Teoria de Colas

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Investigación
Operativa
Teoría de Colas
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Profesor: Ing. Carlos A. Martin
E-mail: ing_carlos_martin@hotmail.com
Unidad IX: Teoría de Colas
Ing. Carlos Martin
• Características de un fenómeno de espera: 
• Estructura básica de un modelo de colas: 
• Fuente de entrada (Población potencial). 
• Cola. Disciplina de cola. 
• Mecanismo de servicio. 
• Un proceso de colas elemental. 
• Terminología y notación. 
• Relaciones entre L, W, Lq y Wq. 
• El proceso de llegada. 
• Proceso de salida o servicio. 
• Disciplina de la cola. 
• Modo utilizado por las llegadas para unirse a la cola.
• Expresiones y definiciones estándar para líneas de espera:
Característica de la población con acceso o en busca del
servicio (Tamaño, características y conducta); Características de
las colas (Longitud limitada o ilimitada); Características del
centro o facilidad de servicio (Distribución física del sistema de
colas, La disciplina de la cola y la distribución de probabilidad
apropiada que describe los tiempos de servicio).
• Ejemplos de sistemas elementales de colas: Tiempos
constantes de llegada y de servicio. Modelos de colas de un
sólo canal: Llegadas con distribución Poisson y tiempos de
servicios distribuidos exponencialmente. Ejemplos de sistemas
de colas reales.
• La distribución exponencial: Propiedades; Relación con la
distribución de Poisson. Proceso de nacimiento y muerte:
Cadenas de Markov de parámetros (tiempo) continuos.
Ing. Carlos Martin
• Modelos con tasa de llegadas y de servicio de tipo Poisson: 
• Modelo M/M/1. Modelo M/M/s. Modelo M/M/1/K. Modelo 
M/M/s/K. Modelo M/M/1//H. Modelo M/M/s//H. 
Modelo M/M/. Modelos de fuente finita: el modelo de 
reparación de máquina.
• Redes de colas: Introducción. Colas infinitas en serie. Redes de 
Jackson. Ejemplos.
• Comportamiento de los costos: Coste de espera en el sistema, 
coste de proporcionar el servicio: coste fijo, coste variable 
(Valoración por servicio, valoración por tiempo), coste total.
• TRABAJO PRACTICO Nº 9
Ing. Carlos Martin
BIBLIOGRAFÍA
WINSTON WAYNE L.. “INVESTIGACION DE OPERACIONES. EDITORIAL. GRUPO EDITORIAL 
IBEROAMERICANA. ©1994
TAHA HAMDY A. “INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES”. EDIT. ALFA OMEGA. ©2004
HILLIER FREDERICK S. “INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES. 
EDITORIAL. MC GRAW HILL. ©2001
EPPEN G.D. “INVESTIGACION DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA. 
EDITORIAL PRENTICE. ©2000
ACKOFF L. “FUNDAMENTOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. EDIT. LIMUSA. ©1994
MATHUR K. “INVESTIGACION DE OPERACIONES”. EDIT. PRENTICE HALL. ©1996
BRONSON R. “INVESTIGACION DE OPERACIONES”. EDIT. MC GRAW HILL. ©1996
KAUFMAN, A. “METODOS Y MODELOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. 
EDITORIAL C.E.C.S.A.. ©1978
LEVIN, R. I. “ENFOQUES CUANTITATIVOS A LA ADMINISTRACIÓN. EDIT. CECSA. ©1983
GROSS D. “FUNDAMENTALS OF QUEUEING THEORY”. EDIT. JOHN WILEY & SONS. ©1985
ALLEN A. “PROBABILITY, STATISTICS, AND QUEUEING THEORY WITH COMPUTER 
SCIENCE APPLICATIONS”. ©1979.
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Introducción
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Definición de Teoría de Colas
• Teoría de colas es el estudio analítico del comportamiento
de líneas de espera.
• Estas se presentan cuando los “clientes” llegan a un lugar
solicitando un servicio a un “servidor” el cual tiene una
capacidad de atención.
• Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente
decide esperar, entonces se forma la línea de espera.
Ing. Carlos Martin
Cuando se Genera una Situación de Líneas de Espera?
 Cuando el cliente llega a la instalación y este esta ocupado, se forma en
una línea de espera.
 El servidor elige a un cliente de la línea de espera para comenzar a
prestar el servicio.
 Al culminarse un servicio, se repite el proceso de elegir a un nuevo
cliente (en espera). Se supone que no se pierde tiempo entre el
momento en que un cliente ya atendido sale de la instalación y la
admisión de un nuevo cliente de la línea de espera.
 Los protagonistas principales son el cliente y el servidor.
 En los modelos de espera, la interacción entre el cliente y el servidor
sólo es de interés en tanto que se relacione con el periodo que necesita
el cliente para completar su servicio.
 Desde el punto de vista de las llegadas de clientes, nos interesan los
intervalos de tiempo que separan llegadas sucesivas.
 Desde el punto de vista del servicio, es el tiempo de servicio por cliente
el que cuenta en el análisis.
Ing. Carlos Martin
Situaciones en las que se ha aplicado la teoría de colas
 Congestionamiento del tráfico automotor.
 Estudio del tráfico aéreo en un aeropuerto. 
 Problemas de almacenamiento.
 Capacidad de la sala de espera de un hospital.
 El número de médicos que deben atender en la guardia de un hospital.
 El número de camas que debe tener un pabellón.
 El número de cajas que deben operar en un banco o en un supermercado, 
en función de la hora y el día de la semana.
 El nº de camiones que deben distribuir productos en una región.
 La secuenciación automática de encendido de semáforos a lo largo de una 
avenida.
 El nº de operadores que atienden llamadas de larga distancia durante un 
turno.
 Programas que esperan ser procesados por una computadora digital.
Ing. Carlos Martin
Fenómenos de Espera
Ing. Carlos Martin
Fenómenos de Espera
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Reseña Histórica 
• La Teoría de colas es una rama de la matemática aplicada que
tiene su origen en un trabajo llevado a cabo en 1910 por A.K.
ERLANG sobre un problema de congestión en el tráfico
telefónico.
• Una situación de este tipo se presenta en el estudio del tráfico
telefónico.
oLas llamadas constituyen el flujo, que es interrumpido, en la
oficina central de teléfono por los operadores, al tratar de
comunicarse con los destinatarios.
oDurante una hora pico, los que tratan de llamar sufren
demoras, ya que los operadores son incapaces de atender
las llamadas con la misma rapidez que se producen.
Ing. Carlos Martin
Reseña Histórica
• El problema que originalmente trató ERLANG en su trabajo de 1910
se refería al cálculo de demora en caso de que solo existiese un
operador, y en 1917 los resultados obtenidos se extendieron al caso
que hubiesen varios operadores.
• Los trabajos continuaron la trayectoria marcada por ERLANG siendo
más interesantes los publicados por MOLINA en 1927 y FRY en 1928.
• Un período de investigación dedicado al aspecto matemático del
problema comenzó en 1930 con un trabajo de POLLACZEK.
• A éste le siguieron los de KOLMOROGOV en 1931 y los de
KHINTCHINE en 1932 y 1933.
• Luego hubo un período de inactividad, que se prolongó hasta la
última guerra.
• Desde entonces se estudió con vista a resolver problemas
industriales.
Ing. Carlos Martin
El Tiempo de Espera
• Tener que esperar no sólo es una molestia personal. 
• El tiempo que la población de un país pierde al esperar en las 
colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en 
la eficiencia de su economía. 
• Por ejemplo, la recompensa de situarnos cerca del escenario en 
el concierto de nuestro artista favorito puede ser motivo 
suficiente para guardar cola durante horas, o incluso días. Y, 
aunque con más desgano, también hacemos cola para tomar el 
colectivo, en los controles de los aeropuertos, en el 
supermercado, en la panadería, en el cine, en un restaurante, en 
el trafico, en un peaje, en la sala de urgencias de un hospital, en 
un turno médico, en la gasolinera, en el banco, en el cajero, en 
distintas oficinas haciendo gestiones de estado ... Todos estos y 
muchísimos otros fragmentos de nuestra cotidianidad 
son tiempos de espera.
Ing. Carlos Martin
El Tiempo de Espera
• Aunque son sufridas en pequeñas dosis, estas demoras que se 
repiten a lo largo del día, de las semanas y los meses suman entre 
dos y cuatro años de la vida laboral de los habitantes de las 
grandes ciudadesde América latina.
• La población que tiene entre 18 y 65 años consume de 6 a 11% de 
su tiempo de vigilia en pausas y esperas.
• Si este tiempo se usara de manera productiva, significarían 
millones de personas-año de trabajo útil. 
• Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del 
impacto que causa la espera excesiva.
• También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de espera 
que no son personas en una cola. 
Ing. Carlos Martin
Por ejemplo, hacer que las maquinas esperen una reparación 
puede dar como resultado pérdida de producción. 
Los vehículos (incluso barcos y camiones) que deben esperar la 
descarga pueden retrasar envíos subsecuentes. 
Los aviones que esperan despegar o aterrizar pueden desorganizar 
la programación posterior de vuelos. 
Los retrasos en las transmisiones de telecomunicaciones por 
saturación de líneas pueden causar fallas inesperadas en los datos.
Cuando los trabajos de manufactura esperan su proceso se puede 
perturbar la producción subsecuente. 
El retraso en los trabajos de servicio respecto a su fecha de 
entrega es una causa de pérdida de negocios futuros.
Ing. Carlos Martin
¿Por Qué Estudiar las Colas?
Entonces, esperar a que nos atiendan es parte de la vida 
diaria y además el fenómeno de esperar no se limita a los 
seres humanos.
Eliminar la espera por completo no es una opción factible 
debido a que el costo de instalación y operación del centro de 
operación puede ser prohibitivo. 
Nuestro único recurso es buscar el equilibrio entre el costo 
de ofrecer un servicio y el de esperar a que lo atiendan. 
El análisis de las colas es el vehículo para alcanzar esta meta.
Ing. Carlos Martin
¿Por Qué Estudiar las Colas?
El estudio de las colas tiene que ver con la cuantificación del fenómeno de 
esperar por medio de medidas de desempeño representativas, tales 
como:
• longitud promedio de la cola, 
• tiempo de espera promedio en la cola, y 
• el uso promedio de la instalación.
Estas medidas se utilizan para diseñar una instalación de servicio.
Por ejemplo, en un restaurante de comida rápida con tres mostradores de 
servicio, el gerente desea agilizar el servicio. 
Un estudio revela la siguiente relación entre la cantidad de mostradores y 
el tiempo de espera para el servicio:
Un examen de estos datos revela un tiempo de espera promedio de 7 
minutos en la situación actual de tres mostradores. Cinco mostradores 
reducirían la espera a 3 minutos aproximadamente.
Ing. Carlos Martin
Cantidad de Cajeros 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo de espera promedio (min) 16.2 10.3 6.9 4.8 2.9 1.9 1.3
Modelo Basado en Costos
• Los resultados del análisis de colas puede incorporarse a un modelo de 
optimización de costos que busca minimizar la suma del costo de 
ofrecer el servicio y la espera por parte de los clientes.
• Un análisis más a fondo del restaurante revela los siguientes resultados:
Ing. Carlos Martin
Cantidad de cajeros 1 2 3 4 5 6 7
Inactividad (%) 0 8 12 18 29 36 42
Modelo basado en costos
• Los resultados del análisis de colas puede incorporarse a un modelo 
de optimización de costos que busca minimizar la suma del costo de 
ofrecer el servicio y la espera por parte de los clientes. 
• La figura muestra un modelo de costos típico (en dólares por unidad 
de tiempo) donde el costo del servicio se incrementa con el aumento 
del nivel de servicio (por ejemplo la cantidad de mostradores de 
servicio). 
• Al mismo tiempo, el costo de esperar se reduce con el incremento 
del nivel de servicio. 
• El obstáculo principal al implementar modelos de costos es la 
dificultad de determinar el costo de la espera, sobre todo la que 
experimentan las personas.
Ing. Carlos Martin
Dos Preguntas
(a) ¿Cuál es la productividad de la estación (expresada como 
el porcentaje del tiempo que los empleados están ocupados) 
cuando el número de cajeros es cinco? 
(b) El gerente desea mantener el tiempo de espera promedio 
en alrededor de 3 minutos y, al mismo tiempo, mantener la 
eficiencia de la instalación aproximadamente a 90%. ¿Pueden 
alcanzarse las dos metas?
Ing. Carlos Martin
Cantidad de 
cajeros
1 2 3 4 5 6 7
Inactividad (%) 0 8 12 18 29 36 42
Cantidad de Cajeros 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo de espera promedio (min) 16.2 10.3 6.9 4.8 2.9 1.9 1.3
Modelo Básico de un Sistemas de Colas
Ing. Carlos Martin
Llegadas
Cola Servidor
Salidas
Elementos de un Modelo de Colas
• Los actores principales en una situación de colas son el cliente y el 
servidor. 
• Los clientes llegan a una instalación (servicio) desde de una fuente. 
• Al llegar, un cliente puede ser atendido de inmediato o esperar en 
una cola si la instalación está ocupada.
• Cuando una instalación completa un servicio, “incorpora” de forma 
automática a un cliente que está esperando en la cola, si lo hay. 
• Si la cola está vacía, la instalación se vuelve ociosa hasta que llega un 
nuevo cliente. 
• Desde el punto de vista del análisis de colas, la llegada de los clientes 
está representada por el tiempo entre llegadas (tiempo entre 
llegadas sucesivas), y 
• El servicio se mide por el tiempo de servicio por cliente. 
Ing. Carlos Martin
• Por lo general, los tiempos entre llegadas y de servicio son:
o probabilísticos (por ejemplo, la operación de una dependencia oficial) o
o determinísticos (digamos la llegada de solicitantes para una entrevista de trabajo 
o para una cita con un médico). 
• El tamaño de la cola es importante en el análisis de colas. 
oPuede ser finito (como en el área intermedia entre dos máquinas 
sucesivas), o, 
o infinita (como en las instalaciones de pedidos por correo). 
• La disciplina en colas, la cual representa el orden en que se seleccionan 
los clientes en una cola, es un factor importante en el análisis de 
modelos de colas. 
oLa disciplina más común es la de primero en llegar, primero en ser 
atendido (FCFS, por sus siglas en inglés). 
oEntre otras disciplinas esta último en llegar primero en ser atendido 
(LCFS, por sus siglas en inglés) 
oServicio en orden aleatorio (SIRO, por sus siglas en inglés). 
oLos clientes también pueden ser seleccionados de entre la cola, con 
base en algún orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes 
en un taller se procesan antes que los trabajos regulares. 
Ing. Carlos Martin
• El comportamiento en colas desempeña un papel en el análisis de líneas 
de espera. 
oLos clientes pueden cambiarse de una cola más larga a una más corta 
para reducir el tiempo de espera, 
opueden desistir del todo de hacer cola debido a la larga tardanza 
anticipada, o 
osalirse de una cola porque han estado esperando demasiado. 
• El diseño de la instalación de servicio puede incluir:
oservidores paralelos (por ejemplo la operación de una dependencia 
oficial o un banco). 
oLos servidores también pueden estar dispuestos en serie (a saber, los 
trabajos procesados en máquinas sucesivas) o 
oestar dispuestos en red (como una red de computadoras). 
• La fuente de la cual se generan los clientes puede ser finita o infinita. 
oUna fuente finita limita la cantidad de clientes que llegan (p. e. las 
máquinas que solicitan el servicio de un técnico en mantenimiento). 
oUna fuente infinita es, para todo propósito práctico, por siempre 
abundante (llamadas que entran a un conmutador telefónico).
Ing. Carlos Martin
Modelos de Colas y Simulación
• Las variaciones en los elementos de una situación de colas originan 
varios modelos de colas matemáticos. 
• Veremos ejemplos de Modelos con tasa de llegadas y de servicio 
de tipo Poisson: 
Modelo M/M/1. Modelo M/M/s. Modelo M/M/1/K. Modelo 
M/M/s/K. Modelo M/M/1//H. Modelo M/M/s//H. Modelo 
M/M/. Modelos de fuente finita: el modelo de reparación de 
máquina. Modelos de Redes de colas.
• Las situaciones de colas complejas que no pueden representarse 
matemáticamente se suelen analizar por medio de simulación.
Ing. Carlos Martin
Cual es el Objetivo al Estudiar la Operación de 
una Instalación de Servicio?
Nuestro objetivo al estudiarla operación de una instalación de servicio en
condiciones aleatorias es el de asegurar algunas características que midan el
desempeño del sistema sometido a estudio.
Por ejemplo:
o Una medida lógica de desempeño es el tiempo que esperará un cliente
antes de ser atendido.
o Otra medida es el porcentaje de tiempo que no se utiliza la instalación de
servicio.
La primera medida vislumbra el sistema desde el punto de vista del cliente
La segunda evalúa el grado de uso de la instalación.
Podemos advertir intuitivamente que cuanto mayor sea el tiempo de espera del
cliente, tanto menor es el porcentaje de tiempo que se mantendría ociosa la
instalación, y viceversa.
Estas medidas de desempeño pueden utilizarse para seleccionar el nivel de
servicio (o tasa de servicio) que producirá un equilibrio razonable entre las dos
situaciones en conflicto.
Ing. Carlos Martin
Objetivo al Estudiar la Operación de una Instalación de 
Servicio
• Se analizaran varios modelos de espera o de líneas de espera que
explican una diversidad de operaciones de servicio.
• El objetivo final de resolver estos modelos consiste en determinar las
características que miden el desempeño del sistema.
• Demostraremos cómo se puede utilizar esta información en la búsqueda
de un diseño "óptimo" para la instalación de servicio.
Ing. Carlos Martin
Un Acercamiento a la Teoría de Colas 
• Muchas industrias de servicio tienen un Sistema de colas, en el
que los “productos” (o clientes) llegan a una estación, esperan en
una “fila” (o cola), obtienen algún tipo de servicio y luego salen
del sistema.
• El tener que esperar en una cola es una experiencia cotidiana que
normalmente se considera desagradable.
• Esperar un ascensor, ser servido en un restaurante o en una cola
de un banco es una confrontación con la pérdida de tiempo.
• Si la espera es demasiado larga, las personas se vuelven irritables
e inquietas; los temperamentos se ofuscan.
• Por supuesto, “demasiado larga” es relativo.
 Por ejemplo, la espera puede hacerse más prolongada si se
está sentado (como en un restaurante) que si se está parado
(como en un supermercado). Aún así, la paciencia tiene
limites. Finalmente, la gente se va a otra parte.
Ing. Carlos Martin
Un Acercamiento a la Teoría de Colas
 Aunque sea desagradable esperar, es fácil observar que el
proporcionar suficiente capacidad de servicio para eliminar la
espera sería muy costoso.
 Piense cuantas cajeras serían necesarias en un banco ó cuantas cajas
en un comercio, para eliminar todas las colas; aún si esto fuera
posible, todavía se tendría que esperar mientras se proporciona el
servicio.
 Es claro que se necesita algún tipo de balance para que el tiempo no
sea muy largo y el costo de servicio no sea muy alto.
Ing. Carlos Martin
Los Modelos de Sistemas de Colas se pueden usar 
para responder preguntas como las siguientes
• ¿Qué fracción de tiempo está ocioso cada servidor?
• ¿Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?
• ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente espera en una cola?
• ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de clientes 
presentes en una cola?
• ¿Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera de 
un cliente?
• Si un gerente de banco desea asegurar que sólo el 1% de los 
clientes tenga que esperar más de 5 minutos su turno, ¿cuántas 
ventanillas debe habilitar?
Ing. Carlos Martin
El Problema del Administrador
• El problema del administrador es determinar qué capacidad o tasa de
servicio proporciona el balance apropiado.
• Con experiencia y sentido común, muchos administradores encuentran
un equilibrio entre los costos de espera y de servicio sin elaborar ningún
cálculo.
• Por ejemplo,
• El administrador de un supermercado actúa intuitivamente para
agregar personal en las cajas cuando las colas se hacen muy largas.
• El administrador de un restaurante planea tener más mozos
alrededor de las horas de comida, guiándose por la experiencia.
• No obstante, hay ocasiones en las que la intuición necesita ayuda, como
cuando va de por medio una inversión sustancial de capital o cuando el
balance apropiado no es evidente.
Ing. Carlos Martin
Cualificación y Cuantificación de una Cola de Espera
• La situación ideal es cuando los servidores están esperando
temporalmente a los clientes y estos sólo esperan servicio
momentáneamente. Este es un caso típico de un “sistema
balanceado” que tiende a un sistema estable o en equilibrio.
• En resumen, lo que algunas veces se denomina crítico para un
problema de cola es una decisión de compromiso: comparando el
costo de suministrar un nivel de servicio (por ejemplo, 10 líneas
telefónicas, 15 reparadores, 4 pistas de aterrizajes, 8 cajeros, y así
sucesivamente) con el costo de espera (cliente insatisfecho, líneas de
producción detenidas, pérdida de ingresos, etc.)
• El análisis cuantitativo con frecuencia es útil en estas situaciones.
Ing. Carlos Martin
La Teoría de Líneas de Espera Tiene los Siguientes 
Objetivos
• Caracterizar cuantitativa y cualitativamente a una cola.
• Determinar los niveles adecuados de ciertos parámetros
del sistema que equilibran el costo social de la espera con
el costo asociado al consumo de recursos.
Ing. Carlos Martin
Cuantificación de una Línea de Espera
• La cuantificación de una línea de espera se puede hacer a
través de un análisis matemático o de un proceso de
simulación.
• El primer enfoque, de poder aplicarse, produce
resultados óptimos. Sin embargo, requiere de
suposiciones muy estrictas en cuanto a la naturaleza de
las llegadas de clientes, el tipo de servicio, el número de
servidores y la estructura del sistema.
• El proceso de simulación tiene una aplicación más
general que el de análisis matemático, ya que
prácticamente se lo puede utilizar para cualquier
sistema. Su desventaja es que no produce valores
óptimos y es mucho más costoso.
Ing. Carlos Martin
Los Problemas Administrativos Relacionados con 
Sistemas de Colas
Estos tipos de problema se clasifican en dos grandes grupos básicos: de
Análisis y de Diseño.
Problemas de Análisis: Si esta interesado en saber si un sistema dado está
funcionando satisfactoriamente. Necesita responder una o más de las
siguientes preguntas:
• ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la
fila antes de ser atendido?
• ¿Qué fracción del tiempo ocupan los servidores en atender un
cliente o en procesar un producto?
• ¿Cuáles son los números promedio y máximo de clientes que
esperan en la fila?
Basándose en estas preguntas, los gerentes tomarán decisiones como:
emplear o no a más gente, una estación de trabajo adicional para mejorar
el nivel de servicio, o si es necesario o no aumentar el tamaño del área de
espera.
Ing. Carlos Martin
Los Problemas Administrativos Relacionados con 
Sistemas de Colas
Problemas de diseño: Si desea diseñar las características de un sistema
que logre un objetivo general. Esto puede implicar el planteamiento de
preguntas como las siguientes:
• ¿Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar
un servicio aceptable?
• ¿Deberán los clientes esperar en una sola fila (como se hace en
muchos bancos) o en diferentes filas (como en el caso de los
supermercados) ?
• ¿Deberá haber una estación de trabajo separada que maneje las
cuestiones “Especiales” (como el caso del acceso a primera clase en
la ventanilla de una aerolínea)?
• ¿Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o los productos
puedan esperar?. Por ejemplo, en un sistema de reservaciones por
teléfono. ¿Qué tan grande debe ser la capacidad de retención?. Esto
es ¿Cuántas llamadas telefónicas se deben mantener en espera
antes de que la siguiente obtenga la señal de ocupado?
Ing. Carlos Martin
Clientes y Servidores
En el Sistema de Colas El Término “Cliente” se usa para Referirse a, Por Ejemplo:
• Gente esperando a que se desocupe alguna línea telefónica.
• Máquinas que deban ser reparadas.
• Aviones esperando autorización para aterrizar.
• Gente esperandoen la cola de un cajero de un supermercado; etc.
El Término Instalaciones de “Servicio” se Utiliza en Sistemas de Cola para 
Referirse a, Por Ejemplo:
• Líneas telefónicas.
• Talleres de reparación.
• Pistas de un aeropuerto.
• Cajas de pago; etc.
Ing. Carlos Martin
Tasas de Servicio
• Los servicios de cola pretenden a menudo una tasa variable de llegada y 
una tasa variable de servicio. 
• Los ejemplos de tasa variable de llegada podrían ser los siguientes:
 La demanda (tasa de llegada) a una central telefónica es de 60 por
minuto.
 La máquina se descompone (o llegan a una instalación de
reparación) a una tasa de 3 por semana o 15 por mes.
 Los aviones llegan (solicitan pista) entre 6:00 PM y 7:00 PM a una
tasa de 1 por minuto.
 Los clientes llegan a una caja de pago a una tasa de 25 por hora.
Ing. Carlos Martin
Tasas de Servicio
Los Ejemplos de Tasa de Servicio Podrían Ser Los Siguientes:
 Los sistemas telefónicos entre dos ciudades pueden manejar 90
llamadas por minuto.
 Una instalación de reparación puede, en promedio, reparar
máquinas a una tasa de 4 por día (o 4 en 8 horas)
 Una pista de aeropuerto puede manejar (aterrizar) dos aviones por
minuto o uno cada 30 segundos.
 En promedio una ventanilla de pago puede procesar un cliente cada
4 minutos.
Ing. Carlos Martin
Homogeneidad
Nótese que las llegadas son homogéneas o vienen de la
misma población.
• Esta es una limitación importante de la Teoría de colas.
Cuando una instalación de servicio, como un aeropuerto,
maneja diferentes tipos de llegadas, éstas se deben tratar
por separado.
• Un ejemplo seria: un sistema para los pasajeros y otro
para los aviones en el aeropuerto.
• Por supuesto, los dos se relacionan, pero la teoría de
colas sólo los puede tratar por separado y en forma
independiente.
• Si se quisiera analizarlos juntos, se tendría que usar
simulación.
Ing. Carlos Martin
Estructuras Típicas de Sistemas de Colas: 
Una Línea, Un Servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Ing. Carlos Martin
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Estructuras Típicas de Sistemas de Colas: 
Una Línea, Múltiples Servidores
Ing. Carlos Martin
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
Ing. Carlos Martin
Estructuras Típicas de Colas: Varias 
Líneas, Múltiples Servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
Estructuras Típicas de Colas: Una Línea, 
Servidores Secuenciales
Ing. Carlos Martin
Costos de un Sistema de Colas
• Costo de espera: Es el costo para el 
cliente al esperar
o Representa el costo de oportunidad 
del tiempo perdido
o Un sistema con un bajo costo de 
espera es una fuente importante de 
competitividad
Ing. Carlos Martin
Proceso básico de colas
El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas
es el siguiente.
 Los clientes que requieren un servicio se generan a través del
tiempo en una fuente de entrada.
 Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola.
 En determinado momento se selecciona un miembro de la cola,
para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida
como disciplina de cola (o disciplina de servicio).
 Después, en un mecanismo de servicio se lleva a cabo el servicio
requerido por el cliente luego de lo cual el cliente sale del Sistema
de colas.
 Los clientes que se forman en una cola lo hacen en un área de
espera.
Ing. Carlos Martin
Fuente de Entrada (Población Potencial)
 Una característica de la fuente de entrada es su tamaño.
 El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio
en determinado momento, es decir, el número total de clientes
potenciales distintos.
 Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que
también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada).
 Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito, esta suposición
se hace muy seguido cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente
grande, y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier modelo
que no establezca otra cosa.
 El caso finito es más difícil analíticamente, pues el número de clientes en la cola
afecta el número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier
momento; pero debe hacerse esta suposición finita si la tasa de llegada de
clientes nuevos que se generan en la fuente de entrada queda afectada en
forma significativa por el número de clientes en el sistema de líneas de espera.
Ing. Carlos Martin
Factores Principales en el Análisis de Líneas de 
Espera
 En los modelos de espera, las llegadas y los tiempos de servicio de
clientes se resumen en términos de distribuciones de probabilidad
que normalmente se conocen como distribuciones de llegadas y de
tiempo de servicio.
 Estas distribuciones pueden representar situaciones donde llegan
clientes y son atendidos individualmente (por ejemplo, en bancos o
supermercados). En otros casos, los clientes pueden llegar y/o ser
atendidos en grupos (por ejemplo, en restaurantes). Este último
caso se conoce normalmente como líneas de espera masivas.
 Aunque los patrones de llegadas y salidas son los factores
principales en el análisis de las líneas de espera, también pueden
figurar otros factores en forma importante en la elaboración de los
modelos.
Ing. Carlos Martin
Llegadas
 Se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se
generan los clientes a través del tiempo.
 La suposición es que se generan de acuerdo a un proceso
Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un
tiempo específico tiene una distribución Poisson, este caso
corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de
manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin importar
cuántos clientes están en el sistema (por lo que el tamaño de
la fuente de entrada es infinito).
 Una suposición equivalente es que la distribución de
probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas
consecutivas es exponencial.
Ing. Carlos Martin
Tiempo Entre Llegadas
 Es el tiempo transcurrido entre la llegada de un cliente y el
inmediatamente anterior.
 Este intervalo de tiempo puede ser una constante
(determinístico) o una variable aleatoria (probabilístico)
cuya distribución de probabilidad se puede conocer o no.
 El enfoque de análisis matemático de las líneas de espera,
está muy bien desarrollado, cuando la distribución de
llegada es Poisson.
 Cuando las llegadas no son independientes (sería el caso de
un grupo de pacientes que llegan a un centro de
emergencia, cuando éstos sufrieron el mismo accidente) se
utiliza el enfoque de la simulación.
Ing. Carlos Martin
La Tasa Media de Llegadas y El Tiempo Entre Llegadas
• La tasa media de llegadas es 
• El tiempo esperado entre llegadas es 1/
Por ejemplo:
Si la tasa media de llegadas es  = 20 clientes por 
hora
Entonces el tiempo esperado entre llegadas es
1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
Ing. Carlos Martin
Disciplina de Servicio
 Algunas de las formas más comunes. en que los clientes que esperan son seleccionados para
ser atendidos, son:
 Primero en entrar, primero en salir (FIFO): los clientes son atendidos
en el orden en que van llegando a la fila. Los clientes de un banco y de
un supermercado, por ejemplo, son atendidos de esta manera.
 Ultimo en entrar, primero en salir (LIFO): el cliente que ha llegado más
recientemente es el primero en ser atendido. Un ejemplo de esta
disciplina se da en un proceso de producción en el que los productos
llegan a una estación de trabajo y son apilados uno encima de otro. El
trabajador elige, para su procesamiento, el producto que está en la
cima de la pila, que fue el último que llegó para ser procesado o para
brindarle un servicio.
 Selección de prioridad: a cada cliente que llega se le da una prioridad y
se elige según ésta para brindarle el servicio. Un ejemplo de esta
disciplina son los pacientes que llegan a la salade urgencias de un
hospital. Mientras más severo sea el caso, mayor será la prioridad del
cliente.
 Disciplina SIRO (servicio en orden aleatorio): a veces, el orden en el
que llegan los clientes no tiene efecto alguno sobre el orden en el que
se les sirve. Este sería el caso si el siguiente cliente en ser atendido se
selecciona al azar de entre los que están esperando para ser atendidos.
Ing. Carlos Martin
Diseño de la Instalación y la Ejecución del Servicio
 La instalación puede incluir más de un servidor, con lo cual es
posible atender a tantos clientes en forma simultánea como número
de servidores haya (por ejemplo, los cajeros bancarios). En este
caso, todos los servidores ofrecen el mismo servicio y se dice que la
instalación tiene servidores paralelos.
 Por otra parte, la instalación puede comprender un número de
estaciones en serie por las que puede pasar el cliente antes de que
se complete el servicio (por ejemplo, el procesamiento de un
producto "en una serie de máquinas). Las situaciones resultantes se
conocen normalmente como líneas de espera en serie o líneas de
espera sucesivas.
 El diseño más general de una instalación de servicio incluye
estaciones de procesamiento en serie y en paralelo. Esto da origen a
lo que llamamos líneas de espera en red.
Ing. Carlos Martin
Tipos de Sistemas de Colas
 Una cola-un servidor. Existe una fuente a partir de la cual fluyen los
clientes, una línea de espera (cola) y existe además un único centro
de servicio.
o Por ejemplo en una boletería de un cine en donde se venden boletos de
acuerdo a cómo llegan los espectadores.
 Mono Cola - Multicanal. Existe una fuente a partir de la cual fluyen
los clientes, una sola línea de espera, dos o más canales en paralelos
constituyen el centro de servicio, asegura el proceso “Primero en
entrar, primero en salir ”.
o Por ejemplo en una peluquería con 5 sillones (5 peluqueros) que prestan
sus servicios siguiendo una política de atender a los clientes en el orden con
que llegan al establecimiento (no se aceptan reservaciones).
Ing. Carlos Martin
Tipos de Sistemas de Colas
 MultiCola – Multicanal – Con opción de Cambio. Existe una fuente
a partir de la cual surgen los clientes, colas independientes con
opción a elección y cambio, canales independientes constituyen el
centro de servicio; no asegura el proceso “Primero en entrar
primero en salir”.
 Un ejemplo es el caso de un banco, donde existen 8 cajas y los clientes se
forman en la cola que más les convenga, con la opción de cambiarse de una
cola a otra.
 MultiCola – Multicanal – Con opción de Cambio. Es el caso de
cualquier trámite burocrático.
 Por ejemplo, la oficina de préstamos a corto plazo donde existen 5
ventanillas de recepción de documentos, de acuerdo a la inicial del apellido
paterno (A-E, F-J, K-O, P-T, U-Z).
Ing. Carlos Martin
Tipos de Sistemas de Colas
 Una cola-servidores múltiples en cascada.
o Por ejemplo en una embotelladora, las botellas usadas se esterilizan,
después pasan al llenado del líquido, tapado, etiquetado y empaquetado.
Se cuenta con una sola esterilizadora, una sola máquina de llenado, una
tapadora, una etiquetadora y una empaquetadora.
 Colas múltiples-servidores múltiples en sistema mixto. Existe una
fuente a partir de la cual surgen los clientes, líneas en paralelo sin
opción a cambio de cola, canales de despacho en paralelo – serie
constituyendo el centro de servicio.
o Un caso sería el mismo ejemplo anterior, pero con más de una unidad de las
diferentes máquinas que se mencionaron.
Ing. Carlos Martin
Tipos de Sistemas de Colas
Ing. Carlos Martin
Tamaño de la Línea de Espera
 El número de clientes que pueden esperar en la cola puede ser finito o
infinito.
 El número de teléfonos al que da servicio un conmutador telefónico es un
ejemplo de una fuente inagotable (infinita), mientras que el número de
máquinas en una sección de una fábrica es un ejemplo de fuente limitada
(finita).
 En el primer caso, la tasa de llegada difícilmente se verá afectada por el
número de teléfonos ocupados en cualquier momento, de manera que es
posible considerar que los tiempos entre llegadas forman un proceso de
renovación.
 Sin embargo, en el segundo caso cada máquina que requiere la atención de
un operador, es decir, que entra al sistema de líneas de espera, puede
reducir en forma significativa la tasa de llegada, y cada máquina que ha
recibido servicio, esto es, que sale del sistema, puede aumentar una vez
más de manera significativa la tasa de llegada.
Ing. Carlos Martin
La Espera de los Clientes en Cola
 Los clientes pueden esperar, en una cola o en varias, en las cuales
pueden tener la opción de cambiarse o no.
 Por ejemplo, en algunos bancos los clientes deben hacer una sola
cola, pero en otros, pueden escoger la cola en donde formarse.
 Si hay varias colas en una instalación, es importante conocer si se
permite a los clientes cambiar de cola o no.
 En la mayor parte de los sistemas con colas múltiples se permite el
cambio, pero no se lo recomienda, por ejemplo en una casilla para
peaje.
 Cuando hay varias colas con frecuencia los clientes se forman en la
más corta. Desafortunadamente en muchos casos, como en un
supermercado, es difícil definir la cola más corta.
Ing. Carlos Martin
Tiempo de Servicio
 En general cada cliente que ingresa al sistema de atención no
siempre lo hace en búsqueda de un servicio similar al que motivó el
ingreso de los otros clientes que lo preceden o lo suceden.
 El tiempo de servicio puede ser una constante o una variable,
puede ser además aleatoria, dependiente o independiente, cuya
distribución de probabilidad se puede o no conocer.
 El enfoque matemático ha proporcionado resultados a las líneas de
espera cuando el tiempo de servicio, tiene una distribución
exponencial negativa o una distribución de ERLANG. Para otras
distribuciones, se utiliza el enfoque de simulación.
 Se dice que el tiempo de servicio es dependiente, cuando varía (se
alarga o se acorta) por factores de presión del sistema (por ejemplo,
las quejas de la gente que espera), y es independiente cuando la
duración del servicio no se afecta por este tipo de presiones.
Ing. Carlos Martin
Sistemas de Colas: El Servicio
• El servicio puede ser brindado por un servidor o por 
servidores múltiples
• El tiempo de servicio varía de cliente a cliente
• El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de 
servicio ()
Ing. Carlos Martin
Sistemas de Colas: El Servicio
• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/
• Por ejemplo, si la tasa media de servicio  es de 25 clientes 
por hora
• Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 
0.04 horas, o 2.4 minutos
Ing. Carlos Martin
Sistemas de Colas: El Servicio
• Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los 
tiempos de servicio.
• Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:
oLa distribución exponencial (=media)
oTiempos de servicio constantes (=0)
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
La Distribución Exponencial y 
la Distribución de Poisson
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
La distribución exponencial, también llamada distribución exponencial 
negativa, con frecuencia describe el tiempo requerido para atender a 
un cliente, es una distribución continua. 
Su función de probabilidad está dada por:
f(x) =  e - x
donde:
x = variable aleatoria (tiempos de servicio)
 = número promedio de unidades que puede manejar la estación de 
servicio en un periodo específico 
e = 2.718 (la base del logaritmo natural)
Ing. Carlos Martin
Valor esperado = 1/ = tiempo de servicio 
promedio
Varianza = 1/2
Al igual que con otras distribuciones continuas, las probabilidades se 
encuentran determinando el área bajo la curva.
La probabilidad de que el tiempo requerido (t), distribuido 
exponencialmente, para atender a un cliente sea menor o igual que el 
tiempo t está dada por la fórmula:
P (x  t) = 1 – e - t 
Eltiempo utilizado en la descripción de  determina las unidades para 
el tiempo t. 
Por ejemplo, 
si  es el número promedio atendido por hora, el tiempo t debe darse 
en horas. 
si  es el número promedio atendido por minuto, el tiempo t debe 
darse en minutos.
Ing. Carlos Martin
Ejemplo
Un taller instala silenciadores en automóviles y camiones pequeños. 
El mecánico puede instalar silenciadores nuevos a una tasa aproximada 
de tres por hora y este tiempo de servicio sigue una distribución 
exponencial. 
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para instalar un silenciador 
nuevo sea de ½ hora o menos? 
A partir de: P (x  t) = 1 – e - t 
x : tiempo de servicio con distribución exponencial
: número promedio que se puede atender por periodo = 3 por hora
t = 1/2 hora = 0,5 hora
P (t  0,5) = 1 – e 
-3 (0,5) 
= 1 – e 
-1,5 
= 1 – 0,2231 = 0,7769
Ing. Carlos Martin
La figura muestra que el área bajo la curva de 0 a 0,5 es de 0,7769.
Entonces, hay una probabilidad cercana a 78% de que el tiempo no sea 
mayor que 0,5 horas, y de 22% de que el tiempo sea más largo.
La probabilidad de que el tiempo sea mayor que un valor dado de t se 
encuentra observando que estos dos eventos son complementarios.
Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de que el mecánico del 
taller tarde más de 0,5 horas, 
P (t  0,5) = 1 – P (t  0,5) = 1 – 0,7769 = 0,2231 = 22%
Ing. Carlos Martin
La distribución de Poisson
Una distribución de probabilidad discreta importante es la 
distribución de Poisson.
La examinamos porque tiene un rol fundamental para 
complementar la distribución exponencial en la teoría de 
líneas de espera. 
La distribución describe situaciones donde los clientes llegan 
de manera independiente durante cierto intervalo de tiempo 
y el número de llegadas depende de la longitud del intervalo 
de tiempo. 
Los ejemplos incluyen pacientes que llegan a una clínica de 
salud, clientes que llegan a la ventanilla de un banco, la 
llegada de pasajeros a un aeropuerto y las llamadas 
telefónicas que pasan a través de una central. 
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Donde: 
P(X) = probabilidad de que haya exactamente X llegadas u ocurrencias
 = número promedio de llegadas por unidad de tiempo (tasa media 
de llegadas)
e = 2.718, base del logaritmo natural 
X = número de ocurrencias (0, 1, 2, . . .) 
La media y la varianza de la distribución de Poisson son iguales y se 
calculan simplemente como:
Valor esperado = 
Varianza = 
La fórmula de la distribución de Poisson es:
Por ejemplo, 
si  () = 2, las probabilidades de Poisson de que X sea 0, 1, 2, ….., 9
Ing. Carlos Martin
Las distribuciones exponencial y de Poisson están 
relacionadas. 
Si el número de ocurrencias por periodo sigue una 
distribución de Poisson, entonces, el tiempo entre 
ocurrencias sigue una distribución exponencial. 
Por ejemplo, 
si el número de llamadas telefónicas que llegan a un 
centro de servicio a clientes sigue una distribución de 
Poisson con media de 10 llamadas por hora, el 
tiempo entre cada llamada será exponencial con 
tiempo medio entre llamadas de 1/10 horas (6 
minutos).
Ing. Carlos Martin
Papel de la Distribución Exponencial 
En la mayoría de las situaciones de colas, las llegadas ocurren 
al azar.
Aleatoriedad significa que la ocurrencia de un evento (por 
ejemplo la llegada de un cliente o la terminación de un 
servicio) es independiente del tiempo transcurrido desde la 
ocurrencia del último evento.
Los tiempos aleatorios entre llegadas y de servicio se 
describen cuantitativamente por medio de una distribución 
exponencial, la cual se define como:
Ing. Carlos Martin
La definición de E(t) muestra que  es la tasa por unidad de tiempo 
a la cual se generan los eventos (llegadas o salidas).
La distribución exponencial describe un fenómeno totalmente 
aleatorio.
• Por ejemplo, 
• si en este momento la hora es 8:20 A.M. y la última llegada fue a 
las 8:02 A.M., la probabilidad de que la siguiente llegada ocurra a 
las 8:29 es una función sólo del intervalo de las 8:20 a las 8:29, es 
totalmente independiente del tiempo que ha transcurrido desde 
la ocurrencia del último evento (8:02 a 8:20).
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Modelado de procesos de 
llegada y servicio
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Modelado de procesos de llegadas
Ing. Carlos Martin
Modelado de procesos de llegadas
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Modelado de procesos de llegadas
Ing. Carlos Martin
Modelado de procesos de llegadas
Papel de la Distribución Exponencial
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Papel de la Distribución Exponencial
Ing. Carlos Martin
Papel de la Distribución Exponencial
Ing. Carlos Martin
Papel de la Distribución Exponencial
Ing. Carlos Martin
Papel de la Distribución Exponencial
Ing. Carlos Martin
Papel de la Distribución Exponencial
Ing. Carlos Martin
Papel de la Distribución Exponencial
Distribución de Erlang
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Distribución de Erlang
Ing. Carlos Martin
Distribución de Erlang
Modelo del proceso de servicio
Ing. Carlos Martin
Nomenclatura de las diferentes líneas de espera
El investigador británico D. Kendall introdujo en 1953 una notación
pragmática para las diferentes líneas de espera.
Lee complementó esta lista en 1966.
La notación tiene la siguiente forma general:
( a / b / c ) : ( d / e / f )
donde:
a: Distribución de llegada.
b: Distribución del servicio.
c: Número de servidores en paralelo en el sistema.
d: Disciplina del servicio.
e: Máximo número de clientes que pueden estar en el sistema
(esperando y recibiendo servicio).
f: Fuente de generación de clientes.
Ing. Carlos Martin
Códigos para los símbolos a , b y c
Ing. Carlos Martin
Códigos para el símbolo d, e y f
Ing. Carlos Martin
Ejemplos utilizando la notación kendall-Lee
Se presentan a continuación algunos ejemplos de posibles modelos de 
espera utilizando la notación Kendall-Lee: 
Código (a/b/c): (d/e/f)
• (M/M/1): (FCFS/ ∞/ ∞
• (M/M/S): (FCFS/ ∞ / ∞)
• (M/M/S): (FCFS/N/ ∞), S < N
• (M/M/S): (PRP/ ∞ / ∞)
• (M/M/S): (NPRP/ ∞ / ∞)
• (M/M/1): (FCFS/N/ ∞)
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Proceso de Nacimiento y Muerte
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Ing. Carlos Martin
Estado del sistema en el tiempo t
• Pij (t) i: estado inicial 
j: estado actual
•j
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Relación de la distribución exponencial con los 
procesos de nacimiento - muerte
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Relación de la distribución exponencial con los 
procesos de nacimiento - muerte
Ing. Carlos Martin
Relación de la distribución exponencial con los 
procesos de nacimiento - muerte
Ing. Carlos Martin
Derivación de las probabilidades de estado 
estable para procesos de nacimiento y muerte
Derivación de las probabilidades de estado 
estable para procesos de nacimiento y muerte
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Derivación de las probabilidades de estado 
estable para procesos de nacimiento y muerte
Investigación
Operativa
Sistema de colas M/M/1/DG//
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Sistema de colas M/M/1/DG//
Ing. Carlos Martin
Estado del sistema de colas
•El sistema está en un estado inicial
•Se supone que el sistema de colas llega a 
una condición de estado estable (nivel 
normal de operación)
•Existen otras condiciones anormales 
(horas pico, etc.)
•Lo que interesa es el estado estable
Ing. Carlos Martin
Notación en la teoría de líneas de espera
Se designa por  al nº promedio de llegadas al sistema por unidad
de tiempo (minuto, hora, día, etc.)
, al nº promedio de servicios del sistema por unidad de tiempo.
El cociente /, denotado por , representa el factor de tráfico.
 Si  > 1, llegan más clientes al sistema por unidad de tiempo
de los que se les puede darservicio y, por lo tanto, se forma
una línea de espera en crecimiento sin limite.
 El factor  > 1 indica la necesidad de añadir al sistema más
servidores, S, hasta que se logre que el factor de utilización (o
de uso) del sistema con servidores múltiples, sea menor a
uno, es decir:
 =  / s  < 1
Esto quiere decir, que el sistema de servidores múltiples podrá dar
servicio, por unidad de tiempo, a todas las llegadas en este
intervalo de tiempo.
Ing. Carlos Martin
Cuando un cliente llega a formarse en una cola, se pregunta:
• ¿Cuánto tiempo tengo que esperar hasta que me
proporcionen servicio (Wq)?
• ¿Cuánto tiempo tengo que esperar hasta que salga del
sistema (W)?
• ¿Cuánta gente está esperando en la cola (Lq)?
• ¿Cuánta gente se encuentra en el sistema (L)?
Ing. Carlos Martin
Notación en la teoría de líneas de espera
: N° promedio de llegadas al sistema por unidad de tiempo.
: Número promedio de servicios por unidad de tiempo.
ρ: Factor de tráfico.
S: Número de servidores en el sistema.
Wq : Tiempo medio de espera en cola. 
Ws: Tiempo de espera en el servicio
W: Tiempo Total de permanencia del cliente dentro del 
sistema, conformado por el tiempo de espera en fila más 
el de servicio.
Ing. Carlos Martin
Notación en la teoría de líneas de espera
Notación en la teoría de líneas de espera
Lq: Numero esperado de clientes formados en la cola.
LS: Número esperado de clientes recibiendo un servicio
L: Número esperado de clientes en el sistema.
π0 : Probabilidad de que en el momento t de arribo a la cola, el sistema 
se encuentre vacío.
πn : Probabilidad de que exactamente n clientes se encuentren en el 
sistema.
S: clientes recibiendo servicio
n-S: clientes formados en la cola.
ts : Tiempo de servicio por cliente. Es el valor inverso a la velocidad de 
despacho = 1/
ta : Tiempo de llegada o de arribo por cliente. Es el valor inverso a la 
velocidad de arribo = 1/
Ing. arlos Martin
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG//
Formulas de línea de espera de Little: L =  W
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Formulas de línea de espera L =  W
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG//: W
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG//: Wq
Nótese que, como lo esperábamos, W y Wq se hacen muy grandes 
cuando  se acerca a 1. 
Para  cercano a cero, Wq tiende a cero, pero para  pequeño, W tiende 
a 1/, el tiempo promedio de servicio. 
Relación entre  y L para un sistema M/M/1/DG/
Ing. Carlos Martin
Medidas del desempeño del sistema de 
colas: ejemplo
•Suponga una estación de gasolina a la 
cual llegan en promedio 45 clientes por 
hora.
•Se tiene capacidad para atender en 
promedio a 60 clientes por hora
•Se sabe que los clientes esperan en 
promedio 3 minutos en la cola.
Ing. Carlos Martin
Medidas del desempeño del sistema de 
colas: ejemplo
La tasa media de llegadas 
 = 45 clientes por hora o 
 = 45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicio 
 = 60 clientes por hora o 
 = 60/60 = 1 cliente por minuto
Ing. Carlos Martin
Medidas del desempeño del sistema 
de colas: ejemplo
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Modelo para optimizar un 
sistema de colas
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Ing. Carlos Martin
Ejemplo de optimización de un sistema de colas
Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar 
herramientas de un almacén.
Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. 
En la actualidad el almacén está a cargo de un empleado a quien se 
les pagan 6 dólares/h y gasta un promedio de 5 min. para entregar las 
herramientas de cada solicitud. 
Como a los mecánicos se les paga 10 dólares/h, cada hora que un 
mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la 
empresa. 
Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares/h, un ayudante 
del almacenista. 
Si se contrata al ayudante, el almacenista sólo tardará un promedio de 
4 min para atender las solicitudes de herramientas. 
Suponga que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el 
tiempo entre llegadas. 
Se debe contratar al ayudante?
A los problemas en los que un tomador de decisiones debe escoger 
entre sistemas alternativos de cola se les llama problemas para 
optimizar sistemas colas. 
En este problema, la meta de la empresa es minimizar la suma del 
costo horario de servicio y del costo horario esperado debido a los 
tiempos de inactividad de los mecánicos. 
En los problemas de optimización de colas, el componente del costo 
debido a clientes que esperan en la cola se llama costo de demora. 
Así, la empresa desea minimizar 
Ing. Carlos Martin
En general, el cálculo del costo horario de servicio es sencillo. 
El modo mas fácil de calcular el costo horario de demora es tomando 
nota de que
Ing. Carlos Martin
En nuestro problema
Así, 
Ahora podemos comparar el costo esperado por hora, si no se contrata al 
ayudante con el correspondiente si se le contrata. 
Si no se contrata,  = 10 mecánicos/h, y  = 12 mecánicos/h. 
De la Ec. (31), W = 1/ (12-10) = ½ hora. 
Como al despachador se le paga 6 dólares por hora, tenemos que 
Ing. Carlos Martin
Así, sin el ayudante, el costo esperado por hora es 6 + 50 = 56 
dólares. Con el ayudante,  = 15 clientes por hora. 
Por lo tanto W = 1/ 15-10 = 1/5 hora y 
Como el costo horario de servicio ahora es 6 + 4 = 10 dólares/h, el costo 
esperado de servicio con el ayudante es 20 + 10 = 30 dólares. 
Por lo tanto, se debe contratar al ayudante porque se ahorran 
50-20 = 30 dólares/h en costos de demora, lo cual mas que compensa su 
salario de 4 dólares/h. 
Investigación
Operativa
Sistema de colas M/M/1/DG/c/
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Sistema de colas M/M/1/DG/c/
Este sistema es un M/M/1/DG/c/ con una capacidad total de c clientes. 
El sistema M/M/1/DG/c/ es idéntico al M/M/1/DG// con excepción 
de que cuando hay presentes c clientes, todas las llegadas se regresan y 
el sistema las pierde para siempre. 
Suponemos que los tiempos entre llegadas son exponenciales con 
rapidez  y que los tiempos de servicio son exponenciales con rapidez . 
Entonces el sistema M/M/1/DG/c/ se puede modelar (véase Fig.) como 
proceso de nacimiento y muerte con los siguientes parámetros:
Ing. Carlos Martin
Como c = 0, el 
sistema nunca 
alcanzará el 
estado c + 1, o 
cualquier otro 
estado de número 
mayor. 
Sistema de colas M/M/1/DG/c/
Conviene definir  = / . 
Luego aplicamos las Ecs. (16) a (19) para ver que si   , las probabilidad 
de estado estable para el modelo M/M/1/DG/c/ están expresadas por:
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG/c/
Ing. Carlos Martin
Como el caso del sistema M/M/1/DG//, Ls = 0 0 + 1 (1, + 2 +. . .) = 1- 0
Podemos calcular Lq, mediante Lq = L - Ls
El cálculo de W y Wq, a partir de las Ecs. (28) y (29) tiene sus trucos.
Recuerde que en las Ecs. (28) y (29),  representa el número promedio de 
clientes que llegan por unidad de tiempo, quienes realmente entran al sistema. 
En nuestro modelo de capacidad finita, llega un promedio de , pero  c, de 
esas llegadas encuentran al sistema lleno a toda capacidad y se van. 
(ef): en realidad entrará al sistema un promedio de  -  c =  (1 - c) llegadas 
por unidad de tiempo. 
Al combinar este hecho con las Ecs. (28) y (29) se obtiene
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/1/DG/c/
Para un sistema M/M/1/DG/c/, existirá estado estable aun sil   . 
Esto se debe a que aun cuando    , la capacidad finita del sistema 
evita que "explote" el número de gentes en la cola. 
Investigación
Operativa
Sistema de colas M/M/s/DG//
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Suponemos que los tiempos entre llegadas son exponenciales,con 
rapidez igual a , que los tiempos de servicio son exponenciales, con 
rapidez , y que hay solo una cola de clientes esperando su servicio 
en una de las s ventanillas o servidores. 
• Si hay j  s clientes, entonces los j clientes están en el servicio; 
• Si hay j > s clientes, entonces las s ventanillas están ocupadas, y hay 
j - s clientes esperando en la cola. 
Toda llegada que encuentre una ventanilla vacía entra al servicio de 
inmediato, pero una llegada que no encuentre ventanilla vacía se 
forma en la cola de clientes que esperan su atención. 
Los bancos y las oficinas de correos, en los que todos los clientes 
esperan atención en una sola cola, se pueden modelar con frecuencia 
con los sistemas de cola M/M/s/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Para describir el sistema M/M/s/DG// como modelo de 
nacimiento y muerte, observe que, como en el modelo 
M/M/1/DG// j =  para j = 0, 1, 2,...
Si hay j ventanillas o servidores ocupados, entonces se terminó 
el servicio con una frecuencia de
Siempre que haya j clientes, estarán ocupadas: 
min (j,s) ventanillas
Así, j = min (j, s) 
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
En resumen, vemos que el sistema M/M/s/DG// se puede 
modelar como un proceso de nacimiento y muerte (véase Fig.) 
con parámetros:
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Definimos a 
 = /s.
Para p < 1,al sustituir la Ec. (38) en (16) a (19) se obtienen las 
siguientes probabilidades de estado estable:
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Si p  1, no existe estado estable. 
En otras palabras, si la frecuencia o rapidez de llegadas es al menos 
igual a la rapidez máxima posible de servicio  =   s., "explota" el 
sistema. 
De la Ec. (39.2), se puede demostrar que la probabilidad de 
estado estable de que todas las ventanillas estén ocupadas es:
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
También se puede demostrar que
En la Tabla se muestra P (j  s) para diversas situaciones. 
En la Tabla se muestra P (j  s) para diversas situaciones. 
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Para calcular L y después W, usamos el hecho de que L = Lq + Ls
Como Ws = 1/ , la Ec. (30) muestra que Ls = /. 
Cuando necesitemos calcular L, Lq, W o Wq, comenzamos por 
buscar P (j  s) en la Tabla. 
A continuación aplicamos las Ec. (41) a (44) para calcular la 
cantidad que deseemos. 
Si nos interesa la distribución probabilidad de estado estable, 
buscamos P (j  s) en la Tabla y luego usamos la Ec. (40) para 
obtener 0
Así las Ecs (39.1) y (39.2) producen la distribución completa de 
estado estable.
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Ing. Carlos Martin
Sistema de colas M/M/s/DG//
Además del tiempo esperado de un cliente en el sistema, es de interés 
la distribución del tiempo de espera de un cliente. 
Por ejemplo, si todos los clientes que tienen que esperar más de 5 
minutos en una caja de supermercado deciden cambiar a otra tienda, 
la probabilidad que un cliente dado cambie a otro almacén es igual a 
P(W > 5). 
Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución del 
tiempo de espera de un cliente. 
Para un sistema de colas M/M/s/PLPA// (primero en llegar 
primero en ser servido), se puede demostrar que 
Investigación
Operativa
Sistema de colas M/M/c/DG/N/
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Esta situación de espera difiere de (M/M/c/DG//) en que se 
impone un límite N sobre la capacidad del sistema (es decir, tamaño 
máximo de la línea de espera = N - c). 
n y n, para el modelo actual están dadas por:
Ing. Carlos Martin
y observando que  = /,
Nótese que la única diferencia entre Pn, en este modelo y 
(M/M/c/DG// ocurre en la expresión de Po (0)
Obsérvese también que el factor de uso /c no necesita ser 
menor que 1. 
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Sistema de colas M/M//DG/ /
Modelo de autoservicio
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
En este modelo, el número de servidores es ilimitado porque 
cada cliente se atiende así mismo. 
Este es normalmente el caso en los establecimientos de 
autoservicio. 
Un ejemplo común es tomar la parte escrita de una prueba 
para obtener la licencia de conductor. 
Sin embargo, debemos tener cuidado de que situaciones 
como las gasolineras de autoservicio o los bancos con servicio 
las 24 horas no se clasifiquen en esta categoría de modelo. 
Esta conclusión se obtiene porque en estos casos los 
servidores son en realidad el surtidor de gasolina y el cajero 
automático del banco, aunque el cliente es el que opera el 
equipo. 
Ing. Carlos Martin
Una vez más en términos del modelo generalizado se tiene 
Entonces:
Ing. Carlos Martin
que es de Poisson con media E{n} = . También tenemos :
Nótese que Wq = 0 porque cada cliente se atiende a sí mismo. 
Esta es la razón por la que Wq, es igual al tiempo de servicio medio 1/
El modelo (M/M//DG//) se puede utilizar para determinar 
aproximadamente los de (M/M/c/DG//) cuando c crece "lo 
suficiente". 
La ventaja es que las operaciones son más sencillas en el modelo 
(M/M/). 
Demostramos la exactitud relativa de la aproximación presentando 
muestras de las medidas de desempeño de ambos modelos para 
diferentes valores de c y  (= /). En la tabla se presenta un resumen 
de los resultados. 
Cuando  se hace chico, el modelo (M/M/) es una aproximación 
bastante exacta del modelo (M/M/c) aun para c tan chica como 10.
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Modelos de fuente finita: 
modelo de reparación de máquinas
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
A excepción del modelo M/M/1/DG/c/, todos los modelos que hemos 
estudiado han tenido frecuencias de llegada independientes del estado 
del sistema. 
Hay dos modelos donde quizá no sea válida la hipótesis de independencia 
de estado. 
1. Si los clientes no desean formarse en colas largas, la frecuencia de 
llegada puede ser una función decreciente del número de personas 
presentes en el sistema de colas. 
2. Si las llegadas a un sistema se toman de una población pequeña, la 
frecuencia de llegadas puede depender mucho del estado del 
Sistema. 
Por ejemplo, si un banco sólo tiene 10 clientes, entonces en un 
momento en que los 10 estén en el banco, la frecuencia de llegada 
debe ser cero, mientras que si hay menos de 10 personas en el banco, 
la frecuencia de llegadas puede ser positiva. 
Ing. Carlos Martin
Los modelos en los que las llegadas se toman de una población pequeña 
se llaman modelos de origen finito. 
Ahora analizamos un modelo importante de origen finito que se conoce 
como el de reparación de máquinas, o de interferencia de máquinas.
En el problema de reparación de máquinas, el sistema consta de K 
máquinas y R técnicos. 
En cualquier momento, una máquina determinada está en buen o en mal 
estado. 
El intervalo durante el cual una máquina permanece en buen estado sigue 
una distribución exponencial con rapidez . 
Siempre que se descompone una máquina, se manda a un centro de 
reparación que tiene R técnicos. 
El centro de reparación da servicio a las máquinas descompuestas como si 
llegaran conforme a un sistema M/M/R/DG//
Ing. Carlos Martin
Así, si hay j  R máquinas en mal estado, una máquina que 
apenas se acaba de descomponer será enviada de inmediato 
para que la reparen; 
Si j > R máquinas están descompuestas, j - R máquinas estarán 
esperando en una cola para que un técnico se desocupe. 
Se supone que el tiempo que se necesita para completar la 
compostura de una maquina es exponencial con rapidez , 
O sea, que el tiempo promedio de reparación es 1/ . 
Una vez que se ha reparado una máquina, regresa en buen 
estado y de nuevo es susceptiblede descomponerse. 
llegaran conforme a un sistema M/M/R/DG//
Ing. Carlos Martin
El modelo de reparación de máquinas se puede considerar como proceso 
de nacimiento y muerte en el que el estado j en cualquier momento es el 
número de máquinas en mal estado. 
Con la notación de Kendall-Lee, el modelo que acabamos de explicar se 
puede expresar como sistema M/M/R/DG/K/K. 
La primera K indica que en cualquier momento puede haber no más de K 
clientes (o máquinas), y 
la segunda K quiere decir que las llegadas se toman de una fuente finita de 
tamaño K.
Ing. Carlos Martin
En la Tabla se da la interpretación de cada estado para un modelo de 
reparación de máquinas con K = 5 y R = 2 
G = máquina en buen estado, y B máquina descompuesta. 
Ing. Carlos Martin
Para determinar los parámetros de nacimiento y muerte para el modelo 
de reparación de máquinas (véase Fig), nótese que un nacimiento 
corresponde a una máquina que se descompone, y una muerte es una 
máquina que acaba de llegar ya reparada. 
Ing. Carlos Martin
Para determinar los parámetros de nacimiento y muerte para el modelo 
de reparación de máquinas (véase Fig.), nótese que un nacimiento 
corresponde a una máquina que se descompone, y una muerte es una 
máquina que acaba de llegar ya reparada. 
Para calcular la frecuencia de natalidad en el estado J, debemos 
determinar la rapidez a la que se descomponen las máquinas cuando el 
estado del sistema es j. 
Cuando es así, hay K - j máquinas en buen estado. 
Como cada máquina se descompone con una frecuencia o rapidez , la 
frecuencia total a la que suceden las descomposturas cuando el estado es 
j es: 
Ing. Carlos Martin
Definimos que  = /
Aplicando las Ecs. (16) a (18) se obtiene la siguiente distribución de 
probabilidades de estado estable: 
En la Ec. (52).
donde 0! = 1, y n! = n (n - 1) . . . (2) (1) para n  1. 
Para usar la Ec. (52) comenzamos calculando 0 partiendo del hecho de 
que: 
0 + 1 + . . . + n = 1
Ing. Carlos Martin
Mediante las probabilidades de estado estable de la Ec. 
(52), podemos calcular las siguientes cantidades de 
interés:
L = número esperado de máquinas descompuestas 
Lq = número esperado de máquinas que esperan servicio 
W = tiempo promedio que una maquina esta 
descompuesta 
Wq = tiempo promedio que una máquina espera servicio
Desafortunadamente, no hay fórmulas sencillas para L, 
Lq, W y Wq. 
Lo mejor que podemos hacer es expresar estas 
cantidades en términos de las j ‘s: 
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Si se aplica la Ec. (28) a las máquinas que se reparan y a las que esperan su 
turno, obtenemos:
Aplicando la Ec. (29) a las máquinas que esperan campos fuera, tenemos 
Investigación
Operativa
Redes de colas
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Damos una introducción a los sistemas de redes que forman cola 
Veremos algunos conceptos básicos y ejemplos, en algunos casos nos 
limitaremos a presentar las medidas de eficiencia sin su 
demostración y en otros veremos directamente ejemplos. 
Haremos referencia a: 
1.- Redes de colas (descripción y características)
2.- Colas en serie, es decir líneas de espera sucesivas o en tándem
2.1.- Modelos en serie de k estaciones con capacidad de línea 
de espera infinita (sin bloqueo)
2.2.- Modelos en serie de k estaciones con capacidad de línea 
de espera cero (con bloqueo)
3.- Redes abiertas de Jackson
4.- Redes cerradas de Jackson 
4.1.- Colas cíclicas
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Hasta ahora se han tomado en cuenta nada mas que los sistemas de 
colas que tienen una instalación de servicio con uno o más 
servidores, pero los sistemas de colas que se encuentran en los 
estudios de I.O., en realidad a veces son redes de colas, es decir, 
redes de instalaciones de servicio en las que los clientes solicitan el 
servicio de algunas o todas ellas. 
Por ejemplo, las órdenes que se procesan en un taller se deben 
programar a través de una secuencia de maquinas entre un grupo 
(instalaciones de servicio). 
Es necesario, entonces, estudiar toda Ia red para obtener 
información sobre: el tiempo esperado total, el número esperado 
de clientes en todo el sistema, etc.
Debido a la importancia de las redes de colas, hay mucha actividad 
de investigación en esta área. 
Sin embargo, es un campo difícil y aquí se dará sólo una breve 
introducción.
Ing. Carlos Martin
• Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. 
• La adecuación de estos sistemas puede crear un efecto 
importante sobre la calidad de vida y Ia productividad. 
• Para estudiar estos sistemas, Ia teoría de colas formula 
modelos matemáticos que representan su operación y 
luego los usa para obtener medidas de desempeño. 
• Este análisis proporciona información vital para diseñar, 
de manera efectiva, sistemas que logren un balance 
apropiado entre el costo de proveer el servicio y el 
asociado con la espera por ese servicio. 
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Introducción a las redes de colas
Hasta ahora los clientes demandaban del sistema una sola operación de 
servicio. 
 Los sistemas son de un solo nodo, donde quizá podía haber varios 
servidores idénticos paralelos.
Ahora nos interesan sistemas con múltiples nodos en los que el cliente 
requiere servicio en más de uno. Los clientes pueden:
 Entrar al sistema por varios nodos, 
 Encolarse para ser servidos y salir de un nodo dado para:
o entrar en otro y recibir servicio adicional o 
o abandonar el sistema definitivamente.
 No todos los clientes entran y salen del sistema por los mismos nodos 
necesariamente, o siguen el mismo camino una vez en el sistema. 
 Los clientes pueden regresar a nodos previamente visitados, saltarse 
algunos e incluso escoger permanecer en el sistema para siempre. 
Ing. Carlos Martin
Redes de Colas
Las redes de colas son un conjunto de nodos interrelacionados que 
funcionan de forma asíncrona (entradas y salidas de clientes no tienen 
que estar sincronizadas) y concurrente (simultáneamente).
 Po ejemplo, la mayoría de los sistemas informáticos son sistemas con 
múltiples nodos. Pueden tener terminales on-line, líneas de 
comunicación, impresoras, controladores de comunicación y el propio 
ordenador. 
Las redes de colas se clasifican en dos grupos. 
 redes abiertas los clientes pueden entrar y salir del sistema. 
 redes cerradas no entran nuevos clientes y los existentes nunca salen. 
El n° de clientes es constante a lo largo del tiempo (reparación de 
máquinas). 
La estructura topológica de la red es importante porque describe las 
transiciones admisibles entre nodos.
También deben describirse los caminos recorridos por los clientes y los 
procesos estocásticos que configuran el flujo que circula por la red.
Ing. Carlos Martin
Teorema de Burke
 El proceso de salidas de clientes de un sistema M/M/s estable (λ/sµ < 1) 
con tasa de llegadas λ es un proceso de Poisson de tasa λ.
 La distribución del tiempo entre salidas consecutivas de un M/M/s es 
idéntica a la distribución del tiempo entre llegadas, es decir, es 
exponencial con parámetro λ.
 La distribución de las salidas es como la de las llegadas y no se ve 
afectada por el mecanismo de servicio exponencial.
 Se puede demostrar además que los tiempos entre salidas consecutivas 
son independientes entre si. 
Ing. Carlos Martin
Propiedad de equivalencia
El descubrimiento e implicaciones de un resultado de 
importancia fundamental para las redes de colas ameritan 
atención especial. 
Se rata de la propiedad de equivalencia para el proceso de 
entrada de los clientes y el proceso de salida de los que se 
van, en ciertos sistemas de colas.
Propiedad de equivalencia: 
• suponga que una instalación de servicio tiene s servidores, 
un proceso de entradas Poisson con parámetro  y la misma 
distribución de los tempos de servicio para cada servidor con 
parámetro  (el modelo M/ M/s), en donde s  > . 
• Entonces, la salida en estado estable de esta instalaciónde 
servicio también es un proceso Poisson con parámetro .
Ing. Carlos Martin
Observe que esta propiedad no hace suposiciones sobre el tipo de 
disciplina de la cola que usa. 
Ya sea primero en entrar, primero en salir, aleatorio o incluso una 
disciplina de prioridades, los clientes servidos dejarán Ia instalación 
de servicio de acuerdo a un proceso Poisson. 
La implicación esencial de este hecho para las redes de colas es que 
si estas unidades tienen que pasar a otra instalación para continuar 
su servicio, esta segunda instalación también tendrá entradas 
Poisson. 
Con una distribución exponencial para los tiempos de servicio la 
propiedad de equivalencia se cumplirá también para esta 
instalación que puede proporcionar entradas Poisson para una 
tercera instalación, y así sucesivamente. 
Se presentaran las consecuencias de dos tipos básicos de redes:
• Colas Infinitas en Serie
• Redes abiertas de Jackson
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Colas Infinitas en Serie
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Suponga que todos los clientes deben recibir servicio en una serie de 
m instalaciones, en una secuencia fija. 
Suponga que cada instalación tiene una cola infinita (sin límite en el 
número de clientes que acepta), de manera que las instalaciones en 
serie forman un sistema de colas infinitas en serie. 
Suponga, además, que los clientes llegan a la primera instalación de 
acuerdo a un proceso Poisson con parámetro  y que cada instalación 
(i = 1,2,.., m) tiene la misma distribución exponencial de tiempos de 
servicio con parámetro i, para sus Si servidores, en donde Si i > 
Por la propiedad de equivalencia se puede decir que (en condiciones 
de estado estable) cada instalación de servicio tiene entrada Poisson 
con parámetro . 
Entonces, se puede usar el modelo elemental M/M/s (o su 
contraparte con disciplina de prioridades) para analizar cada 
instalación de servicio en forma independiente de las otras.
Ing. Carlos Martin
Colas Infinitas en Serie
Al poder usar el modelo M/ M/s para obtener las medidas de 
desempeño para cada instalación independiente, en lugar de 
analizar la interacción entre las instalaciones, se tiene una 
simplificación enorme. 
Por ejemplo, Ia probabilidad de tener n clientes en una 
instalación en particular está dada por la fórmula de n para el 
modelo M/ M/s. 
La probabilidad conjunta de n1 clientes en Ia instalación 1, n2
clientes en la instalación 2, etcétera, es entonces, el producto 
de las probabilidades individuales obtenidas de esta manera 
sencilla. 
En particular, esta probabilidad conjunta se puede expresar 
como:
Ing. Carlos Martin
Esta forma sencilla de solución se llama solución en forma de 
producto.
De manera similar, el tiempo de espera total esperado y el número 
esperado de clientes en el sistema completo se pueden obtener con 
sólo sumar las cantidades correspondientes obtenidas para cada 
instalación.
Desafortunadamente, la propiedad de equivalencia y sus implicaciones 
no se cumplen para el caso de colas finitas. 
De hecho, este caso es importante en la práctica, ya que con 
frecuencia se tienen limitaciones definidas para la longitud de la cola 
que admite cada instalación de servicio de una red. 
Por ejemplo, es común que se proporcione sólo un pequeño espacio 
para almacenaje en cada instalación (estación de trabajo) de una línea 
de producción. 
Para este tipo de sistemas de colas finitas en serie no se dispone de 
una solución en forma de producto sencilla. 
En su lugar, se deben analizar las instalaciones en forma conjunta y 
sólo se han obtenido resultados limitados.
Ing. Carlos Martin
En los modelos de cola que hemos estudiado hasta aquí, todo 
el tiempo de servicio a un cliente se gasta con un solo 
servidor. 
En muchos casos, como en la producción de un articulo en 
una línea de montaje, los trámites del cliente no se terminan 
si no hasta que haya intervenido más de un servidor. 
Al entrar al sistema de la Fig. el cliente pasa por la etapa 1 de 
servicio, después de esperar en una cola si todos los 
servidores de la etapa 1 están ocupaos cuando llega. 
Después de terminar la etapa 1 de servicio, el cliente espera y 
pasa a la etapa 2 de servicio. 
Este proceso sigue hasta que el cliente termina la etapa k de 
servicio.
Un sistema como el de la Fig. se llama sistema de colas de k 
etapas en serie, o en tándem. 
Ing. Carlos Martin
Colas exponenciales en serie
Ing. Carlos Martin
Teorema de Jackson
Contamos con un notable teorema debido a Jackson (1957), que es el 
siguiente: 
Si:
( 1) los tiempos de llegada a un sistema de colas en serie son 
exponenciales con rapidez , 
(2) los tiempos de servicio para cada tramite en la etapa i son 
exponenciales, y 
(3) toda etapa tiene sala de espera de capacidad infinita, entonces los 
tiempos entre llegada para alcanzar cada etapa del sistema de colas 
son exponenciales con rapidez . 
Ing. Carlos Martin
Para que este resultado sea válido, cada etapa debe tener capacidad 
suficiente para dar servicio a una corriente de llegadas que entre con 
rapidez  ; si no es así, el sistema "explotaría" en la etapa que tuviera 
capacidad insuficiente. 
De acuerdo con el análisis del sistema M/M/s/DG//, vemos que 
cada etapa tendrá capacidad suficiente para manejar una corriente de 
llegadas de rapidez o frecuencia , si y sólo si:
 < sj j, cuando j = 1, 2, . . . , k
Si  < sj j, el resultado de Jackson quiere decir que la etapa j del 
sistema de la Fig. se puede analizar como un sistema M/M/s/DG//
con tiempos exponenciales entre llegadas que tienen la rapidez  y 
tiempos exponenciales de servicio con un promedio 1/.
Ing. Carlos Martin
Podemos analizar a cada estación separadamente como un 
modelo de formación de colas de nivel único (no en serie).
En estas condiciones puede comprobarse que para i, la salida 
de la estación i ( o equivalente, la entrada a la estación i+1) es 
de Poisson con tasa media  y que cada estación puede 
tratarse independientemente como M/M/s/DG// , por lo 
tanto se puede utilizar a dicho modelo para su resolución.
Para cada instalación se puede obtener:
• i, Lqi, Wqi
• La probabilidad individual de tener n clientes en una 
instalación en particular i y que esta dada por la formula de 
Pn y según sea el caso M/M/1; M/M/s; M/M/
Ing. Carlos Martin
Para el sistema completo se puede obtener:
• La probabilidad conjunta de tener n1 clientes en Ia instalación 1, 
n2 clientes en la instalación 2, etcétera, como el producto de las 
probabilidades individuales obtenidas de esta manera sencilla: 
• El tiempo medio total esperado en la cola como la suma de los 
tiempos de espera para cada estación:
Wq = σ𝒊=𝟏
𝒌 𝑾𝒒𝒊 Wqi = 
𝑳𝒒𝒊

• El numero esperado total de clientes en el sistema de colas como 
la suma del numero promedio de clientes que esperan en cada 
estación de servicio:
L = σ𝒊=𝟏
𝒌 𝑳𝒊 Lq=σ𝒊=𝟏
𝒌 𝑳𝒒𝒊
• El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema:
W = 
𝑳

Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Modelo en serie de dos estaciones con 
capacidad de líneas de espera cero 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Como un ejemplo del análisis de filas en serie, considere un sistema de 
colas de un canal simplificado que consiste en dos estaciones en serie 
como se muestra en la figura. 
Un cliente que llega para ser atendido debe pasar por la estación 1 y la 2. 
Los tiempos de servicio en cada estación están exponencialmente 
distribuidos con la misma tasa de servicio . 
Las llegadas ocurren según una distribución de Poisson con tasa . 
No se permite ninguna cola enfrente de las estaciones 1 o 2. 
La construcción del modelo requiere primero identificar los estados del 
sistema en cualquier punto en el tiempo. 
Esto se logra como sigue:
Cada estación puede estar libre u ocupada. 
La estación 1 se dice que está bloqueada si el cliente en esta estación 
completa su servicio antesque la estación 2 llegue a estar libre. 
Los símbolos 0, 1 y b representan los estados: libre, ocupado y bloqueado. 
Ing. Carlos Martin
Sean i y j los estados de la estación 1 y 2. 
Entonces los estados del sistema se pueden representar como 
{(i,j)} = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1), (b, 1)} 
Defina a pi,j (t) como la probabilidad de que el sistema se halle en el 
estado (i, j) en el tiempo t. 
Las probabilidades de transición entre los tiempos t y t + h (donde h es 
un incremento pequeño positivo en el tiempo) se resumen como se 
muestra en la tabla. 
Los cuadros vacíos indican que las transiciones entre los estados 
indicados en t y t + h son imposibles (= 0). 
Por esto (sin tomar en cuenta los términos en h2), se pueden escribir 
las siguientes ecuaciones:
Ing. Carlos Martin
Reordenando los términos y tomando los límites apropiados, las 
ecuaciones de estado estable son 
Ing. Carlos Martin
Una de estas ecuaciones es redundante. Por tanto, agregando la 
condición 
Ing. Carlos Martin
la solución para pi,j es: 
Donde: 
La probabilidad de que un articulo (cliente) que llega entre en la 
estación 1 es:
P00 + P01
De manera que la tasa efectiva de llegada es:
ef = P00 + P01
El número esperado en el sistema puede obtenerse como:
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Redes abiertas de Jackson
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Red abierta de Jackson
Ing. Carlos Martin
Redes abiertas de Jackson
A continuación describiremos las redes abiertas de colas, que son una 
generalización de colas en serie.
Cada estación j consiste de sj servidores exponenciales, cada uno 
trabajando a una velocidad µj
·
Se supone que los clientes llegan a la estación j procedentes del exterior 
del sistema con una frecuencia o rapidez j.
Se supone que estos tiempos entre llegadas están distribuidos 
exponencialmente..
Una vez terminado el servicio en la estación i, un cliente se forma en la cola de 
la estación j con probabilidad pij, es decir, una fracción pij de las i llegadas a 
la estación i pasará a continuación a la estación j: 𝒑𝒊𝒋 𝒊
Ing. Carlos Martin
Definimos a j, como la frecuencia o rapidez con la que llegan 
los clientes a la estación j, incluyendo las llegadas a la 
estación j desde el exterior del sistema (𝒋) y de otras 
estaciones ( 𝒑𝒊𝒋 𝒊).
1, 2, . . . ., k se pueden calcular resolviendo el siguiente 
sistema de ecuaciones lineales: 
𝒋 = 𝒋 + σ
𝒊=𝟏
𝒊=𝒌
𝒑𝒊𝒋 𝒊 (j = 1, 2, . . . ., k)
Ing. Carlos Martin
𝒑𝒊, 𝟎 = 𝟏 −෍
𝒋=𝟏
𝒋=𝒌
𝒑𝒊𝒋
Una vez que un cliente termina sus trámites, o servicio, abandona el 
sistema con probabilidad:
Estado estable
Ing. Carlos Martin
sj µj > j, es válido para todas las estaciones, entonces se 
puede demostrar que la distribución de probabilidad del 
número de clientes presentes en la estación j se pueden 
calcular tratando a esa estación como un sistema 
M/M/s/DG// con frecuencia de llegada j y rapidez de 
servicio µj. 
Si sj µj  j para alguna j, entonces no existe distribución de 
estado estable para los clientes. 
Calculo de L y W
Ing. Carlos Martin
Para calcular L, el número esperado de clientes en el sistema 
de cola, tan sólo sumamos el número esperado de clientes 
que hay en cada estación. 
Para calcular W, el tiempo promedio que pasa un cliente en el 
sistema, sólo aplicamos la fórmula L =  W al sistema 
completo. 
En este caso,  = 1 + 2 + . . . + k , porque esto representa el 
número promedio de clientes por unidad de tiempo que 
llegan al sistema. 
• Para cada instalación i los procesos de entrada desde las diferentes 
fuentes (externas y desde otras instalaciones) son procesos Poisson 
independientes de manera que el proceso de entrada agregada es 
Poisson con parámetro j
• La propiedad de equivalencia dice entonces que el proceso de salida 
agregado para la instalación j debe ser Poisson con parámetros j
• Al desagregar este proceso de salida, el proceso para los clientes que 
salen de la instalación i a la instalación J debe ser Poisson con 
parámetros i Pij Este proceso se convierte en uno de los procesos 
de entrada Poisson para la instalación J ayudando con esto mantener 
la serie de procesos Poisson en todo el sistema
• Por lo tanto se puede utilizar el modelo M/M/S para obtener las 
medidas de desempeño para cada instalación independientemente
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Teorema de Jackson
Las ecuaciones para los j son intuitivas porque λj es la tasa 
de llegadas al nodo j desde fuera del sistema, y como j es la 
tasa a la que los clientes salen del nodo j (la tasa de entrada 
debe ser igual a la de salida), j pij es la tasa de llegada a i de 
aquellos que vienen de j. 
Nótese que el teorema de Burke permitía sólo conexiones 
hacia delante, sin realimentación, ya que podía destruir la 
naturaleza poissoniana del caudal de salida realimentado. 
Por eso, si hay realimentación, el proceso de llegadas totales a 
un nodo (exteriores más realimentadas) no será de Poisson. 
Asombrosamente, el teorema de Jackson indica que incluso 
las redes con realimentación son tales que los nodos se 
comportan "como si" fueran alimentados totalmente por 
llegadas de Poisson, aunque en realidad no sea así. 
Ing. Carlos Martin
En j estamos sumando las llegadas (de Poisson) desde fuera 
del sistema y las llegadas (no necesariamente de Poisson) 
desde todos los nodos internos. 
Las probabilidades estacionarias en cada nodo son las de un 
modelo M/M/ Sj , incluso aunque el modelo no sea un M/M/sj
Los estados nj de los nodos individuales son v.a.
independientes. 
La condición j < sj µj para todo j es necesaria para todos los 
nodos.
Esta formulación tan general permite el caso en que pij ≥ 0. La 
tasa de salida (externa) del sistema desde el nodo i es 
Ing. Carlos Martin
Teorema de Jackson
Por la forma producto de la probabilidad estacionaria, resulta que el 
número medio de clientes en el sistema, L, es la suma del número medio 
de clientes en cada nodo Li , como vimos en las colas en serie. 
A partir de L, podemos calcular W como 
Sobre las distribuciones de los tiempos de espera no se puede decir 
mucho. 
El hecho de que los nodos se comporten como si fueran modelos M/M/s 
nos puede hacer pensar que podríamos usar las distribuciones de los 
tiempos de espera de esos modelos.
Sin embargo, esto no es necesariamente cierto en redes de Jackson, 
donde se permite la realimentación. 
Ing. Carlos Martin
Teorema de Jackson
Los sistemas tándem son redes de Jackson. 
En el caso más general de colas en serie con R nodos, se tiene que: 
 λi = λ para i = 1 y λi = 0 en el resto, y además 
 p i,i+1 = 1 para i =1,2,...,R-1, 
 pR,j = 0 para j = 1,...,R, y son también redes de Jackson
Ing. Carlos Martin
• Hemos supuesto capacidad infinita en los nodos. 
• Analizar redes de colas cuando hay límites en la capacidad de algún 
nodo es más complejo. 
• Puede que haya un efecto de bloqueo; esto es, si un cliente ha 
terminado su servicio en el nodo i y quiere dirigirse a un nodo j que 
está al máximo de su capacidad, entonces debe esperar en el nodo i 
hasta que haya sitio en el nodo j y el sistema se bloquea. Las llegadas 
al nodo i se rechazan. 
• Otra posibilidad es que ese cliente rebase el nodo j y deba irse 
inmediatamente a otro nodo en su lugar. 
• Una última opción es que ese cliente sea rechazado y tenga que 
abandonar el sistema. 
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Conclusiones
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
En este tema se describieron los modelos básicos de teoría de colas 
para los que se tienen resultados muy útiles. 
Se considerarían muchos otros modelos interesantes si el espacio lo 
permitiera. 
De hecho, han aparecido en la literatura técnica varios miles de 
artículos de investigación que formulan y/o analizan modelos de 
colas, y cada año se publican más.
La distribución exponencial juegaun papel fundamental en la teoría 
de colas para representar la distribución de los tiempos entre 
llegadas y de servicio, ya que esta suposición permite representar 
un sistema de colas como una cadena de Markov de tiempo 
continuo. 
Por la misma razón, son de gran utilidad las distribuciones tipo fase 
como Ia distribución Erlang, en donde se desglosa el tiempo total 
en fases individuales que tienen distribuciones exponenciales. 
Con algunas suposiciones adicionales, se han obtenido importantes 
resultados analíticos sólo para un pequeño número de modelos de 
colas. 
Ing. Carlos Martin
Los modelos de disciplina de prioridades son útiles para la situación 
común en la que se da prioridad a algunas categorías de clientes 
sobre otras para recibir el servicio. 
En otra situación común los clientes deben recibir servicio en 
distintas estaciones o instalaciones. 
Los modelos de redes de colas se usan cada vez más en estas 
situaciones. 
Esta es un área especialmente activa en Ia investigación actual. 
Cuando no se dispone de un modelo manejable que proporcione 
una representación razonable del sistema bajo estudio, un enfoque 
usual es obtener los datos de desempeño pertinentes mediante el 
desarrollo de un programa de computadora para simular la 
operación del sistema. 
Ing. Carlos Martin
Bibliografía
Ing. Carlos Martin
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 Winston Wayne L.. “Investigación de Operaciones. Editorial. Grupo Editorial 
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Editorial. Mc Graw Hill. ©2001
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Editorial Prentice. ©2000
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 MARIN, Isidoro. “Investigación Operativa”. UBA. Centro de Estudiantes 
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Cengage Learning
 Bronson, Richard. “Investigación de Operaciones”. Editorial Mc Graw Hill.
 MUNIER, Nolberto. “Manual de PERT – CPM”. Editorial ASTREA.
Preguntas
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Muchas Gracias
Profesor: Ing. Carlos A. Martin
E-mail: ing_carlos_martin@hotmail.com
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR