C trazo perpendicular que corta a AE en el punto B. 
 4º Completo mi rectángulo. 
Observa: Este método es igual para un triángulo rectángulo si me dan la suma de los catetos y 
la diagonal 
 
4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30, CD= 
26 Y BC=27 
 
 
1º Dibuja un trapecio auxiliar para observar los datos 
Observa que al igual que en el ejercicio anterior podemos construir un triángulo ya que DE=BC 
y AE= AB menos CD 
2º Dibújalo aplicando lo expuesto. 
 
5. Pentágono regular conocido el lado 
 
 26
 
1º Mediatriz de OM, punto L 
2º Pincho en L y con radio LA trazo arco que corta en P 
 
Observa: que con está sencilla construcción sacamos: 
El lado del pentágono = AP 
El lado del decágono = PO 
El lado del heptágono = LN siendo N donde corta la mediatriz a la circunferencia. 
 
6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. ¿Cuántos salen? 
 
 
 
 
 
1º El heptágono tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 3. 
Porque son los únicos números enteros menor de 7/2 y primos con 7. 
2º El eneágono también tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 4. 
Porque son los únicos números enteros menor de 9/2 y primos con 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27
UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Tras comenzar con las series lineales, se trata de movimientos sencillos en el plano: 
translación, giro y simetría donde la figura resultante es igual que de la que partimos. 
 
También analizaremos un caso particularde la semejanza: la homotecia y 
aprenderemos a aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
Una transformaciones una operación o conjunto de operaciones geométricas que 
permite obtener una figura plana F´ a partir de otra dada F. Se caracteriza por ser 
transformaciones biunívocas. 
Pueden ser: 
A) Según sentido en el plano 
- directas aquellas que conservan el sentido de puntos u orientación de puntos en el 
plano: traslación, giro, simetría central 
- inversas cuando no lo conservan: simetría axial 
B) Según punto comparativo entre F y F´ 
- Isométricas conservan las medidas tanto de ángulos como longitudinales: 
traslación, giros, simetrías 
- Isomórficas conservan las formas, los ángulos pero no longitudes: figuras 
homotéticas, semejantes 
- Anamórficas no mantienen las formas pero conservan los ángulos: inversión (se ve 
en 2º de Bachillerato) 
 
APARTADO 1- HOMOTECIA 
 
Se define homotecia de centro O y razón K, siendo esta distinta de cero, a la transformación 
que hace corresponder a todo punto A del plano otro A´, alineado con O y con A, de tal 
forma que se verifica: OA =OA x K siendo K= constante 
1. Homotético de un punto: se resuelva por el teorema de Tales, así si k = m/n, divido la 
distancia del centro 0A en n partes y el punto A’ estará en la paralela por el número m. 
 28
2. La homotética de una recta se demuestra que es otra paralela a ella. 
3. La homotética de una figura se resuelve como consecuencia de lo anterior 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Casos de homotecia: 
-Homotecia directa. Si K > 0, K es positiva y por tanto A y A´ tienen el mismo sentido (están 
al mismo lado de O). Además si K < 1, A´ estará entre 0 y A 
-Homotecia inversa. Si K < 0, K es negativa y por tanto A y A´ tienen distinto sentido (A´ está 
al otro lado de O), aquí si K < 1, A´ estará al otro lado pero una distancia menor que OA 
- Transformada de identidad. Cuando K=1, cualquier punto se transforma en si mismo. 
- Simetría central. Cuando K= -1 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Desde el centro de homotecia, dibujamos rectas por cada uno de los puntos y teniendo en 
cuenta los casos anteriores lo más fácil es sacar el homotético de un punto y el resto por 
paralelas como en la figura con K= 1/2 
 
En la circunferencia podemos utilizar dos radios homotéticos directos o inversos o también 
utilizar las tangentes comunes: 
- Las tangentes exteriores se cortan en un punto que es centro de homotecia directa. 
- Las tangentes interiores se cortan en un punto que es el centro de homotecia 
inverso. 
 
APARTADO 2 -TRASLACIÓN 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ aplicando a todos 
sus puntos un desplazamiento igual, es decir, la misma magnitud, dirección y sentido 
 
 29
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Por cada punto se traza paralelas a la dirección dada y tomando la magnitud con el 
compás se lleva sobre cada una de ellas en el sentido pedido uniendo finalmente cada 
punto como corresponde. ( Ver actividades de autoevaluación) 
- Recuerda que la figura solución es igual, siendo suficiente con trasladar un punto y 
luego lados paralelos. En la circunferencia sería el centro y otro punto cualquiera, ten 
esto en cuenta si nuestro polígono es regular y nos ahorraremos trabajo y mejoraremos 
la precisión 
 
APARTADO 3 - GIRO 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F´ girando cada 
punto un ángulo dado en un sentido establecido alrededor de un punto O fijo, llamado 
centro de giro. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Al igual que en los casos anteriores giro punto a punto o giro uno solo uno de ellos y dibujo 
una figura igual a partir de ese punto. (Ver actividades de autoevaluación) 
 
APARTADO 4 - SIMETRÍA 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Hay dos tipos de simetría: 
- Simetría axial o respecto de una recta r. Es aquella transformación que nos permite pasar 
de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´ de F´ 
situado al otro lado de r a la misma distancia y de tal manera que el segmento AA´ es 
perpendicular a r. 
- Simetría central o respecto de un punto O. Es aquella transformación que nos permite 
pasar de una figura F a otra F´ de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A´ 
de F´ situado al otro lado de O y a la misma distancia. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Basta con aplicar la definición dada. Tener en cuenta que las figuras son iguales y esto 
puede ahorrarnos trazados, así, si tengo un polígono inscrito en una circunferencia lo 
más práctico es simétrico del centro de la circunferencia y de otro vértice cualquiera de 
dicho polígono y luego hacer la figura igual (ver diferentes métodos en la unidad 3) 
 30
- ¡Cuidado! en simetría axial cambia el sentido de los puntos, en este caso para que no 
te confundas mejor saca el simétrico de dos para observar el movimiento. 
 
APARTADO 5- PRODUCTOS DE MOVIMIENTOS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Tienen lugar cuando se aplican dos o más movimientos o transformaciones sobre la 
misma figura. 
- El producto de dos traslaciones dan por resultado otra traslación 
- El producto de dos giros de centro O´ y O´´ y ángulos A y B es otro giro que tiene 
por centro O y ángulo C. Su centro O se determina por la intersección de las 
mediatrices de los segmentos limitados por las parejas de puntos correspondientes 
inicial y final. 
- El producto de un giro y una traslación se resuelve igual que el de dos giros, no 
olvidar que la traslación es un giro de centro impropio. 
- El producto de dos simetrías axiales es un giro cuyo centro es el punto 
intersección de los ejes de simetría 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Se recomienda comprobar los productos vistos realizando unos ejercicios. (Ver 
algunos ejemplos en las actividades de autoevaluación) 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Realizar transformaciones en el plano. 
• Resuelve problemas de homotecia 
• Aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar: 
Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado, Figura1. 
Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario, Figura2. 
 
 
2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1´5. 
 
3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2 
 
4. Traza los dos ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a 
la posición 2 
 
 32
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
 
 
1. Construye: 
Un polígono igual que el dado sabiendo que es simétrico del dado respecto del centro 
O. Un polígono homotético del dado, siendo el centro O y K= - 5/3 
 
2. Unir los puntos A y B, tocando a la recta r en otro P de manera que la distancia AP 
+ PB sea mínima. 
 B. 
A . 
 r 
 
3. Hallar la figura transformada de la figura 1 después de efectuar: un giro de +60º y 
una homotecia de razón 3/5 
4. Dado el módulo de la figura 2: 1º efectuar 4 giros sucesivos de 90º cada uno, 2º 
efectuar 8 giros sucesivos de 45º cada uno, con centro en B, 3º dibujar la simetría 
axial cuyo eje es la recta que determinan los puntos Ay B. 
 
 
 33
 
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
ra 1 
Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario. Figura 2 
 
1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar: 
Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado. Figu
 
 
Figura1: por cada vértice trazamos rectas paralelas a la dirección en el sentido indicado. 
Tomamos la magnitud con el compás y pinchando en A obtenemos A1. Repetimos la operación 
cada punto y finalmente los unimos. 
mos un arco para obtener A1. Repetimos la operacióncon cada punto y finalmente los 
s. 
2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1,5 
con 
 
Figura 2: Unimos A con O y e introducimos el ángulo de 60º en el sentido indicado. Con radio 
OA traza
unimo
 
 
A estará en la recta AO al otro lado d1
puntos y los uno para obtener la F1. 
Observa: la figura transformada mantiene los valores angul
e O a la distancia AO + 1/2 de AO. Repito con todos los 
ares y el paralelismo, sin embargo, 
ntación al ser la razón de homotecia negativa. varía la orie
 
 34
 
3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2 
 
Hallamos en centro de giro uniendo dos pares de puntos homólogos por medio de dos rectas y 
trazamos la mediatriz en los dos segmentos. Estas se cortan en O, como vemos en la solución, 
onde hemos trazado los arcos que unen los puntos homólogos. 
 ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a 
la posición 2 
 
d
 
 
4. Traza los dos
 
 
La mediatriz trazada en la recta que une dos puntos homólogos, como B y B”, es el eje de 
simetría e que nos permite trazar el triángulo A’B’C’ (posición intermedia) con un punto doble 
B” ≡ B’ en el segundo eje de simetría e’. Este es la mediatriz de la recta que une C’ con C” u 
tro par de puntos homólogos. o
 
 
 
 35
 
UNIDAD 6: TANGENCIAS 
RESENTACIÓN DE LA UNIDAD
 
P 
rencias y entre 
 
plicaciones y lo usaremos para aplicar con corrección los enlaces correspondientes. 
e se trata conceptos 
ndamentales del mismo como son la precisión y la exactitud. 
ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
 
En esta unidad además de conocer las propiedades de las tangencias realizaremos 
las construcciones básicas de tangencias entre rectas y circunfe
circunferencias, situando los correspondientes puntos de tangencias. 
Analizaremos ordenando todos los casos de tangencias estudiados para posteriores
a
 
Es un tema muy importante dentro del dibujo técnico, ya qu
fu
 
C 
PARTADO 1- PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS Y ENLACES
 
A 
 
a, es el pie de la 
cunferencias son tangentes, el punto de tangencia, está en la línea unión de 
iguales, es decir, que la 
ircunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz 
del ángulo que formen. 
ben ir acompañadas de un razonamiento 
ota:
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER
Propiedades de las tangencias: 
- Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangenci
perpendicular trazada por el centro de la circunferencia a la tangente. 
- Si dos cir
centros. 
- Todo radio perpendicular a una cuerda, la divide en dos partes 
mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. 
- El centro de cualquier c
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Las tangencias tienen por objetivo unir circunferencias y rectas mediante otras 
circunferencias y rectas. Las construcciones de
para que no se olviden rápidamente. 
N Debemos marcar siempre el punto de tangencia entre las líneas. 
 
 
 36
 
APARTADO 2 – TRAZADO DE RECTAS 
- pasan por un punto: 
b) El punto es exterior a la circunferencia 
Re nferencias de distinto radio 
 
b) Tangentes interiores 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Rectas tangentes a una circunferencia que
a) El punto pertenece a la circunferencia 
 
- ctas tangentes a dos circu
a) Tangentes exteriores 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Rectas tangentes a una circunferencia por un punto dado 
- Si el punto T pertenece a la circunferencia de centro O, se resuelve igual que 
perpendicular a una semirrecta r= OT por su extremo siendo este el punto. (Ver unidad 
 corta a la dada en los puntos de tangencia T1T2. La 
solución son las rectas PT1 y PT2. 
2). 
- Si el punto P es exterior a la circunferencia se une con el centro O y por el punto medio 
M se dibuja la circunferencia que
 
- Rectas tangentes a dos circunferencias de distinto radio r1 Y r2, 
- Tangentes exteriores, esta basado en el caso tangentes a una circunferencia desde un 
punto P es exterior a ella, se reduce la circunferencia de radio menor r1 a un punto P y la 
otra r2 – r1 = r3 a una circunferencia de radio r3. Las soluciones serán paralelas hacia a 
ancia r2 a las rectas halladas. 
(Ver ejemplos en las actividades de autoevaluación). 
PARTADO 3 – TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIDO EL RADIO
fuera la distancia r2 a las rectas halladas. 
- Si son tangentes interiores en lugar de restar radios se suman r2 + r1 = r3 y todo igual. 
Las soluciones serán paralelas hacia el interior la dist
 
A 
- n por un punto P y son tangentes a una recta r: 
cta 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- A dibujar casos sencillos aplicando las propiedades de las tangencias. 
Circunferencias que pasa
El punto esta en la re
 37
El punto es exterior 
- Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de 
ircunferencia 
entro O. 
Circunferencias tangentes a dos circunferencias de centro O y O’. 
APARTADO 
centro O: 
El punto esta en la c
El punto es exterior 
- Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan 
- Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia de c
- 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL 
Llamemos al radio dado d 
- Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r: 
- Si P está en la recta los centros solución estarán en la perpendicular por P y a la 
 una paralela a la recta a una distancia d 
 pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de 
distancia d. 
- Si P es exterior los centros solución estarán en
y en una circunferencia con centro P y radio d. 
- Circunferencias que
centro O y radio r: 
- Si el P está en la circunferencia, los centros solución estarán en la recta PO y en la 
solución 
ión exteriores a la dada) 
circunferencia con centro P y radio d. 
- Si el punto P es exterior los centros solución estarán en una circunferencia de centro P 
y radio d y en otras circunferencias de centro O y radio d - r (circunferencias 
interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias soluc
- Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan 
- Los centros solución están en la intersección de las rectas paralelas a las dadas a la 
distancia d. Tiene cuatro soluciones. 
- Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia. 
- Los centros solución están en las recta paralela a la dada a la distancia d y en las 
circunferencias de centro O y radios radio d - r (circunferencias solución tangentes 
interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias solución tangentes exteriores a la 
dada). Es el mismo método independientemente de que la recta dada sea exterior, 
tangente o secante a la circunferencia dada. El ejercicio tendrá más o menos soluciones 
ngentes a dos circunferencias de centros O y O’ y de radio r y s 
dependiendo como estén colocados los datos. 
- Circunferencias ta
respectivamente 
- Los centros solución para las circunferencias exteriores estarán en la intersección de 
circunferencias de centro O y O’ y radios d+r y d+s. 
 38
- Los centros solución para las circunferencias interiores estarán en la intersección de 
rcicio tendrá más o menos soluciones 
dependiendo como estén colocados los datos. 
PARTADO 4 - ENLACES
circunferencias de centro O y O’ y radios d-r y d-s. 
- Observa: es el mismo método, independientemente de que las circunferencias dadas 
sean exteriores, tangentes o secantes. El eje
 
A 
io de uno de los arcos. 
 rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio, conociendo puntos de 
 mediante dos arcos, conociendo el radio de uno de 
ellos y los puntos de tangencia. 
os principios que 
s tangencias, simplemente la solución va de punto a punto de tangencia. 
RITERIO DE EVALUACIÓN
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Enlace entre puntos dados, conociendo el rad
- Enlazar rectas cualquiera con un radio dado. 
- Enlazar dos
tangencia. 
- Enlazar dos rectas cualesquiera
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
El enlace entrelíneas y arcos de circunferencia se fundamenta en los mism
la
 
 
C 
mente el trazado de 
acteres gráficos en los que intervengan rectas y circunferencias 
tivos sencillos de uso cotidiano en los que intervengan casos de 
tangencias 
CTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
 
• Conoce las propiedades de tangencias y aplica correcta
tangencias y la determinación de los puntos de tangencias 
• Diseña car
enlazadas 
• Diseña obje
 
 
A 
 
1. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias. 
2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r. 
 39
3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de 
tangencia en una de ellas. 
o exterior P. 
T de ella y que pase por otro 
P exterior. 
ras dos. 
4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase 
por un punt
5. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto 
6. Circunferencias exteriores de radio dado a ot
 
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
 
1. Trazar las tangentes a unas circunferencias desde un punto exterior a ella. 
ntes entre si. 
 
rencia. 
 de 
tangencia. 
7. Dibuja el gancho de la figura determinando los centros y puntos de tangencia. 
 
2. Trazar tres circunferencias de igual radio, tangente interiores a un triángulo 
equilátero y tangentes entre si. 
3. Trazar cuatro circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra 
circunferencia y tange
4. Trazar cinco circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra circunferencia 
y tangentes entre si.
5. Traza las circunferencias de radio dado, que pasan por un punto y son tangentes a 
otra circunfe
6. Dibuja la pieza mecánica de la figura determinando los centros y puntos
 
 
 
 
 40
 
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias. 
 
 
 
1
 
 
Tangentes exteriores: las circunferencias dadas, de centros O1 y O2 tienen de radios r1 y r2, 
respectivamente. Con centro en O2 se traza una circunferencia de radio r2 – r1 y desde O1 se 
trazan las tangentes a ella, rectas m y n. Las rectas tangentes soluciones son paralelas a ellas, 
s puntos de tangencia F, G, D y E se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las 
puntos de tangencia B y C al unirlos con O2 
btenemos D y E y si trazamos radios paralelos por O1 sacamos F y G obteniendo nuestras 
angentes interiores:
lo
tangentes auxiliares. 
 
Observa que también una vez sacados los 
o
tangentes solución sin haber dibujado m y n. 
 
T se resuelve como el anterior, pero trazando con centro en O2 la 
 
2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r. 
circunferencia auxiliar de radio r1 + r2. 
 41
 
1º Se trazan paralelas a las rectas t y s a la distancia dada r por ambos lados, estas se cortan 
en los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las circunferencias solución. 
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta dada, obtenemos los 
puntos de tangencia de las circunferencias con dicha recta. 
 
3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de 
tangencia en una de ellas. 
 
1º Los centros solución O1y O2, estarán en la perpendicular a T por el punto de tangencia T y 
en la bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas s y t con vértice V. 
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta s, obtenemos los 
puntos de tangencia T1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta. 
 
4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase 
r un punto exterior P. po
 42
 
 
1º Los centros solución O1 y O2, estarán en la paralela a t a una distancia r y en la 
circunferencia de radio r y centro P. 
2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta t, obtenemos los 
puntos de tange 1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta. 
. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto T de ella y que pase por otro 
ncia T
 
5
P exterior. 
 
 
El centros solución O’ estará en la mediatriz de los puntos PT y en la recta OT. 
Circunferencias exteriores de radio dado a otras dos. 
 
6. 
 
 
 
 43
 
 
 
1º A r1 y r2, radios de las circunferencias dadas, le sumamos s 
2º Pinchando con centros O1 y O2, trazamos arcos que se cortan
rencias solución. 
 O3 y O4, centros de las 
º Al unir por medio de rectas los cuatro centros, obtenemos los puntos de tangencia de las 
circunfe
3
circunferencias solución con las dadas. 
 
 
 
 
UNIDAD 7: CURVAS TÉCNICAS 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Las curvas técnicas son la respuesta del dibujo geométrico que da la trayectoria o 
pués dibujarlas, 
istinguiendo el origen y características de cada una de ellas. 
ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
comportamiento que algunos elementos tienen, en disciplinas tan dispares como la 
mecánica o el diseño de carreteras. Las teorías surgen precisamente como 
respuestas y solución a los problemas que se plantean en la práctica. 
 
Estudiaremos las propiedades de las curvas técnicas para des
d
 
C 
 
APARTADO 1- OVALOS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
 44
- Construcción de un óvalo conocido el eje mayor. 
 eje menor. 
 dado. 
YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
ía está formada por cuatro arcos de 
ircunferencia iguales dos a dos. La aplicación práctica más importante en dibujo 
erspectivas, pues suelen sustituirse, de forma 
n de un óvalo inscrito 
 
- Construcción de un óvalo conocido el
- Construcción de un óvalo conocido los dos ejes. 
- Construcción de un óvalo inscrito en un rombo
 
A
Al ser una curva que tiene dos ejes de simetr
c
técnico está en el trazado de p
aproximada, las elipses por óvalos, sobre todo con la construcció
en un rombo dado. (Ver unidad 14, circunferencia en axonométrico).
 
APARTADO 2 - OVOIDES 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
u eje. 
nocido su eje y su diámetro 
 
onstrucción de un ovoide conocido su diámetro se realiza igual que la mitad de la 
onstrucción de un óvalo conocido el eje menor. 
- Construcción de un ovoide conocido s
- Construcción de un ovoide conocido su diámetro 
- Construcción de un ovoide co
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO
C
c
(Ver actividades de autoevaluación de la unidad). 
 
APARTADO 3 – ESPIRALES Y HÉLICES 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Construcción de la espiral de Arquímedes conocido el paso. 
cido el paso. 
Construcción de la evolvente del círculo conocido el radio 
cción de una hélice cónica conocido el diámetro y el paso 
las 
- 
- Construcción de una voluta de varios centros cono
- 
- Construcción de una hélice cilíndrica conocido el diámetro y el paso 
- Constru
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Estás curvas son menos utilizadas que las anteriores por lo que se recomienda conocer
pero no dedicarlas tanto tiempo. 
 45
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Domina los procedimientos de construcción de las curvas estudiadas 
• Reconoce las características y particularidades de cada una de ellas 
 Aplica las construcciones en ejercicios de mayor complejidad •
 
 
 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y 
idas 
 que faltan, al saber que estas tienen que ser 
tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente. (ver figura actividad 6 para 
enviar al tutor) 
3. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una 
vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal 
forma que recorre1,5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita 
en 12 segundos 
4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm. 
 
CTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
55mm. 
2. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conoc
las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazarlas 
dos circunferencias laterales
 
A 
. Construcción de un óvalo conociendo su eje mayor AB = 70 mm. 
. Inscribir un óvalo en un rombo conocido el lado 54 mm. y una diagonal 93 mm. 
. Construcción de un ovoide conocido su eje mayor AB = 60 mm. 
. Construcción de la espiral de Arquímedes de paso 60mm. 
. Construcción de una voluta de tres centros sabiendo que el paso son 15 mm. 
. Construcción de un ovoide dadas las circunferencias de cabeza y pie y el punto de 
tangencia T en una de ellas. 
 
1
2
3
4
5
6
 
 46
 
 
 
 
 
 
DE AUTOEVALUACIÓN
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES 
 
1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y 
55mm 
 
1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O y uno AC 
2º Pincho en O y con radio OA saco el punto E y pincho en C y con radio CE saco el punto F. 
3º La mediatriz de AF corta al eje en los puntos G y H y saco sus simétricos I y J. 
ia K, L, N y M. 
 
. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conocidas 
las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las 
4º Los centros solución son G, H. I y J, y marco los puntos de tangenc
2
 47
dos circunferencias laterales que faltan, al saber que estas tienen que ser 
tangentes a la cabeza en T y T’, respectivamente. 
 
1º Se trazan los ejes DA y TT’, la semicircunferencia con centro en A es parte de la solución. 
2º A partir de los puntos T y T’ trazo hacia adentro y con radio R los puntos E y F 
3º Se trazan las mediatrices de los segmento B y FB, que cortan a la prolongación del 
iámetro TT’ en los puntos G y H, que son centros de arcos solución. 
. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una 
forma que recorre1, 5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita 
en 12 segundos 
s E
d
4º Si unimos G y H con B, obtenemos los puntos de tangencia S y S’ 
 
 
3
vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal 
 
 
Se trata de una espiral de Arquímedes en la que sobre el radio se han tomado distancias y 
a bolita en 1 segundo a recorrido 
,5 cm. en el tocadiscos ha girado 60º. 
4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm. 
sobre la circunferencia tiempos. De tal forma que mientras l
1
 
 48
 
1º divido el paso en cuatro partes iguales para construir un cuadrado y prolongo sus lados. 
º Pincho en M y con radio MQ saco el punto R. 2
3º Pincho en N y con radio NR saco el punto S. 
4º Repito la operación para ir dando forma a nuestra voluta. 
 
 
UNIDAD 8: CURVAS CÓNICAS 
 
 PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Una vez conocido el origen de estas curvas llamadas cónicas, veremos que son de 
ran utilidad por las aplicaciones que las mismas tienen en la técnica. Se hace un 
iferenciando las distintas formas de generarse y las 
aracterísticas de cada una para una futura resolución de diferentes ejercicios. 
CO TES DE LA UNIDAD
g
estudio pormenorizado d
c
 
Al contrario que las curvas técnicas, estas no se pueden dibujar por arcos de compás, 
sino que se unen los puntos hallados a mano. 
 
NCEPTOS IMPORTAN 
 
Las cónicas son unas curvas que se obtienen al cortar un cono de revolución por un plano 
de manera que si el p
- no perpendicular la sección que se genera es una 
lano de corte lo hace: 
Cortando a todas las generatrices y
elipse (si es perpendicular es una circunferencia). 
- Si cortamos por un plano paralelo a una generatriz, la cónica que se origina es una 
 49
parábola. 
- Cuando el plano es paralelo a dos generatrices se origina una hipérbola. 
 
APARTADO 1 - ELIPSE 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Definición es una curva cerrada, plana y cuyos puntos constituyen un lugar geométrico 
que tiene la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros 
 e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor. dos fijos, llamados focos es constante
PF+ PF’ = 2a = AB = CTE. 
- Elementos y propiedades. 
La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O. 
Eje mayor = AB = 2a 
Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor. 
ro en F o FL y cuyo radio es el eje mayor. 
Diámetros conjugados: son aquellos en que uno es el lugar geométrico de los puntos 
al otro. Hay infinitas parejas de diámetros conjugados. 
Eje menor = CD = 2b 
Distancia focal = FF’ = 2c 
Circunferencia focal: su cent
medios de las cuerdas paralelas 
Excentricidad e = c/a, valores 0 < e< 1 
- Construcción de la elipse por los diferentes métodos: por puntos (basada en la 
definición, ver actividades), por afinidad y conociendo una pareja de diámetros 
AYU
- Si nos dan conocidos los ejes
conjugados. 
 
DA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
 podemos sacar los focos pues la distancia 
CF la mitad del eje mayor, AB 
- Si n
=CF’=DF=DF’=a, siendo a, 
os dan la distancia focal FF’ y uno de los ejes AB o CD podemos hallar el otro de la 
- es muy sencillo si 
 
AP
misma forma. 
A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano 
aplicamos la definición PF + PF’ = 2a y vamos tomando puntos entre los focos. 
ARTADO 2 - HIPÉRBOLA 
 
e los 
puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos es constante e 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Definición es una curva plana, abierta y con dos ramas. Es el lugar geométrico d
 50
igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real. 
PF- PF’ = 2a = AB = CTE. 
- Elementos y propiedades. 
La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y por tanto de su centro, el punto O. 
Eje real= AB = 2a 
Eje imaginario = CD = 2b 
Distancia focal = FF’ = 2c 
Circunferencia principal: centro en O y diámetro el eje mayor. 
Circunferencia focal: su centro en F o F´ y cuyo radio es el eje mayor. 
Hipérbolas conjugadas: son aquellas en que el eje real de una es el eje imaginario de la 
otra. 
Hipérbola equilátera cuando el eje real = al eje imaginario. 
s 1< e<∞ 
Las asíntotas 
Excentricidad e = c/a, valore
- de una hipérbola son tangentes a la curva en el infinito. 
puntos- Construcción de la hipérbola por (basada en la definición, ver actividades). 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Si nos dan conocidos los ejes que son perpendiculares y simétricos respecto al punto 
 podemos sacar los focos F y F’, construimos un rectángulo ⊥ por A y B al eje 
je por los puntos C y D y la distancia focal es igual a las 
- 
medio O,
que se corta con las ⁄⁄ al e
diagonales de este rectángulo. 
Si nos dan la distancia focal y uno de los ejes, ejemplo CD podemos hallar el otro, AB, 
inscribiendo el rectángulo de lado CD en una circunferencia de diámetro FF’. 
- 
s diagonales de ese rectángulo y que nunca serán rebasadas por la 
 
A partir de aquí sacar puntos de la curva para luego unirlos a mano, es muy sencillo si 
aplicamos la definición PF - PF’ = 2a. Podemos también dibujar las asíntotas, que 
coinciden con la
curva. 
APARTADO 3 - PARÁBOLA 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
 y de una sola rama. Es el lugar geométrico de los - Definición es una curva plana, abierta
puntos del plano que equidistan de un fijo F, llamado foco y de una recta d, llamada 
directriz. Si llamamos a la distancia del punto a la directriz PM, se cumple: 
PF= PM 
- Elementos y propiedades. 
La parábola es simétrica respecto del eje, que es perpendicular a la directriz. 
 51
El vértice como otros puntos equidista del foco y de la directriz, siendo también la mitad 
del parámetro. 
El parámetro es un dato suficiente para definir la curva, es la semicuerda perpendicular 
el eje en el foco, es decir, igual a la distancia del foco y del punto intersección del eje 
En la parábola será la tangente en el vértice la que haga de circunferencia principal y la 
encia focal de radio ∞. 
con la directriz. 
directriz la que haga de circunfer
- Construcción de la parábola por puntos (basada en la definición,ver actividades de 
autoevaluación de la unidad) 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
co y la directriz- Si nos dan conocidos el fo podemos hallar el vértice que está en el punto 
medio del foco y del punto intersección del eje con la directriz, es decir, AV = VF. 
- Si nos dan el parámetro entonces FN = FA, siendo A el punto intersección del eje con la 
ego unirlos a mano es muy sencillo, solo 
tenemos que aplicar la definición PF = PM, siendo M un punto intersección de la directriz 
directriz y siendo N el punto que pertenece a la parábola. N es extremo de la 
semicuerda junto con F. 
- A partir de aquí sacar puntos de la curva para lu
con la paralela al eje desde P. 
 
APARTADO 4 – TANGENTES A LAS CURVAS CÓNICAS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Las tangentes en un punto de la curva se obtienen como bisectriz del ángulo formado 
por los radios vectores del punto, FPM. 
- La normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. 
stá en la circunferencia focal del 
en la parábola. 
pse e hipérbola, de los focos sobre cualquier 
tangente están en la circunferencia principal. En la parábola caerá sobre la tangente en 
el vértice, tv. 
YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
az un dibujo para observar las propiedades explicadas. 
 
Propiedades interesantes: 
- El simétrico de un foco respecto de cualquier tangente e
otro foco (elipse e hipérbola) y en la directriz 
- Las proyecciones ortogonales en eli
 
A
H
 52
Otra forma para obtener las tangentes en las curvas: dibujamos una de las circunferencias 
cales y unimos FP hasta cortar a la circunferencia focal de centro F en el punto M. La 
la mediatriz de MF’. 
fo
tangente solución es 
Recuerda: en la parábola la directriz hace de circunferencia focal 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Reproduce las construcciones de las diferentes curvas 
• Conoce sus propiedades, elementos y puntos notables 
• Aplica su trazado en dibujos más complejos 
• Crea diseños utilizando dichas curvas 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición 
con un punto. 
2. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de 
3. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y 
dibuja la tangente en ese punto. 
4. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola, 
dibuja por P la tangente y la normal a la curva. 
5. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm. 
 
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR
diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm 
 
 
. Construir por puntos la elipse cuyos ejes miden 2a=80mm y 2b=50mm 
. Construir la elipse de la que se conocen una pareja de diámetros conjugados de 
80mm y 60m que forman entre si un ángulo de 60º. 
Construir la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2c=80mm 
1
2
3. 
 53
4. Determinar un punto de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y 
dibuja la tangente y la normal en ese punto. 
arábola conocido el eje, la tangente en el vértice y un punto de ella. 
5. Construir una parábola conocido el parámetro=23 mm. 
6. Construir una p
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Construir por puntos una elipse. Dibuja los diferentes elementos y da se definición 
con un punto. 
 
1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O. Pincho en C y con radio a, saco F y F’. 
: Eje mayor AB 2a, eje menor CD 2b y distancia focal FF’ 2c 
. Construir la elipse empleando la circunferencia principal y la circunferencia de 
diámetro 2b. Datos: 2a=80mm y 2b=50mm 
Saco los diferentes puntos. M pertenece a la curva porque se cumple que: MF+ MF’= 2a 
2º Elementos = = =
3º Radios vectores r y r’, que cumplen r + r’ = 2a. 
 
2
 54
 
1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O Y dibujo las dos circunferencias 
2º Trazo diámetros cualquiera de la circunferencia mayor, corta a las circunferencias en los 
je mayor, se cortan en C, punto 
 
3. Determinar un punto M de la hipérbola cuyos datos son: 2a=60mm y 2d=70mm y 
dibuja la tangente en ese punto. 
puntos A y B. Por B paralela al eje menor y por A paralela al e
de la elipse. 
3º Repito la operación, es más fácil si los diámetros dividen a la circunferencia en partes 
iguales. 
 
 
 
 
1º M pertenece a la curva porque se cumple que: MF- MF’= 2a 
trico de F’ 
al del otro foco. 
 
. Dibuja los diferentes elementos y da la definición con un punto P de una parábola, 
dibuja por P la tangente y la normal a la curva. 
2º Circunferencia focal, pincho en F y con radio 2a 
3º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por FMF’, Observa que el simé
respecto a la tangente es el punto M’ y que está en la circunferencia foc
4
 55
 
1º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = a la distancia de V la directriz. M pertenece a 
la curva porque se cumple que: MF= M’F 
erva que el simétrico de F’ 
. 
. Construir una parábola cuya distancia del foco al vértice es de 15mm. 
 
 
a 
2º La tangente es la bisectriz del ángulo formado por M’MF, Obs
respecto a la tangente es el punto M’ y que está en la directriz de la parábola
3º La normal es la perpendicular a la tangente en su punto de tangencia, M. 
 
 
 
5
 
 
º Trazo el eje perpendicular a la directriz. VF = VA = 15 mm. 
º Tomo puntos arbitrarios en el eje y por ellos paralelas a la directriz 
º Tomamos la distancia de esos puntos a el punto A y pinchando en F corto a la paralela 
orrespondiente. 
º La curva se traza a mano, con ayuda de plantilla de curvas. 
1
2
3
c
4
 
 56
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 9: SISTEMA DIÉDRICO: MÉTODOS. 
RESENTACIÓN DE LA NIDAD
 
P U 
ras dejar atrás la ge metría 
descr ecir, n una ter 
Estudiaremos los elementos geométricos fundame pun
las relaciones que hay entre ellos como la pe
 
Es necesario en principio entender la necesidad y la importancia los
de representación y conocer el fundamento teórico del sistema diédrico, resolviendo 
roblemas del punto, la recta y el plano. Importancia de la utilidad de la tercera 
cionarla con las pistas de perfil. 
LA UNIDAD
 
T ometría plana, se com
se introduce una dimensión co
ienza con el estudio de la geo
iptiva, es d cera coordenada.
ntales como to, recta y plano y 
rtenencia. 
 distintos sistemas 
p
proyección empezando a rela
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE 
presentar objetos reales de 3D en soporte plano de 2D y viceversa. 
 
Finalidad: re
 57
Fundamento: está basado en la Proyección. 
 
Sistema Diédrico 
Sist. Axonométrico 
Ortogonal 
ORTOGONAL 
Rayos de proyección 
perpendiculares al plano 
de proyección. 
Sistema acotado 
 
CILÍNDRICAS 
Rayos de proyección 
pa
 
 
 
TIPOS DE ralelos entre sí. 
Observador en el infinito OBLICUAS 
Rayos oblicuos al plano. 
Sist. Axon. Oblicuo 
Perspectiva caballera
PROYECCIONES 
CÓNICAS 
Rayos forman haz cónico 
ropio. 
 Sistema Cónico 
Perspectiva cónica 
desde un punto p
 
Características importantes: 
- La proporcionalidad de segmentos se cumple en la proyección cilíndrica pero por lo 
general no en las proyecciones cónicas. 
- La disposición de los elementos, (observador - objeto - plano de proyección) y distancia 
entre estos no influye en proyección cilíndrica pero si en las proyecciones cónicas. 
 
APARTADO 1- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Y POSICIONES 
 
El sistema diédrico utiliza dos planos de proyección PV y PH perpendiculares entre si y se 
l) Y F1 
cortan en la LT, divide al espacio en cuatro cuadrantes o diedros. En la representación 
diédrica se dibuja la LT y las dos proyecciones del objeto F2 (proyección vertica
(proyección horizontal). 
Podemos hablar de los planos bisectores que pasan por la LT formando 45º con los planos 
e proyección. El primer bisector atraviesa el primer y tercer cuadrante y es segundo 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
El punto queda representado por susdos proyecciones A1 y A2. 
d
bisector el segundo y cuarto cuadrante. 
 58
 
• Cota es la distancia de un punto al PH (se ve reflejada en el PV). Cota positiva si el 
l PH. punto esta por encima del PH, cota negativa si el punto esta por debajo de
• Alejamiento es la distancia de un punto al PV, (se ve reflejada en el PH). Alejamiento 
positivo si está por delante del P V y alejamiento negativo si está por detrás del P V. 
Representación de los diferentes tipos de puntos: 
 
 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
erencia que son 
erpendiculares a la LT. 
ntos situados: 
Los puntos de ambas proyecciones se corresponden mediante líneas de ref
p
Si observas su representación los pu
- en el primer cuadrante tienen la proyección vertical por encima de la LT y la horizontal 
por debajo. 
- en el segundo cuadrante tienen las dos proyecciones por encima de la LT. 
- en el tercer cuadrante tienen la proyección horizontal por encima de la LT y la vertical 
por debajo, ( al revés que los situados en primer cuadrante). 
- en el cuarto cuadrante tienen las proyecciones por debajo de la LT. 
- en el PV tienen solo proyección vertical y la horizontal está sobre la LT. 
- en el PH tienen solo proyección horizontal y la vertical está sobre la LT. 
 59
 
Representación de puntos por coordenadas 
 
El punto queda definido por sus proyecciones diédricas P(X,Y,Z) cuyo significado es (distancia
l origen, alejamiento, cota) y cuyos sentidos positivos y negativos se representan en la figura. 
 
a
 
APARTADO 2 – REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE RECTAS 
 
Una recta se representa por sus dos proyecciones r1 y r2 o se puede definir por dos 
puntos: A1-A2 y B1-B2 
Las trazas son los puntos intersección con los planos de proyección: V y H. 
enta 
ontinua, la parte de la recta que pasa por primer 
ectores, ángulos, etc. 
ectas oblicuas, suelen atravesar tres cuadrantes. 
Observa los siguientes ejemplos de cómo hallar trazas y cuadrantes por los que pasan las 
rectas oblicuas. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Hallar trazas y cuadrantes por los que pasa, dibujar partes vistas y ocultas (se repres
como visto y por tanto con línea c
cuadrante), intersecciones con los planos bis
R
 
 
Posiciones particulares de las rectas: 
- Recta horizontal o ⁄⁄ al PH (r2 ⁄⁄ LT y r1 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT) 
- Recta frontal o ⁄⁄ al PV (r1 ⁄⁄ LT y r2 forma ángulo α en verdadera magnitud con LT) 
- Recta vertical o ⊥ al PH (r2 ⊥ LT y r1 es un punto en el PH) 
- Recta de punta o ⊥ al PV (r1 ⊥ LT y r2 es un punto en el PV) 
 60
- Recta ⁄⁄ a la LT(r2 ⊥ r1, quedan ⁄⁄ al a LT) 
s de perfil y 3ª proyección) 
ores 
- Recta de perfil, (r2 y r1⊥ LT, ver plano
- Recta que pasan o se cortan con la LT ( V y H sobre la LT) 
- Recta oblicua contenidas en los planos bisectores (r2 y r1 = α con respecto a la LT) 
- Rectas paralelas a los bisectores 
- Rectas perpendiculares a los bisect
 
 
 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
contenidas en los planos de perfil, sus 
royecciones quedan superpuestas y perpendiculares a la LT por lo que hay que observar 
tes, trazas, partes vistas y ocultas, ángulo que forma 
iones hay que dar dos 
Las rectas de perfil son aquellas que están 
p
tercera proyección para ver cuadran
con el PV y PH, distancia a la LT, etc. 
Una recta de perfil no queda definida solo al conocer sus proyecc
puntos de ella. 
 61
 
APARTADO 3 - REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE PLANOS 
 
Un plano se representa por sus trazas, que son la intersección con los planos de 
proyecciones. El punto en el que se cortan con la LT se llama vértice de trazas. 
Un plano se puede definir por: 
- Tres puntos no alineados. 
- Una recta y un punto exterior a ella. 
- Dos rectas paralelas 
- Dos rectas que se cortan (no que se crucen) 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Hallar trazas y conocer la representación y características de los diferentes tipos de planos. 
Si el plano es oblicuo, caso general atraviesa los cuatro cuadrantes 
Tipo de planos: 
- Plano horizontal o paralelo al PH (solo tiene α2 ⁄⁄ LT y la figura,F1 se en verdadera 
magnitud en el PH) 
- Plano frontal o paralelo al PV (solo tiene α1 ⁄⁄ LT y la figura F2 se en verdadera magnitud 
en PV) 
- Plano proyectante horizontal o perpendicular al PH (α2 ⊥ LT y α1 forma ángulo ϕ en 
verdadera magnitud con LT) 
- Plano proyectante verticales o perpendicular al PV (α1 ⊥ LT y α2 forma ángulo ϕ en 
verdadera magnitud con LT) 
 LT, trazas confundidas, observar 3ª 
ª 
proyección) 
- Plano de perfil o perpendicular al PH y PV(α2 y α1 ⊥
proyección) 
- Plano paralelos a la LT (α2 y α1 ⁄⁄ LT, observar 3º proyección) 
- Plano que pasa por la LT, se define con un punto, (α2 y α1 contenidas en LT, observar 3
 62
- Planos oblicuos perpendiculares a los bisectores. 
 
 
 
Representación del plano mediante coordenadas. 
Como en el caso del punto, nos dan tres coordenadas α(X,Y,Z) cuyo significado es distinto, 
(distancia al origen al vértice del plano, alejamiento de la traza horizontal α1 en el origen, 
o dan definido por dos rectas r y s, se reduce a 
a pues P1 y P2 se cortan en LT.(Ver pertenencias) 
IÓN
cota de la traza vertical α2 en el origen) y cuyos sentidos positivos y negativos son iguales. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Para hallar trazas del plano cuando me l
sacar las trazas de las rectas y P2 pasará por Vr y Vs y P1 pasará por Hr y Hs. No es 
necesario sacar todas las trazas de la rect
 
APARTADO 4- TERCERA PROYECC 
MOS QUE APRENDER 
 
QUE TENE
 63
Además de PV y PH se necesita un tercer plano de proyección que es de perfil y se 
abate sobre el PV o PH. Aprenderemos en tercera proyección: 
Representación de un punto 
Representación de una recta 
Representación de un plano 
YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
tos se deben girar en el mismo sentido. Para recordar 
razaremos paralela a la LT por la proyección 
 
A
Para que sea efectivo todos los pun
como quedan, si abatimos sobre el PV, t
vertical y giraremos la horizontal: 
 
- en el primer cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular 
hasta encontrar a la anterior paralela. 
- en el segundo cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular 
hasta encontrar a la anterior paralela. 
- en el tercer cuadrante se giran hacia abajo a la izquierda hasta la LT Y perpendicular 
hasta encontrar a la anterior paralela. 
- en el cuarto cuadrante se giran hacia arriba a la derecha hasta la LT Y perpendicular 
hasta encontrar a la anterior paralela. 
Evidentemente si observamos la cruz del sistema cada uno de ellos caerá en su respectivo 
cuadrante. 
Una aplicación inmediata de la tercera proyección es la de hallar las trazas de las rectas de 
erfil, así como ángulos, cuadrantes, etc. (Ver apartado 2 de la unidad) 
aralelos a la LT y los que pasa por la LT
p
Los plano de perfil, p , normalmente para trabajar 
mbién, en tercera proyección con ellos hay que hacerlo, ta
 
APARTADO 5 - PERTENENCIAS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
 64
Pertenencias, (observa la primera imagen): 
- De un punto a una recta, un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones 
están sobre las homónimas de la recta.(P2 sobre r2 y P1 sobre r1) 
- De una recta a un plano, una recta pertenece a un plano cuando sus trazas están sobre 
las homónimas del plano. (Vr sobre α2 y Hr sobre α1) 
De un punto a un plano,- un punto pertenece a un plano cuando pertenece a una recta 
de dicho plano. 
 
 
Rec
Rectas horizontales
tas singulares: 
, (r1 ⁄⁄ α1) 
Rectas frontales, (r2 ⁄⁄ α2) 
Rectas de máxima pendiente o ⊥ a las horizontales del plano ( r1 ⊥ α1) 
Rectas de máxima inclinación o ⊥ a las frontales del plano (r2⊥ α2) 
Rectas de perfil (Vr sobre α2 y Hr sobre α1) 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO) 
Las rectas de máxima pendiente o de máxima inclinación definen un plano. 
Por otro lado con horizontales o frontales podemos sacar fácilmente una de las 
tra y si me dan lasdos proyecciones de la 
CRITERIO DE EVALUACIÓN
proyecciones de una figura cuando me dan la o
figura puedo hallar una de las trazas del plano. 
 
 
 
 65
• Comprende la necesidad y la importancia los distintos sistemas de representación. 
• Conoce los fundamentos teóricos del sistema diédrico. 
• Resuelve problemas relacionados con el punto, la recta y el plano. 
• Realiza una proyección conocida la otra de una figura dada. 
• Entiende la unidad de la tercera proyección empezando a relacionarla con las 
pistas de perfil. 
DES DE AUTOEVALUACIÓN
 
ACTIVIDA 
 
1. Trazar las proyecciones diédricas de estos puntos: 
A, situado en el 3 cuadrante, con mayor cota que alejamiento. 
B, situado en el 1 cuadrante, que solo tiene alejamiento. 
C, situado en el 4º cuadrante, con mayor alejamiento que cota. 
 
2. Hallar las trazas de las rectas r y s, conocidas sus proyecciones diédricas. Dibuja 
partes vistas y ocultas. Señala cuadrantes por los que pasa. 
D, situado en el 2º cuadrante, con igual cota que alejamiento. 
 
 
ección con los planos bisectores. 
3. Dada la recta definida por dos puntos, hallar; partes vistas y ocultas, cuadrantes 
por los que pasa e inters
 
4. Trazar el plano proyectante vertical de la recta r y el proyectante horizontal de la 
recta s. 
 66
 
5. Hallar el plano que determinan tres puntos no alineados. 
 
 
6. que determinan dos rectas que se cortan m y s, conocidas sus Hallar el plano
proyecciones diédricas. 
 
7. Hallar la proyección vertical del cuadrilátero dado, para que esté contenido en el 
plano α. 
 67
 
 
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
 
1. Determinar las proyecciones de los diferentes puntos dados por coordenadas y 
señala los cuadrantes y el dato que falta : 
A (10, 30,?) está en el 3 cuadrante y pertenece al bisector 
B (30, 30, 40) 
D (60, 50,?) está en la parte posterior del plano horizontal 
E (70, - 15, 40) 
F (-10, -20, -20) 
G (-15, -15, -15) 
H (30, 0, 0) 
 
y el punto A. Hallar su traza horizontal. 
C (40,?, 20) pertenece al 2º bisector 
2. Dibujar las proyecciones diédricas de una recta r determinada por sus puntos: la 
traza V 
 
 
3. Dibujar la proyección vertical de la recta s de manera que corte a la recta r y pase 
por el punto P 
 68
 
4. ra n que se corten Determinar en el plano, una recta frontal f y otra recta cualquie
en un punto A. 
 
5. Definir el plano determinado por dos rectas que se cortan, r y s. 
 
6. Dada la pieza, dibujar en la cara que determinan los puntos A, B y C las siguientes 
rectas: 
Las horizontales que parten de los puntos D y E. 
Las rectas de máxima pendiente que parten de f y G. 
 
 
 69
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Trazar las proyecciones diédricas de estos puntos: 
A, situado en el 3 cuadrante, con mayor cota que alejamiento. 
B, situado en el 1 cuadrante, que solo tiene alejamiento. 
C, situado en el 4º cuadrante, con mayor alejamiento que cota. 
D, situado en el 2º cuadrante, con igual cota que alejamiento. 
 
 
Hallar las trazas de las re2. ctas r y s, conocidas sus proyecciones diédricas. 
Dibuja partes vistas y ocultas. Señala cuadrantes por los que pasa. 
 
 
1º Para sacar las trazas, prolongamos la r2 y al llegar a la LT obte mos H2 y por esa 
proyección perpendicular hasta cortarse con r1, donde obtenemos H1 o traza horizontal 
ara ver los cuadrantes ocurre igual que con los puntos, así, si la r2 esta por encima 
ajo sería del cuarto, etc. 
3º Se traza como visto en una recta todo lo que está en primer cuadrante. 
ne
de la recta. Si hago lo mismo con la r1, obtendré Vr. 
2º P
de la LT y r1 por debajo, el segmento esta en primer cuadrante, si las dos están por 
deb
 70
3. Dada la recta definida por dos puntos, hallar; partes vistas y ocultas e 
intersección con los planos bisectores. 
 
1º Se resuelve igual que en el ejercicio anterior 
 
2º Los puntos de intersección con los planos bisectores tendrán igual cota que 
 cortan las dos 
proyecciones r1 y r2 (en este caso N, que está además en el segundo cuadrante) y si a 
emos el punto M, punto 
intersección con el primer bisector. Daría el mismo punto si hubiéramos metido el 
ángulo en la otra proyección. 
 
4. Trazar el plano proyectante vertical de la recta r y el proyectante horizontal de 
la recta s. 
alejamiento. Con el segundo se ve directamente pues el punto donde se
partir de V1 metemos el ángulo que forma la r1 con la LT obten
 
 
1º Proyectante vertical, es ⊥ al PV, por lo que α1, queda ⊥ a la LT y α2 coincide con 
r2. 
2º Proyectante horizontal, es ⊥ al PH, por lo que β2, queda ⊥ a la LT y β1 coincide con 
s1. 
 
 
 71
5. Hallar el plano que determinan dos rectas que se cortan s y n, conocidas sus 
proyecciones diédricas. 
 
 
1º La traza α2, contendrá a las trazas homónimas de las rectas VS y Vn. 
 
6. es puntos no alineados. 
 
2º La traza α1, contendrá a las trazas homónimas de las rectas HS y Hn. 
Hallar el plano que determinan tr
 
Se resuelve igual que el ejercicio anterior ya que tres puntos no alineados definen dos 
rectas que se cortan en un punto y por tanto un plano. 
 
 
 
 
 
 72
7. Hallar la proyección vertical del cuadrilátero dado, para que esté contenido en 
el plano α. 
 
1º Metemos a los puntos en rectas horizontales o frontales
proyecciones de los puntos. 
 del plano y sacamos las 
2º Los unimos convenientemente. 
ción horizontal. Se resuelve igual si me dan la proyec
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 73
UNIDAD 10: INTERSECCIONES, PARALELISMO, 
PERPENDICULAR Y DISTANCIAS. 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Tras estudiar los elementos geométricos fundamentales como punto, recta y plano, se 
trata ahora de representar la posición relativa que estos elementos pueden adoptar 
entre sí, tales como: intersecciones, paralelismo, perpendicularidad, distancia, etc. 
 
El alumno debe dibujar en el sistema diédrico, resolviendo problemas de 
intersecciones, paralelismo, perpendicular y hallar verdaderas magnitudes de 
distancias entre los distintos elementos. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
APARTADO 1- INTERSECCIONES 
 
Procedimiento general 
La intersección de dos planos P y Q será una recta. Para hallarla se corta por un plano 
auxiliar W y se obtiene la intersección s y t y el punto de intersección H. Repetimos la 
operación con otro plano X y se obtienen las rectas l y m siendo el punto común V. Si 
unimos H y V obtenemos r, recta solución. El éxito de la operación consiste en elegir en 
cada sistema los planos auxiliares adecuados. En diédrico por lo general serán los propios 
planos de proyección. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Intersecciones entre rectas será un punto, no es suficiente con que las proyecciones 
homónimas se corten tiene que existir una única línea de referencia para el punto 
común sino, las rectas no se cortan, se cruzan. También pueden ser paralelas. (Ver en 
el siguiente apartado) 
- Intersecciones entre planos la intersección de dos planos es una recta común a 
ambos cuyas trazas deben pertenecer simultáneamente a las trazas homónimas de 
ambos planos. 
 
 
 74
- Intersecciones entre rectas y planos. Método general de resolución: 
1. Dibujamos plano β que contenga a la recta r, preferentemente uno de los planos 
proyectantes de la recta. 
2. Se halla la intersección del plano auxiliar β con el plano dado α, recta a. 
3. Se determina el punto de intersección de la recta dada r y a , punto A solución 
 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Observa los casos particulares. 
 
 
 75
- Si al hallar la intersección de dos planos las trazas no se cortan en el papel, se trazan 
planos auxiliares, normalmente horizontales o verticales, cuyas intersecciones nos dan 
puntos de la recta solución, ejemplo en nuestra figura el punto M. 
 
Las secciones que produce un plano al cortar a de superficies como prismas, pirámides, 
APARTADO 2 – PARALELISMO
conos, etc. Sepueden hallar como intersección de recta y plano tomando cada arista o 
generatrices como rectas. 
 
 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Entre rectas, las proyecciones homónimas son paralelas. Excepto rectas de perfil. 
- Entre planos, las trazas homónimas son paralelas. Excepto planos paralelos a la LT. 
- Entre recta y plano, para que una recta sea paralela aun plano debe ser paralelo a una 
recta contenida en el y para que un plano sea paralelo a una recta debe contener una 
paralela a ella. 
 
 
 76
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Aplicación: Trazar un plano paralelo a la recta r por un punto A, dibujamos una recta s que 
contenga al punto y sean sus proyecciones homónimas paralelas a las proyecciones de la 
recta r y cualquier plano que contenga a las trazas de la recta s será solución, hay infinitas 
para que solo tenga una habría que poner otra condición por ejemplo que además sea 
paralelo a la LT. (Ver actividades de autoevaluación) 
 
APARTADO 3 – PERPENDICULARIDAD 
 
Teoremas relativos a la perpendicularidad (teorema de las tres perpendiculares) 
- ralela al plano de 
 se corten o se 
rpendicular a α tiene su 
- Si r es perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas de dicho plano. 
Si r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas es pa
proyección, las proyecciones de r y s también son perpendiculares
crucen. 
- Si r pertenece al plano y s es perpendicular a r, las proyecciones también son 
perpendiculares. 
- Si hα es la recta intersección de los planos α y H y r es pe
proyección perpendicular r1 a hα. 
 
 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Recta perpendicular a un plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas 
homónimas del plano. 
- Plano perpendicular a una recta sus trazas son perpendiculares a las proyecciones 
homónimas de la recta. 
- Perpendicularidad entre rectas 
Si la recta es horizontal la perpendicular se ve en proyección horizontal. 
Si la recta es frontal la perpendicular se ve en proyección vertical. 
Si la recta es oblicua la perpendicular no se ve ni en proyección horizontal ni vertical. 
 77
- Perpendicularidad entre planos para que un plano sea perpendicular a otro debe 
contener a una recta perpendicular a ese otro 
 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
- Recta s perpendicular a otra dada r y que contenga a el punto A. Tres operaciones: 
1. Por A se traza un plano P perpendicular a la recta dada r. 
sección de la recta y el plano, punto I. 2. Se halla el punto inter
3. Se une A con I y obtenemos la recta solución s. 
- Plano P perpendicular a una r por el punto A, las proyecciones de las horizontales o de 
las frontales del plano que estamos buscando son perpendiculares a una de las 
proyecciones de la recta r, por lo tanto nos ayudamos de ellas. 
dicular a Q y que contenga a un punto A- Plano P perpen , trazo por A una recta 
s soluciones todos los planos que contengan a la 
 
perpendicular al plano Q, tiene infinita
recta r, habría que poner más condiciones (caso siguiente).
- Plano P perpendicular a Q y que contenga a una recta r, una solución, tomamos un 
a perpendicular r al plano Q. El plano solución P está 
an en el punto B y por lo tanto definen un plano. 
punto B de r y por el trazamos un
definido por las rectas s y r, que se cort
 
APARTADO 4 – DISTANCIAS 
 
Distancia entre dos puntos o verdadera magnitud: 
- Si el segmento es horizontal se ve verdadera magnitud en proyección horizontal pero si 
royección vertical. además la recta es vertical entonces se ve en p
- Si el segmento es frontal se ve verdadera magnitud en proyección vertical pero si 
horizontal. además la recta es de punta entonces se ve en proyección 
- Si el segmento es oblicuo no se ve verdadera magnitud ni en proyección horizontal ni 
na abatiendo uno de los planos proyectantes, girando 
pidamente si usamos incremento de cotas o alejamiento. Si observamos 
nuestro ejemplo del dibujo ∆z, es la diferencia de cotas del punto A y B, por cualquiera de 
en proyección vertical. Se determi
o haciendo cambios de plano que veremos en la siguiente unidad. 
Se resuelve rá
 78
las dos proyecciones horizontales llevamos en una perpendicular esa medida siendo la 
ngulo que se forma. verdadera magnitud la hipotenusa del triángulo rectá
 
 
QU
Com
E TENEMOS QUE APRENDER 
o medir en una recta oblicua una distancia a partir de un punto de esa recta 
Tomamos un punto arbitrario en la recta K, obtenemos la verdadera magnitud de AK y sobre 
e luego llevamos a las proyecciones de la recta. 
Casos particulares
esa línea podemos medir la distancia, qu
 
 
- Distancia de un punto A a un plano P 
1. Trazar recta r perpendicular al plano por A. 
2. Hallar punto de intersección de r con el plano P, punto I. 
3. Hallar verdadera magnitud AI 
- Distancia de un punto A a una recta r. 
1. Trazar plano P perpendicular a la recta r y que contenga al punto A. 
2. Hallar punto de intersección de r con el plano P, punto I. 
3. Hallar verdadera magnitud AI 
Otra forma: A y r definen un plano que podemos abatir sobre el PV o PH y ver verdadera 
magnitud. 
- Distancia de una recta r paralela a un plano P. 
1. Tomamos un punto cualquiera A sobre la recta. 
2. Trazamos recta s por A, perpendicular al plano P. 
3. Hallamos la intersección de s con el plano P, punto I. 
4. Hallar verdadera magnitud AI 
Otra forma: Plano Q paralelo a P y que contenga a r. (Ver distancia entre dos planos 
paralelos) 
 
 
 79
- Distancia entre dos rectas paralelas r y s. 
1. Plano P perpendicular a ambas rectas r y s. 
2. Hallar punto I y J de intersección del plano P con ambas rectas r y s. 
mos abatir sobre el PV o PH 
3. Verdadera magnitud de IJ 
Otra forma: dos rectas paralelas definen un plano que pode
y ver verdadera magnitud. 
- Distancia entre dos planos paralelos P y Q. 
1. Recta r perpendicular a ambos planos P y Q. 
2. Hallar punto I y J de intersección de la recta r con los planos P y Q. 
3. Verdadera magnitud de IJ 
- Distancia entre dos rectas que se cruzan 
Esta en la perpendicular común a ambas. 
aralela a la otra y ambas definen un 
pla e distancia de una recta r paralela a un plano P. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Por un punto cualquiera de una de ellas se traza p
no, pasamos al caso ya visto d
Se recomienda que realices ejercicios con cada uno de los casos vistos. 
 
 
 80
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Resuelve problemas de intersecciones, paralelismo y perpendicularidad entre 
rectas, entre planos y entre recta y plano. 
• Halla secciones de superficies por intersección de rectas y planos 
• Reconoce si los elementos son paralelos o perpendiculares 
• Calcula diferentes problemas de distancias entre puntos, rectas y planos, y calcula 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
verdaderas magnitudes de esas distancias. 
 
 
 
1. Hallar la intersección de los siguientes planos: 
Dos planos paralelos a la LT 
Dos planos concurrentes en un punto de la LT 
 
2. Hallar la intersección d tres planos: oblicuo, proyectante vertical y el tercero e
vertical. 
 
3. Hallar el plano definido por las dos rectas paralelas dadas. 
 
 
 
 81
4. Trazar un plano paralelo a otro por un punto A. 
 
5. Recta paralela a un plano por un punto B. Dibuja también un punto A que 
pertenezca al plano dado. 
 
 
6. Por un punto P traza una recta perpendicular al plano α, definido por el punto A 
y su traza horizontal. 
 
7. allar la distancia de un punto A a una recta r, conocidas las proyecciones 
iédricas del punto y de la recta. 
H
d
 
 
 82
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
1. Hallar la intersección de los planos α(-7, -4, 4) y β(4, -4, 4).Origen en el centro. 
ecta que corte a las dos r: A( 7, 
C( 3´5, -1, 0) y D(4´5, 0, 1). Origen en margen 
3. Trazar el plano paralelo a la recta r : A( 10, 0, 8´5) y B(14, 3, 0) y que contenga 
a la recta s: C( 1, 4, 0) y D(8, 0, 7) 
4. Por una recta r: A( -6, -1, -3) y B(-2, -3, -1) hacer pasar el plano perpendiculara 
otro dado : α ( 4, 2, 4). Origen en el centro. 
5. Hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia existente entre el punto 
P(8, 0, 0) y la recta r: A( 12, 3, 0) y B(12, 1´5, 5). Origen en margen izquierdo. 
6. Comprobar si la recta r es paralela al plano α. (Figura 1) 
7. Por el punto P trazar una recta perpendicular a la recta r. (Figura 2) 
 
2. Por un punto dado P(8´5, 2´´5, 2´5) trazar una r
5´5, 0) y B(11´5, 0, 2´5) y s: 
izquierdo. 
8. Determinar la verdadera magnitud de la distancia que hay entre el plano α y el 
punto P. (Figura 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 83
 
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Hallar la intersección de los siguientes planos: 
Dos planos paralelos a la LT 
Dos planos concurrentes en un punto de la LT 
 
- Los planos paralelos a la LT, observamos en tercera proyección que se cortan en un punto 
r3, y al desabatir obtenemos las proyecciones r2 y r1 solución. 
- Dos planos concurrentes en un punto de la LT, tienen las dos trazas de la recta solución en 
los vértices comunes, por lo tanto hay que buscar otro punto de esa recta, M. Para ello 
cortamos por un plano horizontal y lo realizamos igual que cuando las trazas del plano no 
se cortan en el papel(Ver apartado? de la unidad). 
 
2. al y el tercero 
vertical. 
Hallar la intersección de tres planos: oblicuo, proyectante vertic
 
ntersección de tres planos será un punto, donde se cortan las rectas dos a dos. 
 lo tanto tenemos: que la intersección de α y γ, es la recta r y la interse
La i
Por cción de α y β, 
es 
 
la recta f. Finalmente la intersección de r y f es el punto A buscado. 
 84
3. Hallar el plano definido por las dos rectas paralelas dadas. 
 
Hallamos las trazas de las rectas por donde pasarán las homónimas del plano buscado. 
 
4. Trazar un plano paralelo a otro por un punto A. 
 
Un plano sea paralelo a otro, cuando sus trazas homónimas lo son, para ello nos 
ayudamos de una horizontal o frontal del plano que vamos buscando. 
 
5. Recta paralela a un plano por un punto B. Dibuja también un punto A que 
pertenezca al plano dado. 
 
Para que una recta sea paralela a un plano debe contener una paralela a ella. El 
s r2 // a s2 y por B1 dibujamos r1 // a s1. 
El punto A pertenece al plano porque pertenece a una recta que pertenece a él. 
ejercicio tiene infinitas soluciones, si trazamos una recta cualquiera, s, contenida en el 
plano y por B2 dibujamo
 85
6. Por un punto P traza una recta perpendicular al plano α, definido por el punto A 
y su traza horizontal. 
 
1º Nos ayudamos de una horizontal para sacar α2, h1 // a α1 y por Vh trazamos α2. 
2º Para que una recta sea perpendicular a un plano las proyecciones de la recta deben 
ces por P2 dibujamos r2 ⊥ 
a α2 y por P1 dibujamos r1 ⊥ α1. 
to A a una recta r, conocidas las proyecciones 
diédricas del punto y de la recta. 
ser perpendiculares a las trazas homónimas del plano. Enton
 
7. Hallar la distancia de un pun
 
1º S
2º Halla terse
3º Falta agnitu iento do 
4- d
 
 
e traza por A un plano α ⊥ r, para ello nos ayudamos de una frontal, f. 
mos el punto de in cción de α con r, punto B. 
ría hallar verdadera m d por incremento de cotas o alejam (ver aparta
istancias de la unidad) 
 86
UNIDAD 11: ABATIMIENTOS, LOS CAMBIOS DE PLANO 
Y LOS GIROS. 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
En esta unidad veremos las distintas operaciones que pueden efectuarse con puntos, 
rectas o planos, tales como giros, abatimientos o cambios de plano. Enfocadas, entre 
otras cosas, a poder calcular verdaderas magnitudes de los elementos con los que se 
trabaja. También se utilizan para hallar secciones o desarrollos de cuerpos de una 
manera relativamente fácil que veremos en el próximo curso. 
Debemos saber aplicar el método más adecuado en cada caso según el ejercicio que 
estemos realizando. 
A UNIDAD
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE L 
 
APARTADO 1- ABATIMIENTOS 
 
Si tenemos una figura en un plano paralelo a los de proyección, (planos horizontales o 
era magnitud sino tenemos que abatir el plano sobre el 
- Si abatimos sobre el PH la charnela será la traza horizontal del plano. 
- Si abatimos sobre el PV la charnela será la traza vertical del plano. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Abatimiento de un punto
verticales) la figura se ve en verdad
PH o el PV: 
 supongamos que abatimos sobre el PH por la proyección 
horizontal del punto se dibuja una perpendicular ala charnela y en la paralela llevamos la 
cota del punto. Pinchando en la charnela giramos la distancia que corta a la 
perpendicular en el punto abatido. 
- Abatimiento de una recta se resuelve abatiendo dos puntos. 
En el caso de rectas singulares del plano: 
- Horizontales, siendo r1 ⁄⁄ α1, entonces la r abatida se verá ⁄⁄ α1 
- Rectas de perfil contenidas en el mismo plano al abatirlas salen ⁄⁄. 
- Frontales, siendo r2 ⁄⁄ α, entonces la r abatida se verá ⁄⁄ a la α2 abatida. 
⊥ α ⊥ α- Máxima pendiente, r1 1, abatida seguirá 1 
- Máxima inclinación, r2 ⊥ α2, abatida será ⊥ a la α2 abatida. 
 87
Abatimiento de un plano tomamos un punto A cualquiera en la traza vertical, α2, del plano y 
adio OA2 corto a la 
batida es uniendo O con A0. 
por A1 trazo ⊥ a la charnela, α1. Pincho en el vértice de trazas y con r
perpendicular anterior en A0. La traza a
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
 
 
APARTADO 2 – CAMBIOS DE PLANO 
 
l método consiste en cambiar algún plano de proyección. Han de hacerse de uno en uno y 
ridad entre planos del sistema. 
E
siempre han de conservar la perpendicula
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Como cambian las proyecciones de un punto 
 
 
Cambio de plano vertical, la proyección horizontal del punto no cambia y la nueva 
proyección vertical está en una perpendicular a la nueva LT y a la misma cota. 
Cambio de plano horizontal, la proyección vertical del punto no cambia y la nueva 
proyección horizontal está en una perpendicular a la nueva LT y con el mismo alejamiento. 
 88
Como cambia una recta 
Basta con tomar dos puntos de ella y aplicar lo estudiado para el punto. 
Como cambian las trazas de un plano 
Para cambian las trazas de un plano basta con tomar 3 puntos, 1 punto y una recta, 2 rectas 
que se corten o sean paralelas y aplicarles el cambio correspondiente. Lo más fácil es 
tilizar la traza que hace de charnela pues su cambio de plano es ella misma y un punto, 
cortan las dos LT. También se puede utilizar 
Observa las imágenes. 
u
preferentemente de la otra traza y donde se 
una horizontal del plano en casos particulares. 
 
 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Aplicaciones más utilizadas: 
- Poner un segmento o recta en posición horizontal o frontal para medir o ver verdadera 
magnitud. Consiste en trazar la nueva LT // a una de las proyecciones de la recta y 
 de plano. aplicar el cambio
- Convertir un plano cualquiera en proyectante horizontal o vertical para hallar secciones 
más fácilmente y verdaderas magnitudes. Consiste en trazar la nueva LT ⊥ a una de las 
trazas del plano y aplicar el cambio de plano correspondiente. 
 
 
 89
APARTADO 3 – GIROS 
 
Consiste en girar los elementos del espacio manteniendo fijos los planos de proyección. 
Para que los giros sean operativos hay que girarlos alrededor de ejes perpendiculares al PH 
o al PV. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Como cambian las proyecciones de un punto. 
El punto gira alrededor del eje vertical (recta vertical), luego gira en un plano horizontal 
anteniendo su cota y el ángulo de giro se ve sobre el PH en verdadera magnitud. 
l (recta de punta), luego gira en un plano vertical 
y el ángulo de giro se ve sobre el PV en verdadera magnitud. 
m
El punto gira alrededor de eje horizonta
manteniendo su alejamiento 
 
 
Giros de una recta 
Para girar una recta normalmente se giran dos puntos de ella con el mismo ángulo y 
sentido. 
- Cuando la recta corta con el eje de giro es suficiente con girar un punto, pues el otro 
seguiráen el punto intersección con el eje. 
- Cuando la recta es paralela al eje de giro, con gira un punto es suficiente pues la nueva 
proyección será paralela a la dada. 
- Cuando la recta se cruza con el eje de giro, se giran dos puntos. 
Como cambian las trazas de los planos. 
- Si el eje es vertical giraremos la traza horizontal y la horizontal del plano que se corte 
con el eje. 
- Si el eje es de punta giraremos la traza vertical y la frontal del plano que se corte con el 
eje. 
 90
 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Aplicación más utilizada: 
tical- Convertir el plano en proyectante horizontal o ver , se toma el punto más próximo de 
la traza, M y se gira hasta poner la traza ⊥ a la LT. Se une O´con V´r. 
 
- Poner la recta en posición horizontal o frontal para observar verdadera magnitud entre 
, r´2 puntos. Ejemplo frontal, por A1 proyección // a la LT y giramos el punto B1 hasta ella
es uniendo A2 y B´2. 
- Cuando la recta se cruza con el eje de giro, se toma un punto más próximo y se gira
hasta poner la proyección r´1 paralela a la LT. L
 
uego se gira otro punto cualquiera. 
 
 91
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Comprender la utilidad y finalidad práctica de estos métodos operativos 
• Aplicar adecuadamente los procedimientos a sí como su elección de abatimientos, 
cambios de planos y giros, en la resolución de los ejercicios propuestos. 
• Analizar el por qué s la verdadera magnitud de figuras planas con 
• Elección de cambios de planos para hallar secciones con planos proyectantes por 
su rapidez 
• Comprender la aplicación de giros el la determinación de la verdadera magnitud 
 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
e obtiene 
abatimientos 
 
 
 un plano 
oblicuo a los dos de proyección, conociendo la proyección vertical del 
cuadrilatero. 
1. Hallar la verdadera magnitud del cuadrilátero ABCD, situado en
 
2. Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero situado en el plano 
α, conocida la medida de su lado AB dada en la recta r abatida que lo 
contiene y la proyección vertical de ésta. Nota: el otro vértice C, tiene menor 
cota que los vértices A y B. 
 
3. Dado el segmento AP, buscar un punto B, que pertenezca a él tal que la 
distancia AB=l. Resolver mediante giros. 
 92
 
4. Hallar la distancia del punto P al plano mediante giros. 
 
5. Girar un plano oblicuo alrededor de un eje de punta el ángulo dado. 
 
6. Hallar la verdadera magnitud del segmento AB, mediante un cambio de plano. 
 
7. Obtener la verdadera magnitud de las vistas laterales de una pirámide con un 
cambio de plano vertical. 
 
 93
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
1. Halla la verdadera magnitud de las siguientes figuras. 
 
 
2. Dibujar el triángulo equilátero que tiene uno de sus lados en la recta r y que 
está contenido en el plano formado por la recta r y el punto P. 
 
3. Mediante cambios de plano, obtener el segmento que mida la distancia del 
4. 
5. 
punto A a la recta r. Figura 1 
Mediante giros obtener la verdadera magnitud del segmento AB. Figura 2 
Calcula la verdadera magnitud del ángulo formado por las dos rectas. Figura 3 
 
 
 94
 
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Hallar la verdadera magnitud del cuadrilátero ABCD, situado en un plano 
oblicuo a los dos de proyección, conociendo la proyección vertical del 
cuadrilátero. 
 
1º Sacamos la proyección horizontal del cuadrilátero, para ello me ayudo de las 
horizontales del plano. 
2º Abatimos la traza α2 sobre el PH con todas las horizontales, que recordamos 
quedan paralelas a la charnela α1, obteniendo los puntos en la intersección de éstas 
con las perpendiculares por las proyecciones horizontales de los puntos a la charnela. 
3º Dibujamos el cuadrilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 95
2. Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero situado en el plano 
 recta r abatida que lo 
contiene y la proyección vertical de ésta. Nota: el otro vértice C, tiene menor 
cota que los vértices A y B. 
α, conocida la medida de su lado AB dada en la
 
1º Dibujamos la r1 y ayudándonos de Hr abatimos el plano sobre el PV. 
2º Dibujamos el triángulo en verdadera magnitud. 
3º Desabatimos sus puntos(se ha resuelto por afinidad), pero podríamos aplicar lo 
 
3. Dado el segmento AP, buscar un punto B, que pertenezca a él tal que la 
distancia AB=l. Resolver mediante giros. 
explicado en el ejercicio 1. 
 
1º Si queremos llevar una longitud l sobre una recta r a partir de un punto A de ella, 
ta con deshacer el 
giro para conseguir las proyecciones del punto solución B2 y B1. 
bastaría con girar un punto cualquiera, (nosotros tomaremos el punto P dado) hasta 
dejarla en posición frontal. 
2º Después, a partir de A’2 llevamos la longitud l, obteniendo B’2. Bas
 96
 
4. Hallar la distancia del punto P al plano mediante giros. 
 
1º Giraremos el plano alrededor del eje vertical (no dibujado) que pasa por el punto P, 
zontal h hasta ponerla en posición frontal P1-A’1 y P2-A’2, 
siendo ésta, la distancia buscada. 
 
5. Girar un plano oblicuo alrededor de un eje de punta el ángulo dado. 
hasta dejarlo de canto. 
2º Para ello giramos α1 y la hori
 
1º Puesto que el eje m es de punta, lo más sencillo es girar la traza vertical Vα y la frontal f, 
2º La traza Vα gira un ángulo δ en el plano V, alrededor de m2, y toma la posición V’α. 
3º La frontal f gira en el plano frontal tal que pertenece y se conserva paralela y 
quidistante de V’α, hallándose enseguida la nueva traza H’f de f’ y la h’α del plano. 
º De forma análoga se procedería con cualquier otra frontal como la a. 
de éste que corta al eje. 
e
4
 
 97
6. Hallar la verdadera magnitud del segmento AB, mediante un cambio de plano. 
 
1º Dibujamos la nueva LT ⁄⁄ a la proyección horizontal. 
2º En las perpendiculares a la nueva LT por las proyecciones horizontales y a partir de 
la LT llevamos las cotas correspondientes de los puntos. 
3º Unimos A’2 con B’2, que al estar en una recta frontal es el
magnitud. 
 segmento en verdadera 
 
e una pirámide con un 
cambio de plano vertical. 
7. Obtener la verdadera magnitud de las vistas laterales d
 
 
Solo es necesario situar el nuevo plano vertical paralelo a la proyección horizontal de las 
arístas V1-A1 y V1-B1. 
 
 
 
 
 
 98
 
UNIDAD 12: SISTEMAS AXONOMÉTRICO. 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Debemos entender la necesidad e importancia de los distintos sistemas de 
representación y conocer los fundamentos prácticos de los sistemas axonométricos. 
 
diaremos los nuevos sistemas basados en el sistema de En esta unidad estu
proyección cilíndrico ortogonal, igual que el sistema diédrico, pero con la ventaja de 
tener una proyección directa, o lo que es lo mismo, se consigue visualizar de una 
forma más rápida e intuitiva las tres dimensiones de una figura. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
APARTADO 1- ELEMENTOS Y CLASES DE SISTEMA AXONOMÉTRICO 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Fundamentos: utiliza proyección cilíndrica ortogonal. Se establecen tres ejes coordenados 
(x, y, z) dos a dos que forman un triedro recto (⊥ entre si). 
Divide al espacio en ocho zonas u octantes. Planos coordenados: 
- Plano coordenado horizontal YOX 
- V Plano coordenado vertical I XOZ 
- W Plano coordenado vertical II ZOY 
O Vértice del sistema 
π Plano del cuadro sobre el que se proyectan ortogonalmente los ejes. 
 triángulo ABC y se llama Triángulo de trazas de Se demuestra que O es el ortocentro del
la perspectiva axonométrica y los ejes formarán unos ángulos α, β y γ. 
 99
 
Tipos de axonometría 
ro en tres posiciones distintas, dando lugar a 
metría ortogonal, donde se formaran distintos triángulos y 
El plano del cuadro puede cortar al tried
las tres variantes de la axono
habrá un coeficiente de reducción en los ejes según el tipo de axonometría. 
- Trimétrica: los tres ángulos son diferentes y por tanto también los tres ejes 
tienen diferente coeficientede reducción. El triángulo formado es escaleno. 
- Dimétrica: dos ángulos iguales y otro desigual y dos ejes mismo coeficiente de 
reducción. El triángulo formado es isósceles. 
- Isométrica: los ángulos son iguales, 120 º y el coeficiente de reducción vale 0’8. 
El triángulo es equilátero. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Perspectiva dimétrica normalizada, ángulos 131º25’, 131º25 y 97º10’, donde se
redondean los coeficientes de reducción y tenemos μz=1, μx=1 y μy= 0’5. Ventajas 
perspectivas agradables. Los ejes x y z no llevan reducción y el eje y reduce a la mitad. 
 
 
Isométrica: la reducción existe pero, en general, no la vamos a tener en cuenta, si es 
necesario, se construye la escala gráfica. Para ello sólo necesitamos trazar, en el borde del 
papel, una recta que mida 0’816 x 10 = 8’16 cm. y dividirla en 10 partes iguales (teorema de 
Tales). 
 100
 
APARTADO 2 – ESCALA AXONOMETRICA Y COEFICIENTE DE 
REDUCCIÓN 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Procedimiento gráfico para hallar las unidades reducidas de los ejes XYZ consiste en trazar 
o. 
Abatimiento del plano YOX.
la escala axonométrica que corresponde a cada eje, para lo cual, abatimos dos caras del 
triedro sobre el plano del cuadr
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
 
Método 1: Dibujamos un triángulo cualquiera, ABC, con lados ⊥ a los ejes de proyección y 
vértices en ellos. 
(O) esta en la intersección de la ⊥ de CB y del arco capaz de 90º del segmento CB 
Se llevan las unidades en esos ejes (Y) y (X) que están en verdadera magnitud y se 
traza ⊥ CB, que hace de charnela 
 de los ejes en las unidades buscadas. Estas dividen a las proyecciones
Hacemos lo mismo para sacar la reducción del eje Z. 
 
Método 2: También podemos obtener las escalas axonométricas o la reducción 
correspondiente a una medida determinada, hallando los ángulos α, β y γ que forman lo 
ejes reales con el plano del cuadro. 
Para abatir el eje X trazamos una semicircunferencia de diámetro BH y una perpendicular al 
eje X en O hasta cortar con la semicircunferencia. Al unir con una recta (O) con B, 
 en verdadera magnitud y el ángulo α que éste forma con el plano obtenemos el eje real (X)
del cuadro. En el dibujo también hemos abatido el eje real (Z), hallando el ánguloγ. 
 
 101
APARTADO 3- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO Y POSICIONES 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Situar puntos en perspectiva axonométrica y obtener sus proyecciones. 
erspectiva o proyección directa y otra sobre cada El punto tiene 4 proyecciones: una la p
plano coordenado. Deben conocerse al menos dos de ellas. 
Un punto puede estar en el espacio (en uno de los ocho octantes), sobre los planos 
coordenados o sobre los ejes. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
 
 
APARTADO 4 – REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE RECTAS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Obtener sus proyecciones, trazas, partes vistas y ocultas y octantes por los que pasa. 
Al igual que el punto, tiene 4 proyecciones: una la perspectiva o proyección directa y otra 
sobre cada plano coordenado. Deben conocerse al menos dos de ellas. 
Las trazas de una recta son las intersecciones con los planos coordenados. Se obtienen 
como intersección de la perspectiva de la recta con cada una de ellas. 
 
Posiciones de la recta: 
- Rectas paralelas a uno de los planos coordenados. Las horizontales son // al plano 
XOY, r y r1 son //, r2 // al eje X y r3 // al eje Y. 
 102
- Rectas contenidas en uno de los planos coordenados. Proyecciones confundidas 
con los ejes y dos trazas. 
o de los planos coordenados, es decir, // a uno de los 
s que se cortan con el eje. 
- Rectas que pasan por el origen de coordenadas. Sus proyecciones pasan por O. 
- Rectas perpendiculares al plano del cuadro y que pasan por el origen de 
coordenadas. (Rectas visuales). Sus proyecciones coinciden sobre los ejes, y la 
proyección directa es un punto coincidente con O. 
- Rectas perpendiculares al plano del cuadro sin pasar por el origen. (rectas paralelas 
a las virtuales) 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Observa la representación de las más importantes. 
- Rectas perpendiculares a un
ejes coordenados y por tanto una única traza. 
- Recta
 
 
 103
APARTADO 5 - REPRESENTACIÓN Y TIPOS DE PLANOS 
ordenados, cada una de ellas se corta 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Se representa mediante sus trazas con los planos co
sobre el eje. 
 
Posiciones particulares del plano: 
 
 104
- Planos paralelos a uno de los planos coordenados. 
- Planos perpendiculares a uno de los planos coordenados (planos proyectantes). Son 
planos útiles para hallar trazas de rectas en intersecciones. 
- Planos que pasan por un eje coordenado. 
- Plano que pasa por el origen de coordenadas. 
- Plano perpendicular al plano del cuadro(plano visual) 
- Plano paralelo al plano del cuadro. 
YUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
ecta a un plano, y de un punto a un plano. 
 
A
Pertenencias: de un punto a una recta, de una r
Igual que en el sistema diédrico. Observa la figura. 
 
 
APARTADO 6- INTERSECCIONES Y PARALELISMO 
 
QUE TENEMOS QUE APRE R 
- Entre rectas,
NDE
Intersecciones: 
 será un punto A, si construimos un paralelepípedo deben coincidir 
también sus otras proyecciones, es decir A1 deben cortarse r1 y s1, en A2 deben 
cortarse r2 y s2, etc. Sino se cruzan 
- Entre planos, se hallan los puntasen que se cortan las trazas del mismo nombre, que serán 
las trazas de la recta intersección. 
- Entre rectas y planos. Recordar método para hallar intersecciones. Los planos auxiliares de 
corte serán los propios planos coordenados y si fallan será preferentemente planos paralelos 
a los coordenados. 
Paralelismo: 
- Entre rectas, son paralelas si sus proyecciones son paralelas 
- Entre planos, son paralelos cuando lo son sus trazas correspondientes como ocurre con
planos P y Q, R y T de la figura. 
 
AYUDA AL ESTUDI
 los 
O DEL APARTADO 
Intersecciones y paralelismo son iguales que en sistema diédrico. 
 105
 
APARTADO 7- ABATIMIENTOS. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Abatimiento de los planos coordenados para obtener la verdadera magnitud de las 
figuras que están en los planos del triedro. Para ello abatimos el plano sobre el plano 
del cuadro que es el mismo método que hemos explicado para obtener las escalas 
axonométricas. 
 
Ver en el dibujo el abatimiento de un punto y de un segmento. 
 
Trazado de la perspectiva isométrica y representación de figuras: polígonos regulares, 
circunferencias, etc. Para trazar la perspectiva de otros polígonos regulares, 
 
s a los ejes axonométricos en la 
necesitamos obtener sus medidas en el polígono real, bien sea por el procedimiento
de abatir los vértices o por el de obtener las diagonales o las alturas que corten 
perpendicularmente para dibujarlas paralela
perspectiva. 
 106
Trazado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas. Es igual 
eje Y no 
reduce a la mitad) 
Circunferencia en perspectiva es una elipse para trazarla, en general, se inscribe en 
un cuadrado cuyo lado sea igual al diámetro de la circunferencia. 
En isométrica, se acepta sustituir la elipse por el óvalo inscrito en el cuadrado. 
en isométrica que en la perspectiva caballera. (Ver vistas en unidad 14) 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Ejemplos: 
Triángulo y pentágono (ver en unidad 13, el método es el mismo pero el 
 
Trazado de la perspectiva de una circunferencia situada en el plano abatido XY. Se 
procede al revés que cuando queremos abatirla par obtener su verdadera magnitud. 
 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Conoce los fundamentos teóricos del sistema axonométrico y las diferentes tipos. 
• Resuelve en dicho sistema, ejercicios sobre definición de puntos, rectas y planos; 
así como intersección de estos últimos 
• Dibuja piezas y figuras en perspectiva axonométrica isométrica. 
 107
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
1. Hallar el triángulo de trazas que corresponde a los ejes X, Y, Z,y trazar los ejes 
 escalas axonométricas de los ejes X, Y, Z. Figura 2. 
axonométricos que corresponden al triángulo de trazas ABC. Determinar a que 
variante del sistema axonométrico corresponden en cada caso. Figura 1. 
2. Trazar las
3. Hallar el ángulo γ que forma el eje z con el plano del cuadro. Figura 3. 
 
