Apuntes CCSS Tablet 3-4-5

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Centro Asociado Palma de Mallorca 
Tutor: Antonio Rivero Cuesta 
MMaatteemmááttiiccaass 
CCiieenncciiaass 
SSoocciiaalleess 
TTeemmaa		33		
GGeeoommeettrrííaa		
GGeeoommeettrrííaa		
AAnnaallííttiiccaa		
Teorema de Pitágoras 
 
 
h2 = b2 + c2 
 
 
 
 
 
2 2 2h b c 
Sistemas de Coordenadas 
Un sistema de referencia cartesiano tiene los 
siguientes elementos: 
 Origen. 
 Ejes de coordenadas. 
o Eje de abscisas, x. 
o Eje de ordenadas, y. 
 Puntos: (x,y) 
Eje y - Ordenadas
Eje x - Abscisas
Primer CuadranteSegundo Cuadrante
Cuarto CuadranteTercer Cuadrante
+
−
− + 
 
 
 
 
 
 
Distancia entre dos Puntos (x,y) y (x´,y´) 
 
 
 
 
 
   2 2h x x y y    
 
 
 
 
 
 
   2 2h x x y y    
RReeccttaass		
eenn		eell		
PPllaannoo		
Ecuación General de la Recta 
 
Ax+By+C = 0 
 
A, B y C son números Reales 
Recta Paralela Eje de Ordenadas 
 
Ax+By+C = 0 
 
Si B = 0 tenemos que: 
 Cx
A
 
 
 
 
 
 
 
3x 
Recta Paralela Eje de Abscisas 
 
Ax+By+C = 0 
 
Si A = 0 tenemos que: 
 Cy
B
 
 
 
 
 
 
 
2y  
Ecuación Explicita de la Recta 
 
y = ax + b 
 
Pendiente: a, indica la inclinación. 
Ordenada en el origen: b, nivel de la recta donde 
corta al eje de ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
2 1y x 
Ecuación Recta Pasa dos Puntos 
Si dos puntos tienen abscisas distintas: 
x1 … x2 
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos 
(x1,y1) y (x2,y2) es : 
 
 
 2 1 1 1
2 1
y yy x x y
x x

  

Ecuación Recta Pasa dos Puntos 
Si dos puntos tienen abscisas iguales 
 
x1 = x2 
 
La ecuación es 
 
x = x1 
Condición Alineación Tres Puntos 
Tres puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3), están 
alineados si: 
 
 
 
 
o bien x1 = x2 = x3. 
3 1 2 1
3 1 2 1
y y y y
x x x x
 

 
Posición Relativa de dos Rectas 
El punto de intersección de dos rectas es la 
solución del sistema de ecuaciones. 
 
Posición Relativa de dos Rectas 
 Se Cortan. 
 Paralelas. 
 Coincidentes. 
 
Se Cortan 
 
 
 
 
2 1y x 3 4y x  
Paralelas 
 
 
 
 
2 1y x 
2 2y x 
Coincidentes 
 
 
 
 
2 1y x 
2 4 2y x 
Rectas Paralelas 
Las rectas de ecuaciones: 
 
y = ax + b 
y = a´x + b´ 
 
Son paralelas si a = a´ 
Posición Relativa de dos Rectas 
La ecuación de la recta paralela a la recta 
y = ax + b 
por el punto (x0, y0) es 
 
 
 
 0 0y a x x y  
Recta Paralela por un Punto 
 
 
 
 
2 1y x 2 2y x 
(1,1)
Posición Relativa de dos Rectas 
En el caso de una recta vertical x = k. 
La paralela por (x0, y0) es la vertical x = x0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3x La paralela por (‒1, 2)
Rectas Perpendiculares 
La ecuación de la perpendicular a la recta 
y = ax + b 
por el punto (x0, y0), es 
 
  0 0
1y x y
a
x   
Recta Perpendicular Punto 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
y x  2 2y x 
(1, 1)
Posición Relativa de dos Rectas 
Si a = 0, 
La recta es paralela al eje de abscisas. 
Su perpendicular por el punto (x0, y0) es la 
paralela al eje de ordenadas x = x0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2y  
 (3, 2)Punto 
3x 
Posición Relativa de dos Rectas 
Simétricamente la perpendicular a la recta 
vertical x = k por (x0, y0), 
Es la paralela al eje de abscisas y = y0. 
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el 
producto de sus pendientes es −1 
 
Posición Relativa de dos Rectas 
 
r y s 
Ecuación explícita
r y ax b
s y a x b
  
    
Ecuación general
0
0
r Ax By C
s A x B y C
   
     
Se cortan a a A BA B  
Paralelas a a y b b A B CA B C    
Coincidentes a a y b b A B CA B C    
 
FFiigguurraass		
GGeeoommééttrriiccaass		
PPllaannaass		
Polígonos 
Perímetro, es la longitud total de su contorno. 
Área de un rectángulo. 
 Es el producto de sus lados. 
Área de un paralelogramo. 
 Es el producto de su base por su altura. 
Área de un triángulo. 
 Mitad del producto de su base por su altura. 
Área de un Rectángulo 
A = a · b 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 
b 
Área de un Paralelogramo 
A = b · h 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
 
b
Área de un Triángulo 
 
 
 
 
 
 
 
 h 
2
b hA 
b
La Circunferencia 
Una circunferencia es una línea curva cerrada 
cuyos puntos están todos a la misma distancia 
de un punto fijo llamado centro. 
 
 
    2 2 20 0x x y y r   
La Circunferencia 
 
 
 
 
 
radio
diámetro 
La Circunferencia 
La ecuación de la forma: 
 
 
 
 
2 2 0x y ax by c    
Centro de la Circunferencia 
Punto del que equidistan todos los puntos de la 
circunferencia. 
 
 
 
 
 
: ,
2 2
a bc    
 
Radio de una Circunferencia 
Segmento que une el centro de la circunferencia 
con un punto cualquiera de la misma. 
 
 
 
2 21 4
2
r a b c  
Círculo 
Es la figura plana comprendida en el interior de 
una circunferencia. 
Dada la circunferencia de centro (x0,y0) 
Su círculo es: 
 
    2 2 20 0x x y y r   
Círculo 
 
 
 
 
 
 
radio
diámetro 
Círculo 
Longitud de la Circunferencia: 
L = 2πr 
Área del Círculo: 
A = πr2 
Circunferencia y Círculo 
La circunferencia es el borde. 
El círculo es el interior. 
 
TTeemmaa		44		
AAnnáálliissiiss		
FFuunncciioonneess		
Concepto de Función 
Una función f es una relación entre un conjunto 
inicial dado X y otro conjunto final de elementos 
Y. 
A cada elemento x del conjunto inicial le 
corresponde un único elemento f (x) del conjunto 
final. 
Una función es una aplicación → . 
Rango de Variación 
 
 
 
 
 
a ≤ x ≤ b 
a ≤ x < b 
a < x ≤ b 
a < x < b 
[a,b] 
[a,b) 
(a,b] 
(a,b) 
a b
a b
a b
a b
Función 
Es una aplicación de un cierto Intervalo I de 
números reales en el conjunto de los números 
reales. 
Utilizamos la notación: 
f : I → 
Dominio de Definición 
Son los valores para los cuales una función está 
definida. 
Es decir, lo que podemos dibujar de una 
función. 
 
 
Representación Gráfica 
El método habitual para especificar una función 
consta siempre: 
 De un intervalo de definición I. 
 El conjunto de puntos del plano cuya 
abscisa es un valor x I y ordenada f(x). 
 
I = (−2, 1) 
f(x) = x
3
 − 3x + 6 
 
 
 
 
 
Tipos de Función 
 
 Polinómica. 
 Raíces. 
 Racionales. 
Función Polinómica 
Una función polinómica está definida en todo . 
 
I = (−2, 2) 
f (x) = x3 −3x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = (−2, 2) 
f(x) = x
3
 − 3x + 2 
Función de una Raíz 
Su dominio son todos los números que hacen 
que el radicando sea mayor o igual que cero. 
 
I = [−1/2, ∞) 
 
  2 1f x x 
  2 1f x x 
I = [−1/2, ∞) 
 
 
 
 
 
 
Funciones Racionales 
Pueden tener asíntotas verticales. 
Su dominio es todo excepto los números que 
anulan el denominador. 
Expresión del denominador igual a 0. 
 
