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J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-1 2004/2005 Ecuaciones de Estado • Incorporan en el modelo de Maxwell el efecto del medio. • Los vectores y incluyen el efecto del medio y son función del medio y, en general, de los vectores y . • En la mayor parte de los medios: • En el vacío: se acostumbra a expresar las ecuaciones de estado como: D r B r H r E r ( ) ( )HEBBHEDD rrrrrrrr ,,medio,,medio == ( ) ( )HBBEDD rrrrrr ,medio,medio == ( ) ( ) magnetica dadpermeabili,medio adielectric adpermitivid,medio =µ=µµ= =ε=εε= HHB EED rrr rrr ( ) ( )mH101,257 104 mF10854,8 1094 1 87 00 12 900 −− − ⋅=⋅π≈µµ= ⋅= ⋅⋅π ≈εε= HB ED rr rr ( )sm1031 8 00 ⋅≈ µε J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-2 2004/2005 • Considerando un medio como una distribución de cargas en el vacío. – En reposo estas cargas (ligadas) se cancelan. – En presencia de un campo , se modifica su posición relativa, no se cancelan: El medio se polariza. • Considerando un medio como una distribución de corrientes en el vacío. – En reposo las corrientes (ligadas) se cancelan. – En presencia de un campo , se modifican y no se cancelan: El medio se magnetiza. Influencia de los campos sobre los materiales r E ≠ 0+- +- +- + - + - + - r E = 0 +- + - + - + - + - + - E r r B = 0 r B ≠ 0 H r J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-3 2004/2005 • En una región vacía existe un campo . – Se verifica: • Si la región se rellena con un material que se polariza, , el campo ahora será . – Se verifica: – Definiendo el vector polarización, , como: – Definiendo como: – se relaciona con el campo a través de la susceptibilidad eléctrica: – En general , aunque en los medios lineales » permitividad o constante dieléctrica relativa. Influencia sobre los materiales: Polarización P r ligadaρ EP e rr 0εχ= ( )Eee r,medioχ=χ ( ) EEEEEPDD r r ee rrr 321 rrrrr ε=εε=ε ε χ+=εχ+ε=+= 00000 1 =εr + - + - r E ( ) ρ=ε⋅∇ 00E r ( ) ligadaE ρ+ρ=ε⋅∇ r 0 ( ) ρ=+ε⋅∇⇒ρ−=⋅∇ PEP ligada rrr 0 r P D r ρ=⋅∇⇒+ε= DPED rrrr 0 El vector permite olvidar las cargas ligadas.D r r E00E r E r ( )medioee χ=χ J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-4 2004/2005 • En una región vacía existe un campo . – Se verifica: • Si la región se rellena con un material que se magnetiza, , el campo ahora será: – Definiendo el vector magnetización, , como: – Definiendo como: – está relacionado con el campo a través de la susceptibilidad magnética: – En general , aunque para medios lineales: – permeabilidad magnética relativa. Influencia sobre los materiales: Magnetización M r ligadaJ r 01 µχ+ χ =χ= B HM m m m r rr µ r = r B r B0 tDJB ∂∂+=µ×∇ 000 rrr ( ) tDJMBJM ligada ∂∂+=−µ×∇⇒=×∇ rrrrrr 0 M r r H tDJHMBH ∂∂+=×∇⇒−µ= rrrrrr 0 El uso del vector permite olvidar las corrientes ligadas.H r tDJJB ligada ∂∂++=µ×∇ rrrr 0 ( )Hmm r,medioχ=χ ( ) ( ) ( ) HHHHHMHB r r mm rrr 321 rrrrr µ=µµ=µ µ χ+=χ+µ=+µ= 0000 1 B r ( )mediomm χ=χ 0B r J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-5 2004/2005 Influencia sobre los Materiales: Resumen • Un medio se puede representar de las siguientes formas: – Por sus distribuciones ligadas, y : – Por su polarización, , y su magnetización, : – Por su permitividad, ε, y su permeabilidad, µ, junto con los campos auxiliares y : esta es la opción preferida en esta asignatura. ligadaJ r ligadaρ ligadaligada J J r r , , , 00 ρ ρ µε 00 ,µε ( ) ( ) ( ) ligadaDligadaligada Jt E JJBE , 001 000 r r rrrr + ∂ ε∂ ++=µ×∇ρ+ρ=ε⋅∇ − MP J rr r , , , 00 ρ µε 00 ,µε M r P r ( ) ( ) ( ) t PE JMBPE ∂ ε∂µρε rr rrrrr + +=−×∇=+⋅∇ − 001000 J r , , ρ µε 00 ,µε t D JHD ∂ ∂ +=×∇ρ=⋅∇ r rrr D r H r J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-6 2004/2005 Clasificación de los medios • Según su respuesta al campo electromagnético los medios se clasifican en: – Homogéneos: todos los puntos tienen las mismas propiedades. » ε y µ no dependen de la posición: – No homogéneos: sus propiedades varían de punto a punto » ε y µ son función de la posición: – Isótropos: sus propiedades no dependen de la dirección del campo. » ε y µ son escalares: – Anisótropos: sus propiedades dependen de la dirección del campo. » ε y µ son tensores (matrices) – Lineales: sus propiedades no dependen del valor del campo. – No lineales: sus propiedades dependen del valor del campo. » HBED rrrr µ=ε= ( ) ( )HrBErD rrrrrr µ=ε= HBED rrrr µ=ε= HBED rrrr µ=ε= ( ) ( )HtHHBEtEED rLrrrrLrrr ,,,, ∂∂µ=∂∂ε= HBED rrrr µ=ε= J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-7 2004/2005 Ley de Ohm generalizada. • Existe una relación adicional similar a las ecuaciones de estado: La Ley de Ohm generalizada: • σ= Conductividad (mho · m) = 1/ρ – mho = Ohm al revés • Es coherente con la definición clásica de resistencia: • Equivale a decir que la velocidad media de los portadores de carga es proporcional al campo eléctrico; EJ rr σ= S L SnE LnE I V R LnEldEV SnESnJSdJI S σ = ⋅σ ⋅ ==⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅=⋅−= ⋅σ=⋅=⋅= ∫ ∫∫ + − 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ r r rrr rrrr EJ rr σ= n̂ S L + - 1 1 1 1 1 1mho S Siemens= = = = Ω Ev EJ vJ rr rr rr ρ σ =⇒ ⎭ ⎬ ⎫ σ= ρ= J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-8 2004/2005 Constante de relajación • La constante de relajación permite caracterizar un medio como conductor o dieléctrico (aislante): – Si en el interior de un medio existe en el instante t=0: – Si el medio es homogéneo, lineal e isótropo: – La carga desaparece (emigra a la superficie) a una velocidad controlada por la constante de relajación: • Si τ es mucho mayor que el tiempo de observación el medio es dieléctrico. Si es mucho menor el medio es conductor. ( ) 00 = ∂ ∂ρ +σ⋅∇⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ σ= = ∂ ∂ρ +⋅∇ t E EJ t J r rr r ( ) ( ) ( ) ( ) τ−ρ=εσ−ρ=ρ⇒=ρ ε σ + ∂ ∂ρ ⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ρ=⋅∇ε=⋅∇ = ∂ ∂ρ +⋅∇σ tertertr tED t E rrr rr r 00,0 0 ( )rr0ρ σ ε =τ ρ ρS J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-9 2004/2005 Ejemplos de medios Material εr µr σ (S/m) τ (s) Agua destilada 80 1 2,0E-04 3,5E-06 Agua Dulce 80 1 1,00E-03 7,1E-07 Agua de Mar 72 1 4 1,6E-10 Vidrio 6 1 1,00E-12 53,1 Porcelana 5,7 1 2,00E-13 252,3 Cuarzo 3,8 1 Cuarzo Fundido 3,8 1 1,00E-17 3364520,0 Mica 6 1 1,00E-15 53124,0 Cobre 1 0,99999 5,80E+07 1,5E-19 Plata 1 0,99998 6,17E+07 1,4E-19 Oro 1 0,99996 4,10E+07 2,2E-19 Aluminio 1 1,000021 3,54E+07 2,5E-19 Hierro 1 4 1,03E+07 8,6E-19 Mumetal 100 • La constante de relajación del cuarzo equivale a 38.9 días y la de la mica a 14,8 horas • Algunos de estos datos presentan diferencias de hasta un orden de magnitud entre las diferentes referencias consultadas J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-10 2004/2005 Condiciones de contorno en las interfases • Las ecuaciones diferenciales no son válidas en las interfases entre medios diferentes. – Es necesario obtener y aplicar condiciones de contorno que permitan el salto de un medio a otro. • El procedimiento general consiste en suponer que la transición entre medios se produce de forma suave en un intervalo , aplicar la ecuación integral y después hacer tender n∆ 0→∆n (1) (2) ∆n ε µ σ2 2 2, , ε µ σ1 1 1, , Medio 1 Medio 2 2222 222 ,,, ,, BHDE rrrr σµε 1111 111 ,,, ,, BHDE rrrr σµε $n Atención a la definición de n̂ SSJ ρ, r J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-11 2004/2005 Condición de interfase para • Aplicando la Ley de Gauss a la superficie cerrada de la figura: – Si , entonces y ... – La integral desaparece porque la elección de S es arbitraria. r D ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅ ρ+ρ= =⋅ latSC V S S SC s SdDs SdDs SdDSdD dSdVq qSdD rrrrrrrr rr 2 2 1 1 nnnnSSSSS LAT ˆˆˆˆ0 2121 →−→→→→ ( ) ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ρ=→⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ρ→ρ →ρ −⋅=⋅⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ →⋅ ⋅→⋅ ⋅−→⋅ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ S S S SS S V SC lat dSq dSdS dV s dSDDnSdD s SdD s dSDns SdD s dSDns SdD0 ˆ 0 ˆ ˆ 122 2 1 1 1 rrrr rr rrr rrr ( ) SSDDn ρ=−⋅ 12ˆ rr 0→∆n LATSC SSSS ++= 21 $n $n2 $n1 S ∆n (2) (1) ε µ σ2 2 2 ε µ σ1 1 1 S2 S1 SLAT J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-12 2004/2005 Condición de interfase para • Aplicando la ley de Ampère en el contorno de la figura: – Si entonces: r H ∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ ⋅+⋅= ⋅+⋅+⋅=⋅ ⋅ ∂ ∂ +=⋅ L SS LatLLC SC dlmJdSmJI ldHldHldHldH Sd t D IldH ˆˆ 211 21 rr rrrrrrrr r r rr ( ) L r r rr r rrrr rr rrrrr rrrrr ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ →⋅ ⋅→⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅→⋅ →⋅ −⋅→⋅⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ →⋅ ⋅=⋅→⋅ ⋅−=⋅−→⋅ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ S L S L SL S S LC Lat LLL LLL dSm t D dlmJI dlmJdlmJ dSmJ dlHHlldH ldH dllHldHldH dllHldHldH 0 0 0 12222 111 21 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ∂ ∂ $n ∆n (2) (1) ε µ σ2 2 2 ε µ σ1 1 1 $l $m ∆l L1 L2 L Lat 21 LLLatC ++= 0→∆n 00 21 →→→→ SLLLLLat J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-13 2004/2005 • De la transparencia anterior y como la elección de L es arbitraria: • Considerando que: • Y como la orientación de L es arbitraria: Condición de interfase para (2) r H $n (2) (1) ε µ σ2 2 2 ε µ σ1 1 1 $l $m ∆l L ( ) ( ) ( ) mJ S HHldlmJdlHHl dSm t D dlmJI dlHHlldH SL SL S L S LC ˆˆˆˆ 0ˆ ˆ ˆ 1212 12 ⋅=−⋅⇒⋅=−⋅⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ →⋅ ∂ ∂ ⋅→ −⋅→⋅ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ rrrrrr r r rrrr nml ˆˆˆ ×= ( ) ( ) ( ) ( )( ) mHHn HHnmHHlmJ S SS S ˆˆ ˆˆˆˆ 12 1212 ⋅−×= =−⋅×=−⋅=⋅ rr rrrrr ( ) SS JHHn rrr =−× 12ˆ J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-14 2004/2005 Condiciones de interfase para , y • Siguiendo procesos análogos al seguido para se obtiene: • Siguiendo un proceso análogo al seguido para se obtiene: r B r E r H D r ( ) 0ˆ 12 =−× SEEn rr ( ) 0ˆ 12 =−⋅ SBBn rr ( ) dt d JJn S S ρ −=−⋅ 12ˆ rr ( ) SSDDn ρ=−⋅ 12ˆ rr ( ) SS JHHn rrr =−× 12ˆ qSdD S =⋅∫∫ rr 0=⋅∫∫S SdB rr dt dq SdJ S −=⋅∫∫ rr ∫∫∫ ⋅∂ ∂ +=⋅ SC Sd t D IldH r r rr ∫∫∫ ⋅∂ ∂ −=⋅ SC Sd t B ldE r r rr r J J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-15 2004/2005 Linealidad de las ecuaciones de Maxwell Principio de Superposición • En el caso de medios lineales, ε, µ y σ independientes del valor de los campos, las ecuaciones de Maxwell son lineales: – Todas las operaciones implicadas son lineales: sumas, productos y derivadas. – Esto quiere decir que si: » dan lugar a unos campos » dan lugar a unos campos – Entonces, dan lugar a • Este hecho recibe el nombre de principio de superposición. – Permite descomponer una situación en varias más simples. 11, J r ρ 22 , J r ρ 11, BE rr 22 , BE rr 2121 , JJJ rrr β+α=βρ+αρ=ρ 2121 , BBBEEE rrrrrr β+α=β+α= J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-16 2004/2005 • En una región existe un campo electromagnético: • Si en ella se mueve una carga q con una velocidad , sobre ella aparecerá una fuerza de origen electromagnético: • Puesto que la carga se mueve, esta fuerza desarrolla un trabajo: – Considerando un desplazamiento infinitesimal: – La potencia asociada: • Este trabajo se hace a costa de la energía almacenada en forma electromagnética por el sistema: v r Energía: Introducción. BE rr , ( )BvEqFEM rrrr ×+= ( ) ldEqldF ldBvldv ldBvEqldF EM EM rrrr rrrrr rrrrrr ⋅=⋅⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⊥×⇒ ⋅×+=⋅ || ( ) ( ) vEq dt ld EqldEq dt d ldF dt d EM rr r rrrrr ⋅=⋅=⋅=⋅ vEq dt dWEM rr ⋅−= r v r E qE rr B qv B r r × q dl r J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-17 2004/2005 Energía: Introducción. (2) • Si se tratase de una distribución volumétrica de carga (y de corriente), la cantidad de energía electromagnética que en un dV se transforma en otro tipo de energía es: • Y en un volumen V: • Conclusiones: – La expresión es el incremento de energía en forma electromagnética del sistema por unidad de tiempo y volumen debido a conversión de tipo de energía. » Si , entonces el sistema pierde energía en forma electromagnética: se transformará en otro tipo de energía, por ejemplo energía mecánica o térmica. » Si , entonces el sistema gana energía en forma electromagnética: algún tipo de energía se transformará en energía electromagnética. Es el caso de los generadores. vEq dt dWEM rr ⋅−= dVJEdVvEdqvEdV dtdV dWEM rrrrrr ⋅−=ρ⋅−=⋅−= 0>⋅ EJ rr 0<⋅ EJ rr EJ rr ⋅− ∫∫∫ ⋅−= VEM dVJEdt dW rr J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-18 2004/2005 • En un conductor: • La variación de energía por unidad de tiempo y volumen: • Puesto que esta energía se transforma en calor, la potencia disipada por unidad de volumen será: • Adelantando un poco, – si se tratase de una corriente estacionaria: – Y si el conductor tuviese dos electrodos a potenciales constantes y sólo circula corriente a través de ellos: » Resultado conocido. Energía: Introducción (3) Efecto Joule 2 EJE dtdV dWEM rrr σ−=⋅−= JE dtdV dW CEM rr ⋅=→ σ σ= 0 Φ = VA Φ = VB I A B→ SA SB ( )IVVdSJdVJE dt dW BASV CEM −=⋅Φ−=⋅= ∫∫∫∫∫→ rrr EJ rr σ= ( ) ( ) JEJ JE JJJ rrr rr rrr ⋅−=Φ⋅∇⇒ ⎭ ⎬ ⎫ =⋅∇Φ−∇= ⋅∇Φ+⋅Φ∇=Φ⋅∇ 0 J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-19 2004/2005 Energía: Teorema de Poynting • Manipulando ecuaciones: • Si el medio es lineal: • Entonces: • Integrando a un volumen V constante en el tiempo: ( ) ( ) ( ) ( ) t D EJE t B HHE t D JH t B E HEEHHE ∂ ∂ ⋅−⋅− ∂ ∂ ⋅−=×⋅∇⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ +=×∇ ∂ ∂ −=×∇ ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ rrrr r rrrr rr r r rrrrrr t D EDE tt B H t H HBH t ∂ ∂ ⋅=⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⋅µ=⋅ ∂ ∂ r rrr r r r rrr 2;22 ( ) JEDE t BH t HE rrrrrrrr ⋅+⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ +×⋅∇= 2 1 2 1 0 ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ +⋅×= VVVS dVEJdVDE t dVBH t SdHE rrrrrrrrr 2 1 2 1 0 J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-20 2004/2005 Energía: T. de Poynting. Interpretación • Puesto que la potencia disipada es todos los términos de la expresión pueden ser interpretados como potencias (variación de energía en la unidad de tiempo) y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía: ∫∫∫ ⋅=→ VCEM dVEJdt dW rr ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ +⋅×= VVVS dVEJdVDE t dVBH t SdHE rrrrrrrrr 2 1 2 1 0 • Sólo depende del campo magnético: ⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo magnético. ∫∫∫ ⋅∂ ∂ V dVBH t rr 2 1 • Sólo depende del campo eléctrico: ⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo eléctrico. dVDE t V∫∫∫ ⋅∂ ∂ rr 2 1 • Es un flujo a través de la superficie que limita el volumen: ⇒ Es la cantidad de energía que sale del volumen por unidad de tiempo en forma electromagnética. ( )∫∫ ⋅×S SdHE rrr J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-21 2004/2005 Energía: Teorema de Poynting. Resumen • Esta expresión recibe el nombre de Teorema de Poynting: ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⋅+⋅×=⋅−⋅−=− ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ energia de tipootro en datransforma EM Potencia superficie la de travesa saliente EM Potencia = magnetica energia de n Disminucio + electrica energia de nDisminucio = 2 1 2 1 t W dVEJSdHEdVBH t dVDE tt W EM VSVV EM ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ rrrrrrrrr DE dV dWE rr ⋅= 2 1 es la densidad volumétrica de energía asociada al campo eléctrico. BH dV dWB rr ⋅= 2 1 es la densidad volumétrica de energía asociada al campo magnético. EJ rr ⋅ es la densidad volumétrica de potencia transformada en otro tipo. HESP rrrr ×== Es el vector de Poynting. Su componente en una dirección representa la densidad de flujo de energía electromagnética por unidad de área en esa dirección. Su dirección y sentido coinciden con los del transporte de energía electromagnética. ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ +⋅×= VVVS dVEJdVDE t dVBH t SdHE rrrrrrrrr 2 1 2 1 0
