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Unidad
Números racionales
Qué? Para qué? Dónde?
onjunto de los números racionales
( ), representación, clausura y
densidad.
Identifi car números racionales en diversos contextos. Páginas 12 a 15.
Números decimales periódicos y
semiperiódicos. Aproximación por
redondeo y truncamiento.
Representar números racionales con números decimales y
viceversa.
Páginas 16 a 21.
Adición, sustracción, multiplicación y
división en . Propiedades.
Aplicar diversos procedimientos que involucren cálculos en
el conjunto .
Páginas 22 a 25.
os números han surgido a lo largo de la historia por la necesidad del hombre de contar,
medir, repartir, entre otras cosas. El conjunto de los números enteros, por ejemplo, no fue
sufi ciente para representar todas las situaciones cotidianas relacionadas con ellos. Por
esta razón aparecieron otros conjuntos numéricos, como el de los números racionales.
En la vida diaria es frecuente el uso de fracciones. Por ejemplo, si se tiene que una receta
de cocina rinde para 6 personas y se quiere preparar una cena para dos, entonces se deben
tomar
2
6
, es decir,
1
3
de cada ingrediente y así adaptar para 2 personas la receta inicial.
0 Unidad 1 úmeros racionales
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) Justifi ca por qué la expresión “
2
6
, es decir,
1
3
” es cierta.
2) ¿En qué actividades de la vida diaria es posible utilizar fracciones? Ejemplifi ca con 3 situaciones.
3) ¿Qué opinas sobre la utilización de fracciones en la vida cotidiana? ¿Son realmente necesarias?
¿Por qué?
Comprender consiste en construir signifi cado a partir de información comunicada en forma oral,
escrita y/o gráfi ca. Para comprender es posible utilizar la representación.
nicializando
Dado el siguiente conjunto, resuelve lo que se pide.
A = 8;
7
6
; ;
3
4
; 5;
2
; 7;
9
; 0; –5; –5,3;–
6
) Al ordenar el conjunto anterior en forma decreciente, ¿qué número ocupa la quinta posición?
2) Si se comparan las fracciones
1
2
y
1
9
, ¿qué número es mayor? ¿Por qué?
3) Representa los elementos del conjunto de manera ordenada. Para ello, ubícalos en la recta numérica.
0
Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
úmeros racionales
Tres amigos comparten una izza de manera equitativa. El primero dice que le
corresponden 0,33… partes de la izza; el segundo dice que le corresponde
1
3
de la
izza; el tercero dice que ambos están en lo correcto. ¿Es verdad lo que afi rma el
tercer amigo?
Si es cierto lo que afi rma el tercer amigo, habría que verifi car que 0,33...=
1
3
. Luego:
° Sea x = 0,33….
2° Si se multiplica por 10, se tiene: 10 x = 3,33….
3° Si se resta 2° – °, se tiene que: 10x – x = 3,33… – 0,33…
9x = 3 /
1
3
x=
1
3
Para verifi car que
1
3
=0,33... basta con realizar la división 1 : 3. Por lo tanto, 0,33...=
1
3
.
Entonces, el tercer amigo sí estaba en lo correcto.
¿Qué tipo de representación crees que es más adecuada para interpretar lo que le
corresponde a cada amigo? ¿Por qué?
El conjunto de los números racionales ( ) surge
por la necesidad de resolver problemas que no tienen
solución en el conjunto de los números enteros y se
defi ne de la siguiente manera:
= xx / x =
a
b
, a y b ; b 0∈ ∈
≠
Es decir, el conjunto de los números racionales está
compuesto por todos los números que pueden
ser escritos como una fracción cuyo numerador y
denominador (distinto de cero) son números enteros.
Ejemplo:
3
5
se puede interpretar como 3 partes de
un total de 5 partes iguales.
Además, números como –
1
2
; 0,3; –– 1,24; 1; 0; etc,
también son números racionales.
ara grabar
1. Representa mediante regiones los siguientes números decimales.
a.
6
7
b.
7
2
c.
1
5
¿Es posible hacer una representación gráfi ca del número –
3
5
? Justifi ca tu
respuesta.
2. Evalúa las fracciones y marca la que corresponde a cada intervalo.
Justifi ca por qué:
–
a
b
=
–a
b
=
a
–b
;
con a, b , b 0.
Desafío
2 Unidad 1 úmeros racionales
Representación en la recta numérica
En la siguiente recta numérica se
ubicaron algunos números entre –1 y 1.
Para hacerlo, se compararon los valores.
Para determinar el orden en los números racionales puedes aplicar el siguiente
método:
1
2
<
3
4
, ya que: 1 4 < 2 3. De la misma forma, 1 >
3
4
, ya que 1 4 > 1 3. Esta técnica
se suele conocer como producto cruzado.
1. Compara los números racionales dados. Luego, completa con los signos
>, < o = según corresponda.
a.
4
8
2
16
c.
14
6
2,3 e.
––2
6
–0,3
b.
–12
3
12
–3
d. –11 –10,9 f.
10
4
4
10
2. Compara los siguientes números racionales y ubícalos en la recta numérica.
–
6
14
; –
1
3
;
5
2
; –1; 2;
1
4
; 3,5;
7
2
; –
1
111
; 0,076; –
8
7
;
17
11
0
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno.
Si Paula, Marcela y Joaquín hacen, respectivamente,
12
13
;
5
6
y
4
5
de la tarea
propuesta en clases, ¿quién de los tres avanzó más?
Recuerda que todo número
entero a se puede escribir de la
forma
a
1
.
Ayuda
0–1 1–1
3
1
2
3
4
Para ubicar elementos del conjunto en la
recta numérica debes compararlos con respecto
a otros números del conjunto. Para ello, puedes
utilizar el método de los productos cruzados.
a
b
c
d
a d < b c
a
b
>
c
d
a d >⇔ ⇔ bb c
Donde
a
b
,
c
d
.
Ejemplo:
Ubica en la recta numérica los siguientes números
racionales:
2
5
; –
4
7
; –
1
2
;
3
4
; – 1; 1
–1 10
ara grabar
4
7
1
2
2
5
3
4
3Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Densidad y clausura en
Evalúa la siguiente afi rmación: “Para todo par de números racionales existe otro que
se encuentra entre ellos”. Esto se puede anotar de la siguiente forma:
a, b , a < b, c / a < c < b
La propiedad anteriormente enunciada se conoce como densidad de los números
racionales. Por lo tanto, se dice que el conjunto es denso.
Encuentra un número racional entre
1
2
y
1
3
. ¿Cuántos puedes hallar?
¿Existe un número entero entre –3 y –4? ¿El conjunto es denso? Justifi ca.
La propiedad de clausura en un conjunto (X)
respecto de una operación (*) quiere decir que si se
operan dos elementos (a y b) pertenecientes a X, el
resultado seguirá siendo un elemento de X.
Es decir:
a, b X ⇒ a * b = k; k X
Por lo tanto, el conjunto X es cerrado para *.
Por ejemplo, el conjunto es cerrado respecto de
la adición. Es decir, dados dos números racionales
cualesquiera, su suma es un número racional.
a, b ⇒ a + b = k; k
Por ejemplo,
1
3
y
1
2
son números racionales y su
suma, es decir,
5
6
, también es un número racional.
ara grabar
Ten en cuenta la siguiente
simbología:
: para todo.
: existe.
/ : tal que.
⇒ : implica.
Ayuda
1. Analiza la información del recuadro. Luego, determina la veracidad de las
afi rmaciones. En caso de ser una afi rmación falsa, justifi ca mostrando un
ejemplo.
Números naturales
Números enteros
Números racionales
a. Si a y b , entonces, a + b = k; k .
b. ( ) =
c. Si a , entonces, a .
d. Si a, b , entonces, a – b = k; k .
e. Si a, b , entonces, a + b = k; k .
f. ¿El conjunto de los números racionales es cerrado respecto de la sustracción?
Fundamenta.
El conjunto de los números
reales () corresponde a la
unión de los números racionales
con los irracionales.
= ∪ .
Para saber más
4 Unidad 1 úmeros racionales
Propiedad de clausura en respecto de la multiplicación
El conjunto es cerrado respecto de la multiplicación. Es decir, dados
dos números racionales cualesquiera, su producto es un número racional.
a, b ⇒ a b = k; k
Ejemplos:
Al multiplicar
4
5
por
2
3
, ambos números racionales,el producto sigue
siendo un número racional. En este caso,
8
15
.
ara grabar
2. Analiza la siguiente afi rmación. Luego, responde.
a, b ⇒ a : b = k; k
a. Traduce a lenguaje natural la afi rmación propuesta.
b. Da tres ejemplos en los que se cumpla la afi rmación.
c. ¿Es verdadera la afi rmación propuesta para cualquier par de números racionales? Fundamenta.
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
0 a c b
a, b / b = a + 1 ⇒ c
a, b / b = a + 1 ⇒ c
a. ¿Qué sucede con c si a, b , tal que b = a + ?
b. Determina 3 posibles valores de a, b y c.
c. ¿Qué opinas de la afi rmación: “Entre dos números racionales siem re existe otro número racional.”?
5Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
úmeros decimales en
Además de la representación en la recta numérica, los números racionales pueden
ser representados como números decimales. Esto lo puedes hacer dividiendo el
numerador por el denominador.
En los números decimales se pueden encontrar los fi nitos e infi nitos, ya que su
parte decimal tiene un número fi nito o infi nito de cifras. A su vez, estos números
decimales infi nitos pueden ser periódicos o semiperiódicos. Los números decimales
infi nitos que no sean periódicos ni semiperiódicos pertenecen a otro conjunto
numérico, denominado conjunto de los números irracionales ().
Para transformar un número decimal fi nito a fracción, puedes escribir el número sin
coma en el numerador, y en el denominador, la potencia de 10 que tenga tantos
ceros como cifras decimales tenga el número inicial. Luego, si es posible, simplifi ca.
Por ejemplo:
7,82=
782
100
=
3391
50
0,0125=
125
10.000
=
1
80
1. Interpreta los números decimales. Para ello, completa la tabla.
Número decim l Tipo
Represent ción
decim l
Represent ción
fr ccion ri
1,7 Infi nito periódico 1,77… 1,77 =
17 - 1
9
=
16
9
2,09090909…
1,59
52
33
Número decim l Tipo
Represent ción
decim l
Represent ción
fr ccion ri
1,7 Infi nito periódico 1,77… 1,7 =77 =7
17 - 1
9
=
16
9
2,09090909…
1,59
52
33
Describe con tus palabras el procedimiento usado para transformar un núme-
ro decimal periódico a fracción y un número decimal semiperiódico a fracción.
3
4
= 3 : 4 = 0,75
67
8
= 67 : 8 = 8,375
1,81 =
181- 1
99
=
180
99
==
20
11
7,82 =
782 - 78
90
=
704
90
=
352
45
Ayuda
úmeros decimales en .
úmeros decimales
Infi nitos
Finitos
Semiperiódicos
Periódicos
7,82
1,81
ara grabar
6 Unidad 1 úmeros racionales
2. Representa los siguientes números racionales en una recta numérica.
2,303; –0,808;
7
3
; –0,8; 2,03; –0,808; 2,31; –
4
5
; –00,08
3. Evalúa la siguiente adición de números racionales. Luego, responde.
3,23 +
1
5
+ 0,5
a. ¿Qué tipo de números componen la adición presentada?
b. ¿Qué harías para resolver la adición: transformar los sumandos a números
decimales; transformarlos a fracciones o dejarlos tal como están y sumar
directamente? Justifi ca.
4. Analiza la siguiente información junto a tu profesor(a). Luego, resuelve.
Se justifi cará el procedimiento 1,794=
1.794-17
990
=
1.777
9990
, mostrando que se
cumple 1,794=
1.777
990
.
Sea x = 1,7949494… Luego, 10 x = 17,9494… y 1.000 x = 1.794,9494…
De lo anterior, se tiene que: 1.000x – 10x = 1.794,9494… – 17,9494…
990x = 1.777 /
1
990
x=
1.777
990
Por otra parte,
1.777
990
=1,7794 se puede mostrar dividiendo el numerador por
el denominador. Por lo tanto, 1,794=
1.777
990
.
a. Describe el procedimiento utilizado para justifi car la igualdad anterior.
b. Justifi ca en tu cuaderno, considerando la información presentada, la igualdad
1,8=
17
9
.
7Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Aproximación en
Para trabajar con números decimales infi nitos o números fi nitos con muchas cifras
decimales, la aproximación proporciona una gran ayuda. Estas aproximaciones se
pueden llevar a cabo utilizando el redondeo o el truncamiento, entre otros criterios.
Tanto en la aproximación por redondeo o por truncamiento, el número resultante
puede ser menor o mayor que el original; de ser menor, se dirá que la aproximación
es por defecto; mientras que si es mayor, se dirá que la aproximación es por exceso.
Redondear un número en una determinada cifra
consiste en considerar solo ciertos dígitos de la parte
decimal del número. En algunos casos se harán
modifi caciones en la cifra anterior a la determinada
en el redondeo y en otros no.
El criterio que se defi ne es el siguiente:
Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente
a la que determine la aproximación:
- Si dicha cifra es menor que 5, no hay modifi cacio-
nes en las cifras que se conservan.
- Si dicha cifra es igual o mayor que 5, la cifra por
aproximar se debe aumentar en una unidad.
Caso 1: redondea 5,67487654 a la centésima.
5,67487654 5,67
Luego, 5,67487654 redondeado a la centésima es
5,67. (Por defecto).
Caso 2: redondea 2,33375689… a la milésima.
2,33375689… 2,334
Luego, 2,33375689... redondeado a la milésima es
2,334. (Por exceso).
ara grabar
1. Aproxima los siguientes números por redondeo según corresponda en cada
caso. Luego, determina si la aproximación fue por defecto o por exceso.
Número Redondeo l … Aproxim ción Aproxim ción por…
0,356483258 milésim 0,356 Defecto
897, 46 diezmilésim
34, 715 centésim
11, 1 décim
Número Redondeo l … Aproxim ción Aproxim ción por…
0,356483258 milésim 0,356 Defecto
897, 46 diezmilésim
34, 715, 715, 7 centésim
11, 1 décim
2. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
En la aproximación de números decimales, ya sea por defecto o por exceso,
se produce cierto margen de error.
El error absoluto (
a
) corresponde al valor absoluto de la diferencia entre el
valor exacto y la aproximación:
a
= |x – x
a
|
Donde x es el valor exacto del número, y x
a
el valor aproximado.
Considera el número 8,781. Redondea a la milésima y luego encuentra el error
absoluto.
Redondeo:
a
:
Si se aproxima por redondeo
a la décima el número 3,78,
se obtiene 3,8. Luego, el error
absoluto es:
a
= |3,78 – 3,8| = |–0,02| = 0,02
Ayuda
8 Unidad 1 úmeros racionales
3. Utiliza tu calculadora científi ca para determinar qué sucede cuando el
resultado de una operación entre dos o más valores es un número de 10 o más
cifras. A modo de ejercicio, resuelve lo siguiente:
23.567.895 410 – 12.555.980
a. ¿Qué número se muestra como resultado en tu calculadora?
b. ¿El número es fi nito o infi nito? Justifi ca.
c. Si es fi nito, escribe el número completo.
d. Trunca el número obtenido en la calculadora a la centésima. Luego, inventa
una situación en la que puedas escribir este valor truncado.
e. Si el número resultante en la calculadora lo redondeas a la centésima, ¿se
obtiene la misma aproximación realizada en d.? Justifi ca.
f. Si ahora calculas 2 : 7, ¿se obtiene un número decimal fi nito o infi nito?
Justifi ca.
g. ¿Crees que la calculadora está programada para redondear o truncar
ciertos tipos de números? Para responder, haz la prueba resolviendo varias
operaciones entre dos o más valores.
4. Crea una situación en la que redondees un número y otra en la que trunques
un valor. Luego, explica por qué en la primera es más relevante redondear y por
qué en la segunda es más relevante truncar.
Situación 1: Situación 2:
Truncar un número consiste en
considerar solo una parte de las
cifras decimales que componen el
número decimal completo.
Ejemplo 1: trunca 0,01199453 a la
milésima.
0,01199453 0,011
Luego, 0,01199453 truncado a la
milésima es 0,011.
Ejemplo 2: trunca –12,315 a la
centésima.
–12,3151515… –12,31
Luego, –12,315 truncado a la
centésima es –12,31.
ara grabar
9Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
evaluación formativa
Analizando discoe
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
Números racionales y representación en la recta numérica.
1 Analiza las fi guras divididas en partes iguales. Luego, completa.
a. El número racional que se representa en la imagen es:
b. Si se pintaran los triángulos restantes en ambas fi guras, el número racional sería:
c. ¿Cómo representarías el número racional 0 con las mismas fi guras que se muestran en la imagen?
¿Es posible? Justifi ca y dibuja en caso de que lo sea.
2 Analiza la siguiente situación. Luego, responde.
Un edifi cio tiene una altura de 15,5 metros. Pedro baja al primer subterráneo y desde ahí dice: “el edifi cio
ha aumentado su altura, ahora mide 18 m”.
a. ¿Qué opinas de la afi rmación de Pedro? Conversa con tus compañeras y compañeros de curso y
determina la validez de la afi rmación realizada. ¿Cuál crees que sería la explicación que Pedro daría
para defender su postura?
3 Ubica en la recta numérica los siguientes números racionales.
7
4
; –1; 1; –0,707; –
3
4
; 1,7; –0,7; 0; –0,7; 1,75; 1
8
445
Densidad y clausura en .
4 Resuelve los siguientes problemas.
a. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo producto sea un número natural.
b. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo cociente sea cero.
c. Encuentra un par de números enteros distintos, x e y, cuyo cociente sea un número decimal
semiperiódico.
20 Unidad 1 úmeros racionales
Números decimales infi nitos periódicos y semiperiódicos.
5 Representa como un número racional de forma fraccionaria. Luego, si es posible, simplifi ca.
a. 4,25 c. 0,376 e. –0,47
b. –2,153 d. 102,07 f. 10,3602
6 Ubica en la recta numérica el siguiente conjunto de números.
0,36; –
44
99
;; 0,36; –
9
20
; 0,36; –
2
5
; –0,45;
1
3
; –0,4; 0,364
0
7 Resuelve el siguiente problema.
Carla necesita 1,3 metros de género para confeccionar una cartera. ¿Es posible comprar 1,3 metros? ¿Es
la mejor forma de representar una medida? ¿Cómo le recomendarías que solicitara la cantidad de género
que necesita?
Aproximación en .
8 Realiza los procesos de aproximación vistos en la unidad. Para ello, completa la tabla.
¿Qué sucedió en el último caso? ¿Por qué crees que ocurre esto?
2 Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
Adición y sustracción de números racionales
Propiedades
En cursos anteriores ya has estudiado cómo resolver adiciones y sustracciones
de fracciones y números decimales; además, has verifi cado propiedades como
la clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro de la adición. Para
resolver adiciones y sustracciones en el conjunto de los números racionales se
conservarán dichas estrategias ya vistas.
Adición y sustracción de fracciones
con igual denominador.
Se conserva el denominador y se
resuelve la adición o sustracción de
los numeradores, considerando que
los valores de los numeradores son
números enteros.
Ejemplos:
5
9
–
10
9
=
5 – 10
9
= –
5
9
2
9
–
5
9
–
10
9
=
2
9
–
5 –
110
9
=
2
9
– –
5
9
=
2
9
+
5
9
=
7
9
Adición y sustracción de fracciones
con distinto denominador.
Se igualan los denominadores de las
fracciones. Esto se hace buscando
el mínimo común múltiplo entre los
denominadores y amplifi cando cada
fracción por el número que convenga.
Luego, se realiza la operación de la
misma manera que en el caso de “igual
denominador”.
Ejemplos:
1
3
–
2
5
=
1 5
3
55
–
2 3
5 3
=
5
15
–
6
15
= –
1
15
4
13
–
4
3
+
7
4
==
4
13
–
4 4
3 4
+
7 3
4 3
=
4
13
–
16
12
+
21
112
=
4
13
–
37
12
=
4 12
13 12
–
37 13
12
113
=
48
156
–
481
156
= –
433
156
ara grabar
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones. En caso de ser posible,
simplifi ca.
a.
3
5
+
2
5
–
6
5
= d.
1
7
–
3
7
+
10
7
+
6
7
=
b. –
2
3
–
1
3
+
14
3
== e.
1
2
+
5
2
–
4
22
–
7
2
=
c.
3
8
+
1
8
–
7
8
= f.
1
4
+
3
4
–
6
4
=
2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones. En caso de ser posible,
simplifi ca.
a.
1
5
–
1
4
+
2
3
= c.
1
4
–
3
8
+
1
2
=
b. –
1
3
+
5
7
–
111
5
=
=
d.
1
7
+
3
2
–
2
3
–
1
5
=
La manera de resolver adiciones,
sustracciones, multiplicaciones
y divisiones de fracciones es
aplicable a la operatoria de
números racionales. Asimismo,
en este conjunto numérico se
conservan las propiedades de
clausura, asociatividad, elemento
neutro y conmutatividad,
además del elemento inverso y
la propiedad distributiva de la
adición sobre la multiplicación.
Para saber más
22 Unidad 1 úmeros racionales
3. Analiza el ejemplo. Luego, resuelve y escribe el resultado.
0,3+2,13=
3
9
+
213–21
90
=
1
3
+
192
90
=
1
3
+
32
15
=
5
15
+
322
15
=
37
15
=2,46
a. 1,24 –0,31= c. 4,2–
5
3
+0,1=
b. 0,1–3,41+5,2= d.
1,7–
2
9
–
1
6
+0,344 =
¿Por qué es importante transformar números decimales a fracción?
4. Utiliza una calculadora para resolver las siguientes operaciones combinadas. Luego, describe la estrategia
aplicada.
Indicación: recuerda que ara este ti o de rocedimientos, el uso de la calculadora científi ca ermite utilizar aréntesis y
fracciones. Debes decidir de qué manera re resentarás los números racionales que se muestran.
a. 1,7–
1
6
= b. 1,3– 2,15+
3
7
= c.
2,5+
1
3
– 7,1–
1
5
=
Describe aquí tu estrategia:
¿Qué hiciste para poder escribir los números periódicos y semiperiódicos en la calculadora? Describe.
5. Verifi ca en tu cuaderno si se cumplen las siguientes propiedades para la adición de números racionales. Para
ello, considera solo números decimales infi nitos periódicos y semiperiódicos.
a. Propiedad conmutativa b. Propiedad asociativa c. Elemento neutro
a + b = b + a; a, b . (a + b) + c = a + (b + c); a, b, c a + 0 = 0 + a = 0; a .
Sí
No
Sí
No
Sí
No
6. Resuelve el siguiente desafío en tu cuaderno.
Dos amigos se disponen a comer unos pasteles. El primero tiene 5 pasteles y el segundo, 3. Justo cuando van a
comenzar, llega un tercer amigo, sin pastel alguno, y les dice: “¿qué les parece si repartimos sus 8 pasteles de
manera equitativa y a cambio yo les doy $ 800 y ustedes se reparten el dinero de una manera que encuentren
justa?” Los dos amigos se miraron y aceptaron.
¿Cómo repartieron los $ 800 los dos amigos?
Observación: la respuesta no es $ 500 y $ 300.
23Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
Multiplicación y división de números racionales
Propiedades
Para multiplicar y dividir números racionales se puede utilizar su representación
fraccionaria o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales
infi nitos a fracción para multiplicarlos o dividirlos por otro número racional.
Además, debes aplicar la regla de los signos vista en para número racionales.
Para multiplicar dos fracciones se
multiplican los numeradores con los
numeradores y los denominadores
con los denominadores.
Ejemplos:
6
7
–
5
4
= –
6 5
7 4
= –
30
28
= –
15
14
4
9
–
3
88
2,5 =
4
9
–
3
8
23
9
= –
23
9
= –
1 1 23
3 2 9
= –
23
54
Hasta ahora, las propiedades vistas para la multiplicación de fracciones son:
Si a, b, c, d, e, f ,
Conmutativa Asociativa
a
b
c
d
=
c
d
a
b
; bb,d 0.≠
a
b
c
d
e
f
=
a
b
c
d
e
f
≠; b, d, f 0.
Elemento neutro Distributiva ( , +)
≠a
b
1 =
a
b
; b 0.
ab
c
d
+
e
f
=
a
b
c
d
+
a
b
e
f
; b ,, d, f 0.≠
ara grabar
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifi ca el resultado en caso de ser
posible.
a.
1
6
2
5
= c.
3
4
3
2
(–8)=
b.
3
5
–
2
3
== d.–
2
7
10
4
(–2)=
2. Analiza la tabla. Luego, completa.
· + –
+ + –
– – +
: + –
+ + –
– – +
1
3
1
2
Otra propiedad de la
multiplicación de números
racionales es la del elemento
inverso:
Elemento inverso
a
b
b
a
= 1
Para saber más
24 Unidad 1 úmeros racionales
3. Resuelve las siguientes divisiones. Luego, simplifi ca si es posible.
a.
3: –
9
5
= c.
7: –
2
7
=
b.
2
5
:2= d.
8
7
: 9: –
1
3
=
4. Verifi ca en tu cuaderno si se cumplen las propiedades de la multiplicación de fracciones recordadas en la
sección ara grabar de la página anterior para los números racionales.
a. Conmutativa. b. Asociativa. c. Elemento neutro. d. Distributiva (· , +).
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
5. Verifi ca en tu cuaderno si se cumple la siguiente propiedad para los números racionales. Justifi ca.
(a + b) : c = a : c + b : c
(a – b) : c = a : c – b : c
Justifi ca:
6. Resuelve los siguientes ejercicios combinados manualmente y ayudándote con la calculadora.
Recuerda lo visto con respecto a las operaciones con números decimales infi nitos.
a.
0,3
3
5
+ 11,2
2
3
––
7
2
4,23
=
b.
–
4
3
+
2
7
2,
116
1,5:
7
3
–
2
3
=
c. ¿Qué sucede en el ejercicio b? ¿Puedes llegar a una respuesta? Justifi ca.
Dividir dos números racionales es
equivalente a multiplicar el primero por el
inverso multiplicativo del segundo.
⇔
a
b
:
c
d
a
b
d
c
=
ad
b c
, con a, b, c, d y
b, c, d 0.
Ejemplos:
3
2
: 5 =
3
2
:
5
1
=
3
2
1
5
=
3
10
2
33
: –
14
3
: –0
,,6 =
2
33
–
3
14
: –
2
3
=( )
––
33
–
3
2
= –
1 1
11 7
–
3
2
=
1 1 3
11 7 2
=
3
154
ara grabar
1
11
1
7
25Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Herramientas tecnológicas:
redondeo y truncamiento con Excel
A continuación se muestra cómo redondear y truncar números decimales infi nitos
utilizando el programa Excel. Estas aproximaciones pueden facilitar el trabajo, por
ejemplo, en estadística, en que debas analizar un conjunto de datos.
Para aproximar por redondeo un listado de datos en una planilla Excel se verán dos
métodos que proporciona este programa. El primero es una función estándar de
Excel llamada REDONDEAR y el segundo consiste en la aplicación del ícono { },
que se encuentra en la barra de herramientas de Excel.
Antes de detallar ambos métodos, digita los siguientes números decimales (en este
caso, en la columna C): 23,65564; 59,2548864; 99,2543 . En este ejemplo se
aproximarán los números propuestos por redondeo a la milésima.
Método
Paso :
En la misma fi la que el primero de los números
ingresados (en este caso, en la columna E), digita
=redondear(. En seguida, selecciona el primero
de los números ingresados (columna C). Verás
que aparecerá el nombre de la celda donde está
ubicado dicho número. Para fi nalizar, digita ;3), ya
que la aproximación por redondeo a la milésima
tendrá 3 cifras decimales.
Paso 2:
Presiona Enter y aparecerá el número
seleccionado redondeado a la milésima.
Luego, para redondear el resto de los números
ingresados (en este caso, en la columna C),
debes situar el cursor sobre la esquina inferior
derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo.
Así verás los otros números redondeados a la
milésima.
Método 2
Luego de ingresados los números (en este caso, en la columna C), si seleccionas el número que se desea
aproximar y presionas la tecla , aproximará dicho número utilizando el redondeo a la última cifra
decimal digitada. Para realizar la operación contraria se presiona la tecla .
26 Unidad 1 úmeros racionales
Para aproximar por truncamiento (en este caso, a la centésima) se utilizará una función que proporciona Excel.
Al igual que en la página anterior, antes de detallar el procedimiento, digita los siguientes números: 35,6565;
24,35967; 78,554327 .
Paso :
En la misma fi la que el primero de los números
ingresados (en este caso, en la columna E), digita
=truncar(. En seguida, selecciona el primero
de los números ingresados (columna C). Verás
que aparecerá el nombre de la celda donde está
ubicado dicho número. Para fi nalizar, digita ;2),
ya que la aproximación por truncamiento a la
centésima tendrá 2 cifras decimales.
Paso 2:
Presiona Enter y aparecerá el número
seleccionado redondeado a la centésima.
Luego, para redondear el resto de los números
ingresados (en este caso, en la columna C),
debes situar el cursor sobre la esquina inferior
derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo.
Así verás los otros números redondeados a la
centésima.
1. Analiza la siguiente tabla. Complétala utilizando Excel y luego responde. Observa el ejemplo.
x
r
: número redondeado a la décima; x
t
: número truncado a la décima.
a. ¿Qué representa la última columna?
b. ¿Qué debiera ocurrir para que en la última columna se obtuviera el valor 0? Justifi ca.
27Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
Somos hermanos –dijo el más viejo– y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según
la ex resa voluntad de nuestro adre, debo yo recibir la mitad; mi hermano Hamed
Namir una tercera arte, y Harim, el más joven, una novena arte. No sabemos, sin
embargo, cómo dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno ro one,
rotestan los otros dos, ues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera arte
y la novena arte de 35 si tam oco son exactas las divisiones?
Malba Tahan, El hombre que calculaba.
(Observación: el amigo del hombre que les solucionará el roblema tiene un camello)
aso 1 Comprende el enunciado
Identifi ca lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
Una re artición justa de los 35 camellos heredados a los 3 hermanos.
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
La cantidad de camellos y la arte que le corres onde a cada hermano.
Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Qué tipo de número debería ser la cantidad de camellos?
El número de camellos debería ser divisible or 2, or 3 y or 9.
Expresa la información en otro tipo de formato.
35 : 2 = 17,5 35 : 3 =11,6 35 :9 = 3,8
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Primero, se calculará el mínimo común múlti lo de 2, 3 y 9. Según el número
que resulte, se agregarán o quitarán camellos a los 35 dados ara com letar el
número buscado. Luego, se calcula la cantidad de camellos que le corres onde
a cada hermano y se realiza el re arto justo.
aso 3 Resuelve el problema
El m.c.m. entre 2, 3 y 9 es 18. Sin embargo, 18 < 35. Por lo tanto, hay que
buscar un múlti lo de 18 que esté más cercano a 35. De lo anterior, se obtiene
36. Justamente el amigo del hombre que les solucionaría el roblema tenía un
camello, or lo que el hombre ro uso agregarlo a la herencia, con lo que se
juntarían en 36 camellos. Luego, la re artición queda:
36 : 2 = 18 (antes eran 17,5 camellos. Luego, es más de lo que le corres onde
al hermano mayor, or lo que no rotesta).
36 : 3 = 12 (antes eran 11,6 camellos. Luego, es más de lo que le corres onde
al segundohermano, or lo que no rotesta).
36 : 9 = 4 (antes eran 3,8 camellos. Luego, es más de lo que le corres onde al
hermano menor, or lo que no rotesta).
Finalmente, los tres hermanos encuentran justa la re artición. Mientras que el
hombre le udo devolver el camello a su amigo y él obtuvo otro ara sí.
aso 4 Revisa la solución
Al hermano mayor le corres onden 18 camellos; al segundo, 12, y al menor,
4. Cantidades que suman 34. Por lo tanto, sobran 2 camellos, uno como ago
ara el hombre que les solucionó el roblema y el otro ara devolvérselo a
su amigo.
¿Qué tengo que hacer para
comprender un enunciado?
¿Qué es comprender?
Etapas de la resolución
de problemas.
Comprender consiste en
construir signifi cado a partir
de información comunicada en
forma oral, escrita y/o gráfi ca.
Para comprender es posible
utilizar la representación.
Identifi car lo que entiendes
de la información.
Relacionar lo que entiendes
con lo que tú sabes.
Expresar la información en
otro tipo de formato.
Paso 1: Comprende el
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a
realizar.
Paso 3: Resuelve el problema.
Paso 4: Revisa la solución.
28 Unidad 1 úmeros racionales
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Fernanda ha dividido cada una de las tortillas que tiene en 8 trozos iguales. Se sabe que ella se ha comido la
cuarta parte de los trozos de una tortilla y que Felipe se ha comido el doble que Fernanda. Por otra parte, Camilo
dice que él se ha comido la mitad de lo que han comido juntos Fernanda y Felipe.
¿Cuántos trozos han comido Fernanda y Felipe juntos? ¿Está en lo correcto Camilo?
aso 1 Comprende el enunciado
Identifi ca lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Quién ha comido más trozos de tortilla?
Expresa la información en otro tipo de formato.
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
aso 3 Resuelve el problema
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
Una fi nca se divide en tres parcelas. La primera corresponde a los
4
7
de la superfi cie total de la fi nca, y la
segunda corresponde a la mitad de la primera. ¿Qué fracción de la fi nca representa la tercera parcela?
29Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál de los siguientes números pertenece al
conjunto de los números racionales?
A.
0,2
5
B. –
7
0
C. –
2
5
D. –
3
0,3
E.
0,1
0,01
2 ¿Cuál es el orden, de menor a mayor, de los
siguientes números racionales?
a=–
2
3
, b=–
5
6
, c=–
3
8
A. a < b < c
B. b < c < a
C. b < a < c
D. c < a < b
E. c < b < a
3 ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) VERDADERA(S)?
I. Si m , entonces, m .
II. Si b y a , entonces a + b = k; k .
III. Si x y w , entonces x w = k; k .
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Solo II y III.
4 Si a es un número racional menor que –1, ¿cuál
es la relación correcta entre las fracciones?
p=
3
a
,, t=
3
a- 1
, r=
3
a+ 1
A. p < t < r
B. r < p < t
C. t < r < p
D. r < t < p
E. p < r < t
5 Sean a, b, c, d distintos de cero. Si
P=
a
b
+ d y T =
a
c
+ d, ¿cuál(es) de las siguientes
igualdades es(son) siempre VERDADERA(S)?
I. P – T = k; k .
II.
P
T
∈
III. P T
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
6 Sebastián, Francisca y Florencia compran queso
para hacer una pizza. Sebastián compró 260 g,
Francisca
1
4
kg y Florencia
3
8
kg. ¿Cuál(es)
de las siguientes afi rmaciones es(son)
VERDADERA(S)?
I. Sebastián compró menos queso que
Francisca.
II. Florencia compró más queso que Francisca.
III. Sebastián compró más queso que Florencia.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Ninguna de las anteriores.
30 Unidad 1 úmeros racionales
7 Para un trabajo que se hace en tres etapas se
dispone de 60 hombres. En la primera etapa
trabaja la cuarta parte del total de hombres
disponibles y en la segunda, 2
3
del resto. Si
en la tercera etapa trabajan los hombres que
quedaron, ¿cuántos trabajaron solamente en la
tercera etapa?
A. La mitad del total.
B. Un tercio del total.
C. La mitad de los que trabajaron en la segunda
etapa.
D. La mitad de los que trabajaron en la primera
etapa.
E. Un tercio de los que trabajaron en la segunda
etapa.
8 Al transformar a número decimal, ¿cuál de
las siguientes fracciones se representa por un
número decimal infi nito periódico?
A. 1
5
B. 2
3
C. 7
6
D. 9
2
E.
23
12
9 El número decimal 1,313 es equivalente a:
A. 1,31
B. 13
C. 1,131
D. 1,313
E. 1,313
10 ¿Qué fracción representa al número decimal
infi nito 153?
A.
3223
150
B.
212
900
C.
646
3
D.
1.398
9
E.
2.153
990
11 ¿Cuál es el promedio entre los siguientes datos:
2
3
;0,6;0,6 ?
A. 0,6
B. 1,,92
C. 6407
D.
173
90
E. Ninguna de las anteriores.
12 El resultado de 1
3
8
–0,75
+
1
3
8
–0,25
es:
A. 4
B.
8
3
C.
15
3
D. 16
3
E. –
16
33
13 Si t=
1
3
y r=0,3, entonces,
t –r
r
=
A. 0
B. 0,3
C. 0,03
D. 0,0333….
E. Ninguna de las anteriores.
3 Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
14 El resultado de 3,51–
2
6
:
9
6
es:
A.
3
45
B.
11
15
C.
13
45
D. 3
13
45
E. 3
11
15
15 Un niño bebe la mitad de un litro de jugo por
la mañana, y en la tarde,
11
3
de lo que quedaba.
¿Cuánto jugó bebió al fi nal del día?
A.
5
6
L
B.
1
6
L
C.
1
3
L
D.
2
3
L
E.
4
5
L
16 Calcula el resultado de
1
3
+
1
6
1
2
.
A.
1
4
B.
1
9
C.
2
3
D.
2
15
E.
5
12
17 El resultado de
2 2,6 – 3,8
22,6 6 + 3,8
redondeado a la
milésima es:
A. 0,7
B. 0,07
C. 0,074
D. 0,745
E. 0,744
18 El resultado de
3
2
0,3 1,3
0,03
es:
A. 11
B. 22
C.
3
2
D.
4
9
E.
11
4
19 Al resolver
00,93
31
33
se obtiene:
A. 0,09
B. 0,99
C. 0,93
D. 9,3
E. 93
20 Si una persona debe recorrer 12,3 kilómetros
y ya ha caminado 7.850 metros, ¿cuántos
kilómetros le faltan por recorrer?
A. 4,45 km
B. 4,55 km
C. 5,55 km
D. 5,45 km
E. 6,62 km
21 Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad con
2
1
3
litros de agua. ¿Cuántos litros le faltan para
llenarlo?
A. 2
1
3
B. 2
2
3
C. 1
2
3
D. 3
1
3
E. 3
2
3
32 Unidad 1 úmeros racionales
22 Si a = 1
3
–
1
4
2
3
, entonces:
A. a > 1
B. -1 > a
C. 1> a>
1
2
D.
1
2
> a>–
1
2
E. –
1
2
> a>–1
23 Se defi ne a*b=
1
a b
. Entonces, el resultado de
2 * –
4
7
**
3
8
es:
A.
3
7
74
B.
7
3
C. –
3
7
D. –
7
3
E. Ninguna de las anteriores.
24
1
1+
1
1+
1
1+ 1
=
A. 1
B.
2
5
C.
3
5
D.
5
2
E.
55
3
25 Al restar
1
3
a los
2
7
de 9
4
8
se obtiene:
A.
6
21
B. 18
4
C.
21
60
D.
50
21
E.
74
21
26
–0,05
0,5– 5
=
A.
1
9
B.
1
811
C.
–1
81
D.
10
81
E. –
10
81
27 Los
9
11
de 33 son equivalentes a
1
10
de:
A. 0,27
B. 2,7
C. 27
D. 270
E. Ninguna de las anteriores.
28 El valor de
3
2
+ 0,6 :
3
2
–
00,6
es:
A. 0
B. 1
C. –1
D.
5
13
E.
13
5
33Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve.
1. Analiza el siguiente diagrama y luego responde.
¿Es
mayor
que 1?
Entrada
Salida
NO
SÍ
SalidaRestar
1
2
Suman
3
4
Restar
1
4
Dividir por
2
3
a. ¿Cuál es el valor que se obtiene al ingresar –
1
3
en el esquema?
b. ¿Cuáles el valor que se obtiene al ingresar 1,27 en el esquema?
c. Si ingresas un número entero el esquema, ¿siempre se obtiene un número entero? ¿Y en el caso de los
racionales? Explica y ejemplifi ca.
Escribe aquí tus ejemplos.
34 Unidad 1 úmeros racionales
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Números racionales.
Clausura en .
Números decimales infi nitos
periódicos.
Números decimales infi nitos
semiperiódicos.
Aproximación en por
redondeo.
Aproximación en por
truncamiento.
Adición y sustracción de números
racionales.
Multiplicación y división de
números racionales.
Contenido Defi nición o procedimiento Ejemplo
35Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
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Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos
conceptos clave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Número racional Clausura en
Números decimales infi nitos periódicos Números decimales infi nitos semiperiódicos
Aproximación en por redondeo Aproximación en por truncamiento
Adición y sustracción de números racionales Multiplicación y división de números racionales
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
Herramientas
Números racionales
2
3
1
5
–
distinto de 0
∈
∈
Representación en la recta
numérica
1
5
–
2
3
–1 10
Números infi nitos periódicos
Parte entera Periodo
2,37
Transformación de un número
decimal infi nito periódico a
fracción.
2,37=
237– 2
99
=
235
99
Números infi nitos semiperiódicos
Parte entera Periodo
Anteperiodo
–1,375
Transformación de un número
infi nito semiperiódico a fracción
–1,375=–
1.375- 13
990
=–
1.3622
990
=–
227
165
Aproximación en
Ejemplo: 0,768932783…
• Por redondeo (a la milésima)
0,769
• Por truncamiento (a la
milésima) 0,768
Adición y sustracción en
• Igual denominador
7
9
+
10
9
–
2
9
=
15
9
=
5
3
• Distinto denominador
1
3
–
3
8
+
1
2
=
1 8– 3 3+ 1 12
24
=
8 – 9+ 12
24
=
11
24
Multiplicación en
2
9
6
5
=
2 6
9 5
=
12
45
=
4
115
División en
4
5
: –
7
2
=
4
5
–
2
7
=–
8
335
36 Unidad 1 úmeros racionales
Cerrar sesión
Nivel de logro
7
4
17
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
37Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
Unidad
Potencias
l origen del ajedrez está rodeado de discrepancias y desacuerdos entre historiadores
y estudiosos del tema. A todo ello hay que añadir las numerosas leyendas y anécdotas
que acompañan al juego. Una de ellas tiene relación con la popular leyenda india del rey
Ladava, quien quiso recompensar a un joven sacerdote brahmán, Lahur Sessa, por haberle
sacado del estado de angustia en el que se encontraba mediante el uso del ajedrez. l rey
le ofreció joyas, palacios y territorios. Sin embargo, el joven solo quiso un grano de trigo
por la primera casilla del tablero del juego, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho
por la cuarta y así sucesivamente, hasta llegar a la última casilla. La leyenda cuenta que
todo el trigo del reino no alcanzó para satisfacer su petición.
Qué? Para qué? Dónde?
otencias. Extender las potencias de base racional y exponente natural a
base racional y exponente entero.
áginas 40 a 47.
ropiedades de las potencias. Aplicar las propiedades de las potencias de base racional y
exponente entero.
áginas 48 a 53.
Operaciones combinadas y
aplicaciones.
Resolver problemas que involucren potencias y contextualizar
las soluciones.
áginas 54 a 57.
8 Unidad 2 Potencias
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) ¿De qué se trata la lectura?
2) ¿Qué expresión permite calcular la cantidad de granos de trigo que Lahur Sessa le pidió al rey Ladava?
Utiliza potencias de base 2.
3) ¿Cómo se lee el número 18.446.744.073.709.551.615?
Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada
previamente.
nicializando
Si en el puente de la fi gura se tiene que a cada cable lo sigue otro cuya
longitud es
5
6
del anterior, ¿cuál es la longitud de cada uno de los cuatro
cables considerando que el pilar que se observa en la fi gura tiene una
longitud de 50 m y el largo del cable 1 también es
5
6
del largo del pilar?
) ¿Qué se desea conocer al resolver el problema?
2) ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) Representa la información del problema planteando expresiones que contengan potencias.
5) Si a continuación del cable 4 el puente tuviera tres cables más, ¿qué longitud tendría cada uno de ellos?
ilar
Cable 1
Cable 2
Cable 3
Cable 4
9Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Al ultiplicar en for a iterada un mismo factor se tiene:
a a .... a = an; a ; n
n veces a como factor
an se llama potencia.
a es la base.
n es el exponente.
Eje plos:
(–2)3 = (–2) (–2) (–2) = –8
23 = 2 2 2 = 8
–34 = –(3 3 3 3) = –81
Potencias de base entera y exponente natural
Si a , n , es posible expresar una multiplicación de n factores a de la
siguiente manera:
a a ..... a = an
n veces a como factor
La expresión an representa una multiplicación iterada que se defi ne como potencia,
donde a es la base de la potencia y n es el exponente de la potencia. Si se resuelve
la multiplicación iterada, su producto se conoce como valor de la potencia.
. Representa como potencia las siguientes multiplicaciones iteradas.
a. 5 5 5 5 5 5 = d. 111 111 111 111 =
b. (–6) (–6) (–6) = e. (–8) (–8) (–8) =
c. (–3) (–3) (–3) (–3) = f. 12 12 12 12 12 =
2. Representa como una multiplicación iterada las siguientes potencias.
a. –116 = d. 443 =
b. –25 = e. (–22)3 =
c. (–7)4 = f. 1234 =
3. Relaciona la potencia de la columna A con su valor en la columna B. Para ello,
escribe en la columna B la letra que corresponda.
Columna A Columna B
a. –74 –625
b. (–7)5 –64
c. –54 –16.807
d. (–6)3 256
e. (–4)3 –216
f. (–2)8 –2.401
Para grabar
(–2)6 –26
64 –64
= {1, 2, 3,…}
0n = 0, n .
Ayuda
40 Unidad 2 Potencias
4. Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala según corresponda.
5. Representa cada número como una potencia de base positiva y también como
una potencia de base negativa. Luego, responde.
a. 49 c. 121
b. 64 d. 169
¿Por qué las potencias anteriores de cada caso tienen el mismo valor,
independiente si la base es positiva o negativa? Explica en forma detallada.
6. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si la base de una potencia es mayor que cero y su exponente es par, ¿su
valor es mayor o menor que cero? ¿Y si su exponente es impar? Justifi ca tu
respuesta.
b. Si la base de una potencia es menor que cero y su exponente es par, ¿su
valor es mayor o menor que cero? ¿Y si su exponente es impar? Justifi ca tu
respuesta.
41Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencias de base entera y exponente entero
En la sección anterior se recordaron las potencias de base entera y exponente
natural. Ahora seestudiará el caso en que su exponente es un número entero. Esto
pone de manifi esto la importancia de defi nir en qué conjunto numérico se está
trabajando. Luego:
Si n > 0, an = an.
Si n = 0, an = 1; con a 0.
Si n < 0, an =
1
a–n
; con a 0.
Para el caso a0 se tiene que su valor es , siempre que a 0. Esta interesante
propiedad se demostrará más adelante. El valor de 00 no está determinado.
Recuerda que el conjunto de
los números enteros ( )
corresponde a la unión entre los
números enteros positivos, los
números enteros negativos y el
cero. Es decir:
= – ∪ {0} ∪ +
Donde:
– = {-1, -2, -3, …}
+ = {1, 2, 3, …}
Ayuda
. Expresa como potencias de exponente entero positivo. Luego, calcula su valor.
a. 7–5 = c. 8–4 = e. 3–2 = g. (–3)–4 =
b. 5–4 = d. 10–6 = f. 12–6 = h. –7–2 =
2. Expresa cada expresión como una potencia de exponente entero negativo. Luego, calcula su valor.
a.
1
6
=
3
c.
1
10
=
6
e.
1
(–1)
=
4
g.
1
(–3)3
==
b. –
1
3
=
5
d.
1
9
=
6
f.
1
(–2)
=
5
h.
1
(–5)
=
4
Se denomina potencia de base entera y exponente
entero a toda expresión de la forma an, donde:
an si n > 0
1 si n = 0; a 0
1
a–n
si n < 0; a 0
Eje plos:
7 =
1
7
=
1
343
–3
3
(–5) =
1–5
((–5)
= –
1
3.1255
–2 = –
1
2
= –
1
8
-3
3
an =
Para grabar
42 Unidad 2 Potencias
3. Calcula el valor de las potencias. Luego, resuelve la adición.
a. 3–4 + 3–2 = d. –5–2 + 5–3 =
b. 6–2 + 6–3 = e. –4–4 + 4–2 =
c. 2–2 + 2–4 = f. –104 + 102 =
4. Calcula el valor de las potencias. Luego, resuelve la multiplicación.
a. 3–4 3–2 = d. (–6)–2 (–6)–2 =
b. 5–2 5–3 = e. –12–3 (–12–5) =
c. 8–1 8–5 = f. 10–5 10–5 =
5. Analiza la resolución del siguiente problema. Luego, resuelve en tu cuaderno y
escribe tu resultado en la casilla.
1
8
–5 =
1
1
8
–
1
5
=8
-3
–2
3
2
3
( )
––
1
5
=512 –
1
25
=–
5
2
112
25
a. –
1
7
(–3) =
–3
–2
e.
–1
–(–55)
4 =
–3
–3
b.
1
(–4)
(–2 )=
–5
8
f. 12 –
–1
4
=–2
–3
c. –3 –
5
11
(–9)
=
–2
g. –(–3)
––3
–2
–
1
(–11)
=
d. –
1
(–6)
(–2 )=
2
–8
h.
–3
–
–1
(–10)
–( ––2) =–7( )
4 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencias de base racional y exponente entero
Ahora que ya has trabajado con potencias de base y exponente entero, a
medida que avances en tus estudios ocuparás distintos conjuntos numéricos.
A continuación, se defi nirá qué ocurre cuando se tiene como base un número
racional, es decir, si pertenece al conjunto , y su exponente es un número entero.