  1
1
f x
x


I = (− ∞, 1) (1, ∞) 
 
 
 
 
 
 
 
Características de las Funciones 
Función creciente, cuando x aumenta dentro de 
un intervalo, f(x) aumenta. 
 
Función decreciente, cuando x aumenta dentro 
de un intervalo, f(x) disminuye. 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = x
3
 − 3x + 6
Características de las Funciones 
Máximo relativo. 
Mínimo relativo. 
La derivada de una función en un máximo o 
mínimo local o relativo vale 0. 
 
Asíntotas Verticales 
Se presentan en aquellos puntos que anulan el 
denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1
1
f x
x


I = (− ∞, 1) (1, ∞) 
Asíntotas Horizontales 
Se presentan en las funciones cuando el 
numerador tiene grado menor o igual al 
denominador. 
 
 
 
 
 lim
x
f x

 
 
 
 
 
 
 
 
2
3 4
xf x
x


Asíntotas Oblicuas 
Se presentan cuando el grado del numerador 
excede en una unidad del grado del 
denominador. 
Son incompatibles con las asíntotas 
horizontales. 
Son rectas del tipo y = ax+ b. 
Asíntotas Oblicuas 
y = ax + b 
 
 
 
( )lim
lim( ( ) )
x
x
f xa
x
b f x ax



 
 
2y x 
2x 
 
2 1
2
xfx
x



LLíímmiitteess		yy		
CCoonnttiinnuuiiddaadd		
Límite de una Función en un Punto 
El límite describe cómo se comporta una función 
cuando se aproxima a un determinado valor. 
Un límite existe si el valor de los límites laterales 
en un punto es el mismo. 
El límite de una función en un punto si existe, es 
único. 
  2
1
1
x
lim f x x x

  
Límite de una Función 
 
 
 
  2
1
1
x
lim f x x x

  
 
 
 
 
 
 22
2
2x
lim f x
x


Límite de una Función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
2
2x
lim f x
x


 
2
1
4 2x
lim f x
x


Límite de una Función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1
4 2x
lim f x
x


Límites Elementales 
 
 
 
 
 
Estas reglas son válidas siempre que el 
resultado esté bien determinado, existen unos 
casos donde la función resulta indeterminada: 
 ∞ ‒ ∞. 
 0 · ∞. 
 0/0. 
 ∞ / ∞. 
La Regla de L'Hôpital 
Se aplica para eliminar indeterminaciones que 
resultan de reemplazar el valor numérico del 
límite en la función dada. 
 
 
La Regla de L'Hôpital 
Se deriva el numerador y el denominador por 
separado. 
Sean las funciones originales 
Se obtendrá: 
 
 
f x
g x
 
 
f x
g x


 
 
 
 
21
1
xf x
x



Funciones Continuas 
La función f (x) tiene que estar definida. 
El valor de los límites laterales tiene que ser el 
mismo. 
Se tiene que verificar 
 
   
0
0limx x f x f x 
  2
1
1
f x
x


 
 
 
 
 
  1
1
f x
x


 
 
 
 
 
 
  1
1
f x
x


 
 
 
 
 
  2
1
1
f x
x


 
 
 
 
 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
  

0
0( ) lim ( )x xf x f x
Discontinuidad Evitable 
Una discontinuidad evitable en un punto x0 es 
aquella en que los límites laterales coinciden, 
pero el valor de la función en el punto no, es 
decir: 
 
 
 
Discontinuidad Evitable 
La imagen de x0 no existe o no coincide con su 
límite. 
Cuando una función presenta una discontinuidad 
evitable en un punto, se puede redefinir en dicho 
punto para convertirla en una función continua. 
 
 
3
2
1
1
xf x
x



Discontinuidad Evitable 
La función presenta una 
discontinuidad evitable en x = 1. 
No tiene imagen. 
Los límites laterales coinciden 
No tiene Límite en x = − 1
 
 
 
 
21
1
xf x
x



 
21 1
1
 2 1
x si xf x x
si x
 
 
 
Función Redefinida
Tiene una discontinuidad Evitable 
 
 
 
 
 
 
CCáállccuulloo		
DDiiffeerreenncciiaall		
     
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x

 

Concepto de Derivada 
Si f es una función definida en un intervalo I y 
x0 I, la derivada de f en x0 es: 
 
 
 
suponiendo que el límite exista. 
Concepto de Derivada 
Una función f se denomina derivable en el punto 
x0 si la derivada f´(x0) existe y es finita. 
Toda función derivable en un punto x0 es 
continua en x0. 
La derivada es el resultado de un límite y 
representa la pendiente de la recta tangente a la 
gráfica de la función en un punto. 
Tangente a una Curva 
La derivada f´(x0) es la pendiente de la recta 
tangente a la gráfica de la función f en el punto 
(x0, ( f (x0))). 
 