 
4. Dibujar la perspectiva isométrica de las figuras representadas por sus 
proyecciones diédricas ortogonales. Figuras 4,5 y 6. 
 
 108
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
 
1. En un sistema axonométrico XOY= 168´, ZOY=93´ y ZOY= 99º, representar los 
siguientes puntos: A(3, 2, 5), B(2, 4, -3), C(-3, -2, 4), D(4, 0, -5), E(-2, 5, -4), y 
F(6, 6, 6) 
2. Hallar en un sistema isométrico, la intersección de los tres planos siguientes: 
α(8, -9, 2), β(2, 9, 7) y δ(-8, 5, 5) 
3. Hallar la intersección de los planos dados en las diferentes figuras. 
 
4. Hallar la intersección de los planos y rectas dados en las diferentes figuras. 
 
5. En la perspectiva isométrica, figura 1, dibuja la pieza que resulta al seccionar la 
figura con un plano paralelo al eje Z que contenga a los puntos Ay B y suprimir 
la parte delantera. 
6. Dada la perspectiva isométrica, figura 2, hallar la sección que le produce el 
plano que contiene al punto P y es paralelo al plano del cuadro. 
 
 109
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Hallar el triángulo de trazas que corresponde a los ejes X
axonométricos que corresponden al tr
, Y, Z, y trazar los ejes 
iángulo de trazas ABC. Determinar a que 
variante del sistema axonométrico corresponden en cada caso. Figura 1. 
étrica de las figuras representadas por sus 
proyecciones diédricas ortogonales. Figuras 4,5 y 6. 
2. Trazar las escalas axonométricas de los ejes X, Y, Z. Figura 2. 
3. Hallar el ángulo γ que forma el eje z con el plano del cuadro. Figura 3. 
4. Dibujar la perspectiva isom
 
 110
UNIDAD 13: SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA. 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
 
 
 
Al igual que en la unidad anterior estudiaremos los sistemas basados en el sistema 
de proyección cilíndrico, esta vez oblicuo., siendo la perspectiva caballera un caso 
particular del sistema axonométrico. 
 
Conviene resolver también, en dicho sistema, problemas de abatimientos, figuras 
planas y representación de sólidos. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
APARTADO 1- AXONOMETRÍA OBLICUA 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Fundamentos: es una axonometría oblicua sobre un plano coordenado XZ = plano del 
 del cuadro, formando con estos dos ejes ángulos que 
cuadro. Los ejes X y Z están en verdadera magnitud, mientras que el eje Y se proyecta 
oblicuo a los ejes X y Z en el plano
pueden determinarse libremente (0≤ξ≤360º) 
 
 
Ejes axonométricos y coeficiente de reducción: los ejes X y Z forman un ángulo de 90º, así 
en la perspectiva, las aristas de la figura que tengan estas direcciones estarán en verdadera 
afectará a las aristas que tenga su dirección. 
 
 
magnitud. 
El eje Y tiene un coeficiente de reducción que 
Una perspectiva caballera queda determinada si conocemos la dirección del eje Y y su
coeficiente de reducción. 
 111
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Llamando c al coeficiente de reducción, u a la unidad real y u´ a la unidad reducida del eje 
Y, tenemos 
 
Gráficamente, hallamos la dirección dp y el ángulo que éste forma con el plano del cuadro al 
abatir el triángulo rectángulo AOA que forma la dirección de proyección con el eje Y real y el 
eje Y proyectado. Para, ello conocidas las unidades u y u´ del eje Z y del eje Y, 
spectivamente, centrado con el compás en O y hasta A, trazamos un arco que corte en 
enemos la dirección dp y el ángulo ξ que ésta forma con 
l plano del cuadro. 
 suele dar en forma de fracción, eligiendo reducciones 
 El 
re
(A) la perpendicular trazada al eje Y desde O. 
Al unir con una recta A´ con (A), obt
e
El coeficiente de reducción de Y se
como ½, ⅔ que resulten cómodas para realizar los trazados de las perspectivas.
coeficiente siempre será menor que 1. 
 
APARTADO 2- PERSPECTIVCA CABALLERA NORMALIZADA. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
La Norma UNE 1-035-75 recomienda para el coeficiente de y ½ y los ángulos de 45º, 
135º, 225º Y 315º para el ángulo α, según las vistas del cuerpo que sea necesario 
presentar. 
 el plano del cuadro, quedando el cubo en 
je Y. 
- α = 135º. Alzado, planta superior y vista lateral izquierda. 
re
Recomienda situar el alzado anterior en
segundo triedro y el ángulo α es de 45º en vez de 135º. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Bajo estas líneas tenemos un cubo representado con las diferentes posiciones del e
 112
- α = 225º. Alzado, planta inferior y vista lateral izquierda. 
- α = 315º. Alzado, planta inferior y vista lateral derecha. 
 
 
APARTADO 2- PERSPECTIVCA DE FIGURAS CONOCIENDO SUS 
PROYECCIONES DIÉDRICAS. 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- Trazado de la perspectiva y representación de figuras: polígonos regulares, 
circunferencias, etc. Para trazar la perspectiva de otros polígonos regulares, 
necesitamos obtener sus medidas en el polígono real, bien sea por el 
procedimiento de abatir los vértices o por el de obtener las diagonales o las 
alturas que corten perpendicularmente para dibujarlas paralelas a los ejes 
axonométricos en la perspectiva. 
- Trazado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas. 
Es igual que en el sistema axonométrico. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Trazado de la perspectiva y representación de figuras: polígonos regulares, 
circunferencias, etc. Ejemplos: 
Triángulo, sobre AB y por H trazamos paralela en este caso al eje Y y a partir de H 
llevamos la medida de la altura a la mitad para obtener C. Terminamos el triángulo 
 113
Pentágono, trazamos en él la diagonal EC y la altura DH que se cortan 
erpendicularmente. Por H paralela al eje Y, sacamos D, llevando la mitad de la altura 
ctiva. Por N paralela al eje X y llevamos distancia de los vértices E y C. 
p
en la perspe
 
Circunferencia, consiste en inscribir la circunferencia real en un cuadrado que se sitúa 
en un plano paralelo al del cuadro. Ya en la perspectiva sale un romboide e 
inscribimos en él la elipse como vemos en la figura. 
 
El segundo procedimiento consiste en abatirle plano XY y dibujar en él la 
circunferencia real, el eje X actúa como charnela y el eje Y abatido es la prolongación 
del eje Z. La circunferencia se divide en 8 partes iguales por los que se trazan 
perpendiculares al eje X y luego paralelas al eje Y, desde los puntos de la 
circunferencia se trazan perpendiculares al eje Y que corta a las paralelas anteriores
e la elipse solución. 
razado de la perspectiva de figuras conociendo sus proyecciones diédricas.
 
en puntos d
T 
(Ver vistas en unidad 14) 
 114
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Reconocimiento de la relación que existe entre los sistemas axonométrico 
ortogonal y oblicuo. 
•
empleados en sistema diédrico, pero en axonométrico. 
erspectivos pueden tener y elección adecuada de estos y entre la 
 Ejecución y aplicación de sistemas análogos en la resolución de problemas 
• Apreciar el efecto que sobre la figura tiene la elección de las distintas aperturas 
que los ejes p
perspectiva isométrica o caballera. 
• Analiza la capacidad de comprensión 
 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Trazar la perspectiva caballera según las proyecciones diédricas de la figura 1 
μcon y=1/2. Indica según las normas, el ángulo α que corresponda a esta 
perspectiva. 
2. Dibuja la perspectiva caballera de esta figura según sus proyecciones 
diédricas. Estas nos indican que en la perspectiva deben verse la planta inferior 
y la vista lateral izquierda, μy=1/2. Dibuja el ángulo α que corresponda. 
3. Traza la perspectiva caballera de la figura anterior, sabiendo que μy=1/2 y el 
ángulo XY= 45º. 
4. Dibuja a continuación, las proyecciones diédricas ortogonales de la figura en la 
posición del ejercicio 3. 
 
 
 115
ACTIVIDADESPARA ENVIAR AL TUTOR 
 
1. Representar, en perspectiva caballera (ángulo del eje Y = 225º y y= 3/4), las 
s: C(0, 8, 2) D(6, 0, 5), m: E(-1, -2, 5) F(2, 7, -3), n: G(-4, -1, 4)H(2, 4, 11)). 
δ μ
siguientes rectas, determinando partes vistas y ocultas: r: A(2, 3, 1) B(1, 4, 2), 
d
 caballera, figura 2, dibujada con ángulo del eje Y δ= 225º y 
 
5. Dibuja la pieza que resulta de seccionar la perspectiva de la figura 3 (ángulo 
del eje Y δ= 225º y μy= 1/2), con el plano que contiene a los puntos A, B y C, 
suprimiendo la parte de delante. 
2. Dado los tres puntos A (1´5, 3, 1) B (5, 1, -3) y C (1’5, -5, 8), ibujar en 
perspectiva caballera el plano que determinan, datos: ángulo del eje Y δ= 210º 
y μy= 2/3. 
3. Dibuja la perspectiva caballera de la pieza de la figura 1. 
4. En la perspectiva
μy= 1/2, hallar la intersección de la recta que une los puntos A y B con la cara 
que determinan los puntos C, D y E.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 116
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
ballera según las proyecciones diédricas de la figura: 
μy=1/2. Indica según las normas, el ángulo α que corresponda a esta 
perspectiva. 
 esta figura según sus proyecciones 
diédricas. Estas nos indican que en la perspectiva deben verse la planta inferior 
s de la figura en la 
posición del ejercicio 3. 
 
1. Trazar la perspectiva ca
2. Dibuja la perspectiva caballera de
y la vista lateral izquierda, μy=1/2. Dibuja el ángulo α que corresponda. 
3. Traza la perspectiva caballera de la figura anterior, sabiendo que μy=1/2 y el 
ángulo XY= 45º. 
4. Dibuja a continuación, las proyecciones diédricas ortogonale
 
 117
 
NORMALIZACIÓN, VISTAS, CORTES Y UNIDAD 14: 
SECCIONES 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Uno de los aspectos que rigen la práctica del dibujo técnico es la creación de la 
 
dibujo. 
 y alcance actual de las normas UNE e ISO respecto 
a formatos, rotulaciones y líneas y también respecto a vistas, cortes y secciones. 
Aprenderemos a usar convencionalismos y simplificaciones en la representación 
distintas formas. 
 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD
norma, ya que partimos de la base de quien solicitamos un lenguaje universal.
Consecuentemente, se hace necesario un conjunto de reglas y recomendaciones que 
harán fiable la transmisión de información que se hacen en 
 
Conoceremos por tanto el origen
 
 
APARTADO 1- ESTUDIO DE LA NORMALIZACIÓN 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
a normalizaciónL es el conjunto de reglas, recomendaciones y prescripciones que 
inalidad de favorecer el comercio, la obtención y la 
s unificados. 
lización son: especificaciones, reglamentos y normas que 
onales. 
oración de la norma UNE.
establecen los diferentes países con la f
realización de objeto
Formas de expresión de la norma
se dividen en nacionales e internaci
La normalización española y elab 
 
Elección de formatos. Las hojas de dibujo deben contener los siguientes elementos, (el 
ivo): 
ión. Conocer contenido y forma de rotular. 
ado 
resto de elementos es facultat
- Cuadro de rotulac
- Recuadro que limite la zona de ejecución del dibujo. 
- Señales de centr
 
 118
 
Líneas normalizadas: 
- Línea continua gruesa, contornos y aristas visibles. 
- Línea de trazos gruesa, contornos y aristas ocultas. 
n 
- Línea continua fina a mano alzada, límite de vistas o cortes parciales, líneas de 
- Línea de trazo y punto fina, ejes de revolución, planos de simetría, trayectorias 
on trazos grueso en los extremos, trazas de plano de 
- Línea continua fina, contorno y aristas ficticias, líneas de cota y referencia, e
rayados, contornos de secciones abatidas, ejes cortos. 
rotura. 
- Línea de trazo y punto fina c
corte 
- Línea de trazo fino y dos puntos, contorno piezas adyacentes, posiciones extremas 
de piezas móviles. 
 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Prioridad de líneas: 
- Contornos y aristas vistas 
- Contornos y aristas ocultas 
- Trazas de plano de corte 
- Ejes de revolución y trazas de plano de simetría 
- Líneas de centro de gravedad 
- Líneas de proyección 
Utilización de las líneas: 
- Líneas de ejes deben sobrepasar de los contornos de las piezas ligeramente y 
circunferencias. 
- En las circunferencias los ejes deben cortarse en los centros. 
 119
- Si dos líneas de trazos son paralelas y próximas se harán éstos alternados. 
 u oculta arranca de otra no se dejan espacios. 
- Si dos o más líneas de trazos concurren en un mismo vértice, los trazos acaban en 
ni a una línea oculta. 
QUIS
- Si una línea sea vista
él. 
- Una línea de trazos no corta, al cruzarse, ni a una línea vista 
- Los arcos de trazos acaban en los puntos de tangencia. 
 
APARTADO 2 -CRO 
ma croquis al trazado a mano alzada, prescindiendo de la ayuda de 
los instrumentos de precisión. En ocasiones, este tipo de dibujo llega a ser tan explícito y 
pormenorizado que puede proporcionar igual información que un trabajo delineado, ya que 
debe reproducir lo más fielmente posible la forma y proporción del objeto. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Proceso para trazar un croquis:
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
En dibujo técnico se lla
 
- Observación de la estructura formal de la pieza y el análisis de las partes de que se 
compone. 
- Se calculan las proporciones, vistas y secciones que se deban contemplar. Se toma 
como alzado la cara que sea más representativa del cuerpo y solo se dibujan las 
vistas necesarias para que quede totalmente definido. 
- Se estudia la distribución sobre el papel. Descripción del grosor de las líneas. 
- Medición del objeto. 
 
 
 120
 
APARTADO 1- VISTAS 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Para la disposición de las 6 vistas de un cuerpo, hay dos sistemas: 
- El español y europeo (normas UNE y DIN), las figuras se proyectan en el 
primer cuadrante y después de abatirlo el alzado se encuentra situado sobre la 
parte superior. 
- El sistema americano (normas ASA), las figuras se proyectan en el tercer 
cuadrante y después de abatirlo la parte superior queda situada sobre el 
alzado. 
 
Trazado de la perspectiva caballera e isométrica 
Recordamos, en el sistema europeo, cada proyección corresponde aun punto de vista 
concreto, siempre el mismo: 
- La planta debajo del alzado 
- La vista lateral derecha, a la izquierda del alzado 
- La vista lateral izquierda, a la derecha del alzado 
 121
De la vista lateral depende la situación del alzado y por lo tanto la posición de la figura. 
erspectiva caballeraP , tendremos siempre el alzado en verdadera magnitud. Te 
la perspectiva de la planta inferior y a resultará más fácil si empiezas a dibujar 
continuación trazas paralelas al eje Z por todos sus vértices, determinando después la 
longitud de estas rectas con las alturas medidas en el alzado. Ver figura. 
 
 
Perspectiva isométrica, de la vista lateral depende la situación del alzado y por lo 
so por las proyecciones 
croquis medidas fundamentales del cuerpo: longitud, anchura y altura. Se 
De
o hemos borrado las líneas ocultas ni el proceso utilizado para trazar 
 
tanto, la posición de la figura, determinada de modo riguro
diédricas cuando sabemos interpretarlas. Se recomienda empezar haciendo un 
con las tres
procede como en perspectiva caballera. 
bes de practicar para adquirir visión espacial. 
En este ejemplo n
la base del cilindro en perspectiva. La figura solo tiene dos vistas pues la tercera no es 
necesaria por ser simétrica respecto de los dos planos que indican los ejes de la
planta. 
 
 122
APARTADO 2 – CORTES Y SECCIONES 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Los cortes y secciones son también cambios de plano. Se trata de representaciones 
convencionales en las que se supone la pieza cortada por un plano paralelo a uno de los 
ejes de la figura. 
En la representación de la vista seleccionada se elimina la parte que corresponde a la 
sección, (la sección es solo la parte de la pieza en contacto con el plano que secciona, lo 
quese dibuja es el corte), para dejar al descubierto su interior. 
 
AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO 
Normas: 
- La parte seccionada lleva un rayado a 45º y a 2mm. de distancia entre las líneas, 
finas y de trazo continuo, que termina en el contorno. En diferentes piezas se 
trazan con inclinaciones diferentes. 
- Cota dentro se interrumpe el rayado. 
- Si es de pequeño grosor se ennegrece totalmente 
- Si es una pieza muy grande se raya el alrededor del contorno y no todo el 
interior. 
- No se seccionan: brazos, pernos, husillos, dientes de ruedas dentadas, tuercas, 
etc. (si se cortan transversalmente si). 
Tipos de cortes: 
- Si el plano de sección no coincide con los planos de simetría o se trata de una 
sección quebrada, la dirección de los rayos visuales se indica con dos flechas. 
- En las piezas mecánicas, las secciones se realizan por planos horizontales o 
frontales y en sección total o media sección, también llamada sección al cuarto. Esta 
última tiene grandes ventajas, se ve la pieza por dentro y por fuera y ahorra tiempo a 
la hora de realizar el dibujo. 
- Cuando el corte es por planos concurrentes girados, a veces el alzado puede ser 
más ancho o más corto que la planta, pero no se da la confusión. 
- En piezas simétricas se puede simplificar dibujando sólo la mitad o cuarta parte. 
- En piezas de gran longitud se interrumpen las vistas ahorrando espacio. 
- Otras vistas auxiliares, basadas en los abatimientos, facilitan la comprensión de la 
pieza cuando alguno de sus elementos se encuentra en un plano oblicuo. En estos 
casos se representa solamente la parte oblicua de la pieza en un plano abatido, que 
no se dibuja. Con esa vista y el alzado, la pieza queda bien representada, como 
vemos al final de los ejemplos que muestra los dibujos a continuación. 
 123
 
 124
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
 Conocer el origen y alcance actual de las normas, valorando su necesidad e 
eas. 
 Conoce las normas UNE e ISO respecto a la vistas cortes y secciones 
a 
• Usa convencionalismos y simplificaciones más usuales en la representación de 
distintas formas. 
 
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
•
importancia. 
• Conocer las normas UNE e ISO respecto a los formatos, rotulación y lín
•
• Traza croquis de piezas ya diseñadas y crea otras nuevas, aplicando los tipos de líne
adecuados. 
• Visiona el interior de piezas a través de cortes y secciones. 
 
 
1. ¿Cuántos formatos A4 contiene un formato AO? 
2. ¿Para qué se utilizan las líneas gruesas y continuas? 
3. ¿Qué líneas tienen prioridad, las de trazos o los ejes? 
4. ¿Cómo son las líneas de referencia? 
5. ¿Qué elementos gráficos debe llevar un formato preimpreso obligatoriamente? 
6. Dibuja la sección al cuarto de la figura dada. 
 
7. Trazar las proyecciones diédricas ortogonales de las figuras representadas por 
su perspectiva isométrica. 
 
 
 
 125
 
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
1. , planta y perfil de las piezas dadas en perspectiva, figuras 1, 2 y 3. 
2. Dibuja la vista as que se representan en las figuras 4 y 5. 
3. Dibuja los cort pieza de las figuras 6,7 y 8. 
 
Dibuja alzado
 de perfil de las piez
es indicados en cada
 
 126
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
ontiene un formato AO? 
Recordamos: A3 = 2 x A4 
A2 = 2 x A3 = 9 x A4 
A1 = 2 x A2 = 8 x A4 
A0 = 2 x A1 = 16 x A4 
Luego el A0 contiene 16 formatos A4 
 
2. ¿Para qué se utilizan las líneas gruesas y continuas? 
Para las líneas vistas, tanto de contornos como de interiores. 
 
3. ¿Qué líneas tienen prioridad, las de trazos o los ejes? 
Tienen preferencia la de trazos sobre la de los ejes. 
 
4. ¿Cómo son las líneas de referencia? 
Son finas y continuas y pueden terminar de tres formas: 
- En círculo blanco, si la línea acaba en el interior del elemento. 
- En una flecha, si acaba en una línea del elemento. 
- En nada, si acaba en una línea de cota. 
 
5. ¿Qué elementos gráficos debe llevar un formato preimpreso obligatoriamente? 
Debe llevar: el cuadro de rotulación, el recuadro y las señales de centrado. 
 
6. Dibuja la sección al cuarto de la figura dada. 
 
1. ¿Cuántos formatos A4 c
 
 
 127
 
7. Trazar las proyecciones diédricas ortogonales de las figuras representadas por su 
perspectiva isométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 128
UNIDAD 15: ACOTACIÓN. 
 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 
 
Por último haremos ver al alumno la importancia de conocer y representar formas 
mediante croquis acotados, usando instrumentos de medida así como las normas UNE e 
ISO respecto a la acotación para finalmente saber interpretar y representar cualquier 
objeto. 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD 
 
APARTADO 1- ELEMENTOS DE ACOTACIÓN 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Acotación es el conjunto de medidas, signos y líneas que aparecen en un dibujo y que 
configuran las dimensiones de una pieza. 
La dimensión acotada es la medida real del objeto, sin tener en cuenta la escala a la que esté 
Las ndo se trate de segmentos 
y en
 
Ele
realizado el dibujo. 
 medidas deben darse preferentemente en milímetros, cua
 grados cuando se acoten ángulos. 
mentos básicos de la acotación: 
- Líneas de cota. Se dibujan con línea continua fina. 
Se dibujan paralelas a la dimensión que se pretende acotar. 
de 5mm. 
ta. 
Deben colocarse como mínimo a unos 8mm. de las aristas de los cuerpos. Las líneas de 
cota paralelas han de estar unas de otras a una distancia uniforme y nunca menos 
Nunca deben rebasar las líneas auxiliares de cota ni las aristas de la pieza. 
Los ejes y las aristas no deben utilizarse como líneas de co
- Líneas auxiliares de cota o de referencia. Se dibujan con línea continua fina. 
es 
te, pero siempre paralelas entre si. 
En piezas cuyos extremos sean chaflanes o estén redondeados, se acotará entre los 
puntos de intersección de las prolongaciones de las aristas. 
Delimitan y son perpendiculares al segmento que se va a acotar, en casos excepcional
se dibujan oblicuamen
 129
Sobresalen aproximadamente unos 2mm. de las líneas de cota. 
En lo posible estas líneas no deben cruzarse con otras líneas. 
 
- La cota. Cifra que representa numéricamente la superficie acotada. 
Se debe utilizar escritura normalizada y altura adecuada. 
i está en otra unidad se debe 
indicar expresamente. 
os por líneas. 
riba y de 
- 
Las medidas de longitud se indican siempre en milímetros y s
No deben estar separados ni cruzad
Las cifras de cota deben situarse siguiendo el orden de lectura de abajo hacia ar
derecha a izquierda. 
Límites de las líneas de cota. Los extremos de las líneas de cota se señalan con flechas 
 
os a 45º he
delimitando el segmento que se va a medir. La punta de la flecha forma unos 15º. 
Si entre aristas del cuerpo o líneas de referencia no hay suficiente espacio para la flecha
de al cota, se limita por puntos o sacando las cifras fuera. 
También se puede limitar por dos traz chos con línea más gruesa. 
La línea de cota puede estar delimitada por una sola flecha en casos de radios y de 
diámetros acortados. 
 
 
 130
APARTADO 2 – PRINCIPIOS DE ACOTACIÓN 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
- 
- istas no vistas. 
- Se evitará la acotación en el interior de las piezas. Se permite una excepción para eludir el 
cruce de las líneas de cota en el interior de las vistas. 
- No sobrecargar las vistas con cotas siempre que sean deducibles por la suma o resta de 
otras cotas. 
- En los dibujos figurarán todas las cotas necesarias para que quede perfectamente definido, 
no omitir ninguna ni repetirla. 
Cada cota se colocará en la vista que de mejor idea de la forma de la pieza. 
Se debe evitar acotar sobre ar
 
APARTADO 3 – ACOTACIÓN DE CURVAS Y ÁNGULOS 
 
QUE T
- Acotación de círculos.
ENEMOS QUE APRENDER 
 Se acotan siempre el diámetro y nunca el radio. 
arán preferentemente formando 45º con los ejes de 
e 60º siempre referidas al eje horizontal. 
as vistas. 
Las líneas de cota se colocsimetría de la circunferencia. 
En caso de círculos concéntricos se usará la inclinación de 45º, luego de 30º y 
posteriormente la d
Las cotas llevan el signo de diámetro φ si éstos se acotan en otr
- Acotación de radios. La línea de cota debe partir del centro del radio y tener una sola flecha 
en el extremo del mismo. En el caso de no tener, un centro conocido se antepondrá a la 
cifra de cota la letra R. 
- Acotación de ángulos. Las líneas de cota pasan a ser curvas, arcos de circunferencia con el 
 131
centro en el vértice del ángulo. Debe evitarse la acotación en el espacio comprendido entre 
0 y 30º con respecto al eje horizontal ya que las cifras de cota quedarían con los números 
invertidos. 
- Acotación entre centros. Cuando la figura tiene círculos que no son concéntricos, la 
distancia entre los centros es una cota fundamental par situarlos en su lugar. 
En acotación, ésta se determina prolongando los ejes paralelos y acotando su distancia, 
como vemos en los ejemplos. 
 
 
APARTADO 4 - SISTEMAS DE ACOTACIÓN 
El proceso de fabricación 
Comprobación o verificación de control 
 
 
QUE TENEMOS QUE APRENDER 
Para acotar una pieza correctamente se debe tener en cuenta: 
Función a desempeñar 
Según el proceso de fabricación: 
- Acotación en serie, cada elemento se acota a continuación del otro. 
- Acotación en paralelo cuando varias cotas de la misma dirección tiene en un elemento de 
binada
referencia común. 
- Acotación com cuando combinamos en serie y paralelo. 
- Acotación por coordenadas se utiliza en piezas que tienen varios taladros. Se elige un 
as de los centros, así como el valor de los diámetros, 
nto a la pieza. 
origen de referencia y las coordenad
se colocan en una tabla ju
 132
 
 
CRITERIO DE EVALUACIÓN 
 
• Conocer el origen y alcance actual de las normas de acotación, valorando su 
necesidad e importancia. 
• Conocer las normas UNE e ISO respecto a la acotación. 
 Representa formas mediante croquis acotados. 
sentación de distintas formas. 
AUTOEVALUACIÓN
•
• Usa convencionalismos y simplificaciones en la repre
 
ACTIVIDADES DE 
, ¿se pueden cortar por 
alguna línea? 
5. ¿En qué vistas se ponen las cotas dimensionales? 
6. ¿Cómo se acota en zonas rayadas? 
7. Acotar las piezas dadas. 
 
1. ¿Qué elementos intervienen en la acotación? 
2. Las líneas de cota, ¿cómo deben ser respecto a las aristas que miden? 
3. ¿Las circunferencias se acotan por su radio? 
4. La cifra de cota, junto con los símbolos que la acompañen
 133
 
8. Acotar la pieza según normas, teniendo en cuenta la cota señalada. 
 
 
ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 
1. Dada la perspectiva isométrica de las figuras 1 y 2, dibujar a escala 1:1 y acotar 
las vistas, tomando como alzado la dirección A. 
2. Dada la perspectiva isométrica de la pieza dibujada, figura 3, se pide: las vistas 
alzado, planta y perfil de dicha pieza, a escala 1:1, en el sistema europeo, 
acotándola debidamente para su correcta definición. 
3. Acotar la pieza dada de las figuras 4 y 5, según normas. 
 
 134
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 135
 
 
SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 
 
1. ¿Qué elementos intervienen en la acotación? 
Las líneas de cota, líneas de proyección o auxiliares, líneas de referencia, cotas y flechas. 
 
2. Las líneas de cota, ¿cómo deben ser respecto a las aristas que miden? 
Las líneas de cota deben ser paralelas respecto a las aristas. 
 
3. ¿Las circunferencias se acotan por su radio? 
Nunca, se acotan por su diámetro. 
 
4. La cifra de cota, junto con los símbolos que la acompañen, ¿se pueden cortar por alguna 
línea? 
La cifra de cota no se puede cortar por ninguna línea, es ésta la que debe interrumpirse. 
 
5. ¿En qué vistas se ponen las cotas dimensionales? 
En aquellas vistas en las que se vea mejor la forma del elemento dimensionado. 
 
6. ¿Cómo se acota en zonas rayadas? 
Hay que interrumpir el rayado para situar la cota. 
 
7. Acotar las piezas dadas. 
 
 136
 137
8. Acotar la pieza según normas, teniendo en cuenta la cota señalada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
	UNIDADES DIDACTICAS DE BACHILLERATO A DISTANCIA
	PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
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