Si se tiene una potencia cuya base es un elemento
c
d
del conjunto y su exponente
es un número entero n, se tiene que:
Sin>0,
c
d
=
c
d
.
n n
Sin==0,
c
d
=1;con
c
d
0.
n
≠
Sin<0,
c
d
≠
n –n
=
d
c
;con
c
d
0.
¿Se observan diferencias entre los valores de las potencias de base entera y
exponente entero y las potencias de base racional y exponente entero? Justifi ca.
Se denomina potencia de base racional y
exponente entero a toda expresión de la
forma
c
d
n
, donde:
cc
d
=
c
d
Si n> 0
n
n
..
1 Si n = 0,
c
d
0.
d
c
≠
≠
–n
Si n<0,
c
d
0.
Eje plos:
3
7
=
3
7
3
7
3
7
3
7
=
8
4
11
2.401
–
2
3
= –
3
2
= –
–2 2
33
2
–
3
2
=
9
4
–
5
4
–3 3
= –
4
5
= –
4
5
–
4
5
–
4
5
= –
64
1225
En general:
c
d
=
c
d
n
n
n
; con d, n , d 0 y n > 0.
Para grabar
Recuerda que el conjunto de los
números racionales () es de la
siguiente forma:
=
c
d
; c, d , d 0∈ ≠
Ayuda
. Calcula el valor de cada una de las siguientes potencias.
a.
2
5
3
= d. –
2
3
6
=
b.
–2
3
7
= e.
–3
–
12
3
=
c.
7
9
5
= f.
–
9
4
3
=
44 Unidad 2 Potencias
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a.
–2
3
5
5
–
–(– )
= e.
2
2
5
13
–
(– )
–
–
=
b.
1
1
1 001
1 110
– .
– .
–
(– )
(– )
= f. 0 3( , )––3 =
c.
4
3
–
3
= g. ––( , ) 22 86 =
d.
2
12
15
–
–
–
= h.
–
–
(– )
(– )
5
4
13
13
=
3. Calcula las potencias de la columna A y relaciónalas con su valor en la columna
B. Para ello, escribe la letra que corresponda en la columna B.
Columna A Columna B
a.
–
–
–
–
–(– )
5
5
4
16
9
256
–
b. –
33
233
4
c.
4
4
5
10
–
(– )
9
d.
2
2
15
5
(– )
(– )
1
16
–
e.
2
2
7
14
(– )
(– )
-
-
289
9
f.
17
3
2
1.024
g.
2
2
16
3
–
(– )
(– )
–
–
27
8
–
Considera que:
c
d
=
c
d
n
n
n
porque:
c
d
=
c
d
c
d
.
n
...
c
d
= (c c ... c)
1
d
1
d
...
1
d
== c
1
d
= c
1
d
=
c
d
n
n
n
n
n
n
¿Qué restricciones deben tener
c, d y n?
Desafío
n factores
c
d
n factores c
n factores
1
d
45Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación formativa
Analizando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
otencias de base entera y exponente natural.
1 Representa como potencia las siguientes multiplicaciones iteradas.
a. 2 2 2 = c. 8 8 8 8 = e. 15 15 15 15 15 15 =
b. 12 12 12 = d. 4 4 4 4 4 = f. 250 250 250 250 250 =
2 Representa como potencia. Luego, calcula su valor.
a. Base 3, exponente 5. e. Base 2, exponente 7.
b. Base 8, exponente 2. f. Base 12, exponente 3.
c. Base 5, exponente 4. g. Base 15, exponente 3.
d. Base 10, exponente 6. h. Base 25, exponente 2.
3 Resuelve el siguiente problema.
Unos chocolates son empaquetados por docena en bolsas. Si se ponen 12 de estas bolsas en una caja
pequeña, y para su distribución, 12 cajas pequeñas van en una grande, responde:
a. ¿Cuántos chocolates contiene cada caja pequeña y cuántos, cada caja grande?
b. Si se transportan 12 cajas grandes, ¿cuántos chocolates contiene el transporte?
otencias de base entera y exponente entero.
4 Calcula el valor de cada expresión.
a. (–3)–4 = e. –(–2)–10 = i. –(–3)–4 =
b. –8–3 = f. –(–3)–5 = j. (–2)–11 =
c. 6–4 = g. –(–1)–100 = k. –(–8)–3 =
d. 5–5 = h. –11.025 = l. (–7)–4 =
46 Unidad 2 Potencias
otencias de base racional y exponente entero.
5 Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a.
1
2
–4
= d.
5
–
2
3
= g. –
–27
–9
–5
=
b. –
11
66
–2
= e.
4
– –
1
3
= h.
(–25)
(–5)
–5
–5
=
c. –
3
4
–4
= f. –– –
5
4
–1
= i. –
(–1)
(–2)
–2.002
–11
=
6 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. (–3)x = 81 x = g.
–7
–211
=9
t
t =
b. y3 = 1.331 y = h. 2 =
1
4
u u =
c. z =–
8
27
3
z = i.
–5
–15
= j
3
j =
d.
1
22
=
1
4
p
p = j. (–3)k = 729 k =
e. (–15)q = 1 q = k. a–3 = –8 a =
f.
–5
–15
=r
-3
r= l.
–55.200
–1.300
=64
w
w =
7 Evalúa cada afi rmación. Luego, completa con V si es verdadera o F si es falsa.
a. El valor de toda potencia cuya base es distinta de cero y su exponente es cero será cero.
b. Si la base de una potencia es
1
4
y su exponente es –4, su valor es un número entero negativo.
c. Si la base de una potencia es menor que cero y su exponente es un número par, su valor es mayor
que cero.
d. El valor de una potencia de base y exponente menor que cero es siempre mayor que cero.
e. Si la base de una potencia es –
4
9
y su exponente es –1.000, su valor es un número racional mayor
que cero.
f. El exponente de una potencia representa si el valor de la potencia es un número racional o no.
g. Si la base de una potencia es un número racional y su exponente es un número entero positivo,
su valor siempre es un número entero.
47Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
. Analiza las siguientes justifi caciones de las propiedades presentadas.
Multiplicación de potencias de igual base y exponentes distintos
Se considerarán las potencias an y am, donde a , n, m y se excluyen los
casos 00 y 0n, con n < 0.
Como: an = a a ... a y am = a a ... a
n factores a m factores a
Se tiene que: an am = a a ... a a a ... a = a a ... a a a ... a = an+m
n factores a m factores a n + m factores a
Por lo tanto: an am = an+m
Multiplicación de potencia de distinta base y exponentes iguales
Se considerarán las potencias an y bn, donde a, b , n y se excluyen los
casos 00 y 0n, con n < 0.
Como: an = a a ... a y bn = b b ... b
n factores a n factores b
Se tiene que: an bn = a a ... a b b ... b / agrupando
n factores a n factores b
= (a b) (a b) ... (a b)
n factores (a b)
= (a b)n
Por lo tanto: an bn = (a b)n
Propiedades de la ultiplicación y
de la división de potencias
En páginas anteriores se ha explicado y practicado el cálculo del valor de una
potencia. Además, en cursos previos has aplicado algunas propiedades de las
potencias, relacionadas con las operaciones básicas. A continuación se presentará
una justifi cación de estas propiedades.
La propiedad recíproca es:
am + n = am an, con a y m,
n .
La propiedad recíproca es:
Para saber más
La propiedad recíproca es:
(a b)n = an bn, con a, b
y n .
La propiedad recíproca es:
Para saber más
Multiplicación de potencias
Igual base y distintos exponentes Distinta base y exponentes iguales
Propiedad: para multiplicar potencias de igual
base y distintos exponentes se conserva la base
y se suman los exponentes.
an am = an + m = am + n
Donde a , n, y se excluyen los
casos 00 y 0n, con n < 0.
Eje plo: 65 68 = 65 + 8 = 613
Propiedad: para multiplicar potencias de distinta base
e iguales exponentes se multiplican las bases y se
conservan los exponentes.
an bn = (a b)n = (b a) n
Donde a, b , n y se excluyen los casos 00 y
0n, con n < 0.
Eje plo: 34 54 = (3 5)4 = 154
Para grabar
48 Unidad 2 Potencias
2. Aplica las propiedades anteriores para resolver las siguientes operaciones. Escribe el resultado.
a. –63 (–62) = d.
1
2
0,5
4
5
= g.
5 5
1
2
8
9
=
b. –59 (–53) = e. –2–5 (–24) = h.
3
44
3
4
–7 2
=
c. 27 34 = f.
2
3
3
2
–3
–3
= i.
2
5
–7 –7
25
4
=
3. Calcula las expresiones de la columna A y relaciónalas con las de la columna B. Para ello, escribe en la columna
B la letra correspondiente.
Columna A Columna B
a.
–1
1
2
8
5
4
–2
4
3
b.
2
3
6
9
–3
–2
–1
7
8
c.
–3
–2
0,75
4
3
–27
d.
5-2
2
4
–2
26 33
e.
–3
7
8
8
7
–2
4
5
3
f. 12 32 24
5
3
2
4. Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve.
103 204 = (5 2)3 (10 2)4 = 53 23 (5 2 2)4 = 53 23 54 24 24 = 53 + 4 23 + 4 + 4 = 57 211
a. 153 254 = d. 4251 8410 =
b. 543 485 = e. 1502 153 =
c. 406 502 = f. 993 1215 =
5. Verifi ca las siguientes igualdades sin calcular el valor de las potencias. Luego, responde.
a. 22 + 22 = 23 b. 33 + 33 + 33 = 34 c. 44 + 44 + 44 + 44 = 45
¿Cómo se expresa 2324 mediante la adición iterada de una potencia de base 23?
49Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
6. Analiza la siguiente justifi cación de la propiedad presentada.
División de potencias de igual base y exponentes distintos
Se considerarán las potencias an y am, donde a – {0}, n, m .
Como: an = a a ... a y am = a a ... a
n factores a m factores a n factores a
Se tiene que: a :a =(a a … a):(a a … a)=
an m
aa a a a a ... a
a a a a
aa a ... a
n factores a m factores a m factores a
Luego, si n > m y se simplifi can m factores a, se tiene: n – m factores a
an : am = a a a a a a ... a = an – m
Mientras que, si n < m y se simplifi can n factores a, se tiene:
a :a =
1
a a a a a
n m
aa ... a
=
1
a
=
1
a
=a
m–n –(n–m)
n–m
m - n factores a
Del mismo modo, si n = m, se tiene que:
a :a =an m nn n n–n 0
n m n n
n
n
: a =a =a
a :a =a :a =
a
a
=1
Como a :a =a y a :a =1,se tieneque a =1n m 0 n m 0 .
7. Aplica la propiedad descrita para determinar el valor de cada potencia.
a. 105 : 104 = d. -3–4 : (-34) = g.
6
-52
4
:0,5 =
b. –27 : (–22) = e.
1
3
6 2
:
1
3
= h.
2
3
–7 –2
:
6
9
=
c. 49 : 4–2 = f.
5
2
–9 5
:
5
2
= i. 16 : 23 =
División de potencias de igual base y exponentes distintos
Propiedad: para dividir potencias de igual base y distintos exponentes se conserva la base y se restan los
exponentes.
an : am = an – m; donde a – {0}, n, .
Caso 1:
Si n > m:
an : am = an – m;
donde n – m > 0.
98 : 96 = 98 – 6 = 92 = 81
Caso 2:
Si n < m:
an : am = an – m; donde n – m < 0,
se tiene que a : a = a =
1
a
n m – (m–n)
m – n
7 : 7 = 7 =
1
7
=
1
49
4 6 –2
2
Caso 3:
Si n = m:
an : am = an – m; donde n – m = 0,
se tiene que an : am = a0 = 1.
(–3)4 : (–3)4 = (–3)4 – 4 = (–3)0 = 1
Para grabar
50 Unidad 2 Potencias
8. Analiza la siguiente justifi cación de la propiedad presentada.
División de potencias de distinta base y exponentes iguales
Se considerarán las potencias an y bn, donde a , b – {0}, n .
Como: a =a a … ayb =b b … b
n n
n factores a n factores b
n factores a
Se tiene que: a :b =(a
n n
a … a):(b b … b)=
a a a a
a a … a
b b b b b
b … b
n factores a n factores b n factores b
Recuerda que
a b
c d
=
a
c
b
d
, luego, aplicando esta propiedad se tiene:
n factores a
a :b =
an n a a a a a … a
b b
b b b b … b
=
a
b
a
b
…
a
b
=(a:b) (a:b) … (a:b)=(a:b)n
n factores b
Por lo tanto, an : bn = (a : b)n.
9. Analiza la propiedad descrita para determinar el valor de cada potencia.
Escríbelo en la casilla.
a. 104 : 54 = c.
2
3
3 3
:
5
3
=
b. 9–2 : 3–2 = d.
6
3
4
:0,,56 =
0. Analiza las siguientes igualdades y verifi ca si se cumplen. Justifi ca.
a.
2a
b
:
3b
a
=
2
3
n n
; a, b ; n , a, b 0. b.
c
d
a
b
:
b d
a c
q
p q+p
=
c a
d b
; a, b, c, d ; q, p , a, b, c, d 0.
División de potencias de distinta base y exponentes iguales
Propiedad: para dividir potencias de distinta base e iguales exponentes se dividen las bases y se conservan
los exponentes.
an : bn = (a : b)n, donde a , b – {0} y n .
Caso 1:
Si a = 0 y n > 0:
an : bn = (0 : b)n = 0n = 0.
08 : 68 = (0 : 6)8 = 08 = 0
Caso 2:
Si a = 0 y n = 0:
an : am no está deter inado, ya
que se llega a la forma 00.
Caso 3:
Si a = 0 y n < 0:
an : am no está deter inado, ya
que se llega a la forma
1
00
.
Para grabar
51Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencia de una potencia
Así como se analizaron las propiedades de la multiplicación y división de potencias
ahora se estudiará la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia. Al
igual que en las anteriores, se presentará la propiedad y luego se propondrá una
justifi cación de ella.
. Analiza la siguiente justifi cación de la propiedad presentada.
Se considerará la potencia an, donde a – {0} y n .
Como: an = a a ... a
n factores a
m veces n factores a
Sea m , entonces: (an)m = a a ... a a ... a a ... a ... a a = an m
n factores a n factores a n factores a
Por lo tanto: (an)m = an m
2. Aplica la propiedad anterior para calcular el valor de las siguientes potencias.
Escribe tu resultado.
a.
2
0,2
3
5
–2
–2
= d. (–65)–3 =
b. 5
1
5
–9
0
= e.
2
3
4
3
=
c.
–6
–6
0,75
3
4
= f.
–5
7
2
0
=
Potencia de una potencia
Se denomina potencia de una potencia a aquella cuyo exponente es otra potencia. Por ejemplo, (22)3,
((-4,5)3)-1, etc. En este tipo de potencias se puede aplicar la propiedad de conservar la base y multiplicar los
exponentes.
(an)m = an m; a – {0}, n, m .
–
3
4
= –
3
4
2
3
2 3 6
= –
3
4
=
729
4.096
–
1
2
-2
3
= –
1
2
--2 3 -6
6= –
1
2
= (–2) = 64
Caso 1:
Si a = 0, n, m 0:
(an)m = 0
Caso 2:
Si a 0, n = 0 y/o m = 0:
(an)m = 1
Para grabar
52 Unidad 2 Potencias
3. Calcula mentalmente el valor de las siguientes potencias.
a.
–2
1
1
2
–2
–2
d.
-3
6
3
113
39
-3
2
b.
5
10
1
2
–5
–5
–22
e.
–2
–3
45
9
1
5
2
c.
–8
–5
13
26
1
2
0
f.
–2
–80,5
1
2
–5
4. Calcula las expresiones de la columna A y relaciónalas con las de la columna B.
Para ello, escribe en la columna B la letra correspondiente.
Columna A Columna B
a. ( )2
–2
(–3)
1
729
b.
0,125
0,375
2
–3
1
64
c.
2
22
11
–3
4
d.
23
3 1
81
e.
–1
5
15
–6
6.561
f. –(–2–1)–2 729
5. Resuelve el siguiente problema.
Un hexaedro regular tiene una capacidad de 64 cm3. Si una de sus aristas
disminuye 1 cm, ¿cuál es la potencia que representa al nuevo volumen?
2 = 2
2 = 2
2 2
2 8
2 3 6
2 2 3
3
3
( )
( )
≠
En general:
≠( )a am m
nn
Ayuda
5 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencias: operaciones co binadas
Ya fueron presentadas algunas propiedades de potencias con sus respectivas
justifi caciones. Ahora se plantean un par de páginas en las que trabajarás estas
propiedades de manera simultánea.
. Aplica las propiedades descritas en las páginas anteriores para calcular el valor de las siguientes expresiones.
Puedes ayudarte con una calculadora si lo necesitas.
a.
4 3 9 8
27 2
=
2 3
5
e.
–3
5
2
2 ,,5 =–3
b.
8 2 7
2 98
=
3
5
f. (–0,7)–4 (–0,7)–6 =
c.
3
4
6 –5
:
3
4
=
g.
2 2,5 8
3,5 32
=
3 –3
–4
d.
5
–
2
3
–
9
44
–
1
3
=
5 –5
h.
2 52 3
3
(22 5
2 5 2 5
=
3 2 5
3 3 8 4
)
En ejercicios que contengan potencias y operatoria combinada intenta aplicar propiedades que permitan
simplifi car los cálculos.
Eje plos:
3 3 3
9 9
=
2 2
3
5
( ) 33 9
9
=
3
9
=
3
81
=
1
27
3
5 2
3
2
1,5
0,2
4
–4
55
=
3
2
3
2
1
4
2
4
–4
2
4 –4
=
3
2
3
2
1
44
=
3
2
1
4
2
0
2 2
–2
2=
1
1
4
=
1
4
= 4 = 166
1
1 92 27
11
Para grabar
54 Unidad 2 Potencias
2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. 53 5x = 57 d. 11z : 115 = 110 g.
9
a
210
10
=10 j.
88
64
=8
6
m
4
b. (152)y = 152 e. (2r)3 = 212 h.
2
3
55 v 0
:
2
3
=
2
3
k.
3
5
=
25
2
n
99
c.
1
4
:2 =b ;b 0.
5
t 0
≠ f.
17
59
p
2
=1 i.
25
9
14 –x 4
:
81
5
=
5
3
l.
9
81
=729
k
3
3. Aplica las propiedades de potencias para completar con >, < o = según corresponda.
a. 28 83 c. 94 35 e. 38 272 g. 96 272
b. 44 167 d. 75 492 f. 57 1253 h. 144–2 24–2
4. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si el área de un cuadrado es 1012 cm2, ¿cuál es la medida de sus lados?
b. Una fi gura rectangular tiene una superfi cie de 203 cm2. Si uno de sus anchos mide 64 cm, ¿cuánto mide uno
de sus largos? Expresa tu respuesta como una potencia de exponente 3.
c. Se tienen 2 cuadrados cuyas áreas son 9 cm2 y 16 cm2. Si se dibuja un tercer cuadrado cuyo lado mida la
suma de las longitudes de dos lados de los cuadrados anteriormente descritos, ¿cuál es el área que tendría el
nuevo cuadrado dibujado?
d. Si una pared tiene forma cuadrada y una fi la de baldosas que la compone tiene 52 baldosas de 202 mm de
lado cada una, ¿cuáles son las dimensiones de la pared?
55Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Aplicaciones
En algunas de las actividades planteadas en páginas anteriores se han aplicado las
potencias a la Geometría, pero no tan solo a esa área, sino también a otras, como
a la Física. La energía cinética (E
c
) corresponde a aquella que se manifi esta en los
objetos que se mueven. La expresión asociada a la energía cinética de una masa
(m) está dada por:
E =
1
2
mv
c
2
Donde m se expresa en kg y la rapidez (v) en
m
s
. Por lo que, la medida en la que se
expresa la energía cinética es: kg
m
s
2
2
. Por ejemplo, para calcular la energía cinética
(E
c
) de un automóvil de 700 kg que se mueve a una rapidez de 30
m
s
se realiza lo
siguiente: s
E =
1
2
mv =1
2
700kg 30
c
2
mm
s
=350 k
2
gg 900
m
s
=315.000k
2
2
gg
m
s
2
2
En diversas ramas de la ciencia se suelen ocupar potencias para, a juicio de algunos, facilitar los cálculos y
permitir realizar una escritura de las fórmulas de manera más específi ca y simple.
Teore a de Pitágoras Rapidez Energía cinética Volu en de una esfera
c2 = a2 + b2 v =v =
d
t
E =
1
2
mv
c
2
V =
4 r
3
3π
Para grabar
. Resuelve los siguientes problemas de energía cinética.
a. La energía cinética de un móvil es de 2,25 105 kg
m
s
2
2
. Si la masa del móvil
es de 500 kg, ¿cuál es su rapidez?
b. ¿Cuánto disminuye la energía cinética de un automóvil de 400 kg si su
rapidez varía de 25
m
s
a 15
m
s
?
56 Unidad 2 Potencias
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
Ley de gravitación universal: dos cuerpos de masa m
1
y m
2
, separados por una
distancia r, se atraen con una fuerza (F) directamente proporcional a las masas
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Es decir:
F=G
m m
r
1 2
2
Las masas m
1
y m
2
se expresan en kg y r se expresa en metros. G se denomina
constante de gravitación universal y su valor corresponde a:
G=6,67 10
Nm
kg
–11
2
2
a. Calcula con qué fuerza (F) se atraen la Tierra (5,98 1024 kg) y la Luna
(7,14 1022 kg), sabiendo que la distancia entre ellas es de 384.000 km,
aproximadamente. Transforma los km a m.
b. Calcula con qué fuerza (F) se atraen dos cuerpos en el espacio masas son de
1 kg y 2 kg y están situadas a 0,5 m de distancia una de la otra.
c. Si la distancia entre los cuerpos en el espacio del problema anterior aumentara
al doble, ¿cómo varía la fuerza de atracción (F) entre ellas? Justifi ca.
Justifi ca aquí:
d. ¿Crees que la conclusión obtenida en la pregunta anterior se mantendrá para
cualquier par de cuerpos en el espacio? Justifi ca.
Realiza tus cálculos aquí.
La fuerza de atracción (F)
entre dos cuerpos depende de
la masa que estos tengan y de la
distancia que los separa.
N (Newton) es la unidad
de medida de la fuerza y
corresponde a:
N = kg
m
s2
Para saber más
57Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
Potencias y resolución de problemas
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
Un tipo de bacteria se triplica cada hora en el organismo de un animal. Si en el
momento que le diagnostican la enfermedad el animal tenía 20 bacterias, ¿cuán-
tas bacterias tendrá el animal transcurridas 8 horas?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
a cantidad de bacterias que se triplican día a día, teniendo presente que en
el principio hay 20 bacterias.
¿Qué información entrega el problema?
El número de bacterias en un comienzo.
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Se debe determinar la cantidad de bacterias al cabo de 8 días. Para ello, puedes
ocupar potencias de base 3 y exponente 8, ya que se entrega la información de
que estas se triplican cada día.
aso 3 Resuelve el problema
Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una
situación para resolver otra con la que no se está familiarizado.
Para ello, debes:
aso 4 Revisa la solución
Al calcular 38 20 se tiene que:
38 20 = 3 3 3 3 3 3 3 3 20 = 131.220.
¿Qué tengo que hacer para
aplicar un procedimiento?
¿Qué es aplicar?
Etapas de la resolución
de problemas.
Aplicar consiste en llevar a
cabo o utilizar un procedimiento
en una situación dada.
Interpretar la información
entregada en el problema
utilizando la representación.
E plear el procedimiento
propuesto en la resolución
del problema.
aso 1: Comprende el
enunciado.
aso 2: lanifi ca lo que vas a
realizar.
aso 3: Resuelve el proble a.
aso 4: Revisa la solución.
Interpreta la información. Emplea el procedimiento.
Por lo tanto, al cabo de 8 horas, el animal tendrá 131.220 bacterias.
eriodo Cantidad de bacterias
0 20
1 3 20
2 3 3 20
3 3 3 3 20
4 3 3 3 3 20
5 3 3 3 3 3 20
6 3 3 3 3 3 3 20
7 3 3 3 3 3 3 3 20
8 3 3 3 3 3 3 3 3 20
eriodo Cantidad de bacterias
0 20
1 3 20
2 3 3 20
3 3 3 3 20
4 3 3 3 3 20
5 3 3 3 3 3 20
6 3 3 3 3 3 3 20
7 3 3 3 3 3 3 3 20
8 3 3 3 3 3 3 3 3 20
eriodo
Representación
en potencias
Cantidad de
bacterias
0 30 20 20
1 31 20 60
2 32 20 180
3 33 20 540
4 34 20 1.620
5 35 20 4.860
6 36 20 14.580
7 37 20 43.740
8 38 20 131.220
eriodo
Representación
en potencias
Cantidad de
bacterias
0 30 20 20
1 31 20 60
2 32 20 180
3 33 20 540
4 34 20 1.620
5 35 20 4.860
6 36 20 14.580
7 37 20 43.740
8 38 20 131.220
58 Unidad 2 Potencias
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Se sabe que la población de cierto tipo de insectos se cuadruplica cada año. Si la población en este año es de
64 insectos:
Calcula la población para el quinto año.
Utiliza potencias para escribir una expresión que permita calcular el número de insectos que habrá al cabo
de 10 años (se supone que todos los insectos permanecen vivos).
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
aso 3 Resuelve el problema
Interpreta la información. Emplea el procedimiento.
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
¿Qué expresión representa de mejor manera la curva grafi cada? Justifi ca.
a. y = 60 0,4t
b. y = 60 0,8t
c. y = 60 1,2t
t
10
30
50
1 3 5
59Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
6 ¿Cuál de las siguientes alternativas es
equivalente a 2
a
2b
,cona,
–n
2
bb 0≠ ?
A.
b
a
2n
2n
B. 2
a
b
2
2n
2n
C. 2
b
a
2
2
2
D. 2
b
a
2n
2n
2n
E. 2
2n+2 bb
a
2n
2n
7 ¿Qué expresión es equivalente al producto de
25 3–2 36 2–1 20?
A. 0
B. 24
C. 34
D. 54
E. 64
8 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa
al área de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm?
A. 16 cm2
B (23)2 cm2
C. 2
32
cm2
D. 2 23 cm2
E. (23 + 23) cm2
9 ¿Cuál es el valor de
3 106 (–2) 10–2 (–5) 10–2?
A. 25 102
B. 30 102
C. 30 10–2
D. –30 102
E. –30 10–2
1 ¿Cuál de los siguientes números NO puede ser
escrito como potencia de exponente 3?
A. 1
B. 8
C. 27
D. 169
E. 216
2 ¿Cuál de las siguientes expresiones es
equivalente a (–4) (–4) (–4) (–4) (–4)?
A. –54
B. (–4)5
C. (–5)4
D. –(–4)5
E. 5 (–4)5
3 ¿Qué alternativa representa mejor al valor de la
potencia ((–3)6)-1?
A. Es igual a cero.
B. Es mayor que cero.
C. Es menor que cero.
D. No se puede determinar.
E. Ninguna de las anteriores.
4 ¿Qué valor de satisface la igualdad
2x = 256?
A. 7
B. 8
C. 16
D. 128
E. 512
5 ¿Cuál de las siguientes igualdades se cumple?
A. 45 = 210
B. 27 : 25 = 212
C.
1
25
=(–5)2
D. 23 (–2)5 = (–2)8
E. ((–2)3)5 = (–2)8
60 Unidad 2 Potencias
10 Si a = 2–2, b = 4–2 y c = 2–2, ¿cuál es el valor de
a : b c?
A. 1
B. 21
C. 22
D. 2–1
E. 2–2
11 ¿Cuál es el valor de –
4
8
–4
?
A. 16
B. 32
C. –32
D. –16
E. –
1
2
12 ¿Cuál es el valor de
2 +3
2 3
–2 –3
–2 –3
?
A. 1
B. 31
C.
31
108
D.
6
5
–5
E. Ninguna de las anteriores.
13¿Cuál es la potencia que representa la
expresión
(–8)2
–3
–3
4
(–2)
?
A. (–2)–27
B. (–2)–12
C. (–2)–39
D. (–2)–15
E. Ninguna de las anteriores.
14 ¿Qué valor se obtiene al simplifi car la expresión
4
1.000.000 0,00012
10
?
A. 12
B. 1,2
C. 0,12
D. 0,012
E. 1.200
15 ¿Cuál es el valor de
32
3 5
–8 5
–2 –1
–1
?
A. 9
B. 92
C. –9
D.
1
9
E. –
1
9
16 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa
al área de un rectángulo cuyo largo mide 68 m y
su ancho 48 m?
A. 106 m2
B. 108 m2
C. 248 m2
D. 616 m2
E. 416 m2
17 ¿Cuál de las siguientes afi rmaciones es
VERDADERA?
A. Toda potencia de base distinta de cero y
exponente igual a 1 tiene valor igual a 1.
B. Si la base de una potencia y su exponente
son números racionales su resultado puede
ser un número entero.
C. Si el exponente de una potencia es un entero
negativo y su base un racional, su resultado
es siempre un entero.
D. A y B son falsas.
E. B y C son falsas.
18 ¿Cuál es el valor de (–4)a+2 42?
A. (–4)a – 2
B. (–4)a + 2
C. (–4)2a
D. 162a
E. (–16)a + 2
61Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
19 ¿En cuál de las siguientes potencias su valor es
un número racional negativo?
A.
25
5
–1
–2
B. (–2)
(–3)2
C.
–1
–1
225
15
–1
D.
–1
–1
1
2
E.
4
–1
4
8
20 ¿Cuál de las alternativas es equivalente a la
siguiente expresión?
83 4–2 22
A. 23
B. 27
C. 83
D. 143
E. 643
21 Si 0,01x = 10, ¿cuál debe ser el valor de para
que se cumpla la igualdad?
A. 1
B. –1
C.
1
2
D.
3
2
E. –
1
2
22 Un tipo de bacteria se reproduce de acuerdo
a la expresión 2t, siendo t el tiempo expresado
en horas. ¿En cuánto tiempo se tendrán 1.024
bacterias?
A. 8 horas.
B. 9 horas.
C. 10 horas.
D. 11 horas.
E. 12 horas.
23 ¿Cuál es el resultado de la expresión
2
3
3
2
–4
2
2
9
4
= ?
A. 1
B.
2
3
C.
3
2
D.
9
4
E.
3
2
–2
24 ¿Cuál de las siguientes potencias es equivalente
a la expresión 63 + 63 + 63 + 63 + 63 + 63?
A. 63
B. 64
C. 618
D. 363
E. 3615
25 Si n es un número entero, ¿cuál(es) de las
siguientes igualdades es(son) siempre
VERDADERA(S)?
I. n2 n3 = n5
II. 2n + 3n = 5n
III. 2n 3n = 6n
A. Solo I.
B. Solo I y II.
C. Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
26 Si t = 2k + 2, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones es(son) igual(es) a t?
I. 2k 22
II. 8k
III. 2k 4
A. Solo I.
B. Solo III.
C. Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
62 Unidad 2 Potencias
27 ¿Cuál es el cociente entre 2 103 y 4 105?
A. 2 10–2
B. 5 10–2
C. 2–1 10–1
D. 2–1 10–2
E. Ninguna de las anteriores.
28 Si 4x + 1 22x – 6 = y, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones es(son) igual(es) a y?
I. 22x + 2 22x – 6
II. 4(2x + 2) (2x – 6)
III. 24x – 4
A. Solo I.
B. Solo III.
C. Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
29 El número de bacterias (B) en cierto cultivo está
dado por la expresión B = 100t 100100, donde t
es el tiempo expresado en horas. ¿Cuál será el
número de bacterias al cabo de 4 horas?
A. 100400
B. 100104
C. 104100
D. 400100
E. 4 100100
30 Si 3x + 2 = 243, ¿cuál es el valor de 3x?
A. 3
B. 9
C. 12
D. 27
E. 36
31 ¿Cuál es el valor de la expresión 5b : (–5b – 4)?
A. 54
B. 5–4
C. –54
D. –5–4
E. –52b + 4
32 El resultado de la expresión
3
1
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
es:
A.
27
44
B.
54
8
C.
87
8
D.
135
8
E.
153
8
33 En la siguiente ecuación, ¿cuál es el valor de ?
2
3
2 x
=
9
4
A. 1
B. –2
C. –1
D.
1
2
E. –
1
2
Analiza la siguiente expresión. Luego, responde las
preguntas 34 y 35.
–2 2 2
4
N=
p –p)
p
( ) (
34 ¿Cuál es el valor de N si p=
1
110
?
A. 0,01
B. 0,001
C. 10.000
D. 100.000
E. 1.000.000
35 ¿Qué valor tiene N cuando p = –1?
A. 1
B. 2
C. –1
D.
1
2
E. –
1
2
6 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve.
Una máquina realiza la siguiente operación: “Cuando ingresa un valor se multiplica por 2–2, el
resultado obtenido se multiplica por 03 y fi nalmente el resultado lo divide por 4”.
a. Si a la máquina se ingresa el valor 43, ¿cuál es el número que se obtiene?
b. Si a la máquina se ingresa el valor 0,0032, ¿cuál es el número que se obtiene?
c. Si el número que se obtiene de la máquina es 8.000, ¿cuál es el valor ingresado inicialmente?
Explica el procedimiento utilizado para responder cada pregunta.
64 Unidad 2 Potencias
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Potencias de base entera y
exponente natural.
Potencias de base entera y
exponente entero.
Potencias de base racional y
exponente entero.
Multiplicación de potencias de
igual base.
División de potencias de igual
base.
Multiplicación de potencias de
igual exponente.
División de potencias de igual
exponente.
Potencia de una potencia.
Contenido Defi nición o procedi iento Eje plo
65Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes claras las ideas principales; elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos
conceptos clave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Base Número natural División
Exponente Número entero Positivo
Potencia Multiplicación Negativo
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
00 no está determinado, por lo que no se considerará ese caso.
El denominador de una fracción es siempre distinto de cero.
Herra ientas
Potencias de un número.
an = a a ... a
n factores a
Potencias con exponente .
a1 = a
Potencias con exponente 0 y
base distinta de 0.
a0 = 1
Potencias de exponente
negativo.
a =
1
a
–n
n
; an 0.
Multiplicación de potencias de
igual base.
an am = an + m
Multiplicación de potencias de
igual exponente.
an bn = (a b)n
División de potencias de igual
base.
an : am = an – m
División de potencias de igual
exponente.
a :b =(a:b) =
a
b
n n n
n
; b 0.
Potencia de una potencia
(an)m = an m
66 Unidad 2 Potencias
Cerrar sesión
Nivel de logro
7
8
20
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué nota te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
67Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Unidad
Ecuaciones
Qué? Para qué? Dónde?
enguaje algebraico, ecuaciones e
identidades.
Comprender conceptos asociados a las ecuaciones. Páginas 70 a 71.
Ecuaciones con coefi cientes enteros,
fraccionarios y/o decimales.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Páginas 72 a 75.
Problemas de planteo, ecuaciones
literales y aplicaciones
Aplicar ecuaciones en áreas como la física y la geometría. Páginas 76 a 85.
Estudio de soluciones de ecuaciones. Analizar la solución de una ecuación y su pertinencia con el
contexto del problema.
Páginas 86a 87.
as ecuaciones están presentes en distintas áreas de estudio, por ejemplo, en Física,
Química, Biología, entre otras. Pueden describir situaciones y ayudar a organizar la
información de un problema para permitir su resolución. En la Antigüedad, equivalencias
y ecuaciones se representaban con una balanza de platillos, como la que muestra esta
antigua imagen egipcia.
8 Unidad 3 Ecuaciones
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) ¿De qué se trata la lectura?
2) ¿En qué área de estudio, diferente a las nombradas, crees que se pueden utilizar las ecuaciones? Explica.
3) En la Antigüedad, ¿cómo se representaban las igualdades y las ecuaciones?
Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada
previamente.
nicializando
Si la balanza que se muestra en la imagen se encuentra en equilibrio y las masas de las manzanas son
iguales, ¿cuál es la masa, expresada en gramos, asociada a cada manzana?
) ¿Qué se desea conocer?
2) ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) Resuelve el problema planteando una ecuación de primer grado con una incógnita.
9Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
En el enguaje a gebraico se utilizan
expresiones algebraicas (expresiones
compuestas por números y símbolos
(letras) relacionadas entre sí por las
operaciones básicas) para representar
a otro tipo de expresiones, ya sean en
lenguaje natural o numérico.
En el lenguaje algebraico intervienen
letras, que se denominan variab es,
ya que se les pueden asignar distintos
valores.
Ejemp os:
Un número disminuido en 5 unidades. w – 5
El doble de la suma de un número y dos unidades. 2(n + 2)
El doble de un número, aumentado en 2 unidades. 2n + 2
3(x + 4)
4
La cuarta parte del triple de la suma de un número y
cuatro unidades, o bien, las tres cuartas partes de la suma de un
número y cuatro unidades.
3x
4
+ 4 La cuarta parte del triple de un número aumentada en
cuatro unidades.
Lenguaje a gebraico
Al calcular el perímetro (P) de un rectángulo de largo a y ancho b se puede utilizar la
fórmula P = 2(a + b); para calcular el área (A) de un círculo de radio r, A = r2; para
calcular el área (A) de un cuadrado de lado a, A = a2; para calcular el volumen (V) de
un cilindro de radio basal r y altura h, V = r2h; etc. Las expresiones anteriores se han
representado en lenguaje algebraico y se pueden traducir a lenguaje natural como:
el perímetro de un rectángulo corresponde al doble de la suma entre su largo y su
ancho; el volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de su base por la
altura del cilindro, etc.
ara grabar
1. Representa en lenguaje algebraico.
a. La adición entre tres números consecutivos.
b. La adición entre tres números consecutivos,
comenzando desde 2x + 7.
c. El triple de la adición entre un número y su tercera parte.
d. El cuadrado de la diferencia entre un número y el doble
de la raíz cuadrada de otro.
e. El volumen (V) de una pirámide de base cuadrada
corresponde a la tercera parte del producto entre el área
de su base y su altura.
2. Representa en lenguaje natural.
a. 4(x – 1)
b. 2x2 – x3
c. p +
p
4
2
d. 2c –
1
3
d
e. 2y + (2y + 2) + (2y + 4)
70 Unidad 3 Ecuaciones
Ecuaciones e identidades
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas (combinación de
números y letras relacionados por las operaciones básicas), que puede tener una
única o varias soluciones.
Una ecuación es de primer grado con una única incógnita si el exponente de dicha
incógnita es 1.
Cuando una igualdad es verdadera para cualquier valor, esta se conoce como
identidad.
Ecuaciones de primer grado con una incognita.
2y + 1 = 6 y = 2,5
w + 1 = 2w – 2 + w + 7 w = –2
x + 3(5 + x) = 18 + x + 5 + 2x x = 8
Identidades.
a + 3a = 2a + 2a
10 + 2x = x + 2 + x + 8
1 + y + 3 – 4y = 4 + 3y – 6y
ara grabar
1. Clasifi ca entre ecuaciones e identidades las siguientes igualdades.
a. 7(x + 8) = 6x + 56 + x d. 7(8 – y) + 5(5 + y) = 9(9 + y) g. 1,5 – 1,8w = 1,5 – 1,8w
b. 5y – 25 = 5(5 – y) e. 12(a – 8) + 8(a + 6) = 4(5a – 12) h. 75(–8 – q) = 25(24 – 3)
c. 14 + p – 84 = 2(p + 30) f. 7,4 + 0,6q = 2(0,3q + 3,7) i. 0,5(1 – x) + 0,2(1 + x) = x
2. Representa con una ecuación las siguientes expresiones.
a. El producto entre un número y 6 es igual a 72.
b. Un número aumentado en 5 unidades resulta 25.
c. Las tres cuartas partes de un número aumentadas en 7 unidades equivalen a 1.
d. La adición entre dos números consecutivos es 27.
e. La mitad de la suma de un número y 3 unidades equivale al mismo número disminuido
en 3 unidades.
En proposiciones como:
a + 3 = a + 2
2 – x = 3 – x, etc.
Se dirá que ningún valor hace
verdadera la proposición, por lo
tanto, esta es falsa.
Para saber más
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 71
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Ecuaciones con coefi cientes enteros
Una ecuación puede contener adiciones, sustracciones, multiplicaciones y/o
divisiones. Se dirá que las ecuaciones con coefi cientes enteros son aquellas que
involucran solo números enteros. Para resolverlas debes calcular el valor de la
incógnita. Recuerda que debes “despejar” la incógnita aplicando las propiedades de
las operaciones a ambos miembros de la ecuación para conservar la igualdad. Para
comprobar que el valor encontrado es el correcto, puedes reemplazarlo en ambos
miembros de la ecuación y verifi car que se cumple la igualdad.
En una ecuación con
coefi cientes enteros
intervienen solo valores
que pertenecen al
conjunto de los números
enteros ( ).
= + {0} –
+ = {1, 2, 3, …}
– = {–1, –2, –3, …}
Ejemp o:
x + 8 = 4(x + 8)
x + 8 = 4x + 32 / +(–x – 32)
x + 8 – x – 32 = 4x + 32 – xx – 32
–24 = 3x /
1
3
–24
1
3
= 3x
1
3
–8 = x
Verifi cación:
x + 8 = 4(x + 8)
1° –8 + 8 = 0
2° 4(–8 + 8) = 0
Por lo tanto, como
0 = 0, x = –8 es solución de
la ecuación x + 8 = 4(x + 8).
ara grabar
1. Resuelve las siguientes ecuaciones. Luego, compruébalas.
a. 2(x + 5) = 7(x – 5) c. 6(a + 524) = 2a + 320 e. 12y + 2.540 + y = 8y + 1.549 – 7y
b. 4y + 8 = 3y – (y + 5) d. 7x – 725 + 2x – 21 = 3(x + 9) f. 1.780x + 7.350 = 1.250 + 1.000x
2. Representa los siguientes enunciados con una ecuación de primer grado con una incógnita. Luego, resuélvela.
a. El doble de la suma de tres números enteros consecutivos es –42.
b. Al agregar 154 unidades a un número, resulta el triple del mismo número disminuido en el doble de 9.
La regla de los signos para la
multiplicación de números
positivos (+) y negativos (–) es:
+ + = +
– – = +
+ – = –
– + = –
Esta regla es análoga para la
división.
Ayuda
72 Unidad 3 Ecuaciones
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si el perímetro de la fi gura es 66 cm, ¿cuál es la medida de su superfi cie?
(x – 4) cm
(x + 5) cm
b. Si el perímetro del triángulo isósceles de base AB es 450 cm, ¿cuál es el área
del triángulo ABC?
C
A B
(12x + 41) cm
(4x + 172) cm
75 cm
4. Relaciona las ecuaciones de la columna A con su solución en la columna B.
Para ello, escribe la letra que corresponde.
Columna A Columna B
a. 40 – 7(x + 8) = 5(8 + x) 1
b. 9x – (3x – 5) = 8 – (5 – 9x) –
4
3
c. 15 – 4(x + 7) = 5(9 – 4x) + 18 –
1
3
d. 7x + 2(4 – x) = 8(3 – x) – (8x – 5)
2
3
e. 5 – (3 – x) – (9 + x) = 15 + 4(3 – x) 8
1
2
f. 2(x + 5) – (x + 2) = 5(x + 4) – (x + 8) –4
2
3
g. 7 + (5 – x)3 = 17 – (3 + x) + 2(3 + x) 4
3
4
h. 5(x – 3) – 3(x – 4) = x(4 – x) + x(x + 7)
1
2
Encuentra cinco valores que
cumplan la siguiente relación:
3x – 4 > x + 6
¿Es una ecuación? Justifi ca.
Desafío
C
B
D
A
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 73
contenidoevaluación
c
c
e
e rr
resolución
Ecuaciones con coefi cientes fraccionarios y/o
decima es
Así como hay ecuaciones de primer grado con una incógnita con coefi cientes
enteros, también existen ecuaciones cuyos coefi cientes son fracciones. Para
resolver este tipo de ecuaciones se puede amplifi car cada miembro de la ecuación
por el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego simplifi car, de tal
manera que los coefi cientes correspondan a números enteros. Esto ya lo estudiaste
en páginas anteriores. En caso de que la ecuación contenga números decimales
como coefi cientes numéricos, puede ser una buena estrategia transformarlos a
fracciones y aplicar el método recién descrito.
Una ecuación de primer
grado con una incógnita
con coefi cientes
fraccionarios puede ser
resuelta amplifi cando sus
miembros por el m.c.m.
de los denominadores
para convertir la ecuación
a una que contenga solo
coefi cientes enteros.
En caso de que sus
coefi cientes sean
decima es, es posible
transformarlos a fracción.
Ejemp o:
2x + 13
5
= 0,7(x – 10)
2x + 13
5
=
7
10
(x – 10) / m.c.m.(5 ,, 10) = 10
10
2x + 13
5
= 10
7
10
(x – 10)
2(2x + 13) = 7(x –
110)
4x + 26 = 7x – 70 / + (70 - 4x)
96 = 3x /
1
3
32 = x
Verifi cación:
1°
2 32 + 13
5
=
64 + 13
5
0,7(32 – 10) = 0,7 22
=
=
77
5
2°
77
10
22
=
7
5
11
=
77
5
ara grabar
1. Resuelve las siguientes ecuaciones en el espacio disponible.
a.
3x–4
4
=x+6 c.
2x
5
+6=0,755(x –2) e. 0,5(z+3z)=
1
3
(z– 10)
b.
–y –3
3
=6(y –6) d.
4y
6
+
55y
6
=–(y – 1,5) f.
3z
2
+
2z
3
=
z
2
–
2z
4
¿Qué debiste hacer para que la resolución de las ecuaciones cupiera en el
espacio asignado? Explica.
¿Cómo resolverías las siguientes
ecuaciones?
x(x – 5) – 8 = –(5x + 4)
x(x + 4) + 3 = 4x + 5
¿Ambas tienen solución en ?
¿Cómo resolverías las siguientes
Desafío
74 Unidad 3 Ecuaciones
2. Verifi ca si el valor dado es solución para la ecuación planteada.
a.
–(x +3x)
2
=
2
3
(x –2) x = –
1
2
c. 0,75(y +3y)=
4
5
(y –5) y = –
200
11
b.
w
3
–
1
5
=
2
3
+
w +5
2
w = –
101
5
d. 0,25z+ 4=
5
6
(z–3) z = 13
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. La superfi cie de la fi gura mide 21 cm2. ¿Cuánto mide su perímetro?
(x + 4) cm
3
4
cm
b. Si el perímetro del triángulo es de 240 cm, ¿cuál es la medida de cada uno de
sus lados?
C
A B(30x – 16) cm
( cm
3
4
x +12)+84
5
2
x +30
cm
D C
A B
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 75
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Prob emas de p anteo
Las ecuaciones permiten modelar diversas situaciones y, con ello, determinar la
solución al problema planteado. Para esto, debes defi nir las variables que ocuparás,
adecuándolas al contexto del problema.
Observa el siguiente ejemplo:
“El largo de un terreno rectangular mide 10 metros más que su ancho. Si el terreno
tiene un perímetro de 60 m, ¿cuánto mide su superfi cie?”.
Debido a que el ancho del terreno está en función de su largo, es posible defi nirlo
con la letra x. Por lo que la longitud del largo del terreno se podría representar por
x + 0, ya que tiene 10 m más de longitud.
A su vez, el perímetro (60 m) corresponde a la medida del contorno, por lo que la
ecuación que lo representa es:
Al resolver ciertos problemas, es posible realizar un mode amiento aplicando ecuaciones de primer grado
con una incógnita. Para ello, se deben defi nir las variables que se utilizarán en la resolución del problema.
ara grabar
1. Analiza cada problema y escribe la variable que utilizarías para resolverlo. Luego, plantea una ecuación que
modele el problema.
a. La suma de dos números es 148. Si el mayor excede en 20 unidades al menor, ¿cuáles son los números?
Variable: Ecuación:
b. Si se compran cuatro chocolates en $ 4.200, ¿cuánto se pagaría por 7 chocolates?
Variable: Ecuación:
c. Un edifi cio tiene 95 pisos. Si cada piso tiene 10 departamentos, ¿cuántos departamentos tiene el edifi cio?
Variable: Ecuación:
d. Un celular tiene un valor de $ 110.000. Si este monto disminuye un 10%, ¿cuál es el nuevo precio?
Variable: Ecuación:
e. Una motocicleta tiene un precio de venta de $ 1.490.000. Si se cancela en 36 cuotas de $ 65.589 cada una,
¿cuánto más se pagará por sobre el precio original?
Variable: Ecuación:
Luego, la medida del ancho del terreno es de 10 m y
su largo mide 20 m.
Por lo tanto, la superfi cie mide 10 m 20 m = 200 m2
4x + 20 = 60
4x + 20 – 20 = 60 – 20
4x = 40
x =
40
4
x = 10
2x + 2(x + 10) = 60
7 Unidad 3 Ecuaciones
2. Resuelve los siguientes problemas.
a. La suma entre el sucesor de un número y el mismo número es 4.295.
¿Cuál es la quinta parte del sucesor del número?
b. Un estudiante lleva una cantidad de dinero al colegio y el doble de esa
cantidad lo deja en casa. Si en total tiene $ 6.993, ¿cuánto dinero deja en
su casa?
c. El doble de un número, que se disminuye en 24 unidades, es 80. ¿Cuál es la
mitad del número?
d. El perímetro de un rectángulo es 480 cm. Si un lado mide el quíntuple de
otro, ¿cuál es la superfi cie del rectángulo?
e. Un vehículo tiene un precio de venta de $ 4.990.000. Si se ha comprado
en 36 cuotas de $ 179.990 cada una, ¿cuál es la cantidad de dinero que se
pagará en intereses?
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 77
evaluación formativa
Analizando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
enguaje algebraico.
Relaciona la expresión escrita en lenguaje natural de la columna A con la expresión algebraica de la
columna B. Para ello, anota en la columna B la letra correspondiente.
Columna A Columna B
a. Un número par. y + 1; y + 2; y + 3
b. Un número impar. 2n + 1
c. El triple de un número. k2
d. Números consecutivos. 2w
e. El cuádruple de un número.
n
3
f. El cuadrado de un número. 3p
g. La tercera parte de un número. d + 2e
h. Un número aumentado en el doble de otro número. 4n
Ecuaciones con coefi cientes enteros.
2 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. 2x + 4 – (x + 4) = 2x – 3 c. 2(p – 7) + 2p = 3(p + 1) – 2 e. 4x + 3 – (2x – 1) = x + 5
b. 7x + 8(x – 9) = 17x + 3(x + 7) d. 15(7 – x) = –15(8 – x) + 75 f. 25x + 5 – (87 – x) = –x + 17
78 Unidad 3 Ecuaciones
Ecuaciones con coefi cientes fraccionarios y decimales.
3 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a.
2x +6
8
= x + 16 b.
7
3
x –
1
5
x=
2
15
x +5
2
3
– 1
1
5
c.
7p +8
9
=0,,6(p +8)
4 Verifi ca si los siguientes valores son soluciones de las ecuaciones planteadas.
a.
2p +6
3
= p –8; p=8 b.
7q+5
3
=
3q+7
2
;q =
11
5
c. 0,75x +
5
7
=
7x
5
+ 1; x =
40
91
Problemas de planteo.
5 Resuelve los siguientes problemas.
a. Un número y su sucesor suman 27. ¿Cuál es el cuadrado del número menor, menos el cuadrado del
número mayor?
b. Si a un número se le suman dos unidades, resulta el triple del mismo número, disminuido en 10 unida-
des. ¿Cuál es el cuadrado del número?
79Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Ecuaciones itera es
En algunas ecuaciones hay una o más letras además de la incógnita, y su valor
dependerá de cada una de estas letras adicionales, conocidas como constantes
literales. En este caso, se hablará de una ecuación literal. Para resolverla se procede
de la misma manera que para las ecuaciones vistas anteriormente, teniendo
claridad en que el valor de la incógnita podrá estar expresado por las constantes
literales que haya(n) en la ecuación. En caso de despejar la incógnita y que una o
más de las constantes literales queden en el denominador, se debe especifi car que
estas son distintas de cero.
Una ecuación itera es aquella
en que hay una o más letras
(constantes literales) además
de la incógnita. Para hallar
la solución de este tipo de
ecuaciones se puede aplicar el
mismo procedimiento utilizado
para ecuaciones concoefi cientes
enteros o fraccionarios.
Ejemp o:
Determina el valor de x:
ax – 2 = 4a
ax = 4a + 2
x =
4a + 2
a
; a 0.≠
La constante literal a debe ser
distinta de cero.
Verifi cación:
a
4a + 2
a
– 2 = 4a
4a + 2 – 2 = 4a
4a = 4a
Por lo tanto, ≠x =
4a + 2
a
; a 0 , es
solución de la ecuación.
ara grabar
1. Resuelve las siguientes ecuaciones literales. Recuerda escribir la restricción si
corresponde.
a. x – 4ab = 28(x + b) – 3(ab + b) d. y – 3(a + p) = 5(y – 8a + p)
a =
a =
b. 4x + 2a = 144 – 6(7b + x) – 2(x + y) e. –5(y + p) – (q – 7y) = –(y + 8b)
x =
y =
c. 7(a + x – b) – 8(a – x – b) = –(s – x) f. –2(y – 3bp) – 4ax = 12(8 – 7bp)
b =
p =
Generalmente, en las ecuaciones
literales se representan con las
primeras letras del abecedario
(a, b, c, d, etc) las constantes
literales y con las últimas letras
(v, w, x, y, z), a las incógnitas.
Pero esta notación dependerá de
cada caso. Por ejemplo, en Física
se utiliza la fórmula
v =
d
t
para calcular la rapidez
(v), distancia (d) y tiempo (t). En
ella, cualquiera de las tres letras
puede representar a la incógnita.
Generalmente, en las ecuaciones
Para saber más
80 Unidad 3 Ecuaciones
2. Resuelve las ecuaciones según la incógnita indicada y verifi ca si coincide con la
solución que se da.
a. 3a(x + 4) – a(x + b) = a(x + 7) c. 7x(p – q) + px – qx = 2(px – 4)
Solución: x=
7–12a–ab
a
; a 0. Solución: p=
8qx –8
6x
; x 0.
x =
p =
b. 7x(a + p) + x(p – a) = p(x + 8) d. 9(p + q) = 8(q + 3) – 10(q + p)
Solución: a=
7xp–8p
6x
; x 0. Solución: q=
24 – 19p
11
.
a =
q =
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si el perímetro de un rectángulo es (8x + 4p) cm y uno de sus lados mide
(3x + p) cm, ¿cuál es la medida de sus lados restantes?
b. Si el perímetro de un triángulo isósceles es de (7x + 2(p + q)) cm, y su base
mide (3x + 2p) cm, ¿cuál es la medida de sus otros dos lados?
¿Cuál es valor de x en la
siguiente ecuación?
ax – 2 = bx – 4
Desafío
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 81
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Ecuaciones en Física
La Física es la ciencia que estudia la forma en que se relacionan ciertas variables,
por ejemplo, tiempo, distancia, aceleración, rapidez, entre otras. Para ello, se
ocupan fórmulas que utilizan el lenguaje algebraico para representar las relaciones
entre las variables ya nombradas.
Para calcular la rapidez (v) de un móvil se emplea la fórmula v =
d
t
, donde d es
la distancia, medida por lo general en metros (m), y t es el tiempo, medido
habitualmente en segundos (s). Así, por ejemplo, si se quiere calcular la rapidez
con que Usain Bolt recorrió la carrera de los 100 metros planos en el Mundial de
Atletismo de Berlín 2009, en el que registró un tiempo de 9,58 segundos, se realiza
lo siguiente:
v=
d
t
=
100m
9,58s
=(100:9,58)
m
s
= 10,,44
m
s
;aproximadamente.
Es decir, Usain Bolt recorrió aproximadamente 10,44 metros en un segundo.
¿Qué permiten calcular las
fórmulas de la actividad 1?
Desafío
Algunas fórmulas utilizadas en Física son las siguientes:
(1) v =
d
t
(2) =
v
f
De (1) también se puede obtener d = v t, y t =
d
v
; mientras que de (2), se puede obtener v = f, y
también
f
v
; donde es la longitud de la onda, f es la frecuencia y v es la rapidez de la onda.
ara grabar
1. Analiza las siguientes fórmulas. Luego, despeja la variable indicada.
a. F=
kk q q
d
1 2
2
, despeja d2. c. y = y + v t+
1
2
gt
t 0 0
2
, despeja v
0
.
b. S = S
0
+ v t, despeja t. d. F = K(L – L
0
), despeja L.
82 Unidad 3 Ecuaciones
2. Evalúa en cada fórmula las magnitudes asociadas a cada variable. Luego, responde cada pregunta.
a. v =
d
t
c. E =
m v
2c
2
v: rapidez. E
c
: energía cinética.
d: distancia. m: masa.
t: tiempo. v: rapidez.
Si d = 180 m y t = 1,5 s, ¿cuál es el valor de v? Si m = 2,25 kg y v=0,5
m
s
, ¿cuál es el valor de E
c
?
b. F=m
v
t
∆
∆
d. E =m g h
p
F: fuerza. E
p
: energía potencial.
m: masa. m: masa.
Δv: variación de la velocidad. g: aceleración de gravedad.
Δt: variación del tiempo. h: altura.
Si m=
5
2
kg, Δv=0,75
m
s
y Δtt=0,5 s, ¿cuál es el Si m = 0,1 kg, h = 12 m y g =9,8
m
s2
, ¿cuál es el valor
valor de F? de E
p
?
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
En un problema que involucre la distancia se cumple la siguiente ecuación de movimiento: x = x
0
+ v t, que
relaciona la posición inicial (x
0
), la rapidez (v) y el tiempo (t).
a. Determina las fórmulas asociadas a:
v =
t =
x
0
=
b. Calcula la rapidez de una partícula si la posición inicial es de 10 m, el tiempo transcurrido fue de 20 s y se
produce un avance de 30 metros.
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 83
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Ecuaciones en Geometría
Así como las ecuaciones son aplicadas a la Física, también se pueden aplicar a la
Geometría.
Por ejemplo, se tiene una goma de borrar que puede ser representada por un prisma
rectangular cuya altura es 12 cm; su largo, 8 cm, y su volumen, 576 cm3. ¿Cuál es la
medida de su ancho?
Si se representa gráfi camente la situación y luego se plantea la ecuación respectiva,
se tiene:
V
prisma
= A
base
Altura (h)
576 cm3 = 8 cm x 12 cm
576 cm3 = 96 cm2 x
576 cm
96cm
=x
3
2
6 cm = x
Luego, el ancho de la goma de borrar es de 6 cm.
Algunas fórmulas utilizadas en Geometría para calcular el volumen son:
V =
4 r
3
3π
V =
r h
3
2π
V =
A h
3
base
V = A r2 h V = Abase h
Volumen de
una esfera.
Volumen de
un cono.
Volumen de
una pirámide.
Volumen de
un cilindro.
Volumen de
un prisma.
ara grabar
1. Analiza los siguientes cuerpos geométricos. Luego, responde.
a.
h
7 m
b.
5 m
A
B
Si el volumen (V) del cilindro es
490 m3, ¿cuánto mide su altura (h)?
Si el volumen (V) de la pirámide es
750 m3, ¿cuánto mide su área basal
(A
B
)?
h = 12 cm
8 cm
Las fórmulas de volumen de
los cilindros y de los prismas
se diferencian en que en los
primeros las bases son círculos,
mientras que en los segundos
son polígonos.
Para saber más
x
ce
84 Unidad 3 Ecuaciones
2. Resuelve los siguientes problemas.
a. Una pirámide de base cuadrada tiene un área basal de 2.304 m2. Si el volumen
de la pirámide es de 7.680 m3, ¿cuál es la medida de la mitad de su altura?
b. El área de una de las bases de un prisma recto es de 21 cm2. Si el volumen del
prisma es de 147 cm3, ¿cuánto aumentaría su volumen si la altura se triplica?
c. Las dimensiones de una caja con forma de paralelepípedo son: 36 cm,
24 cm y 30 cm (largo, ancho y alto). En esta caja se quieren introducir
paquetes cuyas dimensiones son 9 cm, 6 cm y 5 cm (largo, ancho y alto).
¿Cuántos de estos paquetes caben, como máximo, en la caja?
d. Un depósito tiene forma de cono y su radio basal es de 30 m de longitud.
Si contiene líquido hasta el 60% de su capacidad, que corresponde a
48.600 L de agua, ¿cuál es la altura del depósito? Considera = 3.
e. Si el volumen de una esfera es de 2.916 cm3 y se considera = 3, ¿cuál es la
medida de su radio? Conservando la medida de su radio y considerando
= 3,14, ¿en cuántos cm3 varía su volumen? Redondea a la décima.
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 85
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Aná isis de so uciones
En esta unidad trabajaste el lenguaje algebraico y las ecuaciones, procedimientos
y estrategias de resolución en problemas de planteo, debiendo contextualizar la
solución encontrada. Es por esto que es necesario analizar la solución obtenida en
una ecuación y verifi car el contexto en el que está planteada.
Por ejemplo: “Los alumnos y alumnas de un curso han donado alimentos no
perecibles a una localidad necesitada. Si en total donan 81 huevos y serán
organizados en docenas, ¿cuántas docenas de huevos formarán?”
La ecuación que se puede plantear es: 81 = 12x ⇒81
12
=x ⇒ x = 6,75
Luego, los 81 huevos serán organizados en 6,75 docenas.
La respuesta obtenida satisface la ecuación, pero no tiene sentido hablar de
6,75 docenas de huevos. Por esto, la solución se debe contextualizar de acuerdo al
problema planteado. En este caso, se puede interpretar diciendo que se formarán 6
docenas, y que en otra bandeja habrá 9 huevos.
Analizar la solución de una ecuación consiste en determinar si la respuesta encontrada es solución del
problema planteado a partir del contexto de la situación modelada. Para verifi car si una solución es adecuada
para el problema planteado se debe revisar la pregunta y responder dentro del contexto.
ara grabar
1. Resuelve los siguientes problemas contestando la pregunta de manera
adecuada.
a. Si un vehículo recorre una distancia de 150 km con una rapidez constante de
80
km
h
, ¿cuánto tiempo se demora en recorrer dicho trayecto? (Expresa el
tiempo en horas, minutos y segundos).
b. Si una sala de clases tiene una altura de 3 m y se desean apilar verticalmente
cajas de útiles escolares cuyas alturas son de 35 cm cada una, ¿cuántas de
estas cajas se pueden apilar como máximo?
8 Unidad 3 Ecuaciones
c. Un padre reparte entre sus tres hijos $ 28.000. El menor recibe la mitad de
lo que recibe el segundo, y este, la tercera parte de lo que recibe el mayor.
¿Cuánto dinero recibe cada uno?
d. Si el perímetro de un triángulo isósceles es 32 cm y su base mide la mitad de
cada uno de los lados que tienen igual medida, ¿cuál es la medida de cada
lado del triángulo?
e. Si un rectángulo tiene un perímetro de 92 m y uno de sus lados mide 10,4 m
más que otro, ¿cuántos cuadrados de lado 4 m se pueden dibujar como máximo
en el interior del rectángulo?
f. Las casas de Alejandro, Manuel y Sandra están situadas en los vértices del
siguiente triángulo:
Manuel
Sandra
(x + 40) m
(x + 10) m
x m
Alejandro
Si cuando Alejandro va a buscar a Manuel recorre 0,1805 km, ¿cuántos metros
hay entre las casas de los tres amigos?
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 87
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
Analiza la resolución del siguiente problema.
Un estudiante realiza una prueba de Matemática compuesta por 20 problemas.
Por resolver correctamente un problema obtiene 8 puntos y por responder un
problema de manera incorrecta se le descuentan 2 puntos de su puntaje total. Si
el estudiante obtiene 120 puntos, ¿cuántos problemas resolvió correctamente y
cuántos de manera incorrecta?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
a cantidad de problemas resueltos de manera correcta y la cantidad de
problemas resueltos de manera incorrecta.
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
a cantidad de problemas que componen la prueba, el puntaje asignado
a cada resolución correcta y a cada resolución incorrecta y el puntaje fi nal
obtenido por el estudiante.
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Se debe plantear la ecuación que representa la situación. Previamente se debe
defi nir la incógnita que se debe encontrar. Finalmente, se resuelve la ecuación
planteada y se contextualiza la solución al problema planteado.
aso 3 Resuelve el problema
Aplicar consiste en usar un procedimiento
aprendido en una situación para resolver otra con la que no se está
familiarizado. Para ello debes:
Interpretar la información.
x 20 – x 20 problemas
Emplear el procedimiento.
Si representa la cantidad de problemas resueltos correctamente por el
estudiante, entonces 20 – representará la cantidad de problemas resueltos
de manera incorrecta. uego, una ecuación que representa la situación es
8x – 2(20 – x) = 120.
Su resolución es:
8x – 2(20 – x) = 120
8x – 40 + 2x = 120 / resolviendo y sumando 40
10x =160 /
1
10
x = 16
o que signifi ca que el estudiante resolvió 16 problemas correctamente y 4
de manera incorrecta.
aso 4 Revisa la solución
Si el estudiante resolvió correctamente 16 problemas, entonces obtuvo
16 8 = 128 puntos. Sin embargo, como resolvió de manera incorrecta 4
problemas se le descontaron 4 2 = 8 puntos. Finalmente, se tiene que el
estudiante obtuvo 128 – 8 = 120 puntos.
¿Qué tengo que hacer para
aplicar un procedimiento?
¿Qué es aplicar?
Etapas de la resolución
de problemas.
Ap icar consiste en llevar a
cabo o utilizar un procedimiento
en una situación dada.
Interpretar la información
entregada en el problema
utilizando la representación.
Emp ear el procedimiento
propuesto en la resolución
del problema.
Paso 1: Comprende el
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a
realizar.
Paso 3: Resue ve e prob ema.
Paso 4: Revisa la solución.
88 Unidad 3 Ecuaciones
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Si las edades de cuatro hermanos suman 129 años, ¿cuáles son sus edades si la del primero es el doble que la
del cuarto; la de este es 5 años menor que la edad del tercero, y la edad del segundo es cuatro tercios la edad
del tercero?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
aso 3 Resuelve el problema
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
a. En una bolsa hay solo monedas de $ 100 y $ 500. Si en total hay 35 monedas en la bolsa, completando un
total de $ 10.300, ¿cuántas monedas de $ 100 y cuántas monedas de $ 500 hay en la bolsa?
b. En una parcela hay solo gallinas y conejos. Si en total hay 130 patas de animales, y se sabe que hay 44
animales, ¿cuántos pollos y cuántos conejos hay en la parcela?
89Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
1 ¿Qué alternativa representa, en lenguaje
natural, la expresión
1
5
x ?
A. Un número a la quinta.
B. El quíntuplo de un número.
C. La quinta parte de un número.
D. Un número disminuido en cinco unidades.
E. Un número aumentado en cinco unidades.
2 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa
el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide
cm?
A. 4n cm
B. n2 cm
C.
n
4
cm
D.
4
n
cm
E. (n2 – 4n) cm
3 ¿Cómo se puede representar el triple del cubo
de la diferencia entre dos números?
A. 3x3y3
B. 3x3 – y3
C. 3(x – y)3
D. 3(x3 + y3)
E. 3(x3 – y3)
4 ¿Qué ecuación representa que al doble de la
suma entre un número a y un número c le falten
4 unidades para ser 18?
A. 2a + c + 4 = 18
B. 2a + c – 4 = 18
C. 2(a + c) – 4 = 18
D. 2(a + c) + 4 = 18
E. 4 – 2(a + c) = 18
5 ¿Cuál es la solución de la ecuación de primer
grado con una incógnita 2x + 3 = 4x – 5?
A. x = –4
B. x = –2
C. x = 0
D. x = 2
E. x = 4
6 Si la balanza se encuentra en equilibrio, ¿qué
ecuación representa la situación?
A. 500x = 2.000
B. 500 + x = 2.000
C. 500 – x = 2.000
D. x + 2.000 = 500
E. –2.000 – x = 500
7 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es de primer
grado con una incógnita?
I. x2 – 1 = x2 + 6x + 5
II. 0,25x – x = 0,75
III. y = –
4
7
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
8 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la
misma solución que 6x – 3 = 15?
A. 3x – 1 = 7
B. 4x – 3 = 15
C. 5x + 2 = 13
D. 6x + 3 = 12
E. 7x – 10 = 11
90 Unidad 3 Ecuaciones
9 Si bx + b = ba + b, ¿cuál es el valor de a + x?
A. a
B. 2
C. 2a
D. 1 + a
E. 1 – a
10 ¿Cuál es la solución de la ecuación
2(x – 3) = 4(x – 2)?
A. x = –2
B. x = –1
C. x = 1
D. x = 2
E. x = 3
11 ¿Cuál es el valor de x en la siguiente ecuación?
3(x – 2) – 2(x – 1) = –5 – 4x
A. 3
B.
1
5
C.
3
5
D. –
15
E. –
2
5
12 Si
x
3
+ 2x=7, ¿cuál es el valor de x?
A. 1
B. 3
C. 7
D.
4
3
E.
7
3
13 Si a 0 y z 0, ¿cuál es el valor de z en la
ecuación az + 3 = 7?
A. z = 4
B. z=
4
a
C. z=
10
a
D. z=–
4
a
E. z=–
10
a
14 Al resolver la ecuación
x – 11
2
+
2(x – 1)
3
=x, ¿cuál es
el valor de x?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
E. 11
15 ¿Cuál es la solución de la ecuación con incógnita
p: 2p–
5
4
+p+
4
3
=
1
12
?
A. 0
B.
8
3
C.
4
9
D.
10
11
E.
1
18
16 El valor de y en la ecuación a – 2y = 1 – y es:
A. y = 0
B. y = 1
C. y = –a
D. y = 1 + a
E. y = a – 1
17 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es
equivalente a la ecuación 0,05x = 4,5?
A. 0,5x = 450
B.
5
100
x==4,5
C.
50
100
x=450
D. 5 10-3 x = 45 10–2
E. 0,5 10–2 x = 0,45 10–1
91Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
18 ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen
igual solución?
I.
x
3
+
1
2
= 6
II. 2x + 3 = 36x
III. 0,2 =
3,3
x
A. Solo I y II.
B. Solo II y III.
C. Solo I y III.
D. I, II y III.
E. Ninguna de las anteriores.
19 Si 1 –
3
= 9
∆
, entonces el valor de es:
A. –
99
2
B. –
2
9
C. –
3
8
D.
8
3
E.
9
2
20 Si t = 0,9, ¿qué valor de r hace verdadera la
igualdad
t – r
r
= 1?
A. 0,45
B. 0,9
C. 1,1
D. 1,8
E. Ninguna de las anteriores.
21 En la ecuación 50t + 20(2 – t) = 82, donde t
representa el tiempo en horas, ¿cuál es el valor
de t que satisface la ecuación?
A. 1 hora y 4 minutos.
B. 1 hora y 6 minutos.
C. 1 hora y 12 minutos.
D. 1 hora y 24 minutos.
E. 1 hora y 40 minutos.
22 Si el ancho de un rectángulo mide
3x
2
cm y el
largo mide el doble del ancho, ¿cuánto mide su
perímetro?
A. 3x
B. 6x
C. 9x
D.
9x
2
E.
9x
2
2
23 Si el largo de un rectángulo mide 10 unidades
más que su ancho, ¿cuál de las siguientes
expresiones representa el perímetro del
rectángulo si y es la medida del ancho?
A. y – 10
B. 2y – 10
C. 2y + 10
D. 4y – 20
E. 4y + 20
24 El largo de un rectángulo mide (3x + 2y) cm. Si
su perímetro es de (10x + 6y) cm, ¿cuánto mide
el ancho del rectángulo?
A. 2x + y
B. x + 2y
C. 4x + 2y
D. 7x + 4y
E. 27x + 2y
25 Jorge compró en $ (4a + b) tres artículos
distintos. Si el primero le costó $ a y el segundo
$ (2a – b), ¿cuánto le costó el tercero?
A. $ a
B. $ 7a
C. $ (3a – b)
D. $ (3a + 2b)
E. $ (a + 2b)
92 Unidad 3 Ecuaciones
26 Si una pirámide cuya base es un cuadrado de
lado 5 cm tiene una altura de 6 cm, ¿cuál es su
volumen?
A. 15 cm3
B. 25 cm3
C. 50 cm3
D. 75 cm3
E. 150 cm3
27 ¿Cuánto mide el perímetro de la fi gura?
A. 3p + 2q
B. 3p + 3q
C. 4p + 3q
D. 4p + 4q
E. No se puede determinar.
28 En la ecuación 3x – 3xk – 6k = –9, ¿cuál debe
ser el valor de k para que la solución de la
ecuación sea x = –1?
A. 2
B. 4
C. –4
D. –2
E. –
2
3
29 Si
1
A
+
1
B
=
1
x
, ¿cuál es el valor de x?
A. A B
B. A + B
C.
1
A +B
D.
A +B
A B
E.
A B
A +B
30 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene por
solución a z=
1
2
?
A. 4z + 8 = 0
B. 4z – 8 = 0
C. 18z + 9 = 0
D. 36z – 18 = 0
E. 2(z + 5) = 2(5 – z)
31 ¿Qué expresión representa a r en la siguiente
fórmula?
V =K
Q q
re
A. V
e
K Q q
B.
V
e
KK Q
q
C.
K Q q
V
e
D.
V K q
Q
e
E. Ninguna de las anteriores.
32 El volumen (V) de un cilindro se calcula
mediante la fórmula:
V = r2h
Si el volumen de un cilindro es 45 cm3 y
r = 3 cm, ¿cuál es el valor de h?
A. 5 cm
B. 7,5 cm
C. 15 cm
D. 42 cm
E. Ninguna de las anteriores.
33 La ecuación de movimiento rectilíneo
uniforme (S) es:
S = S
0
+ v t
Si S = 6 m, ¿cuál fórmula permite calcular el
valor de v?
A. v=(6–S – t)
m
so
B. v=
6+S
t
0
m
s
C.
v=
6–S
t
m
s
0
D. v=
6–S
–
0
tt
m
s
E. v=–
6–S
t
m
s
0
p – q
p
p
q
q
q
93Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve.
1. A partir de cartones cuadrados de 10 cm de lado, se desean construir piezas quitándoles un cuadrado de
lado x que se recorta como muestra la fi gura.
10
x
a. Determina una expresión que permita calcular el área de la pieza que se obtiene.
b. Calcula el área de la pieza para x = 0. ¿Cómo sería la pieza obtenida en este caso? Explica en forma
detallada.
c. ¿Cuál es el mínimo y cuál el máximo valor que se le puede asignar a x? Fundamenta tu respuesta.
94 Unidad 3 Ecuaciones
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Ecuaciones con coefi cientes
enteros.
Ecuaciones con coefi cientes
fraccionarios y decimales.
Ecuaciones literales.
Aplicaciones en Física y
en Geometría.
Análisis de soluciones.
Contenido Defi nición o procedimiento Ejemp o
95Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos
conceptos clave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Lenguaje algebraico Ecuaciones
Ecuaciones con coefi cientes enteros Aplicación de ecuaciones
Ecuaciones con coefi cientes fraccionarios Ecuaciones literales
Ecuaciones con coefi cientes decimales Análisis de soluciones
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
Herramientas
Ecuaciones de
primer grado con una
incógnita.
2y + 1 = 6 y = 2,5
a + 3a = 2a + 2 a = 1
Identidades
x + 3 = 2x – x + 3
5x – 2 = 5x – 5 + 3
Ecuaciones con coefi cientes enteros.
x+8=4(x+8)
x+8=4x+32 /+(–x–32)
x+8–x–32=4x+32–xx–32
–24 =3x /
1
3
–8=x
1 –8 + 8= 0
2 4(–8 + 8)
°
° == 0
x=–8 es solucióndelaecuación.
Ecuaciones con coefi cientes
fraccionarios y decimales.
2x + 13
5
=0,7(x–10) / 10
2(2x
++ 13)=7(x – 10)
4x + 26=7x – 70
96=3x
32=x
Ecuaciones literales.
ax – 2=4a /+22
ax =4a+ 2 /
1
a
x=
4a+ 2
a
; a 0.≠
Ecuaciones en Física.
(1) v =
d
t
(2) =
v
f
t=
d
v
f =
v
d = v t v = f
Ecuaciones en Geometría.
(1)V=
4 r
3
3 2π π
(2)V=
r
3
3 2π π h
(3)V=
3
3 2π π A hbase
9 Unidad 3 Ecuaciones
Cerrar sesión
Nivel de logro
4
16
13
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
97Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Recopilando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación integradora
Compara los siguientes números racionales y ubícalos en la recta numérica.
a. –1,
9
4
,
–3
4
,9,
1
2
,
1
4
,0,
11
2
2
b.
5
6
,(–22) ,
5
6
,
-3
1
,
4
6
,
1
6
,–
12
6
2
2 2
2
2 Representa como una multiplicación iterada las siguientes potencias. Luego, calcula su valor.
a. (–7)4 = c. –
11
4
5
=
b. 0,053 = d.
2
3
1
9
=
3 Representa los siguientes enunciados con una ecuación de primer grado con una incógnita. Luego,
resuélvela.
a. Un número aumentado en 92 unidades equivale al tercio del mismo número, disminuido en 7 unidades.
b. El doble dela suma de un número y la mitad del mismo número equivale a la cuarta parte de 162
unidades.
c. El cociente entre el quíntuplo de un número y 23 equivale al mismo número disminuido en 8 unidades.
4 Analiza cada expresión. Luego, escríbela como potencia.
a. 0,00098 : (–0,0003)8 = c.
–
1
3
5
3:-3 =
b. 122 (42 32)5 = d.
4
–
7
6
36
49
3
=
98 Evaluación integradora
51111 22
11111111111 22222
5 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a.
2 x–3
4
+
4 x–1
16
=
(–1) x
5
+
x
15
2 3 2 3( ) ( )
( ) ( )
c.
4 16
0,25 p–3
0,7
( )
55
+
0,3 1+p
3
4
=1
( )
( ) ( )
b. –
6y+4
6
–
12 3–y
3 –5
=0
2
( ) ( )
( )
d.
2 3z-33 22
2
2
6
–
15 0,5+z
5
=
0,2
2
( ) ( )
6 Detecta los errores cometidos. Luego, corrígelos.
–2
3y
y
:y
yy :y
=
y :y
y :y
=
y
y
=
y
y
= y =
–6
–1 4
–6
–1–5
–6 – 1
–6
–7
–6–7 11
y13
Errores:
Corrección:
7 Resuelve los siguientes problemas.
a. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 255,6 m. Si la medida de su ancho es la mitad de la medida
de su largo, ¿cuáles son las medidas del terreno? ¿Cuál es el área del terreno?
b. El área de un cuadrado es 9 10–6 mm2, ¿cuál es la medida de uno de sus lados?
99Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Unidad
Álgebra y ecuaciones
racionales
Qué? Para qué? Dónde?
xpresiones algebraicas, valoración,
reducción y uso de paréntesis.
Representar en lenguaje algebraico expresiones
escritas en lenguaje natural y realizar operaciones
con expresiones algebraicas.
Páginas 102 a 109.
Multiplicación de expresiones algebraicas,
productos notables y factorización.
Aplicar propiedades de la multiplicación de
expresiones algebraicas.
Páginas 110 a 119.
Mínimo común múltiplo y ecuaciones
racionales.
Resolver ecuaciones racionales, considerando la
pertinencia de su solución.
Páginas 120 a 125.
rancois Viéte (1540-1603), en una publicación de 1591, introdujo el uso de letras en
las fórmulas algebraicas, dejando atrás el lenguaje común en este contexto, conocido
como álgebra retórica. Así, por ejemplo, esto se puede aplicar si se quiere representar
algebraicamente la suma del área de un círculo de cierto radio con el área de un cilindro
que tiene el mismo radio, entre otras representaciones de relaciones geométricas.
00 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) ¿Qué se entiende por álgebra retórica?
2) ¿Qué expresión algebraica puede representar la suma del área de un círculo de cierto radio con el área
de un cilindro que tiene el mismo radio?
3) ¿Qué otra expresión algebraica utilizada en Geometría conoces?
Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada
previamente.
nicializando
Un tercio de cierto número equivale a la mitad del mismo número aumentada en 3 unidades. Si tal número
es aumentado en 8 unidades, ¿cuál es el triple de este nuevo valor?
) ¿Qué se debe tener presente para representar correctamente en lenguaje algebraico la expresión
enunciada en lenguaje natural?
2) ¿Qué procedimiento puedes aplicar para responder correctamente la pregunta?
3) Responde la interrogante que se plantea en el problema.
0 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Una xpr sión alg braica es una combinación de números y
símbolos (letras) relacionados entre sí por las operaciones básicas.
Se pueden clasifi car, según la cantidad de términos algebraicos que
contengan, en:
Monomio: un término algebraico.
Binomio: dos términos algebraicos.
Trinomio: tres términos algebraicos.
Polinomio: más de tres términos algebraicos.
Cada término algebraico está compuesto por el co fi ci nt
numérico y el factor lit ral. Además, el grado d un término
alg braico corresponde a la suma de los exponentes que
contenga el factor literal.
Por otra parte, el grado d una xpr sión alg braica
corresponde al mayor grado entre los términos algebraicos que la
componen.
Ej mplo: considera la siguiente
expresión de dos términos:
4x3y2z2 – 5a3c3
4x3y2z2 –5a3c3
Coefi ciente
numérico
4 –5
Factor
literal
x3y2z2 a3c3
Grado del
término
algebraico
7 6
Grado de la
expresión
algebraica
7
Expr sion s alg braicas
Para representar algunas situaciones es necesario usar expresiones algebraicas.
Por ejemplo, en una campaña de reciclaje de envases realizada en un colegio se
asignan 15 puntos por reciclar un envase de plástico y 20 puntos por reciclar un
envase de vidrio.
Para representar la situación utilizando una expresión algebraica que permita
calcular el puntaje obtenido por un estudiante según el número de envases de vidrio
y/o plástico que recicla, se puede utilizar la letra V para el número de envases de
vidrio y P para el número de envases de plástico.
Por lo tanto, si T representa el puntaje obtenido por un estudiante, se tiene que:
Puntaje = 20 (número de botellas de vidrio) + 15 (número de botellas de
plástico)
T = 20 V + 5 P
ara grabar
1. Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala creando un término algebraico e
identifi cando su factor literal.
rado
Coefi ciente
numérico
Letras del
factor literal
Término
algebraico
Factor literal
7
2
7
x; y; z
2 9 m; n
5 3,3 p
6 1 a; b; c
rado
Coefi ciente
numérico
Letras del
factor literal
Término
algebraico
Factor literal
7
2
7
x; y; z
2 9 m; n
5 3,3 p
6 1 a; b; c
En cursos posteriores se
considerará además como
polinomio a los monomios,
binomios y trinomios.
Para saber más
02 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Evalúa si las siguientes afi rmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello,
escribe V o F según corresponda.
a. El grado de la expresión
x y + 1
4
2 3
es 3, ya que 3 > 2.
b. La expresión algebraica xy2 + xy + x2 es un trinomio de grado 3.
c. Un trinomio siempre tiene 3 términos.
d. El grado del polinomio x + y12 + z2 – x2y2z3 es 12.
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
Se construye la siguiente secuencia de fi guras utilizando círculos rojos.
Figura
Figura 2
Figura 3
a. ¿Qué cantidad de círculos rojos tendrá la fi gura 8?
b. ¿Qué expresión algebraica representa la cantidad de círculos de la fi gura n?
c. Si la cantidad de círculos rojos siguiera el siguiente patrón numérico: 8, 27,
64, …, ¿qué expresión permitiría calcular la cantidad de bolitas de la fi gura n?
4. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
a. Marta tiene 3 hijos y quiere repartir $ 10.000 en la razón 3 : 3 : 4. Plantea
una ecuación de primer grado con una incógnita para determinar el dinero
que recibió cada uno de sus hijos. ¿Cuánto dinero recibió cada uno?
b. Si el avalúo de una casa es de $ 47.500.000 y se quiere vender para repartir
el dinero entre 5 personas en la razón 1 : 2 : 3 : 4 : 5, ¿cuánto dinero le
corresponderá a cada persona si los montos se redondean a la unidad?
c. El largo de cierto rectángulo mide el doble de su ancho. Determina una
expresión algebraica que represente su área a partir del ancho.
d. Dos números consecutivos suman 57. ¿Cuáles son estos números?
e. El cuadrado de cierto número aumentado en una unidad equivale a un tercio
del cubo del mismo número disminuido en 3. ¿Cuál es la expresión que
representa esta situación?
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 03
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Valoración d xpr sion s alg braicas
Matías tiene un plan de telefonía móvil cuyo costo (C) en pesos está determinado
por la siguiente expresión:
C = 9.000 + 75x + 45z
Si en el mes de marzo Matías habló 95 minutos y envió 36 mensajes, para
determinar el pago de marzo se puede valorizar la expresión algebraica considerada
para el cálculo de la cuenta telefónica.
C = 9.000 + 75 95 + 45 36 = 17.745
Porlo tanto, Matías debió pagar $ 17.745 por el mes de marzo.
Valorizar una xpr sión
alg braica corresponde a
determinar el valor numérico
que representa para ciertos
valores de las letras o variables
que la componen. Para ello,
se deben reemplazar dichos
valores en la expresión y luego
calcular el resultado.
Ej mplo:
Si a = 4 y d = 3, el valor numérico de a –
1
2
d + 5(a – d)2 2 se obtiene de la
siguiente manera:
4 –
1
2
3 + 5(4 – 3) = 16 –
9
2
+ 5 1 =
32 – 9 + 10
2
=
33
2
2 2
ara grabar
1. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. Para ello,
considera a = 2; b = 5; c = –3; d = –1 y f = 0.
a. 5a2 – 2bc – 3df d.
c –d
2
+
a+b
7
b. 3(a – b) + 2(c – d)2 e.
3
4
a –
2
5
c –
1
2
b +
7
8
f
c. (2(a + b))2 – 0,5(c – d – f)2 f.
5
12
a +
20
9
c
3
5
+
2
7
f
b f–
Cantidad de mensajes
de texto enviados (z).
Cantidad de minutos
hablados (x).
04 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Analiza la siguiente operación binaria . Luego, calcula el valor de cada
expresión.
a b = ab – (a + b)2 con a, b .
a. 2
–2
5
=♣ d. (1 1)1 1 =
b. 1,3 3=♣ e. –2 2,3=♣
c.
7
3
3
7
=
2 1
♣
♣
f. 3,5 ♣♣
1
5
=
3 . Analiza el diagrama. Luego, determina el valor de cada una de las expresiones
según el valor indicado para x.
P = R – Q
S = Q – T
R = x – 2
Q = R + T
T = x + 5
a. 2P + 3Q, si x = –2.
b. –3PQ + 4Q, si =
1
2
x .
c. P + Q + R + S + T, si x =32 .
Se dice que Carl riedrich
Gauss calculó de una manera
muy rápida la suma de los cien
primeros números naturales,
cuyo valor es 5.050.
Investiga qué expresión
algebraica permite calcuar la
suma de n números naturales.
Justifi ca.
Desafío
Una operación binaria es
aquella que se realiza entre dos
elementos de un conjunto. Por
ejemplo, la adición de números
racionales es una operación
binaria, ya que solamente se
puede sumar entre dos valores.
Aunque se escriba 2 + 5 + 7, la
adición no se puede resolver con
los tres sumandos de manera
simultánea.
Para saber más
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 05
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
R ducción d xpr sion s alg braicas
En la expresión mostrada, los términos destacados en rojo y en verde tienen el
mismo factor literal. Es por esto que es posible reducirla realizando las operaciones
correspondientes.
Entonces, 5x y+8yx = 5+8 x y=13x
2 2 2 2( ) yy
( )
–9y x+3xy = –9+3 xy =–6xy2 2 2 2( )
Así, se obtiene la siguiente igualdad a partir de la expresión inicial:
–9y x+5x y+8yx2 2y x2 2y x+52 2+5x y2 2x y 2 +3++3+ xy
=13x y–6xy
2
2 2y–2 2y–6x2 26xy2 2y
Entonces, el número de términos del polinomio inicial se redujo al número de
términos de un binomio.
1. Aplica la reducción de términos semejantes en cada una de las siguientes
expresiones algebraicas.
Se denominan términos s m jant s de
una expresión algebraica a todos aquellos
términos que tienen igual factor literal.
R ducir términos s m jant s consiste en
agrupar dichos términos algebraicos y luego
operar los coefi cientes numéricos según las
operaciones que los relacionen, conservando
el factor literal.
Ej mplo: en la expresión 5a2b + 3abx + 6a2b3 –
2
3
ba2.
5a b + 3abx + 6a b –
2
3
ba = 5 –2 2b +2 2b + 3a2 23abx2 2bx + 62 2+ 6a b2 2a b3 2
23 22 ba3 2ba
222
3
a b + 3abx + 6a b2 2a b2 2a b + 32 2+ 3ab2 2abx +2 2x + 6a2 26a 3
= 5= 5
= 5= 5= 5= 5= 5= 5= 5= 5= 5= 5= 5= 5
=
13
3
a b + 3abx2a b2a b + 6++ 6+ a b2 3a b2 3a b
ara grabar
Expresión algebraica Reducción de términos semejantes rado
3xy + 2xy2 + 6xy – 3xy2
2mx – 6m – 3n – 65xm + 7n – 3m
0,7x2y – xy – 3x2y + 6yx
abc + a2bc + ab2c + abc2 + a2b2c
Expresión algebraica Reducción de términos semejantes rado
3xy + 2xy2 + 6xy – 3xy2
2mx – 6m – 3n – 65xm + 7n – 3m
0,7x2y – xy – 3x2y + 6yx
abc + a2bc + ab2c + abc2 + a2b2c
Recuerda que la multiplicación
de números racionales es
conmutativa, es decir:
ab = ba
Ayuda
–9y x +3xy+5x y+8yx2 2+32 2+3xy2 2xy2 2y x2 2y x+52 2+5x y2 2x y2 22 22 2x y2 2x y2 2x y2 2x y+82 2+82 2+82 2+8yx2 2yx2 2yx2 2yx
Términos s m jant s
06 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Evalúa si las siguientes afi rmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello,
escribe V o F según corresponda.
a. El término 5xy es semejante con 5x2y.
b. –
1
4
uw +3wu +w u=
3
4
uw +3wu2 2 2 2 2
c. La expresión uvw + vwu no se puede reducir.
d. Si z = p = 1.000, entonces el valor de (z + p)(z – p) es 20.000.
3. Reduce las siguientes expresiones algebraicas.
a. 3bx + 4y – 6bx + 3y + 9xb + bx c. –
1
3
xy+2ab+yx–4ba+22xa
b. –5b2z + 6r + 7b2z + 4r + 25b2z d. 3xw – 2yt + 8xw + 7yt – 3xw – yt
Valoriza la expresión obtenida en d utilizando x=
1
2
;w =–
1
4
;y=0,1; t=1.
4. Representa con una expresión algebraica el perímetro (P) de cada uno de los
polígonos. Para ello, utiliza reducción de términos semejantes.
a. b.
P = P =
a + b 2a + 2
5b
4a
a + 3b
x2 + y
x + y
5x2
y2
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 07
contenidoevaluación
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c
e
e r
r
resolución
Uso d parént sis
En la unidad anterior utilizaste el lenguaje algebraico para representar expresiones
escritas en lenguaje natural como la siguiente:
“El doble de la edad de Carla aumentada en 4 es 6.”
Para determinar la expresión algebraica que representa esta situación debes
considerar dos casos:
2(x + 4) = 6 2x + 4 = 6
¿Qué diferencia encuentras entre ambas expresiones? ¿Cuál es la correcta?
¿Se obtiene el mismo resultado a partir de las dos expresiones?
En una expresión algebraica, el uso d parént sis
permite agrupar términos y ordenar con ellos las
operaciones que se quieren realizar. Además, si
el signo que antecede al paréntesis es positivo,
se conserva la expresión que está en su interior
y se "elimina" el paréntesis; mientras que si es
negativo, se suma el inverso aditivo de la expresión
entre paréntesis, en otras palabras, se “elimina” el
paréntesis y se cambian todos los signos de los
términos que están en su interior.
Ej mplos:
9x + (12y + x – 1) = 9x + 12y + x – 1 = 10x + 12y – 1
–[a + x – 3] + 2a = –a – x + 3 + 2a = a – x + 3
ara grabar
1. Analiza cada expresión y elimina los paréntesis según corresponda.
a. –{[–b]} d. –(x + 1) – 2 + [x – 3]
b. a – {–[–(b + c) + d]} e. –{c2 – [–(a2 + c) – b2] + b}
c. –(x – y) + [–(z + w)] f. –{–[–(c – a)]} – (a – b)
Si en una expresión algebraica
hay paréntesis dentro de otro, se
empiezan a "eliminar" desde el
que está más al interior.
Ayuda
08 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones.
a. 3(x2 – y2) + 2x(y – x) – x(3y – x) d. (2a + c – 3b) – (7a + 4b – 8c)
b. a + (b – c) + 2a – (a + b) e. a – 5b – [–3b – (a – b) + 2a]
c. 12m3 – [0,5m2 + m – 1 – (m3 + 2m2 – 3m + 7)] f. x2 – (–7xy + [–y2 + (–x2 + 32xy – 2y)])
3. Analiza el siguiente recuadro. Luego, resuelve.
Otra técnica para eliminar paréntesis antecedidos por un signo negativo consiste
en realizar el siguiente procedimiento:
–
2
(x–2)=–
2
x–
2
(–2)
2
x+
2
2
=–
2
x+
Multiplicas el factor por cada término en el interior del paréntesis, y si es posible,
reduces términos semejantes y simplifi cas.
Reemplaza las expresiones que representan P y Q y luego reduce términos
semejantes.
P x= –
1
3
–– +
3
2
4
y = – +
2
3
3
4
5x y( )
a. –
2
3
( ) b. P – 0,5(P – Q – 2Q)
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 09
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c
c
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r
resolución
Multiplicación d xpr sion s alg braicas
En la fi gura, las dimensiones del rectángulo se representan por monomios.
Si se quiere calcular el perímetro (P) del rectángulo, basta con sumar las
longitudes de sus lados, es decir:
P = 2 9x5z cm + 2 2x3yz cm = ( 8x5z + 4x3yz) cm
Luego, para calcular el área (A) del rectángulo,puedes multiplicar el largo
por el ancho. Entonces se tiene que:
Para multiplicar xpr sion s alg braicas se utilizan propiedades de potencias, entre otras.
Ej mplo: multiplicación de un monomio por un
trinomio.
5ab(4a2 + 8a3b + b4)
= 5ab 4a2 + 5ab 8a3b + 5ab b4
= 20a3b + 40a4 b2 + 5ab5
Ej mplo: multiplicación de un binomio por otro
binomio.
(7x + 5y)(10x – y)
= 7x 10x + 7x (–y) + 5y 10x + 5y (–y)
= 70x2 – 7xy + 50xy – 5y2
= 70x2 + 43xy – 5y2
ara grabar
El producto de dos monomios
se obtiene multiplicando los
coefi cientes numéricos entre sí y
las partes literales entre sí.
Ayuda
A = 2x3yz cm 9x5z cm = 8x8yz2 cm2
1. Relaciona las columnas A y B según corresponda. Observa el ejemplo.
Columna A Columna B
Producto de los coefi cientes numéricos.
x3 + y3
x4 + x2 + 1
x3 – y3
a4 + ab3
a4 + ab3
Producto de los factores literales.
9x5z cm
2x3yz cm
(x – y)(x2 + xy + y2)
(a + b)(a3 – a2b + ab2)
(x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
(x + y)(x2 – xy + y2)
(a + b)(a3 – a2b + ab2)
0 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a. (2x – 2y)(x + y) = f.
xy+ab
2
x y –abxy+a b
3
2 2 2 2
=
b.
2
x–mx
1
2
–x–
1
3
= g.
2
3
1
4
x –
2
y x+y+1)3 3
=
c. (x – y)(x2 + xy + y2) = h. (a + b)(a + b) =
d.
xy b
2
x y +a
3
2 2 2 2
= i. (a + b + c)(a + b + c) =
e. (3x – 3y + 1)(x + y + 2) = j. (a + b + c)(a + b – c) =
3. Calcula el área (A) y el perímetro (P) de cada una de las siguientes fi guras.
a. c. e.
4. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si la base de un triángulo isósceles excede al triple de la altura en 3 cm, ¿qué
expresión determina el área del triángulo?
b. Si las dimensiones de un rectángulo son (a + b) cm y (a2 – ab + b2) cm, ¿qué
expresión algebraica representa el área (A) del rectángulo?
c. Si 2n + 1 representa un número natural impar, ¿cuál es el promedio de los
tres números naturales impares 2n + 1, 2n + 3 y 2n + 5?
b. d. f.
2x + 4y
4x + 4y
4x + 4y 4x + 4y
x x
2x + 2y
Figura formada por
cuadrados de lado x.
Figura formada por
cuadrados de lado x.
x
x x
x
x + 4y
2xx x
4y 4y
4x
3x
2y2y
x
x
7y
2x
2y
2y
2x
3x
2y 2y
7x
y 4y
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
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r
resolución
Productos notabl s
Si se calcula el área (A) de un cuadrado de lado “a + b”, ¿cuál es el área del
cuadrado?
Observa que el cuadrado se puede descomponer de la siguiente manera:
A = (a + b)2 2aba2 b2++
+ +
=
=
De lo anterior se puede confi rmar que: A = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
¿De qué otra manera podrías calcular (a + b)2?
Los productos notabl s son multiplicaciones de expresiones
algebraicas que presentan regularidades. Por ejemplo:
El cuadrado de un binomio: (a b)2 = a2 2ab + b2
El cubo de un binomio: (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
La suma por su diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – b2
Binomios con un término común: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ej mplo:
Cuadrado de un binomio: x +
1
3
= x + 2x
1
3
+
1
3
=
2
2
2
x +xx +x
2
3
x +
1
9
2x +2x +
Cubo de un binomio:
(y – 2z)3 = y3 – 3 y2 2z + 3 y (–2z)2 – (2z)3
= y3 – 6y2z + 12yz2 – 8z3
Suma por su diferencia: (t + 5)(t – 5) = t2 – 25
Binomios con un término común: (x + 3)(x – 1) = x2 + 2x – 3
ara grabar
1. Identifi ca el producto notable en cada caso. Luego, resuélvelo.
a. (x + 5)2 = h. (7x2 – 2y3)(7x2 + 12y3) =
b. (7a2 + b)(b – 6a2) = i. (3x4 + 5y2)3 =
c. (1 – 4y)3 = j. (x + 5)(x + 5)(x + 5) =
d. x +
1
2
=
2
k. x –
1
8
x +
1
8
=
e. x –
1
2
2
= l.
x –
1
2
x +
1
4
=
f.
2
x +
3
4
y =y =y =y =
y =
y =
= m. x –
3
444
y =
3
y =y =y =y =y =y =y =y =
y =
y =
y =y =
y =y =
g.
x +
3
4
y xy xy xy x
y x
y x
–
3
444
y =
y xy xy xy xy xy xy xy x
y xy x
y xy x
y =y =y =y =y =y =y =y =
y =
y =
y =y =
y =y = n. x –
2
7
y x +
5
2
y
y xy xy xy xy xy xy xy x
y x
y x
y xy x
y xy x
y xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy x
y xy xy xy x
y xy xy xy x
=
¿Es cierta la igualdad a3 b3 = (a b) (a2 ab + b2)? Justifi ca.
a + b
a + b
a
b
2 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Analiza cada fi gura. Luego, responde.
a. ¿Qué parte de la fi gura 1 se representa por x2 – 16? Justifi ca.
b. ¿Cuál es el volumen de la fi gura 2? ¿Qué relación tiene con el área total del
cubo de la fi gura 2?
3. Relaciona las columnas A y B según corresponda. Observa el ejemplo.
Columna A Columna B
4. Diseña una estrategia que te permita completar el recuadro. Luego, responde.
(x + y + z)2 = x2 + y2 + 2xy…
a. ¿Cuántos términos tiene el resultado de (x + y + z)2?
b. Aplica tu estrategia para resolver (x – y – z)2?
(x2 + y2)(x – y)(x + y)
(x + y)3
x6 – 2x3y3 + y6
(x – y)2 + (x – y)2 2(x – y)2
(y + x)2(x + y) (x + y)(x – y)
(x3 – y3)2
x4 – y4
x2 – y2
Figura Figura 2
4 cm
4 cm
x cm
x cm
x cm
x cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
x cm
x cm
Recuerda que el área total de un
cubo se obtiene sumando las
áreas de sus caras.
Ayuda
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 3
evaluación formativa
Analizando disco
e
evaluación contenido
re
so
luc
ión de problemas
aloración de expresiones algebraicas.
1 Analiza la información de la tabla. Luego, complétala según corresponda.
Valores
a =
4
7
; b = 2 y c = –0,3.
a =
1
3
; b =
1
2
y c = ––
1
5
.
Reducción de expresiones algebraicas y uso de paréntesis.
2 Reduce los siguientes términos semejantes de cada expresión.
a. 3x2 + 5yx – 22xy = d. (x – y)3 – (x + y)3 =
b. 0,9a3 + 3a2 + 8ab2 – 2a3 = e. 9(p2 – 2) – ((3p)2 – 4) =
c. 11z2 + z2 – b3 – 12b3 = f. 25(x2 – y) + (5(x – y)2) =
3 Resuelve el siguiente problema.
¿Cuál es el volumen total (V) de la fi gura?
V =
1
3
xy z
1
2 2
V
2
= 2(xy2 + xy2z2 + xz2)
V
3
= 3xy2z2
Expresión
algebraica
4 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
Multiplicación de expresiones algebraicas.
4 Calcula el producto en cada caso.
a. 2a(3a + 4b + 2c) c. (2x + 3y – 1)(4x + 5y + 6) e. (5x + 2y – 1)(5x + 2y + 1)
b. (–3a2b)(a + 2b – ab) d. (2x – 8x3y)(9x2 + 2y + 4xy) f. (x + 8y – 2)(–x + 8y – 2)
Productos notables.
5 Analiza cada expresión. Luego, complétala para que se cumpla la igualdad.
a. (a + 3)2 = a2 + + 9 f. (x – )2 = – 14x +
b. (2m + y)2 = + + g. (x + 5)(x + 12) = + + 60
c. (x – 7)2 = – + 49 h. (x – )(x + 13) = x2 + – 26
d. (x + 9)2 = x2 + + i. (x + )(x – ) = – 225
e. ( – 8)2 = x2 – + j. p(p – 2pq + 3q) = p2 – +
6 Analiza la fi gura. Luego, responde.
a. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la región
pintada de amarillo?
b. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la región
pintada de celeste?
c. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la fi gura
completa?
p cm
p cm
5 cm
5 cm
5Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
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c
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r
resolución
Factorización
“La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por tres”.
Sean n, n + y n + 2 tres números naturales consecutivos; entonces,
n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3.
Además,se tiene la siguiente igualdad:
3n + 3 = 3(n + )
Si n ∈ , ¿por qué la expresión 3(n + 1) es divisible por 3?
Factor común
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribir como multiplicación de factores algebraicos dicha
expresión.
Para factorizar, debes identifi car algún factor común entre todos los términos de la expresión, ya sea
numérico y/o literal.
Ej mplo: para factorizar la expresión 5x4 – 25x2 + 10x:
1° Se identifi ca el factor común de los términos que componen la expresión; en este caso, 5x.
2° La expresión se escribe como multiplicación de factores, en el que uno de ellos es 5x.
5x4 – 25x2 + 10x = 5x(x3 – 5x + 2)
ara grabar
1. Relaciona cada expresión algebraica con su respectiva factorización.
8a2 – 12ab
a2(a2 – ab – b2)
abc + abc2
5a2(3a + 4b2)
15a3 + 20a2b2
4a(2a – 3b)
a4 – a3b – a2b2
abc(1 + c)
2. Identifi ca en cada una de las siguientes expresiones un factor común y escríbelo en
el recuadro.
a. 9a + 9b e. z4 + z3 – z2
b. 2ab + a2b f. 0,5x + 0,25x2 + x3
c. 3xy – 6xz + 27x g. 2a2b2c2 + 4ab2c2 - 5a3b3c3
d. a9 + a10 + a11 h. 9xy2 + 3x2y +90x2y2
El factor común de una expresión
algebraica corresponde al
máximo común divisor
(m.c.d.) de los términos
algebraicos que la componen.
El factor común de una expresión
Para saber más
6 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
3. Analiza la siguiente información. Luego, completa la tabla.
Los términos de una expresión algebraica pueden tener como factor común un
binomio. Por ejemplo:
8ax – 5by + 9az + 9bz – 5ay + 8bx = 8x(a + b) – 5y(a + b) + 9z(a + b)
= (a + b)(8x – 5y + 9z)
¿Qué estrategia usaste para completar las últimas fi las de la tabla?
4. Analiza cada expresión algebraica. Luego, encierra los factores que corresponden a su factorización.
a. 6y – 4x – 3xy + 2x2 (2 + x)(3y – 2x) (2 – x) (3y – 2x) (2 – x)(3y + 2x)
b. 3a3 – 1 – a2 + 3a (3a2 + 1)(3a + 1) (a2 + 1)(3a + 1) (a2 + 1)(3a – 1)
c. x + x2 – xy2 – y2 (x2 – y2)(1 + x) (x – y2)(1 + x) (x – y2)(2 + x)
d. 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx (4a2 + 3m)(ax – b) (4a2 – 3m)(ax – b) (4a2 + 3m)(ax – ab)
5. Resuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD?
b. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD? Escríbela como producto
de dos factores.
D
A ap
3p
3x
2ap
C
B
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 7
contenidoevaluación
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resolución
Al factorizar una expresión algebraica, puedes utilizar productos notables. Por ejemplo:
a2 2ab + b2 = (a b)2 = (a b)(a b) Trinomio cuadrado perfecto.
a2 – b2 = (a + b)(a – b) Diferencia de cuadrados.
a3 b3 = (a b)(a2 ab + b2) Suma y diferencia de cubos.
a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3 Cubo de binomio.
ara grabar
6. Representa cada expresión algebraica como producto de factores. Para ello, utiliza los productos notables del
cuadro “Para grabar”.
a. x2 – 4x + 4 h. x3 – 343 ñ. a2 + 12a2 + 36
b. 9y –
11
25
x2 2 i. 9 – 12k + 4k2 o. 4x –
4
9
2
c. x –
1
2
x+
1
16
2 j. p2 – 8p + 16 p. 125 – d3
d.
x
4
–x+1
2
k. x3 – 27 q. 0,01x2 + 0,22x + 1,21
e. 6x2y – 9x3y l. 3x2y – 27y r.
t33
8
–1
f. 3x3 + 18x2 + 27x m. 8y6 – 32y5 + 32y4 s. 4t –
1
16
g. x4y + 6x3y + 9x2y n.
z
4
–z +z
4
3 2
t. 0,04a2 – 0,09b2
7. Resuelve el siguiente problema.
La fi gura está formada por dos cubos.
a. ¿Cuál es el volumen de la fi gura?
b. ¿Qué expresión algebraica factorizada representa al volumen?
(x + 1) cm
4 cm
8 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
8. Analiza el siguiente procedimiento. Luego, resuelve.
Un trinomio de la forma x2 + bx + c puede ser factorizado como el producto de dos binomios con un término
común (x + p)(x + q), donde p y q deben cumplir simultáneamente las siguientes condiciones:
° Que al multiplicarlos se obtenga c, que es el término libre (sin variable) de la expresión, es decir, p q = c.
2° Que al sumarlos se obtenga el coefi ciente b, que es coefi ciente numérico o literal de x, es decir, p + q = b.
Ejemplo: factorizar el trinomio x2 + 7x – 30.
° Primero, se deben encontrar dos números tales que su producto sea –30.
2° Luego, ese par de números debe cumplir con que su suma sea 7.
Los números son –3 y 10. Por lo tanto, el trinomio se puede factorizar de la siguiente forma:
x2 + 7x – 30 = (x + 0)(x – 3)
Factoriza los siguientes trinomios utilizando el procedimiento anterior.
a. a2 – 12a + 20 = g. s2 – 5s – 84 =
b. y2 + 8y – 20 = h. r2 + 16r + 60 =
c. x2 – 13x + 42 = i. z2 + 2z – 63 =
d. m2 + m – 12 = j. x x2 +
7
2
+
3
2
=
e. x2 – x – 6 = k. b b2 +
4
3
–
5
9
=
f. a2 – 5a – 6 = l. x2 – 0,7x + 0,12 =
9. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si P = a2 – 2ab + b2 y Q = a – b, ¿cuál es el valor de P si Q = 9?
b. La fi gura representa una pared rectangular y la medida de su superfi cie se expresa de la siguiente manera:
A = (x2 + 2x – 80) cm2. ¿Qué expresión representa la altura de la pared?
x + 10 cm
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 9
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resolución
Mínimo común múltiplo d xpr sion s alg braicas
En una carrera, tres ciclistas parten simultáneamente y se demoran en
dar una vuelta completa al velódromo 10, 12 y 15 segundos. ¿Al cabo de
cuánto tiempo se encontrarían por primera vez los tres ciclistas en el
punto de partida si mantuvieran estos tiempos?
Para resolver el problema, puedes determinar el mínimo común
múltiplo entre 10, 12 y 15. Por lo tanto, los tres ciclistas se encontrarán
por primera vez en el punto de partida a los 60 segundos de iniciada la
competencia.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más expresiones algebraicas está determinado por la
expresión de mayor grado que es divisible por todas las expresiones involucradas.
Para determinar el mínimo común múltiplo se puede calcular primero entre los coefi cientes numéricos y
luego entre los factores literales, para lo que debes considerar cada uno de los factores que componen las
expresiones, dejando el de mayor grado en cada caso.
Ej mplo: si se tienen las expresiones 2x2y; 30x2y2; 9ay3, entonces para calcular el mínimo común múltiplo
entre ellas puedes hacer lo siguiente:
1˚ m.c.m. (2, 30, 9) = 90.
2˚ Los factores literales son: x, y, a.
El mayor grado en cada caso es x2; y3; a.
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo está dado por: m.c.m. (2x2y; 30x2y2; 9ay3) = 90ax2y3.
ara grabar
1. Calcula el mínimo común múltiplo de cada grupo de expresiones algebraicas.
a. 5m2nr; 25mn3 d. 5a2b; 15ab2; 20a3b
b. 14xy3z3; 21x3yz3; 42xyz2; 7x2y2z4 e. 7p3q2r; 3r4p5q; 2q2r3p3
c. 10xz; 2x2y; 22yz2; 12x2y2z2 f. 3abc; 6a6b; 9a3bc
20 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Analiza la siguiente información. Luego, calcula el mínimo común múltiplo en cada caso.
A continuación se muestra otra estrategia para calcular el m.c.m. entre expresiones algebraicas.
p2 – pq pq – q2
p(p – q) q(p – q) (p – q) Luego, m.c.m.(p2 – pq; pq – q2) = pq(p – q).
p q p
1// q q
1//
a. x2 – x; x2 – 1 d. x + 4; x2 + x – 12; x2 – 6x + 8
b. a2 + ab; ab + b2 e. x + 3; x – 2; 2x2 + 2x – 12
c. 2p2 – q2; 10p – 10q f. a + 5; a + 5; a2 + 10a + 25
3. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
Para sumar 2 o más fracciones que contengan incógnitas en su denominador, puedes utilizar el concepto de
mínimo común múltiplo. Por ejemplo:
3
a
+
5
a
+
8
32
El mínimo común múltiplo entre los denominadores a, a2 y 3, es 3a2. Luego, para calcular la suma de las
fracciones se tiene:
3
a
+
5
a
+
8
3
=
3 3a
a 3a
+
5 3
a 3
+
8 a
3 a2 2
2
22 2 2
2
2
2
2
=
9a
3a
+
15
3a
+
8a
3a
=
9a+15+8a
3a
a. Explica detalladamente la estrategia usada para resolver la adición
3
a
+
5
a
+
8
32
.
b. Resuelve
55
x
+
4
x
+
1
x
=
2 4
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 2
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Ecuacion s racional sLas cuacion s racional s son aquellas que involucran
expresiones algebraicas fraccionarias en uno o más de sus
términos.
Para r solv r una cuación racional, puedes transformarla
en una ecuación de primer grado con coefi cientes enteros o
fraccionarios multiplicando ambos lados de la igualdad por el
mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores
involucrados.
Ej mplo:
–
2
3x
+
5
6
=
1
2x
+
1
5
/ m.c.m.(3x; 6; 2x; 5) = 30x;con x 0.
–2 10 +
≠
55 5x = 1 15 + 6x
–20 + 25x = 15 + 6x
// +(– 6x + 20)
19x = 35 /
1
19
x =
35
19
ara grabar
1. Identifi ca en qué caso la igualdad corresponde a una ecuación racional.
a.
3
2x
=
x
2
+3
2
Sí No c. m2 + m – 3 = 2 Sí No
b. 2w+1=w+2 Sí No d.
2a
aa
=a–1 Sí No
2. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.
a.
3
x+1
=4; x ≠ –1. b.
–5
2x+3
=–1;x
3
2
≠ .
Al analizar la igualdad planteada
en la pizarra, podrás notar que
la incógnita x se encuentra en
el denominador de algunos
términos de la igualdad.
Entonces, para encontrar el o los
valores que la satisfacen puedes
multiplicar en ambos lados
de ella por el mínimo común
múltiplo de los denominadores
involucrados.
En el ejemplo observa que
x ≠ –1 y x ≠ 2. ¿Por qué?
3
x + 1
–
1
x - 2
= 0 / m.c.m. (x + 1; x – 2) = (x + 1)(x – 2)
3
x + 1
(x + 1)(x – 2) –
1
x – 2
(x + 1)(x – 2) = 0
3(x – 2) – (x + 1) = 00
3x – 6 – x – 1= 0
x =
7
2
⇒
1 1
1 1
Ayuda
5
x + 3
= 2 / (x + 3)
5
x + 3
(x + 3) = 2 (x + 3)
5 = 2(x + 3)
5 = 2x
•
++ 6 / + (–6)
–1 = 2x /
1
2
–
1
2
= x
5 1
Ayuda
Una expresión algebraica
fraccionaria corresponde
a aquellas fracciones que
contienen incógnitas en su
denominador.
Ejemplo
5
x + 3
1
y
; ; .etc
22 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
3. Detecta el error en cada resolución. Luego, corrige.
a.
10
x+5
=
1
2
/ (x+5) x –5
10=x+
5
2
x=
15
2
; ≠ Error: Corrección:
b.
3
x
=
2
3x+1
/ x ((3x+1)
9x+1=2x
7x=1
x=
1
7
Error: Corrección:
4. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.
a.
1
x+1
=
1
2
x –1; ≠ . d.
3
2x–7
=–1;x≠
77
2
.
b.
x
x –4
=
2x
2
++4
x –4
x –2 x 2
2
; ;≠ ≠ . e.
y–5
y+1
–
3
5
=1;y –1≠ .
c.
4
3x–7
=10 x
7
3
; ≠ . f. y–
5
y
=y+2;y 0≠ .
5. Resuelve el siguiente problema.
La fórmula de la aceleración (a), en un movimiento uniformemente acelerado, está dada por la ecuación:
a=
v –v
t –t
f o
f o
v
f
: rapidez fi nal v
o
: rapidez inicial t
f
: tiempo fi nal t
0
: tiempo inicial
a. Despeja v
f
de la fórmula anterior.
b. Si un vehículo que estaba detenido comenzó a moverse con aceleración constante de 55
m
s2
, ¿qué rapidez
adquiere a los 10 s de iniciar el movimiento?
¿Qué condición debe cumplir
x para poder resolver las
ecuaciones?
x
(x – 1)
–
1
x – 1
= 1
2
2
1
1– x
=
1
x
+
3
x – x2
Desafío
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 23
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Comprobación d cuacion s racional s
Observa la resolución de la ecuación
1
3x
=
5
x
, aplicando la equivalencia de fracciones.
1
3x
=
5
x
x=15x
14x=0
x=0
⇒
⇒
⇒
¿Qué sucede al evaluar la solución obtenida en la ecuación?
Al evaluar la solución en la ecuación se obtiene una división por 0, en ambos
miembros. Es decir, los dos denominadores de las expresiones fraccionarias son
0. Por lo tanto, como la división por 0 no está defi nida, se dirá que la ecuación no
tiene solución.
Al resolver una ecuación racional se debe comprobar que la solución satisfaga la ecuación. Para esto, una
vez obtenida la solución, puedes evaluarla en la ecuación; si al hacerlo se anula alguno de los denominadores
involucrados en la ecuación, se dice que la ecuación no ti n solución.
Esto sucede porque las soluciones de las ecuaciones transformadas no siempre son solución de la ecuación
original.
Ej mplo:
Al resolver
1
x – x
=
1
x – 1
/ x
2x –2x –
/ x / x(x -1) se obtiene como solución x = 1.
Al evaluar la solución obtenida en la ecuación, se tiene lo siguiente:
1
– 1
=
1
1 – 1
1
0
→
lo cual implica una contradicción, ya que la división por cero no está defi nida.
ara grabar
1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. Para ello, determina la
pertinencia de la solución que obtuviste en cada caso.
a.
6x
2x–6
=
2x+3
x–3
c.
15x
3x33x3 –6
=
3x+4
x–2
b.
2x–9
x–7
=
5
x–7
d.
2x–5
x–8
=
11
x–8
Dos fracciones son equivalentes
si:
a
b
=
c
d
a d = b⇔ a d a d c ; b, d ≠ 0
Ayuda
24 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2. Evalúa si las siguientes ecuaciones racionales tienen o no solución. Para ello,
resuélvela en el recuadro correspondiente.
a.
1
x
1
2x
=
4
x–
d.
3
3x
=–
7
5x
b.
3
7
x
x–2
=3 e.
x+1
x–1
1+x
1+x
c.
3
x
+
4
x
+
5
x
f.
x+3
x–1
x+1
x–8
3. Resuelve la siguiente ecuación. Luego, responde.
4. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
a. Determina una ecuación racional que no pueda tener como solución a los
números –1 y 2. Explica cómo determinaste tu respuesta.
b. Determina una ecuación racional que no pueda tener como solución el
número 0. Explica cómo determinaste tu respuesta.
c. Determina una ecuación racional que no pueda tener como solución a los
números –2, 3 y 5. Explica cómo determinaste tu respuesta.
¿Qué valores debe tener a para que la ecuación
tenga solución?
1
ax x
1
ax
=0
2 2
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 25
c
c
r
rres
olu
ción
de problemas
contenido
hh
e
evaluación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
La ecuación de la rapidez promedio está dada por v=
d
t
. De ella se pueden despejar
las variables tiempo t y la distancia d. Por ejemplo: un aeroplano vuela 1.062 km
con el viento a favor en un tiempo t; en el mismo tiempo t, puede volar 738 km
con el viento en contra. Si la rapidez del aeroplano cuando no sopla viento es de
200
km
h
, ¿cuál es la rapidez promedio del viento?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
a ecuación que relaciona las magnitudes rapidez, distancia y tiempo.
uego, el valor de la rapidez del aeroplano, 200
km
h
, ya que se conocen las
distancias recorridas y el tiempo t empleado.
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Interpreta los datos con una tabla
Distancia Rapidez promedio Tiempo
Viento a favor 1.062 200 + v t
Viento en contra 738 200 – v t
Distancia Rapidez promedio Tiempo
Viento a favor 1.062 200 + v t
Viento en contra 738 200 – v t
aso 3 Resuelve el problema
Se puede despejar de la ecuación v =
d
t
la variable ; entonces, t =
d
v
y
reemplazando los datos del problema se tiene que: t =
1.062
200+v
y t =
738
2000000 –v
.
Emplea el procedimiento
os tiempos son iguales, de modo que:
1.062
200+v
=
738
200–v
1.062(200–v) =738=738=7 (2⇒ 000000 +v)+v)+v
212.400–1062v =147.600+738v
1.800v = 64
⇒
⇒ 800
v = 36⇒
a rapidez del viento es de 36
km
h
.
aso 4 Revisa la solución
Para que la respuesta sea correcta, ambos tiempos deben ser iguales.
t =
1.062
200+36
=
1.062
236
=4,5h
1
t =
1
t = y t =
738
200–36
=4,5h
2
¿Qué tengo que hacer para
aplicar un procedimiento?
¿Qué es aplicar?
Etapas de la resolución
de problemas.
Aplicar consiste en usar un
procedimiento aprendido en
una situación para resolver otra
no enfrentada previamente.
Int rpr tar la información
entregada en el problema
utilizando la representación.
Empl ar el procedimiento
propuesto en la resolución
del problema.
Paso 1: Comprende el
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a
realizar.
Paso 3: R su lv l probl ma.
Paso 4: Revisa la solución.
26 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
La fuerza F necesaria para mover un cuerpo de masa m, se puede calcular usando la fórmula F=
m
a
, dondea
representa la aceleración del cuerpo. Si se aplica una fuerza F=20
kg m
s2
sobre un objeto que acelera 7,5
m
s2
,
¿cuál es la masa del objeto si su aceleración disminuye a la mitad?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta?
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
aso 3 Resuelve el problema
Interpreta la información.
Emplea el procedimiento.
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
El volumen (V) de un recipiente que tiene la forma de un prisma de base rectangular está dado por:
V = (x3 + 8x2 + 17x + 10) m3. Si la altura se puede expresar por (x + 5) m, ¿cuál es la medida de la superfi cie
de la base?
27Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
evaluación contenido
re
so
luc
ión de problemas
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
1 Un comerciante ganó durante cuatro años
consecutivos una suma de dinero “a”
anualmente; durante los siguientes tres años
ganó una suma “b”. Si el capital inicial del
comerciante era “x”, ¿qué expresión representa
la ganancia obtenida durante el período?
A. x + 4a + 3b
B. x – 4a + 3b
C. x + 4a – 3b
D. x – 4a – 3b
E. x – (4a + 3b)
2 Si en un juego se utilizan 32 naipes y se sacan
en un primer turno “x + 3” naipes, y en un
segundo turno se saca el doble de naipes que
en el primer turno, ¿qué expresión representa la
cantidad restante de naipes?
A. 32 – (x + 3) – 2(x – 3)
B. 32 + (x + 3) – 2(x + 3)
C. 32 – (x + 3) + 2(x + 3)
D. 32 – (x + 3) – 2(x + 3)
E. 32 + (x + 3) – 2x + 3
3 ¿Qué resultado se obtiene al sumar 4(4x + 11) y
5(5x – 13)?
A. 41x – 2
B. 41x – 21
C. 61x + 25
D. 41x – 109
E. 41x + 109
4 Si a = b + 3, ¿cuál es el valor de 3a – 2?
A. b + 1
B. b + 9
C. 2b + 3
D. 3b + 7
E. 3b + 9
5 Si x = 2y – 5, ¿cuál es el valor de 9x + 5?
A. 18y
B. 18y – 45
C. 18y – 40
D. 9(2y – 5)
E. 81y – 45
6 Al analizar la construcción de la siguiente
secuencia:
Figura 1
Figura 3
Figura 2
Figura 4
¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) VERDADERA(S)?
I. La décima fi gura de la secuencia está
formada por 21 círculos.
II. Cualquier fi gura de la secuencia tendrá un
número impar de círculos.
III. La diferencia positiva en cuanto a la
cantidad de círculos entre dos fi guras
consecutivas es 2.
A. Solo I.
B. Solo I y II.
C. Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
7 Si x = 1,25, ¿cuál es el valor numérico de la
expresión
1
4
x–6x–2x+
7
4
x?
A. –
15
2
D. –
275
32
B.
373
8
E. –
32
275
C.
365
32
8 ¿Cuál es la cuarta parte de la diferencia entre
“2b + 3a” y “2b – a”?
A. a
B.
a
2
C.
a+b
44
D.
a
4
E. 2a
28 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
9 Si y =
a x +2axz+z
a ax+z)
2 2 2
2(
, ¿cuál es el valor de si
a = 2?
A. 1
B. 0,5
C.
1
xz2
D. –
1
2
E. Ninguna de las anteriores.
10 Si a = 4 y d = 3, ¿cuál es el valor numérico de la
expresión a2 – 2d2 + 5(a – d)?
A. 3
B. –3
C. 2d
D. –2d
E. –13
11 Si x = 32 y b = 41, ¿cuál es el valor numérico de
la expresión y =
x +b
x–b)
2 2
2(
?
A.
49
25
B.
97
45
C.
1
72
D.
7
25
E. Ninguna de las anteriores.
12 Si x = 5, ¿cuál es el valor de la expresión
(x2 – 5x + 10)(x + 3)?
A. 8
B. –5
C. 10
D. 80
E. –80
13 Si a + b = –5 y a = –4, entonces, ¿qué valor
resulta al valorizar la expresión
b
b–(a+b)
?
A.
1
4
B.
1
55
C.
1
4
D.
1
6
E.
1
5
14 Si se defi ne aa b=
a
2
+
3b
4
∆ , entonces, ¿cuál es el
resultado de
1
2
1
3
∆ ?
A. 0
B. 1
C. 0,5
D. –
2
3
E. –
1
16
15 ¿Qué expresión resulta al reducir los términos
semejantes de la expresión:
–{–1 + a – x – [2 + (–a) + x – (–2a + 1)]}?
A. 2
B. 4
C. 2 – 2x
D. 2 + 2x
E. 4 – 2a + 2x
16 ¿Cuál de las siguientes expresiones es
equivalente a la expresión –[–x – (–x) (–y)]?
A. 0
B. –y
C. –x – xy
D. x + xy
E. x – xy
29Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
evaluación contenido
re
so
luc
ión de problemas
evaluación sumativa
17 Al reducir los términos semejantes de la
expresión 2 – x – 7x – (9x – (3 + 6x)). ¿Qué
expresión se obtiene?
A. 5x – 1
B. –5x +1
C. –(5x + 1)
D. 5x + 1
E. Ninguna de las anteriores.
18 La medida del largo de un rectángulo es
(3x + 2y) cm. Si su perímetro es (10x + 6y) cm,
¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?
A. (2x + y) cm
B. (4x + 2y) cm
C. (7x + 4y) cm
D. (x + 2y) cm
E. 3,5x+2y cm( )
19 ¿Cuál es el producto de (x – 3)(x2 + 2x – 5)?
A. –x3 + x2 – 11x + 15
B. x3 + x2 – 11x + 30
C. x3 – x2 – 11x + 15
D. x3 – x2 – 11x – 15
E. x3 + x2 – 11x – 15
20 ¿Qué expresión es equivalente a la expresión
(a + b)2 – (a – b)2?
A. 4a
B. 2ab
C. 4ab
D. –2ab
E. –4ab
21 ¿Cuál es el producto de
2
3
x+y
2
3
x–y
?
A.
4
3
x –y2 2
B.
4
9
x –y2 2
C.
2
9
x –y2 2
D.
4
6
x –y2 2
E. Ninguna de las anteriores.
22 El cuadrado ABCD, de lado 8 cm, tiene en sus
esquinas cuatro cuadrados de lado x cm cada
uno. ¿Cuál es el área sombreada?
A
B
Dx
x
x
x
x
x
x
x
C
A. (8 – x) cm2
B. (64 – 4x2) cm2
C. (64 – x2) cm2
D. (8 – x2) cm2
E. (8 – 2x)2 cm2
23 ¿Qué expresión se obtiene al resolver
(a + x)2 – x2?
A. a(a + 2x)
B. a2 – 2x
C. 2xa – x
D. a2 – 2ax
E. Ninguna de las anteriores.
24 ¿Qué expresión se obtiene al factorizar la
expresión 25x2 – 121y2?
A. (5x2 – 11y)(5x2 – 11y)
B. (5x + 11y)(5x + 11y)
C. (5x2 + 11y)(5x2 – 11y)
D. (5x + 11y)(5x – 11y)
E. Ninguna de las anteriores.
25 ¿Cuál de las siguientes alternativas es
equivalente a la expresión
8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3?
A. (a + b)3
B. (2a – 3b)3
C. (a + b)2
D. (a2 – b2)3
E. Ninguna de las anteriores.
30 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
26 Se sabe que a y b son números enteros
positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes
afi rmaciones es(son) VERDADERA(S)?
b
b
a
a
I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual
al área pintada de amarillo.
II. (a + b)(a – b) es igual a la diferencia de las
áreas del cuadrado de lado a y del de lado b.
III. a(a + b) > a2 + b2
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
27 ¿Qué expresión es equivalente a:
a2 – (m + n)a + mn?
A. (m + a)(n – a)
B. (a – m)(a – n)
C. (m – a)(n – a)
D. (a2 + m)(a – n2)
E. Ninguna de las anteriores.
28 Si el área de un rectángulo está dada por la
expresión (2x2 + 2x – 24) cm2 y uno de sus lados
mide (x – 3) cm, ¿cuál es la medida del otro lado?
A. (x + 8) cm
B. 2(x + 8) cm
C. 2(x – 4) cm
D. 2(x – 3) cm
E. 2(x + 4) cm
29 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre
x2 – 16 y x2 – 2x – 24?
A. (x – 6)(x + 4)(x + 4)
B. (x – 6)(x – 4)(x – 4)
C. (x + 6)(x + 4)(x – 4)
D. (x – 6)(x + 4)(x – 4)
E. Ninguna de las anteriores.
30 Dada la expresión x2y2 + x2y + xy + x, ¿cuál(es)
de las siguientes expresiones es(son) factor(es)
de ella?
I. xy + 1
II. x + 1
III. x
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y III.
E. Solo II y III.
31 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre
x2 + 10x + 25 y x2 + 12x +35?
A. (x + 5)2(x + 7)
B. (x + 5)(x + 7)2
C. (x – 5)(x + 7)2
D. (x + 5)(x – 7)2
E. Ninguna de las anteriores.
32 ¿Cuál es la solución de la ecuación
3
x+2
+
5
2
=0?
A.
5
16
B.
16
5
C. –
5
16
D. –
16
5
E. Ninguna de las anteriores.
33 ¿Cuál es la solución de la ecuación
13
2x–3
=
11
x+3
?
A. 0
B. 4
C. 8
D. –8
E. Ninguna de las anteriores.
34 El valor de x en la ecuación
1
a
=
2
x
es:
A. a
B. 2a
C. a – 1
D. a + 1
E. No existe.
3 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
evaluación contenido
re
so
luc
ión de problemas
. Lee atentamentelos problemas. Luego, resuelve.
1. En la siguiente fi gura:
D
A
F
E
C
B
b a
a
b
a. ¿Es verdadera la afi rmación, “el área del rec ángulo BCFE es a2 + ab”? Justifi ca tu respuesta.
b. ¿Es verdadera la afi rmación, “el área del rec ángulo AEFD es b2 + ab”? Justifi ca tu respuesta.
2. En la siguiente igualdad.
3–
x+
=
8
3
a. ¿Cuál es el valor de x? ¿Qué valor(es) no puede "tomar"x?
b. El valor que obtuviste, ¿es solución de la ecuación? Comprueba.
32 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Expresiones algebraicas.
Valoración de expresiones
algebraicas.
Reducción de términos
semejantes.
Multiplicación de expresiones
algebraicas.
Productos notables.
Factorización.
Mínimo común múltiplo de
expresiones algebraicas.
Resolución de ecuaciones
racionales y su
comprobación.
Cont nido D fi nición o proc dimi nto Ej mplo
33Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos
conceptos clave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Expresiones algebraicas Monomios
Binomios Polinomios
Valoración de expresiones algebraicas Reducción de términos semejantes
Multiplicación de expresiones algebraicas Productos notables
Factorización m.c.m. de expresiones algebraicas
Ecuaciones racionales Comprobación de soluciones
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
H rrami ntas
Expresión algebraica.
Coefi ciente
numérico 9
Binomio Grado 3
grado 2 + 2 = 4
factor literal a2b2
3x2y + 5xy2
9a2b2
• Un término: Monomio
• Tres términos: Trinomio
• Cuatro o más: Polinomio.
Valoración de expresiones
algebraicas.
Se le asigna un valor numérico a
cada uno de los factores literales
de la expresión.
Multiplicación de expresiones
algebraicas.
1
2
xy(2x+3y)=x y+
3
2
=xy2 2
Adición de expresiones
algebraicas.
3xy – (4y + 2xy) = 3xy – 4y – 2xy
= 3xy – 2xy – 4y
= xy – 4y
Productos notables.
(a b)2 = a2 2ab + b2
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Factorización.
Se determina el factor común y
se reescribe la expresión.
2xy + 2xz = 2x(y + z)
También puedes utilizar los
productos notables.
4x2 –12x + 9 = (2x + 3)2
Cuadrado de binomio.
m.c.m. de expresiones
algebraicas.
El m.c.m. entre 2x + 8y; 4x + 16y
es 4(x + 4y); ya que los factores
del primer binomio son
2(x + 4y) y los factores del
segundo binomio son 4(x + 4y).
Ecuaciones racionales.
Contienen la incógnita en
alguno de los denominadores
de la ecuación.
3
y–2
=
1
y+2
Las soluciones encontradas
deben ser comprobadas.
Términos
semejantes
34 Unidad 4 Álgebra y ecuaciones racionales
Cerrar sesión
Nivel de logro
18
6
7
3
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya
entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la
unidad? ¿Por qué?
Mi estado
35Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Unidad
Transformaciones
isométricas
Qué? Para qué? Dónde?
ransformaciones isométricas en
fi guras planas.
Identifi car y aplicar transformaciones isométricas a fi guras
planas.
Página 138 a 143.
Vectores y plano cartesiano. Representar magnitudes en el plano cartesiano. Página 144 a 149.
ransformaciones isométricas en el
plano cartesiano.
Aplicar transformaciones isométricas a fi guras planas
teniendo en cuenta sus coordenadas, y así introducir la
geometría cartesiana.
Página 152 a 162.
s muy frecuente relacionar las transformaciones isométricas con elementos de la
naturaleza, desde el diseño de las alas de una mariposa hasta nuestro propio cuerpo.
Las imágenes simétricas transmiten una sensación de orden, armonía y equilibrio que
muchas veces se toma como criterio de belleza.
36 Unidad 5 Transformaciones isométricas
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) ¿De qué se trata la lectura? ¿Cómo se relaciona con la imagen?
2) Da tres ejemplos, distintos a los mencionados, de elementos de la naturaleza que representen fi guras
simétricas.
3) ¿Qué opinas sobre considerar las imágenes simétricas como un referente de belleza?
Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un determinado procedimiento en una situación dada.
Cada símbolo está formado por dos fi guras, y una de ellas es la imagen simétrica de la otra, tomando
como referente un eje. Dibuja el eje de simetría en cada símbolo y describe la secuencia formada por las
fi guras a las que se les aplicó la simetría axial.
) ¿Qué se debe conocer para resolver el problema?
2) ¿Qué procedimiento llevarás a cabo para solucionar el problema?
3) Aplica el procedimiento descrito en la pregunta anterior y resuelve el problema.
nicializando
2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7
37Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
En las ransformaciones isomé ricas
aplicadas a fi guras planas se conservan la
forma y el tamaño de la fi gura original.
Por lo tanto, este tipo de transformaciones
permite obtener otra fi gura a partir de una
dada.
La fi gura que se obtiene luego de aplicar
una transformación isométrica se denomina
fi gura homóloga.
Ejemplos de transformaciones isométricas
son las raslaciones, ro aciones y
refl exiones.
Transformaciones isomé ricas
Son muchos los casos en los que es posible observar las transformaciones isométricas.
Por ejemplo: en el refl ejo de un espejo, en el funcionamiento de una cámara fotográfi ca
o de una fotocopiadora, en la forma de algunas plantas, etc.
¿Cómo clasifi caron tus compañeros la imagen de las manos? ¿Coincide con
tu respuesta? Corrobora con tu profesora o profesor.
. Aplica la transformación isométrica señalada. Luego, responde.
a. Simetría axial respecto b. Simetría central con respecto
de la recta L. al punto P.
¿Qué estrategia utilizaste para realizar las transformaciones pedidas?
B
A
C
B`
C`
A`
L
P
Traslación Simetría axial
Rotación Simetría central
Figura original
Figura original
Figura original
Figura
original
Figura
homólogaFigura homóloga
Figura homóloga Figura homóloga
P
1. Clasifi ca las siguientes imágenes. ¿Son una traslación, rotación, simetría o
no corresponden a una transformación isométrica de fi guras planas? Luego,
responde.
a. b. c.
B
A
0
C B`
C`
A`
Para grabar
Recuerda que la simetría axial
y la simetría central son tipos
de refl exiones.
Recuerda que la simetría axial
Para saber más
38 Unidad 5 Transformaciones isométricas
Transformaciones isomé ricas con el compu ador
Utilizando el software eogebra se pueden realizar traslaciones, rotaciones y
refl exiones (simetría axial y central). Pero antes, debes aprender a hacer fi guras
geométricas planas. Puedes descargar el programa en http://www.geogebra.org.
Observa que en la barra principal de este software se pueden encontrar los
siguientes elementos:
1. Utiliza eogebra para dibujar el polígono ABCDEF.
Selecciona el botón y luego, en el área de trabajo, genera el polígono que
desees. Para ello, presiona el botón izquierdo del ouse y se irá dibujando.
Cuando quieras cerrar el polígono, haz clic en el primer punto (vértice) que
dibujaste.
. Utiliza eogebra para realizar el siguiente dibujo. Para ello, emplea los botones:
Antes de realizarlo, borra el dibujo de la actividadanterior. Para esto, selecciona
el botón . Luego, arrastrando el ouse, selecciona toda la fi gura y de la
ventana que se despliega al presionar el botón derecho del ouse sobre la fi gura
selecciona Borrar.
Área de
trabajo
Botones de selección Señala botón seleccionado y cómo
llevar a cabo la tarea.
A a = 2
39Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Sime ría axial
La imagen muestra el polígono ABCDEFGH “refl ejado” respecto del lado AH,
generando otra fi gura geométrica, de vértices A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’, que conserva el
tamaño y la forma de la primera.
En este caso, el segmento AH, considerado para realizar la refl exión, está contenido
en la recta AH, denominada eje de simetría; mientras que los puntos A’, B’, C’, D’,
E’, F’, G’ y H’ están a igual distancia del eje de simetría que los puntos A, B, C, D, E, F,
G y H. Los primeros, se denominan puntos homólogos o de la fi gura homóloga y a
los segundos, puntos de la fi gura original.
Para grabar
La sime ría axial es una
transformación isomé rica en la que
a cada punto de la fi gura original se
le asocia otro punto que está a igual
distancia de la recta llamada eje de
sime ría.
Dos fi guras planas se dirán simétricas
si hay un eje de simetría que las refl eje.
Según la posición de esta recta, la
simetría puede ser in erior, ex erior
o de con orno.
1. Identifi ca cuáles de las siguientes fi guras parecen ser simétricas respecto a la
recta L. De serlo, clasifícala en simetría interior, exterior o de contorno.
. Aplica la simetría axial respecto de cada eje pintado de color rojo.
Simetría exterior
Simetría de contorno
Simetría interior
L
L
L
40 Unidad 5 Transformaciones isométricas
Sime ría cen ral o pun ual
En la imagen se tiene el cuadrilátero ABCD y su homólogo A’B’C’D’, en una
simetría respecto del punto E. Los puntos A, E y A’ (homólogo de A) son colineales
(pertenecen a la misma recta). Lo mismo ocurre con B, E y B’; con C, E y C’ y con
D, E y D’. Además, el punto E es el punto medio del segmento que une los puntos
homólogos. Este tipo de transformación isométrica se denomina simetría central o
puntual.
¿Qué diferencias y qué semejanzas observas respecto de la simetría axial?
1. Identifi ca, cuando sea posible, el punto o centro de simetría en las imágenes
que muestran la fi gura original y su fi gura homóloga. Fundamenta.
. Aplica la simetría central respecto de cada punto O pintado de color rojo.
Para grabar
La sime ría cen ral o pun ual
es una transformación isométrica
en la que a cada punto de la fi gura
original se le asocia otro que está a
igual distancia de un punto llamado
pun o o cen ro de sime ría.
Además, el punto de la fi gura
original, su homólogo y el centro de
simetría son colineales.
jemplo:
1° AF = FA’; BF = FB’; CF = FC’; DF = FD’; EF = FE’.
2° F AA’ ; F BB’; F CC’; F DD’; F EE’.
a. c. d. e.
O
O
b.
4 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
La raslación es una ransformación isomé rica que
corresponde al movimiento de una fi gura en una dirección, en
un sentido y en una magnitud dada. Dicha dirección, sentido
y magnitud de desplazamiento están representados por un
vec or de raslación (u).
Su dirección está dada por la recta que lo contiene u otra
paralela.
Su sen ido es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta
que lo contiene y está señalado por la punta del vector.
Su magni ud o módulo corresponde al valor numérico de la
longitud del vector.
Para grabar
1. Aplica el vector de traslación a cada fi gura. Luego, nombra los vértices de cada
una de ellas. Destaca con distinto color la fi gura trasladada.
Traslación
En el ajedrez, cada pieza puede ser movida de cierta forma.
Por ejemplo, la reina ( ) puede desplazarse los casilleros
que se desee en cualquier dirección, y la torre ( ), solo
en dos direcciones, de manera similar a la indicada en el
tablero.
En la imagen están marcados los movimientos que se
pueden realizar con una reina y una torre, y cada casillero
por el que pasa una fl echa azul o roja es un posible lugar
donde se pueden posicionar dichas piezas.
Dibuja en el tablero las fl echas rojas que representan
el movimiento de cada torre y las fl echas azules que
representan los posibles movimientos de cada reina
puesta en el tablero.
A
8
6
4
7
5
3
2
1
B C D E F G H
Ejemplo:
A A
B L
C
D
E
F
G
H
I
J
KB
C D
E
u
El vector u
tiene dirección FG, magnitud FG
y sentido FG.
42 Unidad 5 Transformaciones isométricas
1. Construye geométricamente las rotaciones indicadas.
Ro ación
Usando compás, regla y transportador, observa como se puede rotar en sentido
antihorario (positivo) una fi gura con respecto a un punto y en un ángulo de 60°.
Para grabar
En el dibujo, los puntos P y P’ pertenecen a un arco de circunferencia de centro O y ángulo central α. La
transformación isométrica que asigna a P su punto homólogo P’ se llama rotación, de centro O y ángulo de
rotación α.
Si el punto P rota hacia P’ en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, se dice que el sentido de
rotación es posi ivo. Si gira en el sentido de las manecillas del reloj, se dice que la rotación es en sentido
nega ivo.
C C
B
O O
B
1° Fijando el compás en el punto que
representa el centro de rotación,
en este caso O, se trazan las
circunferencias que pasan por los
vértices del polígono, en este caso,
el triángulo ABC.
3° Al unir los nuevos puntos, en
este caso A’, B’ y C’, se obtiene la
traslación del polígono, el triángulo
A’B’C’, con respecto al centro de
rotación O y en un ángulo de 60o.
2° Se trazan las líneas segmentadas que unen el centro de rotación con cada
vértice del polígono original.
Luego, con el transportador, y sobre cada una de estas líneas segmentadas,
se dibuja el ángulo en sentido contrario al movimiento de las manecillas
del reloj, en este caso de 60°, de tal manera que el otro lado de este ángulo
intersecte a cada circunferencia dibujada a partir de su punto homólogo. Por
ejemplo, el ángulo de vértice O y lado OA generará un punto A’, correspon-
diente a la intersección de este lado con la circunferencia de radio OA.
a. Rotación de centro O y ángulo de
rotación 240°.
b. Rotación de centro O y ángulo de
rotación -120°.
P
P’
P
P’
P’
P
α α
–α
0
43Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
El plano car esiano está determinado por dos rectas
llamadas ejes de coordenadas y cuatro cuadrantes.
El eje horizontal recibe el nombre de eje X o de las
abscisas.
El eje vertical recibe el nombre de eje Y o de las
ordenadas.
El punto de intersección de los ejes recibe el nombre
de origen.
Las coordenadas de los puntos son representadas
por el par ordenado (x, y), donde x (primera
coordenada) corresponde a los valores de las
abscisas e y (segunda coordenada) al de las
ordenadas.
Por ejemplo, el punto A está en el cuadrante
III y tiene coordenadas (–1, –1). Mientras que el
punto B, que está en el cuadrante I, tiene por
coordenadas (1, 1).
1. Identifi ca las coordenadas de cada punto. Luego, escríbelas donde corresponda.
a. C ( , ) f. A ( , )
b. G ( , ) g. D ( , )
c. F ( , ) h. H ( , )
d. E ( , ) i. B ( , )
e. P ( , ) j. Q ( , )
¿Pudiste ubicar sin problemas todos los puntos?
. Representa en el plano cartesiano los siguientes puntos.
a. A(0, 3) d. F –
3
4
,
2
5
b. B(3, 0) e. G – , ;2 25
1
3
c. C(–2, 2) f. H – ,–
15
8
35
9
Plano car esiano
Dibuja un punto A sobre una hoja para impresión de papel blanco. ¿Qué indicacio-
nes podrías dar a un compañero o compañera para señalar la ubicación del punto
dibujado? ¿Cuáles serían tus puntos de referencia?
Como ves, por muy sencilla que parezca la actividad, no lo es. Sin embargo,René
Descartes ( 596- 650), fi lósofo y matemático francés, creador de la geometría
analítica, estableció un sistema que permite identifi car y reconocer la ubicación, en
este caso, de este punto A: el sistema de coordenadas ortogonales, conocido en la
actualidad como plano cartesiano.
II I
III
A
B
IV
X
Y
Para grabar
X
Y
Q
P
1
1
2
2
3
3
–1–1–2
–2
–3
–3
44 Unidad 5 Transformaciones isométricas
Paso 1 Paso 2
5. Utiliza eogebra para ubicar los puntos. Luego, señala qué fi gura se forma al
unirlos con la herramienta .
a. A(3, 7), B(5, 4) y C(8, 6)
b. J(0,0),K
1
2
, 1 ,L –1,–2 ,M –2,0 yN
( ) ( ) ––
3
2
, 1
c. V 0,0 ,W –
3
2
,0 , X 0,
3
2
( )
ee Y
3
2
,0
d. J –
1
3
,
2
3
,K
1
2
,
3
2
,L 2,3
(( ) ( )yM 0, 1
4. Analiza los pasos que te guiarán en la formación de polígonos en el plano
cartesiano a partir de las coordenadas de sus vértices utilizando el software
eogebra.
3. Identifi ca en qué cuadrante del plano cartesiano se ubican los siguientes
puntos y completa la tabla con los signos de las coordenadas de cualquier
punto que pertenezca a cada cuadrante.
a. Ñ –1,–π( ) d. Q 0,–3( )
b. P
15
4
,–3
e. R 3,–c( ); c –.
c. S 2,– 8( ) f. V – 4
a
, ab
; a, b +.
¿Qué conclusión puedes obtener de esta actividad? Fundamenta.
uadrante Abscisa Ordenada
I
II
III
IV
Primero debes confi gurar el área de trabajo del
programa para que se vea el plano cartesiano.
Para esto, presiona Cuadrícula desde el menú Vista.
Observarás una imagen como la siguiente.
Presiona A y luego mueve el cursor sobre el área
de trabajo. Podrás observar que aparece una señal +
y las coordenadas del punto donde esté esta señal.
Al seleccionar un punto, presiona el botón izquierdo
del ouse. En el ejemplo, se han dibujado los puntos
A(–2, 3), B(0, 0) y se está por dibujar el punto
C(2, 3).
Para dibujar el polígono recuerda utilizar el botón
.
45Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Para grabar
AB = (–5, 1) – (–1, –2) = (–4, 3) = u
CD = (3; 2,3) – (3, 0) = (0; 2,3) = v
EF = (5, 3) – (1, 4) = (4, –1) = w
1
2
1
3
2 (4, 2)
3
A
X
Y
1
5
6
4
2 3 4 5 4 53210
B
1. Identifi ca las coordenadas de los puntos extremos de cada vector. Luego,
determina las coordenadas de sus respectivos vectores posición.
Vector rojo:
Vector amarillo:
Vector café:
Vector celeste:
Vector azul:
Vector morado:
X
Y
Y
X
Un vec or es un segmento de recta dirigido
que se caracteriza por tener magni ud o
módulo, dirección y sen ido.
