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CÁLCULO I
José Luis Quintero
Serie Cálculo Diferencial e Integral
ISBN 980-00-0725-3
Primera edición: Marzo 2019
i
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
1.1. Valor absoluto
1.1.1. Definición
1.1.2. Propiedades de interés
1.1.3. Problemas propuestos
1.2. Distancia, punto medio y área
1.2.1. Distancia entre dos puntos
1.2.2. Punto medio
1.2.3. Área de un triángulo
1.2.4. Problemas propuestos
1.3. Lugar geométrico y recta
1.3.1. Lugar geométrico
1.3.2. Recta
1.3.3. Formas de la ecuación de la recta
1.3.3.1. Conocidos un punto y su pendiente
1.3.3.2. Conocidos dos puntos
1.3.3.3. Ecuación simétrica o canónica
1.3.3.4. Ecuación general
1.3.4. Problemas propuestos
1.4. Posiciones relativas entre dos rectas
1.4.1. Paralelismo
1.4.2. Perpendicularidad
1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes
1.4.4. Problemas propuestos
1.5. Distancias
1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas
1.5.2. Problemas propuestos
1.6. Ecuaciones de segundo grado
1.6.1. Secciones cónicas
1.6.2. Ecuación general
1.7. Circunferencia
1.7.1. Definición
1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia
1.7.2.1. Conocidos centro y radio
1.7.2.2. Ecuación general
1
1
1
2
5
5
6
6
7
8
8
9
9
9
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11
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15
16
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17
17
17
17
18
18
18
Cálculo I – José Luis Quintero
ii
1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia
1.7.4. Problemas propuestos
1.8. Elipse
1.8.1. Definición
1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse
1.8.2.1. Ecuación canónica
1.8.2.2. Ecuación general
1.8.3. Problemas propuestos
1.9. Hipérbola
1.9.1. Definición
1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola
1.9.2.1. Ecuación canónica
1.9.2.2. Ecuación general
1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular
1.9.4. Hipérbolas conjugadas
1.9.5. Asíntotas de la hipérbola
1.9.6. Problemas propuestos
1.10. Parábola
1.10.1. Definición
1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola
1.10.2.1. Ecuación canónica
1.10.2.2. Ecuación general
1.10.3. Problemas propuestos
1.11. Misceláneos
1.11.1. Motivación
1.11.2. Problemas propuestos
1.11.3. Problemas propuestos
Capítulo 2. Funciones reales de variable real
2.1. Función
2.1.1. Definición
2.1.2. Igualdad de funciones
2.1.3. Álgebra de funciones
2.1.4. Problemas propuestos
2.2. Simetría y periodicidad
2.2.1. Dominio simétrico respecto del origen
2.2.2. Función par y función impar medio
2.2.3. Periodicidad
2.2.4. Problemas propuestos
2.3. Composición de funciones
2.3.1. Definición
2.3.2. Dominio de la composición
2.4. Inyectividad y función inversa
2.4.1. Crecimiento y decrecimiento
2.4.2. Función inyectiva
2.4.3. Función inversa
19
20
21
21
22
22
25
26
27
27
27
27
30
31
31
32
32
34
34
34
34
37
38
39
39
39
40
43
43
44
44
44
48
48
48
48
49
50
50
50
51
51
51
51
Índice
iii
2.4.4. Problemas propuestos
2.5. Gráfico de funciones
2.5.1. Movimientos en el plano
2.5.2. Problemas propuestos
Capítulo 3. Límites y continuidad
3.1. Límite de una función
3.1.1. Definición
3.2. Teoremas de límites
3.3. Límites laterales
3.4. Límites infinitos
3.5. Límites al infinito
3.6. Indeterminaciones
3.7. Teorema del sándwich
3.8. Límites notables
3.9. Continuidad
3.10. Teorema
3.11. Límite de la función compuesta
3.12. Teorema del valor intermedio
3.13. Corolario
3.14. Problemas propuestos
Capítulo 4. La derivada de una función
4.1. Definición
4.2. Notaciones
4.3. Álgebra de derivadas
4.4. Regla de la cadena
4.5. Derivación implícita
4.6. Derivadas de orden superior
4.7. Derivación paramétrica
4.8. Problemas propuestos
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
5.1. Regla de L’Hospital
5.2. Definiciones
5.3. Número crítico y valor crítico
5.4. Teoremas de interés
5.5. Criterio de la primera derivada (crecimiento y decrecimiento)
5.6. Criterio de la primera derivada (máximos y mínimos)
5.7. Concavidad y punto de inflexión
5.8. Criterio de la segunda derivada (concavidad)
5.9. Criterio de la segunda derivada (máximos y mínimos)
5.10. Asíntotas al gráfico de una función
5.11. Trazado de curvas
5.12. Problemas de cambios relacionados
5.13. Problemas de optimización
52
54
54
54
57
57
58
58
59
61
62
62
62
63
63
64
64
64
65
83
84
84
84
85
85
85
86
95
96
96
97
97
97
98
98
99
99
100
100
100
Cálculo I – José Luis Quintero
ii
5.14. Problemas propuestos
1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes
1.4.4. Problemas propuestos
1.5. Distancias
1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas
1.5.2. Problemas propuestos
1.6. Ecuaciones de segundo grado
1.6.1. Secciones cónicas
1.6.2. Ecuación general
1.7. Circunferencia
1.7.1. Definición
1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia
1.7.2.1. Conocidos centro y radio
1.7.2.2. Ecuación general
1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia
1.7.4. Problemas propuestos
1.8. Elipse
1.8.1. Definición
1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse
1.8.2.1. Ecuación canónica
1.8.2.2. Ecuación general
1.8.3. Problemas propuestos
1.9. Hipérbola
1.9.1. Definición
1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola
1.9.2.1. Ecuación canónica
1.9.2.2. Ecuación general
1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular
1.9.4. Hipérbolas conjugadas
1.9.5. Asíntotas de la hipérbola
1.9.6. Problemas propuestos
1.10. Parábola
1.10.1. Definición
1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola
1.10.2.1. Ecuación canónica
1.10.2.2. Ecuación general
101
00
00
00
00
00
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00
1
CAPÍTULO 1
NÚMEROS REALES Y
GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.1. Valor absoluto
1.1.1. Definición.
x si x 0
x
x si x 0
≥
= − <
1.1.2. Propiedades de interés.
a. x 0≥
b. 2 2x x=
c. x x= −
d. xy x y=
Cálculo I – José Luis Quintero
2
e. = ≥ x y x y (y 0)
f. x a a x a (a 0)≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥
g. x a x a ó x a (a 0)≥ ⇔ ≥ ≤ − ≥
h. 2x x=
1.1.3. Problemas propuestos.
1.1.3.1. Resuelva las siguientes inecuaciones.
a. 2x 1 0+ >
b. 3x 2 7− ≤
c. 4 3x 0− >
d. 5x 3 2x 1+ < −
e. 5(x 2) 3(x 5)− < +
f. 3x 1 2x 3− < −
g. 2x 5 3(x 5)+ < +
h. 3 2(2x 1) (5 x) x 15+ − − − ≤ −
i. 3(1 x)3x 1 x
2 5 10
2x
−− + ≤ +
j. 2x 1
x 1
1−
+ <
k. x 2
x 6
2−
− <
l. 2x 9
3x 7
2 0+
++ <
1
2
Rta. ( , )− +∞
Rta. ( ,3]−∞
4
3
Rta. ( , )−∞
4
3
Rta. ( , )−∞−
25
2
Rta. ( , ]−∞
Rta. ( , 2)−∞ −
Rta. ( 10, )− +∞
11
4
Rta. ( , ]−∞ −
Rta. ( , )−∞ +∞
Rta. ( 1,2)−
Rta. ( ,6) (10, )−∞ ∪ +∞
23 7
8 3
Rta. ( , )− −
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
3
m. x 1
2x 6
4 0−
+− > 25
7
Rta. ( , ) ( 3, )−∞ − ∪ − +∞
1.1.3.2. Resuelva las siguientes inecuaciones.
a. 2x 9 0− <
b. 2x 9 0− ≥
c. 2x 9 0+ ≥
d. 2x 9 0+ ≤
e. 24 x 0− ≥
f. (x 4)(6 x) 0+ − <
g. 26x x 9+ > −
h. 22x 3x 6 0− + >
i. 24(x 3) 4+ ≥
j. 2x x 0+ >
k. 22x 3x 5 0+ − ≥
l. 2(2x 5) 9 0+ − <
m. 2x x 3 2+ + <
n. 2x 12x 35+ > −
o. 5
x
x 4− <
p. x 2 x
x 5 x 3
+
− +≤
Rta. ( 3,3)−
Rta. ( ,3] [3, )−∞ ∪ +∞
Rta. ( , )−∞ +∞
Rta. ∅
Rta. [ 2,2]−
Rta. ( , 4) (6, )−∞ − ∪ +∞
Rta. ( , 3) ( 3, )−∞ − ∪ − +∞
Rta. ( , )−∞ +∞
Rta. ( , 4] [ 2, )−∞ − ∪ − +∞
Rta. ( , 1) (0, )−∞ − ∪ +∞
5
2
Rta. ( , ] [1, )−∞ − ∪ +∞
Rta. ( 4, 1)− −
Rta. ∅
Rta. ( , 7) ( 5, )−∞ − ∪ − +∞
Rta. ( , 1) (0,5)−∞ − ∪
3
5
Rta. ( , 3) [ ,5)−∞ − ∪ −
Cálculo I – José Luis Quintero
4
q. x 1 2 3 3x 1
x 5 4 4x
− +
− ≥ −
r.
2x 4
2x 4
0−
+
<
s.
2x 4x 5
22x 1
1+ −
+
>
5
4
Rta. ( , 1] (0, ] (5, )−∞ − ∪ ∪ +∞
Rta. ( 2,2)−
Rta. ∅
1.1.3.3. Resuelva las siguientes inecuaciones.
a. x 4 1− <
b. x 5 2+ ≥
c. 2x 1 5+ >
d. 1
2
0 x 5< − <
e. 1 x 4≤ ≤
f. 3 2x
2 x
4−
+ ≤
g. 6 5x 1
3 x 2
−
+ ≥
h.
2x 3x 4
x 2
2+ +
+ <
i. 3 5x 5 3x− ≤ −
j. x 1 1
x 3 x
+
+ ≥
k. x
x
1≥ −
l. x 2
x
0
− ≤
Rta. (3,5)
Rta. ( , 7] [ 3, )−∞ − ∪ − +∞
Rta. ( , 3) (2, )−∞ − ∪ +∞
{ } 9 11
2 2
Rta. ( , ) 5−
Rta. [ 4, 1] [1,4]− − ∪
511
2 6
Rta. ( , ] [ , )−∞ − ∪ − +∞
9 5
11 3
Rta. ( , 3) ( 3, ] [ , )−∞ − ∪ − ∪ +∞
Rta. ( 1,0)−
Rta. [ 1,1]−
Rta. ( ,0) [ 3, ]−∞ ∪ +∞
{ } Rta. R 0−
{ } Rta. ( ,0) 2−∞ ∪
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
5
m. 2x x x 3− < +
n. x 4 2x 6+ ≤ −
o. x x 1> −
p. 3x 6 4x 3− ≤ +
q. 2x 2x 4 4− − >
r.
2x x 1
5x 1
0
+ +
− <
s.
22x 4x 2
2x x 2
1− − −
+ −
≤
t. 2x 4 x 1 4+ − − ≤
u. x 3 2 x 5− + <
v. 1 2x 2 x− ≤ +
w. x x 1 2+ − <
x. x 1 x 2 2x 9− > − + −
y. +
+ − ≤2x 3x 1
x 1 2x 2
Rta. ( 1,3)−
2
3
Rta. ( , ] [10, )−∞ ∪ +∞
1
2
Rta. ( , )+∞
3
7
Rta. ( , 9] [ , )−∞ − ∪ +∞
Rta. ( , 2) (0,2) (4, )−∞ − ∪ ∪ +∞
1
5
Rta. ( , )−∞
5
3
Rta. [ ,0]−
1
3
Rta. [ 9, ]−
2
3
Rta. ( ,2)−
Rta. [ 1,3]−
3
2
Rta. ( , )−∞
Rta. (4,5)
− − ∪ +∞ 1 1 1
2 5 3
Rta. [ , ] [ , )
Cálculo I – José Luis Quintero
6
1.2. Distancia, punto medio y área
1.2.1. Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos 1 1 1P (x ,y ) y 2 2 2P (x ,y ) está
dada por la fórmula
2 2
1 2 1 2 1 2d(P ,P ) (x x ) (y y )= − + −
1.2.2. Punto medio.
Dado un segmento de extremos 1 1 1P (x ,y ) y 2 2 2P (x ,y ), se
define su punto medio 1 2PM(P ,P ) como aquel punto del
segmento que equidista de sus extremos. Se calcula como
1 2 1 2
1 2
x x y y
PM(P ,P ) ,
2 2
+ + =
.
1.2.3. Área de un triángulo.
El área de un triángulo que tiene por vértices los
puntos 1 1(x , y ); 2 2(x , y ) y 3 3(x , y ) es
=
1 1
2 2
3 3
x y 1
1
A x y 1
2
x y 1
debiendo tomarse el valor absoluto del determinante.
Observación. Una condición necesaria y suficiente para que
tres puntos diferentes de coordenadas 1 1(x , y ); 2 2(x , y ) y
3 3(x , y ) sean colineales es que
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
7
=
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1 0
x y 1
1.2.4. Problemas propuestos.
1.2.4.1. Calcule la distancia entre los puntos (5,-3) y (-2,7).
Rta. 149
1.2.4.2. Un cuadrado de lado igual a 2a, tiene su centro en el
origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Halle
las coordenadas de sus cuatro vértices.
Rta. (a,a); (-a,a); (-a,-a); (a,-a)
1.2.4.3. Los vértices de un triángulo rectángulo son los
puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determine las longitudes de los
catetos y después calcule el área del triángulo y la longitud de
la hipotenusa. Rta. 6, 5
1.2.4.4. Halle la distancia del origen al punto (a,b).
Rta. 2 2a b+
1.2.4.5. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los
puntos (-1,1) y (3,1) Halle las coordenadas del tercer vértice.
Rta. (1,1 2 3); (1,1 2 3)+ −
1.2.4.6. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son
(-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). Rta. 20.26
1.2.4.7. Demuestre que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son
los vértices de un triángulo isósceles.
1.2.4.8. Demuestre que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los
vértices de un triángulo rectángulo y halle su área. Rta. 34
Cálculo I – José Luis Quintero
8
1.2.4.9. Demuestre que los tres puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1)
son colineales, es decir, que están sobre una misma línea
recta.
1.2.4.10. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,2), (4,-2)
son los vértices de un cuadrado.
1.2.4.11. Uno de los puntos extremos de un segmento es el
punto (7,8) y su punto medio es (4,3). Halle el otro extremo.
Rta. (1,-2)
1.3. Lugar geométrico y recta
1.3.1. Lugar geométrico.
Suponga que se da una ecuación de dos variables, x,
y, que se puede escribir, brevemente, en la forma f(x, y) 0= .
En general, hay un número infinito de pares de valores (x,y)
que satisfacen la ecuación f(x, y) 0= . Este convenio es la
base de la siguiente definición:
El conjunto de los puntos que satisfagan una ecuación
f(x, y) 0= , se llama gráfica de la ecuación o, bien, su lugar
geométrico.
Una observación importante está dada como sigue
Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación
f(x, y) 0= pertenece a la gráfica de la ecuación.
Para una curva, dar la condición que deben cumplir
sus puntos es dar una ley a la cual deben obedecer los
puntos de la curva. Esto significa que todo punto de la curva
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
9
debe satisfacer la ley particular de la curva. De acuerdo con
esto se define frecuentemente una curva como
El lugar geométrico descrito por un punto que se mueve
siguiendo una ley especificada.
1.3.2. Recta.
Es el lugar geométrico de los puntostales que tomados dos
puntos diferentes cualesquiera A AA(x ,y ) y B BB(x ,y ) del lugar,
el valor de la pendiente m resulta siempre constante.
De lo anterior vale formular el concepto de pendiente
como sigue:
Es la tangente del ángulo de inclinación. Se denota por
m tg( )= α .
De lo anterior vale formular el concepto de ángulo de
inclinación como sigue:
Es el ángulo entre la parte positiva del eje x o eje de las
abscisas y la recta, medido en sentido antihorario.
1.3.3. Formas de la ecuación de la recta.
1.3.3.1. Conocidos un punto y su pendiente.
Sean 1 1P(x , y ) y Q(x,y) cualquier punto sobre la recta,
se tiene entonces que
1
1
y y
m
x x
−=
− .
La expresión anterior conduce mediante despeje a la
expresión
Cálculo I – José Luis Quintero
10
1 1y y m(x x )− = −
Observaciones de interés.
• Si 1 1P(x ,y ) (0,0)= se tiene que y mx= (pasa por el
origen)
• Si 1 1P(x ,y ) (0,b)= se tiene que y mx b= +
1.3.3.2. Conocidos dos puntos.
Sean 1 1P(x , y ) y 2 2Q(x ,y ) se tiene entonces que
2 1
1 1 1 2
2 1
y y
y y (x x ), x x
x x
−− = − ≠
−
.
Observaciones de interés.
• Si 1 2y y= se tiene que 1y y= (recta horizontal)
• Si 1 2x x= entonces 1x x= (recta vertical)
1.3.3.3. Ecuación simétrica o canónica.
Sean a 0≠ y b 0≠ los segmentos que una recta
determina sobre los ejes x e y. Entonces (a,0) y (0,b) son dos
puntos de la recta y por lo tanto el problema se reduce a
encontrar la ecuación de la recta dados dos puntos.
En tal sentido
b 0 b
y 0 (x a) y (x a) ay b(x a)
0 a a
bx ay ab
bx ay ab
ab ab ab
−− = − ⇒ = − − ⇒ = − −
−
⇒ + = ⇒ + =
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
11
Así, se obtiene la ecuación simétrica de la recta dada
por
x y
1
a b
+ =
1.3.3.4. Ecuación general.
Sea la ecuación de la recta dados dos puntos:
2 1
1 1 1 2
2 1
y y
y y (x x ), x x
x x
−− = − ≠
−
Despejando e igualando a cero:
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2
(x x )y (x x )y (y y )x (y y )x , x x
(y y )x (x x )y (y y )x (x x )y 0, x x
− − − = − − − ≠
− + − + − − − = ≠
Sean 1 2y y A− = , 2 1x x B− = y
2 1 1 2 1 1 1 1(y y )x (x x )y Ax By C− − − = − − = .
La ecuación resultante se llama ecuación general de la
recta y viene dada por
Ax By C 0+ + =
Cálculo I – José Luis Quintero
12
1.3.4. Problemas propuestos.
1.3.4.1. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3), (4,1). Si
un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su
ordenada? Rta. 5
1.3.4.2. Demuestre que el punto (1,-2) es colineal con los
puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista de ellos.
1.3.4.3. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto
A(1,5) y tiene de pendiente 2. Rta. 2x-y+3=0
1.3.4.4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto
A(-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45o .
Rta. x-y+3=0
1.3.4.5. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y
cuya intersección con el eje Y es –2. Rta. 3x+y+2=0
1.3.4.6. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4),
C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de sus lados.
Rta. 2x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+2y-56=0, y=0
1.3.4.7. Los segmentos que una recta determina sobre los
ejes X e Y son 2 y –3 respectivamente. Halle su ecuación.
Rta. 3x-2y-6=0
1.3.4.8. Una recta pasa por los dos puntos A(-3,-1) y B(2,-6).
Halle su ecuación en la forma simétrica. Rta. x/-4 + y/-4=1
1.3.4.9. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A(-1,4).
Hallar su ecuación en forma simétrica. Rta. x/1 + y/2 = 1
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
13
1.4. Posiciones relativas entre dos rectas
1.4.1. Paralelismo.
A continuación algunas definiciones claves sobre
paralelismo:
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen igual ángulo de
inclinación.
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen igual pendiente, o
bien ambas son paralelas al eje de las ordenadas.
1.4.2. Perpendicularidad.
A continuación algunas definiciones claves sobre
perpendicularidad:
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si forman entre ellas
ángulos de o90 .
Dos rectas de pendientes 1m y 2m son perpendicularidades si
y sólo si = −1 2m m 1, o bien una es vertical y otra horizontal.
1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes.
A continuación definiciones sobre rectas
coincidentes y rectas secantes:
Dos rectas son coincidentes si tienen un punto común y la
misma pendiente.
Dos rectas son secantes si se cortan en uno y solamente un
punto.
Cálculo I – José Luis Quintero
14
TEOREMA 1. Si las ecuaciones de dos rectas son
+ + =1 1 1A x B y C 0 y + + =2 2 2A x B y C 0 , las relaciones
siguientes son condiciones necesarias y suficientes para
• Paralelismo: − =1 2 2 1A B A B 0
• Perpendicularidad: + =1 2 1 2A A B B 0
• Coincidencia: = = = ≠ 1 2 1 2 1 2A kA , B kB , C kC (k 0)
• Intersección en uno y solamente un punto: − ≠1 2 2 1A B A B 0
1.4.4. Problemas propuestos.
1.4.4.1. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la
recta que pasa por C(-2,2) y D(3,-4). Halle su ecuación.
Rta. 6x+5y-82=0
1.4.4.2. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y
que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y-8=0
y 3x-2y+9=0. Rta. 4x+y-10=0
1.4.4.3. Halle el área del triángulo rectángulo formado por
los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x+4y+20=0.
Rta. 10
1.4.4.4. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya
pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7,-2). Calcule la
abscisa de P. Rta. 11
1.4.4.5. Halle la ecuación de la recta, que es perpendicular a
la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3).
Rta. 4x+3y+13=0
1.4.4.6. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0
sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. Rta. 4
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
15
1.4.4.7. Determine el valor de k para que la recta 4x+5y+k=0
forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de
área igual a 2.5 unidades cuadradas. Rta. ±10
1.4.4.8. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0
halle los valores de a y b para que representen rectas que
pasan por el punto (2,-3). Rta. a=4, b=7
1.4.4.9. Sea el triángulo cuyos vértices son A(-2,1),B(4,7) y
C(6,-3).
a. Halle las ecuaciones de sus lados.
Rta. x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0
b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es
paralela al lado opuesto BC. Rta. 5x+y+9=0
1.4.4.10. Determine el valor de los coeficientes A y B de la
ecuación Ax-By+4=0 de una recta, si debe pasar por los
puntos C(-3,1) y D(1,6). Rta. A=20/19, B=16/19
1.5. Distancias
1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas.
A continuación algunas definiciones y fórmulas claves
sobre distancia de un punto a una recta y sobre
distancia entre rectas paralelas:
La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta
del punto a la recta. Sean el punto 0 0P(x , y ) y la recta R de
ecuación + + =Ax By C 0 . La distancia del punto P a la recta R
se calcula través de la fórmula
+ +
=
+
0 0
2 2
Ax By C
d(P,R)
A B
Cálculo I – José Luis Quintero
16
Sean las rectas paralelas 1R de ecuación + + =1Ax By C 0 y
2R de ecuación + + =2Ax By C 0 . La distancia entre las rectas
1R y 2R se calcula través de la fórmula
−
=
+
1 2
1 2
2 2
C C
d(R ,R )
A B
1.5.2. Problemas propuestos.
1.5.2.1. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la
ecuación de una recta L es 4x+3y=12. Halle la distancia del
punto P a la recta L. Rta. 14/5
1.5.2.2. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto
P(2,-3). Rta.
33
41
41
1.5.2.3. La distancia de la recta 4x-3y+1=0 al punto P es 4.
Si la ordenada de P es 3, halle su abscisa. Rta. -3, 7
1.5.2.4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto
(3,1) y tal que la distancia de esta recta al punto (-1,1) sea
igual a 2 2 . Rta. x+y-4=0, x-y-2=0
1.5.2.5. Dibuje la región limitada por las rectas
= + = − + = − y x 1 , y x 1 , y 2x 4.
Calcule el perímetro de la frontera de la región anterior.
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
17
1.6. Ecuaciones de segundo grado
1.6.1. Secciones cónicas.
A continuación la definición de sección cónica:
Es la curva que se obtiene al intersectar un cono con un plano.
Como ejemplos de secciones cónicas se tienen la
circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.
1.6.2. Ecuación general.
Si la ecuación
+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0
representa un lugar geométrico real, éste debe ser una
sección cónica con uno de los ejes paralelos ( o coincidente)
con uno de los ejes coordenados, o bien uno de los casos
excepcionales de un punto, dos rectas coincidentes, dos
rectas paralelas o dos rectas que se cortan. Estos casos
excepcionales se llaman también formas límite de las cónicas
o cónicas degeneradas.
1.7. Circunferencia
1.7.1. Definición.
A continuación la definición de circunferencia:
Cálculo I – José Luis Quintero
18
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado centro. La distancia entre cada punto
y el centro se denomina radio.
1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia.
1.7.2.1. Conocidos centro y radio.
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia de
centro C(h,k) y radio >r 0 . Usando la fórmula de distancia
entre dos puntos se tiene
= − + − =2 2d(C,P) (x h) (y k) r
De lo anterior se genera la ecuación
− + − =2 2 2(x h) (y k) r
1.7.2.2. Ecuación general.
Desarrollando la ecuación centro radio e igualando a
cero se tiene que
− + − = ⇒ − + + − + − =2 2 2 2 2 2 2 2(x h) (y k) r x 2hx h y 2ky k r 0
Si se hacen = −D 2h , = −E 2k y = + −2 2 2F h k r se
obtiene
+ + + + =2 2x y Dx Ey F 0
Agrupando y completando cuadrados en la ecuación
anterior se tiene que
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
19
+ + + + + = + − ⇒
+ −+ + + =
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
D E D E
x Dx y Ey F
4 4 4 4
D E 4F
(x D) (y E)
4
Observaciones de interés.
• Si + − >2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior representa una
circunferencia de centro en el punto − −D E
2 2
( , ) y radio igual
a + −2 21
2
D E 4F
• Si + − =2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior representa solo un
punto de coordenadas
• Si + − <2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior no representa un
lugar geométrico
1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una
circunferencia.
Sean la recta + + =Ax By C 0 y la circunferencia
+ + + + =2 2x y Dx Ey F 0. Si se desean encontrar los puntos
comunes a ambas curvas debe plantearse el sistema
+ + =
+ + + + =
2 2
Ax By C 0
x y Dx Ey F 0
.
Si se despeja la variable y de la primera ecuación y
se sustituye en la segunda ecuación, se obtiene
+ − − + + − − + =
2
2 A C A C
x x Dx E x F 0
B B B B
Desarrollando y ordenando términos se tiene
Cálculo I – José Luis Quintero
20
+ + − + + − + =
2 2
2
2 2 2
A 2AC EA C EC
1 x D x F 0
B BB B B
De acuerdo a como sean las soluciones de la
expresión de segundo grado anterior se tiene:
• Si las dos soluciones son reales y distintas se dice que la
recta y la circunferencia se tocan en dos puntos (recta
secante).
• Si las dos soluciones son reales e iguales se dice que la
recta y la circunferencia se tocan en un solo punto (recta
tangente).
• Si las dos soluciones son imaginarias se dice que la recta y
la circunferencia no tienen ningún punto en común (recta
exterior).
1.7.4. Problemas propuestos.
1.7.4.1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia
son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Halle la ecuación de la curva.
Rta. + + − =2 2(x 1) (y 4) 10
1.7.4.2. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es
el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(2,2).
Rta. − + + =2 2(x 7) (y 6) 89
1.7.4.3. Halle la ecuación de la circunferencia de centro
C(2,-4) y que es tangente al eje Y. Rta. − + + =2 2(x 2) (y 4) 4
1.7.4.4. La ecuación de una circunferencia es
− + + =2 2(x 3) (y 4) 36. Demuestre que el punto A(2,-5) es
interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior.
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
21
1.7.4.5. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y
cuyo centro es el punto de intersección de las rectas de
ecuaciones 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0.
Rta. − + + =2 2(x 6) (y 3) 25
1.7.4.6. La ecuación de una circunferencia es
+ + − =2 2(x 2) (y 3) 5 . Halle la ecuación de la tangente a la
circunferencia que pasa por el punto (3,3).
Rta. x+2y-9=0, x-2y+3=0.
1.7.4.7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación
es + + − − =2 225x 25y30x 20y 62 0 . Rta. π2 3
1.7.4.8. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos
(0,2) y (7,3). Halle su ecuación.
Rta. − + + = − + − = 2 2 2 2(x 4) (y 1) 25 , (x 3) (y 6) 25
1.7.4.9. Determine el valor de la constante k para que la
recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la circunferencia
+ + + =2 2x y 6x 4y 0 . Rta. k= -1, 25
1.7.4.10. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a
+ =2 2x y 25 que pasan por el punto (7,-1).
1.8. Elipse
1.8.1. Definición.
A continuación la definición de elipse:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos
fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que
Cálculo I – José Luis Quintero
22
la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se
llaman focos de la elipse.
1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse.
1.8.2.1. Ecuación canónica.
Considere primero a la elipse de centro en el origen y
cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F y F’ están
sobre el eje x. Como el centro O es el punto medio del
segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán, por ejemplo,
(c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante
positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. El punto
P debe satisfacer la condición geométrica
+ =FP F 'P 2a,
en donde a es una constante positiva mayor que c.
Se sabe que
= − + = + + 2 2 2 2FP (x c) y , F 'P (x c) y
De modo que
− + + + + =2 2 2 2(x c) y (x c) y 2a
Para simplificar la ecuación anterior, se pasa el
segundo radical al segundo miembro, se eleva al cuadrado, se
simplifica y se agrupan los términos semejantes. Esto da
como resultado
+ = + +2 2 2cx a a (x c) y .
Elevando al cuadrado nuevamente, se obtiene
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
23
+ + = + + +2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2a cx a c a y ,
de donde,
− + = −2 2 2 2 2 2 2 2(a c )x a y a (a c ).
Como >2a 2c implica >2 2a c y −2 2a c es un número
positivo que puede ser reemplazado por el número positivo
2b , es decir, = −2 2 2b a c .
Si en la ecuación anterior se reemplaza −2 2a c por 2b ,
se obtiene
+ =2 2 2 2 2 2b x a y a b ,
y dividiendo por 2 2a b , se obtiene, finalmente,
+ =
2 2
2 2
x y
1.
a b
Si se considera ahora el caso en que el centro de la
elipse está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje y,
las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0,-c). En
este caso, por el mismo procedimiento empleado
anteriormente, se halla que la ecuación de la elipse es
+ =
2 2
2 2
x y
1.
b a
Ahora se considera la determinación de la ecuación de
una elipse cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes son
paralelos a los ejes coordenados. Según esto, se considera la
elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es
paralelo al eje x. Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes
mayor y menor de la elipse, respectivamente.
Cálculo I – José Luis Quintero
24
Si los ejes coordenados son trasladados de manera que
el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de la elipse, se
sigue que la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos
ejes x’ y y’ está dada por
+ =
'2 '2
2 2
x y
1.
b a
De la ecuación anterior puede deducirse la ecuación de
la elipse referida a los ejes originales x y y usando las
ecuaciones de transformación, a saber:
= + = + x x ' h , y y ' k,
de donde
= − = − x ' x h , y ' y k.
Si se sustituyen estos valores de x’ y y’, se obtiene
− −+ =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
que es la ecuación de la elipse referida a los ejes originales x
y y.
Análogamente, se puede demostrar que la elipse cuyo
centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y
tiene por ecuación
− −+ =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
b a
.
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
25
La longitud de cada lado recto en una elipse es igual a
22b a .
Un elemento importante de una elipse es su
excentricidad que se define como la razón c a y se representa
usualmente por la letra e. Como <c a , la excentricidad de
una elipse es menor que la unidad.
1.8.2.2. Ecuación general.
Considere la ecuación de la elipse en la forma
− −+ =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
.
Si se quitan denominadores, se desarrolla, se traspone
y se ordenan términos, se obtiene
+ − − + + − =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x a y 2b hx 2a ky b h a k a b 0 ,
la cual puede escribirse en la forma
+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0 ,
en donde,
= = = − = − = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A b , C a , D 2b h, E 2a k y F b h a k a b
Cálculo I – José Luis Quintero
26
1.8.3. Problemas propuestos.
1.8.3.1. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje
mayor coincide con el eje X. Halle su ecuación sabiendo que
pasa por los puntos −( 6, 1) y (2, 2). Rta. + =
22 yx
8 4
1
1.8.3.2. Halle la ecuación de la elipse cuyos vértices son los
puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0), (-3,0).
Rta. + =
22 yx
16 7
1
1.8.3.3. Los vértices mayores de una elipse son los puntos
(1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la ecuación de la
elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus
ejes mayor y menor y de cada lado recto.
Rta.
− −+ =
2 2(x 4) (y 1)
9 8
1; focos (5,1), (3,1), 6, 4 2 , 16/3
1.8.3.4. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de
sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado
recto es 4, halle la ecuación de la elipse, su excentricidad y
las coordenadas de sus focos.
Rta.
+ ++ = = − + − − − −
2 2(x 2) (y 1) 15
25 10 5
1, e , ( 2 15, 1),( 2 15, 1)
1.8.3.5. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro
en (4,-1), uno de los focos está en (1,-1) y pasa por (8,0).
Rta. − ++ =
2 2(x 4) (y 1)
18 9
1
1.8.3.6. Para cada ecuación general determine las
coordenadas del centro, vértices y focos. Halle la longitud de
los ejes mayor, menor y el lado recto. Halle además la
excentricidad.
• + − + + =2 2x 4y 6x 16y 21 0
• + + − + =2 24x 9y 32x 18y 37 0
• + − − =2 29x 4y 8y 32 0
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
27
1.9. Hipérbola
1.9.1. Definición.
A continuación la definición de hipérbola:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es
siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que
la distancia entre los focos.
1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola.
1.9.2.1. Ecuación canónica.Considere primero a la hipérbola de centro en el origen
y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F1 y F2 están
sobre el eje x. Como el centro O es el punto medio del
segmento F1F2, las coordenadas de F1 y F2 serán, por
ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una
constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la
hipérbola. El punto P debe satisfacer la condición geométrica
− =FP F 'P 2a,
en donde a es una constante positiva menor que c.
Se sabe que
= − + = + + 2 2 2 2FP (x c) y , F 'P (x c) y ,
de manera que la condición geométrica está expresada
analíticamente por las dos relaciones
Cálculo I – José Luis Quintero
28
− + − + + =
− + − + + = −
2 2 2 2
2 2 2 2
(x c) y (x c) y 2a
(x c) y (x c) y 2a
La primera relación anterior es verdadera cuando P
está sobre la rama izquierda de la hipérbola; la segunda
relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha.
Usando el mismo procedimiento para la elipse, se
puede demostrar que las ecuaciones anteriores se reducen
cada una a
− − = −2 2 2 2 2 2 2 2(c a )x a y a (c a ).
Como <2a 2c es <2 2a c y −2 2c a es un número
positivo que puede ser reemplazado por el número positivo 2b
es decir,
= −2 2 2b c a
Si se reemplaza −2 2c a por 2b , se obtiene
− =2 2 2 2 2 2b x a y a b ,
y dividiendo por 2 2a b , se obtiene, finalmente,
− =
2 2
2 2
x y
1.
a b
Si se considera ahora el caso en que el centro de la
hipérbola está en el origen, pero su eje focal coincide con el
eje y. Las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0,-c).
En este caso, por el mismo procedimiento empleado
para deducir la ecuación anterior, se halla que la ecuación de
la hipérbola es
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
29
− =
2 2
2 2
y x
1
a b
Ahora se considera la determinación de la ecuación de
una hipérbola cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes
son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, se
considera la hipérbola cuyo centro está en el punto (h,k) y
cuyo eje focal es paralelo al eje x. Sean 2a y 2b las longitudes
de los ejes transverso y normal de la hipérbola,
respectivamente.
Si los ejes coordenados son trasladados de manera que
el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de la hipérbola,
se sigue que la ecuación de la hipérbola con referencia a los
nuevos ejes x’ y y’ está dada por
− =
'2 '2
2 2
x y
1.
a b
De la ecuación anterior puede deducirse la ecuación de
la hipérbola referida a los ejes originales x y y usando las
ecuaciones de transformación, a saber:
= + = + x x ' h , y y ' k,
de donde
= − = − x ' x h , y ' y k.
Si se sustituyen estos valores de x’ y y’ en la ecuación
anterior, se obtiene
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
Cálculo I – José Luis Quintero
30
que es la ecuación de la hipérbola referida a los ejes
originales x y y.
Análogamente, se puede demostrar que la hipérbola
cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje
Y tiene por ecuación
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
a b
.
La longitud de cada lado recto en una hipérbola es igual
a 22b a .
Un elemento importante de una hipérbola es su
excentricidad que se define como la razón c a y se representa
usualmente por la letra e. Como >c a, la excentricidad de
una hipérbola es mayor que la unidad.
1.9.2.2. Ecuación general.
Considere la ecuación de la hipérbola en la forma
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
.
Si se quitan denominadores, se desarrolla, se traspone
y se ordenan términos, se obtiene
− − + + − − =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x a y 2b hx 2a ky b h a k a b 0 ,
la cual puede escribirse en la forma
+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0
en donde,
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
31
= = − = − = = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A b , C a , D 2b h, E 2a k y F b h a k a b .
Evidentemente, los coeficientes A y C deben ser de
distinto signo.
1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular.
Considere una hipérbola con eje focal paralelo al eje x
y cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud.
Entonces su ecuación toma la forma sencilla
− − − =2 2 2(x h) (y k) a
Debido a la igualdad de sus ejes, la hipérbola se llama
hipérbola equilátera.
1.9.4. Hipérbolas conjugadas.
Si dos hipérbolas son tales que el eje transverso de
cada una es idéntico al eje conjugado de la otra, se llaman
hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la
hipérbola conjugada de la otra, y también se dice que cada
hipérbola es conjugada con respecto a la otra. Si la ecuación
de una hipérbola es
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
entonces la hipérbola conjugada tiene por ecuación
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
b a
.
Cálculo I – José Luis Quintero
32
1.9.5. Asíntotas de la hipérbola.
Ecuación de la hipérbola Ecuación de las asíntotas
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
− = ± −b
(y k) (x h)
a
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
b a
− = ± −b
(y k) (x h)
a
− −− =
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
b a
− = ± −a
(y k) (x h)
b
− −− =
2 2
2 2
(y k) (x h)
1
a b
− = ± −a
(y k) (x h)
b
1.9.6. Problemas propuestos.
1.9.6.1. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y
(3,3) y su excentricidad es 3/2. Halle la ecuación de la
hipérbola, las coordenadas de sus focos y las longitudes de
sus ejes transverso y conjugado y de cada lado recto.
Rta. − −− = −
2 2(x 1) (y 3)
4 5
1, (4,3); ( 2,3); 4, 2 5, 5
1.9.6.2. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-2,2) y
(-2,-4) y la longitud de su lado recto es 2. Halle la ecuación de
la curva, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.
Rta. + +− = − − + − − −
2 2(y 1) (x 2) 2 3
9 3 3
1; ( 2, 1 2 3); ( 2, 1 2 3);
1.9.6.3. El centro de una hipérbola es el punto (2,-2) y uno
de sus vértices el punto (0,-2). Si la longitud de su lado recto
es 8, halle la ecuación de la curva, la longitud de su eje
conjugado y su excentricidad.
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
33
Rta. − +− =
2 2(x 2) (y 2)
4 8
1; 4 2; 3
1.9.6.4. Los focos de una hipérbola son los puntos (4,-2) y
(4,-8) y la longitud de su eje transverso es 4. Halle la
ecuación de la hipérbola, la longitud de su lado recto y su
excentricidad. Rta. + −− =
2 2(y 5) (x 4)
4 5
1, 5
1.9.6.5. El centro de una hipérbola es el punto (4,5) y uno de
sus focos es (8,5). Si la excentricidad de la hipérbola es 2,
halle su ecuación y las longitudes de sus ejes transverso y
conjugado.
1.9.6.6. Los vértices de una hipérbola son los puntos(-3,2) y
(-3,-2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Halle la
ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su
excentricidad.
Rta. +− = − − −
22 (x 3)y 13
4 9 2
1, ( 3, 13); ( 3, 13);
1.9.6.7. Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por los
puntos (3,-2) y (7,6), tiene su centro en el origen y el eje
transverso coincide con el eje X. Rta. − =2 24x 5y 16
1.9.6.8. Si k es un número cualquiera diferente de cero,
demuestre que la ecuación − =2 23x 3y k representa una
familia de hipérbolas de excentricidad igual a 2 .
1.9.6.9. Para cada ecuación general determine las
coordenadas del centro, vértices y focos. Halle la longitud de
los ejes transverso, conjugado y el lado recto. Halle además la
excentricidad.
• − − + − =2 2x 9y 4x 36y 41 0
• − + + + =2 24x 9y 32x 36y 64 0
• − − + =2 2x 4y 2x 1 0
• − + + + =2 29x 4y 54x 16y 29 0
• − + + =2 23x y 30x 78 0
Cálculo I – José Luis Quintero
34
1.9.6.10. Demuestre que la hipérbola − =2 2 2 2 2 2b y a y a b
tiene
por asíntotas las rectas − =by ax 0
y + =by ax 0.
1.9.6.11. Halle las ecuaciones de las asíntotas de la
hipérbola − =2 24x 5y 7 . Rta. − = + = 2x 5y 0, 2x 5y 0
1.9.6.12. Halle los puntos de intersección de la recta
− + =2x 9y 12 0
con las asíntotas de la hipérbola
− =2 24x 9y 11. Rta. − 3
2
(3,2); ( ,1)
1.9.6.13. Halle la ecuación de la tangente a la hipérbola
− =2 2x y 16
trazada desde el punto (2,-2).
Rta. − − =5x 3y 16 0
1.10. Parábola
1.10.1. Definición.
A continuación la definición de parábola:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el
plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del
plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco
y la recta fija directriz de la parábola.
1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola.
1.10.2.1. Ecuación canónica.
Considere primero a la parábola de vértice en el origen
y cuyo eje focal coincide con el eje x. Sean (p,0) las
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
35
coordenadas del foco. Por definición de parábola, la ecuación
de la directriz l es = −x p . Sea P(x,y) un punto cualquiera de
la parábola. Por definición de parábola, el punto P debe
satisfacer la condición geométrica
=FP PA
la condición geométrica anterior está expresada,
analíticamente, por la ecuación
− + = +2 2(x p) y x p .
Si se elevan al cuadrado ambos miembros de esta
ecuación y se simplifica, se obtiene
=2y 4px
La única simetría que posee el lugar geométrico de la
ecuación anterior es con respecto al eje x. Despejando y de la
ecuación, se tiene:
= ±y 2 px
Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero,
p y x deben ser del mismo signo.
Frecuentemente se necesita obtener la ecuación de una
parábola cuyo vértice no esté en el origen y cuyo eje sea
paralelo, y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes
coordenados. Considere la parábola cuyo vértice es el punto
(h,k) y cuyo eje es paralelo al eje x. Si los ejes coordenados
son trasladados de tal manera que el nuevo origen O’
coincida con el vértice (h,k), de modo que la ecuación de la
parábola con referencia a los nuevos ejes x’ y y’ está dada por
=2y ' 4px ' .
Cálculo I – José Luis Quintero
36
A partir de la ecuación de la parábola referida a los
ejes originales x y y, se puede obtener la ecuación inicial
usando las ecuaciones de transformación, a saber,
= + = + x x ' h , y y ' k,
de donde
= − = − x ' x h , y ' y k.
Si se sustituyen estos valores de x’ y y’ en la ecuación
inicial, se obtiene
− = −2(y k) 4p(x h).
Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto
(h,k) y cuyo eje es paralelo al eje y tiene por ecuación
− = −2(x h) 4p(y k),
en donde p es la longitud de aquella porción del eje
comprendida entre el foco y el vértice.
Los resultados anteriores conducen al siguiente
TEOREMA 2. La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y
eje paralelo al eje x, es de la forma
− = −2(y k) 4p(x h),
siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el
foco y el vértice.
Si >p 0, la parábola se abre hacia la derecha; si <p 0,
la parábola se abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto
(h,k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación
es de la forma
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
37
− = −2(x h) 4p(y k).
Si >p 0, la parábola se abre hacia arriba; si <p 0, la
parábola se abre hacia abajo.
1.10.2.2. Ecuación general.
Considere la ecuación de la parábola en la forma
− = −2(y k) 4p(x h).
Si se desarrolla y traspone términos se obtiene
− − + + =2 2y 4px 2ky k 4ph 0,
que puede escribirse en la forma
+ + + =2y Dx Ey F 0 .
Si se considera la ecuación de la parábola en la forma
− = −2(x h) 4p(y k),
al desarrollar, trasponer términos e igualar a cero, la
ecuación resultante puede escribirse en la forma
+ + + =2x Dx Ey F 0 .
Cálculo I – José Luis Quintero
38
1.10.3. Problemas propuestos.
1.10.3.1. Halle la ecuación de la parábola de vértice (-4,3) y
de foco (-1,3). Halle también la ecuación de su directriz.
Rta. − = + = − 2(y 3) 12(x 4), x 7
1.10.3.2. La directriz de una parábola es la recta − =y 1 0, y
su foco es el punto (4,-3).Halle la ecuación de la parábola.
Rta. − = − +2(x 4) 8(y 1)
1.10.3.3. La ecuación de una familia de parábolas es
= +2y ax bx . Halle la ecuación del elemento de la familia que
pasa por los dos puntos (2,8) y (-1,5). Rta. = −2y 3x 2x
1.10.3.4. Halle la ecuación de la parábola cuyo eje es
paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0,0); (8,-4) y
(3,1). Rta. − + =2y x 2y 0
1.10.3.5. Halle la ecuación de la parábola de vértice el punto
(4,-1), eje la recta + =y 1 0 y que pasa por el punto (3,-3).
Rta. + + − =2y 4x 2y 15 0
1.10.3.6. Halle la ecuación de la parábola cuyo lado recto es
el segmento que determinan los puntos (3,5) y (3,-3).
Rta. − − + = + − − = 2 2y 8x 2y 9 0, y 8x 2y 39 0
1.10.3.7. Para cada ecuación general determine las
coordenadas del vértice y del foco. Halle la longitud del lado
recto y la ecuación de la directriz y del eje.
• − − − =24y 48x 20y 71 0
• + + + =29x 24x 72y 16 0
• + − =2y 4x 7 0
• + + − =24x 48y 12x 159 0
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
39
• = + +2y ax bx c
1.11. Misceláneos
1.11.1. Motivación.
Se presentará a continuación un conjunto de
problemas que relacionan una o más delas secciones cónicas
mostradas anteriormente con el objetivo de conectar varios de
los conceptos plasmados en sus elementos. Otro interés viene
dado por la construcción de la región común encerrada por
varias curvas vistas hasta ahora.
1.11.2. Problemas propuestos.
1.11.2.1. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por
el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola
− =2x 4y 0 . Rta.
+ − =2 2x y 5y 0
1.11.2.2. Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos
están en los vértices mayores de la elipse + =2 27x 11y 77 y
cuyos vértices son los focos de dicha elipse. Rta. − =
22 yx
4 7
1
1.11.2.3. Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene un
foco en el vértice de la parábola de ecuación = − +2y x 1, el
otro foco en el centro de la circunferencia de ecuación
+ − + =2 2x y 10x 24 0 y las ecuaciones de sus asíntotas son
= − = − + y x 3, y x 3 . Rta. − − =2 2(x 3) y 2
Cálculo I – José Luis Quintero
40
1.11.2.4. Halle la ecuación general de la hipérbola cuyo
centro coincide con el centro de la circunferencia
+ + − − =2 2x y 2x 2y 23 0 , sus focos son los mismos de la
elipse + + − − =2 22x y 4x 2y 1 0 y uno de los vértices es el
vértice de la parábola + + =2x 2x 8y 15 .
Rta. − + − − − =2 2x y 2x 2y 1 0
1.11.3. Problemas propuestos.
1.11.3.1. Dibuje la región del plano que satisface el siguiente
sistema de inecuaciones:
a.
+ ≤
≥ −
<
2
x 4y 8
x 2y 8
x 4
b.
≤ −
− ≤
>
2y 4 x
x 2y 2
xy 0
1.11.3.2. Dibuje la región del plano que satisface el siguiente
sistema de inecuaciones y calcule el área de la región:
a.
≤
− − ≤
− − ≥
x 0
y x 4 0
2y x 4 0
b.
+ ≤
− − ≤
≥ −
≥
2 2
2
x y 4
y x 2 0
2y x 4
y 0
1.11.3.3. Dibuje la región del plano cuya frontera viene dada
por la curva C:
a.
− + − = ≤ ≤
= + ≤ ≤
+ = − ≤ ≤
= − ≤ ≤
2 2
1
2
2
2
1
2
(x 2) (y 1) 4 1 y 3
y (x 2) 0 y 1
C : x
y 1 1 y 0
4
y (x 2) 0 y 1
Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica
41
b.
+ = ≤ ≤
− = − ≤ ≤
− = − ≤ ≤
− − = ≤
2 2
2
y x 1 0 x 1
y x 1 1 x 0
C :
x y 1 1 y 0
x 2y 4 0 x 2
Cálculo I – José Luis Quintero
42
43
CAPÍTULO 2
FUNCIONES REALES
DE VARIABLE REAL
2.1. Función
2.1.1. Definición.
Una función es una regla de correspondencia f que
asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de
un conjunto B.
Observaciones de interés.
• Al conjunto A se le llama dominio de la función f
• Cuando A y B son subconjuntos de R, la regla de
correspondencia se denota mediante la ecuación =y f(x)
• El dominio de f (denotado por D(f)) es el mayor
subconjunto de números reales para los cuales la
ecuación =y f(x)
tiene sentido en R
Cálculo I – José Luis Quintero
44
• Al conjunto de todos los posibles valores que toma f(x)
cuando x varía en el dominio se le llamará rango de f y
se denotará por R(f)
2.1.2. Igualdad de funciones.
Dos funciones f y g son iguales si y sólo si se cumplen
las siguientes dos condiciones:
a. = =D(f) D(g) D
b. = ∀ ∈ f(x) g(x) x D
2.1.3. Álgebra de funciones.
Dados dos funciones f y g con dominios D(f) y D(g)
respectivamente, se definen las siguientes operaciones:
a. Suma algebraica.
± = ± ± = ∩ (f g)(x) f(x) g(x) , D(f g) D(f ) D(g)
b. Producto.
= = ∩ (f.g)(x) f(x).g(x) , D(f.g) D(f ) D(g)
c. División.
{ }= = ∩ ∈ ∧ ≠ (f g)(x) f(x) g(x) , D(f g) D(f ) x : x D(g) g(x) 0
2.1.4. Problemas propuestos.
2.1.4.1. Encuentre + −f (x h) f(x)
h
para cada una de las siguientes
funciones y simplifique:
a. = −f(x) 6x 9
b. = +2f(x) x 2x
c. = 3f(x) x
d. = 5
x
f(x)
e. =f(x) 3
f. =f(x) sen(x)
Capítulo 2. Funciones reales de variable real
45
2.1.4.2. Sea
+ = −
1 x
f(x) log .
1 x
Demuestre que
++ = +
x y
f(x) f(y) f .
1 xy
2.1.4.3. Sean − −= + = − x x x x1 1
2 2
f(x) (e e ) y g(x) (e e ).
Pruebe
que
a. + = +f(x y) f(x).f(y) g(x).g(y)
b. − =f(x).f(x) g(x).g(x) 1
c. + =f(x).f(x) g(x).g(x) f(2x)
2.1.4.4. Sea
+=
−
1 x
f(x) .
1 x
Demuestre que
f(x) f(y) x y
.
1 f(x).f(y) 1 x.y
− −=
+ +
2.1.4.5. Calcule el dominio de las siguientes funciones.
a. =
+ +2
1
f(x)
2x 4x 1
b. +=
−
3 2x 1
f(x)
3x 1
c.
−= + +
+
2
4x 1
f(x) x 3
x 4
d. =
−2
x
f(x)
x x
e.
= −
2x
f(x) log
x 5
− ± −
2 2
Rta. R
2
+∞
1
Rta. ,
3
[ ] [ )− − ∪ +∞ Rta. 3, 1 1,
{ }− − Rta. R 1,0,1
+∞ Rta. (5, )
Cálculo I – José Luis Quintero
46
f. = − 2f(x) 9 x
g.
−=
+3
x 1
f(x)
x 2
h.
−=
+ +2
3 4x
f(x)
x 6x 8
i.
+=
+
x 2
f(x)
x 3
j.
+=
+
3
3
3x 5
f(x)
x x
k.
−=
+
2x 4
f(x)
x 3
l. +=
− x 2
2
f(x)
1 e
m. +=
− x 2
2
f(x)
1 e
n. = −f(x) 1 x
o. =
−
5
f(x)
x x
p. = + +
−
1
f(x) x 2
log(1 x)
q. = + − −
−
3
1
f(x) x log(2x 3)
x 2
[ ]− Rta. 3,3
{ }− − Rta. R 2
{ } −∞ − − −
3
Rta. , 4, 2
4
( ) [ )−∞ − ∪ − +∞ Rta. , 3 2,
{ }− Rta. R 0
{ }− − Rta. R 3
{ }− − Rta. R 2
( )−∞ − Rta. , 2
[ ]− Rta. 1,1
( )−∞ Rta. ,0
[ ) ( )− ∪ Rta. 2,0 0,1
( ) ∪ +∞
3
Rta. ,2 2,
2
Capítulo 2. Funciones reales de variable real
47
r. =
+2
1
f(x)
x 1
s.
− = − +
3 2x
f(x) 3 x arcsen
5
t.
= + + − −
2x
f(x) ln x x 6
x 4
u. ( )= −f(x) arcsen ln x 5
Rta. R
[ ]− Rta. 1,3
( ]−∞ − ∪ +∞ Rta. , 3 (4, )
1 1Rta. 5 e,5 e 5 e ,5 e− − − − ∪ + +
2.1.4.6. En cada caso indique (justificando su respuesta) si f
y g son iguales.
a.
+= =
+
x 1
f(x) 1 , g(x)
x 1
b. = = − 2f(x) cos(x) , g(x) 1 sen (x)
c.
− − ≤ −
= − < ≤ = + +
+ >
2x 2 si x 2
f(x) 2 si 2 x 0 , g(x) x 2 x
2x 2 si x 0
d.
− −= =
+ +
x 2 x 2
f(x) , g(x)
x 1 x 1
e.
− = = − − + +
x 2
f(x) ln , g(x) ln(x 2) ln(x 1)
x 1
Cálculo I – José Luis Quintero
48
2.2. Simetría y periodicidad
2.2.1. Dominio simétrico respecto del origen.
Un conjunto D de números reales es simétrico respecto
del origen si y sólo si para cada ∈x D
se tiene que − ∈x D.
2.2.2. Función par y función impar.
Sea f una función con dominio D(f) simétrico respecto
al origen.
a. f es par si y sólo si = − ∀ ∈ f(x) f( x)x D(f )
b. f es impar si y sólo si = − − ∀ ∈ f(x) f( x) x D(f )
Observaciones de interés.
• Si una función f es impar y el cero pertenece a su dominio,
entonces debe pasar por el origen, es decir =f(0) 0
• La suma de dos funciones pares es una función par.
• La suma de dos funciones impares es una función impar.
• El producto y el cociente de dos funciones pares o de dos
impares es una función par.
• El producto y el cociente de una función par y otra impar
es una función impar.
2.2.3. Periodicidad.
Una función es periódica si existe un >P 0 tal que
= + ∀ ∈ f(x) f(x P) x D(f ).
Capítulo 2. Funciones reales de variable real
49
Observaciones de interés.
• Todo número positivo que satisfaga la igualdad anterior se
llama período de f.
• Al menor período se le llama período fundamental o
principal.
• Si P es el período principal de una función entonces sus
múltiplos positivos son períodos de la función
2.2.4. Problemas propuestos.
2.2.4.1. Determine si las siguientes funciones son pares,
impares o ninguna de las dos.
a. = − 3f(x) 2x 3x
b. =
2x
f(x)
sen(x)
c. =f(x) x.cos(x)
d. = +5f(x) x 5
e. = +
2xf(x) e cos(x)
f. =
+
x
f(x)
1 x
g. =f(x) sec(x)
Rta. Impar
Rta. Impar
Rta. Impar
Rta. Ni par ni impar
Rta. Par
Rta. Impar
Rta. Par
2.2.4.2. Determine cuáles de las siguientes funciones que se
dan son periódicas y en los casos que corresponda, dar su
período:
Cálculo I – José Luis Quintero
50
a. =
x
f(x) tg
3
b. = −f(x) 3cos(3x 1)
c. = 2f(x) cos (x)
d. = + 2f(x) 5 sen(x )
e. = +f(x) sen(3x) cos(4x)
f. =f(x) cos(2x)
2.3. Composición de funciones
2.3.1. Definición.
La función compuesta f go se define por la regla de
correspondencia siguiente:
(f g)(x) f(g(x))=o
donde f se llama función externa y g se llama función interna.
Como se puede observar la composición f go tiene
sentido si g(x) D(f )∈ para algún x D(f )∈ , es decir si
D(f ) R(g)∩ ≠ ∅ .
2.3.2. Dominio de la composición.
• { }D(f g) x : x D(g) g(x) D(f )= ∈ ∧ ∈o
• Si D(f ) R= entonces D(f g) D(g)=o
Capítulo 2. Funciones reales de variable real
51
2.4. Inyectividad y función inversa
2.4.1. Crecimiento y decrecimiento.
f es creciente en un intervalo i si y sólo si 1 2x ,x I∀ ∈
1 2 1 2x x f(x ) f(x )< ⇒ < .
f es decreciente en un intervalo i si y sólo si 1 2x ,x I∀ ∈
1 2 1 2x x f(x ) f(x )< ⇒ > .
2.4.2. Función inyectiva.
Se dice que f es inyectiva si y sólo si
1 2 1 2 1 2f(x ) f(x ) x x x ,x D(f )= ⇒ = ∀ ∈
o equivalentemente
1 2 1 2 1 2x x f(x ) f(x ) x ,x D(f )≠ ⇒ ≠ ∀ ∈ .
Observaciones de interés.
• Cada elemento del rango de f es imagen de un único
elemento del dominio de f
• Si f es creciente (decreciente) es su dominio entonces f es
inyectiva
2.4.3. Función inversa.
Suponga que f es inyectiva. Se dice que g es la función
inversa de f que se denota por 1f − si
1 1
1
f(f (x)) x x D(f )
f (f(x)) x x D(f )
− −
−
= ∀ ∈
= ∀ ∈
Además 1 1D(f) R(f ) y R(f ) D(f )− −= =
Cálculo I – José Luis Quintero
52
2.4.4. Problemas propuestos.
2.4.4.1. Represente las siguientes funciones como
composición de funciones elementales:
a. 2f(x) cos (x 3)= +
b.
3
1
f(x)
x 1
=
−
c.
3(x 1)h(x) 1 e −= +
d. 23g(x) sen((x 2) )= −
e.
(x 4)
1
g(x)
4 −
=
2.4.4.2. La función f tiene como dominio el intervalo [ 1,1]− .
Determine el dominio de f go siendo:
a. g(x) x=
b. g(x) sen(x)=
c. g(x) ln(x)=
2.4.4.3. Dada la función g(x) x 1= + y 2(f g)(x) cos(x 1),= −o
halle f(x).
2.4.4.4. Dada la función 3g(x) x 1= − y
x 1
(f g)(x) ln ,
x 1
+ = −
o
halle f(x).
2.4.4.5. Dada
3
3
7x 8
f(x) ln
9x 10
+= −
y (f g)(x) cos(x),=o halle
g(x).
2.4.4.6. Dada f(x) 2x 1= − y 2(f g)(x) 2x 3x 1,= − + −o halle g(x).
2.4.4.7. Halle f(x) siendo g(x 2) sen(x)+ = y (f g)(x) ln(x 3).= +o
Capítulo 2. Funciones reales de variable real
53
2.4.4.8. Si las siguientes funciones están definidas
respectivamente por: xg(e 2) tg(x)+ = y 2(f g)(x) x 5,= +o halle
f(x).
2.4.4.9. Sean las funciones definidas por 3f(g(x 2)) 9x 8+ = +
y 3x 2f(x) e .+= Calcule g(x).
2.4.4.10. Sean las funciones definidas por
2(f g)(x) 1 x 1= − + +o y
x x
x x
3 3
f(x) 1.
3 3
−
−
−= +
+
Halle g(x).
2.4.4.11. Si se tiene g(x 2) tg(x) y (f g)(x) ln(x 3),+ = = +o
calcule f(x).
2.4.4.12. Halle f(x) siendo 3g(x 1) cos(x)− = y
(f g)(x) arcsen(x 2).= −o
2.4.4.13. Dada la función definida por
x x
x x
e e
h(x)
e e
−
−
−=
+
determine, si es posible, la función inversa y hallarla.
2.4.4.14. Demuestre que f y g son inversas una de la otra:
a.
1
f(x) sen(2x 1), g(x) ( 1 arcsen(x))
2
= + = − +
b. xf(x) ln(x 1), g(x) e 1= − = +
Cálculo I – José Luis Quintero
54
2.5. Gráfico de funciones
2.5.1. Movimientos en el plano.
A partir de una función elemental se pueden obtener
otras “un tanto más complejas” con sólo tener en cuenta las
implicaciones geométricas de algunos cambios de variable. Si
se conoce el gráfico de y f(x)= entonces respecto de éste:
• y f( x)= α es una dilatación si 0 1< α < y una contracción si
1α >
• y f(x )= + α es una traslación de α unidades hacia la
izquierda si 0α > y es una traslación de α unidades
hacia la derecha si 0α <
• y f( x)= − es una reflexión respecto del eje y
• y f(x)= − es una reflexión respecto del eje x
• y f(x) k= + es una traslación hacia arriba de k unidades si
k 0> y de k unidades hacia abajo si k 0<
• y f(x)= es una reflexión respecto del eje x de las imágenes
negativas de los valores de x
• y f(x)= α es una contracción del rango si 0 1< α < y una
dilatación del rango si 1α >
2.5.2. Problemas propuestos.
2.5.2.1. Partiendo de funciones elementales, mediante
traslaciones, reflexiones, etc., construya el gráfico de las
funciones dadas:
a.
1
f(x) 2 arcsen(x 1)
2
= − +
b. f(x) log(3x 3)= +
c. f(x) 4 log(2x 1)= + −
Capítulo 2. Funciones reales de variable real
55
d. f(x) 2 2cos(6x 2)= − −
e. f(x) 3sen(2x )= − π
f. f(x) ln(x 1) 2= + −
g. f(x) 2 2 arctg( 2x)= π − π −
h. f(x) 2 x 1= − −
i. f(x) 1 2cos( x)= − π
Cálculo I – José Luis Quintero
56
57
CAPÍTULO 3
LÍMITES Y
CONTINUIDAD
3.1. Límite de una función
3.1.1. Definición.
Sea f una función definida en cadanúmero de algún intervalo
abierto que contiene a a, excepto probablemente en el número
a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo
que se escribe como
x a
límf(x) L
→
= si la siguiente proposición es
verdadera: dada cualquier 0ε > , no importa cuan pequeña
sea, existe una 0δ > tal que
si 0 x a< − < δ entonces f(x) L− < ε .
Cálculo I – José Luis Quintero
58
3.2. Teoremas de límites
TEOREMA 1. Si m y b son dos constantes cualesquiera, n es
cualquier número entero positivo,
x a
límf(x) L
→
= y
x a
límg(x) M
→
= ,
entonces:
(i) [ ]
x a x a x a
lím f(x) g(x) límf(x) límg(x) L M
→ → →
± = ± = ±
(ii) [ ]
x a x a x a
lím f(x).g(x) lím f(x).límg(x) L.M
→ → →
= =
(iii) [ ]n n
x a
lím f(x) L
→
=
(iv) [ ]
x a x a x a
lím f(x) g(x) lím f(x) límg(x) L M si M 0
→ → →
= = ≠
(v) nn
x a
lím f(x) L
→
=
TEOREMA 2. Si 1 1
x a
límf (x) L
→
= , 2 2
x a
lím f (x) L
→
= , …, y n n
x a
límf (x) L
→
= ,
entonces:
(i) [ ]1 2 n 1 2 n
x a
lím f (x) f (x) ... f (x) L L ... L
→
± ± ± = ± ± ±
(ii) [ ]1 2 n 1 2 n
x a
lím f (x).f (x).....f (x) L .L .....L
→
=
3.3. Límites laterales
Definición 3.3.1. Sea f una función definida en cada número
del intervalo abierto (a,c). Entonces el límite de f(x), conforme
x tiende a a por la derecha, es L, lo que se denota por
x a
lím f(x) L
+→
= si para cualquier 0ε > , sin importar qué tan
pequeña sea, existe una 0δ > tal que si 0 x a< − < δ entonces
f(x) L ε− < .
Definición 3.3.2. Sea f una función definida en cada número
del intervalo abierto (d,a). Entonces el límite de f(x),
conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo que se
denota por
x a
lím f(x) L
−→
= si para cualquier 0ε > , sin importar
qué tan pequeña sea, existe una 0δ > tal que si 0 a x< − < δ
entonces f(x) L ε− < .
Capítulo 3. Límites y continuidad
59
Se referirá al
x a
límf(x)
→
como el límite bilateral para
distinguirlo de los límites laterales.
Los teoremas 1 y 2 estudiados anteriormente siguen
siendo válidos si "x a "→ se sustituye por "x a "+→ o
"x a "−→ .
TEOREMA 3. El
x a
límf(x)
→
existe y es igual a L si y sólo si
x a
lím f(x)
−→
y
x a
lím f(x)
+→
existen y son iguales a L.
3.4. Límites infinitos
Definición 3.4.1. Sea f una función definida en cada número
de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto
posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x)
crece sin límite, lo cual se escribe como
x a
límf(x)
→
= +∞ si para
cualquier número N 0> existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ
entonces f(x) N> .
Definición 3.4.2. Sea f una función definida en cada número
de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto
posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x)
decrece sin límite, lo cual se escribe como
x a
lím f(x)
→
= −∞ si
para cualquier número N 0< existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ
entonces f(x) N< .
TEOREMA 4. Si r es cualquier número entero positivo,
entonces
(i)
r
x 0
1
lím
x+→
= +∞ ;
(ii)
r
x 0
si r es impar1
lím
si r es parx−→
−∞
= +∞
Cálculo I – José Luis Quintero
60
TEOREMA 5. Si a es cualquier número real y si
x a
límf(x) 0
→
= y
x a
límg(x) c
→
= , donde c es una constante diferente de 0, entonces
(i) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x),
entonces
x a
g(x)
lím
f(x)→
= +∞
(ii) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x),
entonces
x a
g(x)
lím
f(x)→
= −∞
(iii) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x),
entonces
x a
g(x)
lím
f(x)→
= −∞
(iv) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x),
entonces
x a
g(x)
lím
f(x)→
= +∞
El teorema también es válido si se sustituye "x a "→
por "x a "−→ .
TEOREMA 6.
(i) Si
x a
límf(x)
→
= +∞ y
x a
límg(x) c
→
= , donde c es cualquier
constante, entonces [ ]
x a
lím f(x) g(x)
→
+ = +∞
(ii) Si
x a
límf(x)
→
= −∞ y
x a
límg(x) c
→
= , donde c es cualquier
constante, entonces [ ]
x a
lím f(x) g(x)
→
+ = −∞
El teorema también es válido si se sustituye "x a "→
por "x a "−→ .
TEOREMA 7. Si
x a
límf(x)
→
= +∞ y
x a
límg(x) c
→
= , donde c es
cualquier constante distinta de 0, entonces
(i) si c 0> , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= +∞
(ii) si c 0< , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= −∞
El teorema también es válido si se sustituye "x a "→
por "x a "−→ .
Capítulo 3. Límites y continuidad
61
TEOREMA 8. Si
x a
límf(x)
→
= −∞ y
x a
límg(x) c
→
= , donde c es
cualquier constante distinta de 0, entonces
(i) si c 0> , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= −∞
(ii) si c 0< , [ ]
x a
lím f(x).g(x)
→
= +∞
El teorema también es válido si se sustituye "x a "→
por "x a "−→ .
3.5. Límites al infinito
Definición 3.5.1. Sea f una función que está definida en todo
número de algún intervalo abierto (a, )+∞ . El límite de f(x)
cuando x crece sin límite, es L, lo que se escribe como
x
lím f(x) L
→+∞
= si para cualquier 0ε > , sin importar qué tan
pequeña sea, existe un número N 0> tal que si x N> entonces
f(x) L− < ε .
Definición 3.5.2. Sea f una función que está definida en todo
número de algún intervalo abierto (a, )+∞ . El límite de f(x)
cuando x decrece sin límite, es L, lo que se escribe como
x
lím f(x) L
→−∞
= si para cualquier 0ε > , sin importar qué tan
pequeña sea, existe un número N 0< tal que si x N< entonces
f(x) L− < ε .
TEOREMA 9. Si r es cualquier número entero positivo,
entonces
(i)
rx
1
lím 0
x→+∞
=
(ii)
rx
1
lím 0
x→−∞
=
Cálculo I – José Luis Quintero
62
3.6. Indeterminaciones
Los límites que producen “resultados” tales como:
0 00
; 0. ; ; 1 ; ; 0 ;
0
∞±∞+∞ − ∞ ± ∞ ∞
±∞
se conocen con el nombre de “indeterminados” y requieren
algún procedimiento algebraico adicional para su
determinación, del uso de límites notables, o bien alguna otra
herramienta matemática.
3.7. Teorema del sandwich
Sean f, g, h funciones tales que g(x) f(x) h(x)≤ ≤
0 0x (x a,x a)∀ ∈ − +
con a 0> , y
x x x x0 0
lím g(x) lím h(x) L
→ →
= =
entonces
x x0
lím f(x) L
→
= .
3.8. Límites notables
x
x 0 x
sen(x) 1
lím 1; lím 1 e
x x→ →+∞
= + =
Capítulo 3. Límites y continuidad
63
3.9. Continuidad
Una función f(x) es continua en 0x
si y sólo si
satisface las siguientes condiciones:
a.
x x0
lím f(x)
→
existe y es finito
b. 0
x x0
lím f(x) f(x )
→
=
Si f no cumple alguna de las dos condiciones
anteriores se dice que es discontinua en 0x . Una función se
dice continua si ella es continua en cada punto de su
dominio. Observe que para hablar de continuidad en un
punto 0x la función debe estar definida en dicho punto.
Si la segunda condición no se satisface se dice que la
discontinuidad en 0x
es evitable y se puede definir una
función continua a partir de f, de la siguiente forma:
0
0
x x0
f(x) si x x
F(x) lím f(x) si x x
→
≠= =
En caso contrarioes no evitable.
Se dirá que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] si
y sólo si ella es continua en cada punto interior al intervalo y
x a
lím f(x) f(a)
+→
=
y
x b
lím f(x) f(b)
−→
= .
3.10. Teorema
Sean f y g funciones continuas en 0x , entonces las
funciones f g, cf, fg, f g±
con 0g(x ) 0≠ , son continuas en
0x .
Cálculo I – José Luis Quintero
64
3.11. Límite de la función compuesta
Si f es continua en L y
x x0
lím g(x) L
→
=
entonces
x x x x x x0 0 0
lím (f g)(x) lím f(g(x)) f( lím g(x)) f(L)
→ → →
= = =o .
3.12. Teorema del valor intermedio
Sea [ ]f : a,b R→ . Si f es continua en [a,b], f(a) f(b)≠
y c
es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe, al
menos, un número real 0x (a,b)∈
tal que 0f(x ) c= .
3.13. Corolario
Sea [ ]f : a,b R→ . Si f es continua en [a,b] y f(a).f(b) 0<
entonces existe un número real 0x (a,b)∈
tal que 0f(x ) 0= .
Capítulo 3. Límites y continuidad
65
3.14. Problemas propuestos.
3.14.1. Compruebe los siguientes resultados o afirmaciones:
3.14.1.1.
→
− + = −
−
2
x 1
2x 7x 5
lím 3
x 1
3.14.1.2.
2
x 2
x 5x 6
lím 1
x 2→−
+ + =
+
3.14.1.3.
2
x 3
3x 8x 3
lím 5
2x 6→−
+ − = −
+
3.14.1.4.
2
2x 1
3x 2x 1
lím 4
x x→
− − =
−
3.14.1.5.
2
2x 1
x 2x 1
lím
x 2x 1→
+ + = +∞
− +
3.14.1.6.
2
2x 1
x 2x 1
lím 0
3x 3→
− + =
−
3.14.1.7.
3
2x 3
x 27 9
lím
2x 9→
− =
−
3.14.1.8.
3
x 2
x 8
lím 12
x 2→−
+ =
+
3.14.1.9.
3
2x 2
8 x
lím 6
x 2x→
− = −
−
3.14.1.10.
2 2
x 0
(a x) a
lím 2a
x→
+ − =
Cálculo I – José Luis Quintero
66
3.14.1.11.
3
3 2x 1
x 3x 2 3
lím
2x x x 1→
− + =
− − +
3.14.1.12.
3 2
3x 2
x x x 2 7
lím
12x 8→
− − − =
−
3.14.1.13.
4
x 1
x 2x 3
lím 6
x 1→−
− − = −
+
3.14.1.14.
4 3
2x 1
3x 4x 1
lím 6
(x 1)→
− + =
−
3.14.1.15.
4
2x 2
x 16
lím 8
x 4→
− =
−
3.14.1.16.
4
4 3x 1
x 4x 3
lím 2
x x x 1→−
+ + =
+ + +
3.14.1.17.
3 3
2
x 0
(a x) a
lím 3a
x→
+ − =
3.14.1.18.
4
x 4
x 256
lím 256
x 4→
− =
−
3.14.1.19.
2x 0
1 1
lím
xx→
− = +∞
3.14.1.20.
2x 2
1 3
lím no existe
x 2 x 4→
− − −
3.14.1.21.
1 1
x 3
x 3
1
lím
x 3 9→
−
= −
−
3.14.1.22.
2x 2
1 5 1
lím
x 2 5x x 6→
− = − + −
Capítulo 3. Límites y continuidad
67
3.14.1.23.
3x 1
1 3
lím 1
1 x 1 x→
− = − − −
3.14.1.24.
2x 2
4 1 1
lím
x 2 4x 4→
− = − −−
3.14.1.25.
3 3
2
x a
x a
lím 3a
x a→−
+ =
+
3.14.1.26.
3 3
2
x a
x a
lím 3a
x a→
− =
−
3.14.1.27.
4 4
x a
x a
lím no existe si a 0
x a→−
+ ≠
+
3.14.1.28.
4 4
3
x a
x a
lím 4a
x a→
− =
−
3.14.1.29.
2
h 0
(3 h) 9
lím 6
h→
+ − =
3.14.1.30.
m
x 1
x 1
lím m
x 1→
− =
−
3.14.1.31.
x a
x a 1
lím
x a 2 a→
− =
−
3.14.1.32.
2x 2
x 2
lím 0
x 4→
− =
−
3.14.1.33.
x 1
x 1
lím 2
x 1→
− =
−
3.14.1.34.
x 4
x 4
lím 4
x 2→
− =
−
Cálculo I – José Luis Quintero
68
3.14.1.35.
2x 1
x 1
lím 2
x 3 2→
− =
+ −
3.14.1.36.
x 3
x 1 2 1
lím
x 3 4→
+ − =
−
3.14.1.37.
2x 7
2 x 3 1
lím
56x 49→
− − = −
−
3.14.1.38.
x 3
2x 3 3 1
lím
x 3 3→
+ − =
−
3.14.1.39.
x 0
5 x 5 5
lím
2x 20→
+ − =
3.14.1.40.
x 0
1 x 1 x
lím 1
x→
+ − − =
3.14.1.41.
x 2
x x 2 9
lím
84x 1 3→
− + =
+ −
3.14.1.42.
x a
x x a a
lím 3
a x x a→
− = −
−
3.14.1.43.
x 0
x 1 1
lím 2
x 4 2→
+ − =
+ −
3.14.1.44.
x 2
2 x 3x 2
lím 3
4x 1 5x 1→
+ − − =
+ − −
3.14.1.45.
2
x 2
x 8x
lím 6
2x 2→
− =
−
3.14.1.46.
2 3
x a
x a x
lím 3a
ax a→
− =
−
Capítulo 3. Límites y continuidad
69
3.14.1.47.
2
2x
x x 2 1
lím
33x 2x 4→∞
− + =
+ −
3.14.1.48.
2
3x
4x x 1
lím 0
5x 2x→∞
− + =
−
3.14.1.49.
2
x
x 1
lím
x 3→∞
+ = ∞
−
3.14.1.50.
m
mx
ax 1 a
lím
bbx 1→∞
+ =
−
3.14.1.51.
2
2x
x 5x 6
lím 1
x 4x 4→∞
− + =
+ +
3.14.1.52.
2
x
x bx c
lím
x n→∞
+ + = ∞
−
3.14.1.53.
2x
x 4
lím 0
x 4x 4→∞
− =
+ +
3.14.1.54.
2
2
3 3
x x
1 1x
x x
lím 3
→∞
−
=
−
3.14.1.55.
3x
x 1
lím
x 1→∞
− = ∞
−
3.14.1.56.
x
x 4
lím 0
2x 5→∞
+ =
+
3.14.1.57.
x
lím ( x 1 x ) 0
→∞
+ − =
3.14.1.58. 2
x
1
lím ( x x x)
2→∞
+ − =
Cálculo I – José Luis Quintero
70
3.14.1.59.
x
a
lím ( x(x a) x)
2→∞
+ − =
3.14.1.60. 2
x
3
lím ( 4x 3x 1 2x)
4→∞
+ − − =
3.14.1.61. 2
x
1
lím (x x x )
2→∞
− + = −
3.14.1.62.
x
lím ( x x x x ) 1
→∞
+ − − =
3.14.1.63. 2 2
x
a c
lím ( x ax b x cx d)
2→∞
−+ + − + + =
3.14.1.64. 2 2
x
a b
lím ( x ax x bx )
2→∞
++ − − =
3.14.1.65.
2
2x a
x (a b)x ab a b
lím
a cx (a c)x ac→
− + + −=
−− + +
3.14.1.66.
→
+ −
2x 0
1 x 1
lím no existe
x
3.14.1.67.
4 3 2
4 3 2x 1
x x 3x x 2 3
lím
5x x 13x 25x 12→
+ − − + = −
− − + −
3.14.1.68.
2
2
x
6
2sen (x) sen(x) 1
lím 3
2sen (x) 3sen(x) 1π→
+ − = −
− +
3.14.1.69.
3x 1
1 x 3
lím
21 x→
− =
−
3.14.1.70.
3
5x 1
1 x 5
lím
31 x→−
+ =
+
Capítulo 3. Límites y continuidad
71
3.14.1.71.
3
x 3
x 6 x 24 7
lím
x 3 54→
+ − + =
−
3.14.1.72.
3 3 2
x 1
7 x 3 x 1
lím
x 1 4→
+ − + = −
−
3.14.1.73.
3 2 4
2x 0
1 x 1 2x 1
lím
2x x→
+ − − =
+
3.14.1.74.
5
x 1
2 x x 7
lím
x 1 10→
− − = −
−
3.14.1.75.
x 1
x 8 8x 1 7
lím
125 x 7x 3→
+ − + =
− − −
3.14.1.76.
3 3x 2
x 7 3 2x 3 34
lím
23x 6 2 3x 5→
+ − − =
+ − −
3.14.1.77.
4x 1
x 1
lím 32
x 17 2→−
+ =
+ −
3.14.1.78.
5 4
3x 0
1 3x 1 2x
lím 6
1 x 1 x→
+ − − = −
+ − +
3.14.1.79.
2x 7
2 x 3 1
lím
56x 49→
− − = −
−
3.14.1.80.
3x 8
x 8
lím 12
x 2→
− =
−
3.14.1.81.
x 4
3 5 x 1
lím
31 5 x→
− + = −
− −
3.14.1.82.
x
4
1 tg(x)
lím 2
sen(x) cos(x)π→
− = −
−
Cálculo I – José Luis Quintero
72
3.14.1.83.
x
2
x
x 1
lím e
x 1→+∞
+ = −
3.14.1.84.
b
abx
x 0
lím (1 ax) e
→
+ =
3.14.1.85.
ax bx
x 0
e e
lím a b
x→
− = −
3.14.1.86. 2 2
x a
log (x) log (a) 1
lím
x a a ln(2)→
− =
−3.14.1.87.
x 3
5
x
x 4
lím e
x 1
+
−
→−∞
− = +
3.14.1.88.
2x
2
2x
3 x
lím 0
4x 1→∞
+ = −
3.14.1.89.
x 0
cosh(x) 1
lím 0
x→
− =
3.14.1.90.
2x 2
2
x 1
e e
lím 2e
x 1→
− =
−
3.14.1.91.
x
4
ln(tg(x))
lím 1
1 ctg(x)π→
=
−
3.14.1.92.
2x
2
2x
x 3
lím 0
3x 1→+∞
+ = +
3.14.1.93.
x
2
x 1
cos( )
lím
1 x
π
→
= π
−
3.14.1.94.
x 0
3x
lím 3
sen(x)→
=
Capítulo 3. Límites y continuidad
73
3.14.1.95.
x 0
sen(ax) a
lím
sen(bx) b→
=
3.14.1.96. 0
0
x x0 0
cos(x) cos(x )
lím sen(x )
x x→
− = −
−
3.14.1.97.
x
cos(x) 1
lím 0
x→π
+ =
− π
3.14.1.98. x
2
x 1
2
lím (1 x)tg( )π
→
− =
π
3.14.1.99.
2x 0
1 cos(x) 1
lím
4x→
−
=
3.14.1.100.
3x 0
tg(x) sen(x) 1
lím
2x→
− =
3.14.1.101.
2 xx 0
2
1 xsen(x) cos(x)
lím 4
sen ( )→
+ −
=
3.14.1.102.
3
x 0
1 cos (x) 3
lím
xsen(2x) 4→
− =
3.14.1.103. x x
2 2
x
lím sen( ).tg( )−θ π
θ→θ
θ= −
π
3.14.1.104.
x
sen(3x) 3
lím
sen(2x) 2→π
= −
3.14.1.105.
2x 0
1 cos(x) cos(2x) 3
lím
2x→
−
=
3.14.1.106.
x 6
sen(x 6)
lím 1
3 2cos(x)→π
− π =
−
Cálculo I – José Luis Quintero
74
3.14.1.107.
3
x 3
tg (x) 3tg(x)
lím 24
cos(x 6)→π
− = −
+ π
3.14.1.108.
3
2x 2
sen(x) sen(x) 1
lím
3cos (x)→π
−
= −
3.14.1.109.
x 0
sen(3x) 3
lím
sen(2x) 2→
=
3.14.1.110.
x 0
1 sen(x) 1 sen(x)
lím 1
x→
+ − −
=
3.14.1.111.
2x 3
3 x
lím 0
x 9+→
− =
−
3.14.1.112.
3x 1
tg(x 1)
lím 0
x 1→
− =
−
3.14.1.113.
x 3
1 2cos(x)
lím 3
sen(x 3)→π
− =
− π
3.14.1.114.
x 4
tg(x) 1
lím 2
x 4→π
− =
− π
3.14.1.115.
x
x sen(x)
lím 1
x→+∞
+ =
3.14.1.116.
x
xx
3
lím
e→+∞
= +∞
3.14.1.117. 3 3
x
lím ( x 1 x 1) 0
→+∞
− − + =
3.14.1.118.
x 2
lím ( .sec(x) 2xtg(x)) 2
→π
π − =
Capítulo 3. Límites y continuidad
75
3.14.1.119.
2 xx 0
2
1 xsen(x) cos(2x)
lím 6
tg ( )→
+ −
=
3.14.1.120.
2 2
2x 0
cos(mx) cos(nx) n m
lím
2x→
− −=
3.14.2. Calcule los siguientes límites:
3.14.2.1.
x 1
3
x
3x 4
lím
3x 2
+
→∞
−
+
3.14.2.2.
2x
3
3x
x 5x
lím
x x 1→+∞
+
− −
3.14.2.3.
2x 0
ln(cos(x))
lím
x→
3.14.2.4.
x 0
1 1 x
lím ln
x 1 x→
+
−
3.14.2.5. 2 2
x
lím x(ln(x 3) ln(x ))
→+∞
+ −
3.14.2.6.
2
x 2
lím (x ).tg(x)π
→π
−
3.14.2.7.
2
2x 0
1 cos (x)
lím ln
3x→
−
3.14.2.8.
2x 0
1 cos(3x)
lím
2x→
−
3.14.2.9. 3
x 0
lím x .ctg(x).csc(x)
→
Cálculo I – José Luis Quintero
76
3.14.2.10. ctg( x)
x 1
lím (1 sen( x)) π
→
+ π
3.14.2.11.
1
x
x 0
lím 5
−
→
3.14.2.12.
x
log(1 x)
lím
x→+∞
+
3.14.2.13.
2 4 2
x 0
5x x x
lím
x→
− −
3.14.2.14.
2
x 0
x x
lím
x→
+
3.14.2.15.
4x 3
3 x
x
lím
2 e
→ −−
3.14.2.16.
x
lím 2x(ln(x a) ln(x)), a 0
→+∞
+ − >
3.14.2.17. x
x
lím (2 cos(x))
→−∞
3.14.2.18.
1
2 x 1
x 1
lím (x x 1) −
→
+ −
3.14.2.19. 2
x
lím (3x 9x x )
→−∞
+ −
3.14.2.20.
4
3x 2
x 16
lím
x 8→
−
−
3.14.2.21.
x
lím 2x[ln(x 2) ln(x)]
→−∞
+ −
3.14.2.22.
(x 1)
x
x 5
lím
x 1
+
→+∞
+
−
Capítulo 3. Límites y continuidad
77
3.14.2.23.
2
2x 0
sen( 4 x 2)
lím
x→
+ −
3.14.2.24.
2
x 0
tg (x)
lím
1 cos(6x)→ −
3.14.2.25.
3
x 1
2 x x
lím
x 1→
− −
−
3.14.2.26.
x 5
3x 1 4
lím
x 2 3→
+ −
− −
3.14.2.27.
x 0
sen(4x).sen(3x)
lím
x.sen(2x)→
3.14.2.28.
x 0
senh(x)
lím
x→
3.14.2.29.
3
2x 1
x 9 2
lím
x 3x 2→
− +
− +
3.14.2.30.
3
2x 2
x 10 2
lím
x 3x 2→
− +
− +
3.14.3. Sea la función f : R R→ dada por
2
2
x 2 si x 1
f(x) Ax B si 1 x 1
x 2x 3 si x 1
− + < −
= + − ≤ ≤
+ + >
Halle los valores de A y B para que f(x) resulte continua en
x 1= − y x 1= . Rta. 5 7
2 2
A , B= =
Cálculo I – José Luis Quintero
78
3.14.4. Sea la función f : R R→ dada por
2
5 4
2
2
1 x si x 1
Ax Bx Ax B
f(x) si x 1
x 1
x si x 1
− ≤ −
+ − −= < −
≥
Halle los valores de A y B para que f resulte continua en todo
R.
3.14.5. Estudie la continuidad de la siguiente función:
− ≠=
=
2x 1 si x 2
f(x)
0 si x 2
.
3.14.6. Estudie la continuidad de la función
x 1
f(x)
x 1
+=
+
.
3.14.7. Estudie la continuidad de la siguiente función:
2
1 si x
cos(x) si x 0
g(x)
3 si x 0
1 x si x 0
< −π
− π ≤ <= =
− >
.
Capítulo 3. Límites y continuidad
79
3.14.8. Dadas las siguientes funciones, determine los
intervalos de continuidad y los puntos de discontinuidad.
3.14.8.1.
3x 1 si x 0
f(x)
0 si x 0
+ ≠=
=
3.14.8.2.
2
3
3
x 1 si x 0
g(x) x 1 si 0 x 3
25 x si x 3
− ≤
= − − < <
− − ≥
3.14.9. Clasifique las discontinuidades en evitables y no
evitables.
3.14.9.1.
2 1
x
x sen( ) si x 0
f(x)
1 si x 0
≠=
=
3.14.9.2.
sen(x 1) si x 1
f(x) x 1 si 1 x 2
ln(x 1) si x 2
− <
= − ≤ ≤
− >
3.14.9.3.
1
ln x
1 3
si x 0
f(x)
0 si x 0
−
≠=
=
3.14.9.4.
1
1 x 14
si x 0
f(x)
0 si x 0
+ ≠=
=
3.14.9.5.
1
2xe si x 0f(x)
x 1 si x 0
−
<=
+ ≥
Cálculo I – José Luis Quintero
80
3.14.10. Determine a y b de modo que la función
2
2 2
2
2sen(x) si x
f(x) asen(x) b si x
cos(x) si x
π
π π
π
− < −
= + − ≤ ≤
>
Rta. a 1 y b 1= − =
3.14.11. Defina una función continua en R excepto en el
punto x 2= , donde
x 2
f(2) 0, lím f(x)
+→
= = +∞ y
x 2
lím f(x)
−→
= −∞
Rta.
1
x 2
si x 2
f(x)
0 si x 2
− ≠
= =
3.14.12. Para cada una de las funciones dadas determine a y
b para que sean continuas en R:
3.14.12.1.
3
2
x 1 si x 1
f(x) ax b si x 1
x 1 si x 1
− ≤ −
= + <
+ ≥
3.14.12.2.
x
2
e si x 0
f(x) x a si 0 x 1
bx si x 1
<
= − ≤ ≤
>
3.14.13. Estudie la continuidad y describa las
discontinuidades (si las hubiera) de:
1 x
2
3 si x 0
x si 0 x 1
f(x)
2x si 1 x 2
x si x 2
<
≤ <= ≤ ≤
>
.
Capítulo 3. Límites y continuidad81
3.14.14. Estudie la continuidad de la siguiente función y
clasifique las discontinuidades existentes:
1
1 x1 2
1
x 1
4
si x 0
0 si 0 x 1
f(x)
3 si 1 x 5
x 2 si x 5
+
−
<
≤ <=
< <
− >
.
3.14.15. Halle los valores de A, B, C y D para que la función f
sea continua en R:
( )
2
x 1
x 1
Ax x 2 si x 1
B si x 1
f(x) C si 1 x 4
D si x 4
Cx 11 si x 4
−
−
+ + <
=
= < <
=
− >
.
3.14.16. Clasifica las siguientes discontinuidades en
evitables y no evitables. De ser posible, construya a partir de f
una función continua:
1 x
2 21
x
21 1
2 x
e si x 0
1 si x 0
f(x)
x sen( ) si 0 x
cos( ) si x
π
π
<
==
< <
+ ≥
.
Cálculo I – José Luis Quintero
82
83
CAPÍTULO 4
LA DERIVADA DE
UNA FUNCIÓN
4.1. Definición
Considere el límite
0 0
h 0
f(x h) f(x )
lím
h→
+ −
Si este límite existe y es finito recibe el nombre de
derivada de f en 0x . De manera que
0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f '(x ) lím
h→
+ −=
y se dirá que f es derivable en 0x . De forma similar se define
la función derivada de f:
h 0
f(x h) f(x)
f '(x) lím
h→
+ −=
Cálculo I – José Luis Quintero
84
4.2. Notaciones
Si se usa la notación familiar de y f(x)=
para indicar
que y es la variable dependiente de y x es la independiente,
entonces otras notaciones para la derivada son comunes:
x
df(x) dy
y ' f '(x) D f y
dx dx
= = = = = &
4.3. Álgebra de derivadas
Siempre que f y g sean funciones derivables en x se
tiene:
Derivada de la suma:
(f g)'(x) f '(x) g '(x)± = ±
Derivada del producto:
(f.g)'(x) f '(x)g(x) f(x)g '(x)= +
Derivada del cociente:
[ ]2
f f '(x)g(x) f(x)g '(x)
'(x)
g g(x)
−=
4.4. Regla de la cadena
Si y f(u)= y u g(x)= ambas derivables en cada punto
de su dominio, entonces también es derivable y f(g(x))= y
además
y ' f '(g(x))g '(x)=
También es común y fácil de recordar otra formulación
alterna para la regla de la cadena:
dy dy du
.
dx du dx
=
Capítulo 4. La derivada de una función
85
4.5. Derivación implícita
La ecuación de una curva puede expresarse en forma
explícita y f(x)= , o bien en forma implícita F(x,y) 0= . De esta
última, es posible, a veces despejar y como función de x en
forma única y otras veces resulta algebraicamente imposible.
4.6. Derivadas de orden superior
Si f ' es derivable, la derivada de esta función es la
segunda derivada y se denota por f '' . Si ésta a su vez es
derivable, su derivada se llama tercera derivada y se denota
por f ''' , etc.
4.7. Derivación paramétrica
Sean x x(t), y y(t)= =
las ecuaciones paramétricas que
describen una curva. Suponga que dx dt
no se anula en el
dominio de la función x(t). Entonces de x x(t)=
se puede
despejar t como función de x, es decir t t(x)= , y así escribir y
como función de x.
Aplicando regla de la cadena se tiene que
dy
dt
dx
dt
dy dy dt
.
dx dt dx
= =
La segunda derivada será
2 2d y dydx d x2 dyd
2 dt dt 2dt dx dt dt
2 3dx dx
dt dt
d y d dy d dy dt ( )
dx dx dx dt dx dx ( )
− = = = =
Cálculo I – José Luis Quintero
86
4.8. Problemas propuestos.
4.8.1. Usando la definición calcule la función derivable de:
4.8.1.1.
1
f(x)
x
=
4.8.1.2. 2f(x) ln(x )=
4.8.1.3. f(x) sen(x)=
4.8.1.4. 2f(x) 5x 2x 1= + −
4.8.2. En los siguientes ejercicios, halle dy dx :
4.8.2.1. 5 10 20y (x x )= +
4.8.2.2. 2y cos(sen(x ))=
4.8.2.3. xy xπ= π
4.8.2.4.
7
51
y x
x
= +
4.8.2.5.
1
x
4
x
y
2x 1
= +
4.8.2.6. 2y x x 1= − +
4.8.2.7.
2sec(log(x 1))y e +=
Capítulo 4. La derivada de una función
87
4.8.2.8.
1 x
y
1 x
−=
+
4.8.2.9. tg(2x 1) 4 1
x
y e sen ( )−= +
4.8.2.10.
2x
2 2
y csc
ln(1 x)
= −
4.8.2.11. y ln(arctg(3x))=
4.8.2.12. x arcsec(x)y (e x)= −
4.8.2.13. cos(x)y (sen(x))−=
4.8.2.14. 5y arcsen(ln( 1 2x))= −
4.8.2.15.
x3y x
−
=
4.8.2.16.
sen(x)
y arctg
1 cos(x)
= +
4.8.2.17. 2 x
2
y ln(sec (arctg( )))=
4.8.2.18. y arctg(5x) arcctg(7x)= +
4.8.2.19. 2 2y sen (ln(x) x 1)= + +
4.8.2.20.
x
2
2x
y
1 x
−
= −
4.8.2.21. 5
cos(x) sen(x)
y
cos(x) sen(x)
+=
−
Cálculo I – José Luis Quintero
88
4.8.2.22.
x 1
y arccos
x
+ =
4.8.2.23.
4arctg(x )
6
2
x 7
y
x 9
+= +
4.8.2.24. ( )
3
4
2
3 3
2
2
y 4 x 5x
x
= − − +
4.8.2.25.
2
2
1 x 1 1 cos(x)
y arcsen ln
2 1 cos(x)1 x
− += + −+
4.8.2.26.
2x
3
2 2
(x 1)(x 2)
y
(x 1)(x 2)
+ += + +
4.8.3. En los siguientes ejercicios, halle 2 2d y dx :
4.8.3.1. 2y 3x x 4= + −
4.8.3.2.
x
y arcsen
x 1
= +
4.8.3.3. y 2cosh(x)=
4.8.3.4. 2y ln(x 1),= − para x e 1= −
4.8.3.5. 2y cos (x) tg(x),= + para x = π
4.8.3.6.
1 x
y ,
1 x
+=
−
para x 0=
Capítulo 4. La derivada de una función
89
4.8.4. Calcule la derivada dy dx de las siguientes funciones
definidas paramétricamente por:
4.8.4.1.
x 4cos(t)
y 4sen(t)
=
=
4.8.4.2.
t
t
x e cos(t)
, para t 0
y e sen(t)
= =
=
4.8.4.3.
3
2
3
3t
x
1 t
3t
y
1 t
= +
=
+
4.8.4.4.
x 2 sec(t)
, para t
y 1 2tg(t) 6
= + π= = +
4.8.4.5.
x t ln(t)
, para t 1ln(t)
y
t
=
= =
4.8.5. Calcule la derivada y ' dy dx= de las siguientes
funciones dadas implícitamente por:
4.8.5.1. 3 2 2x x y y 0+ + =
4.8.5.2. 2 x xy 3 3 4y, en el punto de ordenada y 1−− = =
4.8.5.3. x ln(y) y ln(x) 1, en el punto (1,e)− =
4.8.5.4. tg(y) xy=
4.8.5.5. x y a+ =
Cálculo I – José Luis Quintero
90
4.8.5.6. y x 1ye e , cuando (x,y) (0,1)+= =
4.8.5.7. y xx y=
4.8.6. ¿Es la función f(x) x x 2= + − derivable en su
dominio?. Justifique su respuesta.
4.8.7. Sean:
f(0) 3, f '(0) 1, f ''(0) 0, g(0) 1, g'(0) 3 y g''(0) 2.= = − = = = =
Halle f
g
( )''(0).
4.8.8. Sean: f '(1) 3, f ''(1) 2, g(0) 1, g '(0) 3 y g ''(0) 2.= = − = = =
Halle [f(g(0))]''.
4.8.9. Sea
2xe 2 si x 0
f(x)
ln(x 1) 1 si x 0
− + ≤=
+ + >
.
4.8.9.1. Grafique la función f.
4.8.9.2. Determine en forma analítica y en forma gráfica si
f '(0) existe.
4.8.10. Sea
3x
2
3
e si x 0
f(x) ax bx c si 0 x 1
x si x 1
<
= + + ≤ ≤
>
.
4.8.10.1. Determine a, b y c para que f sea continua en x 0=
y derivable en x 1=
Capítulo 4. La derivada de una función91
4.8.10.2. Determine a, b y c para que f sea derivable en
x 0= y continua en x 1=
4.8.11. Dada la función:
3
2
x si x 1
f(x)
ax bx c si x 1
≤=
+ + >
,
determine los valores de a, b y c para que f ''(1) exista.
4.8.12. Dada la función
1 x
f(x) ,
1 x
+=
−
calcule (VII)f , deduciendo previamente la derivada n-ésima.
4.8.13. Dada la función
2
f(x) ,
1 2x
=
−
calcule (XI)f , deduciendo previamente la derivada n-ésima.
4.8.14. Dada la función
2x
2
x e
y ,
2x
−−=
halle la expresión xy ' 2y.+
4.8.15. Demuestre que la función
2x
2y(x) xe
−
=
satisface la ecuación = − 2xy ' (1 x )y.
4.8.16. Pruebe que la función
2
k
y(x) 3
x 4
= −
−
Cálculo I – José Luis Quintero
92
es solución de la ecuación diferencial de primer orden
22xy 6x (x 4)y ' 0+ + − = .
4.8.17. Pruebe que la función 1 2y(x) C senh(2x) C cosh(2x)= +
es solución de la ecuación diferencial de segundo orden
y '' 4y 0.− =
4.8.18. Demuestre que la función x 2x
1 2y(x) C e C e− −= + para
cualquier valor de las constantes 1C y 2C satisface a la
ecuación y '' 3y ' 2y 0.+ + =
4.8.19. Pruebe que la función definida por f(x) arctg(x)= es
solución de la ecuación diferencial de segundo orden
2 2 2(1 x ) y '' 2x(1 x )y ' 0.+ + + =
4.8.20. Demuestre que la función xy(x) xe−= satisface la
ecuación xy ' (1 x)y.= −
4.8.21. ¿Qué valores deben tomar las constantes a, b y c
para que la función:
3
0
2
0
x si x x
f(x)
ax bx c si x x
≤=
+ + >
tenga segunda derivada en 0x ?
4.8.22. Pruebe que la función descrita paramétricamente por
las ecuaciones
2
3
3
x t
2
1
y t
2
= −
= − −
,
Capítulo 4. La derivada de una función
93
es una solución de la ecuación diferencial
3
dy dy
2x 2y 1.
dx dx
+ = +
4.8.23. Pruebe que y definida como función de x por las
ecuaciones paramétricas
2 2
x sen( )
y e eα − α
= α
= +
satisface la ecuación diferencial 2(1 x )y '' xy ' 2y.− − =
4.8.24. Sea xy 2e 3xy .= Pruebe que
dy y(xy 1)
.
dx x(2 xy)
−=
−
4.8.25. Pruebe que la función y definida por la ecuación
xy ln(y) 1,− = satisface la ecuación diferencial
+ − =2y (xy 1)y ' 0.
4.8.26. Pruebe que la función y definida por la ecuación
2ln(y) y e cos(x)+ = − satisface la ecuación diferencial
2ysen(x) (1 2y )y '= + .
4.8.27. Dada la función xf(x) e−= , halle f(0) x.f '(0)+ .
4.8.28. Dadas las funciones f(x) tg(x)= y g(x) ln(1 x)= − , halle
f '(0)
g '(0)
.
4.8.29. Dadas las funciones f(x) 1 x= − y x
2
g(x) 1 sen( )π= − ,
halle
g '(1)
f '(1)
.
Cálculo I – José Luis Quintero
94
4.8.30. Demuestre que la función
1
y
1 x ln(x)
=
+ +
satisface a la ecuación diferencial dada por xy ' y(y ln(x) 1)= − .
4.8.31. Demuestre que la función
2x 2x 2
y
2
+ +=
satisface a la ecuación diferencial dada por 21 (y ') 2yy ''+ = .
4.8.32. Demuestre que la función 2 x1
2
y x e= satisface a la
ecuación diferencial xy '' 2y ' y e− + = .
4.8.33. Demuestre que la función 3xy e sen(5x)= satisface a
la ecuación diferencial dada por y '' 4y ' 29y 0.− + =
4.8.34. Si
2
2
3 x 1 1 x 1 1
y ln ln arctg(x)
4 4 x 1 2x 1
+ − = + + +−
,
demuestre que
2
4
x 3x
y ' .
x 1
−=
−
4.8.35. Si
21 1 1 2x 1
y ln(1 x) ln(x x 1) arctg
2 6 3 3
− = + − − + +
,
demuestre que
3
1
y '
1 x
=
+
.
95
CAPÍTULO 5
APLICACIONES DE
LA DERIVADA
5.1. Regla de L’Hospital (Indeterminaciones
0 0
o ∞ ∞ )
Si f y g son funciones derivables en algún intervalo
(a,b) que contiene a c, excepto posiblemente en c, g '(x) 0≠
x (a,b)∀ ∈ ,
x c
límf(x) 0
→
=
y
x c
límg(x) 0
→
=
entonces
x c x c
f(x) f '(x)
lím lím
g(x) g '(x)→ →
=
si este límite existe o es infinito. La regla sigue siendo válida
si
x c
límf(x)
→
= ∞
y
x c
límg(x)
→
= ∞ .
Cálculo I – José Luis Quintero
96
5.2. Definiciones
• f tiene un máximo relativo en 0x
sí y sólo si existe un
intervalo abierto I que contiene a 0x
tal que
0f(x ) f(x) x I> ∀ ∈
• f tiene un mínimo relativo en 0x
sí y sólo si existe un
intervalo abierto I que contiene a 0x
tal que
0f(x ) f(x) x I< ∀ ∈
• f tiene un máximo absoluto en 0x
sí y sólo si
0f(x ) f(x) x D(f )> ∀ ∈
• f tiene un mínimo absoluto en 0x
sí y sólo si
0f(x ) f(x) x D(f )< ∀ ∈
• Se entiende por valor máximo o mínimo el valor de f en
0x , es decir 0f(x ). Es común denominarlos por valores
extremos
5.3. Número crítico y valor crítico
Un punto 0x D(f )∈
es un número crítico de f sí y sólo
si se tiene una de las siguientes posibilidades:
• 0f '(x ) 0=
• 0f '(x ) no existe
• Si 0x
es un extremo del dominio, siendo éste un intervalo
cerrado
Si 0x
es un número crítico de f entonces el valor de f
en 0x
se llamará valor crítico.
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
97
5.4. Teoremas de interés
Teorema de Rolle. Si f es continua en [a,b], derivable en (a,b)
tal que f(a) f(b)=
entonces existe c (a,b)∈
tal que f '(c) 0= .
Teorema del Valor Medio (Lagrange). Si f es continua en
[a,b], derivable en (a,b) entonces existe c (a,b)∈
tal que
f(b) f(a)
f '(c)
b a
−=
−
.
5.5. Criterio de la primera derivada para
crecimiento y decrecimiento
Si f es una función derivable en un intervalo abierto I
se tiene:
• f '(x) 0 x I> ∀ ∈
sí y solo si f es creciente en I
• f '(x) 0 x I< ∀ ∈
sí y solo si f es decreciente en I
5.6. Criterio de la primera derivada para
máximos y mínimos
Sea f una función continua en su número crítico 0x ,
derivable en un intervalo abierto I que contiene a 0x , excepto
probablemente en 0x .
• Si f '(x) 0>
a la izquierda de 0x
y f '(x) 0<
a la derecha de
0x
entonces 0f(x )
es un valor máximo
• Si f '(x) 0<
a la izquierda de 0x
y f '(x) 0>
a la derecha de
0x
entonces 0f(x )
es un valor mínimo
• Si f '(x)
no cambia de signo en 0x
entonces 0f(x )
no es un
valor máximo ni mínimo.
Cálculo I – José Luis Quintero
98
5.7. Concavidad y punto de inflexión
• El gráfico de f es cóncavo hacia arriba en (a,b) sí y sólo
si para cada par de números 1 2x ,x (a,b)∈
se tiene que
1 2y(x) f(x) x [x ,x ]> ∀ ∈
donde y(x) es la cuerda que une los
puntos 1 1 2 2(x ,f(x )) y (x ,f(x ))
• El gráfico de f es cóncavo hacia abajo en (a,b) sí y sólo si
para cada par de números 1 2x ,x (a,b)∈
se tiene que
1 2y(x) f(x) x [x ,x ]< ∀ ∈
donde y(x) es la cuerda que une los
puntos 1 1 2 2(x ,f(x )) y (x ,f(x ))
Se dice que el punto 0 0(x ,f(x ))
es un punto de
inflexión del gráfico de f si en él se produce un cambio de
concavidad.
Si 0 0(x ,f(x ))
es un punto de inflexión y f’(x) es
continua en 0x entonces se tiene una de las siguientes
posibilidades:
• 0f ''(x ) 0=
• 0f ''(x )
no existe
5.8. Criteriode la segunda derivada para
concavidad
• f ''(x) 0 x I> ∀ ∈
sí y sólo si el gráfico de f es cóncavo hacia
arriba en I
• f ''(x) 0 x I< ∀ ∈
sí y sólo si el gráfico de f es cóncavo hacia
abajo en I
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
99
5.9. Criterio de la segunda derivada para
máximos y mínimos
Sea f(x) una función tal que f’’(x) es continua en un
intervalo abierto I que contiene a 0x
y que 0f '(x ) 0= .
• si 0f ''(x ) 0<
entonces 0f(x )
es un valor máximo
• si 0f ''(x ) 0>
entonces 0f(x )
es un valor mínimo
5.10. Asíntotas al gráfico de una función
Considere un punto P(x,f(x)) sobre el gráfico de la
función f. Si la distancia de P a una recta R, tiende a cero,
cuando 0x x→
o bien cuando x → ±∞ , se dirá que la recta R
es una asíntota al gráfico de f. Se tienen dos posibilidades:
Asíntota vertical. Si
x x0
lím f(x)
→
= ±∞
entonces la distancia de P
a la recta R de ecuación 0x x=
es tal que:
0d d(P,R) x x 0= = − → cuando 0x x→
Por lo tanto, la recta 0x x=
es una asíntota vertical al gráfico
de f. Es válido el mismo resultado en el caso de límites
laterales.
Asíntota oblicua. Si existen los límites
x x
f(x)
m lím , b lím[f(x) mx]
x→∞ →∞
= = −
entonces
x
lím[f(x) (mx b)] 0
→∞
− + =
Por lo tanto la recta R de ecuación y mx b= +
es una asíntota
al gráfico de f.
Cálculo I – José Luis Quintero
100
5.11. Trazado de curvas
Para el correcto trazado de la gráfica de una función
y f(x)= , se deben tener en cuenta los siguientes datos:
Obtenidos de la función y = f(x): Dominio. Continuidad. Cortes
con los ejes. Signo de f. Simetrías. Asíntotas.
Estudio de la primera derivada: Números críticos. Signo de f’.
Intervalo de crecimiento y decrecimiento. Valores máximos y
mínimos (criterio de la primera derivada).
Estudio de la segunda derivada: Abscisa de los posibles
puntos de inflexión. Intervalos de concavidad. Máximos y
mínimos (criterio de la segunda derivada). Puntos de
inflexión.
5.12. Problemas de cambios relacionados
Con este nombre se conocen todos aquellos problema
que involucran la relación de aumento o disminución de una
variable en relación con el aumento o disminución de otra.
5.13. Problemas de optimización
Con este nombre se conocen todos aquellos problemas
que conducen a la búsqueda de máximos o mínimos (valores
extremos) de alguna magnitud sujeta, por lo general, a
diversas variables con determinados rangos de variación para
éstas últimas.
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
101
5.14. Problemas propuestos
5.14.1. Compruebe los siguientes resultados aplicando la
regla de L’Hospital:
5.14.1.1.
x 0
2x
lím 2
cos(x) x 1→
= −
− −
5.14.1.2.
x 0
ln(x)
lím 0
csc(x)+→
=
5.14.1.3.
x
3x
e
lím
x→∞
= +∞
5.14.1.4. ( )2
x
2
lím xtg(x) sec(x) 1π
−π→
− = −
5.14.1.5. 2x
2x 1
lím (1 x)tg( )π
π→
− =
5.14.1.6. x
x 0
lím (sen(x)) 1
+→
=
5.14.1.7.
ln(x)
x
1
lím 1 1
x→+∞
+ =
5.14.1.8.
x
ln(x)
lím 0
x→+∞
=
5.14.1.9.
2
4 3x 0
cosh(4x) 8x 1 8
lím
9sen(6x) 12x 36x 6x→
− − =
+ + −
5.14.1.10. ( )2
x
lím lnx x
→+∞
− = −∞
Cálculo I – José Luis Quintero
102
5.14.1.11.
x
10x
10
lím 0
x→+∞
=
5.14.1.12.
3x
3x 2x
2e ln(x)
lím 2
e x→+∞
+ =
+
5.14.1.13.
xx
cosh(x) x 1
lím
2e ln(x)→+∞
+ =
+
5.14.1.14. ctg(x)
x 0
lím (cos(x)) 1
→
=
5.14.1.15. 1 x
x 0
lím xe−
−→
= −∞
5.14.1.16.
x
4
lím (1 tg(x))sec(2x) 1
π→
− =
5.14.1.17. 2x 0
1 2 1
lím
1 cos(x) 6x→
− = −
5.14.1.18.
x
lím [ln(x) ln(1 x)] 0
→+∞
− + =
5.14.1.19.
1
3
x 0
(1 sen(x)) 1 1
lím
ln(1 x) 3→
+ − =
+
5.14.1.20.
1
2x
2x
e 1 1
lím
22arctg(x )→+∞
− = −
− π
5.14.2. Halle la ecuación de la recta tangente y normal al
gráfico de la función 5 3f(x) x 5= + en el punto (3,2).
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
103
5.14.3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la función
2 4y 3 x 5x x= + − + cuando x 0= .
5.14.4. Calcule la ecuación de la recta normal a la curva
2 2x y 9− = en x 7= , siendo y 0.>
5.14.5. ¿En qué punto del gráfico de xy 2= la tangente es
paralela a la recta de ecuación 8x 2y 3 0?− + + =
5.14.6. Encuentre la ecuación de la tangente al gráfico de
y 1 ln(x)= + que pasa por (0,3).
5.14.7. Dada la curva de ecuación
3 2 2
2 2y log (x 1) log (x 1) y ,+ − − =
halle la ecuación de la recta normal a su gráfica en el punto
de ordenada y 1.=
5.14.8. Dar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva
de ecuación
3
2
1 t
x(t)
t
3 1
y(t)
2t2t
+ =
= +
paralelas a la recta y x 10 0.− + =
5.14.9. Encuentre los puntos de la curva 3 2y x x x 1= − − +
donde la recta tangente a la curva sea horizontal.
Cálculo I – José Luis Quintero
104
5.14.10. Demuestre que la curva 3x5x6y 3 −+= no tiene
rectas tangentes de pendiente igual a 4.
5.14.11. Sea 2f(x) x , x [ 1,1].= ∈ − Encuentre los subconjuntos
de [-1,1] donde esta función es creciente o decreciente.
5.14.12. Sea 3 3 5
2 2f(x) x 3x 3, x [ , ].= − + ∈ − Determine los
subconjuntos de 3 5
2 2[ , ]− donde la función dada es creciente o
decreciente.
5.14.13. Encuentre los máximos y mínimos de la función
3 2f(x) 2x 15x 84x 8.= − − +
5.14.14. Halle los puntos de inflexión sobre el gráfico de cada
una de las siguientes funciones:
5.14.14.1. 2
2
f(x)
x 3
=
+
5.14.14.2. 4 2f(x) x 2x= −
5.14.15. Sea 3 2f(x) ax bx cx d= + + + , encuentre los valores de
las constantes a, b, c y d para que la función f alcance un
máximo relativo con valor 2 en x 1= − y un mínimo relativo
con valor –1 en x 1= .
5.14.16. Determine la constante a para que la función
2 a
f(x) x
x
= +
tenga:
• Un mínimo relativo en x 2=
• Un mínimo relativo en x 3=
• Un punto de inflexión en el punto de abscisa x 1=
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
105
5.14.17. Demuestre que la función del ejercicio anterior no
puede tener un máximo relativo para ningún valor de a.
5.14.18. Haga un estudio completo y construya el gráfico de
las siguientes funciones:
5.14.18.1.
1
xf(x) e=
5.14.18.2.
3
2
x
f(x)
2x 8
=
−
5.14.18.3. 2f(x) x ln(x)=
5.14.18.4. 2 xf(x) x e−=
5.14.18.5.
2x
2x 1f(x) e −=
5.14.18.6.
1
f(x) x
x
= +
5.14.18.7. 2/3 2f(x) x (x 7)= −
5.14.18.8.
5
4
x
f(x)
(x 1)
=
−
5.14.18.9.
22 xf(x) x e−=
5.14.18.10.
ln x
f(x)
x
=
5.14.18.11.
x
x 1f(x) (x 1)e −= −
5.14.18.12.
xe
f(x)
1 x
=
+
Cálculo I – José Luis Quintero
106
5.14.19. En una planta de arena y grava, la arena está
cayendo de una cinta transportadoraen un recipiente cónico
de diámetro en la base de 20 pies y altura de 20 pies. Si la
arena cae a razón de 46 pies3/min, mientras que en un
orificio en el fondo escurre arena a razón de 1 pie3/min.
¿Cuál es la razón de cambio de la altura de la arena cuando
está a la mitad de la altura? Rta: 9/20 pie/min.
5.14.20. Un papagayo vuela a 70 m de altura y a 150 m de
un niño que en ese instante suelta la cuerda a velocidad de 2
m/seg. Sabiendo que el viento eleva el papagayo a 3 m/seg,
¿cuál es la velocidad horizontal del viento?
Rta: 9 4 11 m/seg.
5.14.21. Una piedra se deja caer en un lago, creando un
círculo que se aleja del centro con una rapidez de 60 cm/seg.
Encuentre la rata de cambio a la cual se está incrementando
el área del círculo cuando ha pasado (a) 1 seg (b) 3 seg (c) 5
seg.
5.14.22.Un balón esférico se infla con gas a razón de 20
cm3/seg. ¿A qué velocidad está creciendo su radio en el
instante en el que el radio es de 30 cms? Rta: 1180π cm/seg.
5.14.23. Un automóvil se desplaza por una pista en forma de
triángulo equilátero de 5 Km de lado a 250 km/h. En el
instante en que el automóvil está a 3 Km de uno de los
extremos de la recta, ¿a qué velocidad cambia su distancia al
punto de partida que está en ese instante en el vértice
opuesto? Rta: 125 19 Km/h.
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
107
5.14.24. Dos barcos A y B parten de un mismo punto = y
siguen rutas que forman un ángulo de 120o . ¿Con qué
rápidez varía la distancia entre ellos en el instante en que
OA=8 millas y OB=6 millas?. El barco A navega a 20 millas/h
y el B a 30 millas/h. Rta: 260 37 millas/h.
5.14.25. Un avión A viaja hacia el norte a 100 m/h y un
avión B viaja hacia el este a 150 m/h. Si ambos salieron al
mismo tiempo, ¿con qué rapidez aumenta la distancia entre
ellos cuando el primero ha recorrido 3 millas y el segundo 4
millas? Rta: 180 millas/h.
5.14.26. Un avión vuela con una velocidad de 500 Km/h y
con una inclinación de 45o hacia arriba. Encuentre la rapidez
de cambio de la distancia del avión a una torre de control en
tierra, un minuto después de que éste pasó directamente 3
Km arriba de ella (desprecie la altura de la torre).
Rta: 490.15 Km/h.
5.14.27. Una disolución se vierte a razón de 2 cm3/min en
un filtro cónico cuyo radio de la base es de 6 cms y de altura
24 cm y se filtra a razón de 1 cm3 por minuto. ¿Cuál es la
velocidad de elevación del nivel del líquido cuando este se
halla a 8 cm de altura? Rta: 1 4π cms/min.
5.14.28. En un instante la sombra de un árbol de 20 m de
alto es de 30 m de longitud. Si el ángulo que forma el sol con
el suelo disminuye a razón de 15o por hora, ¿a qué razón
aumenta la longitud de la sombra en ese instante?
Rta: 65 12π cm/h.
Cálculo I – José Luis Quintero
108
5.14.29. La arista de un cubo crece a razón de 3 cm/seg.
Calcular con qué velocidad está cambiando el volumen en
cada uno de los siguientes instantes:
a. Cuando la arista mide 1 cm. Rta: 9 cm3/seg.
b. Cuando la diagonal mide 10 cm. Rta: 300 cm3/seg.
5.14.30. Una escalera de 10 pies de longitud descansa en un
muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y aleja de la
pared a una velocidad de 1pie/seg, ¿con qué velocidad se
desliza el extremo superior por el muro cuando el extremo
inferior está a 6 pies de la pared? Rta: -3/4 pie/seg.
5.14.31. De un depósito cónico está saliendo agua a razón de
1 cm3/seg. Si el radio de la base es 4 cms y la altura 8 cm,
hallar el ritmo al que está bajando el nivel del agua cuando
está a 2 cms del borde superior. Rta: 1 9− π cm/seg.
5.14.32. Una persona camina en línea recta a una velocidad
de 4 pies/seg. En el piso, a 20 pies de distancia del camino,
hay un faro, que se mantiene dirigido hacia el caminante. ¿A
qué velocidad gira el faro, cuando el sujeto se encuentra a 15
pies del punto del camino más cercano al faro?
Rta: 0.128 rad/seg.
5.14.33. Un tanque de agua tiene forma de cono circular
invertido, con radio de la base igual a 2 m y 4 m de altura. Si
se le bombea agua, a razón de 2 m3/min, calcula la velocidad
con que sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza
3 metros.
5.14.34. El minutero de un reloj mide 4 cm de longitud y el
horario mide 3 cm. ¿A qué velocidad se separan sus extremos
a las 9:00 horas? Rta: 11 150 cm minπ
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
109
5.14.35. Un trozo de hierro en forma de paralelepípedo
rectángulo se dilata por el calor. La dilatación lineal del metal
es de 0.000028 cm/Cseg de aumento de su temperatura. ¿A
qué velocidad se dilata el cuerpo cuando sus medidas son: 40
cm, 30 cm y 62 cm? Rta. 30.21224 cm /Cseg
5.14.36. Halle dos números no negativos cuya suma sea 10 y
cuyo producto sea máximo. Rta. 5 y 5
5.14.37. Halle dos números no negativos de suma 1 que
hagan:
a. máximo la suma de sus cuadrados. Rta. 0 y 1
b. mínima dicha suma. Rta. ½ y ½
5.14.38. Encuentre dos números positivos de suma 36 y
tales que su producto sea máximo. Rta. 18 y 18
5.14.39. La suma de un número y el triple del otro es 60.
Halle los números si su producto ha de ser máximo.
Rta. 30 y 10
5.14.40. Divídase 20 en dos partes (no necesariamente
enteras) tales que el producto de una de ellas por el cuadrado
de la otra sea máximo. Rta. 20/3 y 40/3
5.14.41. Determine el número que supera más a su
cuadrado. Rta. 1/2
5.14.42. Oswaldo Guillén arroja una pelota con determinada
fuerza y el alcance de su tiro está gobernado por la fórmula
Cálculo I – José Luis Quintero
110
2V .sen(2 )o
gA( )
θθ = . ¿Cómo debe ser θ para que el alcance A sea
máximo?. Rta. 4θ = π
5.14.43. Pruebe que el rectángulo de máxima área con
perímetro dado P, es un cuadrado.
5.14.44. Se desea cercar un jardín rectangular con mts 200
de alambre. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el
área sea máxima?. Rta. 50 mts x 50 mts
5.14.45. Una mujer planea cercar un jardín rectangular de
264 m . ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del jardín para
que la cerca fuera lo más corta posible?
Rta. 8 mts x 8 mts
5.14.46. Halle el área máxima para un rectángulo inscrito en
un círculo de radio r. Rta. 22r
5.14.47. Se inscribe un rectángulo en la elipse
2 2x 400 y 225 1,+ = con sus lados paralelos a los ejes de la
elipse. Halle las dimensiones del rectángulo de a. área
máxima y b. perímetro máximo.
Rta. a. 20 2 15 2× . b. 32 18× .
5.14.48. Un hombre tiene un muro de piedra al costado de
un terreno. Dispone de 1200 metros de material para cercar y
desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como
uno de sus costados. ¿Qué dimensiones debe tener el corral
para que encierre la mayor área posible?
Rta. 300 mts x 600 mts
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
111
5.14.49. Un rectángulo tiene dos vértices enel eje x, y los
otros dos sobre la parábola 2y 12 x , y 0.= − ≥ ¿Cuáles son
las dimensiones del rectángulo para que tenga área máxima?.
Rta. 4 x 8
5.14.50. Una etiqueta de un producto farmacéutico debe
contener cms 50 cuadrados de material impreso con 4cms de
margen arriba y abajo y 2 cms de margen a los lados. ¿Qué
dimensiones debe tener la etiqueta para que gaste menos
papel? Rta. 9 cms x 18 cms
5.14.51. Se desea cortar una viga rectangular de un tronco
de sección transversal circular de diámetro a. Si la
resistencia de una viga es proporcional al producto de su
anchura por el cuadrado de su altura, hallar las dimensiones
de la sección transversal que da la viga de mayor resistencia.
Rta. 2 1
3 3
a a× .
5.14.52. Halle las dimensiones de un cilindro circular recto
que se puede inscribir en una esfera de radio R para que su
volumen sea máximo. Rta. 2 2
3 3
r R, h R= =
5.14.53. Se ha de cortar una pieza de cuerda de longitud L
en dos partes, una para formar un triángulo equilátero y la
otra un círculo. Se pregunta cómo debería cortarse la cuerda
de modo que:
a. haga máxima la suma de sus áreas.
b. haga mínima la suma de sus áreas.
Rta.
a. No se corta el alambre y se hace con él un círculo de
r L 2 .= π
b. Se corta en un punto que dista 3 L
9 3
π
+ π
unidades de un
extremo.
Cálculo I – José Luis Quintero
112
5.14.54. Un alambre de longitud dada L se quiere cortar en
dos trozos para formar con ellos un cuadrado y un triángulo
equilátero. Encuentre la longitud de cada trozo de modo que:
a. sea mínima la suma de las dos áreas.
b. sea máxima dicha suma.
Rta.
a. 4L
4 3 3+
para el cuadrado y 3 3L
4 3 3+
para el triángulo.
b. Se utiliza todo para el cuadrado.
5.14.55. Halle las dimensiones del cilindro circular recto de
máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular
recto dado, de altura a y radio b. Rta. r 2b 3, h a 3= =
5.14.56. Dado un cono circular de altura H y radio R, se
inscribe en él, otro cono de forma que su vértice coincide con
el centro de la base del primer cono. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones del cono inscrito para que su volumen sea
máximo?. Rta. r 2R 3, h H 3= = .
5.14.57. Halle los puntos de la parábola 2x 2y= más
cercanos al punto (10,0). Rta. (9.75, 2.208)± .
5.14.58.¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro
dado igual a 2p, tiene mayor área? Rta. x y (2 2)p= = − .
5.14.59. En una lámina rectangular de 6 cms x 8 cms se
corta un cuadrado en cada esquina de lado h. Se construye
una caja sin tapa. Calcule h para que el volumen de dicha
caja sea máximo. Rta. 7 13
3h −= .
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
113
5.14.60. Halle el máximo volumen de un cilindro circular
recto, que se puede inscribir en una esfera de radio r.
Rta.
34 3 r
9V π= .
5.14.61. Pruebe que una lata de forma cilíndrica con tapa de
volumen V se puede construir con la mínima cantidad de
metal si su altura es igual a su diámetro de la base.
5.14.62. Sea h(x) f(x).g(x)= el producto de dos funciones que
tienen primera y segunda derivada y que son positivas:
f(x) 0> y g(x) 0> .
a. ¿Se puede decir que si f y g tienen un máximo relativo en
x a= , también h tiene un máximo relativo en dicho
punto?
b. ¿Es cierto que si f y g presentan un punto de inflexión en
x a= , lo tiene también h?
En ambos casos demuestre si es cierto o construya un
ejemplo numérico, que pruebe que la proposición es falsa.
Rta. a. Sí, puede decirse. b. No necesariamente cierto:
3f(x) g(x) 5 x x= = + + para x 1, a 0.≤ =
5.14.63. Una recta variable que pasa por el punto (1,2) corta
al eje x en A(a,0) y al eje y en B(0,b). Encuentre el área del
triángulo AOB de superficie mínima suponiendo a y b
positivos. Rta. 4
5.14.64. Dos postes de 20 y 28 pies de altura
respectivamente, se encuentran a 30 pies de distancia. Se
han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el
suelo a los extremos de los postes. ¿Dónde se han de fijar los
dos cables para que la cantidad de cable a emplear sea
mínima?. Rta. 12.5 pies del poste de 20 pies
Cálculo I – José Luis Quintero
114
5.14.65. Pruebe que el rectángulo de mínimo perímetro con
área dada A, es un cuadrado.
5.14.66. El perímetro conjunto de un círculo y un cuadrado
es 16. Halle las dimensiones del círculo y del cuadrado que
den un área total mínima. Rta. 8 16
4 4r , l+π +π= = .
5.14.67. El consultorio de un médico está formado por una
habitación rectangular con un semicírculo en cada extremo.
Si la habitación ha de tener un perímetro de 200 mts, halle
las dimensiones que harán el área de la región rectangular lo
mayor posible. Rta. 100 100mts mts.π π×
5.14.68. Una ventana tiene la forma de un rectángulo
rematado por su parte superior con un semicírculo y se
quiere contonear con P metros de borde metálico. Hallar el
radio de la parte semicircular, si el área total de la ventana
debe ser máxima. Rta. P
4r .+π=
5.14.69. Halle las dimensiones del rectángulo que tenga área
máxima y que se pueda inscribir en un triángulo equilátero
con lado de longitud L, si un lado del rectángulo está en la
base del triángulo. Rta. 3LL
2 4 .×
5.14.70. Dos lados de un triángulo tienen a y b de largo, y el
ángulo entre ellos es θ ¿Qué valor de θ maximizará el área
del triángulo?. Rta. 2 .
πθ =
5.14.71. Encuentre las dimensiones del triángulo isósceles
de mayor área que se pueda inscribir en un círculo de radio r.
Rta. 3
23r r.×
Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada
115
5.14.72. Dada una esfera de radio R, halle el radio r y la
altura h del cilindro circular recto, con mayor área lateral (sin
base ni tapa), que se puede inscribir en la esfera.
Rta. 2
2r R, h 2R.= =
5.14.73. En una fábrica de espejos, el costo de cada espejo
es directamente proporcional a su área. Debido a un descuido
en el manejo de un espejo rectangular de lados 80 y 90, un
empleado que lo maniobra lo deja caer y rompe una esquina
en forma aproximada de triángulo rectángulo con
dimensiones 12 x 10, respectivamente (12 en el lado de 80).
Determinar el área máxima del espejo rectangular que se
puede obtener con el espejo roto. Rta. 6400
5.14.74. La empresa IVA es propietaria de un edificio de 50
apartamentos. Todos se encuentran ocupados cuando el
alquiler mensual por apartamento es de Bs.3600. IVA ha
observado que por cada Bs.200 de aumento en el alquiler se
desocupan dos apartamentos. Cada inquilino paga Bs.240
mensuales de condominio, pero este pago lo debe hacer la
empresa por cada apartamento desocupado. Calcular cuánto
deberá cobrar IVA, por el alquiler mensual de cada
apartamento ocupado, para obtener un beneficio máximo.
Rta. 4200 bolívares
5.14.75. Un joyero puede producir un par de pendientes a
un costo de 3000 pesetas. Se han estado vendiendo estos
pendientes por 5000 pesetas y, a este precio, los
consumidores han venido comprando 4000 pares al mes. El
joyero está estudiando el aumentar el precio de venta y
estima que, por cada 1000 pesetas de aumento, venderá
mensualmente 400 pares menos. Halle el precio de venta que
produzca el beneficio máximo. Rta. 9000 pesetas
Cálculo I – José Luis Quintero
116
5.14.76. Pruebe que el área máxima de un rectángulo
inscritoen un triángulo es la mitad de la del triángulo.
5.14.77. Un campo rectangular está limitado por dos tipos de
cerca: los lados más largos cuestan 12 $ por cada metro,
mientras que los lados más cortos cuestan solo 4 $ el metro.
Si la cerca encierra un área de 4000 metros cuadrados,
¿cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total de
la cerca?. Rta. x 36,515; y 109,54.= =
5.14.78. En el triángulo ABC, D está en AB,
CD AB, AD BD 4⊥ = = y CD 5.= ¿Dónde se debe tener
un punto P en CD para que la suma PA PB PC+ + sea
mínima?. Rta. 4 3 cm de D.