LA HIPERBOLA TEORIA

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INTEGRANTES: 
 Jean Carlos De la Cruz Sullca sección C 
 Mauricio Guzman Neyra sección A 
 Juan Luis Llanos sección A 
 Aldair Josehp De la Cruz sección A 
 
LA HIPÉRBOLA 
DEFINICIÓN: Una Hipérbola 𝐻 está formada por el conjunto de puntos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2, tal que: 
|‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖| = 2𝑎 
Donde 𝐹1 y 𝐹2 son diferentes puntos fijos llamados focos y además: ‖𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐. 
Veamos el siguiente gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴1: 𝑦
′ =
𝑏
𝑎
𝑥′ 
𝐴2: 𝑦
′ = −
𝑏
𝑎
𝑥′ 
 
 
Y 
X 
Y 
X 
Los elementos de la Hipérbola 
𝑉1, 𝑉2: Vértices del eje transverso (‖𝑉1𝑉2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑎) 
𝐵1, 𝐵2: Vértices del eje conjugado (‖𝐵1𝐵2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅‖ = 2𝑏) 
𝐹1, 𝐹2: Focos de la Hipérbola (‖𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐) 
𝐿1𝑅1̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐿2𝑅2̅̅ ̅̅ ̅̅ : Lados rectos de la hipérbola (‖𝐿1𝑅1̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = ‖𝐿2𝑅2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ =
2𝑏2
𝑎
) 
𝐷1, 𝐷2: Directrices de la hipérbola (𝑑(𝐶, 𝐷1) = 𝑑(𝐶, 𝐷2) =
𝑎
𝑒
) 
𝐴1, 𝐴2: Asíntotas de la hipérbola (𝐴1 : 𝑦
′ =
𝑏
𝑎
𝑥′ 𝑦 𝐴2 : 𝑦
′ = −
𝑏
𝑎
𝑥′ ) 
𝑋′: Eje focal de la hipérbola. 
𝑒 =
𝑐
𝑎
 : Excentricidad de la hipérbola (𝑒 > 1) 
RELACIÓN: Del gráfico observamos que: 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
Si la relación 𝑎 = 𝑏, la hipérbola se denomina hipérbola equilátero. 
En este caso: 𝑐 = 𝑎√2 
La excentricidad de la hipérbola equilátera es 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
𝑎√2
𝑎
= √2 
ASINTOTAS DE LA HIPÉRBOLA 
Las asíntotas de la hipérbola pueden hallarse fácilmente igualando la ecuación de la hipérbola. 
𝐻: 
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′
2
𝑏2
= 1 a cero, es decir: 
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′
2
𝑏2
= 0 entonces: 𝑦′ = 
+
−
𝑏
𝑎
𝑥′, de donde: 
𝐴1 : 𝑦
′ = 
𝑏
𝑎
𝑥′ , 𝐴2 : 𝑦
′ = −
𝑏
𝑎
𝑥′ 
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA HIPÉRBOLA 
La Ecuación vectorial de la hipérbola tiene la forma: 
𝐻:𝑃 = 𝐶 + 𝑥′�⃗� + 𝑦′�⃗� 
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′
2
𝑏2
= 1⁄ 
Donde: 
𝑥′ = (𝑃 − 𝐶). �⃗� 
𝑦′ = (𝑃 − 𝐶). �⃗� 
 
 
ECUACIÓN CARTESIANA DE LA HIPÉRBOLA 
La ecuación de una hipérbola toma su forma más simple cuando su centro está en el origen de 
coordenadas y su eje focal coincide con uno de los ejes coordenados. 
Primer caso: Consideremos que el centro de la hipérbola es 𝐶 = (0,0) y que su eje focal sea el eje 
X. 
 
Por definición de la hipérbola: 
|‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖| = 2𝑎 
Del gráfico tenemos: 
|√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2| = 2𝑎 
|√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2|
2
= (2𝑎)2 
(√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 = 4𝑎2 
(√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2 − √(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦4 + (√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 = 4𝑎2 
𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 − 2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4 + 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 
2𝑥2 + 2𝑐2 + 2𝑦2 − 4𝑎2 = 2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4 
2(𝑥2 + 𝑐2 + 𝑦2 − 2𝑎2) = 2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4 
(𝑥2 + 𝑐2 + 𝑦2 − 2𝑎2)2 = (2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4)
2
 
(𝑥2 + 𝑐2)2 + 2(𝑥2 + 𝑐2)(𝑦2 − 2𝑎2) + (𝑦2 − 2𝑎2)2 = 𝑥4 − 2𝑐2𝑥2 + 𝑐4 + 2𝑥2𝑦2 + 2𝑐2𝑦2 + 𝑦4 
𝑥4 + 2𝑐2𝑥2 + 𝑐4 + 2𝑥2𝑦2 − 4𝑎2𝑥2 + 2𝑐2𝑦2 − 4𝑎2𝑐2 + 𝑦4 − 4𝑎2𝑦2 + 4𝑎4 
= 𝑥4 − 2𝑐2𝑥2 + 𝑐4 + 2𝑥2𝑦2 − 4𝑎2𝑥2 + 2𝑐2𝑦2 + 𝑦4 
4𝑐2𝑥2 − 4𝑎2𝑥2 − 4𝑎2𝑦2 = 4𝑎2𝑐2 − 4𝑎4 
4(𝑐2𝑥2 − 𝑎2𝑥2 − 𝑎2𝑦2) = 4(𝑎2𝑐2 − 𝑎4) 
(𝑐2 − 𝑎2)𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2)(𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2) 
𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 
Dividiendo toda la expresión entre 𝑎2𝑏2 tenemos: 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 (Ecuación de la hipérbola) 
SEGUNDO CASO: Consideremos que el centro de la hipérbola es 𝐶 = (0,0) y que su eje focal es el 
eje 𝑌. 
 
La ecuación de esta hipérbola es: 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 (La demostración queda como ejercicio). 
CASOS PARTICULARES 
CASO 1: Ecuación de la hipérbola con centro 𝐶 = (ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑋. 
La ecuación de la hipérbola en el sistema 𝑥′𝑦′ es: 
 
 
 
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′2
𝑏2
= 1…………………………….(𝐼) 
Pero por traslación de ejes: 
 {
𝑥 = 𝑥′ + ℎ → 𝑥′ = 𝑥 − ℎ
𝑦 = 𝑦′ + 𝑘 → 𝑦′ = 𝑦 − ℎ
}………… (𝐼𝐼) 
Reemplazando (𝐼𝐼) en (𝐼): 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
CASO 2: Ecuación de la hipérbola con centro 𝐶 = (ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑌. 
La ecuación de la hipérbola es: 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HIPERBOLAS CONJUGADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando las hipérbolas 𝐻1 y 𝐻2 tienen las mismas asíntotas (𝐴1 y 𝐴2) y tienen intercambiadas el 
eje transverso y el eje conjugado, entonces las hipérbolas se llaman conjugadas. Las ecuaciones: 
𝐻1 : 
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′
2
𝑏2
= 1 y 𝐻2 : 
𝑦′2
𝑏2
−
𝑥′
2
𝑎2
= 1 
Corresponden a un par de hipérbolas conjugadas. 
 
 
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA EN EL PUNTO 𝑃0 = (𝑋0, 𝑌0) 
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥0𝑥
𝑎2
−
𝑦0𝑦
𝑏2
= 1 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
𝑦0𝑦
𝑎2
−
𝑥0𝑥
𝑏2
= 1 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
(𝑥0 − ℎ)(𝑥 − ℎ)
𝑎2
−
(𝑦0 − ℎ)(𝑦 − ℎ)
𝑏2
= 1 
 
(𝑦 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑥 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
(𝑦0 − ℎ)(𝑦 − ℎ)
𝑎2
−
(𝑥0 − ℎ)(𝑥 − ℎ)
𝑏2
= 1 
 
 
 
Y 
X 
PROPIEDADES 
PROPIEDADES 1: 
La recta tangente 𝐿𝑇 en cualquier punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0) es bisectriz del ángulo formado por los radios 
vectores (o vectores focales) de dicho punto de la hipérbola. 
 
PROPIEDAD 2: 
 
 
 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
PROPIEDAD 3: 
 
 
 
⇒ 𝑇 es punto medio de 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ 
⇒ área ∆𝐹0𝑅𝑄 = 𝑎𝑏 
𝐿𝑇:
𝑥𝑥0
𝑎2
−
𝑦𝑦0
𝑏2
= 1 
PROPIEDAD 4: 
⇒ d(𝐹1, 𝐴1) = d(𝐹2, 𝐴1) = b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴2 
𝐴1 
𝐴𝑇 
PROPIEDAD 5: 
 
⇒ ‖𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ‖‖𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ‖ =
𝑏2
𝑒2
 
 
PROPIEDAD 6: 
 
 
→ ‖(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )‖‖(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )‖ = 𝑏2 
 
 
 
 
PROPIEDAD 7: 
 
 
 
 
→ ‖𝐿1𝑅1‖ = ‖𝐿2𝑅2‖ =
2𝑏2
𝑎
(lado recto) 
→ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑒 =
𝑐
𝑎
 
 
𝐴2 
𝐴1 
B 
C 
𝑅2 
PROPIEDAD 8: 
 
 → d(𝐹1, 𝐿𝑇). d(𝐹2, 𝐿𝑇) = 𝑏
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 1 
Sea H es una hipérbola con focos 𝐹1 y 𝐹2, 𝐶𝑂𝑀𝑃(1,0)𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ > 0 y excentricidad 𝑒 = 2. 
La recta 𝐿: 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 es tangente a 𝐻 en el punto 𝑃 e intersecta el eje focal de 𝐻 en el punto 
𝑀 = (
13
2
, −
1
2
) , |𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅| = 3√10 , |𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅||𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ | = 75. Hallar la ecuación vectorial de 𝐻. 
Solución: 
 
 
 
Por propiedad de hipérbola, L es bisectriz del ángulo 𝐹1𝑃𝐹2. 
⇒ 
‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖
‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖
= 
‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖
‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖
⇒ ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ =
5√10
2
 
Por definición de hipérbola: 
 ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ = 2𝑎 ( del gráfico ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ > ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖) 
Además: ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ + ‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐 
Por dato: 
 𝑒 = 
‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖+‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖
‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖−‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖
= 2 
Operando: ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ = 5√10 y ‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ =
3√10
2
 
Propiedad de la bisectriz interior: 
‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖2 = ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ 
‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖ =
15
√2
 
Calculando en ángulo 𝜃. 
‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖
2 = ‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖2 + ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖
2 − 2‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2
√5
 
Hallando 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅: 
tan 𝜃 = 
−1 − 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅
1 − 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅
=
1
2
 
−2 − 2𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ = 1 − 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ 
𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ = −3 
 ⇒ 𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗//(−1,3) 
Se tiene: 
𝑃 = 𝑀 +
15
√2
(1,−1)
√2
= (
13
2
,−
1
2
) + (
15
2
,−
15
2
) = (14,−8) 
Además: 
𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖�⃗� 𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3√10
(−1,3)
√10
 
𝐹2 = 𝑃 + (3,−9) = (14,−8) + (−3,9) = (11,1) 
Además: 
tan 𝜃 = 
1 + 𝑚𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅
1 − 𝑚𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅
=
1
2
 
𝑚𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ = −
1
3
 ⇒ �⃗� 𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
(−3,1)
√10
 
Luego: 
𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖�⃗� 𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐹1 = 𝑃 + 5√10
(−3,1)
√10
 
𝐹1 = (14,−8) + (−15,5) 
𝐹1 = (−1,−5) 
Entonces: 
 𝐹0 =
𝐹1+𝐹2
2
=
(−1,−3)+(11,1)
2
= (5,−1) (centro de la hipérbola) 
Además: ‖𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐 = 4√10 
𝑐 = 2√10 
𝑐2 = 40 
Por la definición de la hipérbola: 
‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ = 2𝑎 
2𝑎 = 2√10 → 𝑎 = √10 → 𝑎2 = 10 
Luego: 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 40 − 10 = 30 
𝐹1𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹2 − 𝐹1 = (11,1) − (−1,−3) = (12,4) = 4(3,1) 
�⃗� 𝑥′ =
(3,1)
√10
 ⇒ �⃗� ⊥ =
(−1,3)
√10
 
La ecuación de la hipérbola es: 
𝐻: {𝑃 = (5,−1) + 𝑥′
(3,1)
√10
+ 𝑦′
(−1,3)
√10
 / 
𝑥′
2
10
−
𝑦′
2
30
= 1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 
𝐻 es una hipérbola con focos 𝐹1 y 𝐹2 un punto de 𝑋
+. 𝐿 = {(3,0) + 𝑡(−1,9)} es una recta 
tangente a 𝐻 en el punto 𝑇.( 𝑇 ∈ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒), 𝐿 corta a una asíntota 𝐿1 en 𝑀 y al eje 
conjugado en 𝑁 que es un punto del cuarto cuadrante 𝐹2𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = (−3,9), 𝐹1𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = √82 . Si el centro 
de 𝐻 es un punto de 𝑌− y su distancia al eje 𝑋 es mayor que 4. Hallar la ecuación vectorial de 𝐻. 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑀 − 𝐹2 = (2,9) − (5,0) = (−3,9) 
𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (−3,9) 
𝑀 ∈ 𝐿 ∶ 𝑀 = (3 − 𝑡, 9𝑡) 
𝐹2 = (𝑓2, 0) 
𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (−3,9) 
𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑀 − 𝐹2 = (3 − 𝑡, 9𝑡) − (𝑓2, 0) 
𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (3 − 𝑡 − 𝑓2, 9𝑡) = (−3,9) 
9𝑡 = 9 ⇒ 𝑡 = 1 
3 − 1 − 𝑓2 = −3 
2 − 𝑓2 = −3 ⇒ 𝑓2 = 5 
⇒ 𝐹2 = (5,0) 𝑦 𝑀 = (2,9) 
Por otro lado: 
|𝐹1𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = |𝐹2𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 
Como 𝑁 ∈ 𝐿, entonces: 
𝑁 = (3 − 𝛾, 9𝛾) 
Ahora: 
𝐹2𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−2 − 𝛾, 9𝛾) 
Pero: 
‖𝐹2𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = √82 → 𝛾 = 1 ∴ 𝑁 = (−4,−9) 
Tenemos: 
𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑦 𝐹0𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
⊥ son paralelos 
→ (5, −𝐹) = 𝑟(9 + 𝑓, 4) 
 De donde 𝑓 = −5 ∴ 𝐹0 = (0,−5) 
Además: 
𝐿, 𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑦 (1,1) son paralelos, y 𝑙𝐹 , 𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑦 (1,1) son paralelos 
Luego, por propiedad de 𝐻(∗): 
𝑡𝑔 𝛼 = 
(7) − (1)
1 + (7)(1)
=
3
4
=
𝑏
𝑎
⋯(1) 
Pero: 
 |𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = 𝑐 = 5√2 y 𝑐
2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⋯(2) 
(1) 𝑒𝑛 (2): 
 ∴ 𝑎 = 4√2 y 𝑏 = 3√2 
Entonces: 
𝐻: {𝑃 = (0,−5) + 𝑥′
(1,1)
√2
+ 𝑦′
(−1,1)
√2
𝑥′2
32
−
𝑦′
2
18
= 1⁄ }