Las coordenadas o componen es de un
vector AB son las coordenadas del extremo (B)
menos las coordenadas del origen (A). Es decir,
si A(x
1
, y
1
) y B(x
2
, y
2
), las componentes de AB
están dadas por:
AB = (x
2
, y
2
) – (x
1
, y
1
) = (x
2
– x
1
, y
2
– y
1
).
En adelante, cuando se haga referencia a las
componentes de un vector del plano, se utilizará
la notación: AB = u = (u1, u2); v = (v1, v2); etc.
Donde u
1
= x
2
– x
1
y u
2
= y
2
– y
1
. Además, si el
origen del vector coincide con el origen del
plano cartesiano (0, 0), se hablará de vec or
posición.
Vec ores en el plano car esiano
Imagina que el movimiento de una partícula está representado por el gráfi co. En él, el
punto A( , 2) corresponde a la posición de la partícula en el inicio de su movimiento
y el punto B(5, 4), al punto fi nal de su desplazamiento. El vector AB se llama vector
de desplazamiento, y sus coordenadas o componentes son (4, 2), ya que es posible
visualizar que la abscisa del punto A se incrementa en 4 unidades (1 + 4 = 5) y que
su ordenada se incrementa en 2 (2 + 2 = 4). Luego, para determinar las coordenadas
o componentes de un vector de desplazamiento se restan las abscisas de los puntos
fi nal e inicial y luego se restan las ordenadas de los mismos.
AB = (5, 4) – (1, 2) = (5 – 1, 4 – 2) = (4, 2)
El vector u, que tiene origen o inicio en el punto (0, 0) y extremo o fi nal en (4, 2),
se denomina vector posición y corresponde a AB trasladado al origen del plano
cartesiano.
AB
AB
AB
u
u
v
w
46 Unidad 5 Transformaciones isométricas
. Calcula las coordenadas o componentes de los siguientes vectores.
a. AB; si A(1,1; 3) y B(4,1; 3).
b. CD; si C(–1, 3) y D(–4, 5).
c. EF; si E
1
2
, 4
y F
3
5
,–
4
7
.
3. Representa gráfi camente en el plano cartesiano los vectores que permiten
trasladar un punto según las siguientes indicaciones.
4. Resuelve el siguiente problema.
Un vector representa un desplazamiento desde el punto A(1, 4) hasta el punto
B(–2, 3). Determina sus componentes y represéntalo gráfi camente.
a. AB: la abscisa, dos unidades en sentido positivo, y la ordenada, tres unidades
en sentido positivo.
b. CD: la abscisa, cuatro unidades en sentido negativo, y la ordenada, una
unidad en sentido negativo.
c. EF: la abscisa se mantiene y la ordenada, cinco unidades en sentido negativo.
d. GH: la abscisa, tres unidades en sentido negativo y la ordenada se mantiene.
1
2
1
3
4
2
3
X
Y
1
5
6
4
2 3 4 5 4 53210
47Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Adición de vec ores
Como sabes, los vectores corresponden a segmentos orientados. Observa dos
procedimientos que te permiten sumar, geométricamente, dos vectores.
Adición de vec ores
Forma riangular
1° Traslada uno de los vectores hasta hacer
coincidir el punto fi nal de uno de ellos con el
punto inicial del otro.
2° Forma un triángulo con un tercer vector (vector
resultante o vector suma) cuyo punto inicial
coincide con el punto inicial del primer vector
y su punto fi nal coincide con el punto fi nal del
vector agregado.
Forma de paralelogramo
1° Traslada uno de los vectores hasta hacer
coincidir su punto inicial con el punto inicial del
otro.
2° Forma un paralelogramo con segmentos
paralelos a estos vectores. El vector resultante
de la adición corresponderá a aquel que coincida
con la diagonal del paralelogramo desde el
punto inicial de los vectores que se suman.
Para grabar
1. Aplica uno de los procedimientos para sumar los siguientes pares de vectores.
Luego, determina las componentes o coordenadas del vector resultante.
Procedimiento 1: formar un triángulo. Procedimiento 2: formar un paralelogramo.
Y
X
–
3
2
u
u
u + v
z + w
v
z
z
w
w
v
¿En qué crees que consiste el procedimiento realizado para determinar u + v?
Explica.
¿En qué crees que consiste el procedimiento realizado para determinar z + w?
Explica.
48 Unidad 5 Transformaciones isométricas
Adición de vec ores
Además de las formas geométricas vistas para
sumar vectores, es posible hacerlo a partir de sus
componentes.
Sea u = (u
1
, u
2
) y v = (v
1
, v
2
), luego:
u + v = p = (u
1
+ v
1
, u
2
+ v
2
)
Es decir, la primera componente del vector
resultante p corresponde a la suma de las primeras
componentes, y la segunda componente del vector
resultante es la suma de las segundas componentes.
Ejemplos:
• Si u = (2, –3) y v = (–5, 0), entonces:
u + v = (2 + (–5), –3 + 0) = (–3, –3)
• Si u =
1
2
, –
y v =
1
2
, 5
, entonces:
u + v =
1
2
+
1
2
, – 4 + 5 = (1, 1)
Para grabar
. Resuelve el siguiente problema.
Un estudiante debe sumar tres vectores. ¿Qué estrategia le aconsejarías para
hacerlo? Justifi ca tu respuesta con un ejemplo.
3. Analiza el siguiente procedimiento para obtener el vectorresultante de la resta
entre dos vectores. Luego, responde.
¿Qué semejanza y qué diferencia observas con la suma de vectores?
Y
O
X
A
B
A + B
5. Evalúa la veracidad de las siguientes afi rmaciones. Justifi ca cada una en tu
cuaderno.
a. La adición de vectores cumple con la propiedad conmutativa.
b. La representación gráfi ca del vector resultante de la adición entre u = (1, –1) y
v = (–1, 1) es el vector cuyas componentes son (0, 0).
c. La representación gráfi ca de los vectores w = (4, –4) y z = (–4, 4) es la
misma.
4. Resuelve en tu cuaderno las adiciones y sustracciones de los siguientes
vectores, sabiendo que u = (2, 0), v = (–4, 5), w =
3
5
,–
2
5
, z =
5
3
,
5
2
.
a. u + v b. u + w c. u – v d. w + z e. u + v + w + z f. u + u – z + z
49Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación formativa
Analizando disco
e
eval
uación cont
enido resol
ución
b. Simetría axial respecto de la recta L.
c. Simetría central respecto del punto O.
d. Rotación en torno al punto O y –45°.
NOM
NON MOM
A
E
D
B
L
C
A
E
F
D
B
C
G
a. Traslación respecto del vector u.
A
E
D
B
C
AO
O
F
DE
B
C
P
Transformaciones isométricas.
Aplica la refl exión a cada trío de letras según el eje dibujado.
2 Aplica las transformaciones isométricas señaladas.
3 Aplica dos simetrías centrales consecutivas a la fi gura 1, ambas respecto de P. Luego, busca entre las
fi guras y encierra la que se obtiene.
Figura
u
P
P P
50 Unidad 5 Transformaciones isométricas
a. A( , )
b. B( , )
c. C( , )
d. D( , )
e. E( , )
f. F( , )
Plano cartesiano.
4 Identifi ca las coordenadas de cada punto en el papel milimetrado. Luego, escríbelas donde corresponda.
Vectores en el plano cartesiano y adición de vectores.
5 Representa gráfi camente la operación entre los vectores dados junto a su vector resultante. Luego,
escribe sus componentes.
A
D
C
B
F
E
X
Y
u
v
u + v
u – v
(–3, –9) (4, –8)
(–5, 7) (0, 0)
2,
1
8
(–4, 20)
1
2
,
3
4
–2,
4
3
(–5,3; 2,1) (0,6; 0,6)
6 Calcula las coordenadas del vector resultante de la adición y sustracción entre los vectores dados.
Luego, completa la tabla.
b. u – v. Si u = (–1, 0) y v = (–1, 6)a. u + v. Si u = (2, 4) y v = (0, –5)
5 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Refl exión en el plano car esiano
La simetría axial también puede ser realizada en el plano cartesiano. Observa los
siguientes ejemplos:
¿Cuál es el eje de simetría en cada imagen?
¿Qué semejanzas y qué diferencias puedes observar entre las coordenadas de los
vértices de las fi guras en cada imagen?
La refl exión de un punto (x, y)
del plano cartesiano respecto del
eje X puede ser defi nida como
una función R
x
, tal que a cada
punto del plano cartesiano lo
asocia con un único punto del
mismo.
R
x
(x, y) = (x, –y)
Por ejemplo:
R
x
(3, 1) = (3, –1)
Se dice que (3, –1) es el punto
simétrico de (3, 1) respecto del
eje X.
La refl exión de un punto (x, y)
del plano cartesiano respecto del
eje Y puede ser defi nida como
una función R
y
, tal que a cada
punto del plano cartesiano lo
asocia con un único punto del
mismo.
R
y
(x, y) = (–x, y)
Por ejemplo:
R
y
(3, 1) = (–3, 1)
Se dice que (–3, 1) es el punto
simétrico de (3, 1) respecto del
eje Y.
Para grabar
1. Aplica las siguientes refl exiones. Luego, represéntalas gráfi camente.
a. R
x
(2, 0) = c. R
y
3
8
,–
9
4
=
b. R
x
(–2, 4) = d. R
y
–
2
3
;–2,5 =2
X
X
X
X
Y
Y
X
Y
Recuerda que una función
es una relación que asocia a
cada elemento de un conjunto
un único elemento de otro
conjunto.
Recuerda que una función
Para saber más
52 Unidad 5 Transformaciones isométricas
La refl exión de un punto (x, y)
del plano cartesiano respecto del
origen (0, 0) puede ser defi nida
como una función R
0
, tal que a
cada punto del plano cartesiano
lo asocia con un único punto del
mismo.
R
0
(x, y) = (–x, –y)
Por ejemplo:
R
x
(3, 1) = (–3, –1)
Se dice que (–3, –1) es el punto
simétrico de (3, 1) respecto
del origen (0, 0) del plano
cartesiano.
Para grabar
. Aplica las siguientes refl exiones.
a. R
0
(–3, 4) = b. R
0
3
4
,–
1
4
=
c. R
y
–
4
3
;–0,5 =1
3. Aplica, sin grafi car, las refl exiones señaladas y determina las coordenadas de la
fi gura resultante.
a. Triángulo de vértices A(0, 0), B(3, 8) y C(–2, 1) respecto del eje X.
A’ , B’
y C’
b. Cuadrilátero de vértices P(–4, –3), Q
1
8
2
3
,–
, R(2, –2) y S – ,–
1
8
7
con
respecto al eje Y.
P’ , Q’ , R’ y S’
4. Analiza la información que te permitirá realizar refl exiones a fi guras
geométricas utilizando el programa eogebra. Luego, resuelve.
° Dibuja una fi gura en el área de trabajo.
2° Si la refl exión es respecto de un eje de simetría o de
un punto, dibújalo.
3° Presiona el botón correspondiente al elemento por
el que se aplicará la refl exión (eje o centro de
simetría ). Luego, selecciona la fi gura y el eje o el
centro de simetría.
a. Especifi ca qué tipo de transformaciones fueron
aplicadas a los polígonos ABCD y A’B’C’D’.
b. Verifi ca que se cumplen las funciones:
R
x
(x, y) = (x, –y), R
y
(x, y) = (–x, y) y R
0
(x, y) = (–x, –y). Observa los datos
encerrados con rojo.
c. ¿Cómo son las medidas de la fi gura refl ejada con respecto a la original?
Y
X
X
Y
Para realizar refl exiones de
polígonos puedes aplicar dicha
transformación a cada vértice de
la fi gura.
Para realizar refl exiones de
polígonos puedes aplicar dicha
transformación a cada vértice de
la fi gura.
Ayuda
53Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
1. Aplica las siguientes traslaciones. Luego, represéntalas gráfi camente.
a. u = (0, –2), T
u
(–2, –5) b. Si v = v T= =– ,– ,2
1
4
2
5
T
v
(0, 0) =
La raslación de un punto (x, y) en el plano
cartesiano respecto de un vector u = (u
1
, u
2
)
puede ser defi nida como una función T
u
, tal que
a cada punto del plano cartesiano lo asocia con
un único punto del mismo.
T
u
(x, y) = (x + u
1
, y + u
2
)
Es decir, la primera coordenada del punto
trasladado es la suma entre la primera
coordenada del punto original y la primera
componente del vector de traslación;
mientras que la segunda coordenada del
punto trasladado es la suma entre la segunda
coordenada del punto original y la segunda
componente del vector de traslación.
Además, la traslación de un punto (x, y) se
puede asociar a la adición del vec or posición,
de componentes (x, 0), con el vector posición,
de componentes (0, y).
(x, 0) + (0, y) = (x, y)
Ejemplo 1:
Si u = (1, 2),
T
u
(3, 1) = (3 + 1, 1 + 2)
= (4, 3)
Se dice que (4, 3) es el punto trasladado de
(3, 1) respecto de u = (1, 2).
Ejemplo 2:
Si v = v =
1
3
, –
5
2
,
T
u
(3, 1) = = 3 +
1
3
, 1 + –
5
2
=
10
3
, –
3
2
Se dice que
10
3
, –
3
2
es el punto trasladado
de (3, 1) respecto de v
= v =
1
3
, –
5
2
.
Para realizar raslaciones de polígonos se puede aplicar dicha transformación a cada vértice de la fi gura.
Para grabar
Y
X
0–3
–3
1
1–2
–2
2
2–1
–1
3
3 4 X
Y
10
3
, –
3
2
(3, 1)
v
v
–3
–3
1
10–2
–2
2
2–1
–1
3
3 4 X
Y
0–3
–3
1
1–2
–2
2
2–1
–1
3
3 4 X
Y
(3, 1)
(4, 3)
u
u
u
Traslación en el plano car esiano
El polígono A’B’C’D’E’F’G’H’I’ se ha obtenido desplazando el polígono
ABCDEFGHI respecto del vectoru.
¿Cuáles son las coordenadas del vector de traslación?
Completa la imagen con las coordenadas de los vértices del polígono
original y luego con las del trasladado.
¿Qué semejanzas y qué diferencias puedes observar entre las coordenadas
de cada imagen?
T
u
T
u
T
T
u T u T
54 Unidad 5 Transformaciones isométricas
3. Representa en un plano cartesiano cada una de las siguientes situaciones.
a. La base de un triángulo isósceles tiene como extremos a los puntos A(1, 1)
y B(5, 1), y la ordenada del vértice opuesto a AB es –1. Traslada el triángulo
respecto del vector b = (–4, 5).
b. Las coordenadas de tres vértices de un rectángulo son P(–1, –1), Q(1, –1) y
T(1, 4). Traslada el rectángulo respecto del vector c = (3, –3).
c. La diagonal de un cuadrado EFGH tiene como puntos extremos a H(–1, 2) y
F(–4, 5). Traslada el cuadrado EFGH respecto del vector d = (5, –1).
4. Analiza la información que te permitirá realizar traslaciones a fi guras
geométricas utilizando el programa eogebra. Luego, resuelve.
° Dibuja una fi gura en el área de trabajo.
2° Dibuja el vector de traslación .
3° Presiona el botón , correspondiente a la traslación.
Luego, selecciona la fi gura y el vector dibujado.
a. Especifi ca qué tipo de transformación fue aplicada al
polígono ABCDE.
b. Verifi ca que la función:
T
u
(x, y) = (x + u
1
, y + u
2
) se cumple para los puntos del
polígono ABCDE.
c. ¿Cómo son las medidas de la fi gura trasladada con
respecto a la orignal?
. Calcula las coordenadas del vector de traslación (u) que permite obtener cada
punto trasladado (P) a partir del respectivo punto original dado (A).
a. A(–6, –6), P(0, –1). c. A(4, 2), P(3, –7). e. A(6, 7), P – ,
2
7
7
2
–
.
b. A(7, –1), P(5, 0). d. A
1
3
1
2
,
, P(5, –1). f. A(0,8; –1,2), P(1,2; 0,8).
u =
u =
u =
u =
u =
u =
55Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Ro ación en el plano car esiano
Al igual que las demás transformaciones isométricas, la rotación
también se puede efectuar en el plano cartesiano. Las rotaciones más
comunes son aquellas que se efectúan en ángulos de 90°, múltiplos de
este ángulo y respecto del origen.
En el siguiente plano cartesiano, rota la fi gura ABCD en 90°, 180° y
270°. ¿Qué observas en relación con sus coordenadas?
1. Identifi ca la alternativa que corresponde a la imagen de la fi gura encerrada
en el rectángulo rojo después de aplicarle una rotación con centro en O y un
ángulo de 180°.
O
a.
b.
c.
d.
e.
La ro ación de un punto (x, y) del plano
cartesiano respecto de un centro de
rotación O y un ángulo de rotación ( )
puede ser defi nida como una función R
(O, )
,
tal que a cada punto del plano cartesiano lo
asocia con un único punto del mismo.
Ro ación en sen ido posi ivo: el objeto
por rotar lo hace en sentido contrario al que
giran las manecillas del reloj.
Ro ación en sen ido nega ivo: el objeto
por rotar lo hace en el mismo sentido al que
giran las manecillas del reloj.
R
(O, 90°)
(x, y) = (–y, x)
R
(O, 180°)
(x, y) = (–x, –y)
R
(O, 270°)
(x, y) = (y, –x)
R
(O, 360°)
(x, y) = (x, y)
Ejemplo:
–3
–3
–4
A’’(–4, –3)
A’(–3, 4)
A’’’(3, –4)
1
90°
1–2
–2
2
2–1
–1
3
3 4 X
Y
A(4, 3)
0
R
(O, 90°)
A(4, 3) = A’(–3, 4)
R
(O, 180°)
A(4, 3) = A’’(–4, –3)
R
(O, 270°)
A(4, 3) = A’’’(3, –4)
R
(O, 360°)
A(4, 3) = A(4, 3)
R
(O, -90°)
(x, y) = (y, –x)
R
(O, -180°)
(x, y) = (–x, –y)
R
(O, -270°)
(x, y) = (–y, x)
R
(O, -360°)
(x, y) = (x, y)
Ejemplo:
–3
–3
–4
A’’(–4, –3)
A’(3, –4)
A’’’(–3, 4)
1
1–2
–2
2
2–1
–1
3
3 4 X
4
A(4, 3)
90°
0
R
(O, -90°)
A(4, 3) = A’(3, –4)
R
(O, -180°)
A(4, 3) = A’’(–4, –3)
R
(O, -270°)
A(4, 3) = A’’’(–3, 4)
R
(O, -360°)
A(4, 3) = A(4, 3)
Para grabar
Algunas rotaciones mayormente usadas de un punto (x, y) respecto del origen (O) del plano
cartesiano son:
Y
0 X
A
B
D
C
56 Unidad 5 Transformaciones isométricas
. Resuelve los siguientes problemas.
a. Al punto A(–4, –6) se le aplica una rotación respecto del origen del plano
cartesiano en un ángulo de rotación de 90°. Determina las coordenadas del
punto resultante.
b. Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto del origen en –270°
son (–4, 0), ¿cuáles son las coordenadas del punto antes de aplicarle la
transformación?
3. Aplica las rotaciones señaladas a cada fi gura.
5. Analiza la información que te permitirá realizar rotaciones a fi guras
geométricas utilizando el programa eogebra. Luego, resuelve.
° Dibuja una fi gura en el área de trabajo.
2° Presiona el botón , correspondiente a la rotación.
Luego, selecciona la fi gura, el centro de rotación y
escribe el ángulo de rotación en la casilla.
a. Especifi ca qué punto se consideró como centro de
rotación y en qué ángulo se ha rotado el polígono
ABCDEF.
b. Si el ángulo de rotación es 90°, 180°, 270°, 360°
o sus correspondientes negativos, verifi ca que se
cumple la relación respectiva.
4. Diseña una estrategia para rotar una circunferencia de centro O(2, 2) y radio
1 unidad, en un ángulo de 270° respecto del origen del plano cartesiano.
Determina las coordenadas del centro O’ de la circunferencia rotada.
a. Centro de rotación C y ángulo de
rotación 90°.
b. Centro de rotación K y ángulo de
rotación –180°.
–3
–3
1
10–2
–2
2
2–1
–1
3
3 4 X
Y
Y
K
Y
XX
57Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
1. Identifi ca qué transformaciones se muestran en el siguiente gráfi co.
a. b.
¿Qué transformaciones isométricas se han realizado?
¿Qué relación tiene la traslación con la adición de vectores? Explica.
¿Qué coordenadas deberá tener el vector de traslación que hace posible trasladar
la fi gura ABCD a la posición de la fi gura A’’B’’C’’D’’? Comenta.
La composición de ransformaciones
isomé ricas es la aplicación sucesiva de
transformaciones isométricas sobre un
punto o una fi gura, es decir, al resultado de
la primera transformación se le aplica una
segunda y así sucesivamente.
En el gráfi co se muestra la fi gura ABCD,
primero trasladada respecto del vector
u, obteniéndose la fi gura A’B’C’D’, luego,
esta es refl ejada respecto del punto
G, generando la fi gura A’’B’’C’’D’’ y,
fi nalmente, esta nueva fi gura es refl ejada
respecto del eje X, originando la fi gura
A’’’B’’’C’’’D’’’.
Para grabar
3
3
1
1 2
2
2
2 1 0
1
3
3 4 X
Y
A
A’
A’’
Composición de ransformaciones isomé ricas
Dentro de las transformaciones isométricas has estudiado refl exiones (R
x
, R
y
, R
0
),
traslaciones (T
u
) y rotaciones (R
(O, α)
) de manera separada; sin embargo, estas
funciones pueden suceder de manera dependiente una de la otra. Por ejemplo,
observa las siguientes transformaciones.
Y
X
Y
X
u
Y
X
Utiliza las representaciones R
x
,
R
y
, R
o
, T
u
, R
(o, )
Ayuda
T
u
v
u + v
Y
X
u
v
u + v
T
58 Unidad 5 Transformaciones isométricas
. Representa en el plano cartesiano. Luego, responde.
a. Al triángulo formado por los vértices E(1, 0), F(5, 1) y G(4, 3) se le aplica la
función R
0
, obteniendo E’F’G’, y después, a la fi gura resultante, se le aplica la
función R
x
,obteniendo E’’F’’G’’.
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo luego de las dos
refl exiones?
E’’ ( , ) F’’ ( , ) G’’ ( , )
Representa gráfi camente la situación.
b. Al cuadrilátero cuyos vértices son los puntos P(–6, –2), Q(–1, –2), R(3, 4) y
S(–6, 1) se le aplica una refl exión con respecto al punto O(–1, 0), y después, a
la imagen resultante, P’Q’R’S’ se le aplica una traslación, de tal manera que el
vértice S’’ (imagen de S’) queda ubicado en el origen del plano cartesiano.
¿Cuáles son las coordenadas del cuadrilátero luego de ser refl ejado y tras-
ladado?
P’’ ( , ) Q’’( , ) R’’ ( , ) S’’ ( , )
Dibuja el vector de traslación.
c. Al triángulo cuyos vértices son los puntos D(–5, 4), E(–5, –2) y F(–3, 5) se
le aplica la función R
(O, 90°)
, y después, a la fi gura resultante, se le aplica una
refl exión con respecto a la recta y = x.
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo luego de
aplicarles ambas transformaciones?
D’’ ( , ) E’’ ( , ) F’’ ( , )
La recta y = x puede
representarse por:
Ayuda
Y
X
y =
x
59Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
Analiza la resolución del siguiente problema.
Los vértices de un triángulo son A
5
2
,0
, B(4, 5) y C(–1, –3). Si se le aplica una
rotación en torno al punto (0, 0), el vértice A queda en A' 0,
5
2
, B en B’(–5, 4) y
C en C’(3, –1). ¿Cuál es el ángulo de rotación aplicado al triángulo ABC?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
Conocer el ángulo de rotación aplicado al triángulo.
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC y las coordenadas del
triángulo A’B’C’.
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Resolviendo de anera gráfi ca, pri ero se interpretará la infor ación
entregada en el enunciado del proble a a través de una representación gráfi ca
del triángulo y su i agen al ser rotado en 90° con respecto al origen. Luego,
se trazarán rectas que unan cada vértice con el (0, 0) y este con la i agen del
punto original, es decir, A con (0, 0) y este con A’; B con (0, 0) y este con B’, y
C con (0, 0) y este con C’. Final ente, utilizando el transportador se iden los
ángulos AOA’, BOB’ y COC’, cuya edida es el ángulo de rotación pedido.
Algebraica ente, basta con aplicar la relación R
(O, 90°)
(x, y) = (–y, x), estudiada
en los contenidos de la unidad.
aso 3 Resuelve el problema
Interpreta la información. Emplea el procedimiento.
2-5 1-4 -3 3-2 4-1
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0 5
Y
X
2-5 1-4 -3 3-2 4-1
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0 5
Y
X
Por lo tanto, el ángulo de rotación es 90°.
aso 4 Revisa la solución
Algebraica ente se tiene que R
(O, 90°)
(x, y) = (–y, x). Por lo tanto, las
coordenadas de A
5
2
,0
, B(4, 5) y C(–1, –3) son, respectiva ente, A' 0,
5
2
,
B’(–5, 4) y C’(3, –1).
¿Qué tengo que hacer para
aplicar un procedimiento?
¿Qué es aplicar?
Etapas de la resolución
de problemas.
Aplicar consiste en llevar a
cabo o utilizar un procedimiento
en una situación dada.
In erpre ar la información
entregada en el problema
utilizando la representación.
Emplear el procedimiento
propuesto en la resolución
del problema.
Paso 1: omprende el
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a
realizar.
Paso 3: Resuelve el problema.
Paso 4: Revisa la solución.
60 Unidad 5 Transformaciones isométricas
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Los vértices de un polígono son A –
1
3
, 1
, B(3, 1), C(4, 3) y D(–5, 2). Si se le aplica una traslación con respecto
al vector u, el vértice A queda en A' –
4
3
,3
, B en B’(2, 3), C en C’(3, 5) y D en D’(–6, 4). ¿Cuáles son las
componentes del vector de traslación asociado?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
aso 3 Resuelve el problema
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
Los vértices de un triángulo son A(–2, –1), B(0, –5) y C(–2, –5). Si se le aplica una rotación en 180° y en torno al
vértice A y luego una refl exión con respecto al eje X, ¿cuáles son las coordenadas del triángulo rotado y luego
trasladado? ¿Cuánto mide su superfi cie?
6 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
4 Sea el ABC, con A(5, 6); B(–1, 2) y C(2, 3). Al
aplicar una traslación según el vector u = (6, 4),
¿qué coordenadas tiene el punto B’?
A. (–1, 2)
B. (6, 4)
C. (7, 6)
D. (5, 6)
E. (2, 3)
5 Si el punto P(–3, 7) es trasladado al punto
P’(4, –1), ¿cuál es el vector v de traslación?
A. v = (1, 6)
B. v = (–4, 11)
C. v = (6, 1)
D. v = (7, –8)
E. v = (8, 7)
6 Si el punto A(x, y) es trasladado según el vector
v = (–4, –1), su nueva ubicación es el punto
A’(5, –3). ¿Cuáles eran sus coordenadas
originales?
A. (1, –4)
B. (–9, –2)
C. (9, –2)
D. (–9, 2)
E. (–1, 4)
7 ¿Qué coordenadas tiene el vector v que permite
trasladar al punto M(–5, 3) al punto M’(0, –4)?
A. v = (0, –4)
B. v = (–4, 0)
C. v = (5, 0)
D. v = (5, 7)
E. v = (5, –7)
1 ¿En cuál de las siguientes fi guras es posible
dibujar infi nitas rectas, de tal manera que cada
una represente un eje de simetría interior?
A. Rombo.
B. Cuadrado.
C. Hexágono.
D. Rectángulo.
E. Circunferencia.
2 Si un triángulo rectángulo isósceles es refl ejado
con respecto a su hipotenusa, ¿qué polígono
pueden representar ambos triángulos juntos?
A. Rombo.
B. Triángulo.
C. Cuadrado.
D. Romboide.
E. Rectángulo.
3 ¿En cuál de las alternativas se representa de
mejor manera una simetría central con respecto
al punto O?
A.
O
D.
O
B.
O
E.
O
C.
O
62 Unidad 5 Transformaciones isométricas
8 Si el punto A(–6, –1) es trasladado según
el vector v = (4 –2), se obtiene el punto A’.
¿Cuáles deben ser las componentes de otro
vector de traslación u para que A’ se ubique
sobre el origen?
A. u = (–2, –3)
B. u = (2, 3)
C. u = (–2, 3)
D. u = (2, –3)
E. u = (0, 0)
9 ¿En cuál de los siguientes puntos la abscisa
corresponde a las tres cuartas partes de la
ordenada?
A. P(3, 8)
B. Q(4, 8)
C. R(6, 8)
D. S(8, 6)
E. T(4, 3)
10 Si en el plano cartesiano se unen todos los
puntos cuya abscisa es el doble de su ordenada,
¿qué se forma?
A. Un triángulo.
B. Una línea recta.
C. Una línea curva.
D. Dos líneas rectas.
E. Una circunferencia.
11 Si el punto P(–1, 3) es rotado en 90° con
respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles
son sus nuevas coordenadas?
A. (1, –3)
B. (1, 3)
C. (3, 1)
D. (3, –1)
E. (–3, –1)
12 Un punto A, al ser rotado en –180° con respecto
al origen del plano cartesiano, queda ubicado
en el punto A’(4, –2). ¿Cuál era su ubicación
antes de la rotación?
A. (–4, 2)
B. (4, 2)
C. (–2, 4)
D. (–2, –4)
E. (2, –4)
13 Si el punto M(–3, –5) es rotado en 270° con
respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles
son sus nuevas coordenadas?
A. (3, 5)
B. (5, 3)
C. (–5, 3)
D. (5, –3)
E. (–5, –3)
14 Si a un triángulo se le aplica una traslación,
luego una rotación y fi nalmente una simetría
axial, ¿qué sucede con su área?
A. Se triplica.
B. Se reduce a su tercio.
C. Se reduce en un tercio.
D. Se mantiene constante.
E. Falta información.
15 Si el punto M(–3, 5) es refl ejado con respecto al
eje Y, se obtiene el punto M’. ¿Cuál es el vector
v que permite trasladar el punto M’ al origen?
A. v = (3, 5)
B. v = (–3, –5)
C. v = (3, –5)
D. v = (5, –3)
E. v = (–5, –3)
63Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
19 Si al punto A de la fi gura se le aplica una
rotación con centro en el origen y ángulo de
rotación –90°, ¿qué coordenadas tiene el punto
luego de ser rotado?
A. (3, 2)
B. (–3, 2)
C. (–2, 3)
D. (–3, –2)E. (–2, –3)
20 El punto B’ fue obtenido luego de aplicarle al
punto B una refl exión con respecto al eje X.
¿Cuáles son las coordenadas del punto B?
A. (3, 1)
B. (1, 3)
C. (1, –3)
D. (–3, –1)
E. (–1, –3)
Observa el gráfi co. Luego, responde las preguntas
21 y 22.
–3–4
–4
–2
–2
2
20–1
–1
3
3 4 X
Y
A
B L
C
21 Si al triángulo ACB se le aplica una refl exión con
respecto a la recta L (paralela al eje Y), ¿cuáles
son las coordenadas del vértice A refl ejado?
A. (4, 0)
B. (0, 4)
C. (0, –4)
D. (–4, 0)
E. (–4, –2)
16 Si el punto N(1, –2) es rotado 90° con respecto
al origen del plano cartesiano y luego, desde
esta nueva posición, se traslada según el vector
s = (–2, –1), ¿cuáles son las nuevas coordenadas
de dicho punto?
A. N”(–1, –2)
B. N”(2, 1)
C. N”(1, 2)
D. N”(–2, 1)
E. N”(0, 0)
17 ¿Cuál(es) de las siguientes fi guras
representa(n) una traslación?
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Solo I y III.
18 ¿Cuáles son las componentes del vector de
traslación aplicado al rectángulo de color rojo
para obtener el rectángulo de color celeste?
A. (5, –2)
B. (10, 2)
C. (8, –2)
D. ( 10, –2)
E. (2, –10)
I. II. III.
–3
–3
–4
1
1–2
–2
2
20–1
–1
3
3 4 X
YA
–3
–3
–4
1
1–2
–2
2
20–1
–1
3
3 4 X
Y
B’
64 Unidad 5 Transformaciones isométricas
22 Considerando la transformación descrita en la
pregunta 21, ¿cuáles son las coordenadas del
vértice C refl ejado?
A. (2, 7)
B. (2, 5)
C. (2, –5)
D. (–5, –2)
E. (–7, –2)
23 ¿Qué alternativa representa mejor la refl exión
de la fi gura con respecto a la recta de color rojo?
A. D.
B. E.
C.
24 Se dibuja en el plano cartesiano un segmento
AB y se le aplica una traslación, obteniéndose
el segmento A’B’. Se pueden determinar las
coordenadas del vector de traslación si:
A. Se conocen las coordenadas de A y A’.
B. Se conocen las coordenadas de A y B’.
C. Se conocen las coordenadas de A’ y B.
D. Se conocen las coordenadas de A’ y B’.
E. No es posible determinar las coordenadas
del vector de traslación.
25 El cuadrado ABCD de la fi gura ha sido
trasladado según un vector dado, obteniéndose
el cuadrado de color verde. ¿Cuál(es)
de las siguientes afi rmaciones es(son)
VERDADERA(S)?
–3
–3
–4
1
1–2
–2
2
20–1
–1
3
3 4 X
Y
I. El vector de traslación tiene por
componentes (2, 0).
II. Las coordenadas de los vértices del
cuadrado no varían.
III. El área del cuadrado permanece constante.
A. Solo I.
B. Solo I y II.
C. Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
26 ¿Qué se obtiene al aplicar una rotación de
centro en O y un ángulo de rotación de 90° a la
siguiente fi gura?
A. D.
B. E.
C.
O
65Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve.
1. Al trasladar el punto P(3, 6) según el vector u = (2, 1) se obtiene el punto P’(x, y), y a continuación, se
traslada el punto P’ según el vector v = (–2, 1), obteniendo el punto P”(z, w). Determina las componentes
del vector que realiza la composición de ambas traslaciones. ¿Qué coordenadas tendrá el punto P”?
2. Un segmento cuyos extremos son los puntos K(3, -1) y M(-1, 5) es trasladado según el vector
m = (–4, 1), obteniéndose el segmento K’M’. Determina las componentes de otro vector de traslación v
que permita trasladar el extremo K’ al origen del plano cartesiano.
3. Un punto de coordenadas A(2x + 1, 5y – 3) es trasladado según el vector v = (x – 7, 2y + 1 ) al punto
A’(–2, –3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto A y del vector v?
66 Unidad 5 Transformaciones isométricas
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Transformaciones isométricas.
Simetría axial.
Simetría central.
Traslación.
Rotación.
Plano cartesiano.
Refl exión en el plano cartesiano.
Traslación en el plano cartesiano.
Rotación en el plano cartesiano.
Composición
de transformaciones
isométricas.
Con enido Defi nición o procedimien o Ejemplo
67Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos
conceptos clave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Transformaciones isométricas Traslación
Simetría axial Rotación
Simetría central Eje de simetría
Vector de traslación Plano cartesiano
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
Herramien as
Traslación Simetría axial Simetría central Rotación
Simetría interior Simetría exterior Simetría de contorno Plano cartesiano
Transformaciones isométricas en el plano cartesiano
Refl exión
R
x
(x, y) = (x, –y)
R
y
(x, y) = (–x, y)
R
0
(x, y) = (–x, –y)
Traslación
T (x, y)=(x +u , y +u )
u 1 2
Adición de vectores
posición
(x, 0) + (0, y) = (x, y)
Rotación
II I
III IV
X
Y
R
(O, 90°)
(x, y) = (–y, x)
R
(O, 180°)
(x, y) = (–x, –y)
R
(O, 270°)
(x, y) = (y, –x)
R
(O, 360°)
(x, y) = (x, y)
R
(O, -90°)
(x, y) = (y, –x)
R
(O, -180°)
(x, y) = (–x, –y)
R
(O, -270°)
(x, y) = (–y, x)
R
(O, -360°)
(x, y) = (x, y)
P
P’
0
α
P’
P
α
P’
P
–α
v
68 Unidad 5 Transformaciones isométricas
Cerrar sesión
Nivel de logro
7
9
5
2
3
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
69Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Unidad
Funciones
Qué? Para qué? Dónde?
unción. Comprender el concepto de función, identifi car sus partes y
reconocer distintas representaciones.
Páginas 172 a 177.
Tipos de funciones. Identifi car diferentes tipos de funciones y analizar sus
diversas representaciones y aplicaciones.
Páginas 178 a 189.
Composición de funciones. Aplicar la composición de funciones; por ejemplo, en
transformaciones isométricas.
Páginas 190 a 193.
na de las aplicaciones importantes que se pueden realizar en Matemática es modelar
distintas situaciones de la vida diaria. Por ello, es muy frecuente encontrar el concepto de
función relacionado con diferentes fenómenos. Por ejemplo, la distancia recorrida por un
vehículo en cierto tiempo a una rapidez constante o el precio que se debe pagar por cierta
cantidad de alimentos, etc.
70 nidad 6 Funciones nidad 6 Funciones
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) ¿En qué situaciones de la vida diaria utilizas variables?
2) ¿Qué quiere decir que dos elementos estén relacionados?
3) ¿En qué situaciones de la vida cotidiana reconoces alguna relación matemática? Comenta.
Analizar es descomponer una situación, un todo o un problema dado en sus partes integrantes y
determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general.
nicializando
Un estudio de mercado en una empresa determina que su ganancia mensual en dólares depende de
la venta de sus productos. Si estos se venden a US$ 200 cada uno y el costo invertido por la empresa
mensualmente es de US$ 20.000, ¿qué función permite calcular la ganancia (G) de la empresa según la
cantidad (x) de productos vendidos? ¿Qué ganancia obtiene la empresa si se venden 50 unidades?
) ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permiten responder la pregunta?
2) ¿Dequé forma se relacionan los datos del problema?
3) Determina y expresa una estrategia para resolverlo.
4) Aplica tu estrategia y resuelve el problema.
7 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
oncepto de función
Es habitual establecer reglas de correspondencia que asocien elementos de un
conjunto con los elementos de otro. Por ejemplo, a cada automóvil registrado le
corresponde una única placa patente.
. Analiza cada relación. Luego, responde.
a. Sea g(x) = 2x + 25.
¿Cuál es el valor de g(1)? ¿Y cuál es el de g(–1)?
Si se considera que g: , ¿crees que g es función? ¿Por qué?
b. El volumen V de una esfera de radio r se calcula según la fórmula V(r)=
4
3
r .3 .
Si se considera = 3,14, ¿cuál es el volumen de una esfera si su radio
mide 7 cm? Redondea a la unidad.
Si V(r) = 87,808 cm3, ¿cuál es la medida del radio de la esfera
considerando = 3?
Una función f de un conjunto A en un conjunto
B (f: A B) es una relación (regla o correspondencia
que asocia dos elementos) en que a cada elemento
x A, llamado preimagen, le corresponde un único
elemento y B, llamado imagen, que se denota
y = f(x). Se puede denotar:
f: A B
x y = f(x)
En general, a la variable x se le llama independiente y
a la variable y, dependiente. Además, en el conjunto
de la preimágenes no puede "sobrar" ningún elemento,
mientras que en el de las imágenes sí.
Ejemplo:
La longitud x de la arista de un cubo y su volumen V se pueden relacionar usando la función
V(x) = x3. En este caso, la longitud de la arista es la variable independiente y el volumen es
la variable dependiente, es decir, el volumen del cubo depende de la longitud de la arista.
Para grabar
V(x) = x3
x cm
Variable
independiente
Variable
dependiente
r
Sea f(x) = x3. Luego:
f(–2) = (–2)3 = –8.
Ayuda
72 nidad 6 Funciones
2. Analiza la secuencia. Luego, responde.
a. Si continúa el mismo patrón, ¿cuántos segmentos y cuántos
vértices tendrá la figura 4?
b. ¿Qué función S permite calcular la cantidad de segmentos de la
figura n?
c. ¿Qué función V permite calcular la cantidad de vértices de la
figura n?
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si en un triángulo equilátero de lado x cm una de sus alturas mide h cm, ¿qué expresión permite calcular la
medida de uno de sus lados si se conoce el área (A) del triángulo y la medida de una de sus alturas (h)?
b. Un alambre que tiene una longitud de 50 cm se debe cortar en dos pedazos: con uno, de longitud x cm, se
puede construir un cuadrado, y con el otro, un círculo. Expresa en términos de x el área (A) de cada figura.
c. Una persona pagará $ 60 por fotocopiar cada página de un libro. Si además por el anillado le cobran $ 1.200,
¿cuál es la función D que permite calcular el dinero que pagará por fotocopiar y anillar un libro de n páginas?
Figura (5 segmentos, 4 vértices) Figura 2 (9 segmentos, 6 vértices) Figura 3 (13 segmentos, 8 vértices)
73Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
. Evalúa si cada afi rmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F
según corresponda. Considera que las funciones están defi nidas en .
a. Sea f(x) = x2, entonces se cumple que f(1) = f(0) – 1.
b. Si f(x)=
1
x
y f está definida en , se tiene que 0 ∉ Dom(f).
c. Si g(x) = x, entonces g(n) = n g(1), con n .
2. Analiza el siguiente ejemplo. Luego, responde.
Sea la función f definida en por f(x)=
2x +5
x + 1
. Para determinar qué valores
no pertenecen al dominio de f se puede igualar a cero el denominador, ya
que no está definida la división por cero. Luego, para x = –1, f no está definida,
entonces, Dom(f) = – {–1}, es decir, todos los números reales menos el –1.
a. ¿Cuál sería el dominio de f si estuviera definida en los números naturales?
Justifica.
b. ¿Cuál es dominio de la función f(x)=
3x+4
x–5
definida en los números reales?
Si f: A B es una función con y = f(x), donde x A e
y B, se defi ne el dominio de f (Dom(f)) o conjunto
de las preimágenes x como el conjunto de valores que
puede “tomar” la variable independiente x perteneciente
al conjunto A. Mientras que el recorrido de la función f
(Rec(f)) corresponde al subconjunto de las imágenes y
B una vez aplicada la función f (y = f(x)).
f: A B
x y = f(x)
Ejemplo:
Sea f(x) =
1
1+ x
defi nida en .
–1 ∉ Dom(f), ya que f(–1) no está defi nido, es
decir, f no está defi nida para x = –1.
1
2
Rec(f), ya que f(1) =
1
1 + 1
=
1
2
∈ .
Observación: no todas las funciones tienen
que denotarse con la letra f.
Para grabar
Preimagen Imagen
Recuerda que el conjunto
de los números reales ()
corresponde a la unión de los
números racionales con los
irracionales.
= ∪ I.
Para saber más
Dominio y recorrido
Esta notación signifi ca que la función f defi nida en el conjunto
de los números naturales relaciona cada elemento de este
conjunto con su doble, que en este caso, también pertenece a
este conjunto. Luego, se puede afi rmar que el conjunto de las
preimágenes y el de las imágenes corresponde a .
f:
x y = f(x) = 2x
74 nidad 6 Funciones
3. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
Una manera de representar una función son los diagramas sagitales. Los
elementos relacionados se muestran mediante flechas que parten desde los
elementos del primer conjunto a los elementos del segundo. En este tipo
de representación se puede identificar el dominio o conjunto de partida y el
recorrido o conjunto de llegada.
Dom(f) = A = {1, 2, 3, 4}
Rec(f) = B = {–2, –4, –5, –6}
A
f
B
1
2
3
4
–2
–4
–5
–6
Identifi ca el dominio y el recorrido de las funciones representadas en los
diagramas sagitales.
–1
–1,5
10
9
11
7
1 1
0 0
4 16
a. f b. g
Dom(f) = Dom(g) =
Rec(f) = Rec(g) =
4. Completa cada uno de los diagramas de acuerdo a la función y valores dados.
a. b.
f(x) = x3 + 0 g(x) = 2x2 + 7
–
2
3
4
9
D
–1
–2
–3
–4
1
2
1
4
BA
BA DC
C
En este caso:
Dom(h) = A = { 3, 5, 7, 9}
Rec(h) = { 4, 6, 8, 10}
Ayuda
3
5
7
9
4
6
8
10
11
13
BA
h
Los siguientes diagramas no
representan una función.
Para saber más
1
2
3
3
5
BA
R
1
2
3
3
5
BA
R
R no es función ya que
R(1) = 3 y R(1) = 5
R no es función ya que
R(3) no está defi nido.
75Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
Representación de funciones
Un deportista registró en una tabla la distancia recorrida durante 6 horas de
entrenamiento. El siguiente gráfi co en el plano cartesiano representa la función que
modela la situación del deportista en el tramo de las 6 horas.
El eje X o eje de las abscisas
representa a la variable
independiente, y el eje Y o
eje de las ordenadas, a la
variable dependiente.
D
is
ta
n
ci
a
(
km
)
13
12
10
8
5
3
0
0
Tiempo (h)
654321
X
Y
Existen diferentes
formas de
representar
una función, ya
sea utilizando
el lenguaje
algebraico, los
gráfi cos, las tablas
o una descripción
verbal.
Ejemplo:
Si el precio que se paga por fotocopiar una página por un lado es de $ 15 y este valor no varía según la cantidad de fotocopias, la
función que modela la situación se puede representar de la siguiente forma:
Precio por fotocopia Precio por fotocopia
Algebraicamente, la situación se puede modelar con la función f(x) = 15x.
Para grabar
Pr
ec
io
($
)
Cantidad de fotocopias
0 X
Y
20
40
60
0 1 2 3 4
. Diseña una estrategia para identifi car si un gráfi co realizado en el plano cartesiano corresponde a una función.
Para ello, analiza los siguientes gráfi cos.
a. b. c.
Distancia recorrida por un deportista
Sí representa una función. No representa una función. Sí representa una función.
Describe tu estrategia:
–2
0
0–2–4
2
2 4
4 Y
X
–4
–2 –2
0 0
0–2 –2–3 –1–4 –4
22
1
3
2 214 43
4 4Y Y
X X
–4 –4
76 nidad 6 Funciones
Utiliza raphmatica para representar las siguientes funciones:
a. f(x) = 2x + 1 b. g(x) = 2x2 c. h(x) = 2x3 – 1
¿Qué semejanzas y qué diferencias tienen los gráficos de las funciones f(x) = 9x y g(x) = –9x?
3. Utiliza raphmatica para representar las siguientes funciones. Luego, compara los gráfi cos.
a. f(x) = 3x, f(x) = 3x + 1, f(x) = 3x – 1.
b. f(x) = x2, f(x) = x2 + 1, f(x) = x2 – 1.
c. f(x) = x2, f(x) = (x + 1)2, f(x) = (x – 1)2.
d. f(x) = x3, f(x) = x3 + 1, f(x) = x3 – 1.
e. f(x) = x3, f(x) = (x + 1)3, f(x) = (x – 1)3.
Explica en qué se parecen y en qué se diferencian los gráficos.
2. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
raphmatica es un
software de libre
acceso con el que
podrás graficar
distintos tipos de
funciones, entre
otras aplicaciones.
Pídele ayuda a tu
profesor(a) para
conseguirlo. Por
ejemplo: f(x) = 4x.
Debes digitar la
función y = 4x y
luego presionar
Enter. Visualizarás
el gráfico de la
función ingresada.
77Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Función lineal
La fuerza F necesaria para estirar un resorte es proporcional a la longitud de su
estiramiento x, es decir:
F = k x
Donde k es la constante de proporcionalidad y no depende de x, sino del tipo de
resorte que esté involucrado en el problema. Esta relación se conoce en Física como
ley de Hooke.
Una función f defi nida en los números
reales se dice que es lineal si cumple
con las siguientes propiedades:
1° Propiedad aditiva: para todo par
de números reales x e y se tiene que:
f(x + y) = f(x) + f(y).
2° Propiedad homogénea: para todo
x se tiene que:
f(k x) = k f(x) con k .
• Representación gráfi ca: el gráfi co
que representa una función lineal es
una recta que pasa por el origen
del plano cartesiano.
Ejemplo:
Se verifi cará si la función f(x) = 2x es lineal.
1° f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).
2° f(k x) = 2kx = k(2x) = k f(x)
Por lo tanto, f es una función lineal. Además, su representación gráfi ca en el plano cartesiano es:
Para grabar
. Analiza cada función. Luego, marca con una X si es o no una función lineal.
a. f(x) = 4x Sí No d. h(x)=
2
5
x Sí No
b. g(x) = 0 Sí No e. j(z)=
3z – 3
5
Sí No
c. d(x) = –3x + 7 Sí No f. C(p) = p – 100 Sí No
2. Representa cada enunciado en lenguaje algebraico. Luego, responde.
a. La función g asigna a cada elemento x
de su dominio su tercera parte.
b. La función h asigna a cada elemento x
de su dominio el cubo de su valor.
¿Cuál de las funciones corresponde a una función lineal? ¿Por qué?
(((gráfi co)))
78 nidad 6 Funciones
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en la función f(x) = 0,5x? ¿Hay proporcionalidad entre sus
variables? Justifica.
b. Si el gráfico de una función g: A → B es una recta que pasa por el punto (0, 0) y el punto (1, 4), ¿cuál es la
constante de proporcionalidad k asociada a g? Explica el procedimiento que utilizaste para responder.
4. Calcula en cada caso la constante de proporcionalidad (k) asociada a cada función defi nida en los reales.
Luego, grafi ca cada una de ellas en el plano cartesiano y determina su dominio y recorrido.
a. f(x) = –x k = b. g(x)=
2
4
x k =
¿Cómo cambiaría el gráfico de cada función si la constante de proporcionalidad se multiplicara por –1?
5. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno.
Un automóvil recorre, con una rapidez constante, 70 km en una hora. La siguiente tabla muestra cómo varía la
distancia recorrida para los distintos tiempos.
Distancia recorrida en cierto tiempo
a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre las variables X e Y?
b. Construye un gráfico utilizando los valores de la tabla entregada.
c. Representa algebraicamente una función que muestre la situación y permita determinar cuánta distancia
recorrerá en n horas si mantiene la rapidez.
La función lineal f(x) = k · x se conoce también como función de proporcionalidad directa, y la constante k,
como constante de proporcionalidad.
y=f(x)=kx ⇒
y
x
= k, para cada valor de x e y según corresponda.
Y Y
X X0 0
79Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Función afín
En cierto experimento, la temperatura inicial de una sustancia era de 20 °C, y luego
aumentó en 3 °C cada minuto. ¿Cuál es la función que representa la relación entre
la temperatura y el tiempo?
En esta situación, si y = T(x) representa la temperatura de la sustancia en un
determinado tiempo x, la función que relaciona a ambas variables se puede expresar
algebraicamente de la siguiente manera:
y = T(x) = 3x + 20
Temperatura fi nal Temperatura inicial
Aumento de la
temperatura por minuto
Afín: próximo, contiguo.
www.rae.es
Para saber más
. Analiza la siguiente tabla. Luego, responde.
x 0 5 10 15
f(x) 2 0 –3 4
x 0 5 10 15
f(x) 2 0 –3 4
a. ¿En qué punto, según la tabla, se intersecta la función f con el eje X? ¿Y con el
eje Y?
b. ¿Existe alguna función afín que cumpla con los valores de la tabla? Justifica.
c. ¿El gráfico de una función afín puede pasar por el origen? Justifica.
Una función de la forma f(x) = mx + n (m, n ≠ 0) recibe el nombre de función afín.
• El gráfi co que representa una función afín es una recta que intersecta al eje Y en el punto (0, n).
• y = f(x) = mx + n es una función afín de la función lineal asociada f(x) = mx.
• La constante m de la función afín y = mx + n indica el cambio en la variable dependiente, y por cada unidad de variación en la variable independiente
x, m recibe el nombre de constante de proporcionalidad o pendiente de la función f(x) = mx + n.
Ejemplo: si la recta que representa una función afín pasa por los
puntos (0, 2) y (2, 10), es posible determinar la expresión algebraica
que la representa.
m =
10 – 2
2 – 0
= 4
Como pasa por el punto (0, 2) = (0, n), entonces n = 2. Por lo tanto,
la expresión algebraica para la función es:
y = f (x) = 4x + 2
Además, se tiene que f(0) = 2 y f(2) = 10.
Para grabar
y varía 4 unidades por cada 1
unidad de x.
Función afín de la función lineal
asociada y = f (x) = 4x.
(((gráfi co)))
80 nidad 6 Funciones
2. Representa las siguientes funciones en un plano cartesiano. Luego, verifi ca con raphmatica que los gráfi cos
sean los adecuados y responde.
a. y = x – 5 c. f(x)= –
1
2
x – 4
b. f(x) = –x – 5 d. y = –0,5x + 4
¿Qué relación notaste entre los gráficos a y b? ¿Y entre los gráficos c y d? Comenta con tus compañeros(as).
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. En un plan telefónico se pagan $ 950 de cargo fijo y $ 25 por minuto. Representa algebraicamente la función
P que permite determinar el pago de una cuenta con respecto al total de minutos usados. Especifica el
significado de cada variable que uses.
b. Una estación de peaje cobra $ 2.300 por cada automóvil que transite por él. Expresa el dinero recaudado (D)
en un día por el peaje si a este monto se descuentan $ 100.000 por pago de impuestos.
8 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación formativa
Analizando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
unciones y representación de funciones.
1 Evalúa si cada una de las siguientes afi rmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F
según corresponda.
a. En una función, el “conjunto de partida” corresponde al conjunto de las imágenes.
b. Si a Dom(f), entonces existe b Rec(f) tal que f(a) = b.
c. Si f(x) = 2x, entonces f(0) = f(k) – k para cualquier valor de k.
d. Existe una función, tal que a todo elemento del dominio le corresponda la misma imagen.
2 Representa cada enunciado en lenguaje algebraico. Luego, responde.
a. Una función p que asigne a cada número natural x su doble.
b. Una función h que asigne a cada número entero x su triple,aumentado en dos unidades.
c. Una función f que asigne a cada número racional x su cuadrado, menos cinco unidades.
¿Cuál es el recorrido de cada función? Justifica.
3 Analiza cada representación. Luego, responde.
g f
a. ¿Cuál de los dos diagramas representa una función?¿Por qué?
b. ¿Representa una función el siguiente gráfi co ? Justifi ca.
–1
–9
–100
0,5
1
1,5
2
0
10
11
1
100
Y
X0
82 nidad 6 Funciones
unción lineal y función afín.
4 Resuelve el siguiente problema.
Un vehículo recorre cierta distancia entre dos ciudades a una rapidez promedio de 60
km
h
.
a. Completa la tabla. b. Grafi ca los datos de la tabla.
Representa algebraicamente una función V que modele la situación.
5 Utiliza raphmatica para grafi car las siguientes funciones. Luego, responde.
a. f(x) = –0,2x + 9
b. h(x) = 0,2x + 9
¿Tienen algún punto en común las funciones f y h? Justifica.
6 Resuelve el siguiente problema.
Si en el detalle de una cuenta de luz se tiene que el cargo fi jo es de $ 980 y por consumo de kWh se cobran
$ 13,8 aproximadamente, ¿qué función permite representar el pago P de una cuenta de luz dependiendo de
los x kWh consumidos?
Distancia recorrida en cierto tiempo
0
Y
X
83Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
Función constante
Cuando en una función f(x) = y = ax + b el valor de a es cero, la función queda
determinada por la expresión f(x) = b. El gráfi co que representa a esta función es
una recta paralela al eje X o de las abscisas.
¿Cuál de los siguientes gráfi cos presentados corresponde a una función de la
forma y = ax + b, donde a = 0?
. Analiza cada uno de los siguientes gráfi cos. Luego, escribe la expresión algebraica que los representa e indica
si es una función constante.
a. b. c.
Una función de la forma f(x) = b, b recibe el nombre de función constante y su representación gráfi ca es una recta paralela al eje X o de las
abscisas (eje en el que se ubican los valores de la variable independiente).
Ejemplo: la función y = 2 es una función constante y tiene la siguiente representación en el plano cartesiano.
y = 2
En las rectas de un gráfi co, la punta de fl echa representa que estas no varían su comportamiento.
Para grabar
–3 –3 –3
–2 –2 –2
–1 –1
–1 –1 –11 1 12 2 23
X X X
Y Y Y
3 3–2 –2 –2–3 –3 –3
1 1 1
2 2
3 3 3
0 0
2
–3
–2
–1
–1 1 2 3–2–3
1
2
3
Y
X
0
–3
–2
–1
–1 1 2 3–2–3
1
2
3
0
Y
X
–3
–2
–1
–1 1 3–2–3
1
2
3
0
2
Y
X
84 nidad 6 Funciones
Función identidad
La información de la tabla muestra la distancia recorrida en cierto tiempo. El gráfi co
que representa los datos es el siguiente:
. Utiliza raphmatica para grafi car la función identidad y la función y = –x. Luego,
responde en tu cuaderno.
a. ¿Cuáles son las semejanzas entre ambas gráficas? Justifica.
b. ¿Cuáles son sus diferencias? Justifica.
c. ¿Cómo explicas dichas semejanzas y diferencias?
Cuando en una función y = f(x) = mx + n; m,n se tiene que m = 1 y n = 0, la función queda
determinada por la expresión f(x) = x. Es decir, el valor de la imagen es idéntico al de su respectiva
preimagen. A esta función se le denomina función identidad.
Representación gráfi ca:
Para grabar
Al gráfi co de la función
identidad pertenecen todos
los puntos de la forma (x, x),
con x .
Distancia recorrida en cierto tiempo
Y
X
Distancia (m)
Tiempo (s
0
50
50
150
200
100
100 150 200
85Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Función defi nida por tramos
Una empresa que suministra conexión a internet ofrece un plan en el que establece
que la cuenta mensual del cliente dependerá exclusivamente de los minutos de
conexión que utilice. Este plan tiene un costo fi jo de $ 900 por 180 minutos de
conexión y por cada minuto adicional se cobrarán $ 65.
Para representar esto mediante una función, considerando que x es la cantidad de
minutos de conexión, se tiene lo siguiente:
Si x es menor o igual que 180, se tiene que el costo C por el plan será de $ 900.
Si x es mayor que 180, el costo C será de 900 + 65(x – 180).
Por lo tanto, la función C que representa el costo según los minutos de conexión es:
900 si 0 ≤ x ≤ 180
900 + 65(x – 180) si x > 180
C(x)=
Una función defi nida por tramos es aquella que utiliza 2 o más expresiones para su defi nición y cada una
de ellas emplea un determinado subconjunto del dominio de la función principal.
Ejemplo:
f(x) =
: representa que el punto (x, y)
pertenece al gráfi co de f.
: representa que el punto (x, y) no
pertenece al gráfi co de f.
Para grabar
. Utiliza raphmatica para realizar los gráfi cos de las siguientes funciones.
a. y=
b. y=
El símbolo ≥ ”mayor o igual
que” representa:
a ≥ b ⇔ a > b o a = b.
Análogamente, el símbolo ≤
“menor o igual que” representa:
c ≤ d ⇔ c < d o c = d.
Ayuda
x si x 3
2 – x si x 3
≤
>
2 –
–
x
2
–
si x
x si x
≤
>
1
1
2
1+
x – 2 si < 2
3 si ≥ 2
Realiza aquí tus gráficos Realiza aquí tus gráficos
0
Y
X
–1
–2
–3
1
1
2
3
2 3 4 5 6 7–2–3 –1
f(x) = x
f(x) = 2 – x
86 nidad 6 Funciones
2. Analiza la información. Luego, calcula el valor de las expresiones.
Sean f y g dos funciones definidas de la siguiente manera:
f x =
x + 1
3x
si x 0
2x – 1 si x 0
( ) <
≥
g x =
x
( )
–1
1
3x+1
si x –1
si –1 x 1
si
≤
< <
1 x≤
Calcula el valor de la expresión:
f 0)+ g(–1)
g 0)
=
(2 0– 1)+(–1– 1)
1
=–3
(
(
a. g(2) – 4g(f(2)) + f(–2)) = b.
f(3)– gg(3)
f(5)– g(4)
= c.
(–1) (1)
(1) (2)
f + g
f + g
=
3. Analiza los siguientes gráfi cos. Luego, escribe en la casilla la función por tramos que representa a cada uno de
ellos.
a.
Realiza aquí tus cálculos Realiza aquí tus cálculos Realiza aquí tus cálculos
b.
Y
Y
X
X
10
5
6
2
–5
0–3 –2 –1 1 2 3 4 5
–6 –4 –2
2
4
6
0 2 4 6
87Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
Función valor absoluto y función parte entera
A continuación, estudiarás la función valor absoluto y la función parte entera.
Observa sus gráfi cos:
Con Graphmatica puedes
grafi car la función valor absoluto
escribiendo:
y = IxI = abs(x)
Ayuda
La función valor absoluto f(x) = IxI está defi nida de la
siguiente manera:
x =
–x si x 0
x si x 0
<
≥
Propiedades del valor absoluto de un valor:
Sean x, y ∈ .
a. x y = x y b.
x
y
=
x
y
c. x + y x + y≤
Ejemplos:
I–2I = –(–2) = 2 I3I = 3
Ejemplo de las propiedades:
a. –2 (–3) = –2 –3 = 2 3 = 6
b.
– –4
3
=
4
3
=
4
-3
=
4
3
c. –1 + 3 –1 + 3 = 1≤ + 3 = 4
Para grabar
. Analiza cada función. Luego, escríbela por tramos, como se hizo en la sección
anterior ara grabar con la función valor absoluto.
a. f(x) = Ix – 2I b. g(x) = I2x + 1I c. h(x) = I–30 + 10xI
2. Utiliza raphmatica para grafi car las siguientes funciones. Luego, responde.
a. f(x) = IxI b. g(x) = Ix + 3I c. h(x) = Ix – 3I d. i(x) = I2x + 1I e. j(x) = I2x – 1I
¿Qué ocurre con el gráfi co de la función f(x) = IxI si f(x) = Ix + kI? Explica.
¿Qué ocurre con la función f(x) = IxI si f(x) = IkxI? Explica.
¿Qué ocurre con el gráfi co de la
función f(x) = IxI si f(x) = Ikx + nI;
con k, n ?
Desafío
–1 –1
–1
–2 –2
–3 –3
1 1
1 1
2 2
3 3
y y
x x2 23 34 45 56 67 7–2 –2–3 –3–4 –4–5 –5–6 –6–7 –7
Función valor absoluto Función parte entera
88 nidad 6 Funciones
La función parte entera [x] se defi ne
como:
[x] : →
x → [x] = z, con z
Donde x [z, z + 1[.
El dominio de la función parte entera
es y el recorrido, .
[p, q[ : representa a un intervalo de
valores que incluye a p pero no a q.
En otras palabras, la función parte
entera asigna a cada número real x el
mayor de los números enteros menores
o iguales a él.
Ejemplos:
[2,1]= 2
[–2,231] = –3
[8,15] = 8
[9,999] = 9
[-32,13] = –33
El gráfi co de la función f(x) = [x + 2] es:
Donde:
f(0) = [2] = 2; f(–1) = [1] = 1; f(-1,3) = [0,7] = 0; f(–2) = [0] = 0;
etc.
Para grabar
3. Analiza las tablas y complétalas con los valores correspondientes.
a.
b.
4. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Sabiendo que f(x) = [1 + x]2 y g(x) = [1 – x2].
a. [f(2) + 3g(2)] + f(–2) b. g(3) – [4f(1) + f(5)] c. f(0) + [5g(–1) – 3f(1)]
5. Analiza cada función defi nida en . Luego, determina su dominio, restringiéndolo si es necesario.
a. f x)=
x + 1
1– x
(
b. x)g =
x
1+ x
2
(
Dom(f) =
Dom(g) =
Para grafi car con Graphmatica
la función parte entera puedes
hacer lo siguiente:
[x] = int(x)
Ayuda
89Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
omposición de funciones
Una persona decide comprar por internet un computador que tiene un precio en
dólares. Considerando que su valor es de US$ 1.000 y se pagan US$ 5 adicionales
por cada GB de memoria que se le quiera agregar, la función que representa el
precio P en dólares del computador está dada por:
Ahora, si se quisiera determinar el precio en pesos del computador, se podría
expresar esto en una sola función que dependerá de las funciones P y C, y se puede
calcular de la siguiente manera:
C(P(x)) = 505 (5x + .000) = 2.525x + 505.000
Comprueba que al comprar el computador con 10 GB adicionales, el precio
que se paga es $ 530.250.
y = P(x) = 5 x + 1.000
Precio en dólares Precio del
computador
GB adicionales
Para hacer la conversión a pesos del precio P del computador, considerando que
1 dólar equivale aproximadamente a $ 505, se puede emplear la función:
(y) = 505 P(x) = 505 y
Precio en pesos Precio en dólares
Sean f y g dos funciones tal que, f: A → B y g: B → C,
entonces la función compuesta g o f: A → C se defi ne
como:
(g o f)(x) = g(f(x))
También se puede leer “g compuesta con f”.
Ejemplo: sean f: → y g: → , defi nidas por f(x) = 3x + 1 y g(x) = –x, entonces, al componer las
funciones g con f, se tiene que:
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = –(3x + 1) = –3x – 1.
Observación: al componer f con g, se tiene que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(–x) = 3(–x) + 1 = –3x + 1.
Propiedad 1: la composición de funciones cumple con la asociatividad, es decir, si f:
A → B, g: B → C y h: C → D, entonces se tiene la siguiente igualdad:
(h o g) o f = h o (g o f)
Observación: en general, la conmutatividad en la composición de funciones NO se cumple, es decir:
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
Para grabar
A B
g o f
f g
90 nidad 6 Funciones
. Analiza cada caso. Luego, responde.
a. Sean f: → y g: → , las funciones definidas por: f(x) = x2 + 5x y g(x) = 3x + 1.
Determina las expresiones algebraicas que representan a: (f o f)(x), (f o g)(x), (g o g)(x) y (g o f)(x).
Calcula el valor de (f o (f o g))(–1).
b. Sean f(x)=
9x
2
, g(x)=x yh(x)= x+12 funciones definidas en .
¿Cuál es el dominio de las funciones f, g y h?
Determina las expresiones algebraicas que representan a: (f o g)(x), (f o h)(x), (h o g)(x) y (h o (g o f))(x).
2. Calcula el valor de las expresiones pedidas en cada caso. Observa el ejemplo.
Considerando:
Ejemplo: para calcular (f o g)(1) = f(g(1)), primero ubica en qué rama de g se ubica el valor ; en este caso, en
g(x) = –3x, si x ≤ 1. Por lo tanto, g(1) = –3 1 = –3. Luego, aplica la función f(g(1)) = f(–3), valor que se encuentra
en la rama f(x) = [x], si x ≤ 1, entonces, (f o g)( ) = f(g( )) = f(–3) = [–3] = –3.
a. (f o g)(2) = d. f o (g o g)(–2) =
b. g(–18) = e. (g o g)(0) =
c. (g o (g o f))(–4) = f. (f o (f o (f o f)))(–1,5) =
f(x)=
g(x)=
i x≥33 –3 ix 1≥
i x 1≤ x+
i x 0<
4x+1 si 1 x 3< < x+1 si0 x 1≤ <
9 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Aplicación de la composición de funciones a
transformaciones isométricas
Como viste en la Unidad 5, se pueden aplicar distintas
transformaciones isométricas en el plano cartesiano y también
composiciones de estas.
Por ejemplo, al ubicar el punto A( , 2) en el plano cartesiano y
aplicarle una refl exión en torno al eje X (R
X
), se tiene que
R
X
(1, 2) = A’( , –2). Ahora, si a este punto se le aplica una refl exión
en torno al eje Y (R
Y
), se obtiene como imagen el punto A’’(– , –2).
Por otra parte, R
O
(1, 2) = (–1, –2), que coincide con A’’(– , –2).
Por lo tanto, es posible establecer la siguiente composición de
transformaciones isométricas:
(R
Y
o R
X
)(1, 2) = (–1, –2) = R
O
(1, 2)
. Evalúa si cada una de las siguientes afi rmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según
corresponda.
a. La composición de traslaciones no es conmutativa.
b. La composición (R
Y
o R
(O, –90°)
)(x, y) = R
(O, 180°)
(x, y).
c. Si R
O
(x, y) = (5, 6), entonces R
Y
(x, y) = (5, –6).
d. Si u, v son vectores del plano cartesiano, se cumple que (T
u
o T
v
)(x, y)=(T
v + u
(x, y)).
e. Si a un punto (x, y) del plano cartesiano se le aplica (R
(O, 90°)
o R
(O, 270°)
)(x, y), se obtiene (x, y).
En la composición de transformaciones isométricas se tienen las
siguientes igualdades:
Refl exión:
(R
Y
o R
X
)(x, y) = (R
X
o R
Y
)(x, y) = R
O
(x, y)
(R
X
o R
O
)(x, y) = (R
O
o R
X
)(x, y) = R
Y
(x, y)
(R
Y
o R
O
)(x, y) = (R
O
o R
Y
)(x, y) = R
X
(x, y)
Traslación:
(T
u
o T
v
)(x, y) = T
u
+ v
(x, y)
(T
u
o T
v
)(x, y) = (T
v
o T
u
) (x, y)
Rotación: si α, β tienen el mismo sentido:
(R
(O, α)
o R
(O, β)
)(x, y) = R
(O, (α + β))
(x, y)
Ejemplos:
(R
(O, 180°)
o R
(O, 90°)
)(3, –4) = (R
(O, 180°)
(R
(O, 90°)
(3, –4)))
= (R
(O, 180°)
(4, 3))
= (–4, –3)
Además, R
(O, 270°)
(3, –4) = (–4, –3), entonces,
(R
(O, 180°)
o R
(O, 90°)
)(3, –4) = R
(O, 270°)
(3, –4).
Si u = (–1, 5) y v = (8, –5), entonces,
1° (T
u
o T
v
)(9, 3) = T
u
(T
v
(9, 3))
= T
u
(17, –2) = (16, 3)
2° u + v = (7, 0) ⇒ T
u + v
(9, 3) = (16, 3)
Luego, de 1° y 2° se tiene: (T
u
o T
v
)(9, 3) = T
u + v
(9, 3) = (16, 3)
–3
–2
–1
1
2
3
4
–1 1 2 3 4–2–3
0
Y
X
A’’(– , –2) A’( , –2)
A( , 2)
Para grabar
92 nidad 6 Funciones
2. Representa en el plano cartesiano. Luego, responde.
a. ¿Qué punto del plano cartesiano representa (R
(0, 90°)
o (T
u
o R
x
))(P), donde P(x + 5, y – 3) y u = (–5, 3)?
b. ¿Qué punto del plano cartesiano representa (R
Y
(R
(0, –270°)
(R
x
o T
u
)))(A), donde A(10, 1) y u =
1
2
,–1
?
3. Analiza el siguiente gráfi co. Luego, responde.
En la secuencia de figuras
se utilizaron distintas
transformaciones isométricas.
Simbología:
– Reflexión (R).
– Traslación (T).
– Rotación (R
α
).
a. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de las figuras 1, 2, 3 y 4?
b. ¿Qué transformaciones usaste para obtener la figura 4 a partir de la figura 1?
c. Escribe algebraicamente la composición de transformaciones isométricas que utilizaste. Luego, compárala
con la de tus compañeros. Utiliza la simbología.
0
Figura 3
Figura
Figura 2
Figura 4
2
3
4
1
–1
–1–2 1 2 3 4 5–3–4–5
–2
–3
–4
Y
X
C
B
A
Á́´
Á́
A´
B́´́
B́´
B´
Ć´́
Ć´
C´
93Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
Si un vendedor de una automotora tiene un sueldo base mensual de $ 250.000 y
de comisión por venta obtiene un 5% del precio del vehículo, ¿qué función permite
calcular el sueldo S del vendedor con respecto a los automóviles vendidos? ¿Qué
sueldo obtuvo el vendedor si durante el mes vendió 2 automóviles que tenían unprecio de venta de $ 5.490.000 cada uno?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
La función que permita calcular el sueldo y el sueldo que obtiene luego de
vender 2 automóviles de cierto valor.
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
El sueldo base del vendedor, el porcentaje de comisión que obtiene por venta
y la venta que hizo un mes en particular.
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Organiza la información.
Primero, señala que el 5% de un valor se puede representar numéricamente
como
5
100
= 0,05. Además, otro dato del problema es que se venden 2
automóviles en $ 5.490.000 cada uno.
Identifi ca las partes que la componen.
Puedes identifi car que el sueldo del vendedor se compone de un sueldo base
de $ 250.000 y por la venta x de cada auto se le pagará un 5% de esta, es
decir, 0,05 x.
Determina de qué manera se diferencian las partes.
Como el sueldo base no varía, este no depende de las ventas hechas.
aso 3 Resuelve el problema
La función S se puede escribir de la siguiente manera:
S(x) = 250.000 + 0,05x
Luego, como vende 2 automóviles de $ 5.490.000, se tiene:
2 5.490.000 = 10.980.000. Así, al evaluar en la función se tiene que:
S(10.980.000) = 250.000 + 0,05(10.980.000)
= 250.000 + 549.000
= 799.000
Por lo tanto, el sueldo del vendedor en ese mes es de $ 799.000.
aso 4 Revisa la solución
Puedes calcular el 5% de 5.490.000, que equivale a 274.500, y multiplicarlo
por 2. Entonces, 2 274.500 = 549.000 y a ese valor sumar el sueldo base.
Por lo tanto, 250.000 + 549.000 = 799.000.
¿Qué tengo que hacer para
analizar un problema?
¿Qué es analizar?
Etapas de la resolución
de problemas.
Analizar es descomponer
una situación, un texto o un
problema dado en sus partes
integrantes y determinar cómo
se relacionan unas con otras y
con una estructura o propósito
general.
Organizar la información.
Identifi car las partes que lo
componen.
Determinar de qué manera
se diferencian las partes.
Paso 1: Comprende el
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a
realizar.
Paso 3: Resuelve el problema.
Paso 4: Revisa la solución.
Sueldo base Comisión por venta
Número de autos vendidos
94 nidad 6 Funciones
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Un hospital cuenta con 30 ambulancias y cada una de ellas recorre aproximadamente 200 km por día y gasta
en promedio 1 litro de combustible por cada 12 km. Si el precio de un litro de combustible es de $ 670, ¿qué
función podría relacionar los datos para posteriormente calcular el dinero que se paga en combustible para las
ambulancias en el hospital?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Organiza la información.
Identifi ca las partes que la componen.
Determina de qué manera se diferencian las partes.
aso 3 Resuelve el problema
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
En una biblioteca, por cada libro que se presta se cobran $ 1.000, y por retraso se cobran $ 900 diarios. Si
Leonardo pidió 8 libros, ¿cómo expresarías la función que permite calcular el pago de Leonardo en función de
los días de retraso en su entrega?
95Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
1 La relación entre la medida del lado de un
cuadrado y el área de este es A(x) = x2.
¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) VERDADERA(S)?
I. A no es función.
II. A es una función que depende de x.
III. x es variable y A solo toma valores positivos.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
2 Si A(r) = π r2, ¿cuál es la imagen de 8?
A. 8π
B. 16π
C. 64π
D. 640π
E. Ninguna de las anteriores.
3 ¿Cuál de los siguientes diagramas NO
representa una función?
A. D.
B. E. Ninguno de los
anteriores.
C.
4 Si f(x) = 2x + 1, ¿cuál es el valor de f(9)?
A. 1
B. 9
C. 10
D. 18
E. 19
5 Si f(x) = ax + b, ¿cuál es el valor de f(–1) + f(1)?
A. b
B. 2a
C. 2b
D. a – b
E. a + b
6 Si f es una función defi nida por f(x) = tx + 1 y
f(–2) = 5, ¿cuál es el valor de t?
A. 2
B. 3
C. –2
D. –3
E.
3
2
7 Según el gráfi co de la función defi nida en ,
¿cuál es el dominio de la función?
A. 3
B. 8
C.
D. [–4, 4]
E. Ninguna de las anteriores.
Y
X–4 4
3
0
1
2
3
2
A B
1
2
3
1
2
3
A B
A B
1
2
3
1
2
3
2
1
2
3
A B
96 nidad 6 Funciones
8 Según el gráfi co, ¿cuál es el recorrido de la
función defi nida en [–5, 5]?
A. [0, 5]
B. ]0, 5]
C. ]–5, 5[
D. [–5, 5]
E. Ninguna de las anteriores.
9 ¿Cuál de las siguientes afi rmaciones es
VERDADERA respecto al gráfi co de una
función?
A. Con él puedes determinar el dominio y el
recorrido de la función que representa.
B. No siempre se puede grafi car una función.
C. Una función siempre se puede representar
con una línea recta.
D. Siempre es necesario unir los puntos que se
ubican en el plano.
E. Todas las anteriores son verdaderas.
10 Si f(x) = 5x, entonces, 5f(x) es equivalente a:
A. 25x
B. 125x
C. 25x2
D. 125x2
E. Ninguna de las anteriores.
11 En relación con la función y = 9x defi nida en ,
¿qué afi rmación es FALSA?
A. Su gráfi co pasa por el origen.
B. Cuando x = 1, se tiene que y = 9.
C. Su representación gráfi ca no es una recta.
D. Su dominio es el conjunto de los números
reales.
E. –3 pertenece al recorrido de la función.
12 ¿Qué tipo de función representa el gráfi co?
A. Función afín.
B. Función lineal.
C. Función constante.
D. Función identidad.
E. Función defi nida por tramos.
13 ¿Cuál de las siguientes representaciones
corresponde a la función f(x) = x2 de acuerdo a
los elementos dados de A?
A. D.
B. E.
C.
14 En relación con el gráfi co de la función afín
f(x) = 1 – x, ¿qué afi rmación(es) es(son)
correcta(s)?
I. Pasa por el punto (0, 0).
II. Es una recta perpendicular a la recta y = –x.
III. Intersecta al eje X en el punto (1, 0).
A. Solo II.
B. Solo III.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
1
2
3
4
–0,2
–1
0
4
–0,5
0,5
0
4
–0,4
–9
9
1
4
6
8
0,04
1
0
16
0,25
–0,25
0
–8
0,016
81
A
A
A
A
B
B
B
B
A B
–1
1
2
–2
1
4
–4
0 1
2
Y
X
Y
X0
5
–5 5
97Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
15 Si el nivel de agua en un estanque es de 12 m y
baja 0,5 m cada semana, ¿cuál de las siguientes
funciones representa la situación descrita
relacionando el nivel de agua (y) con el número
de semanas (x)?
A. y = 0,5x + 12
B. y = –3,5x + 12
C. y = –0,5x + 12
D. y = 12x – 0,5
E. y = 0,5x – 12
16 Con respecto al siguiente gráfi co, ¿cuál(es)
de las siguientes afi rmaciones es(son)
VERDADERA(S)?
I. La pendiente de la recta es 5.
II. El punto (1, 15) pertenece a la recta.
III. La ecuación de la recta es y = 5x – 10.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Solo I y III.
17 ¿Cuál es la representación algebraica de la
función grafi cada?
A. y = 6
B. y = –6
C. x = –6
D. y = 6x
E. y = 6x + 1
18 ¿Cuál de las siguientes características
representa al gráfi co de una función constante?
A. Una recta paralela al eje X.
B. Una recta paralela al eje Y.
C. Es una función lineal con pendiente 1.
D. Una recta que pasa por el origen (0, 0).
E. Ninguna de las anteriores.
19 Con respecto a la siguientetabla de valores:
¿Qué función cumple con los valores de la tabla?
A. Función afín.
B. Función identidad.
C. Función constante.
D. Función por tramos.
E. Función valor absoluto.
20 ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) correcta(s) respecto al gráfi co de la
función f(x) en la fi gura?
I. f(–2) > f(4)
II. f(–1) + f(3) = f(–3)
III. f(–5) – f(8) = 2
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Solo II y III.
21 Si f(x)=
–2x+ 3
–2
, ¿cuál es el valor de f(7)?
A. 4 D.
11
2
B.
17
2
E.
17
2
–
C.
11
2
–
Y
Y
X
X
B
A
–4 –2
–2
2
4
6
10
12
2 4
–6
0
0
Y
X
–2
–1–3 3 6 8–5
2
98 nidad 6 Funciones
22 De acuerdo al gráfi co de la fi gura, ¿cuál(es)
de las siguientes igualdades es(son)
VERDADERA(S)?
I. f(–1) + f(1) = f(0)
II. 3 f(–2) – f(0) = 2 f(2)
III. f(–2) – f(1) = f(2) – f(–1)
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
23 ¿Cuál de los siguientes gráfi cos representa
parte de la función y = [x + 1]?
A. D.
B. D.
C.
24 Si un taxista cobra como cargo fi jo $ 150 y,
además, $ 1.000 por cada km recorrido, la
función que relaciona el cobro (y) con los
kilómetros recorridos (x) es:
A. y = 1.000[x] + 150
B. y = 150[x] + 1.000
C. y = 150[x – 1] + 1.000
D. y = 1.000[x – 1] + 150
E. y = 1.000[x + 1] + 150
25 Dadas las funciones f(x) = –2x, g(x) = x – 3,
¿cuál es la función (g o f)(x)?
A. (g o f)(x) = –2x – 6
B. (g o f)(x) = –2x + 6
C. (g o f)(x) = –2x – 3
D. (g o f)(x) = –2x + 3
E. (g o f)(x) = –2x + x – 3
26 Dadas las siguientes funciones: f(x)=
x+ 1
2
,
g(x) = 2x y h(x) = x + 1. ¿Cuál es el valor de la
función compuesta (h o g o f)(3)?
A. 4
B. 4,5
C. 5
D. 5,5
E. 6
27 ¿Qué punto del plano cartesiano representa
(R
X
o R
Y
)(0, –5)?
A. (–5, 0)
B. (5, 0)
C. (0, –5)
D. (0, 5)
E. (5, –5)
28 ¿Qué punto del plano cartesiano representa
R
o
o (T
u=(–3, 5)
o R
(0, –270°)
)(4, 7)?
A. (9, 10)
B. (10, 9)
C. (–10, 9)
D. (10, –9)
E. (–10, –9)
Y
X
–1 1
1
2–2
–2
–2
–2–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–2
–2
–2
–2
1
1
1
1
2
2 3
2
2
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
2
2
2
2
1
1
1
–2 –1
–1
–2
1 2 3 X
Y
2
1
–2
99Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve.
1. En una fábrica de bebidas se determinó que la ganancia mensual en un mes de verano
(21 dic-21 mar) aumentaba en 20% con respecto a otras estaciones del año. En el mes de febrero se
invirtió en la elaboración del producto 40% de la ganancia obtenida el mes de enero. Si el mes de enero
se obtuvo una ganancia de $ 2.000.000 y el precio de venta del producto era $ 550, ¿qué función
permite calcular la ganancia del mes de febrero dependiendo de la cantidad de unidades vendidas si se
sabe que la ganancia corresponde a lo vendido menos lo invertido?
2. En una granja se quiere construir un pozo con forma de cilindro, cuyo diámetro medirá 2 metros.
a. Haz una tabla que considere el volumen del pozo dadas tres profundidades distintas.
b. Si la profundidad del pozo es el triple del diámetro menos un metro, ¿cuál es su volumen?
2 m
x
200 nidad 6 Funciones
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Función.
Dominio y recorrido.
Función lineal.
Función afín.
Función constante.
Función identidad.
Función defi nida por tramos.
Función parte entera.
Función valor absoluto.
Composición de funciones.
ontenido Defi nición o procedimiento Ejemplo
20 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes claras las ideas principales; elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos
conceptos clave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Variable dependiente Variable independiente
Función Dominio
Recorrido Representaciones (algebraica, tablas, gráfi cas)
Función lineal Función afín
Función constante Función identidad
Función defi nida por tramos Función parte entera
Función valor absoluto Composición de funciones
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
Herramientas
Función Función lineal
f(x + y) = f(x) + (y)
f(k x) = k f(x)
Función afín
f(x) = mx + n; m, n ≠ 0
Función constante Función identidad
f(x) = x
Función defi nida por tramos
Ejemplo:
x si x 3
2 – x si x 3
≤
>
2 –
f(x) =
Función parte entera ([x]) Función valor absoluto (|x|) Composición de funciones
Aplicación de la transformación de funciones a las transformaciones isométricas
f: A B
x f(x) = y
A B C
g o f
f(x) = b
[x] :
x [x] = z
f g
x =
–x si x 0
x si x 0
<
≥
• (R
Y
o R
X
)(x, y) = (R
X
o R
Y
)(x, y) = R
O
(x, y)
• (R
X
o R
O
)(x, y) = (R
O
o R
X
)(x, y) = R
Y
(x, y)
• (R
Y
o R
O
)(x, y) = (R
O
o R
Y
)(x, y) = R
X
(x, y)
• (R
(O, α)
o R
(O, β)
) (x, y) = R
(O, (α + β))
(x, y)• (T
u
o T
v
) (x, y) = T
u
+ v
(x, y)
• (T
u
o T
v
) (x, y) = (T
v
o T
u
) (x, y)
202 nidad 6 Funciones
Cerrar sesión
Nivel de logro
6
5
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los
haya entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la
unidad? ¿Por qué?
Mi estado
5
4
5
3
203Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Recopilando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación integradora
1 Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas. Para ello, considera que a = 22, b = –5,
c = –42; d = (–1)3 y f = 0.
a. 1 – 6a3 + 2dc + 22df
c.
f
d
c–d
2
+
a+b
7
f
b. 4d(a – b) – 2(c – d)2 + f100
d. –7 c+
3
2
2
22
a–
2
4
d–
1
5
b+
7
8
f
2 Representa cada expresión algebraica como producto de factores.
a. x2 – 8x + 16 d. 2 24y –
121
36
x g. 9 – 12k + 4k2
b. 29x –
625
144
e. 2y +3y+
9
44
h. 8 – z3
c. z2 + 2z – 63 f. t –
1
81
4 i.
t
8
–
1
8
3
3 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a.
z–4
z+2
=(–2)3 b.
x+1
2x–4
=2 c.
1
x
+
2
3
=
1
5
204 Evaluación integradora
4 Calcula en cada caso la constante de proporcionalidad. Luego, grafi ca cada función en el plano
cartesiano.
a. f(x) = –42x k = b. g(x) =
(–1)
3
x
6
k =
Y
X
Y
X
5 Calcula el valor de cada expresión. Para ello, reemplaza los valores correspondientes en cada caso.
f(x) = 2x – 5 g(x) = IxI + 12 h(x) = –
3
4
x
a. g(–1)+ f(7)+h
1
3
b. g(3) + h(–10) – g(100)
6 Analiza las siguientes trasformaciones isométricas. Luego, responde.
a. ¿Qué transformación isométrica se aplicó a la
fi gura 1 para obtener como imagen la fi gura 2?
b. ¿Qué composición de transformaciones isométricas
permite obtener como imagen la fi gura 3 a partir de
la fi gura 1?
c. ¿Qué composición de transformaciones isométricas
permite obtener como imagen la fi gura 4 a partir de
la fi gura 1?
X
0
0 1–1
–1
1
2
3
–2
–3
2–2
B''
B' A'
A
B
C
B'''
C''
C'
C'''
A'' A'''
Figura 3 Figura 4
Figura 2
Figura 1
3–3
Y
205Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Unidad
Congruencia de
guras planas
Qué? Para qué? Dónde?
ongruencia. Reconocer congruencias entre distintas fi guras geométricas. Páginas 208 a 211.
ongruencia detriángulos. Aplicar los postulados de congruencia de triangulos. Páginas 212 a 219.
Relaciones de congruencia en otras
fi guras geométricas.
Utilizar estas relaciones y reconocer ciertas propiedades en
los polígonos.
Páginas 220 a 225.
as fi guras geométricas se caracterizan por su forma y su tamaño. Por ejemplo, en una
teselación regular del plano, cada fi gura que la compone debe tener la misma forma y
el mismo tamaño, es decir, si esta teselación se hace con un polígono, este debería ser
regular.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) realizó trabajos en los que se pueden apreciar
teselaciones o embaldosamientos del plano con otro tipo de fi guras.
06 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) ¿Cómo se caracterizan las fi guras geométricas?
2) ¿Qué caracteriza a los polígonos que componen una teselación regular?
3) ¿Qué otro tipo de teselación conoces? ¿Qué la caracteriza?
Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido.
nicializando
Se quiere teselar el plano utilizando un polígono regular, es decir, una teselación regular. Para ello, se
presentan las siguientes fi guras geométricas:
60°
60°
60°4 cm
4 cm
4 cm
108°
108°
108°
108°
108°5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
98°
72°
90°
100°
2 cm
5 cm
5 cm
6 cm
) ¿Con cuál de estas fi guras es posible hacer una teselación regular del plano? Justifi ca.
2) ¿En qué te basaste para responder la pregunta anterior?
3) Evalúa tus respuestas utilizando regla y transportador. ¿Son correctas?
07Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
ongruencia
Si superpones las fi guras, ¿cuales ocuparían la misma región en el plano
cartesiano?
A esas fi guras, ¿las llamarías congruentes, equivalentes o semejantes?
. Analiza las siguientes fi guras y responde las preguntas.
P
Q
R
S
T
U
L
M
N
O
H I
JK
G
D
E
F
A B
C
a. ¿Cuáles fi guras son congruentes?
b. ¿Qué estrategia utilizaste para responder?
En geometría se usan habitualmente los términos congruencia, equivalencia y semejanza.
Dos fi guras geométricas se considerarán
congruentes ( ) si y solo si tienen la
misma forma y tamaño.
Dos fi guras geométricas se considerarán
equivalentes si tienen el mismo
tamaño, es decir, áreas iguales.
Dos fi guras geométricas de diferente
tamaño pero de igual número de lados
se considerarán semejantes si tienen
ángulos interiores congruentes y lados
proporcionales.
Ejemplo:
Dos polígonos son congruentes si cada uno de sus ángulos
interiores y lados correspondientes tienen la misma medida.
108°
108°
108°108°
108°
A B
C
D
3 cm
3 cm
3 cm 3 cm
3 cm3 cm3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
E I
108°
108°
108°108°
J
F
G
H
Luego, ABCDE FGHIJ.
Para grabar
Por lo general, se utilizan
los siguientes símbolos en
geometría:
: triángulo.
: ángulo.
: congruente.
: no congruente.
Para saber más
1
3
5
4
6
7
8
11
X
Y
9
10
Se dirá que dos polígonos
tienen igual forma y tamaño
si sus lados y ángulos interiores
correspondientes miden lo mismo.
Por ejemplo:
γ
β
C
BA
1,8 cm
1,5 cm
2 cm
γ
β
F
E
1,8 cm
1,5 cm
2 cm
D
En este caso, ABC DEF,
lo que es distinto a
ABC EFD.
Para saber más
08 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2. Representa la situación descrita con un dibujo. Luego, responde.
Cuadrilátero cuyas diagonales se dimidian (intersectan en el punto medio de
cada diagonal), son perpendiculares y miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.
a. ¿Qué fi guras geométricas se forman en el interior del cuadrilátero?
b. ¿Qué elementos son homólogos en las fi guras formadas? Escribe al menos
cuatro.
c. ¿Son congruentes? ¿Por qué?
3. Resuelve los siguientes problemas.
a. El pentágono regular ABCDE está inscrito en una circunferencia de centro O.
¿Cuál es la medida de los ángulos centrales AOB, BOC, COD, DOE y
EOA? ¿Y de los ángulos OBC y CDE?
D
C
B
A
E
O
b. Sean ABCD un cuadrado y ABP un triángulo equilátero. ¿Cómo podrías
verifi car que los triángulos APD y BPC son congruentes?
D
A
P
C
B
Los elementos homólogos son
los que tienen la misma posición
en fi guras de igual forma.
Ayuda
09Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Transformaciones isométricas y
congruencia de fi guras planas
Al aplicar una transformación isométrica a una fi gura plana, la fi gura resultante
tiene la misma forma y tamaño que la original, y se denomina fi gura homóloga.
Si se tienen dos
fi guras geométricas y
después de aplicarle
a una de ellas una o
más transformaciones
isométricas se obtiene
la otra, entonces se dice
que tales fi guras son
congruentes.
Ejemplo:
Figura 1
0
–0,5
0,5
1
1,5
2
–1
–1,5
–4 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5–3 –2,52,5 –2
Figura 1
Figura homóloga
X
Y
Para grabar
. Analiza cada situación. Luego, responde.
a.
X
Y
Figura 1D
B'
A
C'
C
A'
B
D'
Figura
–1
–1
0
0
1
1
2
2–2
–2
b. Y
X–5 –3–4 –2 –1
1
2
3
4
0
0
1 32 4 5
Figura 1 Figura
¿Cuáles son las coordenadas de la fi gura 1 y de la fi gura 2?
¿Qué transformación se aplicó sobre la fi gura 1 para obtener
la fi gura 2?
¿Son congruentes la fi gura 1 y la fi gura 2? ¿Por qué?
¿Qué transformación se aplicó sobre
la fi gura 1 para obtener la fi gura 2?
¿Son congruentes? Justifi ca.
10 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si A(1, 1), B(5, 4), C(3, 5) y D(1, 5) son vértices de un cuadrilátero y se aplica R
X
(x, y) sobre el cuadrilátero,
¿cuáles son las coordenadas de la fi gura resultante? ¿La fi gura que se obtiene es congruente a la fi gura
original? ¿Por qué?
b. Si los vértices de un triángulo son A(3, 5), B(–7, 8) y C(0, 0) y además A’ = R
(O, 90°)
((3, 5)), B’ = R
Y
((–7, 8)) y
C’=(T
u
(0, 0)), con u = (1, –2), ¿qué fi gura geométrica se forma al unir los puntos A’, B’ y C’? ¿Es congruente
al triángulo ABC?
Utilizando transformaciones isométricas es posible obtener una fi gura geométrica congruente a otra dada.
Traslación: al trasladar el triángulo ABC, se
obtiene el triángulo A’B’C’ congruente, es decir,
ABC A’B’C’.
X
Y
C
C’
A’
B’
B
A
Rotación: al rotar el triángulo DEF, se obtiene el
triángulo D’E’F’ congruente, es decir,
DEF D’E’F’.
F’
E’
D’
F
E
D
Y
X
Refl exión: al refl ejar el triángulo GHI, se obtiene
el triángulo G’H’I’ congruente, es decir,
GHI G’H’I’.
H’ H
G’
I’ I
G
Y
X
Para grabar
0
Y
X
11Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Postulados de congruencia de triángulos
Hay postulados (según la RAE, son supuestos que se establecen para fundar una
demostración) que establecen si dos triángulos son congruentes sin necesidad
de verifi car que sus tres lados y sus tres ángulos lo sean. Por lo común, basta con
asegurar la congruencia de tres de estos seis elementos.
Para determinar la congruencia entre triángulos no necesitas comprobar que todos sus elementos homólogos lo sean. Muchas veces solo necesitas
comparar algunos de ellos utilizando un postulado de congruencia.
Postulado LLL (lado - lado - lado): dos triángulos son congruentes si
tienen sus tres lados respectivamente congruentes.
Si AB DE
BC EF
AC DF
ABC DEF
C
F
B
E
A
D
Postulado LAL (lado - ángulo - lado): dos triángulos son congruentes
si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente
congruentes. Si CA FD
BCA EFD
BC EF
ABC DEF
C
F
B
E
A
D
Postulado ALA (ángulo - lado - ángulo): dos triángulos
son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos
respectivamente congruentes. Si ABC DEF
BC EF
BCA EFD
ABC DEF
C
F
B
E
A
D
Ejemplo:
ABC isósceles de base CA y DEF isósceles de base FD.
A B
1,8 cm 40°C
D E
1,8 cm 40°
F
En este caso, ABC DEF, ya que:
CA FD
BCA EFD
BC EF
Postulado
A
Para grabar
. Analiza cada par de triángulos y verifi ca cuáles son congruentes entre sí. Para ello, utiliza regla y transportador.
a. C B
A
F
D E
b. C
A
B
45°
45°
72°
72°
D
E
F
1 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2. Verifi ca en qué caso los triángulos son congruentes. Para ello, utiliza uno de los
postulados de congruencia y completa con o según corresponda.
a.
70°
72°
D E
X
Z
F
Y
c. A
C D
B
DEF YZX CBA DAB
b.
A C
D
B
57° 58°
d.
M
O
N
P
DAB DCB MPO NPO
3. Analiza la información del recuadro. Luego, responde.
Dados el ABC y el DEF rectángulos en C y F, respectivamente.
B
A
C
F D
E
a. Si AB DE , ¿es cierto que el ABC DEF? ¿Por qué?
b. Si ACDF , ¿ ABC DEF? ¿Por qué?
c. Y si se cumplen las condiciones a y b, ¿los triángulos ABC y DEF son
congruentes? ¿Por qué?
4. Analiza la veracidad de cada enunciado. Luego, dibuja en tu cuaderno un
ejemplo para cada caso.
a. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres ángulos respectivamente
congruentes.
b. Dos triángulos son congruentes si sus respectivos lados son congruentes.
c. Dos triángulos son congruentes si tienen un par de ángulos interiores
respectivamente congruentes y los lados correspondientes opuestos a uno de
estos ángulos miden lo mismo
13Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
ongruencia y elementos secundarios
en el triángulo
En el triángulo, aparte de los vértices, ángulos y lados, es posible identifi car distintos
elementos, tales como alturas, transversales, bisectrices, simetrales y medianas.
Por ejemplo, si se trazan algunos de estos elementos en un triángulo equilátero, se
puede observar lo siguiente:
Bisectriz que pasa por el
vértice B (b
B
).
Altura trazada desde el
vértice C (h
C
).
Transversal de gravedad que
pasa por el vértice A (t
A
).
A
B
C
t
Ab
B
h
C
Si se traza la altura que pasa por el vértice B, ¿coincidirá con la bisectriz trazada?
¿Qué pasa con los otros elementos? ¿Coinciden?
Elementos secundarios del triángulo:
1) Bisectriz: es la recta que divide a uno de sus
ángulos interiores en dos ángulos congruentes
(de igual medida).
2) Altura: es el segmento de recta que contiene
a uno de sus vértices y que es perpendicular al
lado opuesto o extensión de este.
3) Transversal de gravedad: es la recta que pasa
por un vértice y por el punto medio del lado
opuesto a dicho vértice.
4) Simetral o mediatriz: es la recta que intersecta
a un lado del triángulo en su punto medio,
formando un ángulo recto.
5) Mediana: es un segmento de recta que une los
puntos medios de dos de sus lados.
Ejemplo: bisectrices de un triángulo.
A
B
β
β
γ γ
Cb
B
b
A
b
C
Para grabar
. Aplica uno de los postulados de congruencia. Luego, completa con o
según corresponda.
a.
A B
C
D
b.
A B
D
C
60°
ACD BCD ABD BCD
CD bisectriz del
ángulo ACB.
BD transversal
de gravedad.
Incentro: punto donde se
intersectan las bisectrices de un
triángulo.
Ortocentro: punto donde se
intersectan las alturas de un
triángulo.
Centro de gravedad: punto
donde se intersectan las
transversales de gravedad de un
triángulo.
Circuncentro: punto donde se
intersectan las simetrales de un
triángulo.
: punto donde se
Para saber más
14 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
En el triángulo rectángulo ABC, se traza la altura que pasa por el vértice C.
C
D BA
a. Si se cumpliera CA BC , ¿qué tipo de triángulo es el ABC?
b. Si se cumpliera ADC BDC, ¿cuál sería la medida del ABC?
c. Si el triángulo ABC es rectángulo isósceles, ¿qué postulado usarías para
establecer que ADC DBC?
3. Evalúa si las siguientes afi rmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello,
escribe V o F según corresponda.
a. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los
ángulos opuestos a estos lados son congruentes.
b. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los
lados opuestos a estos ángulos son congruentes.
c. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, el ángulo de
mayor medida es el opuesto al lado de mayor medida.
d. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es
también mediana y bisectriz.
e. En un triángulo rectángulo, la transversal de gravedad del ángulo
recto mide lo mismo que la hipotenusa.
f. La altura de un triángulo pasa por el punto medio de un lado.
g. Dos triángulos isósceles que tienen las bases congruentes y las
alturas congruentes son congruentes.
h. Al trazar las medianas en un triángulo se forman cuatro triángulos
congruentes.
Recuerda que los triángulos
pueden clasifi carse según sus
lados en: equiláteros (3 lados
de igual medida), isósceles
(2 lados de igual medida
y uno de distinta medida),
escalenos (3 lados de distinta
medida), y según sus ángulos
interiores en: acutángulos (sus
ángulos interiores son agudos),
rectángulos (uno de sus
ángulos interiores mide 90°)
y obtusángulos (uno de sus
ángulos interiores es obtuso).
Ayuda
15Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
ce r
resolución
Demostraciones y congruencia
Con su libro Elementos, Euclides (siglo III a. C.) fue el primero en presentar
la Geometría de una manera organizada y lógica, con base en defi niciones y
postulados o axiomas. En él se demuestran los teoremas mediante el razonamiento
deductivo.
Los elementos que intervienen en una
demostración:
Teorema: es una proposición que puede ser
demostrada.
Hipótesis: datos del enunciado del teorema que
se asumen verdaderos.
Tesis: lo que se quiere demostrar.
Para llegar de la hipótesis a la tesis se utiliza un
procedimiento llamado demostración.
Demostración: es una sucesión fi nita de
afi rmaciones fundamentadas por defi niciones,
axiomas y postulados ligados mediante un
razonamiento lógico que conduce a la tesis.
Ejemplo:
Teorema: Si en el ABC, CD AB y D es punto medio
de AB, entonces,AC BC .
Hipótesis: En ABC, CD AB y D es punto medio
de AB.
Tesis: AC BC .
A B
C
D
Demostración: como CD AB, entonces
m( ADC) = m( BDC) = 90°. Además, CD es lado
común y como D es punto medio, se tiene que
AD BD . Por lo tanto, usando el postulado de
congruencia LAL, se tiene que:
DCA DCB, entonces AC BC .
Para grabar
. Identifi ca tesis e hipótesis en los siguientes enunciados. Para ello, destaca con
color rojo la hipótesis y con azul la tesis.
a. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
b. La diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos isósceles congruentes.
c. Al trazar cualquier altura en un triángulo equilátero, se forman 2 triángulos
congruentes.
d. Las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo
isósceles son congruentes.
2. Completa la tabla. Para ello, guíate por el ejemplo.
roposición Forma condicional
Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos. Si un polígono es un triángulo, entonces no tiene
dos ángulos rectos.
Todo segmento es congruente consigo mismo.
Las diagonales de un rectángulo son congruentes.
Las alturas correspondientes a los lados
congruentes de un triángulo isósceles son
congruentes.
roposición Forma condicional
Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos. Si un polígono es un triángulo, entonces no tiene
dos ángulos rectos.
Todo segmento es congruente consigo mismo.
Las diagonales de un rectángulo son congruentes.
Las alturas correspondientes a los lados
congruentes de un triángulo isósceles son
congruentes.
En las proposiciones
condicionales p⇒q, p es la
hipótesis y q es la tesis. Por
ejemplo, en la proposición: “Si un
triángulo es equilátero, entonces
sus ángulos son congruentes”.
Hipótesis: un triángulo
equilátero (ladosde igual
medida).
Tesis: sus ángulos son
congruentes.
Ayuda
ce hh
16 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
Se quiere demostrar que la altura correspondiente a un triángulo isósceles es también transversal de gravedad.
Hipótesis: sea ABC isósceles de base AB y altura CM.
Tesis: CM es transversal de gravedad.
Demostración: como ABC es isósceles de base AB, se tiene que
CAM CBM y AC BC .
- Además, como CM es altura (CM es perpendicular a
AB), entonces se tiene que: AMC BMC.
- Por la suma de los ángulos interiores se tiene que: ACM BCM.
Luego, como CAM CMB, AC BC y ACM BCM. Utilizando criterio de congruencia ALA, se tiene
que AMC BMC y, por lo tanto, AM BM y CM es transversal de gravedad del segmento AB.
Realiza una nueva demostración utilizando otro criterio de congruencia.
4. Analiza cada proposición. Luego, demuéstralas.
a. La bisectriz del ángulo determinado por los lados congruentes de un triángulo isósceles divide al triángulo en
dos triángulos congruentes.
ABC isósceles de base CA.
BD bisectriz del ABC.
B
C
D
A
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
b. Los triángulos DCA y ECB son congruentes.
A B
C
ED
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
A B
C
M
17Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación formativa
Analizando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
ongruencia de fi guras planas.
1 Completa en cada caso con los elementos homólogos correspondientes.
a. A
B D
E
C
CAB
ECD
ABC
AB
CD
EC
b. O P Q
RM N
NOM
RPQ
MNO
OM
PQ
RQ
2 Analiza la fi gura. Luego, responde.
a. ¿Qué condiciones se deben cumplir para que los 8 triángulos pintados sean
congruentes? Justifi ca utilizando transformaciones isométricas.
b. ¿Qué condiciones deben cumplir los triángulos para que la fi gura del centro
sea un octágono regular? Explica.
3 Evalúa si cada una de las siguientes afi rmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello, escribe V o
F según corresponda.
a. Dos triángulos rectángulos con un cateto respectivamente de igual medida son congruentes.
b. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa en común, son congruentes.
c. Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos respectivamente de igual medida, son congruentes.
d. Si dos rectángulos tienen dos lados correspondientes de igual medida, son congruentes.
e. Si en un triángulo equilátero se traza una simetral, esta determina dos triángulos congruentes.
18 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
Demostraciones y congruencia de triángulos.
4 Ejemplifi ca cada una de las siguientes proposiciones. Para ello, dibuja.
a. En todo triángulo isósceles, la transversal de gravedad y la altura con respecto a la base son congruentes.
b. En un triángulo equilátero de lado a cm, la medida de una de sus alturas es
a 3
2
cm.
5 Crea una demostración en cada caso. Para ello, explicita cada uno de los pasos descritos.
a. Si el ABC es isósceles de base AB, entonces AGD BFE.
C
A GF B
D E
b. Si el ABC es equilátero, E y F son puntos medios y AD CF BE , entonces ADF BED.
A
F E
C
D B
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
19Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
ongruencia y paralelogramos
Los criterios de congruencia de triángulos son muy importantes para organizar los
argumentos de una demostración. Incluso, para deducir propiedades de fi guras que
no son triángulos. Observa como se demuestra que los lados opuestos de cualquier
paralelogramo son congruentes.
Hipótesis: ABCD paralelogramo.
Tesis: AB CDyDA BC .
Demostración: al trazar la diagonal BD en el
paralelogramo ABCD, quedan determinados
los triángulos ABD y CDB. Luego,
1
β
2
, ya que son ángulos alternos
internos entre AB y CD, que son paralelos.
De igual manera,
2
β
1
, ya que son
ángulos alternos internos entre DA y BC, que son paralelos. Además, BD es un
lado común de ambos triángulos. Luego, utilizando el criterio ALA de congruencia
de triángulos, se tiene que ABD y CDB son congruentes. Por lo tanto, como
AB y CD son opuestos a ángulos congruentes, resulta: AB CD . Análogamente,
DDA BC , como se quería demostrar.
Un paralelogramo es un polígono de cuatro lados con dos pares de lados opuestos paralelos. Los postulados
de congruencia de triángulos permiten reconocer las características y propiedades asociadas a cada
paralelogramo.
Romboide:
paralelogramo que tiene
sus lados opuestos y
sus ángulos opuestos
congruentes.
Rombo: paralelogramo
de lados congruentes
y ángulos opuestos
congruentes.
Rectángulo:
paralelogramo que
tiene sus cuatro ángulos
interiores congruentes.
uadrado:
paralelogramo que tiene
sus lados y ángulos
congruentes.
Para grabar
. Analiza el siguiente paralelogramo. Luego, completa según corresponda. Justifi ca en cada caso.
B
C
E
A
D
ABCD paralelogramo.
a. AD
b. BCD
c. AE
d. ABC
¿Es cierto que ABE CDE?
A
D
β
1
1
β
2
2
B
C
Los ángulos interiores de los
rombos son distintos de 90°.
Lo anterior también sucede en
los romboides. En tanto, en los
rectángulos y cuadrados los
ángulos interiores miden 90°.
Los ángulos interiores de los
Para saber más
0 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2. Demuestra cada una de las siguientes proposiciones. Para ello, utiliza los criterios de congruencia de
triángulos.
a. Las diagonales de un rombo se intersectan en el punto medio.
B
C
A
D
O
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
b. Las diagonales de un rectángulo son congruentes entre sí.
A
D
B
C
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
c. D
A
H F
G
E
C
B
Hipótesis: ABCD rectángulo; además, E, F, G y H son
puntos medios.
Tesis: EFGH es un rombo.
Demostración:
3. Demuestra las siguientes proposiciones en tu cuaderno.
a. Si cada diagonal de un paralelogramo bisecta el correspondiente ángulo del vértice, entonces el
paralelogramo es un rombo o un cuadrado.
b. Si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, entonces el paralelogramo es un rectángulo o un
cuadrado.
1Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
ongruencia y trapecios
Un trapecio isósceles es un cuadrilátero que posee solo un par de lados paralelos, y
las medidas de sus lados no paralelos son iguales.
Observa cómo es posible demostrar que las diagonales de un trapecio isósceles son
de igual medida.
Hipótesis: sea ABCD, trapecio isósceles
de bases AB y CD.
Tesis: AC BD , lados homólogos.
Demostración: se trazan las diagonales
AC y BD.
Como ABCD es un trapecio isósceles de bases AB y CD, se tiene que DA BC y
DAB ABC.
Si además consideras que AB es lado común en el ABD y en el ABC, por
postulado LAL se tiene: ABC BAD. Luego, si los triángulos son congruentes,
los lados correspondientes también lo son. Es decir, AC BD .
¿Puedes encontrar otra manera de demostrar la proposición anterior?
El trapecio es un cuadrilátero con solo un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases y la
distancia entre ellos, h, altura.
Un trapecio con dos ángulos interiores rectos se
llama trapecio rectángulo.
D
A
C
B
Un trapecio que no tiene lados de igual medida ni ángulos
rectos se llama trapecio escaleno.
A
D C
B
Para grabar
. Analiza la siguiente fi gura. Luego, completa según corresponda. Justifi ca en cada caso.
D
A
C
B
E
ABCD trapecio isósceles.
a. AD
b. BEC
c. DE
d. ABE
¿Es cierto que BCE ADE? ¿Por qué?
BA
D C
Investiga cómo se demuestra
que los ángulos basales
agudos de un trapecio
isósceles son congruentes.
Luego, demuestra que los
ángulos basales obtusos del
trapecio isósceles también son
congruentes.
Investiga cómose demuestra
Desafío
Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2. Demuestra cada una de las siguientes proposiciones.
a. Los ángulos interiores opuestos de un trapecio
isósceles son suplementarios.
b. Si ABCD es un trapecio isósceles de bases AB y
CD, el punto de intersección de las diagonales del
trapecio es punto medio de la recta paralela a las
bases del trapecio que lo contiene.
c. EF
B
D C
A
Hipótesis: ABDE rectángulo, CD FE
Tesis: FA CB
Demostración:
3. Resuelve el siguiente problema.
Si ABCD es trapecio isósceles de bases AB y CD, AB = a cm, CD = b cm, AB // MN y M, N son puntos medios,
¿cuál es la medida de MN?
D C
N
BA
M
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
Hipótesis:
Tesis:
Demostración:
3Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Aplicaciones de la congruencia
de fi guras planas
Una de las aplicaciones puede observarse en una cancha de fútbol. En ella, es
posible identifi car diversas fi guras geométricas congruentes.
En una aplicación
que tenga relación
con la congruencia
de fi guras planas,
en particular en
los polígonos,
puedes utilizar
transformaciones
isométricas
según sea el caso
y, si es posible,
descomponer la
fi gura en triángulos y
usar los postulados
de congruencia
según corresponda.
Ejemplo: es posible generar un hexágono regular aplicando una transformación
isométrica de la siguiente manera.
Hexágono
regular.
0
Triángulo
equilátero.
0 0 00
Rotación de 60° en torno al punto O.
Para grabar
. Analiza los siguientes polígonos. Luego, responde.
E
D D’
C C’
E’
B B’
A A’
Si ABE A’B’E’,
BCE B’C’E’ y
CDE C’D’E’.
¿Es cierto que los polígonos ABCDE y A’B’C’D’E’ son congruentes? Justifi ca.
Construye en tu cuaderno un
dodecágono regular de lado
4 cm utilizando una
transformación isométrica
adecuada.
Desafío
Marca con diferentes colores
al menos 3 pares de fi guras
geométricas congruentes que se
representen en la cancha de fútbol.
4 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
ABCD es un trapecio isósceles, tal que AB = a cm y CD = b cm. Al aplicar una rotación en torno al punto medio
O del lado BC, se observa lo siguiente:
A
C B'
D’
A’D
Rotación de
15° en torno al
punto O.
Rotación de
90° en torno
al punto O.
Rotación de
180° en torno
al punto O.
O
B C'
a. Si la altura h del paralelogramo AD’A’D de la fi gura anterior mide 10 cm, ¿cómo expresarías el área del
trapecio ABCD en términos de a y b?
b. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del trapecio ABCD de altura h?
3. Resuelve el siguiente problema.
Sean ABC y DEF equiláteros congruentes de 6 cm de lado cada uno. Si el
perímetro del triángulo equilátero GBF es 9 cm, ¿cuál es la suma del perímetro
de las regiones pintadas?
C
F
B
ED
GA
5Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
1 Analiza la resolución del siguiente
problema.
Si ABCD es un paralelogramo, DE
es altura y CF // / /DE, entonces se
cumple que AED BFC. ¿Es
válida esta proposición?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
Que la demostración presentada es válida.
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
ABC paralelogramo E es altura y CF // E .
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Analiza el objeto o situación que se va a evaluar.
Como se trata de un paralelogramo, se tiene que: C AB y y A BC .
Además, CF // E , entonces, CF AB⊥ .
Defi ne el o los criterios de evaluación.
Para evaluar la proposición se debería demostrar que AE BFC.
aso 3 Resuelve el problema
Verifi ca si la proposición es o no válida.
Apoyándose en argumentos teóricos sobre algunos elementos de la fi gura,
es posible establecer que, efectivamente, se cumple la congruencia de
triángulos pedida.
Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor
atribuido a la solución de la situación planteada.
- ipótesis: ABC paralelogramo, E es altura y CF // E .
- Tesis: AE BFC.
- Demostración:
1. BC A y y BC // C A, por
ser ABC paralelogramo.
2. CF⊥AAB , por ser E
altura y CF // E .
3. EFC paralelogramo,
por ser CF // E y EF // C .
4. e 3. se infi ere CF E .
5. AE CBF, por ser correspondientes entre paralelas.
6. E A FCB, por ser ambos el complemento de AE y CBF,
respectivamente.
7. AE BFC, por postulado A : BC A (de 1), E A FCB
(de 6), CF E (de 4).
aso 4 Revisa la solución
Al demostrar que AE BFC, se deduce que la proposición es válida.
¿Qué tengo que hacer para
evaluar?
¿Qué es evaluar?
Etapas de la resolución
de problemas.
Evaluar consiste en emitir
juicios de acuerdo a un criterio
conocido y válido.
Analizar el objeto o situación
que se va a evaluar.
Defi nir el o los criterios de
evaluación.
Paso 1: omprende el
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a
realizar.
Paso 3: Resuelve el problema.
Paso 4: Revisa la solución.
D
A E B F
C
D
A E B F
C
6 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
En el triángulo ABC de la fi gura, AC BC . Si CD es bisectriz del BCA, entonces
se afi rma que:
1) El triángulo ABC es equilátero.
2) ADC BDC.
¿Ambas afi rmaciones son válidas?
aso 1 Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Analiza el objeto o situación que se va a evaluar.
Defi ne el objeto o los criterios de evaluación.
aso 3 Resuelve el problema
Verifi ca si la o las afi rmaciones son o no correctas.
Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la
situación planteada.
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
El triángulo PQR es isósceles de base PQ. La altura correspondiente a PQ lo intersecta en el punto M. La
bisectriz del RPQ intersecta a esta altura en el punto O y al lado QR del triángulo en el punto S. El ángulo
SOM mide 115°. Determina las medidas de los tres ángulos interiores del triángulo PQR.
A
C
D B
7Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuándo dos fi guras planas son congruentes?
A. Si tienen la misma forma.
B. Si sus áreas son equivalentes.
C. Si la suma de sus ángulos interiores es igual.
D. Si una es transformación isométrica de la
otra.
E. Ninguna de las anteriores.
2 Si los cuadriláteros ABCD y PQRS son
congruentes, ¿cuál es el lado homólogo al lado
BC?
C
B
S
R
Q
P
A
D
A. QR
B. PQ
C. RS
D. SP
E. QS
3 Si PQR TNM, entonces ¿cuál de las
siguientes proposiciones es FALSA?
R
M
N
T
P Q
A. PQ TN
B. PR TM
C. QR NM
D. QRP NMT
E. PQR TMN
4 Si se quiere construir un rectángulo congruente
a otro dado, ¿qué información es necesaria para
dicha construcción?
A. El área del rectángulo.
B. El perímetro del rectángulo original.
C. La medida de las diagonales del rectángulo
original.
D. Los ángulos que se forman en la intersección
de sus diagonales.
E. En todos los casos falta información.
5 Si en la fi gura, ABC DEF con D BC,
AC // DF, m( BDE) = 80° y m( ACB) = 40°,
¿cuál es la medida del DEF?
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 90°
E. No se puede determinar.
6 El triángulo ABC es isósceles de base AB y
AD DB . Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes
afi rmaciones es(son) VERDADERA(S)?
I. ADE BDE.II. AEC BEC.
III. ADC BDC.
A BD
C
E
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. I, II y III.
A B
D E
C
F
8 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
7 ¿En qué tipo de triángulo se forman dos
triángulos congruentes al trazar una bisectriz?
A. Isósceles.
B. Escaleno.
C. Equilátero.
D. Rectángulo isósceles.
E. Ninguna de las anteriores.
8 Si ABC es un triángulo cualquiera y un
punto del segmento AB, ¿qué condición se
debe cumplir para que ADC y DBC sean
congruentes?
C
A D B
A. AC CB.
B. ADC sea isósceles.
C. ABC sea equilátero.
D. D punto medio del segmento AB.
E. No están las condiciones mínimas de
congruencia.
9 Si en el ABC de la fi gura, CE es transversal
de gravedad y CE EA , ¿cuál es la medida del
ángulo x?
B C
E
A
70°
x
A. 20°
B. 40°
C. 75°
D. 90°
E. 140°
10 Dados dos trapecios congruentes se puede
afi rmar que:
I. Sus diagonales respectivas tienen la misma
medida.
II. Los triángulos respectivos formados al trazar
las diagonales son congruentes.
III. Sus áreas son iguales.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo I y III.
E. I, II y III.
11 Si el cuadrilátero de la fi gura es un romboide
con AC y BD sus diagonales, ¿cuál(es) de las
siguientes relaciones de congruencia es(son)
VERDADERA(S)?
I. ABC ADC
II. AED CEB
III. CED AEB
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
12 En la fi gura, EFGH es un rectángulo.
Si AHD CFB y DGC BEA, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) VERDADERA(s)? (DEMRE 2006)
C
B
A
D
H
E
G
F
I. DC AB
II. DCB DAB
III. DCG ADG
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
D
A
C
B
E
9Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
A
D
C
B
13 En la fi gura, DC AD⊥ y CB AB⊥ .
Si DAC BAC, ¿en qué orden el triángulo
DAC es congruente con el triángulo ABC?
A. ACD
B. ADC
C. CAD
D. DCA
E. CDA
14 En el triángulo DEF, DE EF y m( DFE) = 50°.
¿Cuál es la medida del ángulo DEF?
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
E. 80°
En el triángulo de la fi gura, AB BC CA ; E es
punto medio de AB, y BD es bisectriz del ángulo
ABC. Responde las preguntas 15 y 16.
C
A E B
D
x
y
15 ¿Cuál es la medida del ángulo x?
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
E. Ninguna de las anteriores.
16 ¿Cuál es la medida del ángulo y?
A. 15°
B. 30°
C. 60°
D. 90°
E. Ninguna de las anteriores.
17 Si se aplica una traslación T
u
(x, y)
con u =(–1, –1) a un triángulo escaleno ABC,
¿qué fi gura resulta?
A. Un rectángulo de igual área al ABC.
B. Un triángulo isósceles de igual área al ABC.
C. Un triángulo rectángulo de igual área al
ABC.
D. Un triángulo congruente al triángulo ABC.
E. Ninguna de las anteriores.
18 Con respecto a los postulados de congruencia
de triángulos, ¿cuál de las siguientes
afi rmaciones es VERDADERA?
A. Si dos triángulos tienen un ángulo
respectivamente congruente, entonces
dichos triángulos son congruentes.
B. Dos triángulos son congruentes si tienen dos
lados respectivos y el ángulo comprendido
entre ellos respectivamente congruentes.
C. Si dos triángulos tienen dos ángulos
correspondientes congruentes, entonces
dichos triángulos son congruentes.
D. Dos triángulos son congruentes si tienen
sus tres ángulos interiores respectivos
congruentes.
E. Ninguna de las anteriores.
19 Si el ABC MNT y además se tiene que
m( CAB) = 40° y m( MNT) = 80°, ¿cuál de
las siguientes afi rmaciones es FALSA?
C
A B
T
M N
A. NT AC
B. ABC ≅ MNT
C. m ( NTM) = 60°
D. m ( TNM) = 80°
E. MNT es escaleno
30 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
20 En la fi gura, QRP DFE. Si QP PR , ¿cuánto
mide el ángulo FED?
A. 62°
B. 64°
C. 74°
D. 106°
E. 116°
21 En el triángulo de la fi gura, DEF MNF.
¿Cuál es medida del ángulo EFD?
40°
50°
D E
M N
F
A. 90°
B. 100°
C. 120°
D. 130°
E. 140°
22 En el triángulo ABC, CBD DBA,
m( CAB) = 70° y m( BCA) = 50°. ¿Cuál es la
medida del ángulo x?
A. 30°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
E. 80°
23 El triángulo ABC es rectángulo en C, AD DB .
Si m( CAD) = 50° y DB CD, ¿cuál es la
medida del ángulo DCB?
C
A D B
A. 5°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
E. 40°
24 Si ABCD rectángulo y AD DE EC CB , ¿cuál
es la medida del x?
x
D E C
A B
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. Ninguna de las anteriores.
25 Los triángulos ABC y BAD son congruentes.
¿Qué dato es necesario para conocer la medida
del BEA?
C
A
D
B
E
A. m( BCA) = 40°
B. m( BDA) = 40°
C. m( BAD) = 40°
D. m( CAE) = 40°
E. m( ABD) = 90°
26 En el ABC, AEF BEF. ¿Cuál(es) de las
siguientes afi rmaciones es(son) correctas(s)?
I. CF FE ED
II. AD DB
III. DBF DAF
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
Q
P
F
E DR
58°
A
x
B
D
C
C
A BD
E
F
31Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve.
1. ABCD es un rectángulo. AM MC AE BD ; ; m ( EAC) = 20°. Calcula las medidas de los ángulos del
triángulo CEM.
D M
E
C
BA
2. Si en un cuadrilátero ABCD se traza la diagonal AC, queda dividido en los triángulos ACD y ABC. ¿En
qué tipo de cuadriláteros esos triángulos son congruentes?
3. Demuestra que CD es altura y transversal de gravedad del triángulo isósceles ABC de base AB.
C
BDA
3 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Congruencia.
Transformaciones isométricas y
congruencia de fi guras planas.
Congruencia de triángulos.
Demostraciones y congruencia.
Congruencia y paralelogramos.
Congruencia y trapecios.
Aplicaciones de la congruencia
de fi guras planas.
ontenido Defi nición o procedimiento Ejemplo
33Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar, al
menos, los conceptos clave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Congruencia. Criterios de congruencia de triángulos.
Elementos homólogos. Congruencia y paralelogramos.
Transformaciones isométricas. Congruencia y trapecios.
Demostraciones. Congruencia de triángulos.
Aplicaciones de la congruencia de fi guras planas.
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
Herramientas
Congruencia.
Dos fi guras geométricas se
considerarán congruentes ( ) si
y solo si tienen la misma forma
y tamaño.
Elementos homólogos.
C
BA
1,8 cm
1,5 cm
2 cm
F
E
1,8 cm
1,5 cm
2 cm
D
AB y DE, BC y EF, CA y FD son
lados homólogos.
Transformaciones isométricas
y congruencia.
Dos fi guras relacionadas
mediante una transformación
isométrica son congruentes.
Postulados de congruencia de
triángulos.
LLL (lado – lado – lado)
ALA (ángulo – lado – ángulo)
LAL (lado – ángulo – lado)
Demostraciones y congruencia.
Hipótesis: datos que se
suponen verdaderos.
Tesis: lo que se quiere
demostrar.
Demostración: afi rmaciones
lógicas que conducen a la
tesis.
Congruencia y paralelogramos.
En rombos y romboides, los
ángulos interiores opuestos
son congruentes y distintos
de 90°.
En cuadrados y rectángulos,
todos sus ángulos interiores
son congruentes e iguales a90°.
Tipos de trapecios.
Trapecio isósceles.
Trapecio rectángulo.
Trapecio escaleno.
Elementos secundarios del triángulo.
En los triángulos equiláteros coinciden las alturas, bisectrices,
simetrales y transversales de gravedad.
34 Unidad 7 Congruencia de fi guras planas
Cerrar sesión
Nivel de logro
11
13
2
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
35Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Unidad
Estadística y
probabilidad
Qué? Para qué? Dónde?
istogramas, polígonos de
frecuencias y polígonos de
frecuencias acumuladas.
Organizar y representar información mediante este tipo
de gráfi cos.
Páginas 238 a 243.
Medidas de tendencia central y
posición.
Interpretar estas medidas en histogramas, polígonos de
frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas.
Páginas 244 a 251.
Probabilidad de experimentos
aleatorios y técnicas combinatorias.
Resolver problemas que involucren el cálculo de
probabilidades.
Páginas 252 a 257.
Media aritmética y muestras
aleatorias.
Formular y verifi car conjeturas acerca de la relación entre
la media poblacional y las medias muestrales.
Páginas 258 a 261.
n diversos contextos, la información obtenida es representada a través de gráfi cos que
permiten resumirla y organizarla en distintas áreas del saber humano. Los gráfi cos pueden
ser de diferentes tipos, entre los cuales están los de líneas, circulares, de barras, etc.
36 Unidad 8 Estadística y probabilidad
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
) ¿De qué se trata la lectura?
2) ¿Qué puede representar un gráfi co?
3) ¿Para qué tipo de información utilizarías cada gráfi co? Explica cada caso.
Crear onsiste en reorganizar la informa ión en un nuevo modelo o estru tura, formando un todo
oherente o fun ional.
nicializando
Hace algunos años el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) realizó un estudio acerca del consumo de
gas licuado en el país. Para ello, recopiló información de años anteriores y obtuvo el siguiente gráfi co:
onsumo fi nal de gas licuado 2003-2007
Kg por mil habitantes
Año
80.000
60.000
40.000
20.000
70.000
50.000
30.000
10.000
2003 2004 2005 2006 2007
0
Fuente: www.ine.cl
Uno de los estudiantes de un curso considera que con el gráfi co se puede identifi car fácilmente el año de
mayor consumo, pero no así el de menor consumo.
Con respecto al gráfi co presentado, rea una estrategia que te permita responder las preguntas que
aparecen a continuación.
) ¿En qué año el consumo se encuentra entre los 60.000 y 70.000 kg por mil habitantes? Fundamenta.
2) ¿Es correcto afi rmar que el año 2006 el consumo fue inferior a los 60.000 kg por mil habitantes”?
Fundamenta.
3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) ¿Cuál fue la estrategia que utilizaste para responder las preguntas?
37Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Interpretación de gráfi cos
Mediante los gráfi os se puede representar, de manera resumida, ualquier tipo de
informa ión. Así, por ejemplo, en el gráfi o que se muestra a ontinua ión están los
datos re opilados en el Censo del año 2002 on respe to a la pobla ión urbana y a la
rural. A través de él se puede leer e interpretar distinta informa ión de importan ia.
Algunas on lusiones que se pueden inferir del gráfi o son:
La mayor pobla ión urbana se on entra en la Región Metropolitana.
La pobla ión rural no supera el millón de habitantes en ada región.
1. Analiza el gráfi co que aparece a continuación. Luego, anota 4 conclusiones.
Para interpretar los distintos tipos de gráfi cos existentes, debes analizar los datos representados para así
poder obtener la información deseada o requerida.
Para grabar
a.
b.
c.
d.
Fuente: www.ine.cl
Fuente: www.ine.cl
Población total por sexo, según regiones. enso 2002
HombresPOBLACIÓN
R GIÓN
Mujeres
3.500.000
1.000.000
1.500.000
2.000.000
2.500.000
3.000.000
500.000
I II III VI V IV IIV IIIV IX X IX IIX VIX VXRM
Población total por área urbana y rural, según regiones. enso 2002
UrbanaPOBLACIÓN
R GIÓN
I II III VI V IV IIV IIIV IX X IX IIX VIX VXRM
Rural
7.000.000
5.000.000
3.000.000
6.000.000
4.000.000
2.000.000
1.000.000
0
Fuente: www.ine.cl
38 Unidad 8 Estadística y probabilidad
a. ¿Cómo se representa en el gráfi o que la varia ión es
positiva?
b. ¿Cómo se representa en el gráfi o que la varia ión es
negativa?
c. ¿Cómo fué la varia ión en los 12 meses?
Fuente: www.ine.cl
2. Analiza el siguiente gráfi co. Luego, responde.
3. Analiza la siguiente información y luego
responde.
El Instituto Antárti o Chileno (INACH) ha
realizado diversas investiga iones ientífi as
destinadas a ono er y diagnosti ar el estado
a tual de la ontamina ión de las ostas del
Territorio Antárti o Chileno, en espe ial de
los residuos sólidos. El gráfi o que apare e
a ontinua ión representa la informa ión
obtenida en el periodo 2004-2005 en Cabo
Shirref, en el que se en ontraron 1.023
dese hos de distintos tipos.
a. ¿Cuál es el total de dese hos de plásti o en ontrado?
b. ¿Cuál es el total de dese hos de papel, de metal y de vidrio registrado en el
estudio?
c. Plantea 2 on lusiones extraídas del gráfi o.
El 32% de 45.000 se puede
calcular de la siguiente manera:
32
100
45 000 4.400
Ayuda
Índice de producción física industria manufacturera
(Var. % 12 meses)
Variación % 12 meses índice de producción física
4
2
–2
–8
–12
0
–6
–4
–10
–14
Oct. 08
(Base: promedio año 2002 = 100)
Feb. 09 Abr. Jun. Ago. Oct. 09Dic.
Porcentaje de desechos recolectados por ítem, en
abo Shirref. 2004-2005
Vidrio 1% Papel 4%
Plástico 94%
Metal 1%
Plástico
Vidrio
Papel
Metal
Fuente: www.ine.cl
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 39
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Encuestas y agrupamientos de datos
A través de las encuestas es posible recopilar mu ha y variada informa ión, lo
que permite tener una mejor apre ia ión de algún tema determinado. Para esto,
generalmente se diseña un uestionario y luego se analizan los datos re ogidos,
agrupándolos según los estándares que sean de interés en el estudio.
1. Analiza parte de una encuesta aplicada por el Instituto Nacional de Estadísticas
(INE) destinada a estudiar la percepción de la ciudadanía frente a su seguridad.
Luego, responde.
Una encuesta es un conjunto de preguntas tipifi cadas (estandarizadas, homologadas), dirigidas a una
muestra representativa, para averiguar estados de opinión o diversas cuestiones de hecho.
Para grabar
Recopilar la informa ión.
Analizar los resultados.
Diseñar la en uesta.
a. ¿Qué informa ión se quiere obtener a partir de las preguntas de la en uesta?
b. Extrae dos on lusiones de la parte de la en uesta mostrada.
c. ¿Qué rees que signifi an los números en las asillas?
2. Analiza una encuesta desde el sitio www.ine.cl. Luego, completa.
Título de la en uesta:
Con lusión 1:
Con lusión 2:
Con lusión 3:
3. Responde las siguientes preguntas.
a. ¿Por qué rees que son importantes las en uestas?
b. ¿Cuándo rees que es ne esario apli ar una en uesta? Ejemplifi a.
4. Crea una encuesta con información recopilada en tu curso o colegio. Luego,
realiza dos conclusiones.
Con lusión 1:
Con lusión 2:
Fuente: www.ine.cl
ausas 1° 2°
La falta de vigilancia policial. 01 01
La falta de prevención y organización de parte de la población. 02 02
La falta de preocupación y control de los padres. 03 03
La falta de disciplina en las escuelas. 04 04
El consumo de drogas. 05 05
La falta de oportunidades de trabajo.06 06
Las condiciones de extrema pobreza. 07 07
Defi ciente investigación de la policía. 08 08
ausas 1° 2°
La falta de vigilancia policial. 01 01
La falta de prevención y organización de parte de la población. 02 02
La falta de preocupación y control de los padres. 03 03
La falta de disciplina en las escuelas. 04 04
El consumo de drogas. 05 05
La falta de oportunidades de trabajo. 06 06
Las condiciones de extrema pobreza. 07 07
Defi ciente investigación de la policía. 08 08
ausas 1° 2°
Consumo problemático de alcohol. 09 09
Sanciones débiles que aplican los jueces a los delincuentes. 10 10
Ausencia de programas de rehabilitación para drogadictos. 11 11
Escasa posibilidad de reinserción de los delincuentes. 12 12
La ley no contempla penas más duras para delincuentes. 13 13
La mala calidad de la educación en las escuelas. 14 14
No sabe. 88 88
No responde. 99 99
ausas 1° 2°
Consumo problemático de alcohol. 09 09
Sanciones débiles que aplican los jueces a los delincuentes. 10 10
Ausencia de programas de rehabilitación para drogadictos. 11 11
Escasa posibilidad de reinserción de los delincuentes. 12 12
La ley no contempla penas más duras para delincuentes. 13 13
La mala calidad de la educación en las escuelas. 14 14
No sabe. 88 88
No responde. 99 99
De acuerdo con su percepción, ¿cuál diría usted que son las principales causas de los niveles de
delincuencia que actualmente existen en nuestro país? ¿Y en segundo lugar?
40 Unidad 8 Estadística y probabilidad
Rango de precios de ciertos artículos
Tablas de frecuencias
Al organizar en una tabla (tabular) grandes cantidades de datos, puede resultar
útil agruparlos en intervalos o clases para determinar uántos datos pertene en
a un intervalo determinado. Así, surgen on eptos omo frecuencia absoluta (f),
frecuencia relativa (f
r
), frecuencia absoluta acumulada (F) y frecuencia relativa
porcentual (f%), entre otros.
Ejemplo:
Una empresa de transportes traslada diferentes tipos de en omiendas, las que lasifi a por su masa (M
E
),
distribuyéndolas de hasta un máximo de 30 kg. La tabla adjunta resume la informa ión.
Tabla de frecuencias: es un tipo de representación que permite organizar datos.
Frecuencia absoluta (f): es el número de veces que se repite un dato o el número de datos incluidos en un
determinado intervalo.
Frecuencia absoluta acumulada (F): es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o
iguales al valor de la variable en cuestión. El último valor de esta debe ser igual al número total de datos.
Frecuencia relativa (f
r
): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos o tamaño de la
muestra.
Frecuencia relativa porcentual (f%): es el porcentaje de la frecuencia absoluta con respecto al tamaño de la
muestra.
Para grabar
Estos valores se
interpretan como: 6
de 36 encomiendas,
es decir, el 16,67% del
total de encomiendas
tiene una masa entre
0 y 6 kg, sin ser 6 kg.
Este valor representa
6 encomiendas, cuyas
masas varían entre 0
y 6 kg.
14 + 12 = 26
Rango es la diferencia
entre el mayor (24) y el
menor (0) valor. En este
caso, es 24. Mientras que
la amplitud del intervalo
es la diferencia entre el
límite superior y el inferior.
En este caso, 12 – 6 = 6.
En el intervalo ]0; 6], 0 es
el límite inferior y no se
considera, y 6 es el límite
superior del intervalo y
se considera.
1. Analiza la siguiente tabla. Complétala y luego responde en tu cuaderno.
¿Cuál es el rango de la variable pre io?
¿Y uál es la amplitud de intervalo?
¿Cuántos artí ulos fueron in luidos en la
tabla? ¿Cuántos de ellos tenían un pre io
menor o igual a $ 2.000?
¿Podrías representar los datos en algún
gráfi o? ¿Qué datos o uparías? Expli a
detalladamente.
Traslado de encomiendas
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 41
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Representación de datos
Luego de tabular los datos agrupados en intervalos, en tablas de fre uen ias, estos
pueden ser representados por medio de histogramas, polígonos de frecuencias y
polígonos de frecuencias acumuladas.
Por ejemplo: en una prueba realizada a 300 estudiantes de 1° medio se obtuvieron
los siguientes puntajes ya agrupados en intervalos.
La línea roja representa el polígono de frecuencias, que resulta al unir los extremos
superiores de las barras (mar a de lase on fre uen ia absoluta). Mientras que el
polígono de frecuencias acumuladas se onstruye uniendo la mar a de lase de
ada intervalo on su orrespondiente valor de fre uen ia a umulada (línea azul).
Un histograma es una representación gráfi ca en forma de barras, en las que sus alturas son proporcionales
a la frecuencia absoluta de los valores representados. Este tipo de gráfi co sirve para expresar información
sobre datos agrupados en intervalos.
Para elaborar manualmente un histograma debes dibujar los ejes de sistemas coordenados. En el eje de
las abscisas se especifi can los intervalos y en el eje de las ordenadas se representa la frecuencia absoluta
correspondiente.
El polígono de frecuencias es una representación gráfi ca que forma un polígono compuesto por la línea
poligonal, que se obtiene al unir los puntos referidos a las marcas de clase, y el eje de las abscisas.
Para la construcción de un polígono de frecuencias es importante anotar en la tabla de frecuencias la marca
de clase de cada intervalo. También anota la frecuencia acumulada, que permitirá construir el polígono de
frecuencias acumuladas.
Para grabar
1. Representa en un histograma, en un polígono de frecuencias y en un polígono
de frecuencias acumuladas los datos que aparecen en las tablas.
Califi cación fi nal de 80 estudiantes Rango de precios de ciertos artículos
Puntaje
(x)
Marca de
clase
f F
]0, 10] 5 15 15
]10, 20] 15 30 45
]20, 30] 25 40 85
]30, 40] 35 60 145
]40, 50] 45 70 215
]50, 60] 55 55 270
]60, 70] 65 30 300
Puntaje
(x)
Marca de
clase
f F
]0, 10] 5 15 15
]10, 20] 15 30 45
]20, 30] 25 40 85
]30, 40] 35 60 145
]40, 50] 45 70 215
]50, 60] 55 55 270
]60, 70] 65 30 300
Puntajes obtenidos en una prueba Puntajes obtenidos en una prueba
0 0
20 100
40 200
60 300
80 400
Ca
nt
id
ad
d
e
es
tu
di
an
te
s
Ca
nt
id
ad
d
e
es
tu
di
an
te
s
Puntaje Puntaje
30, 40
40, 50
50, 60
60, 70 0, 10
10, 20
20, 30
30, 40
40, 50
50, 60
60, 70 0, 10
10, 20
20, 30
Precios (P) f f F
]0; 1.000] 45 45
]1.000; 2.000] 55 100
]2.000; 3.000] 90 190
Precios (P) f f F
]0; 1.000] 45 45
]1.000; 2.000] 55 100
]2.000; 3.000] 90 190
alifi cación Marca de clase f F
]1,0; 2,0]
]2,0; 3,0]
]3,0; 4,0]
]4,0; 5,0]
]5,0; 6,0]
]6,0; 7,0]
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
4
6
17
101
40
12
4
10
27
128
168
180
alifi cación Marca de clase f F
]1,0; 2,0]
]2,0; 3,0]
]3,0; 4,0]
]4,0; 5,0]
]5,0; 6,0]
]6,0; 7,0]
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
4
6
17
101
40
12
4
10
27
128
168
180
La marca de clase (M
) de
un intervalo corresponde al
promedio entre el límite inferior y
el límite superior.
Para saber más
4 Unidad 8 Estadística y probabilidad
2. Utiliza xcel para realizar histogramas. Para ello, analiza los datos y lleva a cabo los pasos señalados.
3. Utiliza xcel para realizar polígonos de frecuencias. Para ello, lleva a cabo los pasos señalados.
Considerando la informa ión de la a tividad anterior.
4. Verifi ca si los gráfi cos construidos en la actividad 1 de la página anterior coinciden con los que puedes crear
en xcel.
Una asa dis ográfi a realiza un
estudio sobre la antidad de dis os
que distribuye a las tiendas según
las ventas. Este estudio onsta, de
una en uesta telefóni a aleatoria en
la que se pregunta por la antidad
de dis os que se han vendido el
presente mes. Los datos obtenidos
se muestran en la tabla.
Paso 1
Paso 1
Paso 2
Paso 2
Paso 3
Paso 3
Para realizar un histograma debes
“abrir” xcel e ingresar la tabla.
Luego, presiona el í ono y
sele iona columnas.
Para realizarun polígono de
fre uen ias debes “abrir” xcel
e ingresar la tabla y luego
sele ionar líneas en la op ión
tipo de gráfi co. Sin embargo, se
agregarán dos fi las para poder
generar el polígono.
A ontinua ión elige el rango de
datos que quieres grafi ar y luego
sele iona la op ión Filas.
A ontinua ión, elige el rango de
datos que quieres grafi ar y luego
sele iona la op ión Columnas.
Así apare erá el gráfi o pedido.
Así apare erá el gráfi o pedido.
Distribución de discos
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 43
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Medidas de tendencia central
Las medidas de tenden ia entral: media aritméti a, moda y mediana permiten
estudiar los valores entrales de una distribu ión.
La media aritmética ( x =) de datos no agrupados en intervalos es el cociente entre la suma de los productos
de los valores de una variable (datos) (x
i
) por sus correspondientes frecuencias absolutas (f
i
) y el número
total de datos (n).
x =
x f + x f + x f + ... + x f
n
1 1
x f
1 1
x f
2 2
f +
2 2
f +
3 3
x f
3 3
x f
n n
x f x f + x + x x f x f + + + x + x
Al estar los datos agrupados en intervalos, la media aritmética se calcula sumando los productos de las
marcas de clase de los intervalos (x
mc
) por sus frecuencias absolutas y luego dividiendo esa suma por el total
de datos (n).
x =
x f + x
mc1 1
x f
1 1
x f
mc
x f x f
2 222 22 mc3 3 mcN N
f +
2 2
f +
2 2
x f
3 3
x f
3 3
+ ... + x f
N N
f
N N
n
f + f + x f x f
; donde N es el número total de intervalos.
Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes propuesto en la página 242, se tiene
que el puntaje promedio, aproximado a la centésima, es de = 39,16, ya que:
x =
5 15 + 15 30 + 25 4 5 1 5 15 + 5 + 15 15 5 4 5 40 +00 +0 35 60 + 45 70 + 55 55 + 65 30
300
=
60 60 + 4 + 45 7 5 7 55 55 + 6 + 65 3 5 3
11.750
300
= 39,16
Lo que se puede interpretar como que el puntaje promedio en la prueba fue de = 39,16 puntos,
aproximadamente.
Para grabar
1. Calcula la media aritmética para los datos de las siguientes tablas.
a. b.
Cantidad de hermanos Distancia de salto
Número de hermanos f
0 2
1 4
2 3
3 7
4 4
5 4
6 2
Número de hermanos f
0 2
1 4
2 3
3 7
4 4
5 4
6 2
Longitud de salto (m) Marca de clase f
[0; 0,3[ 0,15 0
[0,3; 0,6[ 0,45 2
[0,6; 0,9[ 0,75 3
[0,9; 1,2[ 1,05 5
[1,2; 1,5[ 1,35 12
[1,5; 1,8[ 1,65 13
[1,8; 2,1[ 1,95 6
Longitud de salto (m) Marca de clase f
[0; 0,3[ 0,15 0
[0,3; 0,6[ 0,45 2
[0,6; 0,9[ 0,75 3
[0,9; 1,2[ 1,05 5
[1,2; 1,5[ 1,35 12
[1,5; 1,8[ 1,65 13
[1,8; 2,1[ 1,95 6
¿Cómo interpretas esta medida en ada aso?
x = x =
Propiedades de la media
aritmética.
Si se suma una constante
a todos los valores de una
variable, su media aumenta
en dicha constante.
Si se multiplican todos los
valores de una variable por
una constante, la media
aritmética queda multiplicada
por dicho valor.
Para saber más
44 Unidad 8 Estadística y probabilidad
La moda (M
o
) de una variable estadística de datos no agrupados es el valor que presenta la mayor fre-
cuencia absoluta. Puede haber más de una moda, pero si todos los datos de la distribución tienen la misma
frecuencia, entonces se dice que la variable no tiene moda.
Para determinar la moda en una muestra de datos agrupados debes hallar el intervalo modal (intervalo de
mayor frecuencia absoluta) y utilizar la siguiente fórmula: M = a
D
D
1
1 2
Donde L
i
es el límite inferior del intervalo modal; a, la amplitud del intervalo modal; D
1
, la frecuencia absoluta
del intervalo modal menos la del intervalo anterior, y D
2
, la frecuencia absoluta del intervalo modal menos la
del intervalo siguiente.
Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes (página 242), se tiene que la moda de
los puntajes es 44, ya que:
M = 40 + 10
10
10 + 15
0 + 10 0,4 = 40 + 4 4
Este dato se puede interpretar como que el puntaje más obtenido es 44 puntos.
Para grabar
La mediana (M
e
) de una variable con datos no agrupados, una vez ordenados los datos, corresponde al valor
central de la distribución si está compuesta por un número impar de datos; si está compuesta por un número
par de datos, la mediana corresponde a la media de los valores centrales de la distribución.
El cálculo del valor central de una distribución de datos ordenados (mediana) para datos agrupados en
intervalos se realiza de la siguiente manera:
1° Se establece el número total de datos (n).
2° Se busca el primer intervalo (I) en el que la frecuencia acumulada sea mayor que
2
.
3° Luego, se aplica la siguiente fórmula:
M = a
2
fe i i
i - 1
Donde I
i – 1
es el límite inferior del intervalo en estudio; a
i
es la amplitud del intervalo en estudio; f
i
es la
frecuencia absoluta del intervalo en estudio, y F
i – 1
es la frecuencia acumulada anterior al intervalo en estudio.
Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes (página 242), se tiene que la mediana
de los puntajes es 40,71 puntos, ya que:
M = 40 + 10
150 – 145
70
= 40 + 10
5
70
0 +
5
7
= 40,71
Este dato se puede interpretar como que el puntaje central es 41 puntos, aproximadamente.
Para grabar
2. Calcula la moda para los datos de la actividad 1 de la página anterior.
a. Cantidad de hermanos. M
o
= b. Distancia de salto. M
o
=
¿Cómo interpretas esta medida en ada aso?
3. Calcula la mediana para los datos de la actividad 1 de la página anterior.
a. Cantidad de hermanos. M
e
= b. Distancia de salto. M
e
=
¿Cómo interpretas esta medida en ada aso?
En el caso de la distribución de
discos mostrada en la actividad
2 de la página 243, el intervalo
modal es ]90 – 100] y la moda
de los datos es 95, ya que:
M = 90 0
4
4 + 4
= 95
Ayuda
En el caso de la distribución de
discos mostrada en la actividad
2 de la página 243, el intervalo
de estudio es ]100 – 110] y la
mediana de los datos es 101,25,
ya que:
M = 100 + 10
25
2
– 12
4
01 5
e
Ayuda
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 45
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
4. Analiza los gráfi cos. Luego, responde.
a. El siguiente polígono de fre uen ias a umuladas representa la estatura de
los estudiantes de primer año medio.
Determina la media, moda y mediana.
Construye un histograma y un polígono de fre uen ias aso iados al gráfi o anterior. ¿Las medidas de
tenden ia entral son las mismas que en el gráfi o anterior?
De los 2 tipos de gráfi os: polígono de fre uen ias e histograma, ¿ uál rees que representa de mejor manera
la informa ión re opilada? ¿En uál de ellos es posible determinar de manera más efi iente las medidas de
tenden ia entral? Comenta on tus ompañeras, ompañeros y profesor(a).
Anota 3 on lusiones on respe to a la a tividad realizada.
.
2.
3.
Estaturas de estudiantes de 1° medio
Cantidad de estudiantes
statura
(cm)
17
12
20
5
9
150 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5160 170155 165 175
Histograma Polígono de fre uen ias
46 Unidad 8 Estadística y probabilidad
¿Consideras que la informa ión representada en el polígono de fre uen ias podría interpretarse de mejor manera
en un histograma o en un polígono de fre uen ias a umuladas? Justifi a.
Anota 3 on lusiones on respe to a las medidas de tenden ia entral al uladas.
.
2.
3.
c. El siguiente histograma representa las alifi a iones obtenidas por los estudiantes de 1° medio en 5 olegios.
Cal ula la media, moda y mediana.
Anota 2 on lusiones on respe to a las medidas de tenden ia entral al uladas.
.
2.
b. El siguiente polígono de fre uen ias muestra la antidad de pa ientes por edad que se en uentra en una
determinada líni a.
Determina la media, moda y mediana. Pacientes por edad de cierta clínica
7
6
11
10
15
13
12
18
19
2
10 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,515 25 35 45 5520 30 40 50 60
dad
Cantidad de
pacientes
alificaciones de 1° medio
Cantidad de estudiantes
48
42
35
57
60
18
1,0 4,02,0 5,03,0 6,0 7,0 Califi cación
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 47
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Medidas de posición
Al tener una serie de datos ordenados en forma re iente, estos se pueden dividir
en partes iguales.
1. Analiza la información y el ejemplo.
Al tener una tabla de frecuencias, el
percentil de orden k (P
k
) se calcula:
1° Se determina el intervalo al cual
pertenece el percentil por
calcular:
k n
100
k n k n
en la tabla de
frecuencias acumuladas.
° Luego, se aplica la siguiente fórmula:
P =I + a
k n
100
–F
fk i
P =
k i
P =I +
k i
I +
i
i–
–F
i–
–F
1
i
f
i
f
k n k n
; donde I
i
es el
límite inferior del intervalo en el que
se encuentra k; f
i
es la frecuencia
absoluta del intervalo en el que se
encuentra k; F
i – 1
es la frecuencia
acumulada anterior al intervalo
donde se encuentra k, y a
i
es la
amplitud del intervalo.
Diseña y explica una estrategia
que permita determinar los
cuartiles sin conocer los
percentiles.
Diseña y explica una estrategia
Desafío
La mediana de una distribución
de datos coincide con Q
2
y con
P
50
.
Las medidas de tendencia
central y de posición, no siempre
corresponden a valores de la
variable en estudio.
mediana de una distribución
Para saber más
Longitud de un trozo de madera
Longitud (cm) f F
]0; 50] 20 20
]50; 100] 15 35
]100; 150] 8 43
]150; 200] 4 47
Longitud (cm) f F
]0; 50] 20 20
]50; 100] 15 35
]100; 150] 8 43
]150; 200] 4 47
jemplo: se calculará P
75
= Q
3
.
1° El intervalo es ]100; 150], ya que como
n = 47, el 75% de 47 es 35,25, valor que
según F pertenece a ]100; 150].
2° Al aplicar la fórmula se tiene:
P = 100 + 50
75 4
75
P =
75
P =
• 777
100
– 35
43
= 100,29
Es decir, el 75% de los trozos de madera
miden menos o igual que 100,29 cm.
Los cuartiles son los tres valores de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales.
Primer cuartil (Q
1
): es el valor que
separa el 25% de los datos de la
distribución ordenada de menor a
mayor.
Segundo cuartil (Q
2
): es el valor
que separa el 50% de los datos
de la distribución ordenada de
menor a mayor.
Tercer cuartil (Q
3
): es el valor que
separa el 75% de los datos de la
distribución ordenada de menor a
mayor.
Los quintiles son los cuatro valores de una distribución que la dividen en cinco partes iguales. El primer
quintil separa el 20% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor, el segundo quintil separa el
40%, el tercer quintil separa el 60% y el cuarto quintil el 80%.
Los deciles son los nueve valores de una distribución que la dividen en diez partes iguales. El primer decil
(D
1
) separa el 10% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor, el segundo decil (D
2
) separa el
20%, el tercer decil (D
3
) el 30%, etc.
Los percentiles (P
n
) son los noventa y nueve valores de una distribución que la dividen en cien partes
iguales. Cada uno de ellos equivale a un 1% de la distribución.
Para grabar
25% 50% 75%
Q
1
Q
2
Q
3
Quintil 1 Quintil 2 Quintil 3 Quintil 4
D
1
D
4
D
7
D
2
D
5
D
8
D
3
D
6
D
9
48 Unidad 8 Estadística y probabilidad
2. Analiza la siguiente tabla. Luego, responde.
Salarios de los trabajadores de una empresa
a. ¿Cuál es el per entil 50? ¿Cómo lo interpretas?
b. Aproximadamente, ¿qué antidad de personas tienen un sueldo sobre el
ter er uartil? Justifi a.
c. Determina el noveno de il. Anota 2 on lusiones on respe to a este valor.
3. Analiza el siguiente histograma. Luego, responde.
Con respe to a los puntajes obtenidos en la PSU de matemáti a por un grupo de
estudiantes. Responde.
a. ¿Cuál es el per entil 35?
b. ¿Cuál es ter er uartil?
c. ¿Como se interpreta el per entil 75?
Puntajes obtenidos en la PSU
Puntaje
Frecuencia
15
5
200 400 700300 600500 800
45
55
65
70
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 49
evaluación formativa
Analizando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
Interpretación de gráfi cos.
1 Analiza el siguiente gráfi co. Luego, responde.
El gráfi co que aparece a continuación representa el tiempo mensual que destinan dos grupos de igual
cantidad de alumnas y alumnos de octavo básico, segundo y cuarto medio a practicar deportes dentro
y fuera del colegio.
a. ¿Qué grupo pra ti a más deporte? ¿Cuál
menos?
b. Anota 2 on lusiones del gráfi o.
Tablas de frecuencias.
2 Analiza la siguiente tabla. Luego, responde.
Tamaño de árboles de una parcela
a. ¿Qué antidad de árboles tiene una altura menor a 2,6 metros?
b. ¿Cuál es el rango de los datos?
c. ¿En qué intervalo se on entra la menor antidad de árboles?
d. ¿Qué por entaje de árboles superan los 2,1 metros de altura?
Tiempo que practican deporte
8° básico 2° medio 4° medio
60
50
40
30
20
10
0
24
41,5
51,8
10,2
16,7
24,4
Tiempo (h)
Curso
Grupo 1
Grupo 2
50 Unidad 8 Estadística y probabilidad
Representación de datos.
3 Representa en un histograma y en un polígono de frecuencias la tabla del problema 2 de la página
anterior.
4 Analiza el siguiente histograma. Luego, resuelve.
Anota 3 on lusiones y expli a por qué las onsideras importantes.
Medidas de tendencia central.
5 Analiza la siguiente tabla y luego responde.
Cal ula y expli a qué representa ada medida de tenden ia entral.
Medidas de posición.
6 Analiza la siguiente información y luego responde.
Determina el per entil 25.
Este tipo de histograma se llama
pirámide. A menudo caracteriza
a países con fuerte natalidad y
mortalidad media.
Fuente: www.ine.cl
Para saber más
Libros leídos en un año
Cantidad de hijos de 00 familias
Pirámide de población
enso 1992
Población (miles de personas)
Gr
up
os
d
e
ed
ad
(e
n
añ
os
)
0–4
10–14
30–34
20–24
40–44
50–54
60–64
70–74
65–69
55–59
45–49
35–39
25–29
15–19
5–9
80–84
85–89
75–79
800 800600 600400 400200 2000
Hombres Mujeres
51Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Azar y experimentos aleatorios
El azar está presente en experimentos omo lanzar una moneda o un dado, ha er
girar una ruleta, et ., los que re iben el nombre de experimentos aleatorios. A su
vez, al onjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le
llama espacio muestral, que generalmente se anota on la letra griega (omega).
1. Clasifi ca los siguientes experimentos en aleatorios o determinísticos. Para ello,
marca la casilla correspondiente.
a. Estimar la estatura de una persona. Aleatorio Determinístico
b. Poner una ubeta on agua en el Aleatorio Determinístico
ongelador.
c. Extraer una arta de un juego de Aleatorio Determinístico
naipes y adivinar su valor.
2. Identifi ca y escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio.
a. Lanzar 2 dados y anotar la suma
de sus puntos.
b. Extraer una bolita de una aja on 3
bolitas y determinar su olor.
= { } = { }
3. Analiza la siguiente situación. Luego, responde en tu cuaderno.
Se realiza un experimento en una on urrida avenida, que onsiste en pedirles a los
transeúntes que hagan girar una ruleta, omo la que se muestra en la fi gura, y en el
momento previo predigan el olor que apare erá una vez que se detenga la ruleta.
a. ¿Qué tipo de experimento es? Expli a.
b. ¿Cuál es su espa io muestral?
c. Un transeúnte observa la tabla en la que se han anotado 100 resultados
y afi rma: “ on seguridad el próximo olor que saldrá no será negro”. Sin
ono er esta tabla, ¿estás de a uerdo on la afi rma ión? Expli a en forma
detallada.
Los experimentos determinísticos son aquellos en los que se obtiene el mismo resultado, siempre que el
experimento se realice en condiciones similares. Por ejemplo, calentar agua a 100 °C, soltar una pelota de
tenis desde el segundo piso de un edifi cio, etc.Los experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible
enunciar con certeza cuál de ellos va a observarse. Además, todos los posibles resultados del experimento
son conocidos con anterioridad y los experimentos aleatorios pueden realizarse las veces que se quiera bajo
condiciones similares. Por ejemplo, acertar el resultado de un partido de fútbol, determinar el tiempo de
duración de la próxima llamada telefónica, etc. Al conjunto o colección de los resultados de un experimento
aleatorio se le llama espacio muestral ( ).
Un suceso o evento ( ) es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Un suceso
se llamará elemental si no se puede descomponer en otros más sencillos; compuesto, si consta de dos o
más elementos de ; seguro, si está compuesto por todos los elementos de ; e imposible, si no contiene
elementos de .
Para grabar
Otros tipos de sucesos que
estudiarás en cursos posteriores
son los sucesos compatibles,
incompatibles, dependientes,
independientes y contrarios.
Otros tipos de sucesos que
Para saber más
5 Unidad 8 Estadística y probabilidad
Probabilidad y regla de Laplace
Se tiene un juego de naipes inglés y se pide a una persona que extraiga
una arta sin mirar. Si quien extrae la arta afi rma que la probabilidad
de obtener un rey es de
1
13
, mientras que la de extraer una arta que
represente un número par es de
5
13
, ¿es posible afi rmar que es más
probable extraer una arta que represente un número par que una que
represente a un rey? ¿En qué te basas para señalar lo anterior?
En un experimento aleatorio, ¿es
siempre posible defi nir el número
de casos favorables? Si no lo es,
da un ejemplo.
Desafío
Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número fi nito de resultados posibles y no existe razón que
privilegie un resultado por sobre otros, se puede calcular la probabilidad de un evento aleatorio A, según la
regla de Laplace, mediante el cociente entre el número de casos favorables y el de los casos posibles del
experimento:
A) =
mero de casos favorables
Nú de casosa posi es
0 P ) 1 (A(A
Por ejemplo, en el juego de naipes descrito a comienzos de página, la probabilidad de que ocurra el evento
aleatorio “A: extraer un rey” es de
1
13
, ya que:
P(A)
Nú de casos ffavorables
Número de casos posib s 52 13
4 1
Si en un experimento todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los eventos
son equiprobables.
La probabilidad de un suceso mide el grado de incerteza de la ocurrencia de dicho suceso.
Para grabar
1. Analiza los siguientes experimentos aleatorios. Luego, calcula en tu cuaderno.
a. De un juego de naipes inglés se extrae al azar una arta. ¿Cuál es la
probabilidad de extraer una que represente un número par de puntos?, ¿ uál
la de extraer un número primo de puntos?, y ¿ uál la de extraer un as?
b. Se lanzan 2 dados de seis aras. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferen ia,
en valor absoluto, de los puntos obtenidos sea menor que 6?, ¿ uál la de
obtener una suma mayor que 12?, ¿ uál la de obtener 6 omo produ to?, y
¿ uál la de obtener 1 omo o iente entre el número de puntos mayor y el
número de puntos menor?
c. Un grupo de estudiantes ha realizado 100 lanzamientos de una moneda
y los datos se han registrado en la tabla de fre uen ias que se muestra a
ontinua ión.
Lanzamiento de una moneda
Moneda Frecuencia
Cara 62
Sello 38
Según la tabla, ¿ uál es la probabilidad de obtener ara?
Según la regla de Lapla e, ¿ uál es la probabilidad de que salga sello?
¿Por qué rees que se obtienen diferentes resultados? Justifi a.
Se considerará que un juego de naipes
inglés tiene 52 cartas, distribuidas en
cuatro pintas, cada una de las cuales
tiene 13 cartas numeradas.
• Un evento cierto o seguro
tiene probabilidad 1. Es decir,
siempre ocurre.
• Un evento imposible es el
que tiene probabilidad 0. Es
decir, nunca ocurre.
Para saber más
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 53
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
2. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
a. En un olegio hay 8 ursos de primer año medio, de los uales 4 están
ompuestos por 38 estudiantes, 2 por 41 estudiantes y el resto de los ursos
tiene 45 estudiantes ada uno. Si la probabilidad de es oger al azar a una
alumna es
5
9
, ¿qué antidad de alumnas y alumnos hay en el olegio?
b. En una tómbola se tienen 36 bolitas numeradas del 1 al 36.
Si se extrae aleatoriamente una bolita, ¿ uál es la probabilidad de obtener un
número par?
Con respe to a la probabilidad obtenida en la pregunta anterior, ¿es igual a la
probabilidad de extraer una bolita on un número impar?
¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita on un número ompuesto?
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita, esta orresponda a un
número primo? ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta esté
numerada on un múltiplo de 3? ¿Qué evento tiene una mayor probabilidad
de o urrir? Justifi a.
3. Identifi ca en cuál de los siguientes experimentos aleatorios es posible aplicar
la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un determinado suceso
y en cuáles habría que realizar el experimento. Para ello, escribe Laplace o
experimento en la casilla según corresponda.
a. Lanzar una moneda.
b. Lanzar un dado argado en una
de sus aras.
c. Ha er girar una ruleta que está
dividida en 4 se tores ongruentes.
d. Ha er girar una ruleta que está dividida
en 3 se tores de distinta área.
4. Resuelve el siguiente problema.
Un estudiante quiere al ular la probabilidad de que al ha er girar una ruleta
omo la que se muestra a ontinua ión la fl e ha quede ubi ada en el se tor 3.
a. ¿Cómo rees que se al ula esta probabilidad? Resuelve.
b. Compara tu respuesta on las de tus ompañeras y ompañeros.
c. ¿Qué on lusión puedes obtener respe to a esta ompara ión?
d. ¿Qué hi iste para responder la pregunta a?
Hay sucesos de experimentos aleatorios a los
que no se les puede aplicar la regla de Laplace
para determinar la probabilidad de ocurrencia.
En estos casos, el experimento puede realizarse
un número fi nito de veces y determinar una
“tendencia” de la probabilidad de cierto evento.
Por ejemplo, en el experimento aleatorio “hacer girar
la siguiente ruleta y anotar el número del sector en
el que cae la fl echa” no se puede aplicar la regla
de Laplace, ya que todos los sectores no tienen la
misma probabilidad de ocurrir. Es decir, los distintos
sucesos posibles no son equiprobables.
Para grabar
2
8
75
6
4
3
3
2
54 Unidad 8 Estadística y probabilidad
Técnicas de conteo y probabilidad
El dueño de una tienda desea ordenar sus distintos tipos de produ tos. Para ello,
omenzará o upando el primer nivel de un estante que tiene apa idad para 8
produ tos. Si los produ tos que se ordenarán son 3 latas de tomate (t
1
, t
2
, t
3
), 3 tipos
de pasta (p
1
, p
2
, p
3
) y 2 tipos de jugos (j
1
, j
2
), ¿de uántas formas posibles se pueden
ordenar?
Principio multiplicativo
Si una operación puede efectuarse de n
1
maneras diferentes, y una vez realizada cualquiera de ellas una segunda
operación puede llevarse a cabo de n
2
maneras distintas, entonces el número total (N) de maneras diferentes en
que se pueden realizar ambas operaciones simultáneamente es:
N = n
1
n
2
En general, para k operaciones con n
k
maneras distintas de realizarlas se tiene que:
N = n
1
n
2
n
3
n
k
; k ∈ .
Por ejemplo, para calcular la probabilidad de escoger un número impar de 3 dígitos se resuelve:
P(A) =
1
9 10 5
=
1
450
= 0,002
Para grabar
1. Resuelve los siguientes problemas.
a. En una repisa se quieren ordenar 10 libros. De ellos, 2 son de Biología, 3 de
Lenguaje y 5 de Matemáti a. ¿De uántas formas es posible ha erlo?
b. Un estudiante tiene 5 haquetas, 3 poleras, 4 pantalonesy 2 pares de
zapatillas. ¿De uántas formas puede ombinar su ropa para vestirse?
c. Con respe to a la palabra PLATO, ¿de uántas maneras puede ombinar las
letras para es ribir distintas palabras, on o sin sentido y sin que estas se
repitan?
d. En un torneo de fútbol se tienen 4 equipos, A, B, C y D, los que se disputan el
primer y segundo lugar. ¿De uántas formas posibles estos equipos pueden
quedar ubi ados en la tabla de posi iones?
e. Considerando del 0 al 9 y sabiendo que el 0 no puede ir al prin ipio, ¿de
uántas maneras se puede formar un número telefóni o de 7 dígitos?
f. ¿Cuántas patentes para automóviles es posible formar si estas deben onstar
de 4 letras, todas ellas onsonantes, y 2 dígitos? Considera que las letras y
números se pueden repetir.
g. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 dígitos, este
quede formado solo por ifras impares?
C D U
9
posibilidades
(1, 2, 3, 4, 5
6, 7, 8 y 9)
10
posibilidades
(0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 y 9)
5
posibilidades
(1, 3, 5, 7 y 9)
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 55
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Permutación y combinatoria
En una ompeten ia de atletismo, 4 estudiantes (A, B, C, D) se
disputan el primer lugar. ¿Cuáles podrían ser las posi iones fi nales?
Para responder la pregunta puedes apli ar el principio multiplicativo
visto antes, por lo que se tienen 4 3 2 1 = 24 posibles
ordenamientos diferentes.
Sin embargo, también se puede resolver apli ando el on epto de
permutación, que según la Real A ademia de la lengua Española
(RAE) se refi ere a ada una de las ordena iones posibles de los
elementos de un onjunto fi nito. Luego, el número total de las
posibles ordena iones son:
P
4
= 4 3 2 1 = 24
Donde P
4
representa el número de ordena iones de las posi iones de
los 4 estudiantes.
Ahora que ya ono es el número de ordena iones posibles,
es ríbelas.
Una permutación en un conjunto de n elementos corresponde a una ordenación de estos. El número total de
permutaciones u ordenaciones diferentes entre n elementos de un conjunto se denotará por P
n
, y se tiene que:
P
n
= n! = n (n – 1) (n – 2) ·… … … · 4 3 2 1, n ∈ .
Donde n! se denomina factorial de n o n factorial. Además se acepta que O! = 1.
Si se quiere determinar el número total de permutaciones que se quieren realizar con k elementos elegidos
entre los n elementos del conjunto, sin que estos se repitan, se puede aplicar la fórmula:
P =
n!
(n – k)!– k)!– kk
P =
k
P =nP =nP = , n k; n, k ∈ .
Mientras que si en los n elementos hay algunos que se repiten, por ejemplo, si uno de ellos se repite p veces,
otro q veces, otro r veces y así sucesivamente, el total de permutaciones está dado por:
(p,q,r,...)
nP =
(p,q,r,...)
P =
(p,q,r,...)
nP =n
n!
p! q! r! ....
,c
q! q!
onoono p + q +r + ... n=
Para grabar
En las permutaciones, el orden
de los elementos del conjunto sí
importa.
Es decir, dos permutaciones son
diferentes si tienen al menos
un elemento distinto o si están
ordenados de forma distinta.
Ayuda
1. Calcula el valor de cada permutación. Observa el ejemplo.
P =
6!
(6 - 4)!
=
6 5 4 3 2 1
2!
=
6
4
P =
4
P =
6
P =
6
P =
6 5 6 5 4 3 4 3 2 1 2 1 6 6 5 455 45 3 2 1
2 1
=6 5 4 3=360
5 4 5 4 3 2 3 2
2 1 2 1
5 4 5 4
a. P
5
b. P
3
P
3
P
6 c. P
4
P
4
P
6
d.
(2, 3, 5)
10P
(2
P
(2
2. Resuelve el siguiente problema.
En un urso se quiere es oger a la dire tiva, ompuesta por presidente, tesorero y
se retario. Si para esta ele ión hay 7 estudiantes que se disputan los 3 puestos,
¿Cuántas posibles ordena iones hay?
1° ° 3° 4°
4
posibilidades
3
posibilidades
2
posibilidades
1
posibilidad
56 Unidad 8 Estadística y probabilidad
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
Los experimentos aleatorios se pueden realizar on o sin reposi ión. Por ejemplo,
en una tómbola hay bolitas numeradas desde el 1 hasta el 15. Es posible realizar el
experimento: “extraer una bolita, anotar su número y devolverla a la tómbola”.
a. ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar el experimento dos ve es
se obtenga la misma bolita?
b. ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar el experimento 3 ve es se
obtengan 3 bolitas distintas numeradas on números impares?
4. Calcula el valor de cada combinatoria.
a. C
4 =
b.
2
4
C =
c.
3
5
C =
d.
2
5
C =
5. Resuelve los problemas. Para ello, analiza el siguiente ejemplo.
Si en el problema de la dire tiva de la página anterior los 7 estudiantes que se
disputan los argos son 4 mujeres y 3 hombres, ¿ uál es la probabilidad de que
la dire tiva esté ompuesta por 3 mujeres?
Solución: omo no importa el orden de las mujeres, sino que sean tres las que
ompongan el grupo, se debe al ular el número de ombina iones que umplan
on esta ondi ión.
Luego,
4
3
4!
3!(4 )!
4
3! 1!
= 4 son las posibles ombina iones. Por otra
parte, omo son 35 posibles grupos de 3 estudiantes que pueden omponer la
dire tiva, se apli a la regla de Lapla e y se obtiene que la probabilidad de que
esté ompuesta por 3 mujeres es de
4
35
11,4% aproximadamente.
a. De una pobla ión on 6 elementos, ¿ uántas muestras distintas de 4 elementos
se pueden es oger?
b. ¿Cuántas palabras de 4 letras, sin que ne esariamente tengan sentido, se pueden
formar on las letras de la palabra LAPIZ? No puedes repetir letras.
c. Para ir a ver una obra de teatro se ordenarán por ada fi la 3 hombres y 4 mujeres.
¿Cuál es la probabilidad de que las 4 mujeres no queden separadas?
El número de combinaciones que pueden formarse de k
elementos a partir de un conjunto de n elementos está dado por:
C =
n!
k! (n )!
n , k n
∈ ∈; yk ..
• Una combinación es distinta a otra si al menos tiene un
elemento distinto.
• Una combinación no toma en cuenta el orden de los elementos
considerados.
Ejemplo:
En el problema de la actividad 2 de la
página anterior, si se hubiera pedido
determinar la cantidad de grupos distintos
que podrían formar la directiva, la
respuesta sería 35, ya que:
7
3
7!
3!(7 – 3)!
7!
3! 4!
= 35
Para grabar
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 57
contenidoevaluación
c
c
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r
resolución
Media aritmética en muestras aleatorias
Se tienen todas las estaturas (en metros) de los 3 primeros medios pertene ientes a
un olegio, las que se anotan en la siguiente tabla:
Se sele ionará al azar; sin repeti ión, una muestra de ada urso. Para ello, se pueden usar diferentes estrategias.
Por ejemplo, o upar papeles o determinar un omponente de la muestra ada ierto número de elementos. En este
aso, se es ogerán las estaturas ada 2 estudiantes. De esta forma, se tienen 3 muestras de tamaño 10.
Al al ular la media aritmética de ada muestra se tiene:
1° A: x 1° B: x 1° C: x
Cal ula la media aritméti a de los promedios obtenidos por las muestras.
Anota una onlusión on respe to a la media aritméti a de ada muestra y el promedio de las muestras.
Al tener varias muestras pertenecientes a una población, puedes calcular la media aritmética de cada una de estas y posteriormente compararlas
con el la media aritmética entre ellas. Esto permite tener una aproximación con respecto al promedio de la población total.
Para grabar
1. Analiza el ejemplo dado anteriormente. Luego, resuelve.
a. Sele iona muestras de tamaño 5 on reposi ión, para ada urso. Comenta y expli a on tus
ompañeros(as) la estrategia utilizada para sele ionar ada muestra.
b. Al al ular la media aritméti a de ada muestra se tiene:
1° A: x 1° B: x 1° C: x
c. Cal ula la media aritméti a de los promedios obtenidos por las muestras.
d. Anota una onlusión on respe to a la media aritméti a de ada muestra y el promedio de las muestras.
1° A
1,70 – 1,66 – 1,55 – 1,56 – 1,71
1,55 – 1,66 – 1,59 – 1,60 – 1,58
1,61 –1,63 – 1,51 – 1,71 – 1,71
1,70 – 1,65 – 1,55 – 1,48 – 1,66
1° B
1,60 – 1,72 – 1,65 – 1,66 – 1,70
1,49 – 1,69 – 1,59 – 1,68 – 1,60
1,57 – 1,58 – 1,51 – 1,70 – 1,61
1,53 – 1,53 – 1,52 – 1,55 – 1,56
1° C
1,73 – 1,56 – 1,65 – 1,68 – 1,72
1,65 – 1,56 – 1,59 – 1,60 – 1,59
1,60 – 1,58 – 1,61 – 1,59 – 1,65
1,66 – 1,60 – 1,67 – 1,49 – 1,70
1° A
1,70 – 1,55 – 1,71 – 1,66 – 1,60
1,61 – 1,51 – 1,71 – 1,65 – 1,48
1° B
1,72 – 1,66 – 1,49 – 1,59 – 1,60
1,58 – 1,70 – 1,53 – 1,52 – 1,56
1° C
1,73 – 1,65 – 1,72 – 1,56 – 1,60
1,60 – 1,61 – 1,65 – 1,60 – 1,49
58 Unidad 8 Estadística y probabilidad
2. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si se tiene el onjunto A = {n ∈ , tal que 6 < n < 12}
¿Cuántas muestras de tamaño 2, on y sin reposi ión, pueden obtenerse?
¿Cuál es la media aritméti a de los elementos de A? Si se tiene la siguiente muestra {7; 10; 11} y se al ula
su media aritméti a, ¿qué puedes on luir on respe to a la media aritméti a de la muestra y de A?
b. En un urso se obtuvieron las siguientes alifi a iones en una prueba de matemáti a:
7,0 – 6,5 – 6,1 – 4,4 – 3,4 – 5,7 – 5,4 – 7,0 – 2,9 – 5,5 – 6,6 – 6,4 – 4,1 – 4,0 – 3,3 – 3,7 – 5,5 – 6,9 –
6,1 – 5,9 – 3,3 – 6,7 – 7,0 – 5,1 – 5,6 – 6,4 – 6,7 – 4,4 – 7,0 – 3,7 – 5,7 – 6,8 – 6,9 – 5,5 – 6,0 – 4,5 –
3,8 – 3,5 – 4,5 – 5,1 – 5,4 – 5,6.
¿Cuántas muestras de 4 alifi a iones, sin reposi ión, puedes obtener?
¿Cuántas muestras de 7 alifi a iones, on reposi ión, puedes obtener?
Es oge 3 muestras de 4 alifi a iones sin reposi ión y al ula la media aritméti a de ada una de ellas.
Luego, ompáralas on la media aritméti a del urso y anota 2 on lusiones.
c. Los pre ios de distintos juegos de Play Station III se han registrado en el re uadro.
$ 40.990 – $ 39.990 – $ 19.990 – $ 28.990 – $ 45.990 – $ 36.890 – $ 45.980 – $ 29.990 – $ 30.990
$ 31.990 – $ 40.990 – $ 39.990 – $ 29.990 – $ 41.990 – $ 39.990 – $ 35.990 – $ 41.990 – $ 33.990
¿Cuántas muestras de 5 pre ios, sin repeti ión, puedes obtener?
¿Cuántas muestras de 7 pre ios, on repeti ión, puedes obtener?
Es oge 4 muestras de 5 pre ios sin reposi ión y al ula la media aritméti a de ada una de ellas. Luego,
ompáralas on la media aritméti a de todos los pre ios y anota 2 on lusiones. Comenta on tus
ompañeros.
3. Analiza la siguiente situación. Luego, responde.
Se desean estudiar los distintos tipos de sueldos existentes en una empresa. Para di ho estudio se es ogerán
muestras de distintos departamentos de la empresa. Se es oge el departamento de fi nanzas, bodega,
ontabilidad e informáti a. En ada uno de estos departamentos trabajan 8 personas. Además, la empresa
tiene un personal de 56 empleados distribuidos en 7 departamentos on igual número de trabajadores. Una vez
determinada la media aritméti a en estos distintos departamentos, se obtuvo lo siguiente:
Para ompletar el estudio se
determinó la media aritméti a de
toda la empresa, resultando:
$ 565.750
Con respe to a esta informa ión, responde:
a. ¿Crees que la muestra obtenida es representativa? Expli a.
b. ¿Qué rees que o urriría si se es ogen otras muestras? Fundamenta tu respuesta.
c. ¿En qué ambiaría si se onsideran todas las muestras posibles de tamaño 7? Expli a detalladamente.
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 59
contenidoevaluación
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r
resolución
4. Analiza la siguiente situación. Luego, responde.
A ontinua ión se presentan los puntajes obtenidos por todos los estudiantes
de primer año medio de un determinado olegio. El puntaje mínimo es 0 y el
máximo, 100 puntos.
10 – 15 – 71 – 84 – 34 – 47 – 54 – 75 – 99 – 100 – 7 – 12 – 21 – 45 – 33 – 72 – 65 – 79 – 68 – 9 – 43
0 – 22 – 33 – 44 – 58 – 67 – 78 – 79 – 87 – 97 – 100 – 9 – 75 – 90 – 45 – 88 – 95 – 75 – 19 – 14 – 96
30 – 55 – 67 – 64 – 74 – 37 – 84 – 90 – 79 – 85 – 46 – 24 – 19 – 50 – 63 – 74 – 5 – 100 – 15 – 89 – 13
37 – 50 – 61 – 86 – 94 – 96 – 14 – 75 – 77 – 67 – 98 – 89 – 85 – 80 – 45 – 78 – 87 – 54 – 16 – 4 – 100
70 – 55 – 1 – 34 – 54 – 87 – 94 – 90 – 99 – 65 – 86 – 95 – 91 – 90 – 83 – 76 – 51 – 89 – 71 – 39 – 30
66 – 78 – 95 – 96 – 100 – 7 – 4 – 79 – 79 – 77 – 88 – 79 – 54 – 90 – 95 – 98 – 95 – 95 – 91 – 94 – 96
70 – 85 – 59 – 44 – 64 – 37 – 74 – 80 – 99 – 15 – 46 – 94 – 31 – 50 – 83 – 87 – 19 – 99 – 91 – 94 – 63
77 – 77 – 89 – 56 – 64 – 67 – 44 – 70 – 37 – 76 – 100 – 69 – 55 – 60 – 45 – 38 – 35 – 56 – 1 – 5 – 56
a. Completa en tu uaderno las tablas, es ogiendo las antidades de muestras de tamaño 5 pedidas para ada
aso. Expli a de qué forma sele ionaste los datos para ompletar ada una de ellas.
Tabla A (sin reposición)
Muestra 1 2 3 4 5
Puntaje 1
Puntaje 2
Puntaje 3
Puntaje 4
Puntaje 5
Promedio
Tabla B (con reposición)
Muestra 1 2 3 4 5
Puntaje 1
Puntaje 2
Puntaje 3
Puntaje 4
Puntaje 5
Promedio
b. Cal ula la media aritméti a del promedio de las muestras.
Tabla A Tabla B
c. ¿Cuál es la media pobla ional (promedio de todos los datos)?
d. ¿Cuál de las tablas rees que es más representativa? Expli a en forma detallada.
e. ¿Por qué rees que una de las tablas se aproxima más a la media pobla ional? Fundamenta.
Anota 2 on lusiones:
1.
.
f. A ontinua ión, en tu uaderno realiza tablas omo las que se mostraron anteriormente. Para ello, debes
es oger muestras de tamaño 8, 15 y 20 puntajes. No olvides espe ifi ar qué té ni a o upaste para
sele ionar los datos y responde las mismas preguntas que apare en en a, b, c, y d.
De un conjunto de datos se pueden extraer distintas muestras, con y sin reemplazo. A su vez, de estas se puede determinar la media aritmética y el
promedio asociado a las medias aritméticas. Así, se pueden comparar con el promedio de la población y realizar conclusiones.
Para grabar
60 Unidad 8 Estadística y probabilidad
5. Analiza las siguientes situaciones. Luego, responde.
a. En un olegio se anota la antidad de elulares que los estudiantes tienen por urso. Los resultados se
resumen en el siguiente re uadro.
40 – 35 – 41 – 34 – 44 – 37 – 44 – 45 – 39 – 30 – 41 – 32 – 31 – 45 – 43 – 32 – 35 – 39 – 38 – 39 – 43
20 – 32 – 33 – 34 – 38 – 37 – 48 – 35 – 27 – 40 – 30 – 29 – 25 – 30 – 45 – 18 – 25 – 25 – 19 – 14 – 26
30 – 45 – 37 – 34 – 14 – 17 – 14 – 39 – 39 – 25 – 16 – 24 – 19 – 30 – 53 – 22 – 15 – 10 – 15 – 29 – 13
Completa en tu uaderno las tablas, es ogiendo las antidades de muestras de tamaño 3 pedidas para ada
aso. Expli a de qué forma sele ionaste los datos para ompletarlas.
¿Cuál es la media aritméti a de los promedios en las tablas A y B?
En tu uaderno realiza una tabla pare ida a la mostrada anteriormente, pero esta vez utiliza muestras de
tamaño 10, 15 y 20.
¿Cuáles son los valores de las medias aritméti as de ada uno de los promedios en las tablas realizadas en tu
uaderno?
¿Qué su ede on los valores de las medias aritméti as a medida que aumenta el tamaño de la muestra?
¿Cuál es la diferen ia existente entre los promedios de las medias aritméti as en las tablas realizadas sin
repeti ión y on repeti ión?
b. La tabla muestra la superfi ie (m2) que se tiene en distintos se tores.
5,48 – 3,85 – 4,91 – 6,34 – 6,44 – 4,37 – 8,44 – 5,45 – 5,39 – 6,30 – 7,49 – 6,77 – 8,39 – 4,75 – 4,93
39,8 – 45,7 – 3,87 – 39,4 – 10,14 – 17,77 – 51,74 – 38,9 – 30,8 – 25,8 – 16,88 – 24,88 – 19,87 – 30,99
¿Cuáles son los valores de las medias aritméti as de ada uno de los promedios en las tablas realizadas en tu
uaderno?
¿Cuál es la diferen ia existente entre los promedios de las medias aritméti as en las tablas realizadas sin
reposi ión y on reposi ión?
¿Qué rela ión tiene la media pobla ional on las medias aritméti as de las muestras?
Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo 61
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
Se desea conocer cuál es la probabilidad de escoger al azar un número de7 cifras
compuesto por los dígitos 0, 1, 3, 5, 7, 8 y 9, con la condición de que el dígito fi nal
sea 5 y que no se repitan dígitos.
aso 1 Comprende el enunciado
Identifi ca y relaciona lo que entiendes de la informa ión entregada.
¿Qué datos son ne esarios para resolver el problema?
La cantidad total de números que se pueden formar con 7 cifras distintas y la
cantidad de números que terminen en 5.
¿Qué informa ión entrega el enun iado del problema?
La cantidad de cifras que debe contener el número por escoger y las condiciones
de terminar en 5 y estar formado solo por dígitos 0, 1, 3, 5, 7, 8 y 9.
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Crea una estrategia.
Primero, se debe considerar que el orden de los dígitos de los números que se
formen sí importa, ya que basta con cambiar de posición uno de ellos para
obtener otro (1.307.895 ≠ 1.307.985). Además, del enunciado se puede
inferir que las cifras de los números deben ser solamente las indicadas y no
repetir ninguna. Luego, para determinar el número total de casos favorables y
posibles se puede utilizar el principio multiplicativo.
aso 3 Resuelve el problema
Casos favorables 5
5 45 13 Valor fi jo
Luego, los asos favorables son 5 5 4 3 2 1 = 600. En el primer
uadro no se uenta el dígito 0.
Casos posibles
6 356 4 1
Luego, los asos posibles son 6 6 5 4 3 2 1 = 4.320.
Finalmente, apli ando la regla de Lapla e, se tiene que la probabilidad de
es oger al azar un número de 7 ifras ompuesto por los dígitos 0, 1, 3,
5, 7, 8 y 9, donde el dígito fi nal sea 5 es
600
4.320
=0 138,0 1,0 1 .
aso 4 Revisa la solución
Para verifi car, también es posible calcular el número de casos favorables
resolviendo 5 P
5
= 5 5! = 5 5 4 3 2 1 = 600. De igual manera, es
posible calcular el número de casos posibles resolviendo
6 P
6
= 6 6! = 6 6 5 4 3 2 1 = 4.320. Luego, la probabilidad pedida
es 600 : 4320 = 0 138,0 1,0 1 .
¿Qué tengo que hacer para
crear una estrategia?
¿Qué es crear?
Etapas de la resolución
de problemas.
rear consiste en reorganizar
la información en un nuevo
modelo o estructura, formando
un todo coherente o funcional.
omprender el enunciado
del problema.
Interpretar la información
entregada en el problema
utilizando la representación.
Paso 1: Comprende el
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a
realizar.
Paso 3: Resuelve el problema.
Paso 4: Revisa la solución.
6 Unidad 8 Estadística y probabilidad
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Cin o amigos van al ine. Si de ellos 2 son mujeres, ¿ uál es la probabilidad de que al sentarse en una misma
fi la queden ubi adas una al lado de la otra?
aso 1 Comprende el enunciado
Identifi ca y relaciona lo que entiendes de la informa ión entregada.
¿Qué datos son ne esarios para resolver el problema?
¿Qué informa ión entrega el enun iado del problema?
aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Crea una estrategia.
aso 3 Resuelve el problema
aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
a. Se quiere determinar la probabilidad de obtener un número de 8 ifras distintas onsiderando los números
del 0 al 7, on la ondi ión de que la entena de mil sea el dígito 0.
b. De 7 libros, 5 de ellos se olo arán en un estante, uno al lado del otro. ¿De uántas formas es posible
ordenar los 7 libros?
63Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
Analiza el siguiente gráfi co. Luego, responde las
preguntas 1 y 2.
1 ¿Cuál de las siguientes afi rmaciones es
VERDADERA?
A. La antidad de espe tá ulos en el año 2006
de Ballet es mayor que las de ópera en el
mismo año.
B. El número de fun iones de ópera es menor
en todos los años on respe to a otros.
C. El número de fun iones de músi a do ta en
todos los años es menor que el de músi a
popular.
D. En el teatro infantil del año 2008 hubo
mayor antidad de espe tá ulos que en el
mismo año on respe to al teatro públi o
general.
E. Todas son verdaderas.
2 ¿Cuál(es) de la siguientes afi rmaciones es(son)
FALSA(S)?
I. El número de funciones de música popular
de cada uno de los 3 años se encuentra
entre 2.000 y 3.000.
II. Por año, todos los números de funciones de
circo fueron menores a 2.000.
III. El año 2007 en todas las artes escénicas y
otros el número de funciones es menor a los
otros 2 años.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Solo II y III.
Analiza la siguiente tabla. Luego, responde las
preguntas 3 y 4.
Estatura de estudiantes de ° medio
3 ¿Cuál es el valor de A + B – C?
A. 26
B. 32
C. 62
D. –62
E. Ninguna de las anteriores.
4 ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) VERDADERA(S)?
I. La frecuencia relativa correspondiente al
intervalo ]1,6; 1,65] es .
II. f% correspondiente al intervalo ]1,65; 1,7]
es %.
III. El valor correspondiente a B es mayor que el
valor de A y menor que el de C.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo I y III.
E. I, II y III.
5 El histograma representa los sueldos de los
empleados de una determinada empresa. ¿Cuál
es el promedio redondeado a la unidad?
A. $ 240.000
B. $ 204.324
C. $ 225.135
D. $ 227.838
E. Ninguna de
las anteriores.
Número de funciones de espectáculos de artes escénicas
y otros, por tipo de espectáculos. 2006-2008
Tipo de espectáculo
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
Teatro infantil
Teatro
público
general
Música
popular
Recital
de
poesía
Ballet Danza
moderna
Danza
folclórica
Música
docta
Ópera Circo Otros
Número de funciones 2006 2007 2008
Sueldo
(miles de pesos)
frecuencia
120
2
8
12
15
180 240 300 360
Sueldos de la empresa
64 Unidad 8 Estadística y probabilidad
6 Considerando el histograma de la pregunta 5,
¿cuál es la mediana?
A. $ 127.500
B. $ 211.500
C. $ 232.500
D. $ 236.786
E. $ 240.000
7 Considerando el histograma de la pregunta 5,
¿Cuál es la moda?
A. $ 151.251
B. $ 240.000
C. $ 251.250
D. $ 258.000
E . $ 300.000
8 Con respecto a la siguiente tabla de frecuencias,
¿cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) FALSA(S)?
Edad del encuestado
I. La moda aproximada a la centena es 21,92.
II. La mediana truncada a la centena es 24,41.
III. El promedio aproximado a la centésima es
21,05.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III .
D. Solo I y II.
E. I, II y III.
9 ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
A. P
30
= D
3
B. Q
2
= D
5
C. D
7
= P
70
D. Q
3
= D
3
E. Q
1
= P
25
Con la siguiente tabla responde la pregunta 10.
Resultados ensayo PSU
10 ¿Qué representa el percentil 45?
A. 45% obtuvo entre 580 y 600.
B. 45% obtuvo más de 606,31.
C. 45% obtuvo menos de 614,09.
D. 45% obtuvo menos de 624,09.
E. 45% obtuvo menos de 611,04.
11 Si B = {p ∈ / –3 ≤ p <10}, ¿cuántas muestras
de tamaño 3 sin reposición pueden obtenerse?
A. 720
B. 810
C. 1.336
D. 1.504
E. 1.720
12 ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones
es(son) VERDADERA(S)?
I. En una población de tamaño fi nito SIEMPRE
es posible obtener una muestra.
II. La media aritmética de una población de
tamaño fi nito es igual a la media aritmética
de una muestra de esta.
III. De un conjunto de 10 elementos se pueden
obtener 90 muestras de tamaño 2 sin
reposición.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y III.
E. Solo II y III.
65Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
13 ¿Qué representa que un estudiante haya
obtenido un puntaje superior alD
8
en una
evaluación?
I. Que su puntaje es menor que Q
3
.
II. Que está dentro del 20% de los puntajes
más altos.
III. Que supera al 80% de los puntajes de los
otros estudiantes.
A. Solo I.
B. Solo I y II.
C. Solo I y III.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
14 En el experimento de lanzar dos dados de seis
caras simultáneamente, ¿cuántos elementos
tiene el espacio muestral?
A. 6
B. 12
C. 18
D. 21
E. 36
15 De los siguientes experimentos, ¿cuál NO es
aleatorio?
A. Lanzar una moneda.
B. Sa ar una arta de un naipe español.
C. Sin mirar, elegir una bolita de una tómbola.
D. Lanzar dos dados y una moneda.
E. Ninguno de los anteriores.
16 Una urna contiene cuatro bolas rojas, tres bolas
verdes, dos bolas blancas y una bola amarilla.
¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola
amarilla?
A. 0,1
B. 0,2
C. 0,5
D. 1
E. 10
17 ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta
del naipe inglés que no sea de corazones?
A.
1
4
B.
3
4
C.
3
13
D.
1
52
E.
11
52
18 La probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 3
monedas simultáneamente es:
A.
2
3
B.
2
8
C.
3
8
D.
3
16
E.
2
32
19 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar
utilizando los dígitos 5, 6, 7 y 8?
A. 4
B. 8
C. 16
D. 64
E. 256
20 ¿Cuántos números impares de 5 cifras se
pueden formar con los dígitos del 0 al 9 sin que
estos se repitan?
A. 15.120
B. 22.680
C. 29.160
D. 52.448
E. 59.049
66 Unidad 8 Estadística y probabilidad
21 El valor de la expresión
8!
5!
es:
A. 15
B. 48
C. 56
D. 336
E. 1.680
22 ¿Cuántas palabras de 10 letras distintas con o
sin sentido pueden formarse con las letras de la
palabra MATEMATICA?
A. 40.320
B. 151.200
C. 302.400
D. 362.880
E. 3.628.800
23 ¿Cuál es el valor de C +P
3
6
3
6
?
A. 20
B. 120
C. 140
D. 924
E. Ninguna de las anteriores.
24 Si se elige al azar un número de 5 cifras, ¿cuál
es la probabilidad de escoger un número par?
A. 0,1
B. 0,4
C. 0,5
D. 0,6
E. Ninguna de las anteriores.
25 Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 bolas
rojas. Si se agregan 9 bolas blancas, ¿cuál es la
probabilidad de extraer una roja?
A.
3
14
B.
2
11
C.
3
11
D.
5
14
E. Ninguna de las anteriores.
26 La probabilidad de que al escoger un número de
2 cifras sea primo y que termine en 2 es:
A. 0
B. 0,5
C. 0,11
D. 0,01
E. 0,01
27 Un dado se lanza en forma consecutiva 3 veces,
¿cuál es la probabilidad de que en el primer
lanzamiento se obtengan 5 puntos?
A.
1
66
B.
6
5
C.
1
36
D.
216
5
E.
216
1
28 ¿Cuál es la expresión que representa
(n+ 1)!
(n+3)!
?
A
(n+3)
1
B.
1
(n+2)!
C.
1
n(n+1)
D.
1
(n+1)(n+2)
E.
1
(n++2)(n+3)
67Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve.
1. Un juego de dominó tiene 28 fi has. Si se extrae una fi ha al azar, ¿ uál es la probabilidad de que la
suma de sus puntos sea un número impar?
2. El polígono de fre uen ias que se muestra a ontinua ión representa la antidad de dinero ahorrado
durante el año por estudiantes de un primero medio en distintas a tividades realizadas.
a. Determina las medidas de tenden ia entral aso iadas al gráfi o.
b. Construye el polígono de fre uen ias a umulada.
Pesos
7
5
2
145.900 150.000 145.100 162.300
Frecuencia
Dinero ahorrado
68 Unidad 8 Estadística y probabilidad
Una té ni a que fa ilita la reten ión de lo estudiado para después realizar un repaso efi iente es el uadro
sinópti o. Se trata de un resumen esquematizado, uya ventaja es permitir que el ontenido se visuali e de
manera estru turada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Interpretación de gráfi cos.
Tablas de frecuencias.
Representación de datos.
Medidas de tendencia central.
Medidas de posición.
Azar y experimentos aleatorios.
Regla de Laplace.
Permutación y combinatoria.
ontenido Procedimiento o defi nición Ejemplo
69Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes laras las ideas prin ipales, elabora un mapa on eptual que te permita rela ionar algunos
on eptos lave trabajados en la unidad.
Conceptos clave Gráfi os de fre uen ias En uestas Tablas de fre uen ias
Mediana Moda Promedio
Per entil Quintil Permuta ión
Experimentos aleatorios Probabilidad
Combinatoria Regla de Lapla e
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te
seguirán siendo útiles.
Herramientas
El número de permutaciones de
un subconjunto de r elementos
de un conjunto de n elementos
está dado por:
P =
n!
(n–r)!
r
n
P =
n
P =
El número de combinaciones
que pueden formarse de k
elementos a partir de un
conjunto de n elementos está
dado por:
C =
n
k
=
n!
k!(n–k
k
C =
k
C =
n
C =
n
C =
)!))!)
n k; ≥n k≥n k
Regla de Laplace.
P =
Número de asos favorables
Número
(AP =(AP =)P =)P =
dedded asosposibles
0 P 1(A) 0 P 0 P(A (A) )
Percentiles k de N datos.
P
k
P
k
P =L
i
+
k N
100
–F
i–
–F
i–
–F
1
f
i
f
i
f
k N k N
a
i
Moda entre datos agrupados
por intervalos:
Mo =Li
+a
D
1
D
1
+D
2
Mediana para datos agrupados
por intervalos:
Me =li–1
+ 2
–F
i–
–F
i–
–F
1
f
i
f
i
f
a
i
n
70 Unidad 8 Estadística y probabilidad
Cerrar sesión
Nivel de logro
13
15
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido.
¿Qué ontenidos podrías enseñarle a una ompañera o ompañero que no los haya entendido?
¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
¿Qué alifi a ión te pondrías de a uerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
71Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo