Vista previa del material en texto
J.L. Fernández Jambrina EyM 1-1 Tema 1: Introducción Concepto de campo Repaso de álgebra vectorial Sistemas de coordenadas Cartesiano Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico. Operadores vectoriales. Gradiente Divergencia Rotacional Derivada temporal Combinación de operadores: Laplaciana Expresiones con operadores Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos. J.L. Fernández Jambrina EyM 1-2 Escalares y Vectores • Escalar: – Magnitud determinada por un número. – Ejemplos: Longitud, masa, tiempo, … • Vector: – Magnitud determinada por un número (módulo), una dirección y un sentido. – Ejemplos: Velocidad, fuerza, aceleración, … Vector aA EscalaraA ⎭ ⎬ ⎫ aA rr A r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-3 Concepto de campo • Un campo es la descripción de determinadas propiedades de los puntos del espacio. • Campo Escalar. – Se puede describir con sólo un número para cada punto. – Se representa por medio de una función de la posición. – Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno. Potencial Electrostático... • Campo Vectorial. – Para cada punto la propiedad varía con la dirección considerada. – Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada punto del espacio. – Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad... • El campo electromagnético requiere al menos dos vectores. J.L. Fernández Jambrina EyM 1-4 Representación de campos escalares 0 10 20 30 0 10 20 30 -2 -1 0 1 2 Representacion 3D 5 10 15 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Isotímicas z xe x y= − − 2 2 J.L. Fernández Jambrina EyM 1-5 Representación de campos escalares J.L. Fernández Jambrina EyM 1-6 Representación de campos vectoriales -2 -1 0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Vectores ρ Z Líneas de campo J.L. Fernández Jambrina EyM 1-7 Representación de campos vectoriales J.L. Fernández Jambrina EyM 1-8 Representación de campos vectoriales • Campo eléctrico en un coaxial • Campo magnético en un coaxial J.L. Fernández Jambrina EyM 1-9 Álgebra vectorial: Suma Vectorial • Suma de vectores: – Propiedad Conmutativa: - Propiedad Asociativa: A r CBA rrr ++ B r A r BA rr + B r B r A r C r A r BA rr + B r ABBA rrrr +=+ ( ) ( )CBACBA rrrrrr ++=++ J.L. Fernández Jambrina EyM 1-10 Álgebra vectorial: Producto por un escalar • Producto por un escalar: – Es multiplicar su módulo por el escalar: – Propiedades: A r ( ) ( ) ( ) BABA AAA AA AA rrrr rrr rr rr ααα βαβα αββα αα +=+ +=+ = = )( A r α J.L. Fernández Jambrina EyM 1-11 Álgebra Vectorial: Producto escalar. • El producto escalar de dos vectores es: Es un escalar. • Propiedades: αcosBABA rrrr =⋅ A r B r α ( ) ( ) ( ) ( )BABABA CABACBA ABBA rrrrrr rrrrrrr rrrr ααα ⋅=⋅=⋅ ⋅+⋅=+⋅ ⋅=⋅ J.L. Fernández Jambrina EyM 1-12 Álgebra Vectorial: Producto escalar (2) • Obtención del módulo de un vector: • Vectores unitarios: – Los de módulo unidad: – Obtención de un vector unitario αcosBABA rrrr =⋅ A r B r α 00 2 ≥⋅=⇒==⋅ AAAAAAAA rrrrrrrr cos 11 =⋅⇔= aaa rrr ⎩ ⎨ ⎧ = ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅ = ≠ Aa a AA A a A rr r rr r r r // 1 0 J.L. Fernández Jambrina EyM 1-13 Álgebra Vectorial: Producto escalar (3) • Signo del producto escalar: • Propiedad: αcosBABA rrrr =⋅ A r B r 0>⋅ BA rr A r B r α 0<⋅ BA rr A r B r 2πα = 0=⋅ BA rr α BA B A BA rr r r rr ⊥⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ≠ ≠ =⋅ 0 0 0 J.L. Fernández Jambrina EyM 1-14 Bases y componentes • Base ortonormal: – Vectores unitarios ortogonales que permiten construir cualquier vector (del espacio correspondiente) por combinación lineal. – Componentes: zAyAxAA zz zyyy zxyxxx zyxBase zyx ˆˆˆ ˆˆ ˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆ ˆ,ˆ,ˆ: ++=⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⋅ =⋅=⋅ =⋅=⋅=⋅ ⇒ r 1 01 001 ( ) z y xzyx AzA AyA AxzAyAxAxA =⋅ =⋅ =⋅++=⋅ ˆ ˆ ˆˆˆˆˆ r r r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-15 Álgebra Vectorial: Producto Vectorial • El producto vectorial de dos vectores: – Es otro vector: – Ortogonal a los operandos: – – Orientado según la regla del tornillo al girar el primero hacia el segundo A r B r α BA rr × αsenBABA rrrr =× B r A r α αsenB r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-16 Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (2) • Propiedades: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 =× =×⇒ ×=×=× ×+×=+× ×−=× AA BABA BABABA CABACBA ABBA rr rrrr rrrrrr rrrrrrr rrrr // ααα A r B r BA rr × BA rr ×− J.L. Fernández Jambrina EyM 1-17 Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (3) • Propiedades: x̂ ŷ ẑ ( ) ( ) ( )zBABAyBABAxBABA BBB AAA zyx BA xzyyxzzyx xyyxzxxzyzzy zyx zyx ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ −+−+−= ==× =×=×=× rr J.L. Fernández Jambrina EyM 1-18 Álgebra vectorial: Productos triples ( ) ( )CBACBA rrrrrr ⋅≠⋅ A r BA rr × C r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBAACBBCACBA CBABCACBA rrrrrr rrrrrrrrr rrrrrrrrr ××≠××⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⋅−⋅=×× ⋅−⋅=×× ( ) ( ) ( )→×⋅=×⋅=×⋅ BACACBCBA rrrrrrrrr Br ( ) ( ) ( )( ) ( )( )CBDADBCADCBA rrrrrrrrrrrr ⋅⋅−⋅⋅=×⋅× Producto Mixto Doble Producto vectorial J.L. Fernández Jambrina EyM 1-19 Álgebra vectorial: Diferenciación • Derivada de un vector: • Propiedades: ( ) ( ) ( ) α∆ ∆ α∆ αα∆α α α αα AAA d Ad rrrr 00 →→ = −+ = limlim z d dA y d dA x d dA d Ad zyx ˆˆˆ αααα ++= r ( ) ( ) ( ) ( ) αααααα αααααα d Bd AB d Ad BA d d d Ad mA d dm Am d d d Bd AB d Ad BA d d d Bd d Ad BA d d r rr r rr r rr r rr r rr rr rr ×+×=×⋅+⋅= ⋅+⋅=⋅+=+ J.L. Fernández Jambrina EyM 1-20 Álgebra vectorial: Diferenciación (2) • Diferencial de un vector: zdAydAxdA zd d dA yd d dA xd d dA d d Ad Ad zyx zyx ˆˆˆ ˆˆˆ ++= =++= == α α α α α α α α r r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-21 Álgebra Vectorial: Integración • Definición como límite de una suma: • Evaluación: ( ) ( )( )1 1 − = ∞→ −= ∑∫ ii N i i N b a AdA ααβαα rr lim iii NN ba αβα αααα ≤≤ =≤≤≤= − − 1 110 L ∫∫∫∫ ++= b a z b a y b a x b a dAzdAydAxdA αααα ˆˆˆ r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-22 Sistemas de coordenadas • Hacen falta para describir los puntos del espacio. • El más simple es el cartesiano: – Al decir que un punto P tiene coordenadas x0, y0, z0 se quiere decir que está contenido en los planos: – Los vectores unitarios llevan la dirección y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente. – Los vectores unitarios se ordenan de forma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero: » Sistema levógiro o a izquierdas. 000 zzyyxx === dx rd x r x x rr = ∆ ∆ = →∆ limˆ 0 zyx ˆˆˆ =× z z= 0 y y= 0 X Z Y $x $y $z P x x= 0 J.L. Fernández Jambrina EyM 1-23 Sistema cartesiano (2) r r r r r l+ ∆ ∆ r l O – El vector de posición del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto: – Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector: – Si el desplazamiento es de magnitud muy pequeña (infinitesimal) se puede representar por: » Puesto que una curva está definida por dos ecuaciones, los tres diferenciales se pueden reducir a uno. – La longitud del desplazamiento infinitesimal será: zzyyxxr ˆˆˆ ++= r 222 dzdydxldldlddl ++=⋅== rrr zzyyxxl ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆ r zdzydyxdxld ˆˆˆ ++= r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-24 Sistemas cartesiano, cilíndrico y esférico z z= 0 y y= 0 X Z Y $x $y $z P x x= 0 X P Y z ρ ϕ Z $z $ϕ $ρ $z $r $ϕ $θ X Y Z r ϕ θ θ Cartesiano Cilíndrico Esférico ( )zyx ,, ( )z,,ϕρ ( )ϕθ,,r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-25 Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales • En general, cualquier tríada de familias de superficies puede servir para definir un sistema de coordenadas: – Estas ecuaciones permiten el paso de cartesianas al nuevo sistema. – Despejando x, y y z se realiza el paso inverso. ( ) ( ) ( ) 332211 ,,,,,, uzyxUuzyxUuzyxU === u1=cte u2 =cte u3 =cte P û1 û2 û3 • La tríada (u1,u2,u3) son las coordenadas del punto: – Cualquier tríada debe definir un único punto.– Cualquier punto debe estar definido por una única tríada. – Se admiten excepciones. • El vector de posición se puede obtener a partir de cartesianas: zzyyxxr ˆˆˆ ++= r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-26 Curvilíneas (2) • En general las coordenadas no son distancias: – Un incremento infinitesimal de una coordenada y el desplazamiento correspondiente se relacionan a través de un factor de escala: » La expresión central permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala. • Si las superficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal. • Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como: iiiiii ii uduhlduh u r u r ˆˆ1 =⇒=⇒≠ rrr ∂ ∂ ∂ ∂ 213132321 133221 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ uuuuuuuuu uuuuuu =×=×=× =⋅=⋅=⋅ 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 333222111 ˆˆˆ duhduhduhdl uduhuduhuduhld ++= ++= r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-27 Curvilíneas (3) • Propiedad interesante: – Es evidente que: es decir, todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de coordenadas ortogonal en otro también ortogonal se repiten en la transformación inversa en posición traspuesta. – Se puede definir una matriz de rotación [R] que es ortogonal (su inversa es su traspuesta). [ ] [ ] [ ] [ ]TRR RR u u u z y x z y x u u u = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 3 2 1 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332211 332211 332211 3333 2222 1111 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ uzuuzuuzuz uyuuyuuyuy uxuuxuuxux zzuyyuxxuu zzuyyuxxuu zzuyyuxxuu ⋅+⋅+⋅= ⋅+⋅+⋅= ⋅+⋅+⋅= ⋅+⋅+⋅= ⋅+⋅+⋅= ⋅+⋅+⋅= J.L. Fernández Jambrina EyM 1-28 • También se puede calcular el diferencial de volumen: – En cartesianas: – En curvilíneas generalizadas ortogonales: A pesar del aspecto del dibujo, al ser las dimensiones muy pequeñas, los lados son son rectos y ortogonales. Curvilíneas (4) dy dz dx X Z Y dzdydxdV = u2 u1 u3 h2du 2 h3du3 h1du 1 321321 dududuhhhdV = J.L. Fernández Jambrina EyM 1-29 Sistema de coordenadas Cilíndricas • Las superficies coordenadas del sistema son: – Cilindros de eje z y radio ρ. – Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo ϕ con el semiplano xz que se toma como referencia. – Planos z = cte. • Las coordenadas del sistema serán ternas de valores ρ, ϕ, z. • Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, -∞ < z < +∞. zz = x y arctg=ϕ 22 yx +=ρ • Existe una ambigüedad: Los puntos del eje z quedan definidos