 
 
 
Ecuación de la Tangente 
y = f´(x0)·(x − x0) + f (x0) 
y además pasa por el punto: 
(x0, ( f (x0))) 
 
2 1y x 
  2f x x
 
 
 
 
Cálculo de Derivadas 
Suma ( f + g)´ = f´+g´ 
Producto ( f · g )´ = f´g + g´f 
Cociente 2
f f g fg
g g
    
 
 
Cálculo de Derivadas 
Función Constante 
Si f (x) = c, entonces f´(x) = 0 
Función Identidad 
Si f (x) = x, entonces f´(x) = 1 
 
  1c cf c f f  
       f g x f g x g x     
Cálculo de Derivadas 
 
Potencia de f 
 
Función Compuesta 
 
Aplicaciones de las Derivadas 
Si f es una función definida y derivable en un 
intervalo I: 
 Los intervalos de crecimiento coinciden 
con los intervalos en que f´ ≥ 0. 
 Los intervalos de decrecimiento coinciden 
con los intervalos en que f´ ≤ 0. 
 
 
 
 
  2f x x
Extremos Relativos 
Si f es una función derivable en x0. 
Y tiene en x0 un máximo o mínimo relativo. 
Entonces f´(x0 ) = 0. 
 
Extremos Relativos 
Para una función f derivable en todos los puntos 
de un intervalo (a,b). 
• La resolución de f´(x0) = 0 con x (a,b). 
• Proporciona todas las abscisas candidatas a 
ser máximos o mínimos relativos de f en (a,b). 
 
Derivada Segunda 
Sea f derivable en todos los puntos de un 
intervalo alrededor de x0. 
f´ la función derivada de f. 
La derivada de f´ en x0, si existe, se denomina 
derivada segunda de f. 
Se representa por f´´ 
Derivada Segunda 
Si f tiene derivada que es derivable en x0, se 
cumple f´(x0) = 0 y: 
 f´´ > 0, entonces f tiene un mínimo relativo 
en x0. 
 f´´ < 0, entonces f tiene un máximo relativo 
en x0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
  3 3 6f x x x  
Curvatura de una Función 
 Convexa. 
 Cóncava. 
 Puntos de Inflexión. 
Función Convexa 
En aquellos intervalos en que la pendiente de la 
tangente, f´(x) crece. 
Si la f´´ (x0) > 0, f es convexa en el punto x0. 
 
Función Cóncava 
Cuando la pendiente de la tangente f´(x) 
decrece. 
Si la f´´ (x0) < 0, f es cóncava en el punto x0. 
 
 
Puntos de Inflexión 
Son los puntos en los que una función pasa de 
ser cóncava a ser convexa o viceversa. 
Si la f´´(x0) = 0, f es un posible punto de inflexión. 
 
 
  3f x x x  
 
 
 
 
 
  3 3f x x x  
 
 
 
 
 
TTeemmaa		55		
PPrroobbaabbiilliiddaadd		yy		
EEssttaaddííssttiiccaa		
AAzzaarr		yy		
PPrroobbaabbiilliiddaadd		
Azar y Necesidad 
Un fenómeno aleatorio es aquel que bajo el 
mismo conjunto aparente de condiciones 
iniciales, puede presentar resultados diferentes, 
es decir, no se puede predecir el resultado 
exacto de cada experiencia particular. 
 
Certeza y Probabilidad 
La probabilidad de un acontecimiento posible 
es un número entre 0 y 1. 
 
 
MMooddeelloo		
MMaatteemmááttiiccoo		ddee		llooss		
FFeennóómmeennooss		
AAlleeaattoorriiooss		
Modelo Matemático de los Sucesos 
Un suceso es un fenómeno aleatorio que 
podemos decir si ha ocurrido o no. 
Un espacio de posibilidades es el conjunto de 
los resultados posibles de un experimento 
aleatorio y se designa por . 
Los sucesos relativos a un fenómeno aleatorio 
se identifican con los subconjuntos de su 
espacio de posibilidades. 
Modelo Matemático de los Sucesos 
Los subconjuntos con un único elemento se 
denominan sucesos simples. 
Los subconjuntos que tienen varios elementos 
se denominan sucesos compuestos y son 
agregados de sucesos simples. 
 
Modelo Matemático de los Sucesos 
El espacio de posibilidades es un suceso 
compuesto que contiene como elementos a 
todos los resultados posibles del experimento y 
recibe el nombre de suceso seguro. 
El subconjunto vacío ∅ representa el suceso 
imposible. No es simple ni compuesto. 
 
Ejemplos de Sucesos 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = Sale par = {2, 4, 6} 
B = Sale múltiplo de 3 = {3, 6} 
C = A y B ocurren = {6} 
D = A o B ocurren = {2, 3, 4, 6} 
E = A no ocurre = {1, 3, 5} 
Ejemplos de Sucesos 
Ω = {☺☺,☺✚,✚☺,✚✚} 
A = “obtener más caras que cruces” 
{☺☺} 
B = “sale al menos una cara” 
{☺✚,✚☺,☺☺} 
Operaciones con Sucesos 
Inclusión A B 
 Siempre que ocurre A ocurre B. 
Intersección A B 
 Ocurre siempre que el resultado pertenezca 
a A y B. 
 
Operaciones con Sucesos 
Unión A B 
 Ocurre siempre que el resultado pertenezca 
a A o B o los dos. 
Complementación AC 
 Sucede siempre cuando el resultado no 
pertenece a A. 
Modelo Matemático de la Probabilidad 
La probabilidad P(A) es un número que 
asociamos a cada suceso del espacio de 
posibilidades . Cumple lo siguiente: 
 0  P(A)  1 
 P() = 1 
 Si A ∩ B = , entonces P(A B)=P(A) + 
P(B). 
 Si A es un suceso, P(AC)=1 − P(A). 
Asignación de Probabilidades en 
un Espacio Finito 
Para definir una probabilidad en un espacio que 
tenga un número finito de resultadosposibles: 
 Asignamos una probabilidad a cada suceso 
simple. 
 Deben ser entre 0 y 1. 
 La suma tiene que ser 1. 
La probabilidad de los restantes sucesos se 
calculan sumando las probabilidades de los 
sucesos simples que los componen. 
 
 
  
 
número de casos favorables a AP A
número de casos posibles

Regla de Laplace 
 
 
 
 
PPrroobbaabbiilliiddaaddeess		
CCoonnddiicciioonnaaddaass		
    
P A B
P B A
P A


Probabilidad Condicionada 
• La probabilidad de que ocurra el suceso B 
cuando sabemos que A ha ocurrido se 
denomina probabilidad de B condicionada 
por A y se designa por el símbolo 
P(B|A) 
 
     P A B P A P B A  
Cálculo con Probabilidades Condicionadas 
Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que 
ocurran ambos sucesos es igual a la 
probabilidad de que ocurra primero A, por la 
probabilidad de que ocurra B si ya ha ocurrido A. 
 
 
 
             1 1 2 2 ... n nP A P B P A B P B P A B P B P A B      
Fórmula de la Probabilidad Total 
 
 
 
 
 
 
Regla de Bayes 
Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de 
que A haya ocurrido, suponiendo que B ha 
ocurrido, se puede calcular mediante la regla de 
Bayes. 
 
 
 
      
P B A
P A B P A
P B

Independencia de Sucesos 
En un fenómeno aleatorio determinado diremos 
que el suceso B es independiente del suceso A 
si se cumple 
 
P(B|A) = P(B) 
Independencia de Sucesos 
Dos sucesos A y B son independientes si se 
cumple 
 
P(A⋂B) = P(A) · P(B) 
 
       1 2 1 2... ...n nP A A A P A P A P A  
Series Independientes de 
Fenómenos Aleatorios 
La probabilidad de que ocurran simultáneamente 
todos estos sucesos es igual al producto de sus 
probabilidades. 
 
 
VVaarriiaabblleess		ddee		llaa		
EEssttaaddííssttiiccaa		
DDeessccrriippttiivvaa		
Conceptos Básicos en Estadística 
Población, conjunto de seres u objetos acerca 
de los que se desea obtener información. 
Individuo, cada uno de los elementos de los 
miembros de la población. 
Conceptos Básicos en Estadística 
La estadística es la ciencia que estudia 
mediante métodos cuantitativos, características 
de las poblaciones obtenidas como síntesis de la 
observación de unidades estadísticas. 
Censo, consiste en anotar determinadas 
características de todos los individuos de una 
población. 
Conceptos Básicos en Estadística 
La estadística descriptiva es la parte de la 
estadística que estudia las ideas, métodos y 
técnicas para la descripción gráfica y numérica 
de los conjuntos numerosos. 
Muestra, subconjunto de individuos que son 
observados para obtener información sobre el 
total de la población a que pertenecen. 
Conceptos Básicos en Estadística 
Inferencia estadística, parte de la estadística 
que estudia los métodos para establecer 
conclusiones sobre una población a partir de una 
muestra de la misma. 
 
 
Variables y Observaciones 
Los atributos o magnitudes que se observan en 
los individuos de la población se denominan 
variables estadísticas. 
 De los atributos presentan modalidades. 
 De las magnitudes toman valores. 
El conjunto de modalidades o valores de cada 
variable medidos en un individuo constituye una 
observación. 
Clasificación de las Variables 
Variable Cualitativa mide atributos y sus 
modalidades no son numéricas sino simples 
etiquetas. 
Variable Cuantitativa cuando los valores que 
toma son numéricos. 
Discretas, si toman valores discretos como 0, 1, 
2,… 
Clasificación de las Variables 
Continuas, si es razonable suponer que puede 
tomar cualquier valor intermedio. 
Variables nominales son las que representan 
atributos cuyas modalidades no pueden ser 
ordenadas ni operadas conforme a las reglas 
aritméticas. 
 
Clasificación de las Variables 
Variables ordinales son las que tienen 
modalidades que pueden ser ordenadas de 
mayor a menor. 
Variables medidas en escala de intervalos son 
las que valoran alguna cualidad cuantificable de 
los individuos en la que el 0 de la escala de 
medida tiene un carácter relativo. 
Clasificación de las Variables 
Variables medidas en escala de razón son las 
que valoran una cualidad de modo que el 0 tiene 
un sentido absoluto. 
Tomar el valor 0 significa ausencia absoluta de 
la cualidad. 
 
 
Frecuencia Absoluta 
La frecuencia absoluta de una modalidad o 
valor de la variable es el número de 
observaciones que presentan esa modalidad o 
valor. 
La suma de frecuencias absolutas: 
 
F1+F2+…+Fk = N 
i
i
Ff
N

Frecuencia Relativa 
La frecuencia relativa de la modalidad o valor xi 
es la proporción de observaciones que 
presentan el valor xi . 
Se representa por: 
 
 
Frecuencia Relativa 
La suma de las frecuencias relativas de todas 
las modalidades o valores es igual a 1. 
El porcentaje de una modalidad o valor xi es 
igual a multiplicar por 100 su frecuencia relativa. 
Se representa por. 
pi=100·fi. 
 
Frecuencia Absoluta Acumulada 
Es la suma de las frecuencias absolutas de 
todos los valores menores o igual que xj. 
Se representa por: 
 
Nj = F1 + F2 + … + Fj 
Frecuencia Relativa Acumulada 
Es la suma de las frecuencias relativas de todos 
los valores menores o igual que xj. 
Se representa por: 
 
nj = f1 + f2 + … + fj 
DDeessccrriippcciióónn		
GGrrááffiiccaa		ddee		uunnaa		
DDiissttrriibbuucciióónn		ddee		
FFrreeccuueenncciiaass		
Variables Cualitativas 
• Diagramas de Sectores. 
• Diagramas de Barras. 
• Pictogramas. 
 
Variables Cuantitativas 
La representación de las distribuciones de 
frecuencias de variables cuantitativas puede 
hacerse, de forma similar a las variables 
cualitativas. 
Mediante diagramas de barras, que en este caso 
se suelen llamar histogramas. 
Histogramas 
Es similar al diagrama de barras empleado para 
variables cualitativas. 
Se construye de forma análoga atendiendo al 
principio de proporcionalidad entre áreas y 
frecuencias. 
 
Variables Discretas 
Los valores son números enteros. 
Se emplean líneas rectas levantadas sobre el 
lugar del eje en que se ubican los diferentes 
valores de la variable. 
 
Histogramas 
 
 
 
 
Variables Continuas 
Para lograr una representación más significativa 
se recurre al histograma con valores 
agrupados. 
 
 
Construcción Histograma 
Se determina el rango de posibles valores de 
la variable, a partir de los valores mínimo y 
máximo que se observan en los datos. 
 
 
Construcción Histograma 
Se divide el rango en k intervalos de clase: 
[ei-1, ei) i = 1,…,k 
Formados por los valores x tales que 
ei-1 < x < ei , i = 1,…,k 
La amplitud de la clase es el número 
ai = ei - ei-1 
1
2
i i
i
e ex  
Construcción Histograma 
Se calcula la marca de clase xi, que es el 
punto medio de cada intervalo de clase 
 
 
 
Construcción Histograma 
Se calcula la frecuencia absoluta de cada 
intervalo de clase contando el número de 
observaciones que caen dentro del mismo. 
Se dibujan las barras del diagrama en forma de 
rectángulos, cuya base es igual a la longitud del 
intervalo de clase y su área es proporcional a la 
frecuencia del intervalo. 
 
 
 
 
 
 
DDeessccrriippcciióónn		
NNuumméérriiccaa		
DDiissttrriibbuucciióónn		
FFrreeccuueenncciiaass		
1 2
1
...1 n n
i
i
x x xx x
n n
  
 
Medidas de Centralización 
La media aritmética es igual a la suma de todos 
sus valores dividida entre el número de 
sumandos. 
 
 
 
1 1 2 2 1
1 2
...
...
n
i i
n n i
n
x F
x F x F x Fx
F F F N
   
  

Medidas de Centralización 
La media aritmética de una distribución de 
frecuencias absolutas. 
 
 
 
1 1 2 2
1
...
n
n n i i
i
x x f x f x f x f

    
Medidas de Centralización 
La media aritmética de una distribución de 
frecuencias relativas. 
 
 
 
max minR x x 
Medidas de Dispersión 
El rango o recorrido de una variable es la 
diferencia entre los valores máximo y mínimo de 
la variable. 
Se representa por: 
 
 
       
22 2
21 22
1
... 1 nn
i
i
x x x x x x
s x x
n n 
     
  
Varianza 
Es la media aritmética de los cuadrados de sus 
desviaciones respecto de la media, se 
representa por: 
 
 
 
     
 
2 2 2
1 2
2
1
...
1
n
n
i
i
x x x x x x
s
n
s x x
n 
     

 
Desviación Típica 
Es la raíz cuadrada de la varianza. 
Se reprenda por: 
 
 
     
 
2 2 2
1 1 2 22
1 2
2
1
...
...
1
n n
n
n
i i
i
x x F x x F x x F
s
F F F
x x F
N 
     

  

Varianza de una Distribución de 
Frecuencias Absolutas 
 
 
 
 
     
 
2 2 22
1 1 2 2
2
1
... n n
n
i i
i
s x x f x x f x x f
x x f

      

Varianza de una Distribución de 
Frecuencias Relativas 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2 21 2
1
... 1 nn
i
i
x x xs x x x
n n 
  
   
Varianza 
La varianza es igual a la media de los 
cuadrados de los datos menos el cuadrado de la 
media. 
Se representa por: 
 
 
CV
x


Coeficiente de Variación 
Coeficiente de variación al cociente entre la 
desviación típica y la media, suele expresarse en 
forma de porcentaje. 
 
 
 
	TEMA 3 GEOMETRÍA
	3.1 GEOMETRÍA ANALÍTICA
	3.2 RECTAS EN EL PLANO
	3.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
	TEMA 4 ANÁLISIS
	4.1 FUNCIONES
	4.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD
	4.3 CÁLCULO DIFERENCIAL
	TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
	5.1 AZAR Y PROBABILIDAD
	5.2 MODELO MATEMÁTICODE LOS FENOMENOS ALEATORIOS
	5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADAS
	5.4 VARIABLES DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
	5.5 DESCRIPCIÓN GRÁFICADE UNA DISTRIBUCIÓN DEFRECUENCIAS
	5.6 DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DEFRECUENCIAS