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Control 1 - Econoḿıa Matemática Nombre:
1. [6 puntos] Una interesante aplicación del Teorema de Borsuk-Ulam dice que si uno considera la
temperatura en los puntos que están en la ĺınea del ecuador de la Tierra, siempre existirá un par de
puntos diametralmente opuestos que tienen exactamente la misma temperatura.
Suponga que la temperatura T (x) es una función continua en x y que el punto opuesto de x se denota
x′. La siguiente figura muestra la ĺınea del ecuador de la Tierra y los puntos opuestos x y x′:
Demuestre la veracidad de esta aplicación del Teorema de Borsuk-Ulam. Por simplicidad, asuma
inicialmente que T (x) > T (x′).
2. [6 puntos] Sea f : D → R una función continua con D ⊂ R. Demuestre que si S ⊂ D es un conjunto
compacto, entonces su imagen f(S) también es un conjunto compacto.
3. [6 puntos] Una secuencia {xn}∞n=1 ∈ R satisface el criterio de Cauchy si para cada � > 0 existe
un N tal que |xn − xm| < �,∀n,m > N . Responda las siguientes preguntas:
(a) Demuestre que cualquier secuencia convergente {xn}∞n=1 ∈ R satisface el criterio de Cauchy.
(b) Considere la secuencia de sumas parciales de series armónicas {1, 1+ 12 , 1+
1
2+
1
3 , 1+
1
2+
1
3+
1
4 , · · · },
es decir, {xn}∞n=1 con xn =
∑n
i=1
1
i . Discuta si esta secuencia satisface el criterio de Cauchy.
4. [6 puntos] Una secuencia {xn}∞n=1 es monotónicamente creciente si xn+1 ≥ xn, ∀n ∈ N. De-
muestre que si una secuencia es monotónicamente creciente y acotada, entonces esta es también
convergente.
5. [6 puntos] Sean A y B dos conjuntos en el espacio métrico (E, d). Demuestre que:
(a) Si A es abierto y B es cerrado, entonces A−B es abierto.
(b) Si A es cerrado y B es abierto, entonces A−B es cerrado.
6. [6 puntos] Demuestre que el número real
√
2 es un número irracional.
1 2do Semestre 2015