por su z y ρ=0: ϕ puede ser cualquiera. • Relaciones inversas: X P Y z ρ ϕ Z $z $ϕ $ρ zzyx === ϕρϕρ sencos J.L. Fernández Jambrina EyM 1-30 Cilíndricas (2) Vectores unitarios y factores de escala • De momento el vector de posición es: • Trabajando un poco: zzy y x x r ˆˆsenˆcos ++= 321321 r ϕρϕρ ( ) zz z r hz z r z yx h rr hyx r yx h rr hyx r z ˆˆ1ˆ: ˆcosˆsenˆˆcosˆsen: ˆsenˆcosˆ1ˆsenˆcos: ==== +−====+−= +====+= ∂ ∂ ∂ ∂ ϕϕ∂ϕ∂ϕρ ∂ϕ ∂ϕϕρ ∂ϕ ∂ϕ ϕϕ∂ρ∂ρ ∂ρ ∂ϕϕ ∂ρ ∂ρ ρ ϕ ρ ρ rr rrr rrr ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y x z ˆ ˆ ˆ 100 0cossen 0sencos ˆ ˆ ˆ ϕϕ ϕϕ ϕ ρ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zz y x ˆ ˆ ˆ 100 0cossen 0sencos ˆ ˆ ˆ ϕ ρ ϕϕ ϕϕ 11 === zhhh ρϕρ J.L. Fernández Jambrina EyM 1-31 Cilíndricas (3) Vector de posición y diferenciales • Vector de posición: – La dependencia con ϕ está implícita dentro de : • Diferencial de longitud (vector): • Diferencial de longitud (escalar): • Diferencial de volumen: ( ) ( ) zz yyxx r ˆ ˆ ˆcosˆsensen ˆ ˆsenˆcoscos +++−= 44 344 2132144 344 21321 r ϕϕρϕϕρϕϕρϕϕρ zzr ˆˆ += ρρr zdzddld ˆˆˆ ++= ϕϕρρρ r 2222 dzdddl ++= ϕρρ dzdddV ϕρρ= $ρ ( ) ( ) zzzr ˆˆ,, += ϕρρϕρr J.L. Fernández Jambrina EyM 1-32 Sistema de coordenadas Esféricas • Las superficies coordenadas del sistema son: – Esferas de radio r: – Conos cuya generatriz forma un ángulo θ con el eje z positivo: – Semiplanos limitados por el eje z que forman un ángulo ϕ con el eje z: • Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0≤θ≤π, 0 ≤ ϕ < 2π z yx 22 arctg + =θ x y arctg=ϕ 222 zyxr ++= • Existen dos ambigüedades: – Los puntos del eje z quedan definidos por su r y θ=0 ó π, ϕ puede ser cualquiera. – El origen queda definido por r=0, con independencia de los valores de θ y ϕ. • Relaciones inversas: θϕθϕθ cossensencossen rzryrx === $z $r $ϕ $θ X Y Z r ϕ θ θ J.L. Fernández Jambrina EyM 1-33 z z ry y rx x rr ˆcosˆsensenˆcossen 3214342143421 r θϕθϕθ ++= ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) yxrhyxrr zyxrhzyxr r zyxrhzyx r r r r ˆcosˆsenˆsenˆcosˆsensen: ˆsenˆsenˆcoscosˆˆsenˆsenˆcoscos: ˆcosˆsenˆcossenˆ1ˆcosˆsenˆcossen: ϕϕϕθϕϕθ ∂ϕ ∂ϕ θϕϕθθθϕϕθ ∂θ ∂θ θϕϕθθϕϕθ ∂ ∂ ϕ θ +−==+−= −+==−+= ++==++= r r r ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y xr ˆ ˆ ˆ 0cossen sensencoscoscos cossensencossen ˆ ˆ ˆ ϕϕ θϕθϕθ θϕθϕθ ϕ θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕ θ θθ ϕϕθϕθ ϕϕθϕθ ˆ ˆ ˆ 0sencos cossencossensen sencoscoscossen ˆ ˆ ˆ r z y x θϕθ sen1 rhrhhr === Esféricas (2) Vectores unitarios y factores de escala • De momento el vector de posición es: • Trabajando un poco: J.L. Fernández Jambrina EyM 1-34 Esféricas (3) Vector de posición y diferenciales • Vector de posición: – La dependencia con θ y ϕ está implícita dentro de • Diferencial de longitud (vector): • Diferencial de longitud (escalar): • Diferencial de volumen: rrr ˆ= r ϕϕθθθ ˆsenˆˆ drrdrdrld ++= r ϕθθ ddrdrdV sen2= ( )[ ] 44444 344444 21 r r r zyxrr ˆcosˆsenˆcossen θϕϕθ ++= 222222 sen ϕθθ drdrdrdl ++= $r J.L. Fernández Jambrina EyM 1-35 Cilíndricas - Esféricas • Es posible relacionar directamente entre sí cilíndricas y esféricas: – Relación entre coordenadas: – Relación entre vectores unitarios: r z z r z r = + = = = = = ρ θ ρ ϕ ϕ ρ θ ϕ ϕ θ 2 2 arctg sen cos $ $ $ sen cos cos sen $ $ $ r z θ ϕ θ θ θ θ ρ ϕ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 1 0 $ $ $ sen cos cos sen $ $ $ ρ ϕ θ θ θ θ θ ϕz r⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 1 0 $z $r $ρ $ϕ $θ X Y Z r ϕ θ θ ρ z J.L. Fernández Jambrina EyM 1-36
