Cálculo Diferencial Moisés

Prévia do material em texto

www.FreeLibros.org
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Cálculo 
Diferencial
♦ La Derivada
♦ Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas
♦ Derivadas Parciales
♦ Derivación Implícita
♦ Aplicaciones de la Derivada
♦ Diferenciales
♦ La Derivada de la Función Inversa
♦ Polinomio de Taylor
MOISÉS LÁZARO C.
Autor : Moisés Lázaro Carrión
Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de 
la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).
Experiencia Docente:
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Ricardo Palma
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad Nacional de Ancash - Santiago Antúnez de Mayolo
Universidad Nacional del Callao
Universidad Particular San Martín de Porres
La presentación y disposición en conjunto de:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
CÁLCULO DIFERENCIAL
Autor: Moisés Lázaro Carrión
Son propiedad de: Dis. Imp. Edit. Lib. MOSHERA S.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autoriza­
ción escrita de la editorial.
Decreto Legislativo.................................................................................. : 822
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°... : 2014-02916 
International Standard Book Number ISBN.................................... : 978-9972-813-81-8
Derechos reservados ©
Cuarta edición: Marzo 2014 
Tiraje: 500 ejemplares
Obra editada, impresa y distribuida por: 
Distribuidora, Imprenta, Editorial, Librería
MOSHERA S.R.L.
RUC: 20101220584
Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres 
Lima - Perú / Telefax: 567-9299
PEDIDOS AL POR MAYOR
Distribuidora - Imprenta - Editorial - Librería
MOSHERA S.R.L.
Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres 
Telefax: 5 6 7 -9 2 9 9 
e-mail: editorialmoshera@hotmail.com
Impreso en el Perú - Printed ¡n Perú
mailto:editorialmoshera@hotmail.com
D ed ico este libro a lodos los
trabajodores de la ¿SdiforiaI
AAoshera S .R .jL . por su s a ­
crificada labor en hacer rea­
lidad la presente obra.
IV
PRÓLOGO
Con el título de CALCULO DIFERENCIAL, que es parte de todo curso de Aná­
lisis Matemático I, se presenta al lector que sigue las carreras de: Ciencias, 
Ingeniería, Economía, Administración y Contabilidad el presente Libro que
contiene ocho capítulos bien definidos que son:
Capítulo 1: La derivada de una función y los teoremas relativos al tema.
Capítulo 2: Representación paramétrica de las curvas, su gráfico y deri­
vadas.
Capítulo 3: Derivadas parciales y sus aplicaciones a la economía.
Capítulo 4: Derivación implícita y sus aplicaciones.
Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada, los máximos y mínimos de una
función, problemas de aplicación, los puntos de inflexión y
gráfica de funciones.
Capítulo 6: La diferencial de una función, como aplicación lineal, apli­
caciones de la razón de cambio a diversos problemas.
Capítulo 7: La derivada de la función inversa, su existencia y teoremas.
Capítulo 8: El polinomio de Taylor, su aplicación para aproximaciones a
funciones.
Cada uno de los capítulos están sustentados con sus respectivas defini­
ciones y teoremas, para los cuales he tenido cuidado de respetar su riguro­
sidad y formalidad para que el lector no caiga en error alguno.
El libro tiene la característica de ser: didáctico, práctico y riguroso. Se
han hecho diversos y variados ejemplos que ayudarán al estudiante a salir
de dudas y sobre todo reforzar su aprendizaje.
Sugiero al lector respetar los enunciados y definiciones tal como se dan,
una alteración de ello sólo llevará a situaciones incongruentes y ahondaría
las dudas.
Agradezco al economista Cesar Sandoval M. por su gentil colaboración
en el capítulo relativo a las aplicaciones a la Economía.
EE A u ím .
VI
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1: LA DERIVADA
0 Introducción
0.1 Función Real de una Variable Real .................................................... 1
0.2 Puntos de Acumulación.......................................................................... 2
0.3 Límite de una Función............................................................................ 3
0.4 Funciones Continuas ............................................................................... 7
1 La Derivada
1.1 Derivada de una Función en un Punto ............................................. 9
1.2 Otra Forma de Definir la Derivada de f en a .................................. 12
1.3 La Función Derivada ............................................................................... 13
1.4 Derivadas Laterales ................................................................................. 13
1.5 Interpretación Geométrica de la Derivada ...................................... 14
1.6 Derivada de una Función en un Intervalo....................................... 15
2 Teoremas Sobre Derivadas ................................................................................. 16
3 Velocidad y Aceleración ...................................................................................... 26
4 Razón de Cambio y Análisis M arginal............................................................ 31
4.1 Coste Marginal ......................................... ¿................................................. 31
4.2 Razón Porcentual de Cambio ................................................................ 32
4.3 Ecuación de la demanda, Función Ingreso Total,
Función Ingreso Marginal, Función de Ganancia.......................... 33
4.4 La Función Ingreso T o ta l....................................................................... 34
4.5 La Función Ganancia............................................................................... 36
5 Diferenciabilidad de una Función en un Punto.......................................... 39
5.1 Ejemplos........................................................................................................ 41
6 La Derivada de la Composición de dos Funciones....................................... 44
6.1 Problemas .................................................................................................... 47
7 Derivación por Medio de Fórmulas.................................................................. 58
7.1 Ejercicios Diversos .................................................................................... 87
7.2 Ejercicios Propuestos ............................................................................... 97
7.3 Problemas .................................................................................................... 99
v ii
1 Introducción.............................................................................................................. 103
2 Parametrización, Ecuaciones Paramé tricas................................................. 104
3 Función Vectorial..................................................................................... 117
3.1 Imagen de una Función Vectorial.......................................................... 117
4 Definición de Curva Plana................................................................................... 118
4.1 Parametrización de una Curva.............................................................. 118
5 Camino o Trayectoria............................................................................................. 119
6 Curva Cerrada (lazo)............................................................................................. 120
7 Punto Múltiple......................................................................................................... 120
8 Curva Regular........................................................................................................... 122
9 Derivada Paramétrica........................................................................................... 127
10 Tangentes................................................................................................................... 128
11 Gráfica de una Curva en Coordenadas Paramétricas................................129
12 Importancia de los Caminos................................................................................ 150
Capítulo 3: DERIVADAS PARCIALES
1 Definición de una Función que Depende de dos Variables...................... 152
2 Derivada Parcial de f respecto a “x ” y Respecto a “y” ............................. 152
3 Derivadas Parciales Aplicadas a la Microeconomía (Multiplicadores
de Lagrange) Demanda de Bienes de Consumo, Demanda de
factores de Producción........................................................................................ 154
Capítulo 4: DERIVACIÓN IMPLÍCITA
0 Introducción
1 Definición .................................................................................................................. 165
2 Derivación Implícita.............................................................................................. 165
2.1 Problemas ...................................................................................................... 166
2.2 Ejercicios Propuestos................................................................................ 185
3 Derivada Logarítmica Aplicando Propiedades y
Derivación Implícita............................................................................................ 188
4 Derivadas de Orden Superior............................................................................ 194
viii
Capítulo 2: CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
1 Aplicaciones Geométricas de la Derivada.................................................... 203
1.1 Ecuaciones de las Rectas: Tangente y Normal................................ 203
1.2 Problemas..................................................................................................... 204
2 Angulo Entre Dos Curvas................................................................................. 212
3 Máximos y Mínimos de una Función............................................................ 216
3.1 Definición 1 ................................................................................................... 216
3.2 Definición 2 ................................................................................................... 216
3.3 Aclaraciones en estas Definiciones ....................................................... 216
3.4 Definición 3 ................................................................................................... 217
3.5 Definición 4 .................................................................. 217
3.6 Definición 5 ................................................................................................... 217
3.7 Ejemplos Aclaratorios............................................................................... 217
4 Puntos Críticos de una Función...................................................................... 219
4.1 Definición...................................................................................................... 219
4.2 Ejemplos........................................................................................................ 219
5 Teoremas Relativos a la Derivada.................................................................... 223
6 Funciones Derivables en un Intervalo........................................................... 227
7 Aplicaciones del Teorema del Valor M edio................................................. 235
8 Función Lipschitziana......................................................................................... 237
9 Problemas Resueltos Sobre el T.V.M .............................................................. 237
9.1 Otros Problemas Respecto al T.V.M ..................................................... 241
10 Regla de L "hopital para el Cálculo de Límites
Indeterminados de la Forma Ij- y 22............................................................. 248
10.1 Problemas...................................................................................................... 250
11 Funciones Crecientes y Decrecientes............................................................ 257
12 Criterios para Extremos Relativos.................................................................. 259
13 Problemas Relativos a Máximos y M ínimos............................................... 262
13.1 Funciones Polinómicas.............................................................................. 262
13.2 Funciones Racionales................................................................................. 273
13.3 Funciones Irracionales.............................................................................. 279
13.4 Funciones Exponenciales......................................................................... 288
13.5 Funciones Logarítmicas........................................................................ «... 292
14 Problemas de Máximos y Mínimos................................................................ 298
15 Concavidad y Puntos de Inflexión................................................................... 323
15.1 Reglas para Posibles Puntos de Inflexión.......................................... 331
15.2 Aplicaciones al Trazado de la Gráfica de una Función.................. 332
Capítulo 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA
ix
Capítulo 6: DIFERENCIALES
1 Incremento de una Variable Independiente e
Incremento de una Función............................................................................. 337
1.1 Definición....................................................................................................... 337
1.2 Error Relativo y Error Porcentual Aproximado............................... 341
2 Diferenciales............................................................................................................ 344
3 Razón de Cambio.................................................................................................... 348
3.1 Problemas de Aplicación........................................................................... 350
Capítulo 7: LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
1 Teoremas Relativos a Funciones Inversas.................................................... 363
2 Dos Teoremas Relativos a la Continuidad de la
Inversa de la Función f, Cuando f es Continua......................................... 364
3 Derivada de la Función Inversa.................... 366
4 Derivada de las Funciones Trigonométricas Inversas.............................. 374
5 Derivada de Funciones Trigonométricas
Inversas Compuestas........................................................................................... 380
Capitulo 8: POLINOMIO DE TAYLOR
1 Polinomios de Taylor y Aproximaciones........................................................ 395
1.1 Definición del n-ésimo Polinomio de Taylor...................................... 395
1.2 Resto de un Polinomio de Taylor........................................................... 401
Problemas Propuestos................................................................................................... 412
LA DERIVADA
O. INTRODUCCION
Antes de definir la derivada de una función real de una variable real, recordemos bre­
vemente cuatro definiciones previas: función real de una variable real, punto de acu­
mulación, límite de una función y continuidad de una función.
0.1. FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL
Dado el subconjunto A c R , diremos que “/ es una función o aplicación definida en A 
y con valores en IR ” a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x g A con 
un único elemento /(x) e R llamado el valor de la función que asume en el punto x.
NOTACIÓN:
a) La notación / : A > R se lee “/ es una aplicación de A en IR
A : es el dominio de la función.
donde IR : es el conjunto de llegada. El rango de la función / es un subcon­junto del conjunto de llegada.
f(A) = { /(x) / x g A} es la imagen de A p o r /o el rango de/.
b) La notación x > f{x) indica “a x corresponde el valor /(x) ’
“x” es la variable independiente.
0.1.1.GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN /: A > R
Gr{f) = { (x, f(x)/x e A }
L - gráfica de f
Ejemplo 1.
Sea la función / : [-1 ,8 )-----> R definida por f(x) = -3 + vx +1
En este ejemplo tenemos:
a) El dominio de/, es el intervalo [-1,8) .
< ! >
Moisés Lázaro C.
b) El rango de f e s un subconjunto de R . ¿Cómo se halla?
Se halla “ACOTANDO” la función a partir del dom in io .
Así: x e [-1,8) ^ - l < x < 8
Sumar 1 => 0 < x +1 < 9
Extraer raíz => 0 < y/x + 1 < 3
Por 2 => 0 < 2>/x + l < 6
Sumar -3 => -3 < -3 + 2Vx + l < 3
El rango de /es el intervalo [-3,3} = /( [—1,8))
c) El valor de/ en 3 es /(3) = -3 + 2 ^ 3 + 1 =1
d) La expresión algebraica “ -3 + 2Vx + l ” es la regla de correspondencia de ¡a 
función f, el cual nos permite calcular el valor de la función / en cada x e [-1,8).
e) Graficar la función /.
G r(/) = {(jc,j>) e [ -1 ,8 ) x [ -3 ,3 > /y = -3 + 2Vx + l }
Como vemos: Gr (/) cz [-1,8) x [-3 ,3 ) 
El dominio está contenido en el Eje X. 
El rango está contenido en el Eje Y.
0.2. PUNTO DE ACUMULACIÓN
Sea A c f ? . Un número real a € R se llama punto de acumulación del conjunto
A cuando todo intervalo abierto ( a - e , a + e ) , de centro en “a” contiene algún punto
x € A diferente de A. dicho de otra manera:
“ a € R es punto de acumulación de A, si y sólo si, para todo e > 0 existe algún 
x e A , tal que ( a - e , a + e ) n . Esto es, 0 < |x-a| < s .
LA DERIVADA
0
Ejemplo 2.
En los intervalos: <a,b>, [a,b], ( - 00, b), (a,+00); son puntos de acumulación los 
extremos a, b y todos los puntos interiores a cada intervalo.
NOTA: Si “a” es punto de acumulación de A , puede ocurrir que q g A
o que a <£ A.
0.3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 
Definición.
Sea / : A > R una función con valores reales definida en un subconjunto AczJR.
Sea Xq un punto de acumulación de A . Diremos que el número real L es el límite de 
/(x) cuando x tiende a x0 y escribimos.
si para cada número real s > 0, dado arbitrariamente, podemos encontrar otro núme­
ro real S > 0 tal que se cumple |/(x) - L\ < e siempre que x e A a 0 < |x-xq| < S.
Abreviando, escribimos:
lim f (x) = L si, y sólo si (V s > 0) (3 8 > 0) tal que
x -> x 0
XG A A 0 < |x-Xq! < 8 |/(x)-L|<¿:„__________________ '___ / ___________ jV" - y
x G A n (x 0 —¿)',x0 + S ) f (x )e A n ( L - e , L + e )
Ejemplo 3.
Dado la función f(x) = * +Q,2x **0
x - 0 .04x x * +0.2
a) Calcular lim / ( x ) .
x-^0
b) Aplicando la definición de límite, halle S en términos de s.
Solución.
0
Moisés Lázaro C
b) lim
x > o
l _ 
x + 0.2 5 si, y sólo si, dado s > 0, existe
J> 0ta lq u e x e R -{0 ,0 .2 , -0.2} a 0 < |x-0| < S =>
i^ jT ¿
x + 0.2 < €
BUSCAR ¿EN TERMINOS DE ¿
Partir de r-5x + 0.2
(necesitamos la hipótesis | x - x01 < S ). 
Veamos:
1 \ 1 1 5 - I r 5* - 1 - _ 5 |r i
± } x + 0 9 u x + 0 9 “ x 4 - 0 9
, sumar, simplificar y factorizar hasta encontrar el término |x|
|x + 0.2|
2) Por hipótesis, se tiene: |x| < 8 .
Faltaría acotar la función — . . Para tal efecto, elegir un S' tal que
|x| < 8 < Sf => |x| < S' de modo que su tamaño no sea mayor que la distancia de 
“0” a la asíntota x = -0.2 (dicha distancia es 0.2). Por ejemplo, convendría elegir 
Sr = 0.1 o 0.03, etc. si elegimos Sf = 0.1 tendremos:
|x| < 0.1 =>
Sumar 0.2 => 
Invertir =>
-0.1 < x <0.1
0.1 < x + 0.2 <0.3 
J^< l <_L
0.3 x + 0.2 0.1
1T < - 209 < 10 3 x + 0.2
|x + 0.2| <10
3) Al retomar al paso 1) tendremos: 5[x| + < (5£)(10) = 50£ hacer
50 S = s => S = -^ .
Como hay 5r - 0.1 y = elegimos el más pequeño, es decir hacemos 
5 - min| 0.1, j , ees cualquier número real positivo muy pequeño, casi cero.
LA DERIVADA
0.3.1. LIMITES LATERALES. 
Ejemplo 4.
Sea la función:
/ ( *)
l
x + l 
X + l
X < —1
-1 < x < 2
3 - V x -2 , x >2
En esta función tenemos que los extremos -1 
y 2 son puntos de acumulación.
Así tenemos:
a) -1 es punto de acumulación a la izquierda de (-o o ,-l)
b) -1 es punto de acumulación a la derecha de (-1,2)
c) 2 “ “ “ “ a la izquierda de (-1,2)
d) 2 “ “ “ “ a la derecha de ( 2 , + o o )
Es en estos puntos, donde se estudian los limites laterales.
Empecemos a analizar:
a) En el punto de acumulación x = -1 , se tiene:
/) lim /(x )= lim - ^ = -^ = - 0 0
X - » - 1 X - > - I
X < —1
x +1 < 0
En este caso decimos que, el límite por la izquierda de -1 no existe.
NOTA: Cuando en el resultado obtenemos - o o o + oo , diremos que no existe
límite (este hecho es porque el - o o y el + o o no son números reales, so­
lo son símbolos)
//) lim f(x) = lim = -1 + 1 = 0 
x->-l+ x->-l
X > —1
En este caso, afirmamos que, el límite por la derecha de -1 existe y su valor es ce­
ro.
< í >
Moisés Lázaro C.
Conclusión: En el punto de acumulación x = -1 , no existe límite. En efecto, por 
la izquierda es -oo y por la derecha es cero, son resultados que no podemos com­
parar ya que -oo no es un número real. Se comparan entre dos números reales.
b) En el punto de acumulación x = 2 , se tiene:
j ^
i) lim /(x) = lim (3 - J x - 2) = 3 - 0 = 3
x -> 2 + x -> 2
x>2
ii) lim /(x) = l i m ( x + l ) = 2 + 1 = 3
x —>2 x —>2
x<2
> son iguales
Conclusión: Cuando los límites laterales existen y son iguales, diremos que
lim /(x ) = 3 , el cual es único.
x —>2
DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES 
A) LÍMITE A LA DERECHA
Sea la función / : ( x 0,b) > E , b = + o o o finito.
Diremos que lim f(x) = L s.s.s. (V ^ > 0 ) (3 ^ > 0 )
X - » X q i
x>x0 número real
tal que x e (x0,b) a 0 < x - x 0 <£ implica |/(x)-L| < s.
B) LÍMITE A LA IZQUIERDA
Sea la función /:(fa ,x0) -----> R , b = -o o .
Diremos que lim f (x) = L s.s.s. (V s > 0 ) (3 ¿ > 0) 
tal que x e <b,x0) a 0 < x 0 - x < S implica |/(x)-L| < s .
Ejemplo 5. En la función /(x) = » x * 1
Se tiene: a) lim f(x) = lim —2— = -2- = +00i + 1 + -X — 1 + ux - » l x -> l
X > 1 X > 1
x - l > 0
LA DERIVADA
o
b) lim /(x ) = l im z ó ^ r p z n ) )
x -> l x -» l
X < 1 X < 1
x -l< 0
_2__ 
+ 0 “ + 00
Conclusión: En el punto de acumulación x = 1, no existe límite.
0.4. FUNCIONES CONTINUAS
En funciones reales con una variable real surgen dos interrogantes de gran importancia:
1) Cuándo una función es continua en un punto?
2) Cuándo una función es continua en un intervalo?
Antes de responder estas interrogantes, observemos el gráfico de la siguiente función.
/ ( * ) =
x + 5 
3 
2
1
X + 1
2
|x — 2| 
1
2
I x - 2|
- 6 < x < -3 
x = -3 
- 3 < x < -1 
-1 < x < 0
0 < x < 2 
x = 2 
x > 2
Sí observamos en los puntos: -3, -1, 0 y 2 que son los extremos de los intervalos
(puntos de acumulación), la función f(x) sufre las siguientes manifestaciones:
a) En el punto x = -3 e Dom(/), la función / tiene un “agujero” . Es decir, / no es 
continua en x = -3 , pero esta discontinuidad se puede evitar.
b) En el punto x = - 1 g D om (/), la función / se ha roto “totalmente”, es imposible de 
evitar dicha rotura. Es decir, / no es continua en x = -1 (hay discontinuidad infinita).
c) En x = 0 , la función / no tiene agujero ni ha sufrido rotura. Es decir, /(x) es con­
tinua en x = 0 .
d) En x = 2 , la función / tiene una rotura inevitable. Es decir, /(x) es discontinua en 
x = 2 (discontinuidad infinita).
En cambio, si observamos el comportamiento de la función en cada intervalo, tene­
mos los siguientes resultados:
a) En el intervalo abierto (-6 ,-3 ) la función /(x ) no tiene agujeros ni roturas, el 
trazo de la línea es ininterrumpida; matemáticamente hablando, f(x) es continua 
en el intervalo ( -6 ,-3 ) .
b) En el intervalo abierto ( -3 ,-1 ), f(x) es continua.
c) En el intervalo abierto ( -1 ,-2 ), f(x) es continua.
d) En el intervalo abierto (2,+qo) , f(x) es continua.
La idea de continuidad, es el tema central de LA TOPOLOGIA porque ella trata de la
deformación continua de las figuras geométricas. Por ejemplo una línea cerrada sim­
ple se puede reducir “continuamente” en un punto.
0.4.1. DEFINICIÓN PUNTUAL DE CONTINUIDAD.
Dado la función / : A > R , diremos que / es continua en el puntoa e A , si cumple
Io / está definida en “a”, es decir existe /(a ) .
2o Los límites laterales en “a” son iguales, es decir: lim f(x) = lim /(x )
NOTA: La 3a condición define la continuidad de la función / en el punto
a e A. Las condiciones Ia y 2a se mencionan sólo por carácter 
didáctico.
DEFINICIÓN EQUIVALENTE
Sea / : A > R
Diremos que la función / es continua en el punto a e A , si y sólo si para todo s > 0
dado arbitrariamente, podemos hallar S > 0 tal que.
x g A a |x-a| < 8 implica | / (x)- / (a )| < s
0.4.2. DEFINICIÓN INTERVALICA DE CONTINUIDAD.
Diremos que / : A > R es continua.
cuando / es continua en todos los puntos de A . (A es un intervalo).
Moisés Lázaro C.______________________________
LA DERIVADA
0
1. LA DERIVADA
La interrogante que nos planteamos ahora, es: ¿cómo se halla la pendiente de una 
recta que es tangente a una curva?
0 es el ángulo de inclinación de la recta 
tangente y la tgOes la pendiente de la recta.
Respuesta: La pendiente de la recta ¿uT que es tangente a la curva en el punto 
x = j es la derivada de f(x) en el punto x = ■§■ • Para llegar a esta afirmación pasa­
ron siglos. Los genios Isacc Newton (1642 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 
1716) descubrieron el cálculo diferencial y el cálculo integral. Este descubrimiento 
revolucionó toda la matemática hasta entonces conocidas.
A continuación daremos la definición de la derivada de una función en un punto de su 
dominio.
1.1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
DEFINICIÓN: Sea la función / : A > E , A c E y “a” un punto de acumulación
perteneciente al dominio de /(A = Dom (/)).
y
N
X
Por ejemplo: dado la curva /(x) = 4 - x2 ,
cómo se halla la pendiente de 
una recta que es tangente a la 
curva en el punto x = j ?
Diremos que / es derivable en el punto “a” cuando existe el límite f'(a) = lim
En caso afirmativo, el límite f f(a) se llama la derivada de/en el punto a.
Ejemplo 1.
Dada la función /(x) = 4 - x2 , hallar la derivada de / en ^ .
Moisés Lázaro C.
Solución:
/ ( g ) = 1 ^ donde
f(x) = 4 - x '
X~>2 X“ 2
= lim
2 154 - x z-
37
2
= lim ■= lim
2 I X-7T
= i™ - ( x + l ) = - ( l + l ) = - 1
2
Conclusión: / ( 1 ) = -1
í es la pendiente de la recta tangente en X = |
CASO 1 J Si existen los limites laterales lim ■■ y lim , pero no_____________ / v — n v" - n 7 1
son iguales; diremos que / no es derivable en “a” . Es el caso de la fun­
ción /(x) = |x|, que no es derivable en x = 0 .
CASO 2 ) Si lim Í l í t - M = ± 00 , diremos que no existe la derivada de / por la
x —>a+
x>a
derecha de x = a .
CASO 3 Si lim = ±0 0 , diremos que no existe la derivada de / por la
x->a 
x < a
3 /—izquierda de x = a . Es el caso de la función /(x) = V* , que no existe la 
derivada de / en x = 0 .
LA DERIVADA
0
Ejemplo 2.
En esta función, se tiene: /(x) es continua en los puntos x = 0 , x = 2 y x = 4 pero 
no es derivable en dichos puntos.
Comprobemos:
a) En x = 0 . Comprobemos:
i) /+ (0) = lim
x -> 0
/ ( * ) - / ( 0) 
x - 0 = lim =x -» 0 +
>/íx - 0
x - 0
3rr ,
= lim = + qo Este resultado implica que no existe / + ( 0 ) .
x -» 0
i i) /_(0)= lim ÍÍ£l_IÍ21= iim JjL = _<» ; implica que no existe f'_( 0).
x-»0~ X x -> 0 “ x
Estos resultados nos indican que / no es derivable en x = 0 .
b) En x = 2 .
f(x)-flx) f / ( x ) = - ( x - 4 )
i) f+ (2) = lim /( , donde \
xh>2+
x>2
' 1 /(2 ) = 3/4(2) =2
= lim = Km 0 l 4 1 = - l
x - 2 x -» 2 x - 2
Moisés Lázaro C.
ii) / : ( 2 ) = l i m ^ p
x —>2
donde{
[ / ( 2 ) = 2
x<2
= lim 
x ->2
3V57-2
x - 2
= l i m _ nm + ^ / ( 4 x j ( 8 j + )• = lim
x -»2 x 2 x -»2
= lim ( x - 2 )
x -± 2 ( x - 2 ) ( ^ / ( 4 x ) 2 +.....................4
Como podemos apreciar, los limites laterales son números reales diferentes, por 
tanto /(x) no es derivable en x = 2 .
c) En x = 4.
/) / ; (4 )= lim
x ->4 x - 2
//) fl(4)= lim 1~— = -1x_>4 x ¿
> DIFEREmES
No existe / '(4 ) . Es decir/no es derivable en x = 4 .
1.2. OTRA FORMA DE DEFINIR LA DERIVADA DE / e n a.
Sí en la definición f\a) - lim
X-KX
hacembsel cambio de variable: x - a - h
Obtenemos:
f'(a) = lim
0
f(a + h) - f ( a) 
h — ©
L
NOTA:
x - a = Ax = h
La derivada d efen a.
LA DERIVADA
< 5 >
1.3. LA FUNCION DERIVADA
Si / es una función, entonces.
/'(x) - lim f{x + h ) - f ( x )
h->0
— ® se llama la FUNCIÓN DERIVADA DE f .
Ejemplos:
n) Si /(x) = xn, entonces /'(x) = nxn_1 es la función derivada de /.
l>) Si /(x) = e x , entonces f'(x) = e x es la función derivada de/.
»■) Si /(x) = senx , entonces f' (x) = eos x es la función derivada de /.
NOTACION: Si y es función de y "(y = / (x ) ) , la “derivada de y con respecto a x” 
se denota por:
y' = /'(*) = ^ = -^ = Dxy
> /a notación de Leibniz (/)
1.4. DERIVADAS LATERALES
Si en la definición f(a) = lim — (̂ P) , hacemos: x - a = h
x = a + h
Pendremos: f(a) = lim f(a + h) - f (a)
h-> 0
Tanto ® como © definen “La derivada de / en a e A 
DEFINICIONES:
Supongamos que el dominio de la función / : A -----> R lo expresamos como
A ==<b,a] kj [a,c>, definimos:
f {a)m fcn íí* k M = iim M J ? )
v X ~ Ü k nx-*<r A ~ u h-> 0+
x>a ft>0
Sí este límite existe; diremos que //(a ) es la derivada de / a la derecha de a.
Moisés Lázaro C.
ii) f l (a)= lim = lim Íl£±^LIÍ£l? s[ este límite existe; diremos que i
x -» c f X a h->O" n ¡i
x<a h<0
/_' (a) es la derivada de / a la izquierda de a.
OBSERVACIÓN: En 2 aparece una nueva función, que es q(h)=
definida en el conjunto B = {h e J R -{0 } /a + h e A } .
1.5. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Dado la función / : A -----> R
¿qué interpretación geométrica tiene /'(a ), a e A?
Observemos el gráfico:
Tenemos la recta secante £ que corta a la función f(x) en los puntos Q(a,/(a)) y 
P (x ,/(x )), siendo Q un punto fijo y P un punto que se mueve acercándose a Q.
Deseamos que la recta secante £ se convierta en la recta tangente £ T , esto ocurrirá
cuando P se mueva hasta coincidir con Q. Pero a medida que P se acerca a Q la pen­
diente de £ irá variando hasta “coincidir” con la pendiente de £ T .
La pendiente de la recta-secante £ es: tga =
Cuando P se mueve por la curva acercándose a Q, la variable “x” se va acercando al 
punto “a” y por lo tanto la diferencia x - o se hace cada vez más pequeña acercándo­
se a cero.
LA DERIVADA
I s decir, cuando x —»a entonces ( x - a ) —>0 y la pendiente tga de «£, se convierte 
en tg#, que viene a ser la pendiente de .
I n el límite, se expresa del siguiente modo:
pendiente de <£T = tg0 - lim = f'(ct)
Conclusión: f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el
punto “a” .
I ecuación de la recta tangente J£T es: y - f(a) = f'(a)(x - a).
Ejemplo 3.
I lallar la ecuación de la recta que es tangente a la curva y = 4 - x2 en el punto x = j 
Solución.
1 ecuación de la recta tangente en Vz es:
= / r( i ) ( - d o n d e
4x + 4 y -1 7 = 0
15
4
ver ejemplo 1.
1.6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO CERRADO
Sea la función f:[a,b] ---- > E
Se dice que / es derivable en un punto x0 e [a, b] si cumplen las tres siguientes propo­
siciones:
1) Si x0 € (a,b) , entonees las derivadas laterales en x0 existen y son iguales.
2} Si xo - a , entonces existe la derivada lateral por la derecha de a .1
3) Si x0 ~b, entonces existe la derivada lateral por la izquierda de a.
1 Leibniz, es el matemático q u e formalizó la derivada f'(a) com o el límite de la función
f ( x ) - f ( a) .—L1- L cuando x -> a.
Moisés Lázaro C.
1.7. INTERPRETACION GEOMETRICA
Cuando decimos que / : [a, b] -----> R es derivable
en todo punto x0 e [a,b], geométricamente significa 
que por cada punto (x,f(x)) perteneciente al gráfico 
de / se puede trazar una sola recta tangente.
2. TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
TeofwncHj (La derivada implica continuidad, el recíproco no es cierto)
Sea la función / : I -----> R , I = dominio de / y a e l .
Si / es derivable en a entonces / es continua en a.
Demostración:
Recordar que: fe s continua en a,si lim f(x) = f (a) , entonces bastará demostrar:
x —>a
lim [/(x)-/(a)~| = 0 , x - a = h
x - > a
lim [ /(h + a ) - / (a ) l = 0 * = h + °
h-> 0L J
» lim f(h + a) = f(a)
h—>0
lim f ( x ) = f(a)
x -» 0
Veamos:
1) Si existe la derivada /'(a ), entonces existe lim
x-»a
2) Partir de lim [ / ( x ) - / ( a ) l
x->a
lim [ / ( x ) - / ( a ) ] = lim ̂ ̂ (x - a) ,
Se ha dividido y multiplicado (x - a) 
= lim Ü£W<£l . lim (X_ a)
/ ' (a)
= 0
LA DERIVADA
< 5 >
3) Luego, f es continua en el punto a.
NOTA: El recíproco de este teorema no siempre es verdadero, es decir, si una
función/es continua en a, no implica que/sea derivable en a.
Ejemplo 4.
La función /(x) = |x| es continua en 
cero, pero no es derivable en cero.
Probemos:
a) La derivada por la derecha de cero es:
/+ (0) = lim f--x- Q 0) = lim lim (1) = 1
x->0
x>0
x - » 0 x ^ x ^ O
b) La derivada por la izquierda de cero es:
/ ( * ) - / ( 0)/-(O) = lim
x-»CT u x ->0 
x <0
x -> 0
Como observamos, las derivadas laterales existen pero no son iguales, por lo tanto, la 
función f(x) » jx| no es derivable en cero. 
En general, todas las funciones con valor absoluto de la forma f(x) = |G(x)| no son 
derivables eti los puntos xeff? en los cuales G(x) « 0 .
Por ejemplo:
i) f(x) = |x2 - 4|, no es derivable en x = ±2 .
//) /(x) = 2|x - 1| - 3x|2x + 1|, no es derivable en los puntos x = 1, x = ~ .
Ejemplo 5.
3 i--------
La función /(x) = yjx-a es continua en x = a , pero no es derivable en x = a , pues 
las derivadas por la derecha y la izquierda de x = a no existen.
< 2 >
Moisés Lázaro C.
Demostremos:
/) / > ) = Um « £ t « £ U l' - ' " r x / v — rt v _ /°r
: lim l-w = +ao
x->a + <x - o)
Como observamos, la derivada de / por la derecha de a, no existe. Similar cosa octirre 
con /_'(a).
CONCLUSIÓN: /(x ) = \ /x-a no es derivable en a.
Teorema 2 | Si /(x) = k , k es una constante real, en ton ces /'(x) = 0 para to d o
--------------- 1 x e R .
Prueba:
1. La derivada de / en x, es /'{x) ~ ■* * , h&0
2. Por hipótesis, se tiene f ( x )~ k ...
h-*0 h h~+ 0*-h -* /t~»0
Ilustración Gráfica.
y _ k El gráfico de la función constante es una recta paralela al
 EJE X, su ángulo d e inclinación es cero y p o r tanto su
pendiente es tg0° = 0 el cual coincide con su derivada.
Pues si y = fe => y' = 0 = tgO° .
^ orem a^ 3 j Si /(x) = x , entonces /'(x) = 1 para todo x <= R . 
Prueba:
1. La derivada de /e n x, es / '(x ) = lim f^x + h)~JM ̂ h * 0
h -~>0 11
LA DERIVADA
Ilustración Gráfica
2. Como /(x) = x , entonces /(x + h) = x + h .
3. Sustituir 2. en 3.
f ( x ) = lim h + x - x
h—>0
= lim 1 = 1 
h-> 0
| T e o r o m a T J ( R e g la d e la P o te n c ia )
Si /(x) = xn, donde n es un número racional, entonces f f(x) = nxn_1
Prueba: (Probaremos para el caso cuando “n” es un número entero positivo)
/ ( x + h ) - / ( x )1. La derivada de/en x es: /'(x) = lim
h -> o n
2. Como f(x) = xn entonces /(x + h) = (x + h)n.
3. Sustituir, 2 en 1.
1,'kvn (* + h)"-x"/'(x )= limh->0
= lim
o
[ ( x + h ) - x ] [ ( x + h ) n” 1 + ( x + h ) " ~ 2 x + ............+ xn^ 1 ]
= lim T(x + h)n 1+(x + fi)n 2x + ........ + xn 1 ~\
l* v n ■— -J
.n -1 + x " -1 +. .+ Xn -1
hay n términos
= nx n-l
— ® — 
EJEMPLOS:
Moisés Lázaro C.
FUNCION
1) / W = xü
2) f ( x ) = x 3
SU DERIVADA 
f'(x) = 5x4
/'(x )= -fx 33 '
_ 2 
3 \/x
FUNCION
3) /(x) = x~
4) /(x) = 4 -
= x"5 f'(x) = -5 x “b = —
SU DERIVADA 
/'(x) = -3 x -4
7eoreiTicr5j| (REGLA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN) 
Si g(x) = c/(x) => g'(x) = c • f ’(x) , c es un número real.
Prueba.
1. La derivada de g en x, es g'(x) = lim 8(x+f slx) , h* 0
h~>0 h
2. Pero g(x + h) = c /(x + h) , entonces g'(x) = limc / ( x + h ) - c / ( x )
h-+0
_ c [ / ( x + / i ) - / ( x ) ]
hlimh->0
= c lim 
0
/( x + h ) - / ( x )
/'(*)
■cf\x).
EJEMPLOS:
FUNCIÓN SU DERIVADA
1) g(x) = 5 x ...... g ’(x) = 5(1) = 5
2) g(x) = |x3 g'(x) = |(3x2) = 2x2
3) £ - í ( K § )
1
1 2 ^ /?
FUNCION
4) y = - f
Vx
SU DERIVADA
5) S = 6 íK í = 6 ( l ! - » )
_ _3_
~ St
2-Jx3
LA DERIVADA
| J mor ama é ] j (REGLA DE LA SUMA)
La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas 
es decir: Si ¿u{x) = /(x) + g(x) => ¡u'{x) = f ’(x) + g'(x)
1 ‘i ud>;l.
1 1 a derivada de u en x, es u ’(x) = lim M>'x + h'¡ ̂ h^Q
/i->0 "
2 Pero ju(x + h) = f(x + h) +g(x + h) => ju'(x)= lim — + g x̂ + h,^ [fM + gM]
0 n
= lim [ f l x + /l> ~ f(x )] + [ g l :,c + h) ~ 8 lx )]
h-> 0 h
= lim ! Í 1 ± 1 } U M + lim 9 ( x + h ) - g ( X) 
h-> 0 h h->0 h
f ' M + s'(x)
HJEMPLOS:
FUNCIÓN SU DERIVADA
1) ¿t(x) = 2 x4 + 3 x2 - 5x + 2 ju'(x) = 2 (4 x 3 ) + 3 (2 x ) -5 ( l) + 0
= 8 x 3 + 6 x - 5
2 ) V = ^ - - ^ - + x - 5 .............................. J = l ( 3 x 2 ) - i ( 2 x ) + l - 0
= 3 x 2 " 2 x + 1
3) S = 5^/t2 - 4 + 5 í - 8
r
= 5t2/3- 2 r 3 + 5 t - 8 A = 5 ( | r 1/3 ) -2 ( -3 t “4) + 5 ( l ) - 0
^ + 4 + 5
3 vt t
4) c = J + 3Q
= 2Q“1+ 3Q ^ = 2 ( -Q -2 ) + 3
= - 4 + 3
Q2
2 2 x Moisés Lázaro C.
Teorema 7 | (DERIVADAS DEL SENO Y COSENO)
a) Si /(x) = senx , entonces f'(x) = cosx
b) Si g(x) = eosx, entonces g'(x) = -senx
Pmeba.
i derivada de f en x, es: f f(x) =
h-> o
2. Como /(x) = senx => /(x + h) = sen(x + ñ)
a) 1. La derivada d e /en x , es: f ( x ) = lirn̂ ^ x + ĥ , h^O
3. Sustituir 2 en 1. f' (x)= lim
h —> 0
sen(x + h) - senx
4 t~\ / n X + /l + X X + /i — X. Pero: s e n (x + n ) - s e n x = 2 e o s — 2— s e n — 2—
o 2x + h h= 2 eos—g— sen-fj-
5. Sustituir en 3. /'(x) = lim
/i->0
0 2 x + h h 2 eos— -— sen--
2cos ■— + ̂ / sen-¿ \ ^
: ¿imn— — i ̂ \ 2
= C O S X
b) 1. La derivada de g en x, es cj'(x) = lim g x̂ + — x ̂ , h * 0
h-> 0 n
2. Pero g(x + h) - cos(x + h) , entonces g'(x) = lim CQŜX + ̂ c-— •
h->0 h
3 / f »\ r> X + /l + X X + h - X. cos(n + n)-cosx = -2sen— 2— sen— §— 
= -2sen2x2+" sen-|
4. Sustituir en 2 : gf(x) = lim
o 2 x + h ; h -i
-2 sen— 2"— sen7 1 1s_ j
h-> 0 2 \|
= -senx
LA DERIVADA
< § >
EJEMPLOS:
FUNCIÓN
1) y - 2x + senx + 2cosx
SU DERIVADA 
y' = 2 + cosx + 2(-senx)
= 2 + cosx -2sen x
’/) y = 3sen£ + 5cos£ —r = 3cos£ -5sen£
| Teorema 8 | (REGLA DEL PRODUCTO)
Si /z(x) = f(x) g{x) , entonces //(x ) = f(x) g'(x) + /'(x) g(x) .
Prueba.
1. La derivada de u en x, es u\x) - iim ¿rix + h)-//(*)
* h->o h
2. Pero ju(x + h) = f(x + h) g{x + h) , entonces / / ( x ) = lim —
h-> 0 n
3. Restar y sumar /(x + h) g(x):
EJEMPLOS:
FUNCIÓN 
1) /(x) = X 2 • C O S X
, /x x = [im f (x + h)g(x + h ) - f ( x + h)g(x)+f(x + h)g(x) - f (x)g(x) 
h->0 h
• f (x + h)[g(x + h ) - g ( x ) ] + [ f ( x + h ) - f ( x ) ] g ( x )= lim
o
= l imí
h-+0{
f {x + h)[g{x + h) - g { x ) ] [f {x + h)- f{x)~]g{x) 
h + h
f(x)-g'(x) + f\x)-g(x)
SU DERIVADA 
/'(x ) = x 2 [eos x]' + (eos x) (x2)'
o= x [-sen x] + (eos x) (2x)
n= —x senx + 2xcosx
2) y = ( l - x 3)senx = (1 - x3) [senx]' + senx[l - x3}' 
= (1 - x3) [eos x]+senx[0 - 3x2 ] 
= {1 - x3 )cosx - 3x2 senx
Moisés Lázaro C.
3) y = 2cosx + 3xsenx = 2(cosx)' + 3 [ (x)'senx + x(senx)' ] 
= 2 (-se n x ) + 3 [l-se n x + x cosx]
= -2senx + 3senx + 3 xcosx 
= senx + 3xcosx
Teorema 9 j (REGLA DEL COCIENTE)
La derivada del cociente de dos funciones derivables /(x) y g(x) 
está dada por:
1. La derivada de ¡uenxes: ju'(x) = lim ^x + h) ? h^O
h-> 0 n
2. Como ju(x) = -^4 entonces //(x + h) = ,̂x + m' g{x) ' £(x + h)
4. Restar y sumar el término /(x) g(x) en el numerador:
¿ /'(x ) = lim f ( x + h)9{h) - f{x)g{x) + / ( x ) g ( x ) - f {x)g{x + h)
hg(x + h)g(x)
= Hm [ / ( x + h) ~ / ( x ) ] g ( x ) ~ / ( x ) lg(* + h ) - g ( x ) ]
~ h -±o hg(x + h)g{x)
Si: ju{x) = ~|~y entonces ju'(x) =
Prueba:
f ( x + h) f ( x )
3. Sustituir en 1 ur{x)= lim 3{x + h)—iíüL
_ i* /(x + h) g ( x ) - / ( x ) g ( x + h) 
h ilo hg(x + h)g(x)h g(x + h) g{x)
_ g { x ) f { x ) - f { x ) g ,{x)
[ g{x)}2
EJEMPLOS:
LA DERIVADA
FUNCIÓN SU DERIVADA
(1 - cosx)2 
1 - cosx - x(0 +senx) 
(1 - cosx)2 
1 - cosx - xsenx 
(1 - cosx)2
dy _ (1 — x 2 ) (1 + x 2 )' - (1 + x 2 )(1 — x 2 )'
(1 — x2 ) ( 2 x ) - ( l + x2 ) (|-2x)
< § >
Moisés Lázaro C.
3. VELOCIDAD Y ACELERACION
Supongamos que un objeto (una pelota, una partícula o cualquier otro móvil) se mue­
ve por acción de una fuerza. Por ejemplo, si usted, deja caer un objeto de un edificio, 
dicho objeto cae por acción de la gravedad. Si se lanza una pelota desde un punto A, 
según la fuerza que le aplicamos, va recorrer cierta trayectoria en forma de parábola, 
hasta caer al suelo.
En ambos casos, al moverse el objeto o la pelota, por acción de una fuerza, describe 
una trayectoria rectilínea o parabólica, respectivamente. Cada punto P de la trayecto­
ria pertenece a una función S(t) que da la posición (respecto del origen) del móvil 
como función del tiempo t, llamado función de posición.
El conjunto {(í,s)/s = S(t) , t e [a,b]} es la gráfica de la función S(t) y cada pareja 
(t,s) es la posición de un punto P del móvil.
Los conceptos de VELOCIDAD y ACELERACIÓN de un objeto cuya función de posición 
de un punto P está dado por el conjunto de puntos {(£,$)/$ = S(£),£€[0,b]}, son 
simples derivada de la función S(t) respecto al tiempo t
Supongamos que la posición de un punto P esta dado por el conjunto de puntos 
{ (tís)/s = S(t) , £ g [G,b]} donde £ es el tiempo y s = S(£) es la trayectoria que recorre
el punto R Si el tiempo varía de £0 a t se tiene que:
a)
S( t ) - S( t 0 )
t-to es la velocidad media de P durante el lapso de tiempo [£0,£].
f S(t) - S{t0) = AS ES LA VARIACIÓN DE LA TRAYECTORIA
Donde
[ t - t 0 = A t ES LA VARIACIÓN DEL TIEMPO
AS = Expresa la variación de la trayectoria respecto al tiempo (o velocidad del 
^ móvil durante el lapso de tiempo [£0, í ] , t = £0 + A i .
cuando At —> 0 se 
convierte en
lim = 4r = ....... expresa la variación instantánea del recorrido respecto al
Ai—>0 Á t d t
= S’(tQ)
L _
tiempo y es la velocidad del objeto P en el tiempo £0 • 
derivada de S respecto a £ en t0 .
I >) S'(t) = es la velocidad instantánea del móvil P en el tiempo t0.
En general S'(t) = V{t) es la función velocidad instantánea en cualquier t e [0,¿>]
Si derivamos la función VELOCIDAD obtenemos la aceleración del móvil.
Así:
q(tb) = V'(to)= lim^ : r (t̂ , t - t o = h = M
> ̂ t —> Íq 0
- = lim V(t0 + h )-V (t0)
h-> 0 h
 es la aceleración del
móvil en el tiempo t0 .
Donde- es la aceleración media del móvil P
 ̂ en el lapso de tiempo [í0 ,t0 + h] .
En Consecuencia: a(í0) = V'(t0) = Sff(t0)
A
------------- La aceleración del móvil P en el
tiempo £q es la segunda derivada de
la función S(t) en el tiempo t0 .
I lagamos dos ejemplos aclaratorios:
Ejemplo 1.
Supongamos que un objeto cae libremente de un edificio de 144 pies de altura y la 
función de la caída libre es:
S(t) = -16í2 +144 ; te [0,3]
Se pide: a) Graficar S(t).
b) Hallar la función velocidad.
c) Hallar la velocidad del objeto cuando ha transcurrido el primer se­
gundo.
d) Hallar la función aceleración.
e) ¿Qué tiempo transcurre cuando el objeto toca el suelo?
______________________________ LA DERIVADA_______________________
— (§}
Solución:
Moisés Lázaro C.
a) El gráfico de S(t) es una parábola de vértice en 
(0,144).
Cuanto t = 0 => S(0) = 144 que expresa la altu­
ra del edificio (altura inicial del objeto).
b) La función velocidad es:
S'(t) = -32t
c) La velocidad del objeto en el primer segundo 
transcurrido es:
S'(l) = -32pies/seg
i
1------------EL SIGNO NEGATIVO INDICA QUE
EL OBJETO ESTÁ BAJANDO.
d) La aceleración es la segunda derivada de la función S(t):
A(t) = S"(t) = -32pies/seg2
f1 Es la aceleración de la gravedad. Nos indica que
en la caída libre de los objetos la aceleración es 
constante. Experimentalmente la aceleración de
la gravedad es g = -3 2 ,1 7 4 pies/seg2 .
e) Si el objeto toca suelo, entonces S(t) = 0 , es decir: -16t2 +144 = 0
En 3 segundos toca suelo dicho objeto. t2 =9 => t = 3
NOTA: En general, la posición de un objeto en caída libre está dada por la
función S(t) = ^gt2 + u0t + s0 . 
donde: üq = es la velocidad inicial con que se suelta el objeto.
Sq = altura inicial del objeto
g = -32,174 pies/seg2 es la aceleración debida a la gravedad.
LA DERIVADA
< s >
Ejemplo 2.
Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 128 m/seg , su 
distancia “s” sobre el punto de partida después de t segundos está dada por
s 128é - 4.912 . Se pide:
1) Hallar el tiempo que ha tardado la pelota en tocar el suelo.
So lu ció n :
Hasta hacer s = 0 => 128t -4 .9 t2 => t = 0 , t = 26.2 , luego, la posición de la pelota 
está dada por el conjunto { (t,s)/s = 128í - 4.9t2 , t e [0,26.2]}.
2) Se Pide:
a) Encuentre una expresión para la velocidad media en el intervalo de tiempo 
[ t i, ti + h ].
b) Encuentre la velocidad media del intervalo de 2 a 2.1 seg usando el resultado 
de (a) del intervalo de 2 a 2.01 seg. y del 2 a 2.001 seg.
c) Halle la velocidad en el tiempo ^ .
d) Halle la velocidad para t - 2, usando el resultado de c).
e) Calcule a los cuántos segundos de haber sido lanzada la pelota, lleva una velo­
cidad de 50 m/seg., de 48 m/seg.
f) ¿Cuándo su velocidad es cero? ¿a qué altura está en ese instante? ¿Es esa la 
máxima altura que alcanza la pelota?
g) Calcule la aceleración en el tiempo ^ .
h) Halle la función velocidad y la función aceleración, 
i ) Grafique la función s(t).
Si t1= 2, ^ +h = 2.1=>h = 0 .1 . Luego: Vm = 128-9.8(2)-4.9(0.1) = 107.91 
V ( ) = lim (128 - 9.8 tx - 4.9 h ) = 128 - 9.8 ^
Solución:
a)
128 { t i + h ) - 4.9 { t i +h )2 - [ 128 ta - 4.9 ]
h
128 íj +128 h - 4 .9 1\ - 9.8 tx h - 4.9 h2 -1 2 8 + 4 .9 1\
h
128 h - 9.8 ti h - 4.9 h2 _ h d 2 8 -9 .8 f r -4 .9 h ) _ 1 9 ,= 128-9 .8 ^ - 4.9 hh h
Moisés Lázaro C.
d) V(2) = 128 - 9.8(2) = 108.4
e) Si V = 50 m/seg 
Si V = 48 m/seg
50 = 128 - 9.81
* _ 1 2 8 -5 0 _ 78 _ 780 _ - 7 O ~ Q ^
=> t £ § -------0 8 - ' o s ' - / -y ~ S s e S-
=> í =
9.8 98
48 = 128 - 9.8f
1 2 8 -4 8
9.8 = 8.16 seg.
f) Tenemos V(t) = s'(t) = 1 28 -9 .8 1
Entonces V{t) = 0 si 128 - 9.8t = 0 => t = ̂ = 13.06 seg.
En el instante í = , La altura será y|- j = 128 ( y|- j - 4.9 ( j
= 835.7 es la máxima altura
g) La aceleración es V’(t) = s"(t) = -9 .8 , para todo t e (0,26.2).
h) V = {{t,v)/v = 1 2 8 -9 .8 1, t e (0,26.2)} ; A = {(f,a )/a = -9 .8 , t e [0,26.2]}
PROBLEMAS.
1. La altura S en el tiempo t de una naranja que se deja caer desde una altea de 
1350 pies de altura viene dado por S(t) = -16í2 +1350, con S medida en pies y í
a) Hallar la velocidad media en el intervalo [1,2].
b) Hallar la velocidad instantánea para t = 0.5 y t = 1.5.
c) ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo? . „
d) Hallar la velocidad de la naranja al tocar el suelo.
LA DERIVADA ,
2. La velocidad de un camión que parte del reposo esta dada por la función 
v = ̂̂ con v medida en metros por segundo. Hallar la aceleración después de:
a) 3 segundos b) 5 segundos c) 20 segundos.
En los Ejercicios del 3 al 5 aplicar la función de posición S(t) = -1612 + v0t + S0
3. Se lanza un cohete hacia arriba desde una base terrestre con velocidad inicial de 
384 pies/seg. Hallar su velocidad después de 5 y 10 segundos.
4. Se deja caer una moneda desde 600 pies de altura. ¿Cuál es su velocidad al llegar 
al suelo?
5. Para estimar las alturas de un edificio se deja caer desde lo alto una piedra. Hallar 
la altura del edificio si golpea al suelo 6,8 segundos después de soltarla.
6. Un auto viaja a 66 pies/seg. en el momento en que el conductor pisa el freno. Su 
función de posición es S(t) = -8 ,2 5 12 +661 con S medido en pies y t en segun­
dos. Hallar su posición, su velocidad y aceleración para £ = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 .
4. RAZÓN DE CAMBIO Y ANÁLISIS MARGINAL
(APLICACIONES A LA ECONOMÍA)
Definiciones. 
4.1. COSTE MARGINAL
Supongamos que la función C(q) exprese el costo total en dólares de fabricar q uni-
= c'(q) es el COSTE Marginal por unidad, y expresa la razón de cambio instantá­nea de cambio del coste total con respecto a la producción.
Además: C'(qg ) = lim • es el coste marginal cuando
q~*q° Q~Qo se han producido q0.
4.1.1. Coste Real.
El coste de producir la q -é s im a unidad, es: C (q ) - C ( q - 1 ) = = carnb‘° e n c
1 ^ V i/ V J ' q - ( q - l ) cambio en q
Moisés Lázaro C.
4.1.2. Coste Medio.
< es el coste medio
 El coste medio por unidad, es el costo total divi­
dido por el número de unidades producidas.
4.2. RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO
Si y es función de x (y = f ( x ) ) , la RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO DE y CON RES­
PECTO A x está dada por la fórmula:
Razón Porcentual de Cambio = 100 | y j 
donde: Y' = ^ = f'(x) .
Problema 1 j Suponga que el coste total en dólares de la fabricación de q unidades 
es c(q) = 3q2 + q + 500 .
a) Use el análisis marginal para estimar el coste de fabricación de la 41 unidad.
b) Calcule el coste real de fabricación de la 41 unidad.
Solución:
a) Se pide hallar C'(41).
En primer lugar, hallar C'(q) : C'(q) = 6q +1
En segundo lugar, hallar C'(41) : C'(41) = 6(4) +1 = 247
b) El coste real de la 41 unidades:
C(42) - C(41) = [3(42)2 + 42 + 500] - [3(41)2 + 41 + 500] = 250
Problem ^^J Sea C(x) = mx + b , m > 0 , b > 0 la función lineal de costo total:
a) Graficar C(x) y diga qué representa la constante b.
b) Hallar la función del costo promedio.
c) Halle la función de costo marginal promedio.
d) Grafique la función de costo promedio en el mismo plano.
LA DERIVADA
Solución: 
a) C(x) = mx + b es una línea recta de pendiente m > 0 , lo cual
nos indica que el ángulo de inclinación de la 
recta es agudo y la función es creciente. Como 
b > 0 y “x” es el número de unidades produ­
cidas debe ser x > 0 , entonces la recta se ubi­
ca en el primer cuadrante en forma creciente.
y
b
X La constante b = c(0) es el COSTO FIJO.
b) La función de costo promedio es: mx + b
que la llamaremos Q(x) = m + & < es un hipérbola.
cuando x -» + o o entonces Q (x)— 
o sea m es asíntota horizontal.
c) El costo marginal promedio es: Q'{x) = —\
V
4.3. ECUACIÓN DE LA DEMANDA, FUNCIÓN INGRESO TOTAL, FUN- 
CIÓN INGRESO MARGINAL, FUNCIÓN DE GANANCIA (O LUCRO).
Consideremos dos variables: “P” el precio y “x” la cantidad de mercancía que se de­
manda (que se solicita) la relación entre “p” y “xv expresada por la ecuación 
F(p,x) = 0 es la ECUACIÓN DE LA DEMANDA. Cuando el precio “P” de un bien baja 
entonces lá cantidad demandada “x” crece y al revés si el precio sube la cantidad de­
mandada baja, este comportamiento de demanda nos indica que la relación 
F(p, X) = 0 es DECRECIENTE.
p
Si p1 baja a p2 , entonces Xj sube a x2 .
En el gráfico:
X
Moisés Lázaro C.
Si de la relación F(p,x) = 0 despejamos “P” en términos de “x” obtendremos la
función P = P(x) que la llamaremos “la función del precio” .
Y es la cantidad que se solicita.
En la ecuación: p = P(x) se tiene: i P(x) es el precio que se paga por la 
cantidad “x”.
4.4. LA FUNCION INGRESO TOTAL
Definición 1
El ingreso total = (cantidad demandada) (precio de cada unidad)
RM P M
rr = R(x) = xP(x) x > 0
£
P(x) = R( x )
t - se llama ingreso promedio
Esta igualdad nos indica que “el ingreso promedio y el precio por unidad son iguales” .
Definición 2 | Si R(x) es el INGRESO TOTAL, (en unidades monetarias) obtenido 
cuando se demandan “x” unidades de mercancía, entonces defini­
mos la función Ingreso Marginal como la derivada de R(x) con res­
pecto a x.
Es decir:
De modo que, el ingreso marginal para x = x1 está definido por P'ÍXj), siempre que 
exista R'(xi) y expresa la razón de cambio del ingreso total por cambio unitario en la 
demanda cuando x1 unidades son demandadas.
Puede ser: Rf(x1) > 0 , R'(x1) = 0 o R,(x1) < 0.
LA DERIVADA
Problem ^^J Supongamos que la ecuación de la demanda de cierta mercancía es 
p2 + x -1 6 = 0 . Hallar las funciones del precio, del ingreso total y 
del ingreso marginal. Trazar las curvas de la demanda, del ingreso to­
tal y del ingreso marginal en el mismo sistema de coordenadas.
Solución:
a) La función del precio se halla despejando “P” de la ecuación de la demanda: 
p2 + x -1 6 = 0 .
=> p2 - 16 - x
=> p = +Vl6 - x ; p = P(x) 
se elige el signo positivo porque el precio es positivo, entonces
es la función del precio.p = V l6 - x
con 1 6 - x > 0 <= > 0 < x < 1 6
b) El ingreso total {IT), es: R(x) = x • P(x)
R(x) = x V l6 -x 
con 0 < x < 16
c) El ingreso marginal (IM) , es:
R'(x) = (x)V 16- x + x (V l6 -x ) ' 
= V l6 -x + X
( 2 /̂16 - x:)
IM: R'(x ) = -% ~ 3x- , 0 < x < 16
' ’ 2 ^ / 1 6 - x
Moisés Lázaro C.
4.5. LA FUNCIÓN GANANCIA
Definición 3 | La ganancia que obtiene un comerciante es la diferencia entre el in- 
greso total y el costo total.
Si denotamos por S(x) la función ganancia, se tiene:
S(x) - R(x) C(x) — ®
Como: R(x) = xP(x) => S(x) = xP(x)-C(x)
Si en (T) hallamos la primera y segunda derivada obtenemos:
S'(x) = R'(x) - C'(x) ................................. 0
S"(x) = R"(x) - C"{x) ..............................0
LA DERIVADA
<37>
Analicemos la ecuación (? ) :
a) S'(x)> 0 <=> R '(x)-C '(x)> 0
<=> H'(x)>C'(x)
Por lo tanto, la ganancia es creciente si y sólo si el ingreso marginal es mayor que 
el costo marginal.
b) ¿Para qué valor de “x” (llamado nivel de producción), la utilidad es máxima?
S(x) tiene máximo relativo en un número “x” si S'(x) = 0 y S"(x) < 0 .
D e ® , si S'(x) = 0 => R '(x)-C '(x) = 0 => J?'(x) = C'(x)
D e ® , si S"(x)< 0 => R "(x )-C "(x )< 0 => R"(x)<C"(x)
En la figura, observamos:
1. \AB¡ = f?(x)-C(x) = S(x)
2. El máximo absoluto de S(x) ocurre cuan­
do la longitud del segmento AB es la ma­
yor de todas las otras verticales. Esto ocu­
rre cuando existe un punto x donde las 
rectas tangentes en A y B son paralelas y 
esto se cumple cuando C'(x) = i?'(x).
Problema 4 I Supongamos que la ecuación de la demanda de cierta mercancía es 
P = 6 -0 .0003x, donde x es el número de unidades producidas 
mensualmente y P dólares es el precio de cada unidad. El número de 
dólares del costo total de la producción de x unidades es 800 + 3x . 
Si la utilidad mensual es máxima, encontrar:
a) El número de unidades que se producirán cada mes
b) El precio unitario.
c) La ganancia mensual.
Solución:
DATOS:. 1
P = 6 - 0.0003x
[ C(x) = 800 + 3x
x e [0,20,000]
Se pide hallar el valor de “x” y “p ” tal que maximice la ganancia. Según la teoría, la 
función ganancia se maximiza en un valor de x tal que: R’(x) = C'(x) y R”(x) < C "(x).
Moisés Lázaro C.
Veamos:
1. La función R(x) es:
Al derivar 
Derivar otra vez
R(x) = xp
= x(6-0.0003x)
R(x) - 6 x - 0.0003x2 ; x e [0,20,000]
R'(x) = 6 - 0.0006x
R"(x) = -0.0006
2. La función costo total es: C(x) = 800 + 3x
Derivar 
Derivar otra vez
3. La función ganancia es:
C'(x) = 3
C"(x) = 0
S(x) = fí(x) - C(x) = 6x - 0.0003x2 - 800 - 3x
S(x) = 3x - 0.0003x2 - 800 x e [0,20000]
4. Igualar Rr{x) con C'(x): 6 ~0.0006x = 3
x = 5,000
Como: -0.0006 < 0 , entonces la función S(x) tiene 
máximo en x = 5,000 y P = 6 - 0.0003 (5,000) = 4,5
5. Luego , la ganancia máxima es: S(5,000) = 3(5,000) - 0.0003(5,000)2 - 800
= 15,000-7 ,500-800 
= 6,700
Conclusión: Para tener mayor utilidad mensual se deberán producir 5000 uni­
dades mensuales para venderlas a 4,5 dólares cada una para ob­
tener una ganancia de 6,700 dólares.
Problema 5 | Si en el problema 4, el gobierno le aplica 30 centavos de impuesto al 
monopolista, por cada unidad producida.
Solución:
1. Cuando se exige un impuesto de 30 centavos por unidad, entonces el costo au­
mentará en 0 ,3 0 x , así tendremos que el nuevo costo será:
C(x) = (800 + 3x) + 0.30x = 800 + 3.30x
LA DERIVADA < § >
2. Para maximizar S(x), hacer C'(x) = R'(x)
3.30 = 6 - 0.0006x
O.OOOóx = 2.7 
x = 4,500
3. Como se tiene: P(x) = 6 - 0.0003x
S(x) = R (x)-C (x )
= 6 x - 0.000x2 - 3.30x - 800 
= 2.7x -0.0003x2 -800
se obtienen: p(4,500) = 6 - 0.0003(4,500) = 4,65
y S(4,500) = 2.7(4,500)-0.0003(4,500)2 -800 
= 5,272
5. DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTODefinición 1 Sea la función / : / -----> R definida en el intervalo abierto L Su­
pongamos que / es continua en I.
Definimos:
1. El incremento de x es: h = Ax = x - x0
donde: x = x0 + h
2. El incremento de la función / es A/(x) = /(x0 + h) - /(x0)
3. La razón de cambio de / respecto a x es:
4. Si existe / '(x 0), entonces una buena aproximación de la función / en el punto 
x = x0 + h e I , es: /(x0) + h/'(x0); esto es: /(x0 + h) = /(x0) + h/'(x0)
Definición 2 Con la hipótesis de la definición 1, definimos: 
f e s diferenciable en x0 , si existe /'(x0) y además
Ji m f (xo + h ) ~f (xo )~h f ' (xo )
7 ' ' 1 '; 3'"'''“ V 'r v.
Moisés Lázaro C.
Ejemplo Aclaratorio:
Sea la función / : (0,2) -----> R definido por f(x) = 2x2 . ¿Es / diferenciable en
x = l?
Solución:
1. Hallar /'(1):
/ '( !)= l¡m /(i+*¡>-/(D.= lim 2(l±iñ=2ílñ = 4
2. Hallar el límite: lim M + V - f W - V ' M =
h
= 1 ¡m 2(1 + 2/ i + /i2 ) - / ( 1 ) - > i ( 4 ) _ l i m 2 h i = 1 ¡m 2 f l = 0 
h -^ 0 h h - > 0 h h —>0
3. Probar que lim 2h = 0:
h ^ O
Dado £ > 0, 3 8 > 0 tal que \2h - 0| < £ siempre que \h\ < 8 a he R .
Busquemos 8 en términos de s:
Empezaren: \2h\ = 2\h\
Como |h| < S entonces 2\h\ < 2 8 .
Hacer 28 = £ => 3 =
Ejemplo Gráfico: Sea la función / : [a,b] > R que aparece en el siguiente
gráfico.
LA DERIVADA
Fijémonos en los puntos A , B, C , D, Ey F:
- La función es continua en todos los x e [a,b].
- En X j, / es continua, es derivable y / '(x j) > 0.
- En x2 , la función es continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x2) .
- En x3 , / es continua, es derivable y /'(x3) = 0
- En x4 , / es continua, es derivable y f'(x4) = 0
- En x5 , / es continua, es derivable y /'(x5) < 0
- En x6 , f e s continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x6) .
NOTA: En las “puntas aguja” la función no es derivable, porque las derivadas
laterales existen pero son diferentes.
5.1. EJEMPLOS
1. Sea la función / : H
nidapor /(x) = y x - 2 . 
¿Es / derivable en x = 2 ?
* TR defi- 2. Una función está definida del modo 
siguiente:
ax + b si x > c
Solución:
Por definición de derivada de / en 2, es:
(a, b, c constantes) hallar los valores 
de a y b (en función de c) tales que 
/'(c) existe.
Solución:
MÉTODO I
i) Si /(x) es derivable en x = c , es
decir, si existe f'(c) , entonces:
Este resultado nos indica que NO EXISTE
la / '(2 ) . /+(c)
/-'(c)
Por lo tanto, afirmamos que / no es deri­
vable en x = 2 . (1).... lim (E±bH££zb)= lim
X - C
ii) Si existe f'(c) => f es continua en 
x = c .
Moisés Lázaro C.
(2 )
Luego: lim /(x )= lim f(x)
X —» c+ x —̂ c
ac + b = c2 .................
De (2) obtenemos:
lim ax + b~(ac + b) — ]jj-Q x2 - c 2 
+ x - c - x — cx -» c x -^c
lim ^Lz£l= iim LLzLHl í í )
lim (a) = lim (x + c)
X —>c x - > c
a = c + c
a = 2c (3)
Sustituir (3) en (2): (2c)c + b = c
b = c
METODO II
i) Si /'(c) existe -----> /+(c) = f!_(c)
Donde:
í W - f M ] , , , - " ] , . , - "
/-(0 = / ' ( x ) ] , <c= 2 x ] j[, c =2c 
//) Como / es derivable en x = c , enton­
ces f(x) es continua en x = c luego: 
lim /(x) = lim /(x)
b = - c ¿
3. Una función / está definida del modo 
siguiente:
/ ( * ) =
1*1
, S l | X | > C < - » X > C V X < — c
a + bx , si|x|<c<-»-c<x<c
Hallar los valores d e a y b (en función 
de c), tales que existe f ' (c).
Solución:
i) Si/'(c) existe fí(c)= fl{c) 
- V = 2bc
cz
— l j = b
2 c 3
Donde: Si 0 < c
/+{c) = /'(x) ] X = C
_ _ 1
- £ ( ± ) ]
/ » - / ' < * ) ] x<c= £ ( o + t>x2) ] „ e
= 2bx 1 = 2 beJ X = c
¿7) Como /(x) es derivable en x = c , 
entonces /(x) es continua en x = c 
luego:
lim /(x) = lim /(x)
■J- = a + be2 .............. (a
I _ a + -
- = a - 4 -c 2 c
2 = 2 a c - 1 <-» 3 = 2 a c
£ = a
LA DERIVADA
4. Existe un polinomio,
o o
P(x) = ax + bx + ex + d tal que 
P(0) = P(l) = -2 , P'(0) = -1 y 
P”(0) = 10 . Calcular a, b, c y d.
Solución:
q o
/) Como P(x) = ax + bx +cx + d 
=> P(0)= 0 + 0 + 0 +d 
P(0) = -2 => d = - 2
//) A dem ás, si
P(x) = ax3 + bx2 + ex + d 
=> ^P(l))=a + b + c + d^
—2 — a + b + c. — 2 
0 = a + b + c ................(1)
i ¡i) Como P(x) = ax3 + bx2 + ex + d
=> P'(x) = 3ax2 +2bx + c
P'(0)= 0 + 0 +c 
-1 = c ........................ (2 )
/v) Como P'(x) = 3ax2 + 2bx + c 
=> P"(x) = 6ax + 2b
10 = 2b 
5 = b ...................... (3)
v) Reemplazar (3) y (2) en (1): 
0 = a + 5 - l
0 = a + 4 <=> a = -4
5. Para cada uno de las siguientes fun­
ciones diga usted en qué puntos no 
son derivables. Justifique su repuesta.
a) /(x) = |3x-l|
b) g(x) = ■
c) b(x) = ■
4x2 -1 
l - 4 x 2
l - 4 x 
-l + 4x
si | x | > 1/2 
si | x | < 1/2
si x < -1 /4 
si x > -1 /4
6. Demuéstrese que la función definida
/(* ) =
x2sen-̂ , para x * 0 
0 , para x = 0
es diferenciable para todo x e JR, pe­
ro /'(x) no es continua en 0 y que 
/"(O) existe para x * 0 , pero que 
/"(O) no existe.
< 5 >
Moisés Lázaro C.
6. LA DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN DE DOS FUNCIONES
(REGLA DE LA CADENA)
S ° /
A —
Si (g ° f)(x ) = g(f(x))
=> (S0/)'(x ) = / f(x)-g'(/(x)) 
= S'(/(x))-/'(x)
Aclaraciones para la Aplicación de la Regla de la Cadena:
Io La notación “ g o / ” se lee “/compuesta con g” o “la composición d e / y g”
A A
I-------------- I o aplicación
 2o aplicación
2o La función “ g o / ” existe, si Im(/) n Dom(g) ^ (¡>.
3o La derivada de una composición de dos funciones, es igual al producto de la deri­
vada de la primera aplicación por la derivada de la segunda aplicación. Ejemplos:
a) Si ( /°g )(x ) = /(g(x)) => (/ ° g)'(x) = g'(x) • /'(g(x))
b) Si ( goho f)(x ) = g(h(/(x))) => (g o h o f)'(x) = f'(x) ■ h’(f(x)) • g’(h{f(x)))
4° Regla práctica para derivar una com posición de dos o más funciones.-
Para poder derivar con gran facilidad una composición de dos o más funciones, es 
mejor' construir un DIAGRAMA DE FLECHAS que representen a las funciones, de 
modo que queden bien definidas y diferenciadas las variables independientes de 
las variables dependientes
LA DERIVADA 45
Ejem plo
1. Sea la función y = sen (4 - 3x2). Hallar —.
En ésta función tenemos que y = g(f(x)) =
Donde: Si
g = sen/
/ = 4 - 3 x 2
dg
d f
ÉL
d x
= eos /
= -6 x
E ntonces: ^ = [ e o s / ] [ - 6 x ] = [ c o s ( 4 - 3 x 2 )] [ - 6 x ] = - 6 x c o s ( 4 - 3 x 2 )
Teoremc^^J Si g(x) es derivable en x0 y / es derivable en g(x0), entonces j ° g 
es derivable en x0 y; (/ o g)'(x0) = [/'(g(x0))][g'(x0) ] .
Demostración:
Paso 1 . Se sabe que (/ o g)(x) = /(g(x)), por definición de composición.
Paso 2 . Por definición de DERIVADA de la fundón {/ o g)(x) = f(g(x)) en el punto
( / ° 9 ) ( x ................*
En * podemos multiplicar en el numerador y el denominador el término
Así tendremos:
lim 
hH> o
/ ( g ( * 0+ h ) ) - / ( g ( x o )) 
h
l im f ( 3 ( x O + h ) ) ~ f ( 8 ( x o ) )
h^, 0 . g ( * o + /l) - g ( * o )
#(h)
lim
k->0
/(g (* o ) + fc)- / (g(*o)) 
k
ñ ff(x 0))
g ( x 0 + h) - g ( xq ) 
g { x 0 + h ) - g { x Q )
lim
h~> o
g ( Xq + h ) - g ( Xq )
Se supone que el término g(x0 +h)-g(x0) es diferente de cero cuando h es 
diferente de cero.
Moisés Lázaro C.
Paso 3. El problema fundamental radica, ahora, en demostrar que una función (que 
la llamaremos <fi(h) adecuadamente construida y que contiene a la función
/(ff(x0 + h ) ) - /( g ( x 0 )) s e a con tjn u a e n h = 0
g { x 0 + h ) - 3 { x0 )
Para ello, definimos la función (/>{h) del siguiente modo:
[ /(8(x0+h))-/(g(xq)) Si g(x0 + h ) -s (x o )^ 0 
<p(h) = \ s(x0 + /i)-s(x0) ’ u ' u'
[ / '(s U o )) , Si g(x0 + h )-g (x 0 ) = 0
Intuitivamente tenemos:
/) Si h = 0 , entonces g(x0 + h) - g(x0) = 0 y en consecuencia <fi{0) = /'(g(x0)) 
n) lim <p{h)= lim mxo+V-f (9(xo)) = í { ( })
0 ^ g(x0 + h )-»g (x 0) 9(x0 + h) - g ( x 0 )
Lo cual prueba, intuitivamente, que <fi(h) es continua en h = 0.
Paso 4. Ahora, analicemos cuidadosamente, la función (j){h):
i) Por hipótesis se tiene que la función / es DERIVABLE EN EL PUNTO g (x 0 ) . 
Esto significa que:
f'(s(x0)) =
De modoque V s > 0 , 3Sr >0 tal que, para todo k,
Si 0 < |fc| < Sf => f { g { x 0 ) + k ) - f { g { x q)) < s (/a)
tí) Por otro lado tenemos que g es derivable en x = x0 y por lo tanto g es 
Como g es continua en x = x0, se cumple: 3 8 > 0 , tal que para todo h,
Si 0 < }fc¡ < 8 => |g(xo + /i)-g(xo)f < 8 ’ (Ha)
iii) Basado en la proposición (//a ) consideremos un h cualquiera con |h| < ó 
de modo que, si k = g (x 0 + h ) ~ g ( x 0 ) * 0 , entonces:
g ( x 0 +h) = g ( x 0 ) + k (///a)
LA DERIVADA <47>
Sustituyendo (iiia) en la función 0(h) del paso 3, tendremos:
/L\ /(g (x 0 + h ) - / ( g ( x 0 )) /(g (x 0 +J e)-/(g (x0 ))
g ( x 0 + h ) - g ( x 0 ) k (zi7P)
iv) Volviendo a (//a) tendremos: |Jc| < Sr
v) Sustituyendo (///p) en (/a): Si 0 < |fc| < 8* |$h)-/'(s(x0))| < s
vi) Por otra parte, según la definición de la función <j>{h) , visto en el paso 3, 
tendremos: Si g(x0 +h)~ g(x0) = 0 => </>{h) = /'{g(x0))
vw) De éste modo, está garantizado que |̂ (h) - /'(g(x0))| < £
Lo cual indica que lim <p(h} ~ / '( g(x0)).
En consecuencia la función (j)(h) es continua en h = 0 .
Conclusión.- Por el paso 4 hemos demostrado que la función <p(h) es continua en
el punto h = 0 . Por el paso 2 hemos demostrado que: 
( / ° g)'(xo) = / ' (£(xq)) * g'(xo), lo cual garantiza la demostración de la 
REGLA DE LA CADENA.
[6.1. PROBLEMAS
(T) Dada la función h(x) = f ( x - V x - x 2 ), hallar ^ ) sabiendo que /'(O) = 2 .
Solución:
= /'(0) 
= 2
Moisés Lázaro C.
2) Sean las funciones: y = - 3¿/ + 3 a ¡u = , hallar .
Solución:
i) Observando las dos ecuaciones, podemos relacionar a través del siguiente diagra­
ma:
y ► H > x se iee “y es función de / / ’ a “// es función de x”
ii) Luego, la fórmula de la derivada de ésta función compuesta, será: =
iii) Pero
si y - f i -3ju + 3
X — 1SI LL -----
r x + 1
£ = 3 / - 3
dfi _ (x + l ) ( l ) - ( x - l ) ( l ) _ 2
d x (x+ir (x+ir
/v) Sustituir (///) en (ii): =
(x + 1)2
- 2 4 x 
(x + 1)2
(3 ) Hallar ^ , si z = 3//2 -2// + 5 donde ¡u = 1/ 4 - y 2 , y = j .
Solución:
1) De Las 3 ecuaciones, al relacionarlos, obtenemos el siguiente diagrama de flechas:
Se lee “z es función de /i” a “// es función de y” a “y es función de x”
LA DERIVADA
4) Sustituir 3 en 2: ^ = [ 6 / / - 2 ]
1
i
i
l
1 ho
1
x 2 .
= 2(3 f i -1 )
(S ) Si /(x) = eos (sen (eos (1 - x2))), hallar .dx
S olu ción :
Paso 1: Antes de derivar analicemos cuantas funciones hay en la composición.
/(x) = cos(sen(cos(l - x2 )))
En /(x) existen la composición de 4 funciones que al derivar se harán cua-
Paso 2: Para obtener ^ podemos empezar a derivar de 1 y terminar en 4 o vice­
versa. Si derivo partiendo de 1 para terminar en 4, será:
^ = [—2x] [~ se n (l-x 2 )] [c o s (co s (l-x 2 ))] [-sen(sen(cos(l - x2 )))]
= -2 x s e n ( l -x 2 )co s (co s (l-x 2 ))sen (sen(cos(l-x2 )))
( 5 ) Si f(x) = tg3 (sen2 (4ax -1- b)) . Si a y b son constantes, hallar .
Solu ción :
Paso 1. Analicemos cuántas funciones existen en la composición.
Veamos:
4 5 2 3
*
/(x) = tg3(sen2 (4ax + b))
En f(x) existen la composición de cinco funciones, que al derivarse apare­
cerán cinco factores.
Moisés Lázaro C.
Paso 2. Al derivar partiendo de 5 para terminar en 1, obtenemos:
— - [3tg2(sen2(4ax + b))] [sec2(sen2(4ax + b))] [2sen(4ax + b)] [cos(4ax + b)] [4a]dx
= 24a eos (4ax + b) sen (4ax + b) sec2 (sen2 (4ax + b)) tg2 (sen2 (4ax + b)) 
También se puede empezar a derivar por 1 y terminar en 5.
( 6 ) Si g(x) = sen(x2 + sen(x2 + senx2)), hallar - j .
Solución:
Paso 1: Veamos cuántas funciones existen en la composición:
p p p
g(x) = sen(x + sen(x + senx ))
Paso 2: Empezaré a derivar de 1 para terminar en 2. 
Veamos:
cíx = [ +sen(x2 +senx2 )) [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))] 
= ^2x + -^(sen(x2 +senx2 )) [cos(x2 +sen(x2 +senx2 ))]
y
4
empezar a derivar por 3 para terminar en 4 
= [2x + (2x + 2xcosx2)cos(x2 + senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))] 
= 2[x + (x + xcosx2 )cos(x2 +senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 +senx2 ))]
(7 ) Si f(x) = sen , hallar
Solu ción :
LA DERIVADA
< E >
Él
dx dx
sen x J
eos
eos
3x 2 sen [ 1 -x 3 eos í
sen x ) V sen x
3 x s e n x - x c o s x
É l - YZ
dx *
3 sen x ^ 1 3 Í 3 s e n x - x c o s x ,- — - X ------------- ó----------- COS x 3 
sen x
!f— 1^ sen x J
COS
COS
sen x j
S) Sea g(x) = / ̂ — -j |, si / es una función diferenciable en todo JR con
determinar g'(0).
Solución:
I. Tenemos: g(x) = f I
2. Hagamos: //(x) =
.'L Entonces: g(x) = f(ju(x))
4. Derivar: g'(x) = f'(ju(x)) ju'(x) donde
ÉL
dju
JU(X) = dx (x + ir
r>. Luego: S'(x) = / ' [ ^ y )
x2 + 2x - 1 
(x +1 ) 2
x2 + 2x — 1 
(x + 1)2
/ '( !) = 2 ,
, _ 2 \ Moisés Lázaro C.
6 . Por lo tanto: g'(0) = /'| o + i 0 + 1
0 + 0 - 1
(0 + 1 ) 2
= / '( l)[-l] , Pero /'(l) = 2 
= 2[-l] 
g '(0 ) = - 2
( 9 ) Si /(x) = sen((x + l)2 (x + 2)), hallar 
Solución:
f ( x ) = ((X +1 )2(x + 2))' cos((x + l)2(x + 2))
= [(x + 1)2 (x + 2)' + (x + 2) ((x + 1)2 )' ] cos((x + 1)2(x + 2)) 
= [(x + 1 )2 (1 ) + (x + 2)(2(x + 1 ))] cos((x + 1 ) 2 (x + 2))
= (x + l)(x +1 + 2x + 4)cos((x + l)2(x + 2))
= (x +1) (3x + 5 )cos ((x +1 )2 (x + 2))
(10) Si /(x) = sen (x sen x) + sen (sen x2) , hallar f'(x) =
Solución:
f'(x) = (x sen x)' eos (x sen x) + (sen x2)' sen (sen x2)
= (x eos x + sen x) eos (x sen x) + 2x eos x2sen (sen x2)
( 1 1 ) Si /(x) = (((x2 + x )3 + x )4 + x )5 , hallar: ^ 7 = /'(*)■
Solución:
/'(x) = 5(((x2 + x)3 + x)4 + x)4(((x2 + x)3 + x)4 + x)'
(4((x2 + x )3 + x )3 ((x2 + x )3 + x )' + 1)
/'(x) = 5(((x2 +x)3 + x)4 + x )4 (4((x2 + x )3 + x )3(3(x2 + x)2(2x + 1) + 1) + 1)
LA DERIVADA
(l2) Si
Solución:
Haciendo
Pero: y ! ■
M'-
Además
f ( x ) = s e n ¿
x - sen x
// = - x2 + 3
’■(...
 ̂x-sen2x J
, tendremos:
/ ' = 2 sen//{sen//)'
= 2 sen//(eos//)// 
= //'sen 2 / / ............ (1)
- j ( 2 x ) - ( x 2 + 3 ) j ^
x - sen~ x y . ^ 2
x - sen x
SI K = ■
x - sen x
(x + sen2 v){2x) - (x2 + 3) (1 + 2seni/ eos y y f) 
(x + sen2 v)2
(2 )
1/ = (x - sen2 x) (2x) - x2(l - 2senx cosx) 
(x -s e n 2 x )2
r _ 2x2 - 2x sen2 x - x2 + x2 sen2x 
(x -se n 2 x)2
f x2 - 2x sen2 x + x2 sen2x
y =
(x - sen2 x )2
(3 )
Sustituir (3) en (2):
Moisés Lázaro C.
Sustituir (4) en (1):
m =
2 x (x + sen2 v) - (x2 + 3) - f - 2x sen^ x + sen 2x \ 0 1+ 9 9 \ s e n 2 v
ív (x - sen x) )
(x + sen2 1/)2
sen 2 (i
@ Hallar / ' en términos de g’ , si f{x) = g(x + g(a)).
Solución:
Haciendo x + g(a) = ¿u(x), tenemos: f{x) = g(¿u(x))
entonces: f'(x) = [g '(//U )] [ju'(x)]
= [fl'(//U))][ 1 + 0]
= 3 '(x + g(a))
(l4 ) Si: f(x) = g(xg(a)), hallar / ' en términos de g ' .
Solución:
Hagamos ju(x) = xg{a), entonces tendremos: /(x) = g(//(x))
Al derivar /(x) con respecto a x obtenemos: /'(x) = g'{/u{x)) • ju'(x).
Como /u(x) = xg{a) => ju'(x) = g(a) ..................................................
Sustituir (2) en (1): f'(x) = g'(xg(a)) g(a)
( 1)
(2)
@ Hallar / ' en términos de g ' , Si f(x) = g(x + g(x)).
Solución:
/ ' M = (s'(x + g(x))) (x + g(x))'
= (g'(x + g(x))) ( 1 + g ’(x)) g ’(x + g(x))
LA DERIVADA
[55
(ló ) Si: /(x + 3) - g(x2) , hallar g'(4 ) sabiendo además que /'(5) = 8 . 
Solución:
Derivando en la ecuación /(x + 3) = g(x2) obtenemos:
[f'(x + 3)] [x + 3]' = [g'{x2)] [x2 ]'
[/'(x + 3)][l + 0] = [g'(x2)][2x]
f'{x + 3) = 2x g ’(x2) ..........................(1 )
Como: /'(5) = 8 => x + 3 = 5
x = 2 .......................... (2 )
Sustituir (2) en (1 ): / '( 5 ) = 2(2) g'(4)
8 = 4g'(4) => g ’( 4) = 2
(Í7) Sea: / C o J * 2* " * ’
0 , x , 0
Supongamos también que h y k son dos funciones, tales que:
h'(x) = sen2 (sen(x + 1 )) k'(x) = f(x + 1 )
h(0) = 3 k(0) = 0
Hallar: (/) ( / o h)(0) ; (//) (le o / ) ’ , (///) a ’(x2) , donde a(x) = h(x2)
Solución de til:
1. Por definición de la derivada de una “composición de dos funciones” tenemos- 
(/oh )'(0 ) = /'(h(0 ))-h'(0 ).
2. Por hipótesis, se tiene Si h'(x) = sen2{sen (x + 1)) 
=> h'{0) = sen2(senl)
3. Reemplazar (2) en (1): (/ o h)'(0) = /'(3) • sen2(senl)— <3>
Moisés Lázaro C.
„ _ . .. ,, . x sen- , x / 04. De la ecuación: /(x) = < x
[ 0 , x = 0
[ x 2 í ( c o s - ) ( —L'j\ + 2 xsen— , x * 0
obtenemos / (x) = j \' x '\ x ) J x
[ 0 , x = 0
| -eos— + 2 xsen— , x * 0 
f'(x) = \
( 0 , x = 0
5 . Si: x = 3 => /'(3) = -co s -j + 6 sen-|
6 . Sustituir (5) en (3): ( /o h )’ (0) = ^-cos-| + 6 sen-ljsen 2 (senl)
@ Si: y = /(//) y ju = g(x) , demostrar:
d3y _ dy_ m d3ju o d2y # d2ju djj, d3y # / d/¿ 
dx 2 _ dM dx3 d //2 * dx2 * dx d //3 \ j
Demostración:
1 . Si y = /(//) A M = S(x ) ? entonces el diagrama de flecha es: y — > fi ——> x 
Entonces: ^ =
2. En el anterior problema teníamos: )
dx2 d/r dx2 dM2 \ d x !
3. Derivar con respecto a x: J - ^ j = j +
LA DERIVADA
D esarrollo de: j
C o m o (y es fu n d ó n de ju) a {ju es fu n ción d e x) o sea: y ------ > ¡ u ------- > x
T am bién se tiene:
( ^ es fu nción de ju) a {ju es fu nción d e x) o sea: > y ------- > x
De la caden a : ^ ------ > ju » x
O btenem os* - 4 - ( É L ) = j L Í É L ) . ÉJLvjuienemus. d x \ d M ) d//\ d M J dx
_ d2y d/i
d p i 2 d x
Desarrollo de
d x ^ y d x J
Por derivada d e p oten cia se tiene: ¿ 7 ̂(■3 7 ) = ' ~ d x { ^ )
— OÉJL ĉ2/j
" Cl x • d x 2
D esarrollo de: - f í - ^ 4dx y dM2
Como (~|- es función de //) a (//es función de x) o sea: > p
De ia cadena; ■-— > ¡ i > x
Moisés Lázaro C.
7. DERIVACION POR MEDIO DE FORMULAS
Prescindiendo de la diferenciabilidad, derivar usando tablas:
E ¿ w - o
'--------------------- Derivada de una constante con
Ejemplos* respecto a x es igual a cero.
1. Si y = 2Ln3 + e ~2 => ^ - = 0 , s iy = /(x)
ES UN NUMERO REAL 
(CONSTANTE)
2. £ ( -3 /2 ) = 0 3. £(V 2) = 0
4. £ ( 5 ) = 0 5. Si: f(t) = 2 S - 5 => & = 0 , etc.
| 2 | ■£ (X ) = 1 La derivada de la función identidad es igual a
' t______
Ejemplos:
la unidad (La derivada de una variable con 
■ respecto a sí misma es igual a la unidad)
1. 4f = l 2. £ = 1 3. £ = 1 4.ay dt dz dp
5. ^ = 1 6. £ l = 1 7. ^ = 1 etc.
d e d x 1 a x 2
-r~ (xn ) = n x " " 1 La derivada de la potencia de la función
| identidad es igual a: bajar la potencia y
I------------------------ disminuir la potencia una unidad.
Ejemplos:
1. £ ( x 5 ) = 5 - x 5 _ 1 = 5x 4 2. £ ( x 2/3 ) = -|x2/ 3 - 1 = | x -1̂
3. £ ( x “ 3 ) = -3 • x ~ 3 “ 1 = -3 x ~ 4 = —\ 4. £ ( x " 5 / 3 ) = —| • x - 5/ 3 " 1 =
K d i 1 \ _ d /i -1 7 /3 \ _ 17 * -1 7 /3 - 1
dí( ‘5 3V ? ) “ ^ ( ) _ _ T
- _ 1 Z *“ 20/3 
_ 3 1
- 17
3 t 63J t 2
3 - 2 
33,£
_ 5 - 8 /3
3
5
3x2^
LA DERIVADA
d * A
I------------constante
Ejemplos:
1. ^■(3x2) = 3.2x2 ~ 1 = 6 x 
2- ¿ ( K ° ) = | - W x ‘ " - ‘ = 4 * ’
4- = - ¿ r
5- i ( * ) - í í ( y ' I )= í< -ij> - 1 - 1 ) = í ( - y '2) - ^
6 J L Í L \ - _ l j L f r 3 / 2 i - - i . -3 . - 3 / 2 - 1 _ 3 * -5 /2 _ 3
dtl W ? / 4dt 4 2 r “ 8 * --^572
7. Si: y = ! + 2 + 3 H a l l a r ^
* x 2 x 3 ’ d x
Solución: Antes de derivar, expresar cada término como potencia:
y = x _ 1 + 2 x “ 2 + 3 x “ 3
=> cHc = ~x~2 + 2 (-2 x -3 ) + 3 (~3x- 4 )
 L
x 2 X 3 X4 •
8. Si: y = -|--|x + x2 -0 .6 x 4
=> |£ = 0 -| { l)+ 2 x -0 .6 (4 x 3)
-§ + 2 x -2 .4 x 3
Moisés Lázaro C.
9. Si: y = atm +btm + n - 3 f 2 / 3 +
a2 + b2
^ = amtm- 1 + b(m + n) tm + n~1 - 2 r 1/3 + 6a tb
A continuación se dan cuatro fórmulas de derivación, que a veces, el principiante se 
equivoca y aplica una fórmula por otra y en consecuencia el resultado es adverso en el 
proceso de aprendizaje. Para ello describiré en conjunto estas cuatro fórmulas que son 
completamente diferentes ya que la regla de derivación es aplicada a cuatro funciones, 
también, completamente diferente.
Dichas funciones son:
- La función POTENCIA COMPUESTA
- La fundón EXPONENCIAL
- La fundón EXPONENCIAL SIMPLE
- La fundón EXPONENCIAL COMPUESTA
y * lM x )r
y = a/,(x)
Ej.: y = (3x2 - 1)5
y = eMx) Ej.: y = e -x2 +2
y = IM*)]U{X) , Ej.: y ^ l - x 2) ^ 1
Cuando se desea derivar cada uno de las funciones mencionadas, tiene su propio 
Algoritmo (su propia regla o fórmula de derivación). Dichas fórmulas de derivación 
son la 4, 5, 6 , y 7, respectivamente.
u = u(x)
£ ( u " ) = n-u,n - 1 u' donde
u = dudx
■ La derivada con respecto a x, de la función POTENCIA, es igual a “bajar 
la potencia, restar la potencia una unidad y derivar la base” .
Ejemplos:
1. Si: y = /(x ), donde y = (3 + 2x= [sD-r^r2 x3
^ = 3 -(3 + 2x2 ) 3 " 1 (3 + 2xz ) 
= 3 (3 + 2 x )2 (0 + 4x)
= 12x(3 + 2 x ) 2
2\>
2. Si: y = (2b + 3af )2
^ = 2(2b + 3 a t f - 1 (2b + 3at)' 
- 2(2b + 3at) (0 + 3a(l)) 
= 6a(2b + 3at)
LA DERIVADA
3. Si: y = (a2 / 3 - x 2/ 3 ) 2/ 3
=> ^ = | (a2 / 3 _ x 2 /3 )2/ 3 - l (a2 / 3 _ x 2 /3 r
( O - f x 2/3” 1)
- ^ n / o ^ - x ^ 3
í ax + b \ ^4. Si: y = ( q̂ -~ 1 , a, b, c son constantes.
« 3 ( = ± * ) 2 (l<ax + f>)') 
- 3 ( ^ ) 2 (l(a + °))
_ 3a ̂ ax + b j 2
5. Si: y = /̂o + hx3 = (a + bx3 ) 1 / 3
-=> ^ ^ j i a + bx3 )1/3 - 1 (ct + bx3 y 
= { ( a + bx3 r 2 / 3 (0 + 3bx2)
6x2 
3V (0 + bx3 ) 2
6 . Si: / (x ) = --------- 5- Antes de derivar, expresar/(x) como potencia:
6 ( 1 - 3cosx) ^
/ (x ) = —̂ ( l -3 c o s x ) - 2 
=c> ■̂ • = —l [ - 2 ( l - 3 c o s x )- 3 ( l -3 c o s x ) ']
= l ( l - 3 c o s x )- 3 (0 -3 (-s e n x ))
= senx 
( l - 3 c o s x ) 3
Moisés Lázaro C.
7. Si: y = — Ln2x
dy _ i 
d x 4
[2Lnx][Lnx]' = i [ 2 L n x ] [ i ] = ¿ L n x
8 . Sea: y = — h;— 1i —, hallar • Antes de derivar, convertir a potencia:
>sx ’ d x 1
1 O 1y = -^cos x -(co s x )
=> -j- = 3- [-3cos~ 4 x] [cosx]' + l[cosx ] ~ 2 [cosxr
= -cos 4 x [-senx]+ cos ¿ x[-senx]-2
sen x sen x sen xs e n x
r 1 i 1
sen x
o
1 - eos x
2 2 — 2 2 ,eos x eos x eos x eos x
9. Sea: y = >/sen2 x + — . Antes de derivar, expresar como potencia:
eos3 X
y = sen2/ 3 x + eos 3 x 
= -|sen2/ 3 - 1 x (sen x )'-3 cos - 4 x(cosx)'
= |-sen ! / 3 x (cosx )-3 cos 4 x í-sen x ) = —̂ =
3 3 sen x
2 eos x 3 sen x "I á
10. Sea: y = , hallar ^ . Antes de derivar, expresar como potencia.
V = 1 1 + [ 1 + X1 / 3 ] 1 / 3 ]1 / 3
=> ■^ = ¿ [ l + [l + x 1 / 3 ] 1 / 3 ) 1 / 3 “ 1 [ 1 + tl + x 1/3 ]173]'
= j [ i + [ i + x 1/3 ] 1/3 r 2/3 [ o + ¿ t i + x 1/3 r 2/3 [ i x - 2/ 3 ] 
1 1
con x & 0 , x ^ - 1 , x * - 8
LA DERIVADA
Si: y
d y
d x
_dy
d x
Si: y
d y
d x
= ^ L n 3 (x + V x 2 +a2 )
= -y [ 3 • Ln2(x + Vx2 + a2 ) ] Ln( x + Vx2 + a2 )
(x+y[ ^ 7 7 j
1 + -
->/x
(>/*
^/x2 + a2 ( x + yjx2 + a2 ) 
1
V-'
= = L n 2 {x + y[. 2 2 x + a
= ^arctg x - (are senx )3
= -^(arctgx) ly/2 (arctgx)'-3 (aresenx)2 (aresenx)'
= (arctg) - 1/2
1 + x 
1
- 3 (aresenx)
1 4- X
3 (a re se n x
2 ( 1 + x 2 ) y]a r c t g x y j l - x 2
Moisés Lázaro C.
13. Si: y = — 15 10
4 ( x - 3 )4 3 { x - 3 )3 2 (x - 3 ) 2
Como: y = - ^ ( x - 3 ) ~ 4 - ^ ( x - 3 ) " 3 - | ( x - 3 ) “ 2
=> ¿ = - f [ - 4 ( x - 3 ) - 5 ] - f [ - 3 ( x - 3 ) - 4 ] - l [ - 2 ( x - 2 ) - 3 ]
- 15 _1ÍL x + 4 x - 6
( x - 3 ) 5 ( x - 3 ) 4 ( x - 3 ) 3 ( x - 3 ) 5
14. Si: y = log3 x 2 -^ L n 5 (2 x - l ) + -|log2 ( l - x 2 )
^ = 31og2x2[logx2] '- Í 5 L n 4(2 x -l)[L n (2 x -l)] '+ | 2 1 o g (l-x 2 )[log (l-x 2)]'
2 „2= 31og x (X2 )' loge -ÍL n 4 (2 x - l ) ( 2 x - l ) ' 2x -1 + 31og(l-x' 
2 \
1 - x 2
loge
= 31og2 x2 ^ floge -±Ln 4 (2x-l)|^ 2 ^rx] + 31og (l-x -2 x
1 - x 2
loge
_ 6̂ loge • log2 x 2 - _ § _ L n 4 (2x - 1 ) log(l - x2)
Mensaje: Trate de hacer lo propio en cada derivada similar que se
presenta.
£ ( a u) = au -u '-Lna a>° J u=udix)
a^l 1 u' - dx
-tiene 3 tiempos “LA derivada de una exponencial; es igual a la misma 
exponencial, por la derivada del exponente, por el logaritmo natural de la base”
Ejemplos:
1. Si: y = 2X - 2"x + 32x - 2(1 - 5" x )5
dy
dx = 2X (x ) 'L n 2 -2 “x (-x ) 'L n 2 + 32 x (2 x ) 'L n 3 - 2 [ 5 ( l - 5 “x )5 “ 1 ( l - 5 - JC)']
= 2XLn2-2~x ( -1 )Ln2 + 32 x (2 )L n 3 -2 [ 5 ( l - 5 _ x ) 4 (0 -5 ~ x (|c)'Ln5)] 
= 2X Ln2 + 2_xLn2 + (2Ln3) 32x - 10L n 5 (l-5 _x ) 4 5_xLA DERIVADA ,
2. Si: y = - Í 3 x + 2 x+3 -2 ~ x - 5 3~2x
=> ^ = - 3 [3x(x)'Ln3] + 2x + 2 (x + 2 )'L n 2 -2_x2 ( -x 2 ) 'L n 2 -5 3 ~2 x(3 -2 x ) ' Ln5 
= - ¿ [ 3 xLn3] + 2x + 2 Ln2 - 2~ x 2 (-2 x ) Ln2 - 53 _2 x(-2) Ln5 
= - ^ 3 X + 2X + 2 Ln2 + (2Ln2) x2“ x 2 + (2Ln5) 53_2x
3. Si: y = ( i ) ' X ” 41 , hallar -g
= 2 - l - 2 - 4 l
Solución:
Antes de derivar definir el valor absoluto:
2~( x 2 - 4 ¡ ' Si: x 2 - 4 > 0 [ 2 4 “ x 2 , Si: x > 2 v x < -2
v=i 2 y = 2
2 X ~ 4 , Si: x 2 - 4 < 0 [ 2 X “ 4 , S i : - 2 < x < 2
. . dv í 2 4 “x2 (0 - 2 x)Ln 2 , x > 2 v x < - 2Ahora derivar: = \ 2
[ 2 X ~ 4 (2 x - 0 ) Ln2 , - 2 < x ^ 2
d y _ j ( - 2 Ln2 )x 2 4_x , x > 2 v x < - 2
dx I v2 A[ (2 Ln2)x2 , - 2 < x < 2
 í u - u ( x )
S ^ ( eU) = eU‘ u' > donde-j , du
tiene 2 tiempos: “ la derivada de una EXPONENCIAL SIMPLE; es igual a la misma 
exponencial, por la derivada del exponente.
Fjemplos:
1. Si: y = ex + ± e 2x - $ e ~ x
=? ^ = e- (x ) ' + l e 2 x (2 x ) ' - f e - x2 (-x 2 )' 
= ex (l) + ¿ e2 x(2 ) - | e- x2 ( - 2 x)
- e x + ̂ e 2x + 3xe~x
2
gg x Moisés Lázaro C.
2
2. Si: y = q + c2 e~x + ̂ + x . q , c2 son constantes.
=> 'd7 = 0 + c2 e x ( - l ) + -̂ --2 x + l 
= - c 2 e~x + x + 1
3. Si: y = q +c2e~x +c3 e3x
=> + x (— 1 ) "*" c3 e3* (3)
= —c2 e_x + 3c3 e3x
4. Si: y = q + c2 e 2x + c3xe 2x
I es producto
=> £ = 0 + c2 . e ( - 2 ) + c3 [(xr e + x(e“x )'] 
= - 2 c2 e_2x + c3 [e_2x - xe“ x ]
5. Si: f ( x ) = e 2 +x ; si denotamos ~t = f'(x).
=> /'(x) = e _^ + x ( - ¿ + x ) '
= e“^ + x ( - 1 . 2 x + l ) = ( l - x ) e “*
.2
+ x
6 . Sea: y = x - e ^ , hallar: ^
Solución:
f x - e _x , si: x > 0 í l + e“x , si:
pero: H , . „ ~ H , „ .I x - e , si: x < 0 1 - e , si:
7. De:
x = a1 et + 4a 2 e2t +5a 3 e3t - 5 e _t +2 
y = - c¡ie1 - 5 a 2 e2t -7 a 3 e_3t - 3 e _t - 1
x > 0 
x < 0
LA DERIVADA
obtenemos:
•̂ Y = a1 et + 8 a2 e2t +15a3e3t +5e t 
~ci'[ — 10a2 2 I 0 3 e + 3e¿ydt
a
Kjemplos:
I. Si: y = xx
-£{U°) = v U v ^1 ‘ U' + Uv -u 'jLnU
com o fórmula E com o fórmula
dx = x • xx (x)' + xx (x)' Lnx , x' = £ = l 
_ x*-i+i + x x Lnx = xx + x x • Lnx = xx (1 + Lnx)
2. Sea: y = x
dy
Lnx
•̂ • = Lnx*xLnx 1 (x )’ + xLnx (Lnx/Lnx 
= Lnx • xL n x _ 1 + x Lnx (-1J Lnx 
= Lnx • xLn- x + xü l x " 1 • Lnx = ¿ x ^ * - 1 Lnx
3. Sea: y = (x + l )x
^ ^ = j ( x + l)7~1(x + l)' + (x + l f ^ ) Ln(x +1)
2 2 
= -j(x + l )x 1 + (x + l )x | j Ln(x +1)
= f ( x + l )x [ (x + l ) - 1 -¿L m (x + l ) ] = 2 x>/(x + l )2 
. => ^ s s e n x ' íx 2 +l)senx_1 {2x) + (x2 +l)senx {cosx)Ln(x2 +1)
Ln(x + 1)
x (x + 1)
= {x 2 + i r nx £ ^ + cosxLn(x2 +l)
Moisés Lázaro C.
5. Sea: y = xx
=> -̂ | = xx -x x 1 (x)' + xx (xx )'Lnx
:XX -XX ’ ! +XX
= xx • xx Ln x +
: ( 1 + Lnx) JLnx
^Ln2 x + Lnx + -̂ J
Observación: Todas las funciones exponenciales son fáciles de derivar, 
si se procede del siguiente modo.
Primero, aplicar logaritmo natural en ambos miembros:
De: y = //ü
=> Lny = u-Ln ju
Segundo, derivar como producto:
~ = vf Ln// + u(Ln //)'
Tercero: y' = y [v'Ln ju + u(Ln //)'] 
Ejemplo:
1. Sea: y = 3 x^x , hallar ^
Io) Lny = Ln3 + Vx • Lnx
2o) ~. = 0 + (Vx), Lnx +Vx (Lnx)
= _ ^ L n x+ V ^ ( i )
y' - y 
= 3x'/x
-J)-Lnx + ^
2 Vx x
—7 = Lnx + -^-
2 >/x x
LA DERIVADA
Ejercicios Dado y = /(x) hallar: ^
2.
3.
4.
5.
y = x x
■ ( * ) *
y = ( l - x 2 f
y = [ L n ( x - l ) ] x:
(*. y = (2 x - l ) 2 X
7.
N.
9.
y = (cosx)senx 
y = [x • senx]x
R. y' = x* (1 -L n x)
*• J'' = ( * ) ' ( 7 Í I + L" Í Í T )
2
13. y = ( 1 - V x )x
14. y = (5 x )2*
15.
16. y = [ e^ x ] 2
17 .- y = x1" 2x
18. y = (sen2 x) cos2x
1 0 . y = xarctgx
II. y = [e_ x ] 2
1 2 . y = xx
19.
20.
y = d - x ) x
y = x £9X
£ ( U - V ) = U’ -V + U - V ’
- “La derivada de un producto, es igual a la derivada del 1er. factor 
por el 2 do. factor, más; el 1er. factor por la derivada del 2 do. factor”
Ejemplos:
I. Sea /(x) = (x3 - 3x + 2)(x4 + x 2 -1 ) , hallar ^
=} f'(x) = (x3 - 3x + 2)'(x4 + x 2 -1 ) + (x3 - 3x + 2)(x4 + x 2 -1)'
= (3x2 - 3)(x4 + x2 -1 ) + (x3 - 3x + 2)(4x3 + 2x)
= 7x6 - 10x4 + 8 x 3 - 12x2 + 4x + 3
0
Moisés Lázaro C.
2; Sea y = (x2 - 2 x + 3)ex , hallar ^
=> y' = (x2 - 2x + 3)'ex + (x2 - 2x + 3)[ex]'
= (2x - 2 )ex + (x2 - 2x + 3)ex = ex (x2 +1)
3. Sea y = (x + l)Ln2(x + l) , hallar ^
=> ■g = (x + l)'L n2(x + l) + (x + l)[Ln2 (x + l)]'
= 1 • Ln2 (x +1) + (x +1) [ 2Ln (x +1)] [ Ln (x +1)]'
= Ln2(x + l) + 2(x + l)[Ln(x + l ) ] [ 7 i _ ] = Ln(x + l)[l
4. Sea y = x ex (eos x + senx)
=> ^ = (xex )'(cosx + senx) + xex (cosx + senx)'
= ( 1 * ex + x ex) (eos x + sen x) + x ex (-sen x + eos x)
= ex (eos x + senx) + x ex (eos x + senx - senx + eos x)
= ex (eos x + sen x) + 2 x ex eos x = ex (eos x + sen x + 2
, 2
5. Sea y - A e x sen (wx + a)
=> = A{(e~k x )'sen (wx + a) + e~k x [sen(iux + a )] '}
6, ■■
LA DERIVADA
t' = axxaLna-t-ax+1xa_1 ==axxa-1(xLna + a)
8 . y = eax (a sen x - eos x)
=> ^ = (eax )'(asenx-cosx) + eax (asenx-cosx)'
= a eax (a sen x - eos x) + eax (a eos x + sen x )
= aax (a2 sen x - a eos x + a eos x + sen x)
= e ax (a2 senx + senx) = [eax senx](a2 + 1 ) = (a2 + 1 ) eax senx
9. y = ex (sen 3x - 3 eos 3x)
=> -~- = [ex ]'(sen3x-3cos3x) + ex (sen3x-3cos3x)'
= ex (sen3x - 3cos3x) + ex (3cos3x + 9sen3x)
= ex (sen3x - 3cos3x + 3cos3x + 9sen3x)
= ex (10sen3x) = 10ex sen3x.
1 0 . y |=3x3 -arcsenx + (x2 + 2 ) y ] l - x 2 
y' — 9x2 • esc senx
y 9
1 1 . y f= e sen x • eos x
o
y ' - e senx eos x (l + ctgx - 3tgx)
1 2 . y==x e1_cosx
y' = e1- cosx (i + xsenx)
i o 2 213. y = sen x*senx
9 9y’ = 2 senx(xsenxcosx + cosx*senx )
^ 2 > Moisés Lázaro C.
14. y = e2 x + 3 ( x2 - x + ̂
y' = 2 x 2 e2 x + 3
| 9 | y | = “Ia derivada de un cociente es igual: denominador al
' ' v cuadrado; denominador por derivada del numerador,
menos el numerador por derivada del denominador” .
Ejemplos:
1 l - X + X 2
1• y = , ........2
, _ (l + x + x2 ) ( l - x + x2 )’ - ( l - x + x2 )(l + x + x2 ) 
y ” (l + x + x2 )2
(l + x + x2 ) ( 0 - l + 2 x ) - - ( l - x + x2 )(0 + l + 2x) 
(1 + x + x2 )2
(1 + x + x2 )2
2 (x 2 - l )
y ~ \ 2
y =
{l + x + x * ) ¿
3x2 + 4x + 4 -x ( x + 2)
x2 + x + l (x2 + x + l ) 2
o 4>/3 , 2^2 (3 x - 2 )3. y = j = =4> y =■ v ;
9 x f i^ ~ x y 9 x 2 ( 1 - x ) J \ T x
A x + 2x + 7x - 3
4 - y = n -------
dy _ 2x2 (3x2 + 4x + 7 ) - ( x 3 + 2x2 + 7 x -3 ) ( 4 x ) 
d x d v 4
4x4
2x4 - 1 4 x 2 + 12x _ x 3 - 7 x + 6 
4x 4 ~~ 2x3
, _ (x -1 ) (x - 2)(x + 3)
2 x3y
5 , Lnx , x2 -y = x + — , y = -----
LA DERIVADA <73>
6. y: 16
x ( 4 - x )
_ 1 6 (3x - 4 )
2 ' ’ y x2 ( 4 - x 2 )2
7- y = w f =^/x2 - 4
, ^ /x2 - 4 ( l ) - x i ( x 2 - 4 ) - 2 /3 (2x) 3 (x 2 _3 (x2 - 4 ) - 2x2 _ x3 -1 2
8. y =
V (x 2 - 2 ) 2
1 + x - arctgx 
J l + x2
^/(x3 - 4 )2 3 37 (x2 - 4 ) 2
J 1 + x2 I 0 + 1 -ardgx+ x — I - (1 + x • arctg x) í — ,2 * 1
l 1 + * 2 J l 2^1+7 1
V = ------------------------------- :— 2-----------------— ------- ¿1 + x2
(1 + x ) í arctgx + — — - ) - x (l + x ■ arctg x)
l 1 + x 2
(1 + x2 1 + X
arctgx 
(1 + x2 )3/ 2
9. y =
/ / • arcsen ju t \ 
? "2■Jl-M
+ -i-Ln(l - / / ) , // = e~
=> y
, 1 - fj2 (fi- arcsen / + - ( / / • arcsen //) ( \/l - 7 ) j
1 - /
-2mm'
1 -7
Vl-u2 / / • arcsen// + // ■ - [ n • arcsen // ] -2 // * //
2 > / l - 7
1 -7 i - 7
¡X ■ yjl - 7 • arc S® 11 /j + ft- ¿i' + are. sen //
1 - / / 
o -X2, _ / / • are sen ¡i _ -2 x e • arc sen e 
y " (1 - 7 ) 3/2 ( i _ e -2 x2 )3/2
l - / / 2
, como /u = e => fi =
10- y =7-iiT - 7 - i T ,arctSA . A = aX
1 + // 1 + //
- 2 X6 ^
<74) Moisés Lázaro C.
(1 + fj2)̂ i' - fj(l + fi2)' 
( 1 + /42 ) 2
’ l V "
O
t
arctg ¡u - " i V ‘o_l + M _ _ 1 + ft
(arctg//)'
y
y'
y'
y ' + M2 m ’ - m {0 + 2 m m ') ( l + /72 ) ( - 2 / / ^ ' ) - ( l - ^ 2 ) ( 2 ^ / 7 ' )
( 1 + / ) ( 1 + /72 )2
arctg ju - k J £\ + n2
i Jí.:..E ̂arctg //, como : n = ax => jj/ = a* Ln a
( 1+ /0 '
4 axax Ln a 
( 1 + a2 x )2
, x 4 a2x Ln a , x arctg a = - — ^ arctg a
(1 + 0 )
1 +/^
11. y = sen2 x , cos2 x1 + ctg x 1 + tg x
V
y'
(1 + ctg x) (sen2 x)' - sen2 x (1 + ctg x)' (1 + tg x) (cos2 x ) '- cos2 x (1 + tgx)'
(1 + tg x)
(1 + ctg x) 2 sen x eos x - sen2 x (-csc2 x) ^ (1 + tg x) (~2cosx senx) - eos2 x (sec2 x) 
(1 + ctgx)2 (1 + tg x )2
2senx cosx + - . 2senx cosx + (senx . esex)2 -2cosx senx - senx . 2cosx senx - 1sen x , eos x
( l + cos_x\ 
\ sen x /
sen x \ á 
cosx /
sen 2x + 2 eos x + 1 - sen 2x - 2 sen x - 1
(sen x + eos x) (eos x + sen x)
9 9 9 9 9 9 9 9sen xsen2x + 2sen xcos x + sen x -c o s xse n 2 x -2 se n x eos x - eos x 
(sen x + eos x )2
, _ (sen2x - cos2 x) (sen2x + 1) _
^ l + sen2x *
1 0 | ^ ( l o g a//) = ^ - lo g Qe
Ejemplos:
l . y = iog3 (x 2 - l )
(x2 - i y=> y ' = ^ Llog3 e = -|^Tlog3 e =-|^Tí;Í 3 , pues Ln3 e = ¿ j
2. Sea y = 2Lnx , hallar^
LA DERIVADA <75>
Tomar: Log2 y = -¡j^ Log2 2 , Log2 2 = 1 , Log2 y =
u' i Ln x • 1 - x • —Derivar: — log2 e = -------^ “
¿ lo g 2e = l£l£zi
V a2 Ln2 X
y' i _ Ln x - 1 
y Ln 2 Ln2 x
=> y' = y Ln2 Lnx - 1o
X
= 2Lnx Ln2 Lnx - 1
Ln x Ln2 x
3.
4.
Si y = x 2 log3 x
=> y' = 2 x • log3 x + x 2 • ^ log2 e = 2 x • log3 x + - ^ 3
x - l
1°92 e = rk?
Si y
y' =
log2 x
, log2 x ( l -Q } - ( x - l ) -L l o g 2 e
(i°g2x) 
Ln 2 (x Lnx - x + l) 
Ln2 x
, donde
Ln2 
1 Lnx
1oS2 * = IT2
5. y = x -L n (2 e x + 1 W e 2x +4ex +1)
2ex + 0 + 2 e Z x + 4 e x + 0, ̂ ( 2 ex + l + yje2x +4ex + 1 )
2 ex + 1 + yje2x + 4ex + 1 2 ex + l + y/e2x +4ex + 1
2 -J e + 4e +1
y' = i-
2ex y¡ e2x + 4e x +1 + e2x + 2ex _2ex4~ + \T + e2x + 4ex +1 - 2ex - e2x - 2ex
( 2ex +1 + yje2x + 4ex + 1) -\¡e2x + 4ex +1 ( 2ex +1 + y] e 2x + 4ex + 1 ) yje2x + 4e2x
2ex +1 + y]e2x + 4ex +1
+ 1
( 2ex +1 + y¡e2x + 4ex + 1 ) yje2x + 4ex +1 y¡e2x + 4ex + 1
1. * y =¡ Ln(x + >/a2 -kx2 )
x + JcP+x2 T T p T J (x + ĵa2 +x2 )Ja2 + x2
Moisés Lázaro C.
= l n - ■Jh = Ln(x + -\/l-x 2 )-L n x
, M E Z I i -
- c 7 y x X - y / l - X 2 ( x + ^ / l - X 2 )
_ 2x _ _
X2 2
2jx*l 1 i + <j1+- j
1 + a/ i + x 2
_ X | 1 * 2 + * _ V x 2 + 1
^ / x 2 +1 i [ l + ^/l + X2 ]^ / x2 + 1 ^/x2 +1 x x - / ?
= Ln (ex eos x + e x sen x)
dy _ (ex • cosx + e~x • senx)' 
dx e cosx + e senx
_ ex • cosx+ ex (-senx)+ ( -e _x ) senx+ e-x - cosx _ ex (cosx - senx) + e~x (cosx - senx) 
ex • cosx + e-x senx ex cosx + e~x senx
r _ (cosx - senx) (ex + e_ x ) 
ex cosx + e_x senx
= Lntg4-ctg x • Ln(l + se n x )-x
í 9 2 .]— (ctg x )' Ln(l + sex)-ctgx ^ + senx? -1
tgf 1 + senx
X sec2 4- o
■■■*------ -(esc x) Ln(l + senx)-ctgx
t g f
0 + cosx
1 + senx
2 C°S2 | 4 r-L n (l + senx)--£2 Lx I" cosx 1 _ i
:n2 x 7 senx [_ 1 + senx J
LA DERIVADA
0 -
2
1 1 T / I \ COS X= ó ¡o /o + — Ln(l + senx) p¡ r- 12 sen x/2 eos x/2 sen x senx (1 + senx)
= - L - + - V Ln(1 + senx) - £-~ senx) ( 1 + se" x> -1senx sen x senx (1 + senx)
t _ 1 Ln(l + senx) \ i _ i _ Ln (1 + senx)
^ con v 9 con v 9
12 (senu) = u' * cosu
Ejem plos:
1. Si y = sen x => -|“ = cos x
2 . Si y = sen3x => ^ = (3x)' cos3x = 3 *cos3x
3. Si y = fs e n (4 x -3 ) => ^ = § (4 x -3 ) 'c o s (4 x -3 )
= -| • 4 cos(4x -3 ) = 10 • co s (4 x -3 )
4. Si y = sen3x + sen— -3 (1 + sen2 x )4
dy
dx (3x)' cos3x + ( ^ ) cos^ -12 (1 + sen2 x )3 (1 + sen2 x ) ’
= 3cos3x --^-cos—- 1 2 sen2 x ( 1 + sen2 x )3
x 2 X
Si y = Ln4 senx + sen(2x ) + sen(ex2+3x_2)
=> J j = 4Ln3senx[Lnsenx]' + (2X )'cos(2x ) + (ex2 + 3x~2)'cos(ex2+3x~2) 
= 4Ln3senxj^-^ii. J + 2X Ln2-cos2x +(2x + 3)e^ -eos¡i 
. = 4cotgxLn3senx + 2x Ln2cos2x +(2x + 3)eA - eos//
f i -x +3x-2.
6. Si y = 3senx + 101 ~sen4 3x
<78> Moisés Lázaro C.
= 3sen x (senx)' Ln3 + 101 - 561,4 3x (1 - sen4 3x )' Ln 10
= 3sen x eos x Ln 3 + 101 “ sen 3x (-4 sen3 3 x ) (3 eos 3 x ) Ln 10 
= 3sen x eos x Ln 3 + 101 - 361,4 3x (-12 eos 3x sen3 3x • Ln 10)
13 _d_d x ':(cos//) = -// '-sen //
Solución:
11 — nr\c v —\ 
d x1. Si y = cosx => -ĵ - = -senx
2. Si y = cosf => |£ = [ f ] ( - s e n f ) = - ± s e n f
3. Si y = 3L ncosf-5(3-2cos23x)3
ÍJL = 3 Í ^ | 1 -1 5 (3 -2 c o s 3 3x)2 (3 -2 co s 2 3x)'
S f j f c -15(3-2cos23x)2 (0 -2 • 2cos3x(-3sen3^B 
» - t g f - 90sen2x(3 - 2cos2 3x)2
4 o- 2sen2 x iSi y = ------------------------- r* c o s 2 x c o s ( x - c o s x )
= > d y _ ( c o s 2 x ) ( 4 s e n x c o s x ) - 2 s e n 2 x ( - 2 s e n 2 x ) | [ eos (x - c o s x ) ] [0 ] - 1 . [ x - c o s x ] [ - s e n u ] 
d x ( c o s 2 x )2 eos2 ( x - c o s x )
_ 2 se n 2 x , (1 + s e n x ) s e n ( x - c o s x ) 
eos2 2 x eos2 (x - c o s x )
C sen 3 x h a l la r d ±y — 2 > ñauar ,
2 sen x . c o s x a x
Solución: Antes de derivar reemplazar sen3x = sen x(2eos 2x +1)
2 senx • cosx = sen2 x
_ sen x (2 c o s 2 x + 1 ) _ 2 c o s 2 x + l 
s e n x .s e n 2 x — se n 2 x
LA DERIVADA , ^ ,
f - 4 - 4 eos2 x + 2 - 2 - 4 eos2 x
dy _ (sen2x)(2cos2x +1)' - (2cos2x + 1 ) (sen2x)' _ (sen2x) (~4sen2x)- (2cos2x +1) (2cos2x) 
dx sen2 2x sen2 2x
-4 sen2 2x - 4 eos2 2x - 2cos2x -4 (sen2 2x + eos2 2x) - 2(2cos2 x - 1 ) 
sen2 2x sen2 2x
- 4 - 4 eos2
y =
sen~ ¿x sen- ¿x
6 . y = cos2 x + cosx-^-cos3 x
=> = 2 cosx(-sen x)-senx--^ - • 3cos2 x (-sen x)
p
= -sen 2 x -s e n x + senx -eos x
O -t O -I o
7. y = eos 4 x --^ co s (5 x )-^-cosx
^ = 3cos2 4 x ( -4 s e n 4 x ) -—j(-10xsen (5x 2 ) ) - - - ( - 2xsenx2 ¡dy =
-12sen4x cosz 4x + |-sen(5xz ) + ̂ senx2
/ (* ) = --------- T-+ ----V ~ + Q 1 o =x(l-3cO SX ) 2 4- t t COS 3 x + -4- eos 1 3x
6(1 - 3cosx) 3cos x 3cos3x 6 V 7 3 3
/ '(x ) = -| [l-3cosx ] 3 [3senx]--|cos 4 x [ - s e n x ] e o s 2 3x[-3sen3x]
/ ' ( x ) = senx + j « ¡ ^ + J g i3 x _
(l-3 c o s x ) eos x eos 3x
14 ^L(tgu) = u'-sec2 u 
Ejemplos:
Moisés Lázaro C.
= sec3 ■# +
tgx^l + tg2
5 1 2 n ~2 r~4eos x y i + tg x + tg x
y = Ln tg ^ - eos x • Ln tg x
dx
dy
[ * i l
t g f
= Íffffjf 
‘g f
-[cosx]'[L n tgx ]-[cosx ] [Lntgx]'
[-sen x] [Lntgx] - [ eosx] [ .= senx • Ln tg x
3 senx + | [L n (l + t g f ) - L n ( l - t g f ) ]
- 1
dx 4
+ 1
eos4 x . eos x-senx (4 eos3 x ) ( - sen x )
eos x . cosx - senx (2cosx) (-senx)
1 sec2—2 2
1 + tg f
_I sec2̂ 2 2
l-tg f = sec5 x
15 dx (ctg//) = -ju'.csc ju
Ejemplos:
- - e s e 2 Xdx1. y = ctgx =
2. Si: y = -|ctg(3x-2) f = - § - 3 . c s c 2 (3 x -2 )
- csc2 (3 x -2 )
y = 3 -ctg (3x + 5) + ctg^/l + x2 
^ = 3[-(3x + 5)']csc2(3x + 5 ) - (^ 1 + x2 )'csc2 (^/1 + x2 )
= 3[-3 ]csc 2 (3x + 5 ) - - j ( l + x2 )_2 /3 (2x)csc2 ^ /l + x 2
= -9csc (3x + 5)-
3'
2x
3^/(1 + x2 )2
r ese2 33V l + x 2
LA DERIVADA
4. y =-|-ctg4 2x-L nctg(2x) + 3ctge 1 3x
=>% = i .4 c t g 3 2 x [-2 csc 2 2 x ] - - ¿ ¿ {2 *)X) + 3 [eu] '[ -esc2 n ] , /u = el ~Zx 
= - 2 ctg3 2x • esc2 2x + 2 sec 2x • esc 2x + 9el ~ 3x esc2 (e1 ~ 3x)
1 6 (sec ju) = ju'-sec ju-tg ju
Ejemplos:
1 . y = sec x = > ^ = sec x . tg x
2 .
3.
y = sec2x -3sec|- + -^sec3 5x
^ ck = (2x)sec2x • tg2x - 3^ -• J sec-| • tg-| + -i-.3sec2 5x • [sec5x] ' 
= 2sec2x • tg 2 x -3 •-i-secj * tg-j + sec2 5x [5 x f sec5x • tg5x 
= 2sec2x • tg2x-sec-| • tg-| + 5sec3 5x • tg5x
y = -|sec3<9--|sec2 (l-<95 )
r
^ = | [36] 'sec36.tq36 - §.2sec (1 -^ 5 )|~ ( l - ^ 5 )~
= 3 sec 3 6 ^ 3 0 --|-sec ( l - 6 5 ) ^ ( l - 6 5 ) sec (1 - 65 )tg (1 - é?5 )
= b.sec36.tq36-^sec (1 - 65 )|̂ - 5#4.sec (1 - <95 ).tg (1 - 65 ) J 
= 5. sec 36. tg 36 + 404 sec2 (1 - 65 ). tg (1 - 65 )
y = 2secx2 ~2sec2x+2$ec2|*
=> ̂ - 2 (x2) secx2.tgx2 - 2 (2x)'sec2x .tg2x + 2.2sec|- £ sec-| J
= 4xsecx2.tgx2 -4sec2x.tg2x + 4secf ( f ) s e c f .t g f
= 4x.secx2.tgx2 -4sec2x.tg2x + 2sec2|--tg-|
. g2 4 Moisés Lázaro C.
17 £ (esc //) = -//'• ese n . ctg ju
Ejemplos:
1. y = esex => ^ = -esex . ctgx
2. y = -J-csc3x-|-csc5-|
=> |[-{3x)'csc3x•ctg3x]--|.5csc4|-[csc-|J
= - [ - 3 ese 3x • ctg 3x 1 - 3 ese41- £ - -̂ csc • ctg|- J 
= 2csc3x. ctg3x + csc5-| • ctg|--
3. y = 1 e~2x csc2x
=> ^ = j [(e~2x)' . csc2 x + e~2x (csc2 x)']
= ^ -[ - 2 e_2x .csc 2 x + e~2x ( - 2 csc2 x . ctg2 x)]
= - e _2x . csc2 x [l + ctg2 x]
9y = 2 x . ese4 - 5 ese ̂
# = 2 dx
= 2
(x2 )'-csc|- + x 2 (csc^ j - 5 [ - ( ' f ) escctg-|- 
2 x.csc-| + x 2 ( -4-csc|-ctg|-)J + 5[-g-csc-|ctg|
= 4x • csc-^ --g-x2 csc^- • ctg-|- + csc-|- • ctg-| 
18 -4- (aresen//) =
Ejemplos:
1 . y = arcsenx => ^ = — L=
*
2. y = x • arcsen(Lnx)
LA DERIVADA
< § >
& = (x)' • arcsen (Lnx) + x • [ arcsen (Lnx)]
l
= 1 • arcsen (Lnx) + x •
^ 1 - Ln2x
= arcsen (Lnx) +
Vi
3. y = a • arcsen(ax) => !¿~ = a ' (ax)' (ax)' = a
Vi -a'2 J¿
y = 2 • arcsen^2. - ̂ 2 + 4x-
ÉL- 9.
dx
x - 2
V* [2 + 4 x - x 2 ] '
M 2 2 - ¡ 2 + 4 x -
r* 1
i
4 - 2 x
VeT(x- 2 ) 2y¡2 + 4 x - 
2 -x
■¡2 + 4 x - x 2 J 2 + 4 X - X 2 V 2 + 4 x - x 2
19
1.
2 .
^ (árceos//);
V^
// = are cos x => -
y = / / 2 Ln2 / / -L n // + -|- J , // = árceos x 
=> ^ = (//2 )'^Ln2 / / -L n // + -|- J + / / 2 Ln2 / / - L n / /+-i■ 
=2//.//'|^Ln2 //-L n //+ -i-J + / / 2 2 L n //(L n //) .A//
= 2 j u . / i ' Ln f i - 2 j u j u ' Ln/ / + / / . / / ' + 2 / / . / / 'L n / / - / / . > 
= 2 . / / . / / ' Ln2// = — , - - arecosx • Ln2arccosx ,
l - x ¿
// = are cos x
Moisés Lázaro C.
3. y = are eos:
ÉL = .
dx
x2n- l
x*n + 1
(x 2n +l)(2nX2n- 1 ) - ( x 2n - l) (2 nX 2n~1 )
(x2n +1)2
1 -
.2n - 1
x 2n +1)2 - ( x 2n - l ) 2
v2n+ 1
-4n x',2n-l
(x2n+l)V4x2"
2nxn_1
x2n+ l
20 (arctg//) = 7 ^ 2
1 + ̂
Si y = arctg x dy _ 1dx l + x2
1 + x y = arct3
1 — x
dy ___
dx ^ 3
x^/3 ( 1 - x2 )>/ 3 - x >/ 3 ( - 2 x )
1 1 - x 2 1 ( 1 - x 2 )2
1 + <4% r*
(í-x^r + 3x¿
a/ 3 - a/ 3 x 2 + 2 / 3 x2 _ / 3 ( l + x2 ) _ 1 + x:
/ 3 1 - 2x2 + x4 + 3x2
y = -| are tg x + 4 are tg
^ 3 ( l + xz + x 4 ) l + x2 + x 4
<fr_ 2 W + .l.
, 3 - j
~, X MM
1-.X2 .
(1 - x 2 ) ( l ) -x {~ 2 x ) 
( 1 -x 2)2 *. l + x4*
, 1
m
3 i + x2 3 ( l - x2 )2 -hx2 /' ■ X + x6
(1-x2 }2
arctg ( e™ ^ )
LA DERIVADA
< s >
ÉL = —
dx m [̂ab
v? r ^ mjci
l + ( e ^ ) 2
m ' f b e mx
i yfab b + ae b + ae 2 m x
1.
2 . 
8 .
y = arcctg x =>
y = arcctg (2 x) 
y = arcctg
d£
dx
(2x)' 
l + (2x )2 l + 4x2
X
1+7
¿y .
dx
i n ^ i 2 r i -x ir 
2 L 1 + x J L1 + XJ _
1 + 1 +
1 — x
1 + x
1r i-x]“2 ( l + x ) ( - l ) - ( l - x ) ( l )2 L1+x J (1 + x )2 _ 1
( l + x ) + ( l - x) 
1 + x 2 1 - x
4. y = x 3 • arcctgx3
= (x3 )' • arcctgx3 + x 3 (arcctgx3)'
= 3x2 • are ctg x 3 + x 3 j - - 2 x 2 6 j = 3x2arc ctg x3 _ 3x
l + x b
- ¿ (a r c s e c /r ) = - X —
//>/// - 1
y = are sec x => 
y = are sec ( l - 2 x)
dy _ 1
*
dy
dx
( l - 2 x)'
( 1 - 2 x ) V ( 1 - 2 x )2 - 1
 -2
( 1 - 2 x ) a/ ( 1 - 2 x )2 - 1
i 3 x - 1y = -|arc sec—2—
s 2̂. - 1 .
dx 2
_ l ___ 3
3 x - 1 j2 _ l (3 x _1 ) y¡9x2 - 6 x - 3
Moisés Lázaro C.
23 -^(árcese//) = ------ -
1 .
2 .
y = are ese x ÉL - .dx x J x z - l
y = are ese(3 - 5x) => = ■ (3 - 5x)'
dy
dx
-5
(3-5*)V(3-5x)2-1 
5_____________
(3 - 5x) i/(3 - 5x)2- l (3-5x)>/25x2-30x + í
1 / 2 - 3x \
y = _ i arccS(H _ _ J
dy = _ 1
dx 6 ( 2 - 3 x \ i 2 - 3 x ) | 2 ~ 3 x j j l ^ 2 - 3 x j 2 ~ ( 3 x -2 ) ^ 9 x 2 -1 2 x
EJERCICIOS
( l ) /(x) = x(arcsenx)2 - 2 x + 2 > / l - x 2 -aresenx
=> i = 1 • (aresenx)2 + x • 2 (aresenx) (arcsenx) ' - 2
+ 2 [(V l-x 2V * aresenx+ >/ 1 - x 2 • (aresenx)']
= (aresen x )2 + 2 x (aresen x ’ r 1 i - 2 + 2
_ .
-2 x .aresenx +
2 d l - x ‘
V T - x 2
^ / l + X - y ] l ~ X 
y/l + X + ^ l - X
‘ - 2 - 2 x(aresenx) , 1 - + 2 = (aresenx)2
2arcts / r
L -x
L+x® /(x) = Ln
= Ln[-\/l + x - V l - x ] - L n [ V l + x + Vi - x ] + 2arctg^ y^
LA DERIVADA <87>
2 ^ 1 + x 2 ^ 1 - x 2<J l + x 2 < J l - x ( 0 
i—- — i i i r ^
y j l + X - ^ l - X y l + X + y ¡ l - X a / 1 - X 2 x > / 1 - X 2 ^ 1 - x 2
= T = ^ = r i + ii= -7= iV r ? Lx J V̂I
1 + x
X
i ÍJIk
x y 1 - x
® / w = K X + X + 1
x - x + 1 2 V 3 (arctgT T +arctg7 r
= 4-[Ln(x2 + x + l ) -L n (x 2 - x + l)] + 2^3 arctg 2 xfí . 1 + arctg 2x 1
f t = l
d x 4
- 1 
” 4
( x 2 + x + l ) ’ <x2 - x + i r " + — 2— {
2 x + i y
^ J , (■
2 x - l V
V 3 J
x 2 + X + 1 x 2 - X + 1 2 4 1
1 +
" 2 x + 1
. V 3 .
l 2
] 1 +
" 2 x - l " 
. ^ .
2
2x +1 2x - 1
2^3
2 2
3 + ( 2 x + l )2 3 + ( 2 x - l )2
3 3
- 2 x 2 + 2
( x 2 + X + 1) ( x 2 - X + 1) + 4 ( x 2 + X + 1) (x2 - X + 1) X4 + X2 + 1
[7.1. EJERCICIOS DIVERSOS
Para los siguientes ejercicios, hallar = y' sabiendo que y = / ( x ) .
® y = | | ; a, fa, c son constantes.
Solución:
V -3 ( 2 ± !> ) ( - ¿ i ) '
_ - 3 ( ^ ) ! { í ( « + 1» ' )
Moisés Lázaro C.
y = 56 (2x - 1)7 24 (2x - 1)6 4 0 ( 2 x - l ) 5
Solución:
Antes de derivar, podemos expresar la función en términos de una potencia negativa: 
y = ^ ( 2 x - l ) - 7 - ^ ( 2 x - l ) - 6 - i í (2 x - i r 5
Derivando:
' - _ 3 _y = 4 6 ' - 7 ) ( 2 x - i r 8 ( 2 ) - ^ ( - 6 ) ( 2 x - i r 7 ( 2 ) - i ( - 5 ) ( 2 x - i r 6 (2)
y' = - l -+ ± — ^
24
+ 4-— L
4 ( 2 x - 1 ) 8 2 ( 2 x - 1 ) 7 4 ( 2 x - 1 ) 6
u' = l l__
V 4 (2x -1)®
n' = l 1__
4 ( 2 x - 1 ) 6
( 2 x - l ) 2 ( 2 x - l )
+ 1
- 3 + 2 (2x -1 ) + (2x -1 ) 
( 2 x - l ) 2
' L
1
y' =-±-— A—ó-[-3 + 4x - 2 + 4 x - 4 x + l]
4 (2 x-l)
V'=i (2 x -l) ■ (4x - 4 )
y 4(2x1-l)^ ^ X ^
(2x - 1 )
3 1 Ly = —
6 ( 1 - Scosx)̂
Expresando en términos de potencia negativa: 
Derivando:
y = - i ( l - 3 c o s x ) 2
= - ¿ ( - 2 ) ( l - 3 c o s x ) ‘ 3 ( l -3 c o s x ) ' 
y' = -| (l-3 c o s x r 3 ( 0 -3 (-sen x))
V - 6
V - l l
\¡f — senx 
(l-3c o sx )3
LA DERIVADA
( J ) y = ln2 x-ln(lnx)
S olu ción :
y' = 2 1 n x ( l n x ) ' - ^ f
v- = (2 l n x ) ( i ) - ¿
y In x — }—y x xlnx
, _ 21n2 x - 1 
^ xlnx
y = ln(ex + 5senx-4itrcsenx)
S olu ción :
, _ (ex + 5senx - 4arcsenx)' 
ex + Ssenx - 4 aresenx
ex + 5cosx - 4 ^ -
y . ---------------- £ 2
ex+ 5senx - 4arcsenx
(ex+5cosx) ^1 - x 2 - 4 
(ex + Ssenx - 4arcsenx) y l - x2
, (ex + 5cosx) J l - x 2 - 4
y = W T ? -------
( iT ) y = j \ n x + 1 + ln (V x + 1 ) 
So lu ción :
, ílnx + lV U Í x + 1 Y
y =-
y = 
y' =
2 y¡\nx + 1 + V ^ + i
i + 0
X
^ = + 0 
i 2
2y]\nx + l
1
- + 1
2x yj lnx + 1 2 4 x { y [ x + l )
® y = j g mcsen( x J%)
Moisés Lázaro C.
_ 1 2 | 1 2 2 — + — L
3 2 + x 2 6 x 2 - 1 3 (2 + x 2 ) 3 ( x 2 - 1 )
_ 2 ( x 2 - 1 ) + 2 + x 2 _ 2 x 2 - 2 + 2 + x 2 
3 (2 + x 2 ) ( x 2 - 1 ) " 3 ( 2 + x 2 ) (x2 + 1 )
3 x
3 ( 2 + x 2 ) ( x 2 + 1 ) (2 + x 2 ) ( x 2 + 1 )
x 4 + x 2 - 2
1 - Vs
2 arctg V!senx
Solución: Aplicar la propiedad ln- ̂= lnA -lnB
Así: f(x) = Ln(l + yjsenx) — ln( 1 — yjsenx) + 2 arctg Vsenx
f y(x) - (l + ^ senx)' ( 1 - Vsenx) ̂ 2 r (Vsenx )f
1 + V senx
0 + (senx ) ' 0 -
1 + Vsenx
cosx
1 - V senx
( s enx ) '
‘ ' - + 2 ■
1 + (Vsenx )2
1 - Vsenx
cosx
(s en x) '
2 y jsenx
1 + senx
2yfseñx ^ 2 y jsenx ^ 2 Vsenx
1 + Vsenx 1 - Vsenx 1 + senx
cosx cosx________ ( __________________
2 Vsenx (1 + Vsenx) 2Vsenx ( 1 - Vsenx) Vsenx (1 + senx)
_ cosx I (1 - yfsenx) (1 + senx) + (1 + Vsenx) (1 + senx) + 2(1 + Vsenx) (1 - Vsenx) 
2 yfsenx [_ (1 + Vsenx) (1 - Vsenx) (1 + senx)
2 /̂s
1 + senx - senx -yjsenx - yjsenx + 1 + senx + yjsenx + sen yj senx + 2 - 2senx 
(1 - senx)(l + senx)
/ '(X ) =
1 - sen2 x
1 = 4 eos
J 2 yj senxsenx eos x / senx cosx
© / W = l lní í r i ] + i l j l (7 T T )+ i arcts^
LA DERIVADA
Solución:
/(x ) = | [ l n ( x 2 + l ) - l n ( x 2 - l ) ] + ¿ [ l n ( x - l ) - l n ( x + l ) ] +
+ i r _ i_____
4 [_ x - 1 x + l j + 2 1 + x2 
1
2x 2x
f(x ) = l
/ ' ( X ) = |
/'(x) = t
2x (x2 - l ) -2 x (x2 + l)
(x2 + l )(x 2 - 
2x3 - 2 x - 2 x 3 -
1)
2x
(x2 + l ) (x 2 -1 )
-4 x
+ 1-
r x +1 - x +1 i 
( x - l ) ( x + l)
2
(x2 + l) (x 2 - l )
( x - l ) ( x + l) 
 1 ____
+ i - L
2 l + x2
2 í, 2
/ ' ( X ) =
-3 x (2) + x2 +1 + x2 - 1 
2 (x 2 + l ) (x 2 -1 )
2x - 6 x 2x (x - 3) _ x (x - 3) 
2 (x2 + 1 ) (x2 -1 ) ~ 2 ( x 4 - 1 ) ~ x4 - l
/(x) = ^ln(l+ x )-^ ln (x 2 - x + l) + -j= arctg 2x - 1
Solución:
/'(x) = i (i + xy i (x2 - x + iy
2 x - 1
V3
2 l + x x — X + 1
2
V3
2 l + x 6 x 2 _ x + 1 J 3 (2 x - 1)2 
1 3
+ _1___2 3
^[3 3 + (2x - 1)2
3 + ( 2 x - i r
3 + 4 x2 - 4x +1
4 (x - x +1)
= 2x.,~1- + 1 ____
2 1 + x 6 x 2 - x + l 2 (x 2 - x +1)
/'(x) = 
/'(x) =
3 (x - x +1) - (2 x -1 ) (x +1) + 3 (1 + x)
6 ( l + x )(x2 - x + 1)
3x2 - 3x + 3 - 2 x 2- 2 x + x + 1 + 3 + 3x x2 - x + 1
6 (x + l)(x 2- x + l) 6(x3 -1 )
rol
*—
1
< s >
Moisés Lázaro C.
[15] /(X) = ü ^ + l l n ( l - x 21
Solución:
r-> /•/ \ xaresenx , i i /1 2\Pero: f(x) = —,---- =- + £ ln ( l - x )
yl — x
Derivando:
/•// v y l - x 2 [xarcsenx]' -xarcsenx J l - x 2
/ (x) = - -------------------------------- U!-------
( ^ )
1 ( 1 - x 2
2 i _ x 2
VTP
r+ aresenx
l -x ¿
x + v 1 - x arcsen x + -
l - x ¿ l - x ¿
_ x yjl - x2 + (1 - x2 ) aresenx + x2arcsenx 
( 1 - X 2 ) y ] l - X 2 l - x ¿
_ X y j l - )
( l - x 2 ) V l - x 2 l~x¿
cJT- x + aresenx
/ '( X ) =
(1 — x2 ) ^1 — x2 1 - x 2 
: *Jl - x2 + aresenx - x -Jl - x2
( 1 - x 2 ) / l - x z ( l - x 2 ) J l - x 2
/{x) = -|-y/x2 - a2 - -¿ ln (x +Vx 2 - a 2 ;
1 - 2 x
Solución:
LA DERIVADA
1 + n 2y¡ x - a
2 J 7 7 7 2
v-2
( ^ « 1
¿ v 2 I 2 2 ' I *>
y¡ x2 - a2 ( x + y j x 2 - a2 )
- — i + — J x 2 - a2 - . 1
2 y [ J ^ 2V 2 Jx2^
f'(x) = *2+J? - a2- a* = 2 x ,2 ~ 2 q 2 = ^ 2- q2) = y¡x2 - a 2
2 y j x 2 - a2 J 2 yj x 2 - a2 2 yj x 2 - a2
@ f{x) = ln
y x2 + a2 - x
Solución: Antes de derivar, aplicar la propiedad ln-g- = ln A - lnB.
'ero: /(x) = ln(a/x2 + a2 + x )-ln (V x 2 +a2 - x )
Derivando: /'(x) = í f Z l ü i _ í ¿ ^ - x )
2x
r + 1
2x
2yj x2 + a2 
i /x 2 +a2 +x
2 yfxZ+a*
■ 1
y] X 2 + a2 - x
x+
7 ¡ x 2 + a2
x - yj x 2 + a2 
yjx2 + a2
y j x 2 + a2 + X
( x + x2 + a2 ) ( x2 + a2 - x )
^ 7 7 ( y [ ^ 7 ^ + x ) y [ ^ 7 7 ( y [ 7 7 ^ - x )
/'(* ) = - n ¿
@ / <JC) = ? ln ( - a2 ) + * - i n ( ^ )
Moisés Lázaro C.
Solución:
Pero: f(x) = Jj\n{x2 - a 2 ) + j ¿ [ ln ( x -a ) - ln (x + a) ]
Derivando:
r f / _ m (x2 -a 2)- 4 » r < * - ? r <* + aH 
dx 2 x2 _ a2 2a (_ x - a x + a J
V2 _„2 + 2 o
£ x - a x + a J
r x + a ~ x + a
[ (x -a){x + a) J
+ n
%ÉL — mu ) £2_ j~ y7; " " ’- t 1 = ...jm ... + o = 2EL±Ídx x2 _ a2 + 2 a [ ( * - « ) (* + «) J x2 - a :
g(x) = xsen (ln x -| -)
Solución:
~f~ = x sen( l n x - f ) + s e n ( l n x - f ) ] [ x ]
= x cos ^ ln x --j j J |^lnx-^J + sen (ln x--| j 
= x[^cos(lnx--|-)J J + sen ^ ln x -^ )
= eos ( lnx - -|) + sen ( lnx - )
= eos ln x eos + sen ln x sen ^ + sen ln x eos ^ - eos ln x sen ^ 
= (eos ln x )^ + (sen ln x )^ + (sen ln x j^ - fc o s ln x )^
^“ = 2 (sen ln x )^ - = V2 sen lnx
LA DERIVADA <97>
7.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
Verificar que:
j ( 7 ) Si /(x) = (7x + 4)V49x2 +56x + 7 -91n (7x + 4 + V49x2 +56x + 7)
j entonces ^ = 14 yj(7x + 4)2 - 9
!|
| © ) Si g(x) = (x + l ) [ ( x - l ) l n ( l - x ) 2 — (x + 1 )], entonces ^ = 4xln (1 - x)
| © Si /(x) = (3 - 4x) Vl6x2 - 24x - 7 -1 6 ln(3 - 4x + Vl6x2 - 24x - 7)
entonces ^ = -8 ^ ( 4 - 3 ) 2 -16
( 4 ) Si /(x) = ( l -2 x )V 4 x 2 - 4 x + 5 + 4 1 n (l-2 x + >/4x2 - 4 x + 5)
£• = - 4 ^ / ( 1 - 2 x )2 + 4
( 5 ) Si /(x)=^4-[(l-senx)'\/sen2x-2senx+5+41n(l-senx+-\/sen2x-2senx+5)J
entonces ^ = -2 (1 -sen x )2 +4
( J ) Si /(x) = (5 -6 x )V 6 0 x -3 6 x 2 -2 1 + 4arcsen( 5~26x ) ! 
f = -1 2 ^ 4 - (5 - 6 x )2
© Si /(x) = V2x . arcsec y¡2x - 2y¡3\n{y¡2x + \¡2x z - 1 2 ) ; f = V2 arcsec-p
Moisés Lázaro C._______________________________
Si /(x) = 2xyJ 1 - 4x2 + (8 x 2 -1 ) arcsen2x ; = 16x • arcsen2x
® Si ) :
® Si / M . ^ + i „ ( í ± i p ¿ ) i 37- 5 ^ 7
® Si /(x) = - V 6 x - x 2 + 3 a r c c o s ( l-| ) ,
@ Si /(x) = e3 x(3sen2x-2cos2x) ; -^ = 26e3xsen2x
(13) Si /(x) = (l-5 x )a rcsen (l-5 x ) + V l0 x -2 5 x 2 ; = -5arcsen (l-5x)
(14) Si /(x) = (2 - V5x) arctg (2 - V5x) - ln >/5x2 -4>/5x + 5 ,
^ = - V¡5 arctg ( 2 - V5x)
@ Si /(x ) = ( 5 - 3x) arcsec(5 -3 x ) -ln (5 - 3 x + 9x2 -3 0 x + 24)
entonces ^ = -3 are sec (5 - 3 x )
© Si / ( x ) = (27x2 -6 )sen3x + ( lx -2 7 x 3 )cos3x , = 81x3 sen3x
(l7 ) Si f(x) = ln (cosec2x-cotg2x )3 -cosec2x • cotg2x(3+ 2cosec2 2x)
entonces ^ - = 16 eos ec5 2 x
LA DERIVADA
7.3. PROBLEMAS
7.3.1. NIVEL 1
Sabiendo que y = / (x ) , se pide:
a) Hallar f ’{x) b) Factorizar f'(x)
d) f ( x ) > 0 e) /'(x) < 0
4. /(x) = x2 Vi - x 2 , -1 < x < 1
5. / (x ) = X
c) Resolver /'(x) = 0
f) Grafique f(x)
Sol. / ,( x ) _ x ( 2 - 3 ^ )
V l - x 2
Sol. f ( x ) = *2+- 2
1 ( 1 3(x2 + 4 )4/3
Sol. /'(x) = 3 x (x -2 )
Sol. / '(x ) = f ( x - l ) ( 3 - x
Sol.
Sol.
Sol.
r - i , x > o
/,(xH i1 , x < 0
6 . /(x) = x 3 - 3x 2 , [-1,3]
7. / (x ) = i ( x - l ) 2 ( 4 - x )
«• =
x¿ + 4
9. /(x ) = -3x Vx + 1
10. /(x) = 4 - |x|
7.3.2 NIVEL 2
En cada uno de los siguientes problemas, elegir la respuesta correcta.
/_2 h + 2 _2 0
11. lim - — r-^ -= : ; A) 1 B) 0 C) 2 D) e2
b-> o h
1 2 . Si /(x) = |x + 3|, luego /'(x) es continua ¿para qué valores de x? 
A) x < 3 B) x > 3 C) x * 3 D) x ^ -3 E) Todo x
13. Si /(x) = LnVcos2x , /'(x) = :
n ___
yjcos2x
A) Ln Veosxsenx B) -tan2x C) V = = D) ^
E) 2e2
E) N.A
14. ¿Cuál es la tangente del ángulo en el cual la curva y = -1 2 corta al eje x? 
A) i B) C) 1 D) - 4 E) 4
______________________________ Moisés Lázaro C.
15. Si y -- e xxe , entonces ^ = ?
A) e V ( x e - 1 +l) B) exxe ( l + f ) C) exx e~1
D) xex E) x ^ x 6 ' 1
16. /(x) = cot(ísen(t)) , /'(£)= :
n o
A) (tcost + sení)csc (tsent) B) -(tsent + cosí)csc (ísení)
o o
C) -(sení + £cosí)csc (ísení) D) -(sen í-ícost)csc (ísení)
17. y = 2sen2x + sen2x . Encontrar y '.
A) 2(sen2x + cos2x) B) 4 senx cosx + 2cosx
C) 2(sen2x + cosx) D) 2(2sen2x + cos2x) E]
18. /(x) = arcsenVl - 9 x 2 . Encontrar /'(x) si x > 0
A) ~ 2 B) -j= M = C) , ^ x ■
y j l - 9x2 y ¡ l ~ 9 x 2 4 l ~ 9x
° ) 7 = ^ e )
y 1 - 9x
19. Si /(x) = e * . ¿Cuáles son iguales a /'(1) ?
t i* et - e TT i. ex + h - e TTT v ex + 1 - eI. lim , II. lim —— ¡— III. lim -------
Í -+ 1 Í _ 1 t-> 1 Í _ 1 x -> 0 x
A) I B) II C) Todas pero no I D) Todas menos II
20. Si y = eos2 x + sen2x , & = ?
A) 2senx + 2cosx B) cos2 x -s e n 2x C) sen2x
D) sen2 x -c o s 2x E) 0
21. Si: y = be c2 + X2 dy_dx
qy _ 9
A) bec2 2x B) 2 x b e x2 C) b(cz + x 2 )ec2+x¿
D) 2bxe°2+x2 E) be°2+x2
E) N.A.
N.A.
E) N A
22. Si: S = tf , encontrar 
A) s(2Lní + 1) B) 2íLnt + l C) sí(2Lnt + l) D) E) N.A.
23. ¿ ( x V V ?
A) 2xe x 2 B) C) 4x 2 ex 2
D) 3xex + x 4 ex _ 1 E) 2x3 ex + 2 xex
24. Si: /(x) = 5|2x-1| - 2|3x2 -4 | , entonces /'(-1 ) = :
A) 2 B) 0 C) 22 D) -22 E) -2
25. Si f(x) = x 2 , h(x) = f ( l + g(x)), g ’(D = 1 y h'd) = 1, luego g(l) = :
26. Si f'(x) = xf(x) para todo x e IR y / (—2) = 3 , luego /"(-2 ) = :
A) -18 B) -1 C) 1 D) 12 E) 15
27. Si / es una función finitamente diferenciable en (c ,/(c )) , luego la intersección
con el eje Y de la recta tangente al gráfico de / en (c,/(c)) es:
A) /'(c) B) f (c) -f '(c) C) / ( c ) - c f ( c )
D) c(/(c) - /'(c)) E) no necesariamente algunos de A, B, C, D
28. Una partícula se mueve a lo largo del eje X tal que para el tiempo í > 0 la
j.3 oposición de la partícula es dado por x(t) = -y + ¿ - 2 t - 2 . ¿En qué tiempo será 
la aceleración y la velocidad de la partícula el mismo?
A) i = 00 B) t = l C) t = 2 D) 2^3 E) t = 6
29. lim 2x + b + b2 = : A) 2 B) x C) d(x2) D) - f ( x 2 ) E) 1
b - > 0 b dx
30. Sea /(x) = g(h(x)) donde g y h tienen segunda derivada ¿cuál es /"(x )?
A) g"[h(x)] B) g"[h(x)]h’(x) C) g"[h(x)][h'(x)f
D) g"[h(x)W(x) + g'[h(x)]h”(x) E) g"[h(x)][h'(x)]2 + g'[h(x)]h"(x)
__________________ LA DERIVADA
Moisés Lázaro C.
31. Si la derivada de una función /(x) existe en x = a * 0 y es denotado por f'(a) , 
luego es siempre igual a:
A) lim / 2 ( x ) - / 2(a)2 2 x-»a x - a
D,
x->a ( x - a )
B) lim
x —>a
C) lim / 2( x ) - / 2 (p)
E)lim / (x)
X -* Q
32. Si /(x) =
A) x
0 , 
p(x) , 
1 ,
B) x 2
si x < 0
si 0 < x < 1
si x > 1
donde P(x) es el polinomio de grado mínimo 
tal que f(x) es diferenciable por todo x e JR, 
entonces P(x)= :
C) 2x2 - x 3 D) 2x2 - x4 E) 3x2 - 2x3
33. Si la curva y = /(x) es tangente a la recta y = 3x + 5 en el punto (1,8) y si
o
/" ( 1) = 4 entonces ¿cuál es la función cuadrática de f(x) = ax + bx + c ?
A) 4x 2 +3x + l 
D) 2x2 - x + 4
B) 4x -5 x + 12 
E) 2x 2 - x + 7
C) 4x -5 x + 9
34. Si lim + x> = £ ; entonces
h-y 0 2 h
A) L = 0
B) /'(1) necesariamente existe pero no puede ser igual a L.
C) Si / es continua en S = 1, /'(l) existe y es igual a L.
D) /'(1) no existe, pero si existe es igual a L.
E) N A
35. Si y = |x3 - x 2|, y' = ?
A) 3x 2 -2 x 
C) (3x2 - 2 x ) |X3H x 221
xá - x z
B) (3*2 -2 ^ )lfU ! 
D) |3x2 -2 x | t + i í l E) N A
c . o s
CURVAS PLANAS,
ECUACIONES
PARAMETRICAS
1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo estudiaremos las ecuaciones paramétricas de la recta, de la circunfe­
rencia, de la elipse, de la hipérbola, y otras curvas.
Pero antes, hagamos un breve repaso de las ecuaciones cartesianas.
Eje X y Eje Y; se estudian la recta, la circunferencia, la elipse, la hipérbola y otras cur­
vas donde cada una de ellas se expresan por una sola ecuación F(x,y) = 0 con dos 
variables “x” e “y” llamadas ecuaciones cartesianas o ecuaciones rectangulares.
Así tenemos:
£: Ax + By + C = 0 , es la ecuación cartesiana de la recta.
C\ x 2 +y 2 = a2 , es la ecuación cartesiana de la circunferencia de centro
p
En el plano Euclidiano R , representado geométricamente por dos ejes rectangulares:
en el origen y radio “a” .
2 y2
£\ + = 1 , es la ecuación cartesiana de la elipse de centro en el ori­
gen y semiejes “a” y “ib” .
es la ecuación cartesiana de la hipérbola de centro en el 
origen y semiejes “a” y “b”.
— 103 —
Moisés Lázaro C.
Ahora nos interesa expresar las variables “x” e “y” que son las coordenadas de un 
punto P(x,y) pertenecientes a una curva C, en términos de una sola variable “? que 
la llamaremos parámetro.
Al proceso de “convertir” las variables “x”, “y” (y /? x) en dos ecuaciones paramétricas 
se llama parametrizar.
2. PARAMETRIZACION, ECUACIONES PARAMETRICAS
1) Parametrizar la recta £ : Ax + By + C = 0 
La parametrización de la recta £, es:
í x = X n + Cli t 
£ : \ t e IR
y = y0 +a2 t
donde (x0 ,yo) es un punto cualquiera de la recta y el vector (ai,a2) se obtiene 
restando dos puntos cualesquiera de £.
(a1 ,a2) = (x1 >x2 ) - (x 0 ,y0)
I Vector dirección de la recta.
Ejemplo:
Parametrizar la recta £ : 2x - 3y - 6 = 0
Solución:
Algunos puntos de £ son:
Po Pl P2
X -3 0 6
y -4 - 2 2
El vector dirección es a = P1 - P 0 =( 3,2)
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
< §>
x = -3 + 31
a) Una parametrización de £, es: £: < t e R
y = - 4 + 2 t
f x = 0 + 6t
b) otra parametrización de £ £ es: £ i t e R
[ y = -2 + 41
Como vemos, la recta tiene una única ecuación rectangular, pero varias ecuaciones 
paramétricas.
2) Parametrizar la circunferencia C\ x2 + y2 = a2 
Solución:
Si 6 es el ángulo que se forma entre OX y OP , mo­
viéndose OP en sentido antihorario, se obtiene las 
coordenadas de P e G en términos de 0.
„ . x = a • eos 6
C\ \ 0 <0 <2n
y = a • sen#
son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia 
de radio “a” y centro en el origen.
Nota Importante:
. x = x(í)
I .as ecuaciones paramétricas t e [ayj3]
[ y - y ( 0
dan origen a dos conceptos matemáticos muy importantes que son: Función Vectorial 
y Camino.
i) La función vectorial r : [ a , /?] — R 2, definida por: r (t) = (x(í), y(t))
t — (x(t),y(t))
describe a una curva C y es la trayectoria de un proyectil o partícula.
Moisés Lázaro C.
//) La función r ( t ) = ( x ( t ) , y(t)), t e [a , 0] es un CAMINO DIRIGIDO.
a cada número real "í" e [ar,/?] corresponde el punto (x(t), y(t)) perteneciente a 
la curva 0czR2
Ejemplos:
11 | Parametrizar parte de la circunferencia: x2 + y2 = 16 que está definida sólo en el 
primer cuadrante.
Solución:
Datos: Necesitamos el radio y la variación del ángulo 0.
radio = 4
Variación del ángulo: 0 < 0 < 7t!2
Las ecuaciones paramétricas correspondientes son: 
f x = 4cosé?
y = 4 sen#
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
s Otros ejemplos relativos a la circunferencia: x 2 + y2 = a2
(0,3)
i
(0,3)
(3,0)
i
........... <*’<» x
(-3,0)
(0.-3)
"» X
y
í x = a • cosí r -i 
[ y = a • sen í L J
f x = a • eos í r í x = a • cosí
t e [ 7 r , 2n]
[ y = a • sen í
f x = a • cosí
NOTA: Si escribimos < íe [0 ,4 ;r ] , el camino es dos
[ y = a •sení
vueltas de circunferencia.
[3~| Parametrización de la parábola.
a) Parametrizar la parábola P\ y2 = 4 p x , p > 0
Solución:
Esta parábola se parametriza en función de 
“m” = pendiente de la recta tangente.
Así: Hallar = m de la ecuación y2 = 4px
ax
2y*y' = 4p 
y • y' = 2 p
\| ^ ^ ^ 4 p x
0
í v ’
< §>
Moisés Lázaro C.
y = 2̂. = ? m - t g a , a = ángulo de inclinación de la recta tangente, y' ̂0
Sustituir en: y2 =4px
■^- = 4px => x = ^m m
o
Luego, las ecuaciones paramétricas de y = 4px son:
x = -^ i„ 2x = p cotg a
P = \ m m*0 ó J a a e R 
y = 2p | y = 2p cotgnr
m : parámetro
O 1
b) Parametrizar la parábola: y = ax + b x , a < 0 , b > 0 , 0 < x < - ~ . 
Solución:
El gráfico de esta parábola es:
Esta parábola expresa la trayectoria de un 
proyectil que es lanzado desde (0,0), llega a su
máxima altura en y cae en ( - ~ , 0 )
La parametrización de esta trayectoria pa­
rabólica se obtiene hallando el cosa,
(a - ángulo de la recta tangente en (0,0)) y 
expresando la abscisa x de cada punto P(x,y) 
de la parábola como: x = (eos a)t
t = parámetro.
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Veamos:
I )erivar: y = ax + bx 
y' = 2ax + b
En x = 0 : y' = 0 + b , pero y' = tg a
tg a - b
Hacer: x = (cos a)t y reemplazar en
o
y = ax +b para obtener las ecuaciones pa- 
ramétricas:
P :
x = — -
\jb2 +1
t
0 < t < bJbz+1
y = b¿ +l■r + V¿>2+i
q 9
Caso particular: Curva trayectoria: y = x * tg 6 — — 3— x
2 yo cos^<9
j1
/
í x ~ (o o cos0 )t 
[ y = (u0s e n < 9 ) t g t 2 
Vq = velocidad del proyectil 
t = tiempo
/e l
Ejemplo: Parametrizar la parábola y = - x 2 + 4 x .
Solución:
o
Derivar: y = - x + 4 x
y ' = - 2 x + 4
En x = 0 : y ' = 4, como y ' = f g a
Moisés Lázaro C.
Se tiene: cosa = -4=Vn
Como: x = (cosa)¿
x = 7 n í ’ y = ~ ( j i 7 t ) + 4 ( v i 7 í )
O
La parametrización de la parábola y = -x + 4x , es:
P :
x ~ M t
y = “ n 'í2 + Vi7t
0 < t < 4 / Í 7
ÍT] Parametrizar la elipse: + -̂ — = 1
a b
En el triángulo ODA , se tiene:
DA = OA • sen#
y b
Por tanto, la parametrización es:
, x = a eos#
.
y = b sen#
Trazar una circunferencia inscrita y otra circuns­
crita de centro en el origen.
El parámetro es
Deseamos hallar (x,y) en términos de #y de los
semiejes a y o .
En el triángulo rectángulo OCB se tiene:
OC = OB - eos#
x a
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
X VParametrizar la hipérbola: H : — - ■£— = 1
a b
Trazar dos circunferencias concéntricas de radios: O A = a , OB = b .
Debo expresar las coordenadas (x,y) en términos de a, b y el parámetro 0.
En el triángulo rectángulo OCD, se tiene: OD = OC • sec 6
x ~ Q ' sec 0
~ En el triángulo rectángulo OBE, se tiene: BE = OB. tg
y = b * tg&
- Por tanto, las ecuaciones paramétricas de una hipérbola se centro en (0,0) y semi
ejes a y b, son:
H:-
x = a • sec (9 
y = b-tg<9
0 < 6 < 2n
< 3 >
Moisés Lázaro C.
6 Hay tres familias de curvas cuyas ecuaciones paramétricas se generan cuando una
circunferencia rueda sobre el eje x o sobre otra circunferencia o en el interior de
otra circunferencia.
Al rodar la circunferencia
6 de radio “a” , el punto P
genera la cicloide cuyas
ecuaciones paramétricas
son:
í x = a (8 -s en d )
1 y = a(l-cos<9)
La circunferencia 62 de
radio “b” rueda sobre la
circunferencia 0Í de radio
“a”, generando la epici­
cloide:
fx = (a + b) cos# - bcos^— 0
1 y * (a + b)senO
Si b ~ a , obtenemosla 
cardioide:
Ix = 2a cos 6 - a cos 20y = 2a sen 8 ~ a sen 28
í x = a {2 cos0 -cos 20)
\ y = a(2 sen 0 - sen 20)
Nota; En la relación a ~ r b , si 
r es un número entero, 
la epicicloide tendrá r 
picos y r arcos.
La circunferencia C2 de
radio “b” rueda en el
interior de C2 de radio “a”
generando la hipoci- 
cloide:
fx = {a-b)cos0 + bcos^^-0
I y = {a -b )s en 0 -b se n ^ ^ -0
Haciendo b = ~a
obtenemos:
í x = -|a • eos#+ -|cos30
1 y = -|a • cos0--|cos30
Sustituir:
J cos30 = 4cos3 0 -3 c o s 0
| sen30 = 3sen0 - 4sen3 6
y obtenemos la ASTROIDE: 
x = a • eos3 0
I y = a •sen3 6
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
[7 ] Otras curvas expresadas por ecuaciones paramétricas:
T\ CICLOIDE
f x = a(0 - sen 0)
\ y = a(l - eos 0)
y
U LA ASTR0I0E
rx = acos30
| y = a sen3 .0
xfflS + y2'3 __ ,̂3
O1 áix 2 íia
CICLOIDE DE VERTICE EN (0,0)
fx = a(0 4- sen 0)
I y = a(l - eos 0)
IT
La astroide es una hipocicioide 
de 4 picos.
A l EPICICLOIDE DE 3 PICOS
e e [0, 2*]
HIPOCICIOIDE DE 3 PICOS.
x = 2a eos T + a eos 2í
y = 2a sen ¿ - a sen 2í
a > 0
LA C ARDIOIDE
f x = a(2 eos t - eos 2í) 
[y = a(2 sen t - sen 2t) 
t e [0 , 2 71]
{x = 4 eos 0 - eos 40y = 4 sen 0 - sen 40
EPICICLOIDE D E 4 PICOS
( x = 5 eos t - eos 5 t 
1 y = 5 sen t - sen 5t
ZJ LEMNISCATA DE BERN0ULLI 8J LEMNISCATA ROSA DE DOS HOJAS F0LIUM DE DESCARTES
x = 3qTT7 f *-1
(x2 + y2)2 = a2 (x2 - y2) ..........(1)
r2 = a2 eos 20 
y = t2 x parametriza (1)
(x̂ + y2)2 *2a2xy (1)
r2 = a2 sen 20
y - i x parametriza (!)
x 3 + y3 = 3 a x y , a > 0 (1)
y = íx parametriza (1)
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
LA TRACTR IZ :
x = a^Lntg ̂ * + cosí j
y = asení
PARÁBOLA SEM1CÚBICA
I x = ai
ay =x2
C IC LO ID E PR O LADA
í x = 2í - ;rsent
y = 2 - 7t eos í
o 0 < 0 < -n-
y = 2sen tqO
BRUJA DE AGNES1
x = 2ctg0
o 0 < 0 < n
y = 2&ti$
| x = a ctg#
[ y =* asen^0
N E FR O ID E
r v = i■£a(3cos0-cos30)
y = T¡-a(3sen0 - sen30)
C IC LO ID E PR O LA D A
í x = 0 --| se n 0
y = 1 - eos 0
CICLOIDE CURLATA
x = 2 0 - sen 0
y ~ 2 -co s0
1NVOLUTA D E L C ÍR C U LO
{x = acos0 + asen0y = asen0 + acos0
x = a0“ b*sen0 a > ^ 
y = a-b.»cos0 OP = b
x = a O -b s e nO
y = a - b eos0
EC U AC IO N ES G ENERALES
Moisés Lázaro C.
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
3. FUNCIÓN VECTORIAL
Sea: \ - [a, ¡3\ un intervalo contenido en IR.
Diremos que f es una función de 1 en í?2 , si a cada t e l corresponde un único
vector (x(í),y(f)) tal que: J{t) = (x(t),y(f)).
}
.. . , A
/
Y . .
Una función de la forma /(f) = (x(f), y(í)) se conoce como función vectorial
= x(t)i + y(í)y
Ejemplos:
1. Sea la función vectorial / : [0,1] -» IR2 definida por: / : (í) = {í,2t2 )
2. p (í) = (5cosé?,Ssend) , # e [0 ,;r ]
3. h ( t ) - { l - t 2 - 4 í - í 3) , íeJR
3.1. IMAGEN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Sea / : \a,¡3\ -> ¡R2 una función vectorial tal que: f ( t ) - (x [ t ) ,y ( t ) )
Moisés Lázaro C.
Definimos: Im (/) = {(x (í),y (í))/í € [a,/?]}
I Imagen de / , es el conjunto de parejas ordenadas
(x(t),y(t)) pertenecientes al plano JR2 , tal que í e [ a , / ) } .
La Im (/) se llama GRAFICA de / .
4. DEFINICIÓN DE CURVA PLANA
o o
Sea: / : [a,p\ -----> R una función vectorial que toma valores en R describien­
do un conjunto de puntos f(t) llamado gráfica de / .
Si / es continua en [a,/3], la gráfica de / se llama CURVA.
Sea C : J X = X/(° te[a ,j3 ] ó f ( t ) = (x(t), y(t))
[ y = y(t)
Decir que f ( t ) es continua en [a,p] implica que cada una de las funciones reales
x(t), y(¿) es continua en [a ,p].
Por lo tanto, si cada una de las funciones reales x(t) , y(£) son continuas en [ a , P ] 
dirémos que 6 es la curva descrita por / .
4.1. PARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA C
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
< §>
También se dice: C ha sido PARAMETRIZADO por:
r (t) = (3cos£, 3sení) , [0 ,2;r]
Ejemplo 2.
C : x3 + y3 = 3axy es descrita por la parametrización:
3 at
Esta parametrización se logra haciendo y = t x .
5. CAMINO O TRAYECTORIA
Definición: A una curva C con una parametrización r (t) se le llama CAMINO o
TRAYECTORIA.
Las curvas pueden ser cerradas o abiertas.
r : [a,b] — » í ? 2 r : [a,b] 2
t -----> r> r(t) = (x(t),y(t)) t ------> r(t) = (x( t ) ,y(t ) )
en.
tí
Curva Cerrada Curva Abierta
Moisés Lázaro C.
6. CURVA CERRADA (lazo)
Definición: La función r : [a ,( 3 ] -----> R 2 describe una CURVA CERRADA 6
si 7{a) = 7(/3)
Ejemplos:
1) 7 (t) = (a cosí, asenf), t g [0, 2n]
describe una curva cerrada, porque F(0) = 7 [2n ) .
Pues: ?(0) = (a * cosO, asenO) y ?(2;r) = (a • cos2;r , asen2;r)
= (a, 0) =(a, 0)
x = acos t
2) 6: \ t e [0 ,2 n]
[ y = asen3t
es una curva cerrada.
f x = a(2cost-cos2t)
3) 6: { t e [0,2*]
[ y = a(2sen£-sen2t)
es una curva cerrada.
4) r(t) = (5cosf - c o s 5 í , 5senf -sen5f) (t) , 0 < £ < 2*
es una curva cerrada porque r (0) = 7 (2n ).
7. PUNTO MULTIPLE
Definición: Se dice que P{x(t) , y(f)) es un punto múltiple si existen por lo mehc
^ 11
Í !, í2 e ta , ^ ^ í2 tal qué (x(íi), } )» (x(í2j , y(í¿)) ̂ V ; !
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
< s >
Ejemplo:
Hallar los puntos dobles del arco parametrizado:
x = 2í + í2
< i t ̂0
y = 2 t - \
r
Solución:
Sean: tx y t2 , ^ * t 2 tal que ( x ^ ) , ^ ) ) = (x(t2),y(t2))
Se obtienen las ecuaciones simultáneas:
x ( t ^ ) — x ( í 2 ) —̂ 2 4- t 2 — 2 ¿2 + ¿2 2 ( t i — ^2) + — ¿2) (̂ 1 ^ 2 ) — ^
y(ti) = y(f2)=> 2 íi - - y = 2 í2 - - y => 2(tx - 12)-+-tí t í
(¿1 _ í2)(íl + í2 ) _ n
+2 , *2
2 + 2̂ — 0
Como: ¿i * í2 » se ^duce a:
2 + -^- = 0 => P2 = 1 
P
Obtenemos:
*1 + ¿2 “
¿1 ¿2 = 1 v ¿i t2 — —1
í ti + í2 ~ ” 2 ^ í íi + t2 - -2
| *i í2 = 1 { ti í2 = “ 1
< §>
Moisés Lázaro C.
íi + - = -2
t j + 2 + 1 — 0
(Í1 + 1)2 =0
í l = - l
¿2 = — 1
fí
Estas soluciones no se toman en 
cuenta, porque se necesita ^ ^ t2
t{ + 2 f 1 - l = 0
-2 + SU =
h =
2
-2±2y¡2
tí = - 1 ± J 2
Si: tj = -1 + y¡2 =>
x = l
y - _5
Si: t2 = -1 - >/2
x — 1 
y = -5
8. CURVA REGULAR (SUAVE 0 RECTIFICABLE)
, x = /(t)Una curva <| í e / = [or,/?]
y = g(t)
Se denomina REGULAR {suave o rectificable) si cumple dos propiedades:
1. Las derivadas /'(í) y g'(t) son continuas en ]a,fi[ y;
2- /'(í) y g'(í) no se anulan simultáneamente en [a ,p ] excepto quizás en los punto; 
extremos del intervalo [a, p ) . Esto es lo mismo que decir:
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS
DEFINICION EQUIVALENTE
Sea 6 : r : [ar,/?]-----> R un camino, continuo en [a,¡3]. El camino r (t) se
llama REGULAR, si existe el vector derivada r'(t) * 0 y esta derivada es CONTI­
NUA en el intervalo abierto ]a,(3[.
INTERPRETACION GEOMETRICA DE CURVA REGULAR
Sean las curvas:
x = a • eos t
: { t e [0,2;r]
[ y = a • sent
x = a • eos t
e 2 '-\ t e [0 ,2 x ]
y = a • sen í
En este caso es regular en todo
t e [0,2tt] . Geométricamente significa que 
no tiene puntas aguja en todo [0 ,2 n\ .
En este caso, C2 no es regular en los puntos 
t = 0 , f , 7T, & t 2n .
Geométricamente, significa que Q tiene 
ti i j 2 tc cuyas 
B(0,a), C(-a,0),
puntas aguja en t - 0 , -g-, 7t, , 2tt cuyas
imágenes son: A(0,a 
D(0,-a) .
¿Cómo se hallan las PUNTAS-AGUJA de una curva
Moisés Lázaro C.
Algebraicamente, las Puntas - si existen - se hallan del siguiente modo:
dx
Io Derivar las ecuaciones paramétricas: ¡
1 v = sW
= /'(*)
2° Resolver simultáneamente:
s ' ( í ) = o
3o Aquellos puntos t ^ [ a . p ] en los cuales r'(t) = (0,0) son los puntos NO-REGULARES. 
Ejemplo 1.
Sea: C : •
x = t¿ - 4
I y = r - 8
Hallar los ángulos (puntas-aguja), si existen, en los cuales C es no-regular.
Solución:
í x ' = 2 f
Io Derivar:
y' = 3t"
2o Resolver:
2í - 0
3í
3o En t = 0 , se cumple r'(0) = ( 0 , 0 ) , entonces existe una PUNTA en t = 0 , que es:
í x = - 4
y = -8
r(0) = ( -4 ,-8 )
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Ejemplo 2.
x = a • eos3 í
Sea: C t e [0,2x]
y = a * sen3í
Estudiar si existen “PUNTAS-AGUJA” .
Solución:
í x'(t) = -3a eos3 í*sení
Io Derivar 6
[ y'(i)= -3a sen2 t-cosi
-3a eos2 t • sení = 0
2o Resolver <
[ 3a sen2t • cosí = 0
í cosí • sení = 0
[ sen í • eos í = 0
cosí = 0 v sení = 0
í = tt/2 t = 0
t = 3;r/2 t = n
t - 2 n
3o Se. cumplen: r'{0) = r'(*/2) = r'(ír) = r'(3;r/2) = r'(2n) = (0,0)
Luego, en í = 0 , x/2,n, 3x12, 2tc la curvad es n o - regular
LAS PUNTAS SON: r(0) = (a,0), r(;r/2) = (0,a), r(xj = (-a,0)
: r(3/r/2)==(0,-a), r(2^)-(a,0)
Ejemplo 3. Hallar los puntos no-regulares, si existen, de la curva:
f x = a(2cosí + cos2í)
í g [0 , 2n\
I y = a(2sení+ sen2í)
—
Solución:
Moisés Lázaro C.
Io Derivar:
x'(í) = a [ -2sen t - 2sen 21 ]
y'(í) = a[2cosí - 2cos2í]
2o Resolver:
x'(í) = 0 => -2sen í-2sen2í = 0(1) . 
y'(í) = 0 => 2 cos í-2 cos2 í = 0(2).
.(1)
• (2 )
De (1):
sen í + 2sen í • eos í = 0
sení(l + 2cosí) = 0
sen t = 0 v
V
eos t = —g-
, _ 2tt 4 n 
l ~ 3 ’ 3
De (2):
cos í-[2 cos2í - l ] = 0
2cos2í - c o s í -1 = 0
(2cosí + 1) (cosí-1 ) = 0
cosí = - j
f _ 2n 4;r 
1 ~ 3 ’ 3
v eos í = 1
v í = 0,2;r
Las derivadas \ se anulan simultáneamente en í = 0 , 4^ , 4^.
U'(í) 3 3
3° Los puntos no-regulares (Punta-aguja), son:
r(0) = (3a,0)
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
9. DERIVADA PARAMÉTRICA
Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva.
C : t e [a, ¡$\, deseamos saber en qué momento existe la función y = /(x)
)
y
tal que Dxy = .
Este problema se resuelve, en la siguiente proposición:
Proposición: Sean: x = $t) y y = y/{t) dos funciones derivables en el intervalo 
y supongamos que x -$ (t ) tiene inversa í = ^* (x) derivable
Si en cada punto t e se tiene =fi 0 , entonces las ecuaciones paramétricas 
j y I j Aplican que existe una función f(x) derivable tal que y = f(x) y
Demostración: /
1) Como y = </>(£) a £ = ̂* ( x ) es derivable y > t > x
Entonces por la regla de la cadena, tenemos:
Dxy = Dty • Dxt (1*)
2) Como existe t = </> * (x) derivable en (a,J3) y ± 0 , entonces:
D, ‘ = D* r - i h
l _ l 
D J DxV
(2 *)
3) Sustituir (2*) en (1*)
dy
Dxy = . También se denota por — =
D*x dx Él
\ d t
Derivada de Y con 
respecto a X.
si x = #(t) , y = <¿/(t) , y = /(x)
NOTA: Si t = <f>*(t) => Dx =Dx</>* derivada de la inversa 0*
_________________________ =rtf’ ^ = x____________________
10. TANGENTES
Dada una curva C, cuyas ecuaciones paramétricas son:
r x=cp{t) 
e :\ , x tz [a , f3 ]
Deseamos hallar la ecuación de una recta tangente en un punto t0 e [a ,0 ] .
Como en toda recta tangente el problema es hallar su respectiva pendiente y dicha 
pendiente es la derivada de “y respecto de x en t0 ” , es decir:
DxV)t0 = = pendiente de la recta tangente en t0 .
Desde el momento que “aparece” derivadas, el problema es garantizar la EXISTENCIA 
DE LA DERIVADA en t0 . Esto lo confirmaremos en la siguiente proposición.
Proposición: La pendiente de una recta £r , que es tangente a la curva 
e :|jc = x{t) t e ia p] en un punto te[a>j3] existe, si x'(t) e y'{í
son continuas y [x'(i)]2 +{y'(f)]2 * 0 .
Según la proposición podemos deducir, algunas consecuencias que ilustramos en lo 
siguientes gráficos:
Moisés Lázaro C._________________________________
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Una sola tangente 
En este caso existe y es 
única Dxy]t0 .
Dos tangentes en ^ y t2 
h * h Dxy ] * Dxy ]Í2
En t0 no existe tangente.
En este caso se cumple si­
multáneamente 
x ,(t0) = y'(t0) = 0
Tangente horizontal 
En este caso se cumple. 
Dty = 0 en t0
yi
Tangente vertical.
En este caso se cumple: 
Dtx = 0 en t0
y
11. GRÁFICA DE UNA CURVA EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
Para graficar una curva 6 cuyos ecuaciones paramétricas son:
í x = x(t)C:\ i*\ í s D *^l v = v(t)
se sugiere seguir los siguientes pasos:
1. In tersección co n l o s ejes
a) Con el eie X : Se resuelve y(£) = 0 
Si existen soluciones , evaluar x(t¡)
________ Moisés Lázaro C.
b) Con el eje Y: Se resuelve x(f) = 0 
Si existen soluciones t¡ , evaluar y {t¡)
2. S imetrías
a) Respecto al eje X :
Si V ti e Dxny ; 3t2 e D xny tal que: (x(t2) , y(f2)) = (x(tx) , -yf^))
Un caso particular es cuando ocurre: Si x(t) es PAR y y(f) IMPAR, la gráfica es 
simétrica respecto al eje X.
b) Respecto al eje Y:
Si V ^ e Dxnv ; 3 t2 e Dxriy tal que: (x(t2) , y(t2)) = ( - x ^ ) , y ^ ))
Un caso particular es, si x(f) es IMPAR y y(í) es PAR, la gráfica resulta simétrica 
respecto al eje Y.
3. Tangentes
En la fórmula de la derivada PARAMÉTRICA: Dyv =x Dtx
Se hace el siguiente análisis:
a) Las tangentes horizontales se obtienen resolviendo Dty = 0 .
b) Las tangentes verticales se obtienen resolviendo Dtx = 0.
Si existen soluciones comunes para D¿y = Dtx = 0 , se presentará un punto sin­
gular.
c) PUNTOS CRÍTICOS Y MONOTONÍA.
Los puntos críticos son:
/) Aquellos valores de t e Dxny e n los cuales Dxy = 0 
//) Valores de t en los cuales / Dx y
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Como: Dxy =
x D tx
entonces no existe Dxy en aquellos valores de t en los cuales: Dtx = 0
El total de los puntos críticos se obtiene uniendo todos los valores de t obteni­
dos en /) y ii)
iii) Los extremos de [a ,¡3) = Dxny son también puntos críticos
ív) Monotonía (¿En qué intervalos, la función y = / (x ) es creciente o decre­
ciente)
4. Pu n to s múltiples
Un punto P(x(t) , y(£)) se dice que es un punto múltiple si existen por lo menos
dos valores de t: , t2 e Dxny, ^ ^ t2 tal que cumpla:
(x(t1) ,y ( í1)) = (x(í2),y(t2))
5 . E xten sió n y zonificación
En esta parte se debe hallar:
c) Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
6. Tabu lació n
Para algunos valores de t e Dxny se hallan las parejas (x(í), y(í))
Ejemplo 1.
Discutir la gráfica de la siguiente curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
, .______________________________ Moisés Lázaro C.
Solución:
1 . Intersección con los ejes:
a) Con el eje X. Se resuelve y = 0
a sen3í = 0 
sen* = 0 
t = 0 , n
Para t = 0, obtenemos el punto A = (a,0) 
Para t = n , obtenemos el punto B = (-a, 0)
b) Con EL EJE Y. Se resuelve x = 0
a eos3 1 = 0 
eos t = 0
f — 2L 
1 ~ 2 ’ 2
Para t = se obtiene el punto C = (0,a) 
Para t= ^ r se obtiene el punto D = (0,-a)
2 . Sim etrías
a) Respecto al eje X:
O Q
Se cumplen: x(-t) = a eos' (-t) = o • eos t = x(t)
y(-í) = asen3(-í) = -asen3í = -y(£)
implica que es simétrica respecto al eje X.
3. Tangentes. Hallemos Dxy
Sé tiene: Dty = 3 a sen í * eos t
Dtx = ~3acos2 1 * sent
~ 3asen2t-cosí sent , .=> Dxy = -----------=----------= --------r = -tgt
~3acos t-sent eost
Concluimos que existen tangentes únicas en V i, tal que Dtx * 0 , es decir:
-3acos2 tsenf *0<*>cosí -sent * 0 <— > t * 0 , 2n .
No existen tangentes únicas en los puntos-aguja, es decir en aquellos valores de í
tales que: Dtx = 0 a Dty = 0 que viene a ser: t = 0, ^ , tc , > 2;r
Estos valores se obtienen así:
o
3asen t • cosí = 0
sen t = 0 v eos t = 0
t = 0 , n , 2n v t = -J, 4^
-3aeos21 sent = 0
cost = 0 v sent - 0
í = f ’ ¥ í = 0 ,« - ,2 ff
No existen tangentes verticales ni horizontales.
Puntos críticos:
/) De: Dxy = 0 obtenemos 3asen2f • eost = 0 => t = 0 , , 2̂ r
//) Valores de t en los cuales no existe Dxy , se obtiene de: Dtx = 0
o
-3a-eos í-senf = 0
t = 0 , yn , , 2;r
///') MONOTONÍA: Intervalos sobre los cuales la curva es creciente o decreciente, te­
niendo en cuenta que y = f ( x ) .
_____________ CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
De: D¿y = 0
<— >
De Dtx = 0
<— > 
<— >
Moisés Lázaro C.
Hacer una tabla con los intervalos que definen los puntos críticos.
t 0 < t < n ¡2 7112 < t < 7 l 71 < t < 37T/2 ?>7z ¡2 < t < 2 7 i
X 0 e x e a - a < x < 0 - a < x < 0 0 < x < a
V 0 < y < a 0 < y < a - a < y < 0 - a < y < a
y' = -tg í
i / yr > 0 y '> 0
ovl ^ y' > 0
V Decreciente Creciente Decreciente Creciente
^ 3a eos4
1
rt.sent
tt” y" > 0 y” > 0 y" < 0 y" < 0y
Cóncava h a c ia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo
Existe mínimo en t = 0 El mínimo está en (a,0)
Existe máximo en t = n!2 El máximo está en (0,a)
Existe mínimo en t - n El mínimo esta en(-a,0)
Existe mínimo en t = 3zr/2 El mínimo esta en (0,-a)
4. Puntos múltiples: /
5. Extensión y zonificación.
a) Recorrido de x:
Se sabe: -1 < eos t < 1
Al cubo: -1 < eos31 < 1 
Por : -a < acos3 t< a , a > 0
-a < x < a
b) Recorrido de Y:
De: -1 < sent < 1, se obtiene:
-a < y < a
c) Asíntotas:
6. Tabulación:
________ CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
t 0 7t¡ 4 ti ! 2 3 W 4 71
X a a j2
4
0 aV2 
4
-a
y 0
4
a a>/2 
4
0
7. El gráfico es:
(0.a)
;a.O)
(0,-a)
Ejemplo 2.
Graficar la curva C :
x =
y = t
Discusión de la gráfica de C.
t +1 
2
t e [-1 ,1 ]
Moisés Lázaro C.
3 . Extensión y zoniflcación:
a) Recorrido de y. Se parte de:
t2 > 0 V f e [ -1 ,1 ]
y > 0 a -1 < t < 1
A [-1 - t V -1 < £ < 1]
l t l< l
y = 1 v t2 < 1
y > 0 a [y = l v y < 1]
0 < y < 1
b) Recorrido de x.
t +1Se tiene: x =
Si: t = -1
í - l
Nota: x = 1 + Como: -1 < t < 1
A — 1 < í < 1 -2 < £ -1 < 0
por 2
2 t — 1 r
x = 0
Si: t —> 1 => lim = = - ° c-
t->r
-oo < x < 0 0 > 1 + j ^ y sumar 1
c) Cuando t -* 1 ocurre
a) lim x = -a
t -» r
b) lim y = 1
entonces y = 1 es 
asíntota vertical
4 . T abu lación :
-1 < Í< 1 - i -1 /2 0 1/3 1/2 T - » r
X 0 - i / 3 -1 -2 -3 X -> -00
y i 1/4 0 1/9 1/4 y -> i
5 . Puntos críticos:
Hallar ^ y analizar:
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS
y es cree.
c/y _ dt - 2t
dx ÉL 
dt
- 2
(t-ir y es cree.
dx = ( t_ - l ) ( l ) - ( t + l ) ( l ) = _ ^
^ (t -1 )2 (t-1)
b) Análisis:
i) $ = 0 => - í ( f - l ) 2 =0 =>
ii) Valores de t en los cuales $
y' > 0
- t(t- l)2 > 0 
í <0
y' > 0 
t >0
t = 0 v Í = U [ - 1 , 1 [
se obtienen igualando a cero el denominador de ^
( t - l f
dxasí obtenemos t = 1 es decir / en í = l . Pero t = 1 & [ - 1 , 1[ 
Solución común de Dtx = D¿y = 0 es t = 0 (pto. singular).
Además í = -1 e [ - 1 ,1[ luego: 
son puntos críticos: t = - 1 ,0
iii) Monotonía (intervalos sobre los cuales la curva es creciente o decreciente), 
ver el siguiente cuadro:
t = - l
t = 0
v MIN t = 1
............. %
t
}.... ............ — ......
1 < ¿ < 0
—......... i
0 < í < 1
X - 1 < x < 0 -OO < X < - 1
y 0 < y < 1 0 < y < l
y '
y' > 0 y ' < 0
Creciente Decreciente
Moisés Lázaro C.
El mínimo esta en (-1, 0) cuando t = 0
t \
x (0) y (0)
El mínimo es y(0) = 0 .
Ejemplo 3.
Discutir la gráfica de la curva C : <
x = t + 2(t-l)(t + l)
t - 5
(t — 3) (í — 1)
Solución:
Como x(t) y y(í) son funciones racionales, analizar en t = -1,1,3 valores donde no 
están definidas x(t) y y(t).
1) El dominio de /(£) = (x(t), y(t)) es Df n D g = ( « - { l , - l } ) n ( « - { 3 , -1 } )
= « - { - 1 , 1 , 3 }
2) Hallar el recorrido de “x” e My”: analizar límites laterales en t = -1,1,3 
ai^í+i>o \ y = - f esÁ^TOTÁHóirazca r̂AL.
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
a2 ' ]
lim x =
t->- r
t<-1
t +1 < o
lim y =
t -» -r
( -2 ) ( - 0 )
= +oo
y = es A.H.
b) En t = 1
,5 ? . X = W Í2Í = -KO
Í > 1
í - l > 0
t1™ + = F 2 f e ) = ^ °
Nota : Si x(t) e y(t) tiende a
+ oo cuando t - + 10 inves­
tigar si y = ax + b es asínto­
ta oblicua, donde a y b se 
obtiene así:
a = lim — a b = lim (y - ax)
bo :
lim x =
t->r 
t< i
lim y = ■ 
í->r
 --- = —x
En el ejemplo tenemos:
(t - 5) (t + 1) 
* ° _ (f — 3) (t — 2)
Luego: y = 4-x + es asíntota oblicua.3 6
c) En t = 3 .
^ + = ( 2 ^ = 1 
Í^+=(TÜ H 2) = - 00
Q X = t es ASÍNTOTA VERTICAL.
lim x =
t->3~
lim y = -
t -> 3_
(2)(4)
-2 x = 4 es ASÍNTOTA VERTICAL.
- 0)(2)
= +oo
© Moisés Lázaro C. ------------------------------------------------------------------
3) Monotonía: Hallemos: ^ y para luego analizar:
Wr (t + 4 t + 1) w dy - (t - lQt + 1 7 )
di (í 2 - 1)2 <* ( t - 3 ) 2 ( f - l ) 2
» dy Dtt . (f2 - lOi + 17)(t +1)2
dx D,x ( t -3 ) 2(t2 + 4 t + l
a:) De 4r = 0 obtenemos: t2 + 4 í + l = 0 (tangentes verticales)
(i2 - 10¿ + 1 7 )(t + 1)2 ^ Q 
( f - 3 ) 2 (t2 + 4 f + 1)
t2- 10t. + 1I > 0
t + 4 í + l
(t — 7 .8 ) (t — 2.2) „ n 
(í + 3 .7 ) (í + 0.3) u
í e <-oo,-3 ,7) u ( - 0.3,2.2) u <7.8 + oo)
—4 ± n/16 — 4(1)(1) 
2(1)
í = 3,7 ->(-0.13,-0.27) 
t = -0,3 ->(-1.8,1,2)
b2) De 4 f = 0 obtenemos: í2 -1 0 í + 17 = 0 (tangentes horizontales)
_ 1 0 ± V 1 0 0 -4 (1 )(1 7 ) 
1 ~ 2 ( 1)
4 _1014^2 
1 " 2
4) Intervalos donde la curva es creciente o decreciente,
a) La curva es creciente si Dx y > 0,
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
b) La curva es decreciente si Dx y < 0 
=> t e (-3 .7 ,-0 .3 )u (2 .2 ,7 .8 )
5) Tabla de variación:
En esta tabla de variación se hacen tres filas para t, x, y. Se llevan los valores i 
tables de x e y, y los límites de los extremos de los intervalos de í.
Indicar con úna flecha hacia arriba si la curva es creciente y con una flecha hádi 
abajo si la curva es decreciente.
t m -1 2.2
-oc < í < 3 . 7 3- 7 < í < - 1 - 1 < t < 2 . 2 2 -2 < t < 3 3 < t < x
t «----------- 0------------p------- 0-------------
X
y
6) Tabulando algunos valores de t se obtiene el siguiente gráfico.
Moisés Lázaro C.
Ejemplo 4.
Construir la curva C :
x = -
ry = - h .
Discusión de la gráfica de C.
1. El dominio de f(t) = (x(í), y(£)) es la intersección de los dominios de x(£) y y(t). 
El dominio de x(f) es t e R - {-1 ,1 }
El dominio de y(t) es t e f? - { 1 }
Luego, D.x n y
2. Recorrido de x{t) y de y(t).
Como x(t) y y (t) son funciones racionales entonces el recorrido de x(t) y de y(í) 
se halla analizando los límites laterales en t = - 1 y í = l .
Veamos:
a) Límites laterales en t = -1
ax) Límites a la derecha de t = -1 en x(f) y en y (í):
lim x(£) = lim t
£->-r t->-1£>-1
+ (£-!)(£ + !) (-2)(+0)i = +Q0
lim y(f) = lim -¿y = = - A
t-y-l* t> -lf 1 _1 1 ¿
De este resultado se deduce que es asíntota horizontal.
a2) Límites a la izquierda de t = -1 en x(t) y en y(¿) :
lim _x(í)- lim_ (í_1)1{í + 1) - (-2)1-0)
t-+-i £->-!
£<-1
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS___________________. .
lirn y(t) = lim ^ = —1— = - 1
*->-r £->- r 1 1 1 z
t<-i
De este resultado se deduce que y = —| es asíntota horizontal.
b) limites laterales en t = 1
b j Límite a la derecha de t = 1 en x(f) y en y(f):
íüm+x(0 = ílim+(Ir i ^ = ( T ¿ ( 2 ) = +00
£>1
,2lim y ( f ) = lim-4-y = -^ = + go
t-s-r +u
£>1
Si x(í) tiende a + o o y y{t) tiende a + o o , entonces analicemos que y = ax + b
es asíntota oblicua.
Hallemos ay b:
a - lim ^77Y= lim t(t + l) = 2
í _ , i*(t) í _> i v
b = lim [y ( t ) -a x ( t ) ]
= lim 
£->1
£2 - 2 £ 
t - 1 £2 - 1
= lim 
£ —»1
Por lo tanto: y = 2x + f es asíntota oblicua:
b2) Límites a la izquierda de t = 1 en x(f) y en y (f): 
lim x(t) = lim — 1 = —00
£ - » 1 t-+ Y 
t< 1
(£-!)(£ + !) (-0) (2)
< s >
Moisés Lázaro C.
lim y (£ ) = lim j ^ = - L = -o o
t -» i t->v
í<i
De manera similar, si lim x(f) = - o o y lim y ( t ) = - o o , afirmamos que
f - » r
y = 2x + j es asíntota oblicua.
lim x (t ) = lim —r¡r— = 0 , entonces x = 0 es asíntota vertical.
t +C0 t -> +G0 t - 1
3. Tangentes:
a) Tangentes horizontales
Las tangentes horizontales se obtiene resolviendo la ecuación Dt y = 0.
Resolver la ecuación:
NOTA: En las tangentes horizontales se encuentran los extremos de la
t —> +00 t —» +00
=> í = 0 I v 11 - 2
(0,0) (§ .*)
En (0,0) y en ( § .4 J existen tangentes horizontales.
curva (máximos y mínimos) considerando y = /M
b) Tangentes verticales
Las tangentes verticales se obtienen resolviendo la ecuación Dt x = 0.
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
0 -
Veamos:
Como: x = , entonces
t2 - 1
(t2~if ( t - i r
Resolver la ecuación:
—^ = 0 => £2 +1 = 0 En esta ecuación no existen soluciones reales. Lo
K } cual nos indica que no existen tangentes verticales.
c) Valores de t en los cuales existen "puntas”.
(Puntos en los cuales existen más de una recta tangente)
En las soluciones comunes de las ecuaciones Dt x = 0 a Dt y = 0 existen 
“puntas” .
En el problema, las ecuaciones:
No tienen soluciones comunes, por tanto la curva no tiene puntas. Es decir la 
curva 6 es derivable en todo x e JR , al considerarsey = / (x).
Geométricamente significa que en cada punto de la curva se puede trazar una y 
sólo una recta tangente.
4. Puntos críticos y monotonía:
a) Son puntos críticos los t e D xny tales que:
Dt y = 0, Dt x = 0 y los valores en t en los cuales no está definido x(t) , y (t) . 
En el problema los puntos críticos son: t = -1,0,1,2
b) Monotonía: Hallemos Dx y =
Moisés Lázaro C.
Dx y = J fT í(r+D
i»2 ~i)2
Ahora analicemos en Dxy :
bj) Puntos singulares:
Al resolver Dyy = 0 obtenemos
t ( t - 2 ) ( t + l f
t2 + l
t = 0
(0,0)
í = - 2
( Í 4)
Los valores y = 0 , y - 4 son extremos de la curva (considerada y = / (x)) 
b2) La curva C es creciente en los valores de i e Dxr,y tales que:
Dx y >0
t ( t - 2 ) ( t + l ) 2
t2 +1 ■>0
0 < t < 2
b3) La curva C es decreciente en los valores de í e Dxny tales que: Dx y < 0
í e < -» ,0 )u < 2 ,oo)
5. Tabla.
-c o c te l _ 1 -1 < í <0 [o] 0< Í < 1 1 l < t < 2 2 < t < 0 0
t <--------------------- c
Decrec. ^ Decrec. ^
>---------------------------<
/
Cree.
j-------------------------------- ,
/
Cree.
\
Decrec. ^
X \
- o o < X < 0
\
0 < X < Q O
/
- o o < x < 0
/
■ | < x < 00
\
0 < x < - |
y - o o < y < - l - 7 < y < o -0 0 < y < 0 4 < y < 00 5 < y < 00
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS___________________
Dados algunos valores de í, se obtiene el siguiente gráfico.
Problemas propuestos Cap. 2
Graficar cada una de las siguientes curvas cuyas ecuaciones paramétricas se dan. Dis­
cutir la gráfica y analizar su monotonía.
® x = 3t - t y = 312 t e í ? © e :
x = a •cos í
o n
y = 2a *cos t + a-senf 
t e [0, 2;r] , a > 0
e X = ■
3í - r
3 t € í?
y = r
® e
x = tó -3 t 
y = 3 í2
t e IR
© e
X - eos £ 
y = eos21 • sent ©
e
c + l 
í - 1
Moisés Lázaro C.
e x = t¿ - 1 
y = í3 -1
t eIR
x = t + r 
y = t3 - 3 1
e : x = a cosí + Ln( tan|-) J
y = a • sent 
t e [ 0 ,n ] , a > 0
x = r - t 
y = t3 - 3 t
. t _
i + í4 x = r - 2 í 
y = t3 -12t
X =
y =
(t + 2)¿ 
í + 1
( t - 2 ) 2
í-1
X =
(1 + 2 t f
(3 - 2t) (1 - 2t)
y =_ (1 + 2t)2 (3 -2 t )
x = e
y = te*
x = t2 + t+i
y = -̂ +2t2 - í 4- 3
x = tz - 4
y = i
2 < t < 3
CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS
ox = cos £ + Lnsen£ 
y = sení .cosí
x = tgí
y =_ lsen t
x = eos 2 £ 
y = sen 2£ - sen £
x = cos4f + 4cosí 
y = sen3£
x = 3. eos 9 
y = 4.sen#
x = í 
y = 1 - 12
x = ^ft 
y = 1 - t
x = t3
x = ^/f 
y = l - t
x = l + i 
y = £ - 1
x = 2í-;r.sent 
y = 2 - ;r .cost
0 < 9 < 2 n
©
X = 2 í 
y = |t-2|
x = sec <9 
y = eos (9
x = 3. eos 9 
y = 3 .sen#
x = 4 * sen2# 
y = 2 • eos 2 9
x = 4.sec<9 
y = 3.tg#
x = e-í
y = e',31
x = e
y = e
2í
x = eos 9 
y = 2 * eos 0 + 1
x = -
y =
3 t 
i +t3
3t2 
1 + t3
Moisés Lázaro C.
12. IMPORTANCIA DE LOS CAMINOS (ECUACIONES VECTORIALES DE LAS CURVAS)
1. Los caminos a(t) = (x(t), y (í)) , t e [a, J3] sirven para calcular integrales de línea.
2. Sea a(t ) , í e [ar,/?] una curva cerrada, regular con sentido antihorario.
Si a(t) es la frontera de una región D c í ? 2 , entonces 
se puede hallar el área de la región D tan solo integran­
do el camino a(t) desde a hasta /? (esto es el famoso 
teorema de Green).
3. En el curso de Análisis Complejo, las integrales de las funciones de variable com­
pleja se hacen mediante caminos continuos y regulares.
4. En topología, hay un tema muy especial conocido con el nombre de h o m o t o p i a d e 
c a m i n o s y son muy útiles para ciertos conceptos de matemática abstracta.
DERIVADAS PARCIALES
Hagamos una comparación entre la derivada de una función con una variable con la 
derivada de otra función de dos variables.
Sea la función:
/ : (a,b> ---- > R
x ---- > y = /(x)
La derivada de la función /(x) en x0 es la 
pendiente de la recta tangente <£ en el punto
P(x0 ,/(x 0)).
Es decir:
/ ' (x0) = pendiente de iu 
I-----------d e r iv a d a d e / e n x 0 .
Sea la función: / : D
(x,y)
-> IR2 , Dcz IR2 
-> z = /(x,y)
Como z = /(x,y) es una función que depende
de dos variables (x, y ), en el gráfico se tiene:
a ) es recta tangente a la curva C\ en el
punto P(x0,y0,/(x0,y0)), donde la derivada 
parcial de / respecto a x, en el punto
(x0,y0) e D es la pendiente de jt4.
( Xq , yp ) = Pendiente de «£}
I-------- d e r iv a ra p a rc ia l d e / c o n
re s p e c to a x , e n ( x 0 , y 0 ) -
b) L2 es recta tangente a la curva C2 en el 
punto P(x0,y0,/(x0,y0)) donde la derivada 
parcial de / respecto a y, en el punto
(x0,yo) e D es la pendiente de
(xo, yo) = Pendiente de £ 2
I derivara parcial de / con
respecto a y, en ( x 0 , y o )
Moisés Lázaro C.
1. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN QUE DEPENDE DE DOS VARIABLES
Sea D una región (subconjunto de IR¿ ). Diremos que / es una función definido en D y 
con valores en JR si para cada (x , y) e D corresponde un único número z e IR, tal
que z = f(x,y).
Notación: / : D > IR , D c z IR2
(x,y) » z = /(x,y)
El gráfico de la función fe s el conjunto:
Gr(f) = {((x,y),z/z = /(x ,y ), (x,y) e D }
o
Gráficamente, /(x,y) es una superficie en f? .
2. DERIVADA PARCIAL DE/RESPECTO A “x ” y RESPECTO A “y”
a) Definición: Sea/una función de dos variables x? y. La derivada parcial d e / con 
respecto a x es aquella función, denotada por (x,y), tal que su valor en cual­
quier punto (x, y) € D está dado por:
f¿(x ,y) = lim ^LÍ..L¿’IzlÍ£:M ? Siempre que existe este límite.
En este caso: h = Ax = x - x 0
b) La derivada parcial de/c o n respecto a y es aquella función, denotada por:
E -̂(x,y) = lim ■-■■■-— — , Siempre que existe este límite.cy En este caso: /c = Ay = y -y 0 
El proceso de hallar una derivada parcial se llama DIFERENCIACIÓN.
Notación:
a) La derivada parcial de /(x,y) respecto a “x” se denotan por: , D^f , fx .
b) La derivada parcial de /(x,y) respecto a “y” se denotan por: , D2/ , /v .
S e a la función: 
f:D<=R2 — R definida por:
/ ( x , y ) = V 4 - x 2 - y 2 
D = ¡ ( x , y ) / x 2 + y 2 < 4 ¡
£s /a superficie 
z - V4 - x2 - y2
DERIVADAS PARCIALES
NOTA: Cuando se aplican las reglas de derivación tener en cuenta la
siguiente recomendación:
a) En el proceso de hallar , “y” es constante.
b) En el proceso de hallar , “x” es constante.
Ejemplo 1.
Dada /(x ,y) = 5x2 - 3xy + y2 ,
Obtenemos: a) = lOx - 3y (1) + 0 = lOx - 3y
b) f ¿ = 0 - 3 x ( l ) + 2y = -3 x + 2y
Ejemplo 2.
Dado la función t/(x,y) = 20x + 40y - 2x2 - 3y2 y la ecuación 28 = 4x + 5y , defini­
mos una nueva función con 3 variables del siguiente modo:
U * (x,y,2) = 20x + 40y - 2 x 2 - 3y2 + 2(28 - 4x - 5 y ) ......... Obtenemos:
a) ^ = 20 + 0 - 4x - 0 + Á (0 - 4 - 0) = 20 - 4x - 42
b) ^ l = 0 + 4 0 - 0 - 6 y + 2 ( 0 - 0 - 5 ) = 4 0 -6 y -5 / l
c) = 0 + 0 - 0 - 0 + (28 - 4x - 5y) = 28 - 4x - 5y
— © >
Moisés Lázaro C.
3. DERIVADAS PARCIALES APLICADAS A LA MICROECONOMIA
(MULTIPLICADORES DE LAGRANGE)
1) Demanda de los bienes de consumo:
Supongamos que:
a) U = fJ(x,y) sea la función utilidad (el gusto, la preferencia) de un consumidor 
donde x, y son , respectivamente, las cantidades de los bienes X, Y.
b) M ̂xPx + yPy sea la recta PRESUPUESTO (o ingreso) del consumidor, donde 
Px , Py son respectivamente, los precios de mercado de los bienes, X, Y.
El punto (x0,y0) que hace máximo a la función utilidad U(x,y) bajo la RES­
TRICCIÓN del presupuesto M = x * Px + yPy, se halla del siguiente modo:
Io Se forma la función de LAGRANGE: U * U(x, y) + A (M - x • Px - y • Py)
2° Se halla las 3 derivadas parciales:
diP_d(¿_
<3x “ d x x
^ ^ = M - X ’ P -u -P d i 1 1 x r x y
d ü * _ dU ; p 
ay “ ay V
3o Se iguala a cero cada derivada parcial; obteniéndose un sistema de ecuacio­
nes con 3 incógnitas, que se reduce a 2 incógnitas:
- APX = 0 => A = %-d x x Pv
GU
™ - A P v = 0 => A = $ -sy y pv
M - X ■ Px -yPy = 0
Que se reduce a resolver:
M = x -P x + \)-Pv
UMXp 
UMqy - P,
cU
d u 6 U
G x _ G y
Px
1
p y
GU |
G x _ Px
GU ~
G y pv
= A
DERIVADAS PARCIALES
A = Multiplicador de Lagrange(indica la utilidad margina! del ingreso gastado en el bien X )
— (J M g X , es ¡a utilidad marginal de x. (cambio de la utilidad total debido a
un cambio de x
= U Mg Y , es la utilidad marginaI de Y. (cambio en la utilidad total debido a
un cambio en y j
— j j j v f g y “ T M q S y x es la tasa margina! de sustitución y porx.
y
p
m = —t*- : pendiente de la recta presupuesto.
P
-m = y- = T MgSyX (tasa marginal de susti­
tución en el mercado).
• p y
Ejemplo 1.
La función utilidad de un ama de casa A es U(x, y) = 20x + 40y - 2x2 - 3y2, donde x 
e y son respectivamente las cantidades que se compran los bienes X (papa) y Y (camo­
te). Supóngase que el ingreso monetario de A es $ 28 y que los precios de X e Y son 
respectivamente $4, $5.
Determine las cantidades de X e Y que maximice la función utilidad, considerando la 
restricción presupuestal.
Solución:
La recta presupuesto es: 28 = 4x + 5y
u(x,y)
Io La función de Lagrange es:
U = 20x + 40y - 2x2 - 3y2 + 4(28 - 4x - 5y)
Moisés Lázaro C.
2° De: U = 20x + 4 0 y -2 x 2 -3 y 2
-> f ¿ = 2 0 -4 xdx
3° Resolver el sistema:
M = x -P x + y-P„
UMgx p 
UMgV “ P,
SU.8\> = 40 - 6y
28 = 4x + 5y
20 - 4 x _ 4 
4 0 - 6 y ~ 5
por 6 J 28 = 4x + 5y 
por 5 L 15 = 5x - 6y 
J 168 = 24x + 30y 
1 —75 = 2 5x -30y
5(20 -4 x ) = 4(40 - 6y) 
5 x -6 y + 15 = 0
93 = 49 x , El nivel de utilidad máximo del ama de casa será: 
x = ■-9 3 ^ 2
4 9
200
4 9
y - 2gQ. ~ 4
£7(2,4) = 20(2) + 40(4) - 2(2)z - 3(4)z = 144
2. Demanda de los factores de producción
CASO / Maximización de la Producción
Supongamos que:
a) X = /(K>L) sea la función de PRODUCCION, y
b) C ~ r K + wL sea la función COSTO, en donde K, L son las cantidades de in­
sumo de los factores de producción K y L , y r, w son los costos respectivos de 
los factores (ya sean salarios o rentas).
Luego la función de Lagrange, en el cual, encontramos el punto {K0,Lq) que 
haga MÁXIMO LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN X , sujeto a la función C, será:
I o F { K , L , A ) = f ( K , L ) + A { c - r K - wL)
___________________________ DERIVADAS PARCIALES
< 5 >
2° Las 3 derivadas parciales son:
d K d K A
d F _ d f
d L ~ d L
• Á W
dF_
d Á
= c - r K - w L
3o Resolver el sistema:
= °
~r ~ Aw =0
d L
c - r K - w L = 0
<v ^*1II df
r i dK
y a — —
ÉL r
A = — df
w J dK
df
dL
£J_
dL
w
_ r_
w
Donde:
l L = p Mg K , es el producto marginal de K.
jL = PMg L , es el producto marginal de L.
4o Se reduce a resolver el sistema:
™ ~ g K _ r 
P M g L w
c = r K + wL
para hallar el par (K0,Lq) que haga máximo a la función producción X = /(K,L)
2 A2 en
Ejemplo 2.
La función de producción de la empresa A es X = 26 k + 151 + 2kl - 2k2 
donde /c, l son las cantidades de insumos de los factores de producción K y JL Supón­
gase que los salarios para K y JL son respectivamente $2 y $3 , y que la empresa pue­
de gastar únicamente $ 50 en estos insumos. Encuentre la producción máxima (se uti­
liza la misma unidad de medida para X, que para el costo de producción).
< §>
Moisés Lázaro C
Solución:
La función COSTO es: 50 = 2k + 3 i
Io La función de LAGRANGE es:
F(k, i,A) = 26Je +151 + 2kf - 21c2 - 12 + 4(50 - 2k - 2l)
2o De: X = f(k,l) = 26k + 15e + 2kl - 2 - 1¿
3o Resolver el sistema:
P M g K _ r Q 2 6 + 2 P - 4 J c _ 2
P M g L ~ ŵ Z 15 + 2 í c - 2 f ~ 3
c = rK + wL => 50 = 2 k + 3 7
48 = 16k-10r 
50 = 2k + 3(
por3 J 24 = Sk - 5f
por 5 [ 50 = 2k + 3e
[ 72 = 24k -15 f 
| 250 = 10k + 15f’
322 = 34k =>
k - 161TT
I - 176 
17
# = 26 + 2 7 -4 kc K
# = 15 + 2k-27C £
La producción máxima será:
x = / ( M m ) = 2 6 ( m ) t i 5 ( m ) + . . . _ ( m ) 2 = 3 i i
DERIVADAS PARCIALES
CASO II Minimización del Cosío de Producción
Supongamos que deseamos MINIMIZAR 
EL COSTO DE PRODUCCION\ sujeto a 
las posibilidades de producción, para 
ello debemos tener en cuenta dos fun­
ciones:
a) La curva de ISOCOSTO C ~ r k + wL 
para una empresa (fabricante) que utili­
za dos factores de producción: K (capi ­
tal o renta) y JL (trabajo o mano de 
obra), donde r es la tasa de capital, w 
es tasa de salario.
b) La función de PRODUCCION (isocuanto) de un producto es Q = f ( L, K) .
Luego, la función de LAGRANGE en el cual encontramos el punto (Lq,K0) que 
haga MINIMO EL COSTO TOTAL para obtener cierta producción Q0, será:
K
I o F { L K , A ) = r K + w L + A { Q0 - f { L K ) )
2o Las derivadas parciales son:
A = multiplicador de Lagrange (es el costo 
marginal de producción cuando el co­
sto total del productor se minimiza, es
decir: A = dQ0
d F
d K Á dK
d F * d f
oL= w ~ Áé r
| 5 = Q o - / ( C K )
3o Al resolver el sistema: <
r ~ Áí k =0
w - A { [ = 0
; _ r _ w
í l ~ LL
6k cL
£1
w
df_ r
dk
Ao-f (L ,K) = 0
Moisés Lázaro C.
4o Se reduce a resolver el sistema:
Q0 = /(L ,K )
Donde
PMgL 
L PMgK
PMg L = 
PMgK =
ÉL
dL
ÉLdK
: Producto marginal de L 
: Producto marginal de K
~~ pfiig'R = cíT = ^ T $ k l : Tasa técnica de sustitución K por L
NOTA:
Si L es el eje horizontal 
K es el eje vertical
entonces
PENDIENTE DE LA RECTA ISOCOSTO 
wL + rK = C , es m --1f
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A 
LA CURVA ISOCUANTA f(K,L) , es:
df
dK _ J l 
dL dj_
dK
Proposición: La condición necesaria para que la recta c = wL + rK sea tangente a
d Kla curva/(K,L) es que: m = -jj-
ÉL
-ML = -É L -s w _ PMg L 
r Él r PMg K
dK
Ejemplo 3.
La función de producción de un fabricante es Q(L,K) = 2L1/2K1/2 y los precios de L y 
K son 10 y 40 respectivamente. Hallar:
a) La combinación de L y K para que el costo sea mínimo si se desea alcanzar el nivel 
de producción de 100 unidades.
b) Su costo marginal de producción cuando se minimiza su función de costo total. 
Solución:
La función de costo total es:
Datos C= 10 L + 40 K<
1° La función de LAGRANGE será:
_______________________________ DERIVADAS PARCIALES
F (L, K, X) - 10L + 40L + X (100 - 2L1/2K1/2)
1/2 ir 1/22° De: f(L,K) = 2L / K
3° Resolver el sistema: 
Q0 = f ( L ,K ) =>
PMgLL_w 
PMgK r
= 2K1/2 k 2 ]
= [ ? r
100 = 2¡},2Km
¿1
j J _ 10 K _ 1
40 ^ L _ 4
=> L = 4K
(2) en (1): 100 = 2[4K ]1/2K1/2 => K = 25 L = 100
Luego:
a) El nivel de costo mínimo será:
C(100,25) = 10(100)+ 40(25) = 2,000
b) El costo marginal de producción cuando se minimiza el costo total es: 
2 — JL. — 40 _ o a _ _w_ _ 10
1L~ í loo \̂ 2 ”
d K \ 25 ) S L [ i o o j
Otra forma de hallar A : A = = -° /+ ’ 40 c/K = iO(c/L-4 ciK¡ = 2Q
¿Qo ±dL + 2 d K I (d L + 4 -dK)
(1)
(2 )
Donde:
de = ~ ■dL + ̂ ‘ dKdL dK
= 10 • dL + 40 • dK
, ^ 2»_________________________________Moisés Lázaro C
df = d<30 = | i-d L + | i-d K
-[#r -m » ]**
j - d L + 2 - d K
PROBLEMAS
Del (1) al (4), se dan: la función de utilidad del consumidor, los precios de los bienes y 
el ingreso del consumidor. Hallar las cantidades de los bienes que maximicen su utili­
dad:
1. U fai, q2) = Q1 Q2 > pi = 4 > P2 = 5 , M = 120 R: q1 = 20 , q2 = 8
2. U(x, y) = 20x 4- 40y - 2x2 - 3y2 , Px =4 , Py = 5 , M = 28.
3. U(x,y) = 2Lnx + Lny , Px = 2 , Py = 4 , I0 = 36 R: x = 12 , y = 3
4. U(x,y) = xy + j|^Lnx + Lny , Px = 3 , Py = 4 , I0 = 100 R: x = 20 , y = 10
5. La producción X = f(L,K ) , como la producción de los insumos L y IK está dado
por f(L,K) = í3 + 5LK - 4K2 Supóngase que los precios para L y Kson, respecti­
vamente, 2 y 3; y que el costo total sea 74.
Hallar las cantidades L, K que maximice la producción R: L = 31 , k = 4
6. La función de producción de un fabricante es: Q = f(L,K) = 271/3K^3 y los pre­
cios de L y K son 4 y 27 , respectivamente.
Hallar: a) La combinación de L y K para que el costo sea mínimo, si el nivel de
producción es 324 unidades.
b) El costo marginal de producción cuando se minimice su función de 
costo total.
R sL = 2 7 , K = 8 , A = l
DERIVADAS PARCIALES
En los siguientes problemas aplicar la CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN para confia 
mar la existencia de la máxima utilidad en un punto crítico.
Para ello definimos el HESSIANO ORLADO.
Dada la función utilidadU = U (x,y), (Ux , Uy > 0) sujeto a xPx + yPy = B , el hessia- 
no orlado se define por la siguiente determinante.
Proposición: (condición de segundo orden)
Si (x , y ) es punto crítico de la función Lagrangiana y |H| > 0 en 
(3c, y ) , entonces U (3c, y ) es máximo.
Problemas:
(?) Dada: ü ••= (x + 2) (y +1) y Px = 6 , Pv = 4 , B = 112 :
a) Escribir la función logarítmica.
b) Hallar los niveles óptimos de compras de (3c, y) .
c) ¿Se cumple la condición de segundo orden para máximo?
@ Dada: U = {x + l ) (y -2 ) y Px = 3 , Py = 4 , B = 13
a) Escribir la función lagrangiana.
b) Hallar los niveles óptimos de compras 3c, y .
c) ¿Se cumple la condición de segundo orden para máximos?
(3 ) Dada la función utilidad U (x,y) = xy y Px = 2 , Py = 3 , B = 36 .
Hallar los niveles óptimos de compras del consumidor.
(4) Supongamos que la función utilidad de un consumidor es U(x,y) = 2(Lnx + Lny) 
y la restricción presupuestaria es 3x + 2y = 18 . Hallar los niveles óptimos de com­
pra del consumidor tal que maximice su utilidad.
< §>
Moisés Lázaro C.
p
Sea: U(x,y) = 2x y la función utilidad de un consumidor y su restricción presu­
puestaria es x + 2y = 6 . Hallar los niveles óptimos de compra del consumidor tal 
que maximice su utilidad.
Criterio para máximos y mínimos: Si /(x,y) es una función de dos variables 
que tiene segundas derivadas parciales continuas en una región rectangular
D c f ? 2 y sea: g(x,y) = / xx(x ,y )/yi,(x ,y )-[ /xy(x,y)]2 para todo (x,y) en D. Si 
(a,b) está en D = dominio d e /y además.
/) / (a, b) es un máximo local de / si g (a, b) > 0 y (a, b) < 0
/) / (a.b) es un mínimo local de / si g (a, b) > 0 y /xx (a, b) > 0
w) /(a,b) no es un valor extremo de / si g(a,b) < 0 .
Con este criterio, halle los máximos y mínimos de la función /(x ,y ), si existen; en 
cada una de las funciones del problema anterior.
en cada una de las siguientes funciones:
a) /(x ,y) = x2 + (y - l )2 
t>) /(x,y) = y2 - 2 x 2y + 3x4
c) /(x,y) = x2y2 - y 3 - x 3 +xy
d) / (x, y) = x2y3 (6 - x - y)
e) / (x, y) = x3 - y3 - 3xy
f) / (x, y) = 3x4 + y2 - 4x2y
g) /(x,y) = y4 - x 3 + x 2
h) /(x,y) = (3-x)(3-y)(x + y-3)
i) / (x, y)x2 + 2x y + 3y2
j) /(x,y) = x2 - 3 x y - y 2 - 2 y - 6 x
k) / (x, y) = 4x3 - 2x2y + y2 
0 /(x,y) = x2 +4y2 - x + 2y
m) /(x,y) = 5 + 4 x -2 x 2 + 3 y -y 2 
n) /(x ,y) = x4 +y3 + 3 2 x -9 y
x 2 + y2 + 1
q) / ( x ,y ) = (x2 +3y2)e _x2_y2
f x (a,b) = 0 
f y(a,b) = 0 ’
entonces:
C A P Í T U L O 4
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
0. INTRODUCCIÓN
Hasta el momento, hemos derivado funciones “explícitas” donde la variable dependien­
te “y” está expresado en términos de la variable independiente “x” es decir y = f ( x ) , en
el que /(x ) está dado por una fórmula (regla de correspondencia de la función).
Por ejemplo: y = ^ 4 - x 2
O
y = x s e n (l-x )
y = e x (x -L n 2 ( l - x 2 ) ) , ....................................... etc.
Esta vez, hallaremos la ^ en las ecuaciones donde la variable dependiente “y” no
está “despejado, es decir “y” no está expresado en términos de “X” .
Por ejemplo: x2 - 4y = 0
x2 -x^ /xy = 2y2 +6
__y
Lnx + e x - c
1. DEFINICIÓN Si tenemos una ecuación de la forma F(x,y) = 0, con y = f(x), 
en el cual la variable dependiente “y” no está “despejado” en
términos de “x” entonces “y se llama función implícita de x” .
En el ejemplo anterior tenemos: F (x , y ) = x - 4y
F(x,y) = x2 -x^/xy -2 y 2 - 6
_y_
F(x,y) = Lnx + e x - c
2. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Dado la ecuación en dos variables F(x,y) = 0,
con y = f ( x ) , necesitamos algún procedimiento para hallar , sin tener necesidad de
despejar “y“ en términos de “x” . Existen dos procedimientos para hallar la ^ en una
ecuación F(x,y) = 0, con y = / ( x ) .
— 165 —
2.1. PROBLEMAS
1. En la ecuación x3 + y3 - 3axy = 0, donde y = / (x ), hallar -~
Solución: 1er Método
1) Aplicar el operador ^ en 
ambos miembros:
^ :(x3 +j>3 -3axy) = -^(0)
£ ( x 3) + ̂ ( y 3) -£ (3 a x y ) = 0 
3x2^ 2^ - 3 a ^ {x,) = Q 
3x2 l + 3y2^ - 3 a ( x .| f + ̂ ) = 0
3x2+3»z T ¿ - 3a( x - ^ +y-1) =0
3x2 + 3y2 g7- 3 a x ~ -3 a y = 0
2) Despejar 
£ [ 3 y 2-3ox] = 3 a y -3 x2
d y __ 3 a y - 3 x 2 
3 y2 - 3ax 
d y _ a y - x 2 
“ y2 -~a x
2do Método:
1) Como F(x,y) = x3 +y3 -3 a x y 
obtenemos:
= 3x2 + 0 - 3a y = 3x2 - 3a y 
— = 0 + 3y2 - 3a x = 3y2 - 3a x
2) Fórmula:
d F
d y _ d x _ 3 x 2 - 3 q y _ a y - x2
^ 3 y2 - 3 a x y2 - a x
DERIVACION IMPLICITA
~ ® --------
2. En la ecuación x = /̂y + \[y , donde y = f ( x ) , hallar 
Solución:
1er Método: 2do Método:
i) £ u > » * < v 6 ) + * ( 3v&>
1 = l y - l / 2 . d y + 1 - 2 / 3 . dy
d x d x
1 - dv
d x
1 j,-V2+ 1 v-?Í3
6 = £ [ 3 i f ’ ' 2 +2iT2'2]
d y
d x 3y-V2+2y 2/3
6 _ Vv
'^ +3pr 3 ^ + 2 ^
y[y34i?
V¡7(3 V v + 2 )
dy _ _ V 2 _
3 ^ + 2dx
1) De: F(x,y) = + ^ /y -x
obtenemos:
!^ = 0 + 0 - l = - l
d x
SF= l y-V2+ l y-? /3 _ 0 
dy 2 y ^ 3 y u
_ 1 3 3̂ /7 + 2 -y/y
6 ^ Vv2
V y ( 3 6Vy + 2) = 3 6y £ + 2
6 ^ 7 ” «V 7
2) Fórmula: 
d̂ x
£F
5 x
~IE:ay
-1
dy _ 6 3J 7 
dx 3^/y+ 2
3. En la ecuación: x2/3 + y2/3 = a2/3, y = / (x), a es constante. Hallar ^ .
1er Método:
1) ^ - (x 2/3 +y2/3 ) = ^ ( a 2/3 )
d x
| x->/3+ | y-V 3 .S = 0
x -V3+ y- V 3 . | i . 0
o\ d y _ x 
d x " " T W - t é
2do Método:
1) De F(x,y) = x2/3+y2/3- a 2/3
obtenemos:
|^ = f x - 1/3 + 0 - 0 = f x -ax 3 3
aF
■2/3
a» = 0 + f v"V3-0 -| s > "2/3
2) Fórmula: <*y
d x
- _ _ 3
2 -̂1/3“ x _ _ 3 / y
¿ d-V3
Moisés Lázaro C.
4. En la ecuación x2 + a yfxy + y2 = b2 , y = / (x ) ; a,b, son constantes. Hallar = y'
1er Método
Usaré y' en lugar de .
De x2 + a yjxy + y2 = b2 , se obtiene:
2x + a * y + y2 x̂y + 2yy' = 0
y = -
2do Método:
De F(x,y) = x2 + a-s/xy+ y 2 - b 2
4 -̂ = 2 x + a —7= + 0 - 0
2 yxy
= 0 + a —4—• + 2y - 0
d x
d F
d y 2 Jxy
2x +
2 y +
a y
2 y/xy _ 4 x<Jxy +ay
4 y ^ /xy + a x
5. Dado: y'3 _ x + y , y = / ( x ) . Hallar = y'
2** M étodo:1 " M étodo:
M Ü M I H
2-y/xy
1 1 ^ 9 f
Al derivan
3y2y'x + y3 • 1 + 4y3y' = 1 - y'
Despejar y':
S i/xy ' + 4y3y '+ yr = 1 - y3 
y'(3y2x + 4y3 +í) = l - y 3
3jF x + 4 jr* +1
De: F{x,y) = y3x + y4 - x + y «j»4-!
Fórmula: y' = -----£
6. Dado: acos2(x + y) = b , y = / ( x ) ; a, b son constantes. Halle .
1er Método:
De: a • cos2(x + y) = b , al derivar: 2a • cos(x + y) • -~^[cos(x + y)] = 0
2a-cos(x + y)-[-sen(x + y ) ] ^ ( x + y) j = 0
-2a • cos(x + y) • sen(x + y) [1 + y'] = 0
=> 1 + y' = 0 => y' = - l
DERIVACION IMPLICITA
(169)
2do Método:
n
De: F (x, y) = a • eos (x + y) - b , obtenemos:
| j = a-2 *cos (x + y) [-sen (x + y)] [1 + 0 ] -0 
= -2acos (x + y)sen (x + y)
-|̂ = a-2cos(x + y)[-sen(x + y)] [0 +1] — 0 
= -2aeos (x + y)*sen(x + y)
Fórmula:
y ’ -- -2cos ( x + y ). sen ( x + ¿ ) = ■2cos ( x + y ). sen (x + V)
En los ejercicios 7-11 hallar las derivadas de las funciones y = /(x ) dadas en forma 
implícita.
7. y - 3y + 2ax = 0 
Solución:
3y2y'-3y' + 2a(l) = 0
y'(3y2 -3) = -2a
- 2 a
=> y = 2a3 y - 3 3 ( 1 - / )
8. y2 -2 x y + b2 = 0 
Solución:
2y y' — 2(1 • y + xyf) + 0 = 0 
y y '- y - x y ' = 0=>y':
y - x
9. x4 + y4 = x2y2 
Solución:
4x3 + 4y3y' = 2x * y2 + x2 • 2yy' 
2x3 + 2y3y' = xy2 + x2yy' 
y'(2y3 - x2y) = xy2 - 2x3
f / _ x y2 - 2 x3 _ x y2 - 2 x2
2 y3 - x2 y V 2 y2 - x;,2
10. x3 + ax2y + bxy2 + y3 = 0 
Solución:
3x 2 + a(2x • y + x2 • y') + b(l * y2 + x • 2yy') 
+3y2y' = 0 
3x2 + 2axy + ax2y' + by2 + 2xyy' 
+3y2y/ = 0
—^ t _ - ( 3 x 2 + 2 a x y + b y 2 ) 
a x 2 + 2 x y + 3 y 2
11. y3 +3x2y + x2 - 2 x y - 3 = 0 ; P( 
Solución:
3y2y' + 3(2x • y + x2y') + 2x
-2(1 * y + x • y') - 0 = 0 
3y2y' + 6x • y + 3x2y' + 2x - 2y - 2 x j / = 0
Como en P (l ,l) , x = 1, y = 1. Entone^
3y' + 6 + 3y' + 2 - 2 - 2y' = 0 
4y' + 6 = 0
=> y' = - f
y, = - !
Moisés Lázaro C.
En los ejercicios 12 - 20 hallar las derivadas de las funciones y = f(x) dadas en forma
implícita:
12. sen(xy) + cos{x y) = tg{x + y) 
Solución: ■ti
cos(x y)[l-y + x-y']-sen(x y)[l-y + x*y’]= sec2(x + y)[l + y'J 
y • cos(x y) + x y'cos(x y) - y • sen(x y) - x y'sen(x y) = sec2(x + y) + y'sec2(x + y)
=> y'[x • cos(x y) - x • sen(x y)-sec2(x + y)] = sec2(x + y) - y • cos{x y) + ysen(x y)
=> y me (x*y)~y.€os{xy)*fygen(xy)
xco$(xy)~xsím íxy)-sen2 { x + y)
13. 2X +2y = 2 X+V 
Solución:
=> 2X + 2y . y' = 2 x+y (1 + y')
=> 2y . y' - 2 x + y . y' = 2x+y - 2X
=* y' = [2y ~ 2 x+v] = 2x+v - 2 X
_ 2̂ - 2X _ 2X [2y -1] _ 2x-y . 2t> -1
2J'- 2 X + V 2y [1 — 2X1 1 - 2 X
14. 2y • Lny = x
Solución:
2[y'-Lny + y .¿ ] = l
2y' • Lny + 2y' = 1 
y' [2 • Lny + 2] = 1 2 ( 1 + L n y )
15. x - y = are senx-arc sen y
Solución:
i v'l - y ' :
i - y
V i - x 2 - i _ y'(-\/1 — p2 - i ) V l - y 2 ( J l - x 2 - i )
1 — x Vl^x2 l - y - 1 j
DERIVACION IMPLICITA
16. xy = yx
Aplicar Ln en ambos miembros: 
Lnxy = Lnyx 
y * Lnx + x * Lny , derivar:
=̂> y' • Lnx + y . -L = 1. Lny + x • L-
y' L n x - — = L ny- —* y ^ x
y ,[ L n * - f ] = Lny ~ ?
f T y • Ln x - x 1 _ x * Lny-y
y L y J *
f _ y r x •Ln y - y
—̂ y ~~ ~ y . L n x - x
19. tg
Solución:
ü= /H E
2 \ 1 + /ck ^9 2* > ^ ~ constante
l y ’ -sec2 | = — V i+fc •¿sec2f
y' • sec2 | = 1— V i+fc • sec2 -|
y' = / — V 1 + fc
sec2 x/2 
sec2 y/2
l i -k 1 + eos y
V 1 + fc 1 + cosx ’
20. y • sen x - eos (x 1 II o
Solución:
17. y = 1 + x • ex 
Solución:
y' = 0 + 1 • e y + x e yy'
=> y ' = e y + x e y • y' 
=> y' [ l - x e y ] = e y =
1 - xev
1 — [y -1] => y = 2 - y
18. x * sen y - eos y + eos 2y = 0 
Solución:
1 * sen y + x • (cosy)y '-[-y 'seny]
-2y ' * sen2y = 0
=> seny+ xy'cosy+ y'seny-2y'sen2y 
=> sen y = y '(-x • cosy-seny + 2sen2y
sen y___________=> y = 2 sen 2y - sen y - x . eos y
pues: eos ^
y' -senx + y * c o s x - [- ( l -y ')s e n (x -y ) ] = 0 
y' • sen x + y eos x + sen(x - y) - y'sen(x - y) = 0 
y'[sen x - sen (x - y) ] = -y eos x + sen(x - y) 
y '[-senx + sen(x-y)] = ycosx + sen(x-y)
=> y =
, _ ycosx + sen(x - y)
sen(x - y) - senx
Moisés Lázaro C.
En los ejercicios del 21-31 halle por derivación implícita y use ese resultado para 
determinar el valor numérico de ^ en el punto que se indica.
21. tg y = x y 
Solución:
y'sec2 y = 1 * y + xy' => y' = — ----
sec y - x
23. arctg(x + y) = x 
Solución:
i + yf = 1
1 + (x + y)
1 + y' = l + (x + y )2
24. ey = x + y 
Solución:
ey -y' = l + y' 
y' (ey -1 ) = 1 =>
25. Lnx + e - ^* =c 
Solución:
' - ± i
= 0
: + e x . y' - y • l v2 = 0
x - e x [x y '-y ] = 0
_£ _1 
x - e x xy' + ye x = 0
^ _ x + ye
_y 
x . e x
: e~ + ^
y' = (x + j/)‘
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
26. arctgX = ÍL n (x 2 + y2 ) 
Solución:
A [ í l , ¿ i * 2*»2'
r -,2 2 2 tl2
> + ]
x • y '- y ■ 1
x 2 _ 1 2x + 2y y'
x2 + j,2 2< x2 +J,2
x2
x . y' - y _ x + y y'
2 2 2 2x + yz x + y
=> x - y ' - y = x + y -y '
=> y '( x - y ) = x + y => v' = —
28 . ye* = ex+1,en A (0,1)
Solución:
y' • ey + y • ey • y' = ex+1 (1 + 0)
Reemplazar: x = 0 , y = 1 
=> y' • e1 +1 • e1 • y' = e0+1
_e _
2e 22y' ■ e = e => y' = ^- = i
29 . y2 = 4ax , en P(a,2a). 
Solución:
2y • y' = 4a
=> 2 [2a]y' = 4a => y '= 1
27. a/ x2 + y2 = c*arctg^-
Solución:
2 ^ 7 7 1 + [ ¿ ] 2
x . y ' - y . l
. 2 x + 2 y y' _ x 2
V x 2
x + y y ' _ , x . y ' - y
^ 7 7 7 x 2 4- y2
=> ¡̂x2 + y 2 ( x + y . y ' ) = c - ( x - y ' - y )
=> x <̂ /x2 + y2 + y y' ^ x2 + V2 = c * x y' - c * y
=> y '[ y>/x2 + y 2 - e x ] = -c • y - x -y/x2 + y ^
, x J x 2 4- y2 4- c y=> y = y = = =
/ 2 2 y y x 4- y - c . x
30. y2 = x + Ln|-, en P(l, 1)
Solución:
Antes de derivar, aplicar propiedad de lo­
garitmos:
o
y = x + Lny-Lnx
Derivar: 2y y1r = 1 + — - -y y y x
Remplazando: x = 1, y = 1
2 (l)y ' = l + ¿ 4
2y' = l + y ' - l o y' = 0
174
Moisés Lázaro C.
31. 1 + — — — = — , en P(2,1)
y X xy 7 V 7 /
Solución:
Antes de derivar, obtener M .C . M .
xy + 2x - y = 5 , derivar: l*y + x«y ' + 2 -y ' = 0
Reemplazar: x = 2 , y = 1 
l + 2y' + 2 - y ' = 0 
y' + 3 = 0
y' - ~3
PR O B LE M A S
32. Dado:
y = y 5 + x2^5 + x2a/5 + x2VTT
Hallar «j- en el punto de abscisa 2.
Solución:
Elevar al cuadrado la función:
y2 = 5 + x2 ^5 + x2^5 + x2yj:5 + x2V^ -..1
o 9
y =5 + x y , Derivar:
2yy' = 0 + 2x ■ y + x2y'
2yyf = 2xy+ x2y'
y '[2y - x 2] = 2xy => y' 2xy
2 y - x z
...2
Como la abscisa es x = 2 , Reemplazar
en (1 ):
y = 5 + 4y
y2 - 4 y - 5 = 0
(y -5 ) (y + l) = 0 < *
V =
-1
y - 5
Reemplazar en (2) el único punto (2,5).
2 ( 2 ) ( 5 ) 1Q 
( 2 ’ 5) 2 ( 5 ) - ( 2 )2 3
33. Si: /'(2ax + l) = ^2x2 + 6 x -1 6
y = /(| x |3 + 3 ), hallar 4r en x = a
Solución:
Io Tener en cuenta que:
Si:
x > 0
y = |x| =
entonces:. <*y _dx
- x , x < 0
1 , x >0
1 , x < 0
£(|x|) = ^ , x * 0
2° Derivar: y = /(|x| + 3 )
=> ¿ = /'(|x|3 + 3 )£ (| x | 3 + 3)
= [/'(| x |3 + 3 )][3| x| 2 ^ "
3o En x = 2 .
= [ / (|2|3 + 3)] [ 3 12|2 -jli
12
^ 7 = 1 2 / ' ( 1 1 )
DERIVACION IMPLICITA
4o Como: f ( 2 x + 1) = ^2x2 + 6 x -1 6
Entonces: 2x +1 = 11
=> x = 5
Luego: / '( l l ) = ^2(5)2 +6(5 )-16 =4
5° + = 12 (4) = 48
34. En los puntos de intersección de la 
recta x - y + 1 = 0 y la parábola
o
y = x - 4 x + 5 están trazadas las nor­
males a la parábola. Hallar el área del 
triángulo engendrado por las normales y 
la cuerda que subtiende los referidos 
puntos de intersección:
Solución:
1. Hallemos los puntos de intersección, 
resolviendo el sistema:
x - y + 1 = 0 => y = x + l 
y = x2 - 4 x + 5 ..............
(I )
(ID
Igualando (I) y (II): 
x + l = x2 -4 x + 5 
0 = x2 - 5 x + 4
0
x = +
= (x -4 ) (x — 1 ) < 1 -^ x = 1
> x = 4 , y = 5 
y = 2
2. Hallar las normales a la parábola 
y = x2 - 4x + 5 en los puntos 
A(4,5), B(l,2)
Veamos:
De: y = x2 - 4x + 5
=> y ' = 2 x - 4 <
E n A : y ' = 2 ( 4 ) - 4 = 4 
E n B : y f = 2 ( l ) - 4 = - 2
3. a) La pendiente de la normal en el punto
A, es: —K = y su ecuación será:
y 4 y
y -5 = - j ( x - 4 ) <=> N2 : x + 4y- 24 = 0
b) La pendiente de la normal en el 
punto B, e s = = l y su
ecuación, será:
y - 2 = y (x - l) <=> N2 : x — 2y + 3 = 0
4. El punto de intersección entre N1 y 
N2 , se halla resolviendo el sistema:
j x + 4 y -2 4 = 0 
{ x - 2y + 3 = 0 
obteniéndose el punto P(6,9/2).
5. El área del triángulo APB se halla por 
la determinante en valor absoluto:
P<3,9/2)
A(4,5) B (1 ,2)
4 5 1
6 9 /2 1 
1 2 1
_ 15 
4
35. Hallar la ecuación de la tangente a la 
curva: x 2{x + y) = a2 (x -y ) en el origen 
de las cordenadas.
Solución:
1. La pendiente de la tangente es y' en 
el punto (0,0). Hallemos y' de la
ecuación: x2(x + y) = a2(x~y)
=> 2x(x + y) + x2(l + yf) = a2 (l~y') 
En (0,0):
2 (0)(0 + 0) + 0(1 + y") = a2(l - y')
0 = a2(l~~y')
: y' - 1
176}
Moisés Lázaro C.
2. La ecuación de la tangente en (0,0)
será: y - 0 = 1 • (x - 0)
y = x
36. ¿Qué ángulo forman las curvas:
Q : 4y3 + x2y - x + 5y = 0
C2 : x4 - 4y3 + 5x + y = 0
cuando se intersectan en el origen de
las cordenadas?
Solución:
1. El ángulo entre dos curvas está defi­
nido por las tangentes.
2. Hallar y' e Cx : De:
4y3 + x2y - x + 5y = 0 , obtenemos:
12y2 • y' + 2x * y + x2 • y' -1 + 5y' = 0
En (0,0):
0 + 0 + 0 -1 + 5y' = 0 > y' = ±
3. Hallar y' de C2 : De:
x4 - 4y3 + 5x + y = 0 , obtenemos:
4x3 -12y2 *y' + 5 + y' = 0
En (0,0):
0 - 0 + 5 + y' = 0 => y' = -5
4. Comparando ambas pendientes el
1
5ángulo es 90° , pues: - ( - 5) = -1
3 7 .a ) Si 2y = l + xy3 , hallar en el
punto M (l,l).
Solución:
De: 2y = l + xy3
Obtenemos: 2y' = 0 + x(3y2y') + y3 (1)
2y' = 3xy2y' + y3
Reemplazando el punto M( 1,1), obte­
nemos:
2y' = 3(1) (l)2 y' + (l)3 
2y' = 3y' + l
2 y '-3 y ' = l
b) Si // = F(x,f) definido por:
// = a e 9t • cos(3x + b ), probar que
_ dfi
Solución:
dx*
1. De: ju = ae~9t • cos(3x + b)
Obtenemos:
d / j - 9 t r
d t
d x
= ae ■3sen (3x + b)]
-3a e 9tsen (3x + b)
ñ
d x ‘
= -3ae_9t[3cos (3x + b)]
= -9 ae 9i • eos (3x + b) «-
E j = a • eos (3x + b) [~9e~9í ‘
= -9a e -91 eos (3x + b)
"rt3
.£P
o
38. Si: (x + y) = 27(x - y ), hallar:y' = 7 en el punto P(2 ,1 )
DERIVACION IMPLICITA
Solución:
o
De: (x + y) = 2 7 (x -y ) se obtiene:
3(x + y)2^ ( x + y) = 2 7 £ ( x - y )
3<x + v)2( l + ̂ ) . 2 7 ( l - j f ) ...(1) 
Sustituir el punto P(2.1) en (1):
3(2 + l)2 ( l + ̂ ) = 27 (: d y
2 7 ( l + f i ) = 2 7 ( l - f £
d x d x
2 ^ = 0 => 
d x
d y
d x
= o
39. Si: y4 = 4x4 +6xy 
Hallar ^ en (1,2).
Solución:
De la ecuación: y4 = 4x4 + 6xy
Obtenemos: 4y3y' = 16x3 + 6 [xy ' + y]
1) 4y3y' - 16x3 + 6x y' + 6y 
Sustituir el punto (1,2) en 1):
4(2)3y' = 16(l)3 +6(l)y' + 6(2) 
32y' = 16 + 6y' + 12 
26y' = 28
26
40. La ecuación x3 + y3 = 1 define una 
o más funciones y de x.
a) Supuesto que existe la derivada y' y 
sin resolver la ecuación respecto a y, 
demostrar que y ' satisface a la ecua­
ción x2 -f y2y' = 0
b) Supuesto que existe la segunda deri­
vada y” , demostrar que y”
y" - - 2xy~5 siempre que y ̂0
Solución de a)
De: x 3 + y3 = 1
Obtenemos: 3x2 + 3y2y' = 0
=> x2 +y2y' = 0 (0
( i i )
Donde y' es solución de la ecuación: 
x2 +y2y' = 0
Solución de b)
De: x2 +y2y' = 0
Obtenemos:
2x + [y2y" + y'(2yy')] = 0
2x + y2y" + 2yy '2 = 0 ... (III) 
Sustituir (II) en (III):
2x + y2y" + 2y ( - 4 ) 2 =0 
y
2x + y y" + 2y ■ 0
2x + y2y'' + - 2 4 = 0
2xy3 + y5y" + 2x^ = 0
y" = - 
/ = ■
- 2 x y 3 - 2 jc4
2x(y3 +x3)
Moisés Lázaro C.
Pero: y3 + x3 = 1 => y" =
y y
41. Si 0 < x < 5 La ecuación:
x?i/2 + y1/2 = 5 define “y como función 
de x ° ” . Sin resolverla respecto a y de­
mostrar que y' tiene signo negativo.
Demostración:
De: x :/W 2 =5 (1)
Obtenemos: i x ^2 +■£■ y ^2 y' = 0
X - V 2 + y -V2 ^ = 0
y' = - ^
■1/2
1/2
(2)
En (1) dividir por x1/2 
1 j v1'2 - 5
I + x l/2 " * 1 /2
V x - xl/2 A- 
Sustituir (3) en (2):
v - t * - 1 )
(3)
(4)
Como: 0 < x < 5
=> ^ < ^ 5
- L > - L 
^ L /5
Multiplicar por 5: =» >
—N <■ 5_
Sumar 1: => 1— 5 - < l — ..........(5)yx y5
Comparando (4) con (5), obtenemos:
ES NEGATIVO.
42. La ecuación xsenxy + 2x2 =0 de­
fine implícitamente y como función de x. 
Suponiendo que y' existe, demostrar que 
satisface la ecuación.
y'x2 eos xy+ xy cosxy + senxy+ 4x = 0 
Demostración:
Q
De: xsen xy + 2x = 0 . Obtengo:
x [ £ s e n x y ] + [^ x ] s e n x y + 4x = 0
x [ (eos xy) ^ xy J + l.sen xy + 4x = 0 
x [(co sx y )(x y ' + y )] + senxy + 4x = 0 
x2y'cos xy+ xy cosxy+ senxy+ 4 = 0
43. La ecuación 3x2 + 4y2 = 12 define 
implícitamente dos funciones y de x si 
| x | < 2 Supuesto que la segunda deriva­
da y” existe, demostrar que verifica la 
ecuación 4y3y" = -9
Demostración:
De: 3x2 +4y2 = 12
Obtengo: 6x + 8y y' = 0
Dividir por 2: 3x + 4yy' = 0 . . .
3 x
y = - 4 y
(1)
(2 )
DERIVACION IMPLICITA
De (1): 3x + 4yy' = 0
3 + 4 (yy"+ y '-y ') = 0
3 + 4yy" + 4y'2 =0 (3)
Sustituir (2) en (3):
3 + 4yy" + 4 ( - J f ) 2 =0
3 + 4yy" + 4
16 y
12y2 + 16y3y" + 9x2 = 0
12y + 16y y" + 9x = 0
3 (4y2 +3x2 ) +16y3y ' = 0
12
3(12) + 16y3y ' = 0
Dividir por 4:
3(3) + 4y3y" = 0
=> 4y3y" = -9
44. ¿Qué ángulo forman entre sí las parábolas y = x2 y y = x3 al cortarse?
Solución:
i) Los puntos donde se cortan las curvas y = x2 y y = x3 se hallan resolviendo el sistema:
y = x
y = x
.(I)
.(II)
Veamos:
Igualando las ecuaciones (I) y (IT) obtenemos: x = x
c=> x2 - x3 = 0
J2
Sustituir en (I)
x ( l - x ) = 0
x = 0 v x = 1
Si x = 0 => y = (O)2 = 0 <=> A(0,0) - 
Si x = 1 => y = (l)2 = 1 » B(l,l) .
PUNTOS DE INTERSECCION
ii) Las pendientes de las rectas tangentes se obtienen derivando f(x) = x y g (x) = x
De: / (x) = x2 se obtiene:
f'(x) = 2x
En A(0,0), se tiene: /'(1) = 2(1) = 2
En B(l,l), se tiene: /'(1) = 2(1) = 2
De: g(x) = x , se obtiene:
g'(x) = 3x2 
En A(0,0) se obtiene: g'(0) = 3(0)2 =0
En B (l,l), se obtiene: g'(l) = 3(1 )2 = 3
Moisés Lázaro C.
iii) La fórmula tgé?: m2 - mi 1 + mi rr\2
es para hallar el ángulo que 
forman dos rectas y £2
de pendientes m1 rrq y m2
m2 respectivamente.
Pero la pendiente de una recta, que es tangente a una curva, es la derivada en el pun­
to de tangencia.
Así tenemos:
a) En el punto A (0,0):
f í Ol - g ' í O) _ 0 - 0 _ 0 n
Iy í 7~ l + f ( 0 ) g ' ( 0 ) ” l + ( 0 ) ( 0 ) " l " U
=> tg = 0 => 0 = are tg 0 =̂> <9 = 0° u 6 = 2n
b) En el punto B (1,1):
/ ' ( D - f l ' d ) _ 2 - 3 i
l * a ~ 1 + f ' Í l ) S ' ( l ) 1 + ( 2 ) ( 3 ) 7
=> tg a = - j => a = arctg ( ~ y ) •
En las siguientes ecuaciones, hallar y' = ■—■ sabiendo que y = /(x )
45. a eos xy = b ; a, b son constantes.
Solución:
1er Método:
Si: a eos2 xy = b
Entonces: a(2cosxy) j^^cosxy j = 0
a(2cosxy)[-senxy][^(xy)J = 0
(-2 a cosxysenxy) dy
Si: a eos xy sen xy ^ 0, entonces:
dyX ^ + y = 0 => ^ =dx * dx x
2o Método:
9De: a eos xy obtenemos:
F(x,y) = acos x y - b
Donde:
/) 4 -̂ = a [2cosxy] [-senxy] [y] - 0d x
-2 ay cosxysenxy
//) yy = a [2cosxy] [-senxy] [x]
///)
= -2ax eos xy sen xy
dy _ -2a y cosx y senxy _ y 
d x -2a x cosx y senxy x
46. ex+y - ex~v =2
DERIVACION IMPLICITA
Solución:
1 er M étodo:
Aplicar ^ en ambos miembros:
£ ( e x+y- e x- y ) = ^ ( 2 )
1 +ÉLdx 1 - ÉLdx
x+y + dy gX+y _ g X - y dy x -y = 0
dx dx
dy _ e x ~v - ex + y
g x -y _ g x+y
2 do M étodo:
De: ex+y - ex~y = 2, se tiene:
F(x, y) = ex+y - ex_y - 2
Donde:
1) |£. = ex+y [l + 0 ] - e x~y [ l - 0 ] - 0
2) |^ = ex+y [0 + l ] - e x~y [0 — 1] — 0
= ex+y + ex_y
3 ) É ldx
x+y _ „ x - y x - y , ,*+y
ex + y + e x - y e x+y + e x - y
4 7 . sen y - n senx = 0 , n es constante.
Solución:
1 er M étodo:
^ (se n y -n se n x ) = -^r(0)dx
(cosy)“j^ -ncosx = 0
ÉL _ ncosx
dx eos y
2 do Método:
Tenemos: F(x,y) = sen y -nsenx
Entonces:
1) = 0 -n cosx = -ncosx
' d x
r%\ d F n2) — = cosy - 0 = cosy
Q\ É L — ~ncosx _ ncosx
' d x eos y cosy
SíSiución:. ' .
1 “ M étodo:
Derivar directamente, usando la notación
De: aJr~y = sen (x + y)
Obtengo:
ax+J,[l + y']Lna =[cos(x+y)] [ 1 + y' J 
Factorizar. 1 + y '. se obtiene:
2 do M étodo
De: ax~v = sen (x + y ), tenemos:
F (x, y) = ax+y - sen (x + y)
Donde:
1) % = ax+v [l + 0]L n a-[cos(x + y)][l + 0]
= ax+v Ln a - eos (x + y )
Moisés Lázaro C
2) g = ox+!;[0+l]Lma-[cos(x+y)][0+l]
= ax+y Lna-cos(x+y)
o \ c/y _ qx+v L n q - c o s ( x + y)
d x ax+y L n a - c o s ( x + y)
d x 1
49. x + yj xy + y = a , a es constante.
Solución:
1er Método
Derivando directamente, usando la nota­
ción y' De: x + yfxy + y = a
Obtenemos:
l +laiL + y' = o
2^T¡¡
l + 2 ^ + y' = 0y
2y[xy + xy' + y + 2y'yfxy = 0
y'(x + 21/x y ) = -2 y f x y - y
t _ 2 . / x y + y
- 2/xy
2do Método:
De: x + -N/x y + y = a , tenemos:
F (x , y) = x + ^/xy + y -a
Donde:
t ft ( x y )
1) ££= ^ + - ^ = - + 0 - 0 = 1 + —£=
2) i r = 0 + + l L + l - 0 = —í — -fl
2 / x y 2 / x y
3) dyd x
1 +
2 /xy
2 / x y _ 2 / x y + y
+ 1 x + 2 / x y
50. Si: (x + y) =27 (x - y ), hallar
Solución:
1er Método:
3(x + y)2 (1 + y') = 27 (1 - y')
3(x + y)2 + 3(x + y)2 y' = 27 - 27y'
(x + y)2 +(x + y)2y' = 9 -9 y '
(x + y)2y' + 9y' = 9 - (x + y)2 
y'[(x + y)2 + 9] = 9 - (x + y)2
> 9 - (x + y)2
y =
(x + y) + 9
2 Método
De: F(x, y) = (x + y) - 27(x - y)
obtenemos:
1) g = 3 (x + y)2(l + 0 ) - 2 7 ( l - 0 )
= 3 (x + y)2 -2 7
2) g = 3 (x + y)2(l + 0 ) - 2 7 ( 0 - l )
= 3 (x + y)2 +27
ov dy _ 3( x + y ) 2 - 27 _ 9 - ( x + y )2
~ ~ 3 ( x + y ) 2 + 27 _ (x + y)2 + 9
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
51. Hallar ]/ de la ecuación: 1 + xy = xy {exye xy) 
Solución:
2do Método: Queda como ejercicio...
52. Hallar: y' = de la ecuación: tg (x2 + y2) + ex + ey =0
Solución:
1er Método:
^ [tg (x 2 +i>2) + ex + e1' ] = £ [0 ]
[sec2(x2 +y2 )]|^2x + 2y— Ĵ + 2xex2+2y-^-ei'2 =0 , Dividirpor2:
[sec2(x2 +y2)] dy + xex + V ^ eV
xsec2(x2 +y2) + y^ -sec2 (x2 + y2 ) + xex =0
[ysec2(x2 - y 2 ) + y ey2 ] = -x sec2 (x2 + y2 ) - x e x
Moisés Lázaro C.
2
d y _ - x sec2 ( x2 + y2 ) - x ex
d x
d y
d x
2do Método: De la ecuación: tg (x2 + y2 ) + ex + e v =0
Tenemos: F(x,y) = tg(x2 +y2 ) + ex2 + e J'2
Donde: 1) |^ = [sec2 (x2 + y2 )] [2x + 0] + 2xex2 +0
| j = 2x[sec2 (x2+ y2 ) + ex2]
2) §£ = [sec2 (x2 + y2 )] [0 + 2y ] + 0 + 2ye1'2
= 2ysec2 (x2 + y2 ) + 2yeJ>
= 2y [sec2 (x2 + y2 ) + ]
2 2 2 sec* x* + y* + e
sec2 x2 + y2 + ey
53. Hallar y '=^r de la ecuación 4x3 - 3 x y 2 + 6 x2 - 5 x y - 8 y 2 +9x + 14 = 0
Solución:
1er. Método:
■^[4x3 -3 x y 2 +6x2 - 5 x y -8 y 2 + 9x + 14] = -^-[0]
12x2 - 3 £ [ x y 2] + 1 2 x - 5 £ [ x y ] - 1 6 y f + 9 + 0 = 0
12x2 -3 [x (2 y -| ) + y2 ] + 1 2 x - 5 [ x f + y ] - 1 6 y ^ + 9 = 0
12x2 - 6x y f - 3y2 + 12x - 5 x $ - 5y - 16y$ + 9 = 0
^ [ - 6 x y - 5 x - 1 6 y ] = -12x2 +3y2 -1 2 x + 5 y - 9
dy _ -12x2 + 3y2 - 12x + 5y - 9 12x2- 3 y 2 + 1 2 x - 5y + 9
cfx - 6 x y - 5 x - 1 6 y 6xy + 5x + 16y
2
3 ) ciy _ 2x[sec2 (x2 + y2 ) + ex ] _ x
^ X 2y [sec2 x2 + y2 + ^
y sec x + y + y ey
sec2 ( x2 + y2 ) + ex
sec2 ( x2 + y2 ) + ey
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
< §>
2do Método:Tenemos F(x,y) = 4x -3 x y +6x - 5 x y - 8 y + 9x + 14
Donde:
1) §| = 12x2 -3 y 2 + 1 2 x -5 y -0 + 9 + 0
2) |£- = 0 -3 x (2 y ) + 0 -5 x -1 6 y + 0 + 0
o\ d y _ 12x2 - 3y2 + 12x - 5y+9
' d x -6 x y - 5x - 16y
d y _ 12x2 - 3y2 + 12x - 5y + 9
d x 6xy + 5x + 16y
54. En la ecuación: exyseny - cosx = 0 , y = f ( x ) . Hallar: ^
Solución:
d x sen y + exy -—-seny dx y -(-sen x) = 0
e ^ ^ ( x y ) seny + exy • cosy • y '+ senx = 0
exy [1 • y + xy']seny + y'exy cosy + senx = 0
yexy seny+ x y'exy seny+ y' exy cosy+ senx = 0
- ( y exy sen y + senx ) 
exy ( cosy + xseny)
2.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
Funciones dadas en forma implícita:
1. Dado: b2x2 + a2y2 = a2b2 , hallar: ^ 4
d x ¿
2. Dado: x2 + y2 = r2 , hallar: — £
* d x 3
3. y = tg (x + y ),
d x
4. e * +y = x • y ; y " = ?
5. ey + xy = e ; hallar y" para x = 0
______________________________ Moisés Lázaro C.
6. y - 2 px , hallar: k =
J(l + y'2)3
7. Comprobar que de: y2 + x2 = R 2 se deduce k = . donde k = [¿ 1
^(1 + y'2)3
8. Demostrar que si: ax2 +2bx • y+ cy2 +2gx + 2 /y + h = 0, se tiene:
dy _ _ ax + by + g d y _ a donde A es una constante que no de-
dx b x + c y + f y d x (bx + cy + f ) 3
pende de x e y.
9. Demostrar que si: (a + bx)e* = x , se tiene: x3 -j-|- = ̂x-j£ - y j
o O
1 0 . Encuentre los puntos de la circunferencia cuya ecuación es: x + y = 25 , en
los que la tangente es paralela a la recta cuya ecuación es 4x = 3y
Funciones dadas en forma paramétrica:
11.
12.
13.
14.
15.
x = at2 d 2x = ?
y = bt3 d y 2
x = acosí d2 p - ? d3 y _ 9
y = asení d x 2 d x 3
x = a(<|>-sen<j)) d 2 V . = ?
y = a(l-cos<|>) ’ d x 2
Qx = a eos í d 3y _ 9
Qy = asen í
5
d x 3 •
x = ai. cosí d2 y __ 9
y = aísení d x 2
16. Demostrar que la función y = /(x ) dadas mediante las ecuaciones paramétricas:
A. A. O
y = e • cos í, x = e sení, satisface la relación: y"(x + y) = 2(xy' - y)
DERIVACION IMPLICITA_______________________________ ^
17. Demostrar que la función y = f(x) dada mediante las ecuaciones paramétricas
y = 3 t - t 3 , x = 3 12 satisface la relación 36y" (y - ^ 3 x ) = x + 3
{x — sen t 2probar que: (1 - x2) - x4^- + k2y = 0y = senkí d* dx
. x = / (í) • cosí - / ' (í)sent
19. Demostrar que si: <
y = (í) • sení + / ' (í) • cosí
Se tiene: ds2 = d x2 + dy2 = [f(t) + f"(t)]2dt2
Respuestas:
1 o 9 Jr J
a2 y3 y5
3. 2 ( y4 + 8y2 + 5) y [ ( x - l ) 2 + ( y - l ) 2 ] 
x2 ( y - l ) 3
10. (4 , -3) , {-4, 3) 11. 2a
12. 3b eos t
y3 a sen3 t
13.
a (1 - cosd
14. eos2 t - 4 sen2 t 
9 a2 eos7 t sen3 í
15. 2 +12 
a(cost-ísení )3
Moisés Lázaro C.
3. DERIVADA LOGARITMICA APLICANDO PROPIEDADES Y DERIVA­
CIÓN IMPLÍCITA
Cuando una fundón está expresado en forma de cociente, productos o potendas e: 
tonces, antes de derivar, debemos aplicar logaritmo y sus propiedades.
Las propiedades que se necesitan son
I.- Ln(AB)*LnA+LnB ~ Jk. ^ _ Nota: ;;; “Ln’’ es la notódó» fá lio& iitkm '*
ir i rs(A\ T«a f „ r Natural. Además .el logaritmo natu-
II. • hxiñ. IJtfí raitkne como base el número V* y ¡
III. LnA" = mLnA
por definición tenemos que.
LnN = x c = > N = e*
Además, si y = Ln// => y'^- ; ft = ¡j{x) \ m’ = ^¡j-
EJERCICIOS
1. Hallar: y' = ^ , sabiendo que: y = xcosx
Solución:
1er. Aplicar logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación:
y = xcosx 
Lny = cosxLnx
2<io v_— = eos X y “■ J + L nx[-senx]
= — cosx - senx LnxX
y' = y[x
y = x
cosx-senxLnx i
[i cosx -sen x Lnx
2. Si y :
V (x + 2 )2 V (x + 3 )3
, hallar: y' = ^
DERIVACION IMPLICITA_______________________________
Solución:
Io ) Aplicando Ln: Ln y = LnV*- 1 -L n ( ^(x + 2 )2 ^/(x + 3 )3 )
= lL n ( x - l ) - ( L n $ ( x + 2)2 + Ln^/(x + 3)3 )
= -|L n(x -l)-(J -L n (x + 2) + -|Ln (x + 3 ))
Lny = lL n (x - l ) - | L n (x + 2)--|Ln(x + 3)
oo\ ¿ _ i _ l 2 _ l _____ 3 1
1 y 2 x — 1 3 x + 2 2 x + 3
y ' = y [ 2 ( r - 1) 3 (x + 2) 2 (x + 3)
_ 3 (x + 2 ) ( x + 3 ) - 4 ( x - l ) ( x + 3 ) - 9 ( x - l ) (x + 2)
y 6 ( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3)
-1 0 x 2 - 2x + 48 ( - 2 ) (5x2 + x - 24)
x -1 ) (x + 2)(;
5x2 - x - 24
^ ^ 6 (x - 1 ) (x + 2)(x + 3) y 6 ( x - l ) ( x + 2)(x + 3)
y = - -Z*-1
x + 2 ) 2 sjix + 3) ^ 3 ( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3)
3 ( x + 2 )5/3 { x - 1 )1/2 (x + 3 )5/2
3. Si y = . , hallar: y' = 4̂ -
V ( x - l ) s ( x - 3 ) u dx
Solución:
Io) Aplicando Ln:
Lny = L n (x -2 )9 -L n -y /(x -l)5 ( x - 3 ) 11
= 9 L n ( x - 2 ) - l L n ( x - l ) 5 ( x - 3 ) 11
= 9 L n ( x - 2 ) - i [ 5 L n ( x - l ) + l l L n ( x - 3 ) ]
Lny = 9 L n ( x - 2 ) - | L n ( x - l ) - ^ L n ( x - 3 )
— ® —
2o) Derivando:
Moisés Lázaro C.
)/_ _ Q 1____ 5 _ 1 _____ 11 1
y x - 2 2 x - 1 2 x - 3
y' _ 18 (x - 1 ) ( x - 3 ) - 5 ( x - 2 ) ( x - 3 ) - l l ( x - 2 ) ( x - 1 )
y “ 2 ( x - 2 ) ( x - l ) ( x - 3 )
18 (x2 - 4x + 3) - 5 (x2 - 5x + 6) -11 ( x2 - 3x + 2)
2 ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x - 3 )
y' 2x2 - 14x + 2
y 2 { x - 2) ( x - 1 ) (x - 3 )
y = y
2 (x - 7x +1)
2 ( x - 2) ( x - 1 ) (x - 3 )
(x - 2) ( x2 - 7x + l )
V ( x - l ) 5 ( x - 3 ) n ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x - 3 )
( x - 2 ) 8 (x 2 - 7x + 11)
^ ( x - l f ( x - S ) 11 ( x - 1 ) ( x - 3 )
4. Si y = xx , hallar: y' •É ldx
Solución:
2
1° Aplicando Ln: Ln y = xx * Ln x
2o Aplicando Derivada:
¿ = xx i + Lnx - f x * 2y x d x
Haciendo: ju = x x
Aplicando Ln: Ln jl¿ = x Ln x
Derivando: — - y ? • ^ + 2x • Ln x
f j X
¿L = x + 2x LnxM
ju' = ju [x + 2x Lnx]
v x
dx
( i )
Reemplazar (2) en (1):
¥- = x x j¿ + xx [ x + 2xLnx]Lnx
y = xx j ^ + (x + 2x Lnx)Lnx J 
y' = y x x [^ + x Lnx + 2x Lnx J
f _ ^.xx ^.x2 f 1 + x2 L nx+ 2x2 Ln2 x
y ^ x xX xx"_1 (1 + x2 Lnx + 2x2 Ln2 x )
= jur = xx [x + 2x Lnx] ...(2)
DERIVACION IMPLICITA
.2
X - - 1
5. Si y = x , hallar: y' = -g
Solución:
Io Aplicando Ln:
Lny = Lnx + Ln^
= Lnx +
f -
= Lnx+ 1 [Lnx2 -L n (x 2 +1)] 
= Lnx + ^ -[2L n x-L n (x2 +1)] 
Lny = Lnx + -| L n x--jL n (x2 +1)
6. Si y = (x +1) (arctgx)x , hallar: y' =dydx
2o Derivando:
yf _ i ■ 2 i 1 2x
y x 3 x 3 X2 +1
y' _ 3 (x2 + 1) + 2 (x2 + l ) - 2 x 2
3 x ( x + 1)
¿ — 3x + 5 
v ~ 3 x ( x 2+ l )
3x2 + 5y = y s-----
3 x ( x +1)
3x2 + 5
x2 + l 3x ( x2 +1)
y == 1 3
Io Aplicar Ln: Ln y = Ln (x +1) + x Ln (are tg x) 
2o Derivando:
y_
y - ^ - + x (arc;sx) +Ln (arctgx)arctgx v ° '
1
— = |x + x 1+.x +Ln (are tgx)
V x +1 arctgx ' a '
. 2x _j________ x_______
x2 + 1 (1 + x2 ) are tgx
+ Ln (are tgx)
2x are tgx + x + (1 + x ) are tgx Ln(arctgx)
(1 + x ) are tgx
y' = (x +l)(arc tgx)x 2x are tgx + x -f (1 + x ) are tgx Ln ( are tgx ) 
(1 + x2 ) are tgx
y ' = (are tgx)x 1 [2x are tgx + x + (1 + xz ) are tgx Ln (are tgx)]
Moisés Lázaro C.
7 . Si y = xLnx , hallar: y' = ̂
Solución:
Io Lny = LnxLnx
O
Ln y = Ln x
2o -L = (2Lnx) (Lnx)'
f = [2 L n x ) ( l )
y' = y [2 L n x ](¿ )
y' = xLnx[2 Lnx] ( -^)
y' = 2xLnx~1 Lnx
8 . Si y = tgx 1 - e x hallar: y' = 4 -̂
d x
_ 1 + e*
Solución:
Io Extraer Ln a ambos miembros:
l - e xLn y = Ln tg x + Ln
1 + e
Ln y = Ln tgx + Ln (1 - e x ) - Ln (1 + ex ) 
2o Derivando:
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Entonces:
s e n 2x 1 _ e * 1 + e *
2(1 - e x ) ( 1 + e x) - e x s e n 2x ( 1 + e x - e x s e n 2x ( l - e x )
( l - e x ) ( l + e x ) s e n 2x
j / _ 2 - 2 e 2x - e x s e n 2 x - e 2 x s e n 2 x - e x s e n 2 x + e 2 x s e n 2 x
y = y
( l - e x ) ( l + e x ) s e n 2 x
2 - 2 e 2 x - 2e x s e n 2x
(1 - e x ) ( l + e x ) s e n 2 x
y' = tgx 1 - e x
1 + e x
2 - 2e 2x - 2e x s e n 2 x
{ l - e x ) ( l + e x ) s e n 2 x
2 t g x (1 - e - e x s e n x )
(1 + e x )2 s e n 2x
9. Si: y = x5(a + 3x)3 (a -2 x )2 , hallar: =
Io Lny = Lnx5 + Ln (a + 3x)3 + Ln (a - 2x)2 
Lny = 5Lnx + 3Ln (a + 3x) + 2Ln (a -2 x )
2 o — = 5 — + 3 — -r—
y x a + 3 x
+ 2
a - 2x
j / _ 5 ( a + 3 x ) ( a - 2 x ) + 9 x ( a - 2 x ) - 4 x ( a + 3 x )
y x ( a + 3 x ) ( a - 2 x )
y' = x5 (a + 3 x )3 (a - 2x )2
Si ga s i m p l i f i c a n d o ...
5 ( a + 3 x ) (a - 2 x ) + 9 x ( a - 2 x ) - 4 x ( a + 3 x )
x ( a + 3 x ) ( a - 2 x )
10. S i : y : W * - l $ hallar: y ' - —
V ( * - 2 )3 ^ / ( x - 3 )7 ’ d x
Io Lr¡ y = §Ln (x - l) -| -L n (x -2 )-| -L n (x - 3 )
o o ¿ _ 2 _ 1 _____ 3 _ ] _______ 7 1
y 5 x - 1 4 x - 2 3 x - 3
2 4 ( x - 2 ) ( x - 3 ) * ~ 4 5 ( x ~ l ) { x - 3 } - 1 4 0 { x - 1 ) ( x - 2 )
6 0 ( x - 1 } ( x - 2 ) ( x - 3 )
, _ j> 1 2 4 { x 2 - 5 x + 6 ) - 4 5 { x 2 - 4 x + 3 ) - 1 4 0 ( x 2 - 3 x + 2 ) ]
V 6 0 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )
- 1 6 1 x 2 + 4 8 0 x - 27 1
Moisés Lázaro C.
4. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Si: y ~ /<x) , entonces las notaciones siguientes se leen en la forma indicada: 
N O T A C IÓ N S E L E E
„d_dx
= y' La l m derivada de y con respecto a x
( ~ ) = ~ ~ ~ = y" La 2da derivada de y con respecto a x
 ̂ J = *~-f = y'" La 3m derivada de y con respecto a x
í J = = y ̂ La 4ta derivada de y con respecto a x
d .. .....
~ á x I d (n-.r i ~ ~ V La n-ésima derivada de y con respecto a x
EJERCICIOS
1. Si: y = cosax, hallar y^
Solución:
y '= - asenax = acos( ax+ -|-j 
yff = -a 2 cosax = a2 cos^ ax + 2 -|- ̂
yw= a3senax = a3 cos( ax + 3-| j
y4 = -a 4 cosax = a4 cos( ax + 4-|- )
y^ = = an cos^ ax + n|r)
2 . Si: y = ax , hallar: y^
Solución:
y' = axLna = (Lna) ax
y" = (Lna)ax Lna = (Lna)2 ax
yw = (Lna)2ax Lna = (L n a )V
y(n)=(Lna)nax n e Z+
DERIVACION IMPLICITA
3. Si: y = e kxHallar y'n* 
Solución:
y' = -k e~kx
y" = fc2 e kx
y" = -k e
y <n)= ( - l )n kn e~kx ,
- k x
5. y = j - 7 . Hallar y'(n)
Solución:
(1 + X){ -1)-(Í -X)(1)
( l + x )2
4 Si: y = Ln (1 + x ) . Hallar
Solución:
y" = - ( l + x r 2 = - — L -
(1 + x )2 ■
y"' = - ( - 2 ) ( l + x r 3 = —
(1 + x
y4 = -2 • 3(1 + x)“4 =- "2-3
( l + x )
y5 = 2 - 3 - 4 (l + x)-5 = —-3 4
/ -« \D
4!
( l + x )5
y(n) = ( - i ) j^ -1 . ( n - 1 ) !(l + x ) n
( l + x ) "
-2(l + x)-
y" = ~2 ( - 2) (1 + x) = 2.2 (1 + x)
y" = 2.2 ( - 3 ) (1 + x)“4 = -2.2.3 (1 + x)-4
y4 = -2.2.3 ( - 4 ) (l + x ) 5 = 2.2.3.4 (l + x),-5
y (n) = 2 ( - l ) n n !( l + x)“(n+1)
6 . y = x e x. Hallar y(n)
Solución:
Para hallar la n-ésima derivada de un producto de dos funciones y = / / v , aplicaremos
la fórmula de LEIBNIZ.Para ello hagamos la deducción correspondiente:
Si: y = jliv, entonces:
1° y' = fj!u + fio'
< §>
Moisés Lázaro C.
2 o y' = f i "v + ft ’o' + M'v' + Mo‘
= M"o + 2 n 'v ' + t i v "
3o y'" = n'"v + 2(ju"o' + no") + n'o" + no'"
= n " 'o + 3 n " v , + 3 n 'o " + n o '"
4o y(4) = nw Q+ n'"o'+3 (n"'o' + n"o")+3 (n"o"+ n'o'")+ + n q{A)
i = nWo + 4 n"'o' + 6 n"o" + 4 ¿r't/" + //t;(4)
//(4,u + 4//*3*ü̂ + 6 ¿ /2>u<2> + 4/.<1>u<3) + ¿ru<4>
n y<">=( / /<,)<”> =
Fórmula de Leibntz
Que es similar al BINOMIO DE NEWTON.
(¿i + u)n = ¿¿n +rijUn 1v +
En consecuencia, si y = x e x
Hagamos: ju = ex
Derivando: juf = ex i / = l
v = x
v" = 0
ü{n) =0
Aplicando la fórmula de Leibniz:
Y{n) =(exx)n = e xx + nex + 0 ... + 0
= ex(x + n)
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
7. y = xsenx . Hallar: y^
Solución:
Io Hacer: // = sen x
2o Derivar //' = cosx = sen( x + -|-) o = x
/ / = -senx = sen/x + 2|r) -1
/ o \ y" = 0jli = -co sx = senl x + 3^-1 
= senx = sen ( x + 4^- )
=sen^x + n-|-)
3o Aplicando la fórmula de Leibniz:
y (n) = / / (n) u + n a 1" " 1’ y'+ H Í I ^ ,/<"-■V + ...
y (n) = sen (x + n-|) + n sen (x + ( n - l ) | - ) . . .
y (n̂ = sen ( x + n ^ - neos ( x + ̂ n )
Pues:
sen ̂x + (n -l)-| ) = sen( x + ^ ;r--| ) = senA cos-| - eos A sen-|, siendo A = x + -|7r
^ ( T í
= -cos( X + ̂ /T j
y" = -2 • 2sen2x = -2 2 sen2x = -2 2cos^2x+3^)
~ ^ 2 ■2cos2x = -23 co52x = -2 3cos( 2 x + 4 ^ )
Moisés Lázaro C.
9. Si: y = x2e2x . Hallar: y^
Solución:
1) Hacer: ju = e 2x u = x2
H' = -2e“2x o' = 2x
//" = -2e_2x u" = 2
//" ' = -23e_2x o"' = 0
,z/(n> = (—l)n2ne 2x
2) y(n) = ( - l ) n2ne“2xx2 + n ( - l)n~12 n̂ 1e-2x(2x) + ̂ j ^ ( - l ) n- 12l 
yln) = 2n-1e~2x [ 2 ( - l ) nx2 + 2 n ( - i r 1x + n(n2~1> ( - l ) n~2 ]
10 . Hallar: / (n)(0). Si /(x) = Ln y-L
Solución:
1) Pero /(x ) = LnT̂ = L n O -L n (l-x )
/(x ) = -L n ( l -x )
2) Derivar: / ' ( x ) = = _ i_ = ( l _ x )-i
/"(x) = - l ( l - x ) - 2 ( - l ) = ( l - x r 2
r ( x ) = - 2 ( l - x ) - 3 ( - l ) = 2 ( l - x ) - 3 
/ (4)( x ) = 2 ( - 3 ) ( 1 - x ) ^ ( - 1 ) = 2 - 3 ( 1 - x )^4
/ (5*x = 2 - 3 ( - 4 ) ( 1 - x )_5 ( - l ) = 2 - 3 - 4 - ( l - x ) ‘
/ (n*(x) = ( n - l ) ! ( l - x ) -n
3) Luego: / (n) (0) = (n -l) !
11. De: b2x2 +a2y2 =a2b2 . Hallar a) y’ = ^ 4 , =
d x d x
1 2e 2x(2)
5
DERIVACION IMPLICITA
Solución:
a) Derivar en b2 x2 4- o2y2 = a2 b2 
b2(2x) + a2(2yy') = 0
b2x + a2yy' = 0 .......(1)
y' = - â y
Derivar con respecto a x en la ecuación (1)
(2 )
b2 +a2(y'y' + yy") = 0
b2 + a2 (y')2 + a2yy" = 0 .
Sustituir (1) en (2):
b2 +a2 [ - ^ - j +a2y y" = 0
a4 b2 y2 + a2 b4 x2 + a° y¿ y" = 0
a2 b2 (a2 y2 + b2 x2) + a6 y2 y" = 0
6 ..2
a2 b2 (a2 b2 ) + a° y* y" = 0
a4 b4 +a6 y2 y" = 0 ........... (3)
04fa4 h4
6 ..2
6 2 a D y 2 2 a y
b) Derivar en la ecuación (3):
0 + a6 t(2y y')y" + y2 y"] = 0
2y b* x
a 2 y
2yy'y" + y yw = 0
- t r \ + i r y"' = 0a y '
¿ u a ¿ rrr r \
T T + y y = °o y
2b6x + a4 y4 y" = 0
» 2 b 6 xy = —a r
12. Demostrar que la función y = sen(marcsenx) satisface la ecuación diferencial.
(1 -x 2) y " -x y ' + m2y = 0
Demostración:
CÁLCULO DE Y'
De y = sen (m arcsen x )
yr = [ eos (marcsen x)] [ marcsen x ]'
y' = [ eos (m arcsen x)] rn l
y' = m—, 1 — eos (maresenx)
Vl-x2
Moisés Lázaro C.
(200)------------------------------------------------------------------------------------------------
CÁLCULO DE Y"
y' = m{m - x2 )~̂ z cos(marcsenx)
y " = m f — ¿-(1 - x 2 ) " 3/ 2 ( - 2 x ) c o s ( m a r c s e n x ) + (1 - x 2 )” ^ 2 [ - s e n ( m a r c s e n x ) ] ^ 1
y" = mí x-r------eos(m are sen x) — ^ sen (mare sen x) ]
l ( l - x 2) V l - x 2 1 - * J
O p
Sustituir: y, y', y" en la ecuación diferencial (1 - x ) y" - xy' + m y-
d - x 2 ) eos (m are sen x ) — 02-y sen (m are sen x
( l - x ^ l - x 2 1 -*
m
/ l - x z
eos (m are senx)
o
+ m sen(marcsenx)
eos (m are sen x) - m2 sen (mare sen x) - eos (m are senx) +
y ?
o
m sen (m are senx) = 0
13. Demostración que la función y -c^e x + c2e 2x satisface la ecuación diferencial
y" + 3 y' + 2y = 0 ( q , c2 son constantes).
Demostración:
CÁLCULO DE Y ': De: y = qe~x + c2e~2x
y' = Cle -x (-l) + c2e-2x(-2)
y' = -c 1e“x - 2c2e 2x
CÁLCULO DE Y ": y" = - Cle x (-1) - 2c2e“2x{-2)
Sustituir: y, y', y" en y" + 3y' + 2y OBTENEMOS
(c1e~x + 4c2e~2x)+ {-cle~x - 2c2e~2x)+ 2{c1e-x + c2e“2x) =
= Cje“x + 4c2e~2x - 3qe~x - 6c2e~2x + 2qe~x +
DERIVACION IMPLICITA
Í * 2 e*
y " -2 y ' + y = ex
14. Demostrar que la función y = ex satisface la ecuación diferencial.
Demostración: 
CALCULO DE Y'
De y = i x 2 ex
y' = i [ 2 x e x +x ex ] 
y' = x ex + 4 x 2 ex
CALCULO DE Y"
y" = ex + x e x + l [ 2 x e x + x 2 ex] 
y" = ex + x e x + x e x + l x 2 ex 
y" = ex + 2x ex + -L x2 ex
Sustituir: y, y', y" en la ecuación y" - 2y' + y = ex
(ex + 2xex + l x 2 ex ) - 2 ( x ex + ¿ x 2 ex ) + \ x 2e x = 
= ex + 2xe^ + ± x 2ex -2 x e x - x 2ex+ ^ x2ex = ex
o 9 915. Demostrar que la relación x - xy + y = c satisface a la ecuación diferencial
(x -2 y ) y' = 2 x -y
Demostración:
CALCULO DE Y ': de la ecuación x2 - xy + y2 = c2
Derivando con respecto a x: 2x - (x y' + y) + 2y y' = 0
2 x -x y ' - y + 2yy' = 0
y '(-* + 2y) = y -2 x => y y - 2 x- x + 2y y x - 2 y
<=> (x -2 y )y '= 2 x -y
16. Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones x = sení e 
y = a é ^ t + b e ~ ^ t satisface a la ecuación diferencial (1 - x2 )^ - j - x = 2ydxz
Demostración:
dy
Moisés Lázaro C.
_y¡2t í_ —y¡2tj e + b * eSi: y - a
Sustituir: (2) y (3) en (1): ^
^ = ^ ¡2 a e ^ t - y ¡ 2 b e ~ ^
dy j2aéJ* -Jibe-'®1
COSÍ
( 3 )
( 4 )
c j / dy \ cosí[2ae^¿ + 2be ^ ] - [ ^ a e ^ - yf2.be '^‘ t ](-sent) /j-\ 
d í W “ cos2 í " ’ 1 ]
2 — j _
La formula de la 2da derivada paramétrica es: — \ = -
X ~dt
_ dt\dx J
(6)
Sustituir (2) y (5) en (6):
,, rost [ 2 ( a + b e ~ ^ x ) ] + sent ( V2 a e ^ ‘t - \ ¡ 2 b )
e os 3 í
d y _ ■
dx¿
d2 y _ c o s í (2 y ) + s en í {y¡2 a e ^ ‘t - y¡2 b e )
d x ¿
( 7 )
Sustituir (7) y (4) en (1 - x2 )— £ - x obtenemos:dx ax
eos í ( 2y ) + sen í ( 7 2 o * - V2 b e ~ ^ 1eos2 t
eos 3 í
-sent Jiae'&'-JíbéCOSÍ
2y + tgt(72 a ‘ - V2be- ^ *) - tgt {y¡2 a e ^ 1 -y¡2 b e ~ ^ 1) = 2y
17. Demostrar que la relación y = Ln (xy) satisface a la ecuación diferencial:
(xy - x) y" + xy '2 + y y' - 2y' = 0 
Demostración: De la relación: y = Ln (x y)
Por propiedad de Ln: y = Inx + Lny
Derivando: y' = 1 + ül 
xyy' = y+ xy'
Derivar otra vez: y y' + xy'y" + xyy"—y' + y'+ xy"
y y' + x(y')2 + xy y" = 2y' + xy"
Ordenando: x y y" - x y" + x(y')2 + y y' - 2y' = 0 
(x y - x) y" + x(y')2 + y y' - 2y' = 0
APLICACIONES 
DE LA DERIVADA
1. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA
1.1. ECUACIONES DE LAS RECTAS: Tangente y Normal
- Sea la curva C cuya ecuación es 
F(x,y) = 0.
- Sea la recta <£T que es tangente a la
curva C en el punto (x0,y0) •
- La ecuación de la recta tangente £ T 
es: y - y0 = m (x -x 0). 
donde m = tgO pendiente de .
- Pero la pendiente “m” desde el punto 
de vista del cálculo diferencial es la DE­
RIVADA DE y CON RESPECTO A X EN EL
p u n t o (x0,y0).
Es decir: m = ^~
d x (xo^o)
E ntonces la e cu a ción d e la RECTA TANGENTE, será: ^ T - y - v ( x - x 0)
(*o>J>o)
Si: ¥
d x
= ± o o , en ton ces £ T : x - x n = 0
(x0 ’Vo)
C o m o la RECTA NORMAL es perpendicu lar a la recta TAN( 
en ton ces la e cu a ción d e la RECTA NORMAL, será:
3ENTE en el punto (x0 , y0), 
£ n : y - y 0 = - ^ - ( x - x 0)
d x
Si: ^ = 0, entonces : x - x0 = 0
-* (xo»J>o)
(204)
Moisés Lázaro C.
r
Si la ecuación de la curva es y = / (x ) , entonces m = —■
Si la ecuación de la curva es F(x,y) = 0, entonces m = - jdF
dy
dyx = <p(t) dt
Si las ecuaciones paramétri- < , entonces m =
cas de la curva son: l ̂= üi
Si la ecuación polar de la curva es r = f{6) , entonces tg = r drÉ L ’
de
= r .
Donde // es el ángulo OPT ángulo for­
mado por el RADIO POLAR r = OP y la 
recta tangente .
Donde:
P T : Segmento de la tangente polar
PN: Segmento de la normal polar
OT: Subtangente polar
ON: Subnormal polar
[l.2. PROBLEMAS
(T ) Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en 
los puntos que se indican:
a) y = tg2x en el origen de coordena­
das.
Solución:
Io y' = 2sec 2x
V'] (0,0) = 2sec2 0 = 2(1)2 = 2
2° Luego: Lr : y - 0 = 2 (x -0 ) 
y = 2x 
% : y - 0 = -L (x -0 )
y = - £ x
b) y = arcsen en Punt° de inter- 
sección con el eje OX.
Solución:
Io De y = arcsen , obtenemos:
I
y'
j ' - M 1
2o La intersección de la curva
x — 1y = arcsen —g- con el eje OX ocurre 
cuando y = 0, entonces:
APLICACIONES DE LA DERIVADA (205)
0 = arcsen:̂ L o ̂= 0<=>x-l = 0
Luego: y ' ] (
<=> x = 1 
_ l
i(0’0 ) “ 7 r F “ 2 
3° Por lo tanto:
£ T : y - 0 = l ( x - l ) 
x - 2y -1 = 0
£ n : y - 0 = - y ( x -1 )
2
2 x + y -2 = 0
c) y = arccos3x en el punto de inter­
sección con el eje OY.
Solución:
Io El punto de intersección de la curva: 
y = arcos 3x o 3x = eos y con el eje
OY ocurre cuando x = 0 , entonces: 
3(0) = cosy <=> cosy = 0 o y = |
2o Derivando la ecuación 3x = cosy . 
obtenemos: 3 = (-seny)y'
^ sen y
Lu<̂
3o Porloianto:
<£t : y --| = - 3 ( x - 0 )
2y - n = -6 x <=> 6x + 2y - n - 0
'■ y - f = 3(x - ° )
6y - 3tt = 2x -o 2x - 6y + 3tt = 0
d) y = Lnx en el punto de intersección 
con el eje OX.
Solución: " , " ' ■ """
Io El punto de intersección de la curva 
y = Lnx con el eje OX, ocurre cuan­
do y = 0 ,entonces: 0 = Lnx o x = 1
2o De y = Ln x , obtenemos: y' =
3° Por lo tanto:
^ m
1 2
e) y = e en los puntos de intersec­
ción con la recta y = 1.
Solución:
i _ r2Io De y = e , tenemos:
y' = -2 x e
2o Intersección de \ ̂ e
1 y = i
entonces:
1= e1_x2 
Lnl = 1 - x 2
0 = 1 - x2 o x2 = 1 o x = ±1
Los puntos de tangencia serán: A(l,l)
y B ( - i , l ) .
Moisés Lázaro C.
3” = - 2(1|e‘ 
= -2 < -D
.1-1
Luego:
£ Ti : y - l = - 2 ( x - l ) o 2 x + y - 3 = 0 
£ n : y - l = ^ ( x - l ) o x - 2y + l = 0 
£ j 2 : y - 1 = 2(x + I ) o 2 x - y - 3 = 0
2) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la 
x2 + y2 + 2x - 6 = 0 en el punto cuya ordenada es y = 3 .
Solución:
Io PUNTO DE TANGENCIA: Si y = 3 , reemplazando en la ecuación:
O O
x + y + 2x -6 = 0 , se tiene: 
x3 +9 + 2 x - 6 = 0 
x3 + 2x + 3 = 0
curva:
Resolver ésta ecuación por Ruffini: -1 1 0 2 3
- 1 1 -3
1 - 1 3 0
X = - 1 S O L U C I Ó N E N T E R A
Luego el punto de tangencia será: 1,3)
2° PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE: Derivando:
se obtiene:
x3 + y2 + 2x - 6 : 
3x2 + 2yy' + 2 =
Reemplazar el punto P (-1,3) => 3 (-l) + 2(3)y' + 2 =
3 + 6y' + 2 = 
6y'-f 5 = 0 => yL
3o ENTONCES: £ T : y - 3 = - f ( x + l)
: y - 3 - - | ( x + l )
5x + 6 y -1 3 = 0 
6x + 5y + 2 1 = 0
APLICACIONES DE LA DERIVADA
( 3 ) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva: y4 = 4x4 + 6xy 
en el punto (1,2),
Solución:
I o PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:
Derivar la ecuación: y = 4x +6xy 
4y3y' = 16x3 +6(xy' + y) 4y y' = 16x +6xy' + 6y
Reemplazar el punto (1,2) 4 (2 )V = 16(1)3 +6(l)y' + 6(2)
32y' = 16 + 6y' + 12
26y' = 28 y = ^-
] 13
2° Entonces: lT : y - 2 = j f ( x - l ) <=> 14x + 13y + 12 = 0 
y - 2 = - i f ( x - l ) <=> 13x + 14y - 41 = 0
(4) Hallar los puntos en que las tangentes a la curva y = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 20 sean 
paralelas al eje de las abscisas.
Solución:
Veamos:
Si las tangentes a la curva son paralelas al eje de las abscisas entonces
debe cumplirse que y' = 0 , puesto que y' = es la pendiente de las
rectas tangentes, “0” es la pendiente del eje X y dos rectas son paralelas 
cuando sus pendientes son iguales.
De
Obtenemos:
laciendo: y' = 0
y = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 20 
y' = 12x3 + 12x2 - 24x
zi> 12x3 + 12x2 - 24x = 0
o 12x(x2 + x - 2 ) = 0
<=> 12x(x + 2)(x -1 ) = 0
<=> 12x = 0 v x + 2 = 0 v x -1 = 0
<=> x = 0 v x = 2 v x = 1
o {0 , —2,1 }
Moisés Lázaro C.(208)----------------------------------------------------------------------------
Los puntos de tangencia, serán: A(0,20); B(-2,-12) y C(l,15)
( 5 ) ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x2 -7 x + 3 es paralela a la recta 
5 x + y - 3 = 0 ?
Solución:
Io La recta 5x + y - 3 = 0 será paralela a una recta tangente a la parábola 
y = x2 -7 x + 3,si sus pendientes son iguales.
Es decir y' = - 5 , donde:
y' _ . Pendiente de la recta tangente
d x
5m = - y = -5 : Pendiente de la recta 5x + y - 3 = 0 
2o De: y = x2 - 7x + 3 , se obtiene: y' = 2x - 7
Entonces: 2x - 7 = -5 x = 1 (0
o
Reemplazando (i) en la ecuación de la parábola => y = 1 - 7(1) + 3 = - 3 
Entonces, el punto de tangencia será: (1,-3)
(ó ) Hallar la ecuación de la parábola y = x2 + bx + c , que es tangente a la recta x = y 
en el punto (1 ,1 ).
Solución:
Io Si la recta y = x es tangente a la parábola, entonces se cumple que:
m = 1 es la pendiente de x = y
y' = 1 , donde <
o
De: y = x + bx + c
y ' = ^ esla pend iente de toda
recta tangente.
Se obtiene: y' = 2x + b => 2 x + b = l ................................. (I)
2° El punto de tangencia es P(l, l ) ; en consecuencia satisface la ecuación (I) y a la 
ecuación de la parábola:
Si (1,1)6 Parábola y2 = x2 + bx + c => 1 1 +■ b + c <=> 0 ...... (i). lili
Si (1 ,1 ) satisface a la ecuación 2x + b = l => 2 + b = 1 <=> b = - l ......|| | ■ || i I i ||1 lllllil ■ . . lilis ■ . Illllii si; II 3 ¿I ■ 3 .. ;si 3
Reemplazar (ii) en (i): - 1 + c = 0 <=> c = 1
2
Por lo tanto, la ecuación de la parábola será: y = x - x +1
APLICACIONES DE LA DERIVADA
( j ) ¿En qué punto de la curva y2 = 2x3 la tangente es perpendicular a la recta 
4 x - 3 y + 2 = 0?
Solución:
Io Dos rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente son perpendiculares, sí y sólo 
sí rr̂ m2 = - 1 ........... (í)
2o Suponiendo que m1 es la pendiente de recta tangente => nr\ =
m2 es la pendiente de recta 4x - 3y + 2 = 0 => m2 = —^ (ii)
3o De la ecuación y2 = 2x3 , se obtiene: 2yy' = 6x2
= ^ »
4° Sustituir (ii) y (iii) en (i): ( ± f x1/2 ) ( f ) = -1
Elevando al cuadrado: (| -x ^ ^ - j = l <=̂ > x = 1/8
v 3
5° Sustituir x = 1/8 en y2 = 2x3 => y2 = 2 ( ^ ) o y = ±̂ J o y = ±^.
6o El punto que satisface, es ^-g- , - - j
SJ Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 
en el punto (2,2).
l + tx =
n = —̂ — |- -1_ 
y 2 t 2 2 í
Solución:
d y
1 LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE ES: 4 + =dx d-L
d t
Donde:
Si: v = ^ + ± =>^ = - A - J t
2t 2t dt t3 2t
o • 1 + tSi: x = - j - d x _ 3 + 2 t
~ d t ~ ~
 3_____i _
d y _ t3 2 12 _ 6 + t
d x ~ 3 1- 2~ ~ 2(3 + 2 t )
A
2n Como x = a x = 2 => 2 =r r 2í3 = l + t » 2 r - t - l = 0
í = 1
Moisés Lázaro C.
3o Entonces: ~-dx t= 1
6 + 1 _ 7
2(3 + 2) “ 10
4o En consecuencia: 7 x -1 0 y + 6 = 0
: i>-2 = - f ( x - 2 ) <=> 10x + 7 y -3 4 = 0
( ? ) Escribir ecuación de la tangente a la 
curva x = t co s t , y = £sent en el 
origen de coordenadas y en el punto 
í = tt/4 .
Solución:
Io El punto de tangencia en el origen es 
(0, 0) .
2o La pendiente será:
dy _ dt _ tcost + sent 
d* dx ~ - t sen¿ + cost 
dt
3o El punto de tangencia en í = zr/4 es:
x = 7t¡4 cos /r/4 
— ^
4 2 8
— iL V2 ̂
y 4 2 8
4° La pendiente en el origen será:
dy
dx t = 0
OcosO + senO 
OsenO + cosO f = o
5° La pendiente en t = zr/4 , es:
dy __ n/ 4 cos ;r/4 + sen ;r/4
d x _ í = ;ry^ - /r /4 sen ;r/4 + cos 4
_ ;r + 4 _ -( ;r + 4)
4 - ;r ;r - 4
6 ° La ecuación de la tangente en el ori­
gen será: : y - 0 = 0 (x - 0 )
y = o
7o La ecuación de la tangente en t = 7i/ 4 
será:
ra . .. n-fe _ fr + 4 /
T - y 8 ~ ar -4 \ 8 /
8(/r - 4)y - n^2{n - 4) = -8(;r + 4)x 
+ 7r >/2 (/r + 4) = 0 
8(/r + 4)x + 8 (/r -4 )y -7 r2%/2 +4\/2;r 
- ;r2^ - 4 V 2 /r = 0 
8 (/r + 4)x + 8 (/r - 4)y - 2^2 -v/2 = 0 
4(/r + 4)x + 4 ( /r -4 )y - /r 2-\/2 =0
(lO) Hallar el ángulo que forman entre sí 
la tangente a la espiral logarítmica
r = aekv>.
Solución:
Io Fórmula: tg // = - 3 7
2” Si r - a é " =• * , „ [ . » ' ] [ £
= aeK(pK = rk
Luego: tg// = ̂ <=> tg// = £ <=> // = arctg-i
( l l ) Hallar el ángulo entre la tangente y 
el radio polar del punto de contacto
0 0 0
para la lemniscata r = a cos 2 # .
APLICACIONES DE LA DERIVADA 0
Solución:
- tt2\~wn 201 L wu£.vi
3o Sustituir (i) en Io): tg // :
-¿sen26>
<¡r eos 2 <9 
02 sen 2#
= -cotg2(9 
= cotg(- 29) 
tg// = tg(;r/2 + 2<9) 
< = > jj. - k ¡ 2 ^ 2 6
(12) Demostrar que las normales a la en­
volvente de la circunferencia: 
x = a(cost + í sent); y = a(sení - icos t)
son tangentes a la circunferencia
2 2 ? x + y = a .
Demostración:
Sean:
1) mN : pendiente de las normales de 
x = a(cost + ísent)
E:
y = a ( s e n í - tcost)
2) mT : pendiente de las tangentes a la
C : x2 + y2 = a2
x = a cosí 
y = a sent
3) Para que las normales a E sean tan­
gentes a la C, debe cumplirse que: 
mN = mT .
4)
PERO:
mN = — , donde se obtiene de E
m T = cFx 1 doncle 3 7 se obtiene de c
dy
5) Veamos: 
De:
£ :
x = a(cosí+ ísení)
y = a (sent-ícosí)
dy _ a (cosí + fsent - cosí) 
dx a (-sent + ícost + sent) = tg t
De:
C : x2 + y2 = a2
6) Entonces:
mN = - ¿ = -cotgí 
mT = -cotgt
x = acosí 
y = a sent
4y _ acost 
dx -asení
= -cotg t
SON IGUALES
Moisés Lázaro C.
2. ANGULO ENTRE DOS CURVAS
Si las curvas C1 y C2 se cortan en el punto P for­
man un ángulo 0 que están definidas por sus rectas 
tangentes y Ju2 en P-
Es decir, el ángulo formado por las curvas C1 y 
C2 es el mismo que forman las rectas tangentes 
y £ 2 en P.
'"/Al¿Como se halla el ángulo <9? i V ? /
Si se conocen las pendientes de las rectas tangentes de las rectas tangentes £ , y £<
entonces el ángulo Ose halla por la fórmula: igff = ; é.
siendo
m2 la pendiente de , y
mj la pendiente de £ 2 .
Si se conocen las ecuaciones de las curvas Ci y C2 , entonces: 
m2 = 'JT en Punt° de tangencia P = (x0, y0) 
ni! = — en el punto de tangencia P = (x0,y0)
Halle el ángulo de intersección de las parábolas cuyas ecuaciones son
• ••(I)
. . . (2 )
y = (x -2 )2......
y = -4 + 6x - x2
Solución:
1. La intersección de (1) con (2) se obtiene por igualación: 
(x - 2)2 = -4 + 6x - x2 
x2 -4 x + 4 = -4 + 6 x - x 2 
2x2 -1 0 x + 8 = 0 
x2 -5 x + 4 = 0
APLICACIONES DE LA DERIVADA
(x -4 )(x
jr X = 4 
-1) = 0 <
x = l
x = 4 =>En(l): y = 4 <=> A = (4,4)
=> En (2): y = l <==> B = (l,l)
Los puntos de intersección son /\(4,4) y B(l,l).
2. Derivando en las ecuaciones (1) y (2):
, y V(4>4) = 2(4 - 2) = 4
a) De y = (x -2 ) => y' = 2 ( x - 2 ) <
^ y('U )= 2 ( l -2 ) = -2
s y(4,4) = ̂- 2(4) = -2
b) De y = -4 + 6 x - x => y' = 6 - 2 x \
^ y('U )= 6 -2 ( l ) = 4
3. En consecuencia:
a) El ángulo en el punto A(4,4): tg 6 = ̂ = - y
<9 = arctg (-| )
b) El ángulo en el punto B(l,l) es:
) Problema 2 Demuestre que las hipérbolas xy = a y x2 - y2 = b2 se cortan 
entre sí formando un ángulo recto.
Demostración:
Debo demostrar que el producto de las pendientes de las rectas tangentes a las curvas 
Ci : xy = a2 y C2 : x2 - y2 = b2 , es igual a -1 .
Veamos:
o
De la ecuación: xy = a 
Obtenemos: x-^- + y = 0dx y
dy _ y 
dx x
De la ecuación: x2 - y2 = b2 
Obtenemos: 2x - 2y ̂ = 0
- s dy - X
^ dx y
Debe cumplirse que m1 m2 = -1 
Siendo: m1 = - j y m2 = y
Luego: =
x # 0 
y 0
Moisés Lázaro C.
| f t o b t a a & Demuestre que el círculo x2 + y2 = 8ax y la cicloide (2a - x)y2 = x3
a) Son perpendiculares en el origen.
b) Se cortan en ángulo de 45° en otros dos puntos.
Solución:
1. Calculo de los puntos de intersección de las curvas
Q : x2 + y2 = 8ax 
C2 : (2 a -x )y 2 = x3
De Cj obtenemos: y2 = 8 a x -x 2 => y
Sustituir en C2 : (2a - x)(8ax - x2) = x3 
(2a -x )(8ax~x2) - x 3 =0 
x[(2 - x)(8a - x) - x2 ] = 0
(D
= ± v8ia x -x
v ...................................... y - - ny X — 0 v (2a - x)(8a - x ) - x 2 =0 
x2 - lOax + 16a2 - x2 = 0 
-10ax + 16a2 =0
\ x — ® a) x - 5a
Sustituir (2 ) en (T): y = ±>/Ó = 0 , así obtenemos el punto A(0,0).
Sustituir (3 ) en (T): y = ± ^8a^|a) ~ ( § a )2 = ±^ a
Así obtenemos dos puntos más: y C ( t a>~^a )
2. Calculo de 4 - = y' en las curvas Cj y C2 .
De Ci x2 + y2 = 8ax
Obtenemos: 2x + 2y-^ = 8a
x + y £ = 4a
dy _ 4a - x 
dx ~ y
APLICACIONES DE LA DERIVADA
En el punto A(0,0) será:
En el punto será:
En el punto C( ) será:
dy
dx
d y
dx
ÉL
dx
4a - 0 4a , 
A = — = - = ± -
4 g - f a 3
B ~ f ° ~ 4
8 ,4 a-Sra
De C2 (2a - x)y2 = x3
Obtenemos: ( - l ) y 2 + (2 a -x )2 y y ' = 3 x2 
-y 2 +2y y '(2 a -x ) = 3 x2
,i _ 3x2 + y2
y _ 2y(2a - x )
s¡: y > o => y = ^ 2 7 ^ 7 ^ y'(°-°) = 0
En el punto A(0,0) será: yf ] = -2. no existe.
/ s „ X2 n 3( f a )2+ (^ a)2
En el punto B( -|a,^a ) sera: y' 1D= ———-— ——— = 7
/ « ifi \ -1 3 ( f a f + ( - i M 2En el punto C¡ 4a, — ) será: y' 1 = ̂ — '—- ■ = - 7
U ° ’ JC 2 ( - fa ) (2 -| a)
3. Angulos que forman las rectas tangentes a las curvas Cj y C2 :
a) La recta tangente a la curva Ct en el punto A es x = 0 < ejey
La recta tangente a la curva C 2 en el punto A es y = 0 « ejex
El eje Y y ei X son perpendiculares en el origen.
b) La pendiente de la tangente a Cj en B es m: = ̂
La pendiente de la tangente a C2 en B es m2 = 7
Entonces: tgtf^ ^ ^ => tg0 = =* 0 = f
c) La pendiente de la tangente á en C, es rr̂ =
La pendiente de la tangente a C2 en C, es m2 = - 7 , entonces:
tgor = -i™2 => tgar = ----------- — = -1 => cc = ^~ v a = —f* 1 + ™ ^ a i + ( _ l ) ( _ 7 ) 4 4
< 0 -
Moisés Lázaro C.
3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
(VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN)
3.1. Definición 1 Una función / tiene un MÁXIMO RELATIVO (o máximo local) 
en un punto c e D om (/), si existe un entorno N(c) alrede­
dor de V\ tal que:
/(c )> /(x ) , V x e N(c) n Dom (/)
NOTA: Si /(c) > f ( x ) , V x g J = intervalo contenido en el 
dominio de /, entonces el número f(c) recibe el 
nombre de valor MÁXIMO RELATIVO de / sobre J.
3.2. Definición 2 Una función / tiene un MINIMO RELATIVO (o mínimo local), 
en un punto c e Dom(/), si existe un entorno N(c) de c, 
tal que:
f (c)<f(x) , V x e N(c)n Dom (/)
NOTA: Si /(c) < / ( x ) , V x e J = intervalo contenido en el 
dominio de /, entonces el número /(c) recibe el 
nombre de VALOR MÍNIMO de f sobre J.
3.3. ACLARACIONES EN ESTAS DEFINICIONES
3) VECINDAD: Se llama VECINDAD de “c” a todo intervalo abier-
s 8
to cuyo centro es “c” y radio un número positivo 
x e < c - s c v ' , & Se denota por N()- (c) = (c - S, c + S ) .' ' C + O
4) Una vecindad es un entorno de “c” .
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5) PROPOSICIÓN: Todo entorno N(c) de “c” contiene una vecindad de radio S > 0 . 
Para probar, basta tomar S = min{\ c - a \ ,\b - c\}.
a c b
lc — a| |b-c|
vs (c) C (a, b) < ENTORNO DE C
L - VECINDAD DE C, S = |c —al
3.4. Definición 3
3.5. Definición 4
Los valores extremos de una función son los máximos y 
mínimos relativos de la función.
El número /(c) será el máximo absoluto de/, si /(c) > / ( x ) ;
V x e Dom (/).
3.6. Definición 5 El número f(c) será el mínimo absoluto de/, si /(x) < / (x ) ; 
V x e Dom (/).
3.7. EJEMPLOS ACLARATORIOS
1. Sea la función: / : [-8 ,7 ) ----> IR definida por:
/(X):
4 - |x + 3| 
4 ~ 2 x2 +3x + 1
23
3
-8 < x < 0 
0 < x <5 
5 < x < 7
/(x) =
7 + x 
1 - x
^ - 2 x2 + 3 x + 1
23
3
- 8 < X < -3 
-3 < x < 0
0 < x < 5
5 < x < 7
/ '(X ):
1
-1
x2 - 4x + 3 
0
-8 < x < -3 
-3 < x < 0 
0 < x < 5 
5 < x < 7
Moisés Lázaro C.
- En A (-8 ,- l ) , el número -1 = /(-8 ) es un mínimo relativo de /(x) sobre 
x e [-8 ,-3 }
Pues: - l < 7 + x , V x g [ - 8 , - 3 )
En B (-3,4), el número 4 = /(-3 ) es un máximo relativo de f(x) sobre
x e [-8,0)
Pues: 4 > 4 - |x + 3|, V x e [-8,0)
En C(0,1), el número 1 = /(O) es un mínimo relativo de /(x) sobre 
x e [-3,1).
1 - x , x e ( - 3 , 0 )
Pues: 1 < -
~ - - 2 x 2 3 x + 1 , x e [ 0 , 1 )
En D( 1,7/3), el número 7/3 ~ /(l) t es un máximo relativo de f(x) sobre
- En E(3}1)« el número 1 = f{3) es un mínimo relativo de /(x) sobre
APLICACIONES DE LA DERIVADA
En F(5,23/3), el número 23/3 = /(5) es un máximo relativo de /(x) sobre 
x e (3 ,7 )
Pues: 22- > ^ - 2x2 + 3x +1, V x e (3,7)
-1 = / (—S) es el mínimo absoluto de / (x ) , pues /(-8 ) < / (x ) , V x e [-8 ,7). 
22- = f (b) es el máximo absoluto de / (x ) , pues /(5) > / (x ) , V x e [-8 ,7).
4. PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCION
4.1. Definición Los puntos críticos de una función f(x) definida sobre un in­
tervalo J = Dom(/) son de tres clases:
a) Los punte» x e J , tal que, f'{x) = 0 . Estos puntos se llaman PUNTOS SINGULA­
RES.
b) Los puntos x e J , tal que NO EXISTE f '{x ) .
c) Si J - la, b], entonces ay b también son punte» críticos.
4.2. Ejemplos
Ejemplo 1. Sea /(x) = —í - + 2x - 3x -1 , definida sobre J = (0,5)
donde /'(x) = - x + 4x - 3 
= - ( x 2 - 4 x + 3) 
= - ( x - 3 ) ( x - l )
De /'(x) = 0 , obtenemos: x = 3 , x = 1 
que son los puntos singulares pertene­
cientes al intervalo J.
Ejemplo 2. Sea /(x) = (x - 3)2/3 + 2, xeJR 
donde: /'(x) = -| (x -3 )~1/3
3(x-3)V3
Punto crítico es: x = 3 e 5?, pues, NO EXISTE / ' ( 3 ) .
Decimos p f ’(3) 3 f ’ (3) , porque no son números reales
> ^ /'( 3-) = -|= - 0 0 ^
Moisés Lázaro C.
Ejemplo 3. Sea la función: / : [-5 ,8] -----> IR
definido por:
/ ( X ) =
f ’(x) =
/ ' ( X ) =
-2 < x < 8
23V2, + ̂ ^ /2 , - 5 < x < -2
i (6 x 2 - x 3r 2/3(1 2 x -3 x2) , -2 < x < 8
2^2
3 , -5 < x < -2
4 - x
SJ x ( 6 - x f
23j2
3
, -2 < x <!
Ejemplo 4.
Sea /(x) = sen|x| =
/(*) =
donde: f'(x) =
Los puntos críticos son: 
a) De /'(x) = 0
x = 2 k ? r ± f
-5 < x < --2
senx , x > 0
sen(-x) , x < 0
senx , x > 0
-senx , x <0
cosx , x > 0
-eos x , x < 0
eos x = 0 => X
-eos x = 0 => X
e Z
Los puntos críticos son:
a) De /'(x) = 0 , obtenemos x = 4 .
b)Los puntos x, donde NO EXISTE 
LA DERIVADA son: x = 0 , x = 6 , 
x = - 2 .
c) Los extremos: x = - 5 , x = 8 del 
intervalo J - [-5 ,8] = D o m ( / ) .
y
y
b) En X = 0 , N O EXISTE /'(O)
APLICACIONES DE LA DERIVADA 0 .
NOTA: Los puntos x e Dom (/), donde NO existe f'(x) se encuentran en:
a) Los denominadores de / '(x ) , cuando /'(x) es de la forma f f(x) = .3\x)
Igualando a cero el denominador (g(x) = 0) obtenemos los x e D om (/), tal 
que, / f ( x ) .
b) Las funciones VALOR ABSOLUTO.
Si /(x) = h(x) + /^(x)|g(x)|, los x g Dy tal que, ^ f f{x) se hallan igualando a
cero el valor absoluto (g(x) = 0).
Ejemplo 5. De: /(x) = 2x -1 obtenemos:
2 / /'(1 /2 ), pues x = \ e Df = JR
A /'(l/2 ) = ±co
/ ' ( X ) =
33V(2x -1)2
- 2 x - l = 0
- i
Ejemplo 6. En /(x) = |x -4x|
\------- -— x 3 - 4 x = 0 j f x = 0
x ( x - 2 ) ( x + 2) = 0 ^ - > x = 2 
x = - 2
Prueba:
/(*) = ■
x — 4x , x - 4 x > 0 
- x 3 +4x , x3 - 4 x <0
3 x 2 - 4 , x e [-2,0] u [2,oo>
-3 x 3 +4 , x(-oo,-2) u (0,2)
/(*) = ■
x - 4 x , x e [-2,0] u [2,+oo) 
-x3 +4x , x(-oo,-2) yj (0,2)
En x = 0
En x = -2
En x = -2
/'(0 H -(0) + 4 = +4 «
/'(0 “ ) = 3(0) - 4 = -4
/ '(2+) = 3(2)2 - 4 = 8 
/'(2 “ ) = 3(2)2 + 4 = -8
/'( -2 + ) = 3(-2)2 - 4 = 8
/'(-2 ") = 3(-2r+ 4 = -8 <-
/ /'(O) 
*s => / /'(2) 
*s => X / '(—2)
Moisés Lázaro C.
Ejemplo 7. En: /(x) = ■ 2-
x¿ + 4
/(X) =
2 (x - 2) 
x2 + 4
- 2 (x - 2)
, x > 2
, x < 2
Donde: 
/'(*) =
-2 (x - 4x - 4) 
(x2 + 4)2
2( x2 - 4x - 4) 
(x2 + 4 )2
x > 2
x + 4
Los puntos críticos son:
a) De f r(x) = 0, obtenemos: -2 (x2 - 4x - 4) = 0 v 2(x2 - 4x - 4) = 0
, x < 2
x = 2 + 2s¡2 e [2,oo) x = 2 -2x/2
b) En x = 2 , % /'(2).
Ejemplo 8.
Sea / ( x ) = | x|a |x - l\b , donde ay b son números racionales positivos. 
Los puntos críticos son:
a) De / ' ( x ) = 0 se obtiene x = .
b) Los x g Dom(/) / / / ' ( x ) son x = 0
x = 1
Ejemplo 9. Sea: / ( x ) = > /4 x 2 - x 3 
x e [ - 2 ,6 ]
Donde: / '(x ) = 8x - 3x
3V<4x2-x 3)2
f ( x ) = 3- (3x- 8 )2 
3 x (4 - x )
Ejemplo 10.
Sea: f(x) = ^(x + 2)2 -^ / (x -2 )2
/'(x) = f (x + 2)“1/3 - f (x - 2)-1/3
3 ^ ( x + 2} (x - 2)
Los puntos críticos son:
a) De /'(x) = 0 , se obtiene x = 8/3 .
b) Los x e [-2,6] = D om (/), donde 
/ / ' ( X ) , se obtienen del denominador: 
x = 0 ; x = 4 ; pues / /'(O ), X / '(4 ) .
c) Los extremos: x = -2
x = 6
Son puntos críticos:
x = -2 porque ^ f ' ( - 2) 
x = 2 porque / f /'(2)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5. TEOREMAS RELATIVOS A LA DERIVADA
Teorema 11. Sea la función / : [ a , + 00) -----» ]R derivable a la derecha de a. Si
/ ' ( a + ) > 0 , entonces existe £ > 0 tal que, x [ a , + o o ) a a < x < a + J , 
implica f{a) < f ( x ) . s
Prueba: Bastará probar: f(x) - f(a) > 0. a + S
wmMm
uiiplicau x V Ae[u, /,UI
B 1 B M
 ..} -f“ s para tocio s1 :> 1
3. Por hipótesis: f r{a+) > 0 y la relación en 2) se cumple V s > 0 . 
En particular dicha relación se cumple para s = 4 /'(a +).
Así tendremos: f r(a+)--kf'(a+) < —
o < 4 / v ) < /(* )-/(□ ) < f / V )
Entonces:. /(* )-/(g) > 0 , como x - a > 0 /(x ) - /(a ) > 0
m > m
Ejemplo 1. Sea la función / : [2,+ao) -----> IR definidapor /(x) = 31 x — 21.
Analicemos la derivada de / a la derecha de x = 2 .
/ '( 2+)= lim / ( * ) - / ( 2 ) = ljm 3 ( x - 2 ) - 0 3
x - » 2 
x>2 
x - 2 > 0
x - 2 x >2 x - 2
¡2 2 4 )______________________________Moisés Lázaro C.
Como vemos, la derivada a la derecha de “2” es positivo, 
y
Por lo tanto, para 2 < x < 2 + S siempre será posible 
que f(x) > f (2).
NOTA: En esta función, sólo podemos hablar de la derivada a la derecha de
2. Por la izquierda de 2, la función no está definida. Pero si alargamos 
el dominio un poco a la izquierda, digamos ( 1 . 5 , + o o ) , entonces ya 
podemos hablar de la derivada de f(x) = 3|x-2| por la derecha y
por la izquierda de 2 y notaremos que / '(2+) = 3 y f'(2~) = -3 . Co­
mo vemos, existen las derivadas laterales en 2, pero son diferentes; lo 
cual nos afirma que no existe la derivada de la función en 2.
Corolario 11.1 Sea la función / : (a,b) -----> JR y sea x0 e (a,b>. S i/es deriva-
ble en x0 y /'(x0) > 0, entonces existe £ > 0 , tal que, si x, 
y e (a,b) a x0 - S < x < x0 < y < x0 + S implican: 
f(x) < f(a) < / (y ) .
Este corolario nos dice: Si x0 es un punto interioi 
del intervalo <a,b) y /'(x0)> 0 ; además, si en unáj 
vecindad de Xq : <x0 -S ,x Q + <5)c{a,b) elegimc 
dos números redes x, y tal que:
x0 - $ < x <Xg < y < Xq + <?, entonces se cumple! 
que /(x) < f(xq) < /(y).
Prueba:
1. Si f(x) es derivable en x0 , entonces existen las derivadas por la derecha e iz­
quierda de x0 y son iguales.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< §>
Es decir: /'(x q ) = lim = lim ~ v l!*0 ’ = / ' ( xo '
x > x x < x o
2. Como / ,(x0)>0,entonces a) /'(xo)>0 y b) / r(x0)> 0 .
En: a) Si f { x q) > 0 , entonces (por Teo. 12) existe 8 > 0 tal que,
y e (a,b> a x 0 < y < Xq + 6 , implica /(x0)< /(y).
En: b ) Si /'(xq) > 0 , entonces existe S > 0 tal que x e { a,b) a x0 - S < x < j
implica /(x) < /(x0). [La prueba de b) es similar al Teo. 12]
3. Por a) y b) se concluye la demostración.
Corolario 11.2 Sea la función / : (a,b) -----> IR y x0 g (a ,b ). Si / es derivable
en x0 y posee un máximo o un mínimo local en x0 , entonces
f ( x 0) = 0.
En el gráfico, se tiene:
a) /(x 0) es máximo local.
b) f(x1) es mínimo local.
NOTA:
a) Cuando decimos que f(x) posee máximo local en x0 , nos referimos que en 
una vecindad V^(x0) = <x0 - ¿>,x0 + S) de x0 , se cumple que f(x0)> f (x ) , 
V x eV ¿(x 0).
I--------------- MÁXIMO LOCAL
b) Cuando decimos que f(x) posee mínimo local en x1, nos referimos que en 
una vecindad Vs (xx ) = (x1 - 8 , x1 + 8) de x1, se cumple que f(x1) < f (x ) ,
V X G (X i ) . MÍNIMO LOCAL--------------- 1
{226} Moisés Lázaro C.
Tesis: q : / '(x 0) = 0
Si se prueba que /'(x0)> 0 a / ' ( x 0 ) < 0 en (x 0 -¿>,x0 - 5 ) , entonces /'(x0) = 0 en 
(x0 - S , x 0 +S).
Veamos:
1. Supongamos que / posee máximo local en x0 . Es decir /(x 0)> f(x), para todo 
X G ( X q - S , X q + S ) .
2. Ahora, analizar la derivada a la derecha e izquierda de x0 .
a) A la derecha de x0 : 0 < x - x0 < S tenemos:
i) /(x )< /(x 0), x0 < x < x 0 + 8
b) A la izquierda de x0 : 0 < x0 - x < S <=> 0 > x - x0 > -S se prueba de mane­
ra similar, que: / ' (xq ) > 0 .
3. Como /(x) es derivable en x0 , se cumple que: / '( x j ) = Í'(xq ) = f (x0 ) .
Por a), b) y 3) concluimos que: / '(x 0)> 0 a /'(x0)< 0 implica /'(x 0) = 0
/ ( x ) - / ( x 0) < 0
[ / U ) - / ( X 0 )] ^ Q< 0 , pues x - x0 > 0x-x0
X
/'(*o) < 0
NOTA:
Para el caso que / posee mínimo local en x0 , la demostración es similar.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< §>
6. FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO
Surge la siguiente interrogante:
Si una función / : I -----> IR es continua en el intervalo /, su derivada f ' (x) ¿es con­
tinua en /?
Respuesta.- Unas veces f ' ( x ) sigue siendo continua en /, en otros casos no es 
continua en I.
Ejemplos:
1. Sea la función / : JR -----» IR definido por f (x) = | x | . En este caso, se tiene:
a) f(x) = |x | es continua en IR .
f 1 , x > 0 Es discontinua en “0” . Por lo tanto no esb) f (x) = \[ -1 , x < 0 continua en JR .
2. La función f(x) = ex es continua en I = <-oo,+qo) . Su derivada f ' {x) = ex es tam­
bién continua en I = < - o o , + o o ) .
o n
3. El polinomio P(x) = a0 + ^ x + a2x +... + anx + ... es continua en todo IR. Su 
derivada P'(x) = ax + 2a2x +... + nanx n~1 + ... es continua en todo JR .
Definición. Si una función / : / -----> IR posee derivada en-todos los puntos del in­
tervalo /, consideramos la función derivada / ' : I -----> IR que asocia a
cada x e / la derivada / ' ( x ) .
a) Si / es continua en I y su derivada / ' es continua en /, diremos que la 
función f(x) es de clase C 1 .
b) Si / y las derivadas de todo orden: / ' , / " , / ' " , , /^n+1̂ ... 
son continuas en /, se dice que f es una función de clase C x .
Teorema 12.
Sea / : [a,fe] — > f? derivable en todos los puntos xe [a ,b ].
Si f r{ a ) < d < f f(b) entonces existe ce<o,fe) falque f ’( c ) ~ d .
Moisés Lázaro C.
Demostración:
Antes de probar el Teorema, analizar la 
función / : [0,3] - — > JR definida por,
^ ■
Su derivada es / ' : [0,3} ——> E
^ U
donde f'{0) = - 4 , /'{3} = 2 
La función / cumple las hipótesis del teo­
rema. Se cumplen tres casos:
a) En c = 2 e (0,3) se tiene:
/'(O) < f'(c) < /'(3)
-4 < 0 < 2
b) En q = 1 e (0,3) se tiene:
/'(O) < / '(q ) < f (3 )
-2
c) En c2 = 2,5 e (0,3) se tiene:
/'(0) < f ( c 2) < f (3 )
1
Prueba del Teorema:
1. Caso I Considerar d = 0 , esto es, si f (a)< 0 < f (b ) entonces existe c e (a,b)
tal que /'(c) = 0 . Aplicar el teorema 10 y el corolario 10.2.
2. Caso II Considerar d * 0 .
En este caso construir la función auxiliar g(x) = /(x ) - dx
Al derivar obtenemos: g'(x) = /'(x ) - d
donde: g'(c) = / '(c ) -d
Evidentemente g'(c) = 0 <==> /'(c) - d = 0
f '(c) = d
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Además g'(a) = f f(a) - d
u
g'(a)<0 f'(a) < d
En consecuencia: /'(a) < d < /'(b)
g'(b) = f ' ( b ) - d
JJ
g'(b) > 0 <=> f f(b)>d
Corolario 12.1 Si / : / -----> IR es derivable en el intervalo I, entonces / no pue­
de tener discontinuidad de primera especie en I.
Antes de probar, ver un contra ejemplo de este corolario:
Sea la función / : ¡R -----> R definido por /(x ) = |x|
1 , x > 0Su derivada es f \ x ) = •
-1 , x < 0
Podemos apreciar que:
a) /n o es derivable en “0” .
b) f tiene discontinuidad de primera especie en “0” .
Demostración del Corolario:
Según el corolario: Si elegimos un punto c e í que no sea extremo derecho ni extre­
mo izquierdo del intervalo J, se debe probar dos cosas:
a) Si existe lim f ' (x) = L
x - » c+
L = f (c )
> M = f (c )
’or lo tanto, L = M lo cual implica que f ( x ) es continua en c.
I>) Si existe lim /'(x ) = M
X->C~
Moisés Lázaro C.
Prueba de a) Por el método de reducción al absurdo.
1. Si fuese L > f f{c) , tomamos d que satisface /'(c) < d < L . Existiría S > 0 tal que:
c < x < c + S => (*)
para todo x e (e ,c + £)
Prueba de b) Es similar la demostración.
3. Por a) y b) queda probado el corolario.
Teorema 13 (De ROLLE) Sea / : [a,b] -----> R .
HIPOTESIS
hj : fes continua en el intervalo cerrado [a, ib].
h2 : fes derivable sobre el intervalo abierto (a,b) .
h3 : y f(a) = f(b) <— un caso particular es cuando f(a) = 0 = f (b ) .
TESIS ^ Entonces existe un punto c e (a,b), tal que, /'(c) = 0 . 
Demostración:
Caso I
1) Supongamos que los valores máximo y mínimo se presentan en los extremos: a y 
b, respectivamente.
si f(a) = MAXÍMO 
si /(b) = MÍNIMO
/(a) > f(x) 
f ( b )< f ( x )
V x e (a,b) 
V x e <a,b)
APLICACIONES DE LA DERIVADA 
-----------------------------------------------------------------------------------------------(231
2) Pero f(a) = f(b) < el MAXIMO Y MINIMO COINCIDEN, entonces por (1) tendre­
mos:
[ f(a) = f(b) > f(x) ] a [ f(b) = f(a) < f(x) ] esto Implica que: f(x) = f(a)
DEF.DEMAX DEF. DEM IN V g <a,b>
3) Por hipótesis (h2) se tiene que / es derivable sobre (a, b ) , por lo tanto al derivar en 
(*) se tiene f'(x) = 0 < PUES LA DERIVADADE UNA CONSTANTE ES CERO.
4) En consecuencia puedo elegir cualquier x e (a,b) y siempre cumplirá la ecuación 
/'(x) = 0.
(iqqd)
ILUSTRACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA DE ROLLE:
Caso II
1) Por hipótesis se tiene que f(x) es continua en xe[a,b ].
2) Además f(á) = f(b) .
3) Pero f(x) es derivable en todo x e <a,b) .
4) Supongamos que existe máximo en x = c , entonces por el teorema anterior se 
cumple que f f(c) = 0 donde /(c) = Máximo y /(c) > f(a) = f(b) , con a < c < b .
5) Supongamos que existe Mínimo en x = c , entonces por el teorema anterior se 
cumple que /'(c) = 0 , donde: /'(c) = Mínimo y f(c) < f(a) = f(b) , con a < c < b .
(lqqd)
 (232) Moisés Lázaro C.
E je m p lo . Sea la función /(x ) = x - 4 x , definido en x e [-2,2] ¿Cumple el TEO­
REMA DE ROLLE?
Solución: 1) En primer lugar tenemos que todo polinomio es continua sobre su do­
minio, en consecuencia /(x ) = x 3 - 4 x será continua en x e [-2 ,2 ].
2) Además f (x) = x 3 - 4 x es derivable sobre todo x e (-2 ,2 ) y
/{ -2 ) = f - 2)3 - 4(-2) = 0 , /(2) * (2)3 - 4(-2) = 0 . Esto es: /( -2 ) = /(2) = 0 ,
3) En consecuencia existe por lo menos un número x = c, tal que /'(c) = 0 con
Veamos:
De: /(x) = x 3 - 4 x
Se obtiene: /'(x) = 3x2 - 4
Haciendo: /'(x) = 0 <= 3x - 4 = 0
x 2 = | <=> x = e (-2,2) V x = —J=-e<-2,2>
Teorema 14 (TEOREMA DEL VALOR MEDIO, DE LAGRANGE)
h1 : Si / es continua en el intervalo cerrado [a,b], a < b .
h2 : S i/es derivable en el intervalo abierto <a,b).
HIPOTESIS
TESIS
Entonces EXISTE un punto x e {a,b) , tal que:
ñ x ) = m z M
APLICACIONES DE LA DERIVADA -( 2 3 3 )—
Demostración:
1) En el segmento de recta AB conocemos dos puntosA(a,f(a)) y B(bJ(b)); luego la 
ecuación de la recta <£ : y = g(x) será:
f ia) = g{a)
S ( x ) - / ( a ) =
m - f ( a )
b - a ( x - a ) , donde f(b) = g(b)
2) g(x) = m - mb - a (x -a ) + /(a)
pendiente de ÜL
La longitud “L ” del segmento vertical QP es: L = |QP| = \P -Q \
3) Donde: L = /(x ) - g(x)
4) Reemplazando (2) en (3): L = f {x)- f (b) - f[a)b - a ( x - a ) + f(á)
5) L(x) - /(x )- /(b)-/(g)b - a ( x - a ) - f ( a )
6) LA MAXIMA LONGITUD de “L ” se obtiene cuando ocurre que:
L'(x) = 0 , donde L'(x) = dLdx
Además, por hipótesis se sabe que, f [x ) es derivable en x e (a,b)
7) De (5), obtenemos: L ’(x) = /'(x ) - m - f { a )b - a (l-O )-O
,£2 4 }______________________________ Moisés Lázaro C.
Está conclusión significa que existe una RECTA ta n g e n te a la gráfica de la función 
y = f (x) en x e (a,b) que es PARALELA al segmento AB .
Se sabe por la Geometría Analítica que dos rectas son paralelas, sí y sólo sí, sus pen­
dientes son iguales.
Además por el cálculo diferencial sabemos que la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE 
a una curva, en un punto x perteneciente a dicha curva, es la DERIVADA de la ecuación 
de la curva en el punto x.
Según esto, tenemos que:
PENDIENTE DE LA RECTA 
PENDIENTE DEL SEGMENTO AB = TANGENTE QUE PASA POR P.
V*________________________________ J V,_____________________________ ______________________________ /
V V
= ñ x )
Donde:
/'(x ) = “LA TASA INSTANTANEA DE VARIACION D E /S O B R E x ”
" “LA VARIACION MEDIA D E/S O B R E [a ,b ] ”
El TEOREMA DEL VALOR MEDIO se demuestra, también, aplicando el Teorema de Ro 
lie a una función que se obtiene del paso (5) excluyendo la constante - /(a ).
En (5), setenía que, L(x) = /(x )- (x - a ) - f ( a )
Si excluimos el término -/(a ) , se obtiene: /(x) - f(b)~ /(a)' Í>-~Ú í ( x - a ) - h ( x )
Aplicando las hipótesis del Teorema de Rolle a la función h(x), obtenemos la demq 
tración del Teorema del Valor Medio. )
Ejemplo 1. Sea la función /(x ) = 9x - 2x3 , x e [-2 ,0 ]. ¿Existe algún x e (-2 ,0 ) , 
tal que, cumple el Teorema del Valor Medio?
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Solución:
1) f(x) = 9 x - 2x3 continua en [-2,0].
2) f {x) ~ 9 x - 2x3 es derivable en (-2,0), 
entonces: f'(x) = 9 -6x2, Vxe (-2,0).
8) Por el Teorema del Valor Medio debo re­
solver la ecuación: /' (x)-^ y ver 
si existe algún valor x, tal que, x e <-2,0).
Veamos:
9 _ 6 x 2 [ 9 ( 0 ) - 2 (O)3 ] —̂ 9 (—2) — 2 (—2)3 ] 
9 - 6 x 2 =1
V 2 - 1 A ~ 6
x = 2 = - f V X = - - ^ y¡3 S
como vemos: « - l . l e < - 2,0)
7. APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Corolario 14.1 Si una función / : [a, b] -----> IR posee derivada nula en to­
dos los puntos x e (a,b) , entonces fes constante.
Demostración:
Si f f(x) = 0 , V x e (a,b) , debo probar que /(x ) = cosntante . 
Veamos:
1. Vamos elegir cualquier xe (a ,b ] y en el intervalo ^
[a,x] aplicar el Teorema del valor medio: existe a
ce (a ,x ) tal que f (x ) - f(a) = f ' (c )(x -a) .
2. Por hipótesis /'(x ) = 0 para todo XG<a,b). Como c e <a,x) c: (a ,b ), entonces
/ f(c) = 0 .
Í2361______________________________ Moisés Lázaro C.
3. Sustituir en 1: f ( x ) - f ( a ) = 0 => /(x ) = /(a ), V x e (a ,b ]
4. Por lo tanto, f(x) = constante , sobre (a,b) .
Corolario 14.2 Si /, g : [a, b] -----> 5? son continuas, derivables en (a, b) y
/'(x ) = g'(x) para todo xe {a ,b ) entonces existe una constante 
c e JR tal que g(x) = /(x) + c para todo x e [a, b ].
Demostración:
Aplicar el corolario anterior a la función diferencia g - / .
^ H
Entonces g - / = c , c = constante
Corolario 14.3 Sea / : I -----» IR derivable en el intervalo abierto /. Si existe
k e iR tal que |/'(x )| < Je para todo x e l entonces, para cual­
quiera que sean x,y e / se tiene |/(x ) - /(y)| < Je|x - y | .
Demostración:
1. En el intervalo abierto I elegir x,y e I con y < x . Luego aplicar el Teorema del va­
lor medio en el intervalo cerrado [y, x] c= I .
Así: / es continua en [y, x] y derivable en (a, b) .
Entonces existe z e (x ,y) tal que: /(x ) - /(y) = /'(z)(x - y ) .
2. Como |/'(z)| < k y |/(x)-/(y)| = |/'(z)||x-y|
=> |/ ( x ) - / ( y ) | < fc |x -y | , pues |/'(z)| = /c
APLICACIONES DE LA DERIVADA
8. FUNCIÓN LIPSCHITZIANA
Definición: Sea la fundón / : A ------- > IR . Diremos que la fundón f es UPS-
CHITZIANA, si existe una constante c > 0 , tal que: x ,y e A implica: 
| / ( x ) - / ( y ) | ¿ c |x - y | .
Ejemplo. Sea la función / : [-A ,A ] -----> IR definido por /(x) = x 2 , A > 0 .P ro -
bar que / es una función Lipchitziana.
Demostración:
Para cualquier x ,y e A tenemos:
\ f ( x ) - f ( y ) \ = |x2 - y 2 | = |x + y | | x - y |< 2 A |x - y | = c |x - y | , c > 0
Como: x e [-A , A] a y e [-A , A]
- A < x < A a -A < y < A
V. >
V--------------------------------------------------------------
SUMAR: - 2 A < x + y < 2A 
1
|x + y| < 2A 
donde: 2A = c , c > 0
9. PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE EL T.V.M.
En los ejercicios de 1 al 6, hallar los valores x que satisface el Teorema del valor me­
dio.
( l ) /(x ) = x 3 - 5 x 2 - 3 x , x g [1 ,3 ].
Solución:
1. Como /(x ) es un polinomio, entonces es continua en [1,3] y derivable en (1,3).
2. f ' (x) = 3 x2 - lO x - 3 
/ ' (c ) = 3 c 2 - 1 0 c - 3
Moisés Lázaro C.
3. El T.V.M. / ,(c) = ^ r p )
_ (3)3 — 5 (3 )2 — 3(3) — [(l)3 — 5(1)2 -3 (1)] 
3 - 1
3c2 -1 0 c -3 = — ■̂--7) 
3c2 - 10c - 3 = -10 <= 3c2 -1 0 c + 7 = 0 
(3 c -7 ) (c - l) = 0 
c = l v c = l
4. c = |e < l,3 > .
® g[x) = ^ +x % t '5- , x e [ l,5 ] 
Solución:
1. g(x) es continua en [1,5]. 
g(x) es derivable en (1,5) .
o _ (x -6 ) (2 x + 6 ) - ( x + 6 x + 5 )(l)
g[X) " (x - 6 )2
3. De g(x) =
x - 12x -4 1 
(x -6)2
x2 + 6x - 5 ,
x -6
/r\ 25 + 30 + 5 
'g<5> = - 5 -6
= -6 0
lg(l )= 1+1 + 5
_ _ 12 
5
4. El T.V.M. es:
9' (c) =
- 12c - 41 
(c - 6 )2
_ g (5 ) -g ( l)
5 - 1
-60
=> 77 c2 - 924x+2387 = 0
5. Al resolver, una de sus raíces es 
c = 3.7 e (1,5>.
(5 ) h(x) = 9 x - 2 x 3 , x e [-2 ,0 ] 
Solución:
1. h(x) es continua en V x € [-2 ,0 ]. 
h(x) es derivable en ( - 2,0].
2. De:
, h(0) = 9(0) - 2(0)3
h(x) = 9 - 2x3 =0
I > /i(-2 ) = 9 ( -2 ) -2 ( -2 )3
=> h'{x) = 9 - 6 x 2 = ~2
=> h'(x) = 9 - 6 c 2
3. El T.V.M. es:
. » . _ h(0)-h(-2)
0 - (-2 )
9 - 6c2 = ^ - 2)- uc 0- ( -2)
9 - 6c2 = 1 <=> 6c2 = 8 c=> c2 =
, _ 2_<=>c = + -?=
4. De estos valores: c = — j ~ e ( - 2 , 0 )
v3
APLICACIONES DE LA DERIVADA
( í ) Dada la función f (x) ■■
x e [ - 1 ,2 ]; ¿existe x0 e < - l , 2 ) , tal que
verifique el Teorema del valor medio?
Solución:
1. La Ira. hipótesis del T.V.M. es que 
f (x) sea continua en [ - 1,2].
2. Pero f ( x ) = — -—« es discontinua en
( X - 1 ) 2
x = 1 e ( - 1,2) ; por tanto, no se podr­
ía seguir desarrollando los siguientes 
pasos.
3. Luego, /(x ) no cumple el T.V.M. y 
no existe x0 e ( - 1,2) .
© g(x) = x 3 + 3x2 + x +1, x € [-4,5]
Solución:
1. g(x), por ser polinomio, es continua 
en x e [ -4 ,5 ] ; además que es conti­
nua en x ( -4 ,5 ) .
2. 5(5) y g(-4) se hallan fácilmente por 
el Teorema del residuo: DIVISIÓN 
SINTÉTICA.
5 1 3 1 1 - 4 1 3 1 1
5 40 205 -4 4 -2 0
1 8 41 206 1 -1 5 -1 9
5(5)
3. De g(x) = x +3x + x + l 
g'(x) = 3x2 + 6x + 1 
g'(c) = 3c2 + 6c + l
g ( - 4 )
4. H T.V.M. es:
S '( c ) = g (5 )-s (-4 )5 - ( -4 )
3c + 6c +1 — - ^
3c2 + 6c +1 = 25 <=> 3c2 + 6c - 24 = 0 
c 2 + 2 c - 8 = 0 
(c + 4 ) (c -2 ) = 0 
c = - 4 v c = 2
 1 < x < —
2 - x ’ 1 < x ~ 2
Solución:
1. /(x ) es continua en x = 1 , porque: 
1 = / ( 1)= lim /(x ) = lim f (x)
x - + l + X- >1
3x - 2 x + l , 0 < x < l 
, i < x <■§2 . /'(* ) = ' (2-xf
/+ (!) = - - 2 - 2 = 2 = / : ( l ) = 3 - 2 + l
x >1 (2~x) x < 1
Luego, /(x ) es derivable en x = 1.
3. En los puntos x e ^ 0 ,- |J , f (x) es 
continua y derivable en ̂0,-| ̂ .
4. El T.V.M. es:
m = l É l z l ñ|_o /(O) = (O)3 - (O)2 + 0 
= 0
Moisés Lázaro C.
/'(C) = ^
2
f'(c) = 2
3c 2 - 2 c + 1 = 2 v 7 7 ^ = 2(2-c)
3c 2 ~ 2c - 1 = 0
(3c + l ) ( c - l ) = 0 i 3
(3 c + l ) ( c - l ) = 0 < * 3 ( 2 - c)2 = 1 ■
* c = 1 L̂ c = l
5. c = l e ( 0 , | )
Problemas Propuestos: Grupo 1
En los ejercicios del 1 al 8, hallar el valor 
de x que cumpla el T.V.M.
1. /(x ) = l - x 2 , X € [0,2]
Rpta.: 1
2. /(x ) = x 3 - 3 x 2 , x e [1,4]
Rpta.: 1 + V2
3. /(x ) = x , x e [1,2]
Rpta.: l[> /3 9 -3 ]
4. /(x ) = V l - x 2 , x e [ 0 , l ]
« p ía . :
6. /(x ) = x 1/3 , X G [-1,1]
7. /(x ) = l - x 2/3 , x e [-1,1]
8. /(x ) = cx + dx + e , xe[a,b]
Rpta.: x0 a + b
9. Sea la función /(x ) = ^ /(x -2 )2 defi­
nida en x e [0,4] ¿es válida para ésta 
función el Teorema de Rolle en el 
segmento [0,4]?
Q
10. ¿Verifica /(x) = x - x el Teorema 
de Rolle para los intervalos [-1,0] y 
[0,1]?
Rpta.: x = --3=e<-l,0>
x = - ^ e <0,l>
Verificar la validez del Teorema de 
Rolle para las siguientes funciones del 
17-20.
11. f(x) = x3 +4x2 -7 x -1 0 , x e [ - l ,2]
12. f(x) = Lnsenx, xe[;r/6,5;r/6]
13. /(x) = 4senx , xe [0 ,i]
14. / ( x ) = V x 3 - 3 x + 2 , x e [1,2]
15. Comprobar que se verifica el Teo­
rema de Rolle para la función:
/(x ) = (x - l)(x - 2)(x - 3)
16. Sea /(x) derivable en el intervalo 
[a,b], ab > 0 . Demostrar que:
i
a - b
a b
m Hb) 
donde a<c<b
= / (c ) -c / '( c )
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< g >
9.1. OTROS PROBLEMAS RESPECTO AL T. V. M.
\ Problema 1 Probar que ex > 1 + x para todo x > 0 .
Prueba:
1. Partiremos de la función /(x ) = ex que es continua y derivable en todo x e .
2. Aplicar el teorema del valor medio en el intervalo 
cerrado [0,x].
3. f {x) - e x es continua en [Q,x] y derivable en <0?x>, entonces por el T.V.M. existe 
un numero c e <0,x } tal que:
f (x) - /(O) = f (c)(x - 0 }, donde f (x) = ex 
ex - 1 = ecx Como c € <G,x> => c > 0
=> ec > e°
K M í
s i e S l y x >0 => x e c > x *
Por transitividad: ex -1 > x > 1 + x , V x > 0 .
! Problema 2
Prueba:
Probar que: |se nx-seny | < | x - y |
1. Aplicar el T.V.M. a la función /(x ) = senx sobre 
el intervalo cerrado [x,y], porque /(x ) cumple 
todas las hipótesis del caso.
2. Existe c e (x ,y )
Aplicar | . | :
Pero: |cosc| < 1
> x < c < y tal que:
/(x )- /(y ) = /'(c)(x-y)
sen x - sen y = eos c(x - y )
|se nx-seny | = |c o s c ||x -y | 
|se n x-se n y | < |x - y |
donde
/(x ) = senx 
/(y) = seny 
/'(x ) = cosx 
f'(c) = cose
*2 4 2 )______________________________ Moisés Lázaro C.
(Problema 3 Probar: nyn ( x - y ) < x n - y n < n x n (x -y )
Si 0 < y < x , n = 1,2,3,...
Prueba:
1. Aplicar el T.V.M. a la función /(x ) = x n sobre el intervalo 
cerrado [y, x ] .
2. Existe c e (y ,x ) <=o y < c < x tal que:
/(*) - /(y) = /'(c)(x - y ), donde /'(x) = nxn4
x n - y n = ncn_1( x - y ) ......................................................... ( 2*)
3. Pero: 0 < y < x => 0< yn_1 < x n_1, n = 1, 2 , 3 ,...
Multiplicar por n: nyn_1 < n x n_1
Como: 0 < y < x x - y > 0 => nyn_1( x - y ) < nxn_1( x - y ) ....... (3*)
4. Ahora, operemos (2*) con (3*):
a) En (2*) hacemos c = x : x n - y n = n xn_1( x -y )> n y n_1( x - y ) ... (a*)
b) En (2*) hacemos c = y : x n - y n =nyn” 1( x - y )< n x n-1( x - y ) ... (b*)
5. (a*) y (b*) prueban el problema.
y c x
[Problema 4 Si a > 1, entonces (1 + x)a > 1 + a x para todo a > -1 .
Demostración: 1 o c x
1. Si x = 0 , se cumple 1 = 1.
2. Aplicar el T.V.M. a la función f(x) = (1 + x)a en el intervalo cerrado [0 ,x ].
/(x )-/{0 ) = f(c )(x -0 ) , , dorare f(x) = a ( l + x)**"1
(1 + x)“ -1 = «(1+ c)“ 1x .......(3*) f(c) = a(l + c)0'"1
4. Si se prueba que: a(l + c)a~l > 1, el problema estará probado.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Veamos:
Como: a > 1 a [c > 0 => l + c > l]
a - l >0 U
(l + c f ^ l
u
or(l + c)"_1 > a
Como: a > 1 => a( 1 + c)a 1 > 1
Como x > 0 , por x: =̂> a( 1 + c)a 1 x > x
5. Por (4*) y (3*): (l + x f - l > x => (l + x)a >l + x
Probar que: l - ^ < L n x < x - l , para x > 1.
Prueba:
1 . •HUmHMMMHiMIMMUm
1
Aplicar el T.V.M. de /(x ) = Lnx sobre [1, x ] : 
Existe c e (1, x) tal que f (x) - /(1) = f r{c)(x - 1) 
/(l) = Lnl = 0
Como /(x ) = Ln x <
2. Sustituir en (1*):
L n x - 0 = i ( x - l )C V
(2*) Lnx = “ ( x - l )
=> Lnx < x -1 ...............
Como: c > 1 => - <
c
x > 1 => x -
u
■i(x-l)<(x-
(2**)
(4*)
(1 *)
1
1>0
1)
{ 0 }
Moisés Lázaro C.
3. Por otro lado, si
i > i
C X
p o r x - l > 0 : =¿> - i ( x - l ) > - - ( x - l )
4. Volver a (2*): L n x > — (x - 1 )
5. Por (4) y (2**): - —- < Ln x < x -1
* Problema 6 Probar que x > Ln (1 + x ) , x > 0 .
Prueba:
El dominio de /(x ) = Ln(l + x) es x > -1 .
1. Aplicar el T.V.M. a la función f (x) = L n (l + x) sobre el intervalo [0 ,x ]:
3c g (0,x) t.q. f (x) - /(O) = f ' (c)(x - 0) ........................................... (1*)
2. Si f (x) = L n (l + x), entonces
3. Sustituir en (1*):
Ln(l + x) = T̂ x
/(O) = Ln(l) = 0 
/ 'W = T T 7 
/ '(c ) = iT7
4. Luego:
l x < x1 + c '
L n (l + x) < x
Como: x > 0
=> c > 0
=> 1 + c > 1
=> ^ < 1 1 + c
=> 1 + c
APLICACIONES DE LA DERIVADA
| P roblem a 7 Probar que: senx + tgx > 2 x , ̂0 < x <
Prueba:
1. Aplicar el T.V.M. a la función /(x ) = senx + tgx sobre [0 ,x ]:
3c g <0,x> t.q. / ( x ) - / ( 0 ) = / '(c )(x -0 ) ....................................(1*)
2. Como: /(x ) = senx + tgx
/ (0) = sen0 + tg0 = 0
9/'(x ) = cosx + sec x 
/'(c) = cosc-f-sec2 c
93. Sustituir en (1*): senx + tgx = (cose+ sec c)x
4. En 0 < x < - | se cumple que: cose + sec c > 2
opor x >0 => (eosc +sec c)x > 2x
5 . Volver a 3: senx + tgx > 2x
Moisés Lázaro C.
Corolario 14.4 Sea / continua en [a,b] y derivable en (a,b) Si existe
lim f ' {x) = L entonces existe f ' (a+) yes f ' (a+) = L.
rt - » a+
Demostración: Basta probar que yn - » a y 
lim /'(yn) = L . Se trata de analizar el límite de la
n —> co
derivada a la derecha de “a” . 
Veamos:
yn
1. Elegimos arbitrariamente una sucesión de números reales xn >a con lim x n « di
2. Como/es continua en [a,b], entonces existe el siguiente límite lim ~ *1.1
3. Aplicar el T.V.M. a la función f(x) sobre [a,xn] : para cada neiN existe y„ , .. 
a<yn<x„ tal que ¿ & h M ,/»(y J ............................................ (3*)
4. Es evidente que yn -»a (porque a < yn < xn y xn -> a). Luego, en (3*) obtene­
mos: L = lim ^Xn)~{(- = lim /'(yn)
Corolario 14.5 Sea / : (a,b) -----» í? una función que es derivable, excepto,
posiblemente en un puntoc e (a, b ), donde / es continua. Si exis­
te lim f ' (x) = L , entonces existirá /'(c) y además de eso
x -> c
f (c ) = L .
Teorema 15 (TEOREMA GENERALIZADO DEL VALOR MEDIO 0 DE CAUCHY)
Si dos funciones /(x ) y g(x) son continuas en [a,b] y son deri-
HlPÓTESIS
| vables en (a, b) , además g'(x) = 0 , V x e (a, £>)
T e s i s
Entonces existe un número real c e (a,b) , tal que:
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Prueba:
1. Construir una función que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle. Sea la fun­
ción h(x) = [/(b) - f(a}] • [g(x) - g(a)) - [g(b) - g(a)] • [/(x) - f(a)}
3. Como /(x ) y g(x) son continuas en [a,b] y derivables en (a,b), también h(x) es 
continua en [a,b] y derivable en <a,b), entonces existe un número ce<a,b) tal
4. Pero: b'(x) = [/(b) - /(a )] . g'(x) - [g(b) - g(a)] • f ' [x)
=> h'(c) = [/(b) - / (a ) ] • g'(c) - [g{b) - g(a)] * f (c) = 0
De donde: f f(c) zr /(b)-/(Q) ff'(c) ff(b)-s(a)
Ejemplo: Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las
funciones f(x) = x 2 +2 y g(x) = x3 -1 en el intervalo [1,2] y hallar c .
Solución:
1. f (x) = x 2 + 2 y g(x) = x3 -1 son poli­
nomios y por tanto son continuas en 
[1,2] y derivables en <1,2) .
2. Para hallar c, deberá resolverse la ecua-
/ ( 2 ) — / ( I ) _ f ( c )cion:
S (2 ) - fí (l) ff'(c) *
3. De /(x ) = x + 2 f(2) = 6
/(l) = 3
/'(x ) = 2x -----> /'(c) = 2c
4. De g(x) = x -1 
g'(x) = 3x2 -
' s(2) = 7 
>s(l) = 0
g'(c) = 3c2
5. Reemplazar en 2: f r § = ^ T
— > 1 = -2 .
7 3 c
{ 0 }
Moisés Lázaro C.
10. REGLA DE L’HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES INDE­
TERMINADOS DE LA FORMA £ Y —0 00
Teorema 16 (REGLA DE L’HOPITAL)
Supongamos que lim /(x ) = 0 y lim g(x) = 0 .
x —> o x —> a
Si existe lim 44? , entonces existe lim 4 4 r yx ^ 3 ( x ) ’ x ->a9W
Ejemplo 1. Calcular: lim 1 cosx
lim 4 4 1 = lim 4 4 1
x - > a 9(x) x —>a & (x)
x -» 0 x2
Solución:
Como lim 1 c°sx = , Aplicamos L'Hopital (derivar numerador y denominador)
x —»0 u
lim 1 c°sx = lim 4 (otra vez derivamos)
x -> 0 x2 x -» 0 2x 0
= lim cosx _ i 
x ™ 2 2
La regla de L’Hopital se puede aplicar, también, para las siguientes formas indetermi­
nadas:
lim 4 4 = —, entonces lim 4 4 = lim 4 4 rĉ a 9(x) oo’ x->a9W x-^a^W
lim 4 4 = ~ > entonces lim 4 4 = lim 4 4 0 s(x) oo x - > o o 3 ( x ) x ^ a o S M
III. La indeterminación 0 • qo se debe convertir a una de las siguientes formas
Se le aplica L'Hopital
a) 0 -oo = -£L = I l
b) 0-oo = ^ = -
0
APLICACIONES DE LA DERIVADA . ,---------------------------------- — ----------------------------------(249)
La proposición es:
Si lim /(x ) = 0 y lim g (x ) = cc, entonces lim f (x) g(x) = 0 • co
x ->a x —>a x - > a
= lim /(*) = o 
x ^ a J u J °
V = lim -S¥ L = ^ 
x^Ojfjy «
IV. La indeterminada co - c o se debe convertir a la indeterminado ^ , para poder 
aplicar L ‘Hopital.
Proposición:
Si: lim /(x ) = oo y lim g(x) = oo , además, lim [ /(x )-g (x )] = oo-oo; entonces
x - > a x ->a x —>a
la indeterminación oo - oo se evita haciendo la siguiente transformación:
lim [/(x )-g (x )] = lim /(x )
x->a x->a /(x)
i - iL Í ü i
= Km LílL= 01 0 ■ x“>a 7ÜT
. Si lim = 1, entonces se hace
x -*a * W
V. Los limites indeterminados l 00, 0o , oo° se evitan aplicando logaritmo natural y 
algunos de los casos anteriores.
NOTA: Hay casos en que deben combinarse la regla de L ’HOPITAL y
los medios elementales.
< §>
Moisés Lázaro C.
1 0 . 1 . P R O B L E M A S
i. xcosx -sen x o ,lim s = ¥r • Entonces:
x -> 0 ü
xcosx -sen x _ (xcosx - senx)' _ cosx - xsenx - cosx _ j . ^ -sen x
x -» 0 x3 x -» 0 (x3 )' x -> 0 3x2 x -» 0 3x
i. (-senx)' i. -cosx i= lim To'-rr- = lim —ó— = —é-
x -> 0 (3 x ) x -> 0 3 3
2 . lim — - — = — • E n to n c e s :n , n x oox ->0 cotg ~ Y
.2_ 71 _ 71 _ 7T_______ _ 71lim -
x^Oxcotg^ x^Otal l£ £ O .go |im — x— ---------------- 1--------- J_ 2L£ x ~ > 0 iL sec2 £ £ JL 
2 2 2 2
3. fon lgx~sen-x- = SL. Entonces: = lim * £ * .z£E** = £ , luego:
x ^ q x - s e n x 0 x -»0 l - c o s x 0 °
i. 2 se c x s e c ta x + s e n x v 2 s e c2 x t g x + s e n x 0 j • ±= l i m -- - - - - - - - - - - - - - - - - - = -l i m ----- - - - - - - - - - - - - = -pr • d e r iv a r o tr a v e z :
x -> 0 senx x ^ O senx 0
2 2 secx secxtgx + sec2 x sec2 x +co sx
lim — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - J--------
x - » 0 cosx
2 2sec2 x tg x + sec4 x + co sx o r n ^ i i i i
lim — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - j-------- = i L 0+ l L t l = 3
x -» 0 cosx 1
4 . lim ( l - x ) t g - f x = 0 .o o , e n t o n c e s : lim (1 - x ) t g - f x = lim 1 --x =
x -» l ¿ x - > l ¿ x - > l c o t g | - x u
A p lic a r L 'H o p it a l : = -l i m --- - - - - - - - - - - - - - - - = j=L
x —>l cosec — x ~|
_ 2
5 . lim ( l “~c€&x)cotíj)C = G.ac
Luego: Um ( l-c o s x )c o ta x = lim
x-~»0 x ~ »0
x~*0 secrx 1
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< s >
6. lim x x = 0o ,;
x > 0
Hagamos: 
Tomar Ln 
Tomar límites
Pero:
Hagamos:
por L' Hopital:
o sea:
Hagamos: 
Tomar Ln 
Tomar:
Pero:
Por L' Hopital:
i: x > 0 
y = x x
Lny = x • Lnx
lim [Lny] = lim [x • Lnx]
x -» 0 x -» 0
Ln lim
x —>0
lim Lnx
X - > ° -
1
: lim
x -> ° ~2
Ln lim
x -> 0
= 0
lim y = 1 
lim x x = 1
x -> 0
^ ( t )
lim Lny = lim [ tg ^ r j Ln[ tg j = oo • 0 
= lim ( tg 4 p ) Ln( t g ^ ) = lim
x —>1 v } x ' x —> 1 cota —
lim y
X —>1
4 , x x
= lim ------1 2 XXx —> 1 ~ cosec - y
< §>
Moisés Lázaro C.
Ln
Ln
lim y
x —>1
lim y
x —>1
2L 2.
4 1 _
- f ' 1
= - 1
- 1 lim y = e
X - > 1
8. lim ( 1 )
x - > 0 ' x '
Hacer:
t g x
Por L' Hopital
Por L' Hopital:
k - í í ) * ’ — »
Lny = tgx Ln-^ 
lim (Lny)= lim tgx (L n l-L nx)
x >0 x -»0
= - lim tg x Ln x = 0 • <x> =
x —>0
- lim s-t-
x -*0 - c o s e c x
= lim _ 1
x _^0 x c o s e c 2 x ^ °°
: lim^nx.
x ->0 x
: lim
x->0
2 sen x c o s x _
lim (Lny) = 0
x -»0
Ln( i t a j , ) = °
lim y = 1
x —>0
- lim
x ->0
9. lim ( cotg x }senx = a>°
Hacer:
í i ry = (cot9^)senx 
Lny = senx • Ln(cotgx) 
lim (Lny) = lim [senx(Lncotgx)] = 0*«s
x->0 cosecx
Lnx 
co tg x
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Por L' Hopital: = lim co tg X
x ^ q - c o s e c x . c o t g x
 2= lim o
>0 c o s e c x c o t g x
= lim
x _»0 c o t g 2 x
= lim-ía^
x->0 sen x
Por L' Hopital = lim ^ se<?x
x -> 0 cosx
Hm(Lny) = l M
x -> 0 1
ln / lim y ) = 0 => lim y
[ x-»o } x->o
10. lim ( l + x 2 )* = 1“
x -»0
Hacer: y = ( l + x 2 )x
lny = —L n (l + x 2 ;
lim (lny)= lim -Mn(l + x 2 ) =
x ->0 x -> 0 x
Pero: = lim ln(1 + x2)
x -» 0 x 
2x
Por L' Hopital = lim
x->0 1
= lim -- - - - = -2. 
x^ 0 l+ * 1
lim (lny) = 0
x h >0
ln / lim y \ = 0 
\ x_>° I
lim y = 1
x ^ O
= i
00 * 0
(254) Moisés Lázaro C.
11. lim J9£z2L = ¿
x->0 x -s e n x 0
Por L' Hopital: lim —x x- = lim ~
x_>0x~senx 1x -> 0
sec x - 1 _ o 
-cosx 0
otra vez por L'Hopital: lim S-,ec x 1 = lim
x -> 0 1 - cosx x -> 0
2 sec x secx.tgx
12. lim —
x->oo e 00
= lim 2sg_xta« n
x -> 0 senx 0
O= lim 2sec x ■ lim
x -> 0 x ->0
lim secLjc 
x -» 0 cosx
= [2 ]
X->
= [2 ] [ 1 ]= 2
Por L' Hopital:
x-»co e
lim 3x^
x —>00 ex
lim 6x
X —>00 ex
lim _6_
X —>00 ex
= -£- = 0
i o i. x + Lnx13. lim —j-----
x^oo x Lnx
Por L' Hopital: lim —+.Lnx = lim
xLnx x-»oo Lnx + x J-
tgx
senx
APLICACIONES DE LA DERIVADA
14. lim
X —>1
r_i x _ i=(
|_ ln x ln x J
Pero lim
x->l = limln x ln x J ^^ 2
1 - x 
ln x
Por L' Hopital: = lim
x-»l “
lim
y-i
y
y -i
i
ln y
= 00 — 00
L' Hopital:
u jjlny-y + 1 0
“ ” l ( V -l)ln y 0
ln y + y i - - 1 + 0 - lim 1----- --
y —̂ 1 ln y + ( y - l ) ^
= lim ÍM ± i4
M i ln y + l - i
y y
= iim _ y.l?.y_ = o
y _ l l y l n y + y - 1 O
'opital: = lim lny + y il i m ----------
y -> l lny + y^ + 1 - 0 
livr, Jny + 1 _ 1
< §>
Moisés Lázaro C.
17. lim
<p->0
Pero:
sen <p
■ lim
cp -» o 1 — COS2 <p 1 -C O S Í5
= lim 2 - (1 + COS (p)
<p-> 0 1 -cos (
1 - COS (p
- lim
< p - » 0 1 -CO S (p
__ 1 . l - c o s < p
~~ ̂- cos<p) ^ + coŝ
= lim Tj—i— = _ !_ = 1
^ 0 1 + c o s ^ 1 + 1 2
18. lim
x - » 0
Pero: = lim 9 9
x-+0 X sen¿ x
Por L'Hopital = lim 2 x - 2 se n x cosx
x - + 0 2 x sen2 x + 2 x 2 sen x co sx 
2 x - se n 2 x
x ^ O 2 x sen2 x + x 2 sen 2 x
Por L'Hopital
= lim
x^C
= lim 2 - 2 eos 2 x
2 [ sen2 x + 2 x sen x co sx ] + 2 x s e n 2 x + 2 x 2 c o s2 x 
2 - 2 c o s 2 x= lim ----- 9--------------------------------- 5-------
x - + 0 2sen x + 2 x s e n 2 x + 2 x s e n 2 x + 2 x c o s2 x
i. 2 - 2 c o s 2 x- iim ------------------------------------------ ------------
x - > 0 2 sen x + 4 x se n 2 x + 2 x c o s 2 x
Por L'Hopital = lim 4 sen 2 x
x - > 0 4 sen x cosx + 4 s e n 2 x + 8 x c o s2 x + 4 x c o s 2 x - 4 x se n 2 x
lim 4sen2x
Por L'Hopital = lim
x - + 0 6 sen 2 x + 1 2 x c o s 2 x - 4 x se n 2 x 
8 eos 2 x
x - * 0 12 eos 2 x + 1 2 eos 2 x - 2 4 x se n 2 x - 8 x se n 2 x - 8 x c o s2 x
8 8 1 
12 + 1 2 - 0 - 0 - 0 = 2 4 = 3
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< §>
11. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Definición 1 Una función f (x) es creciente sobre un intervalo /, cuando se cum­
ple que: Si < x2 =̂> / (x i) < / (x 2) ; V x1,x2 e I
Definición 2 Una función f(x) es DECRECIENTE sobre un intervalo /, cuando se
cumple que: Si x1 < x2 => /(x 1)> / ( x 2) ; V x 1,x2 e í
Teorema 17, Si /'(x ) > 0 , para todo x perteneciente a un intervalo abierto í, entona 
ces f ( x ) es CRECIENTE sobre L
Teorema 18. Si f ( x ) < 0 , para todo x perteneciente a un intervalo abierto enton­
ces f ( x ) es DECRECIENTE sobre I.
Demostración del Teo. 17.
1) Consideremos dos puntos Xj y x2 perte- 1) Consideremos dos puntos x 1 \
neciente a /, tal que Xi < x 2 neciente a /, tal que Xi < x 2
2) Por el Teo. del V. Medio, existe algún 
x e <XJ,X2> , tal que: f ( x ) =
3) Por hipótesis, tenemos que:
f'(x) > 0 ; V x e I
/ ( x 2 ) - / ( x l ) > 0
x 2 - x 1
<=> /(x 2) - f { x1) > 0 , pues x2 - x1 > 0 
<=>
4) Por (1) y (3) tenemos que:
Xi < x2 => f ( x1) < /(x 2) , V x 1,x2 e / 
Por lo tanto: /(x) es CRECIENTE sobre I.
Demostración del Teo. 18.
2) Por el Teo. del V. Medio, existe algún
/(*2 )-/(*i) 
x2 ~ X1x g (x1, x2), tal que: /'(x) =
3) Por hipótisis, tenemos que:
/'(x) < 0 , V x e /
f ( x 2 ) ~~ f ( x l ) < Q
x2 -Xi
<=> /(x 2) - f { x j ) < 0 , pues x2 - x1 > 0
/ ( x 2 ) < / ( x 1)
4) Por (1) y (3) tenemos que:
Xi < x2 => /(x 2) > f ( x2) , V Xx,X2 G I 
Por lo tanto: /(x) es DECRECIENTE sobre /.
y = f(x) 1) f ( x ) es CRECIENTE en x e ( a ,x 1)2) f ( x 1) = 0
3) f [ x ) es DECRECIENTE en x g < x 1,x 2>
4) / ' ( * 2 ) = 0
5) f [ x ) es CRECIENTE en x e ( x 2, x 3 >
6) f ' ( x 3 ) = 0
7) /(x ) es DECRECIENTE EN x e < x 3,a>
Moisés Lázaro C.
Definición 3 Una función/se llama NO-DECRECIENTE sobre un conjunto 7¡ si para 
todo x1, x2 e / , se cumple que: si x1 < x2 =̂> f (x1) < f ( x 2).
NOTA: /(x 1)< /(x 2) <=> f ( x1) = f (x2) v /(x 1)< /(x 2)
t -1 Esta igualdad indica que en algún tramo de / (subconjun-
to de I) la función / ( x ) es constante (recta horizontal).
Definición 4 Una función / se llama NO-CRECIENTE sobre un conjunto I, si para 
todo xx, x2 e / , se cumple que: si x1 < x2 =5- /(x 1) > / (x 2).
NOTA: /(x x)> /( x 2) <=> /(x 1) = / (x 2) v /(x1)> / ( x 2)
EJEMPLOS
/M =
x , 0 < x < 2 
4 , 2 < x < 5
 ̂+ 3 , x > 5
f ( x ) es NO DECRECIENTE. En el interva­
lo 2 < x < 5 se cumple: f ( x 1) = /(x 2) ; 
V x1?x2 e (2,5) .
3(x) =
(x - 1) -5 , - 2<x <0 
, 0 < x < 4
- 6 - i ( x - 4 ) 2 , x > 4
g [x) es NO CRECIENTE en el tramo 
0 < x < 4 se cumple: g(x1) = g(x2) ,
V x 1, x2 e (0,4)
Definición 5 Una función / se llama MONOTONA sobre el conjunto / , si sobre / , / 
es creciente o decreciente o no-creciente o no-decreciente.
NOTA: Según las definiciones 1 y 2 deducimos que:
- Una función creciente es no-decreciente.
- Una función decreciente es no-creciente.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< §>
12. CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS
Teorema 19. (CRITERIO DF, L V PRIMERA DERIVADA)
Sea c un punto crítico de f ( x ) , donde f'(c) = 0 v / ' (c) no existe.
Si v3 (c) = <c - S,c + S) es una vecindad de c tal que / es continua en u(í (c) y / es deri­
vable en v3(c), excepto, tal vez, en c; entonces se cumple una de las siguientes própo-
1. Si [ / '(x )> 0 , V xe (c -< ? ,c ) a f (x ) < 0 , V x e (c ,c + ¿ } ] f(c) esunMÁxi-
MO relativo de / .
c - S c + 6
0 ...........................9
r> o f'<0
CRECIENTE ! DECRECIENTE ¡
2. Si [/'(x )< 0 , V x e (c -c> ,c ) a / ' ( x ) > 0 , V x g ( c , c + ^ ) ] / ( c ) es un MÍNIMO 
relativo de f.
c - 5 c + 8
f ' < 0 f > 0
1 DECRECIENTE ! CRECIENTE
3. Si { [ / ' > 0 , V X € (c — <5, c) A f r>0 , V x g ( c , C + ^ ) ] V }{c) no es MÁXIMO ni
, MÍNIMO relativo de f.
[ / ' < 0 , V x e ( c - d , c ) a / ' < 0 , V x e ( c , c + b ) ] }
c - 8 c + 8 c + 8
0 - í? ........... - — 9
f r> 0 f ' > 0
CRECIENTE CRECIENTE
9 — 1 — — .... t* r - ... .. ... ............. 0
f ' < 0 f ' < 0
! DECRECIENTE DECRECIENTE ;
Moisés Lázaro C.
Ejemplo: Sea la función:
/ ( X ) =
-3 x 5 + 5x3 + 54 , x < 2
-2 |x -4 ¡ + 2 , 2 < x < 5
( 5 - x ) e 5_x , x > 5
Tenemos:
1. Dom(/) = x e lR .
2. /(x ) es continua en V x e IR .
3. Definir el valor absoluto en / .
-3x5 + 5x3 + 54 , x < 2 
2 ( x - 4 ) + 2 , 2 < x < 4 
-2 (x - 4) + 2 , 4 < x < 5 
( 5 - x ) e 5~x , x > 5
f ( x ) =
4. Derivar y factorizar:
- 1 5 x 2 (x - 1 ) ( x + 1) , x < 2
2 , 2 < x < 4 
- 2 , 4 < x < 5 
( x - 6 )e5~x , x >5
/'(*) =
5. PUNTOS CRITICOS: {0, -1 , 1, 2, 4, 5, 6}
6 . Intervalos donde/crece y decrece. 
/^\\2//7\\J / oj ' lo \§ /
r i i i rs
/(-1 ) = 52 es mínimo relativo de /.
/(O) = 54 no es máx. ni mínimo de /(x ) 
/ (1) = 56 es un máximo relativo de /. 
/ ( 2) = -2 es un mínimo relativo de/. 
/(4 ) = 2 es un máximo relativo de /.
/(5) = 0 no es máx. ni mínimo relativo de/. 
/ (6) = - — es un mínimo relativo de/.
Teorema 20. (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA)
Sea/una fundón derivable en un entorno de c. Si f ( c) = 0 a / " ( c) existe, entonces;
1) Si f"(c) < 0 => /(c) es un MÁXIMO relativo de /. ^ '/
2) Si /"(c )> 0 => /{c) es un MÍNIMO relativo de /. <a
Prueba de 1) Para afirmar que f(c) es un máximo relativo de/, debo probar que: 
/ ' > 0 , V x g ( c - í , c ) a / ' < 0 , V x e (c ,c + £}
APLICACIONES DE LA DERIVADA_______________________ . .
Veamos:
1. Por hipófisis se tiene: /"(c) < 0 , además que / es derivable en N(c) = entorno de i 
entonces / es continua en N(c).
2. Como f"(c) existe, entonces: /"(c) = lim lim £ M z l M .<0
, * / : ' / . , ' „v?;7.*"< ?/íi,*4O/-:/'.- - , ; ~,x>'C ■'" - *./',
3. Existe una vecindad Vó(c) = (c-S,c + S)o:N(c), tal que:
a) Si x < c , V x e ( c - S , c ) , entonces ^ ~ i~-¿- ̂< 0
x - c <0 f„ *pero f '(c) = 0 => 777 <0 => / '( x )>0
b) Si x > c , V x £ (c ,c + (?), entonces --■■■■XJ~¿^ <0
pero /'(c) = 0 => ^ < 0 => /'(x ) < 0
4. Por 3 a) y b) hemos llegado a la conclusión siguiente:
0~ 5 ?__ ° t 8 (c) — (c — 5,c) U ( c , C + S ) = vencidad reducido de c.
Se llama así por que 
excluye al centro c.f> 0 f'<0
Por lo tanto f(c) es un MAXIMO RELATIVO de /. (por 6.1).
Prueba de 2) Queda como ejercicio.
Ejemplo:
Sea f (x) = 2 cosx -cos2x , x e IR . Obtenemos:
1. /'(x ) = - 2senx + 2sen2x
= -2 sen x + 2(2 sen x • eos x)
= - 2senx + ( l - 2cosx)
2. Puntos singulares (críticos): / senx - 0 => x = n^- + ( - l )n0°
3. Puntos críticos j n 7F,-|- + 2 n ;r ,^ L + 2 n /r j
4. La segunda derivada es: De f ' (x) = -2senx + 2sen2x
=> f "(x) = -2cosx + 4cos2x
= 2[4cos2 x - eos x - 2]
a) /"{n¿r)>0 => / tiene mínimos relativos en x ~ m
b} / ' (x /3 + 2n¿r} < 0 => / tiene máx* relativos en x » ^ + 2nn
c) /"(5;r/3 + 2nn) < 0 => f tiene máx. relativos en x = 2n;r
______________________________ Moisés Lázaro C._______________
13. PROBLEMAS RELATIVOS A MAXIMOS Y MINIMOS
13.1. FUNCIONES POLINOMICAS
(T ) Encuentrelos valores máximos y mínimos relativos de /(x) = 3x5 - 20x3 +16 
Solución:
I o El Dominio de / ( x ) , es x e R , por ser un polinomio.
2° Son puntos críticos:
Los puntos singulares, es decir, los x e D o m (/), tal que, /'(x ) = 0
Veamos: De f (x) = 3x5 -2 0 ;r3 +16
Obtenemos: f ' (x) = 15x4 -6 0 x 2 ............................................... (a)
= 1 5 x 2 ( x 2 - 4 ) 
f r(x) = 15x2 (x - 2)(x + 2)
Luego: x es punto singular <=> /'(x ) = 0 , con x e Dom(/) = R
c=> 15x2 (x - 2)(x + 2) = 0
<=> x = 0 v x = 2 v x = -2
Total de puntos críticos = {0 ,2 , -2 }
APLICACIONES DE LA DERIVADA (263)
3° Intervalos donde la función es crciente y decreciente.
a) f (x) es CRECIENTE: <=> f ' { x )> 0
15x2(x -2 ) (x + 2) > 0
Simplificando los términos
o15x , por ser positivos
b) /(x ) es DECRECIENTE:
( x - 2)(x + 2) > 0
X E (-0 0 , -2 ) U (2, +oo)
/ ' ( X ) < o
15x2 (x - 2)(x + 2) < 0 
( x - 2)(x + 2)<0
x e ( - 2,2}
4° Dibujar en la recta real el dominio de / y los puntos críticos. Luego, analizar en 
qué intervalos /(x ) es creciente o decreciente.
<-oo,-2> f \ <-2 ,0)
-2
<0,2> (2 , ®>
CRECIENTE DECRECIENTE DECRECIENTE CRECIENTE
f'(X) > 0 f'(X) < 0 f'(X) < 0 f(x ) > 0
Por lo tanto:
i) Existe máximo en x = -2 , donde Máx(/) = /(-2 ) = 80
ii) Existe mínimo en x = 2 , donde Mín(/) = f{2) = -48
5° Cálculo de los puntos de inflexión:
Puntos de Inflexión = { x e Dom (/)/ f " {x) = 0}
Veamos:
Del paso 2o (a) obtenemos: / " (x ) = 15(4x3) - 60(2x)
= 60x3 - 120x
= 60x(x -2 )
Moisés Lázaro C.
Haciendo f"(x) = 0 , tenemos: 60x(x -2 )
x II o V
IC
,IIX V
L£.1IIX
Donde:
/(O) = 16 « (0,16) 
f{y¡2) = 16 -2 8 ^ 2 *23.60 
/(-V 2) = 16 + 28V2 *55.60
(2 ) Hallar los máximos y mínimos de la 
función: f(x) = x4 - 4x3 + 16x .
Solución:
I o Dom(/) = x € IR, por ser /(x) un polinomio.
2o CÁCULO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS:
i) Son puntos críticos los x e Dom(/), tal que, /'(x) = 0 .
Veamos:
a o
De: /(x) = x - 4x + 16x , obtenemos:
/'(x) = 4x3 - 12 x2 +16 ............. (0)
/'(x) = 4(x - 2)2 (x + 1 )
Haciendo /'(x) = 0 , tenemos:
4(x -2 )2(x + 1) = 0 <= x = 2 x = —1
FACT0RIZAND0 POR RUFFINI
2 4 -12
8 i 00 
o 12
-16
2 4 i
00 
4̂
oo 
oo 
1 0
-1 4 4
-4
0
4 0
INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a ) / ( x ) es crecien te > / ' ( x ) > 0
4 (x -2 )2(x + 1)>0 
x + 1 > 0
x > - 1
simplificando 4 (x -2 ) por ser 
positivo V x e R , x * 2 .
X e < - l ,+ 8 )
APLICACIONES DE LA DERIVADA
b) f(x) es decreciente <=̂ > f'(x) < 0
4(x - 2)2 (x +1) < 0 ..................................... , simplificar 4(x - 2)2 por <
x < - 1 <=> x g < - o o , - l )
<-00 ,-1) <-1 , 2) 
-1
positivos V x e R con x * 2 .
<2 ,«>
f ' ( x ) < 0 f ' ( x ) > 0 f'(X) > 0
DECRECIENTE CRECIENTE CRECIENTE
Por lo tanto, existe un mínimo en x = -1 , donde:
Mín(/) = /(-1 ) = (-1)4 - 4 ( - l ) 3 +16(-1) = -11
(-1,-11) g Gr(/)
4 o CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Los puntos de inflexión son los x e Dom (/), tales que, f"(x) = 0 ,
Veamos: En el paso 2o (a) teníamos: f'(x) = 4x3 - 12x2 +16 
Del cuál obtenemos: /"(x ) = 12x2 - 24x
f"(x) = 12x(x - 2)
Haciendo: / f,(x) = 0 <=> 1 2 x ( x - 2 ) = 0 <^=> x = 0 v x = 2 
/) Para x = 0 , obtenemos /(O) = (O)4 - 4 (0 )3 + 16(0) = 0 (0,0) g Gr(/)
ii) Para x = 2 , obtenemos /(2) = (2) - 4(2) +16(2) = 16 (2,16) g Gr(/)
5 o INTERVALOS DE CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE LA FUNCIÓN
Visto la función de arriba hacia abajo:
/) / es cóncava, sí: /"(x) > 0
1 2 x ( x - 2 ) > 0 c = í X G (-0 0,0 ) U (2 , oo)
< §>
Moisés Lázaro C.
XCÓHCAVO)
©
ACÓNCAVOjXCÓÑCAVO) KCOÑCAVOj
ícomxas
ii) fes convexo, sí: f "(x) < 0 x e ( 0,2)
NOTA ACLARATORIA:
a) para el caso i, también se dice: 
CONCAVO HACIA ABAJO vjy
b) Para ei caso ii, también se dice: 
CONCAVO HACIA ARRIBA
Hallar los máximos relativos y los mínimos relativos de la función: 
f (x) = { x - 4 )4 (x + 3)3 .
Solución:
I o Dom(/) = x € R , por ser /(x ) un polinomio.
2o CÁLCULO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS:
Son puntos críticas los x e Dom(jf), tal que, /'(x ) = 0
Veamos: De /(x ) = ( x - 4 ) 4(x + 3)3
Obtenemos: /'(x) = ( x - 4 ) 4 [(x + 3)3]' + (x + 3)3[ ( x -4 )4]'
= (x - 4)4 [3 (x + 3)2 ] + (x + 3)3 [4 (x - 4 )3 ]
= (x - 4)3 (x + 3)2 [3(x - 4) + 4(x + 3)]
= (x - 4)3 (x + 3)2 [7x]
/'(x ) = 7x(x - 4 )3 (x + 3)2 *
Haciendo f ' (x) = 0 , obtenemos: 7x(x - 4) (x + 3) = 0
oIIX V X II V
001IIX
APLICACIONES DE LA DERIVADA
3 o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a) / ( x ) es CRECIENTE < = > / ' ( x ) > 0 0
7x(x - 4 )3 (x + 3)2 >0
Podemos simplificar los términos: 
7 ( x - 4 ) 2 ( x + 3)2 por ser 
positivos para x a 4 y x * - 3
b) / ( x ) es DECRECIENTE C
x (x - 4 ) > 0
x e < -o o , 0 ) u ( 4 , oo)
(-«>, -3)
-3
* f ' M < 0
7 x (x -4 ) (x + 3 )< 0
(-3,0) f \ (0,4)0
x e (0,4)
4
<4 , QO>
f'(x) > 0 t (X) > 0 f'(x) < 0 f (x) > 0
CRECIENTE CRECIENTE DECRECIENTE CRECIENTE
Por lo tanto:
/) Existe un máximo relativo en x = 0 , donde: 
Máx(/) = /(0) = 6912 » (0,6912) e Gr(/) 
ii) Existe un mínimo relativo en .x = 4 , donde: 
Mín(/) = /(4 ) = 0 « (4,0) e Gr(/)
P Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: *
/(x ) = x 5 + x + l , x e [ - 1,1].
Solución:
I o Dom(/) = x e [-1,1]
2 o SON PUNTOS CRÍTICOS:
i) Los extremos: x = -1 a x = 1
Donde: /( -l) = (-l)5 +(-l) + l = - l 
/(1) = (1)5 + (!) + ! = 3
( - 1, - 1) e Gr(/) 
(1,3) e Gr(/)
i i) Los valores que resultan de resolver la ecuación /'(x ) = 0 (VALORES SINGULARES).
Moisés Lázaro C.
Veamos: f'(x) = 5x +1
Haciendo f'(x) = 0 tenemos: 5x4 +1 = 0
<=> x4 - - - <; ;> x2
Luego: / x e [-1,1]// '(x ) = 0
±J~4r <- IM AG IN A R IO .
3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN f ( x ) ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
/) f(x) es creciente <=> /'(x) > 0 , con x e [ - l , l ]
<=> 5x4 +1 > 0
<=> xeIR a x € [-1,1]
x e [ - 1 ,1 ]
ii) f[x) es decreciente / '(x )< 0
5 x 4 + l < 0 a x e [ - l , l ] 
(j> a x e [ - l , l ]
<¡>
Es decir /(x) es sólo creciente sobre todo x e [-1,1].
4o CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Los puntos de inflexión son los x e Dom(/) = [-1,1], tales que /"(x) = 0 .
De: /'(x) = 5x4 +1, obtenemos f"(x) = 20x3
Haciendo f"{x) = 0 , tenemos: 20x3 = 0 <=> x3 = 0 <=í> x = 0
Si X = 0 /(0 ) = (O)5 +(0) + l <S=> (0,1) <------— PUNTO DE INFLEXIÓN
5° EL GRAFICO SERÁ:
X y = x5 f X + 1
-1 - 1
- 1/2 0.46
0 1
1/2 1.53
1 3
Máximo(/) = 3 <=> (1,3) € Gr(/)
Mínimo(/) = /(-1) = -!<=> ( - 1, -1) e Gr(/)
APLICACIONES DE LA DERIVADA {269}
( 5 ) Hallar los máximos y mínimos relativos de la función:
/(x) = 3x4 - 8 x 3 +6x sobre [-Vfe,1/^].
Solución:
I o Dom (/) = x € [-%,%]
2 o SUS PUNTOS CRÍTICOS SON:
/ ) Los extremos x = -V2 a x = V 2
ii) Los valores singulares (ó sea los valores que resultan de resolver /'(x) = 0 . 
Veamos: De /(x) = 3x4 - 8x3 4-6x2
Tenemos: f'(x) = 12x3 - 2 4 x 2 + 12x = 12x(x2 - 2x +1) 
/ '(x ) = 12x(x - l ) 2
Haciendo /'(x) = 0 , tenemos: 12x(x -1) = 0
TOTAL DE PUNTOS CRÍTICOS ={-V2 , 0 , V2 } SO BRE ,
3 o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
i) f(x) es creciente c=> /'(x) > 0
<=> 12x(x -1 )2 >0 a x e
<=> x >0
C=> X € {0, +00) X € I-V
hemos simplificado 12(x — l)2 por ser 
positivo V x e R ,con x 1 .
ii) f[x) es DECRECIENTE / ' ( x ) < 0 a x e [ -V 2, V2]
1 2 (x -l)2 A
X < 0 A X G [ —V2, V2 ]
x g <-y2,o)
< §>
Moisés Lázaro C
<-’/», 0) <0, V4>
f(X) < 0 f ( x ) > 0
DECRECIENTE CRECIENTE
( - ) (+>
Per lo tanto, existe un mínimo relativo en x = 0 , donde: 
Min(/) = /(O) = 3(0)4 - 8(0)3 + 6(0)2 = 0 c=^> (0,0) eG r (/)
Además: a) /(-V2) = 3 (-V2)4 - 8H /2)3 + 6(-y2)2 = 43/16 es un máximo relativo- 
sobre el intervalo (-Vi,0) , por que se cumple que:
/(-Ví2) = 43/16 > f (x ) , V x e <-Vfc,0>
b) /(Vi) = 3(Vfe)4 - 8(Vi)3 + 6(y2)2 = 11/12 es un máximo relativo sobre el 
intervalo <0,y2> por que se cumple que:
f(V2) = 1 1/ 12 > /(x ), VxG<0,y2)
4o CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Los puntos de inflexión son los x e (-Vi, Vi) , tales que,/ " ( x ) = 0 .
De: / ' ( x ) = 1 2 x 3 - 2 4 x 2 + 1 2 x , se obtiene: 
/ " ( x ) = 3 6 x 2 - 4 8 x + 1 2 
f"(x) = 1 2 ( 3 x 2 - 4 x + 1 ) 
f"(x) = 12 (3 x - l ) (x - 1 )
Haciendo: /" (x ) = 0 , tenemos:
12(3x -1 ) (x — 1) = 0
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5o EL GRÁFICO:
X y = 3x4 - 8 x 3 +6x2
-1 /2 2.68
0 0
1/3 11/27
1/2 0.68
6o INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD:
i) f e s C O N C A V O , si f"{x) > 0 
(C O N C A V O H A C IA A B A J O )
12(3x - l)(x -1 ) > 0 A x e P / 2,1/ ]
- ’/2 0 V¡ 'A 1
//) / es C O N VE XO , si /"(x) < 0 
(C O N C A V O 1 IACIA AR R IBA)
12(3x - l)(x -1 ) a x e [ - V 2 ,
-'A 0 'A
—•-------------------------------------1 ---------■■ -HWW/W//W/////W////////////////I i
(+) (-) (+) (+) (-)
x e [ - 1/2,1/3) x e <1/3,1/2]
(ó ) Determinar condiciones sobre a, b, c7 y d para que la función definida por:
o o
/ ( x ) = a x + b x + ex + d tenga un mínimo en x = 0 y un máximo en x = 1. 
Solución:
1 ° f ' ( x ) = 3 ax2 +2 bx + c
2o /"(x ) = 6ax + 2b
3o Para que /(x) tenga un mínimo en x = 0 , debe cumplirse que:
< §>
Moisés Lázaro C
resolviendo ambas relaciones, obtenemos: c = 0 a b > 0
4o Para que /(x) tenga un máximo en x = 1, debe cumplirse que:
/'(D = o
3a(l)2 + 2b(l) + c = 0 
3a + 2b + c = 0
Luego:
3a + 2b = 0
3a = -2b 
a
- 4 b
a = - f b
A
A
/''(1)< 0 
6a(l) + 2b <0 
6a + 2b < 0
a < T
, b >0 , c, d son cualquier número real.
( j ) Determinar los coeficientes p y q del trinomio cuadrado y = x 
modo que y = 3 sea un mínimo de este trinomio cuando x = 1
Solución:
I o Se sabe que y = /(x)
Además si f(x) = x +px + q
Se tiene que f'(x) = 2x + p , /"(x) = 2
Para que /(x) tenga un mínimo en x = 1, debe cumplirse que:
/'(1) = 0 
v- T >
2(1) + p = 0
Además: /(1) = 3 1 + (—2){1) + q = 3 q = 4
O
■ + px + q , de
APLICACIONES DE LA DERIVADA
1 3 .2 . FUNCIONES RACIONALES
® fM= - ;2_ V 2
Solución:
I o El dominio de f(x) es: ¡R - { x = 1}, donde x = 1 es ASINTOTA VERTICAL.
2 o PUNTOS CRÍTICOS:
Son puntos críticos los números x e Dominio(/), tal que / '(x ) = 0 .
7 \ _ ( x - l ) ( 2 x - 2 ) - ( x 2 - 2 x + 2 ) (1)Veamos: /'(x)
/ ' ( X ) =
(x-1)2
2 x 2 - 2x - 2x + 2 - x 2 + 2x - 2
( x - 1)2
/'(* ) =
x - 2x 
( x - 1)2
f 'M = x ( x - 2 ) (x-1)2
haciendo f'(x) = 0, obtenemos: x(x - 2) = 0 x = 0 x = 2
3 o INTERVALOS D ONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a) /(x) es creciente <==> f'{x) > 0
x ( x - 2 ) 
(x-1)2
>0
simplifico (x -1 ) por ser positivo V x e K , con x * 1.
<=> x(x - 2) > 0 
o 1 2
x e <-oo, 0) u <2, +oo)
,2J4)______________________________ Moisés Lázaro C.
b) /(x) es decreciente <=> f r(x) < 0
<=> x e <0,2), con x +1.
MÁXIMO MÍNIMO
x = 0 , x = 2
--------------------° -------------------
f ' >0 f ' <0 f ' >0
CRECIENTE DECRECIENTE CRECIENTE
Luego:
?) Existe máximo relativo en x = 0 sobre el intervalo <-oo,l)
donde Máx(/) = /(O) = ■
= -2 <=> (0,-2) eG r(/)
ii) Existe mínimo relativo en x = 2 sobre el intervalo (1,+qo) donde
Mín(/) = /(2) = 2 <=> (2,2) € G r(/).
5 o PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Son puntos de inflexión, los x e Dominio(/), tal que /"(x) = 0 .
Veamos:
De : f'(x) = +
( x - l )
Obtenemos : f"(x) = 2 ~̂x +2x + X\
( x - l )3
Haciendo : f"(x) = 0 <— > - x 2 + 2x +1 = 0
<=> x = l± V 2 < ^ x = 2'4 
x = -0.4
6 o DIRECCIÓN DE C O N C A V ID A D :
a) y = f{x) es convexo (visto de abajo hacia arriba)
x._______ s
CONCAVO HACIA ARRIBA
<=> /"(x) > 0 , simplificar “2” y (x - 1)2, x + l
2 ( - x 2 + 2 x +1) Q Por ser positivos.
( x - l )3 >
^ , - x 2 + 2 x - 1 > Q
x - l
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< §>
* - 2 x - 1 
x — 1
-0 .4 0
(-) + (-)
=> x e <-oo,-0.4) u <1,2.4)
: O , puntos críticos = {1 + y¡2 ,1 - \¡2}
1 + V2 «2 .4 
1 -V 2 * -0 .4
2.4
b) y = /(x) es cóncavo (visto de abajo hacia arriba).
CONCAVO HACIA ABAJO
*=> /"(x) < 0
X e (_0.4,1) u <2.4, +oo>
7o ASÍN TO TAS OBLICUAS:
La recta y = fcx + b será a s í n t o t a o b l i c u a si existen los límites:
lim M = k lim [ f [ x ) -k x ] = b
X —>+00
Veamos: Como /(x) • x z - 2 x + 2 x - 1
Tenemos:
a) lim -
X —>+CO
xz - 2 x + 2
x - 1 - = lim x ¿ - 2 x + 2
x —̂ +00 x x
= lim -
X —>+co
b) lim
X-++C»
X2 - 2 x + 2
x — 1 X
■
- limX-++00
: lim
x 2 - 2 x + 2 ~ x 2 + x
x - X
--X + 2 
X - 1
~1 + —: lim — ^ = -1 = b
X-++QO
< § >
Moisés Lázaro C.
Por lo tanto la asíntota oblicua será: y = x -1
f (x) = 16
Solución:
I o El Dominio de /(x) es: I R - {0 ,2 ,-2 } con asíntotas verticales: x = 0 , x = 2, 
x = -2 .
PUNTOS CRÍTICO S: De / (x ) , obtenemos:
/'(* ) =
x ( 4 - x 2 ) ( 0 ) ~ 16 [ x ( - 2 x ) + (4 - x 2 ) ( l ) ] 
x 2 (4 - x 2 )2
x ( 4 - x )
Haciendo /'(x) = 0 , obtenemos:
16(3x2 -4 ) = 0 
<=> 3 x 2 - 4 = 0 <=> x = ±-y=■J3
3 o INTERVALOS D O N D E / ( x ) ES CRECIENTE Y 
DECRECIENTE:
a) / ( x ) es cre c ien te /'(* ) = o
16(3x - 4)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Simplificar “16”, “ x2 ” y (4 - x2 )2 , con x * 0, x * ±2, por ser positivos:
<í=> 3x2 - 4 > 0
«=> (V 3x-2 )(V 3x + 2 )> 0
-2
-2 V31
(+) (-) (+) 
x e ( - a o , - 2 ¡ S ) u (2 /V 3, + oo) , con x ^ ±2
b) /(x) es decreciente 
Hagamos el diagrama:
f ’ (x) < 0
x e < - 2 / V 3 , 2 / V 3 > , con x ^ 0
MÁXIMO MÍNIMO
d ' A-2 V31 0 V3 2
y’ > 0 y'> 0 y'< 0 y'< 0 y'> 0 y' > 0
a) Existe máximo en x = -2/y¡3 , donde:
M M f) = f í - 2 / S ) - - z¡¡jM r ¥ = - 3 S
b) Existe mínimo en x = 2/y¡3 , donde mín (/) = / ( 2 / ) = 3V3 .
JS> S' = JT7
Solución:
Io Dominio: X€ R .
2” PUNTOS CRITICOS; De y = l - f e .4:+ x
obtenemos: / = <tf =
( 4 + x 2 )2
Moisés Lázaro C.
Haciendo y' = 0 , obtenemos: -4 x +16 = 0
4 x 2 -1 6 = 0
x = ±2
3 o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a) y = /( * ) es creciente y' > 0
> 0 ̂simplificar (4 + x2)2
- 4 x 2 +16 > 0 
4x2 -1 6 < 0 
4(x2 - 4) < 0
(x2 - 4) < 0 
( x - 2)(x + 2)<0
-2 2
b) y = /(x ) es decreciente:
(+) (-) 
<=> x <-2,2)
y' < 0
X E ( - 00, -2 ) U (2, + 00)
<+)
Hacer el diagrama:
MÍNIMO
■—
-2
MAXIMO
■"—
2
y'<0 y'> 0 y' < 0
/) Existe mínimo en x = -2 , donde mín(f) = f ( -2 ) = = -1
//) Existe máximo en x = 2 , donde máx(/) = / (2) = = 1
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< §>
13.3. FUNCIONES IRRACIONALES
@ G(x) = | ( x - 9 ) ( x - 1 ) 5/3 
Solución:
I o Dom(G) = x e IR
2o PUNTOS CRÍTICOS: De G(x) , obtenemos:
G'(x) = f [ ( x - 9 ) f ( x - l ) 2/3+ (x + l ) 5/3] 
= | ( x - 1 ) 2 / 3 [ | ( x - 9 ) + ( x - 1 ) ]
G'(x ) = (x - 1 ) 2 /3(x - 6 )
Haciendo G'(x) = 0 (x -1 )2/3(x -6 ) = 0 x = l x = 6
3o INTERVALOS DONDE G(x) ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a) G(x) es creciente <=> G'(x) > 0
< = > ( x - l ) 2 /3( x - 6 ) > 0 < = > [ ( x - l ) 1/3]2 (x - 6 ) > 0
simplificar [(x - 1)1/3]2 por ser positiva V x e R , con x ^ l
< = > x - 6 > 0 
< = > x > 6 
< = > x g ( 6 , - h x > )
b) G(x) es decreciente < G'(x) < 0
x € ( - 00, 6 ) , pues la solución es lo contrario de la anterior con x * 1 
X € ( - 0 0 , 1 ) U ( 1 , 6 )
Moisés Lázaro C.
Hacer el siguiente diagrama para analizar:
MÍNIMO
6
G'(x) < 0 G'(x) < 0 G'(x) > 0
Existe mínimo en x = 6 , donde Mín(G) = J-(6 - 9)(6 - 1)5/3 = - ~ ^ [ 2 5 .
4o PUNTOS DE INFLEXIÓN: De G'(x) obtenemos:
G "(x) = (x - 1)2/3 + (x - 6) | (x - i r 1/3 
^ ( x - i r 1/3[ ( x - l ) + | ( x - 6)]
^ (x —l) - 1/3[ 3x - 3+32x --1g]
= (X _ i ) - l / 3 ^ 5 x _ 1 5 j
G"(x) = -| (x - 1)“1/3 (x - 5) = -|
íx-5)
SON PUNTOS DE INFLEXIÓN:
i) Los puntos donde G"(x) = G c=> = 0 ^ x = 5
«) Los puntos donde no existe G"(x): Que se obtiene igualando a cero el deno­
minador y resulta x - 1 = 0 <=> x = 1.
5o INTERVALOS DE CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD: (Vista la función de arriba hacia abajo) 
i) G(x) es cóncavo <=> G"(x) > 0
5 (x-5)
1
3 3/^1
x-5
> o
> o
(+) (-> <+)
X G ( - 0 0 ,1 ) U ( 5 ,+ ° o )
i i) G(x) es convexo <=> G"(x) < 0
<=> x e <1,5)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
(| í) g(x) = 4 
Solución:
x3 - 3 x
I o Dominio de g(x): x e Dom(g)x - 3x > 0 
x (x3 - 3) > 0
x (x -> /3 )(x + >/3) > 0 x e [-•v/3,0]u[-\/3,+oo)
2o puntos cr ít icos : De g(x), obtenemos: g'(x) =
■\¡x - 3x2 ,/x 3 - 3x
Son puntos críticos: ¡
a) Los extremos de los intervalos cerrados del dominio, es decir: x = - \ ¡3 , x = 0 , 
x = y¡3 .
b) Los puntos que resultan de g’(x) = 0 :
I <¿=21 = 0 => x 2 - 1 = 0 <=> ( x - l ) ( x + l) = 0 <=> |x = l | V |x = —1
Jx3 - 3x ^
- NO PERTENECE Al DOMINIO
c) Los puntos donde no existe g' (x) , que proviene de igualar a cero el denomina­
dor: x 3 - 3x = 0 <=> x (x2 - 3) = 0 <=> x = 0 , x = , x = -y¡3
Total de puntos críticos = { -y¡3 , - 1 ,0 , \Í3 }.
3o INTERVALOS DONDE g{x ) ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
*) 9ÍX) es creciente <=̂ > g'(x)>0 a x e { S , o ) , +oo)
3 U 2 - l )
2
> o
X 2 >0 
x 2 >1
simplificar V-x3 - 3 x , simplificar a/x 3 - 3 x ,
por ser positiva V x e < - V 3 , 0 ) u ( a / 3 , o o > .
X > 1 V x < —1 
x e ( —v/3 ,-l)u (> /3 ,+ oo)
-V31 -1 0 1 V31
Moisés Lázaro C.
ii) g(x) es decreciente:
<=> g'(x) < 0
<=> x2 -1 < 0 
<==> x 2 <1
< = > - 1 < x < 1 a x e < - V 3 , 0 ) u ( > / 3 , o o )
<=3. x e < -l,0>
Hacer el siguiente diagrama y analizar:
M̂ÁX,
V31
g'>o g'<o g' > 0
/) Existe máximo en x = -1 , donde:
máx(S) = g (- l) = V - l + 3 =^2 « (-1 ,72)€ Gr(f) 
Es decir, x/2 es un máximo sobre el intervalo ( —v/3,0)
ii) Los otros extremos de la función, son:
a) g(-^J3 ) = 3 a/ 3 + 3 a / 3 = 0 <=^> ( —v / 3 , 0 ) e G r ( / )
b) g(0) = >/o = 0 <=> (0,0) e Gr(/)
C) s(V3) = V3V 3 - 3 V 3 = 0 (V 3 ,0 )e G r(/)
3
2
1
/ 1.Á
-2 -V3 1 Va' 3 ^ X
S"(x) = | 
S"(x) = |
_______________ 2 y x - 3 x = 3
x - ^
í'iíí% -v
2 x J x —3x -
' " '1 ' 2-̂
3ix2 ,n2 
x3 -3x
7/1̂
v ® v *r <c "*/vi '/Jiv't
4x{x3 -3x)-3{x2 - l ! 2
»3frf^-3x} ;.
......
 **«*
■ - ^ 1 7 ; ::A
■ . :> r;
4x4 - 12x2 - 3x4 + 6X2 - 3 i& lw is E & S s 
: a ; í ; : í y S Í ® i
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Haciendo g"(x) = 0 <=> x -6 x -3 = 0 <=> x 'I ? 1 ” ' 2 • ■ 
= > .x »
Entonces, el punto de inflexión será: ̂^ 3 + ■■ (2.5,2.96)
13) /(x) =
I o DOMINIO: xe D o m (/) <=> x e i R - { x 2 - l = 0}
<=> x <= IR - {1 ,-1 } , donde x = ± 1 son asíntotas verticales.
2o PUNTOS CRÍTICOS: De f ( x ) obtenemos f ( x ) = ^ /x2 - 1 - x-L(x2 - 1 ) _2/3 ( 2x )
/'(*)=■
3 3 -Jx2 - 1 _ 3(x2 -1 ) - 2x2
( 3/ ? - l ) 3^/(x2 - l ) 2 ( 1 /x2 — 1 )
/'(*) :
3(x2 - 1)4/3
Son puntos críticos:
/) Los puntos que resultan de /'(x) = 0 <=> x 2 - 3 = 0 = x/3 v x = ->/3
3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a) /(x ) es creciente f ' M > 0
x2 - 3
3(x2 -1)4/3
x 2 - 3 > 0
•0 , Simplificar [<x2 - l ) V 3 ]4 por s
positiva V x e l ? con x ± 1 .
Moisés Lázaro C.
b) f(x) es decreciente <=> f ' (x) > 0
x 2 - 3 < 0
x 2 < 3
-V 3 < x < -s/3
Ilustrando en un diagrama, tenemos: si f ( x ) = y'
-1
y'<0 y’ <0 y’<0 y’>0
Entonces:
/) / ( x ) tiene m á xim o en x = — J 3 , d o n d e Máx(/) = 3̂ » = -j j^ - <=> e ^ d / )
h) / ( x ) tiene m ín im o en x = V 3 , d o n d e Mín(/) = - | | o ̂>/3 , ijjL
4o PUNTOS DE INFLEXION: De f ( x ) =
n x ) = i
X - 3
(x 2 - 1 ) 4 /3 (2 x ) - ( x 2 - 3 ) | ( X 2 - 1 ) 1 /3(2 x )
( x 2 - l ) 8/3
, ob ten em os:
3 (x2_1)8/3 ( jX ■"■̂ - 3'(X
3 ( x 2 - 1 ) 4/3
_ 1 2 x ( x 2 - 1 ) 1/3
f " M =
3 (x2 - 1}7/3
3 ( x 2 - l ) - 4 ( x 2 - 3 ) = 2x 1 r x2 + 91
9 (x2 _ l ) 7/3 L J
f " (x ) = - 2 * - ____ 1____
7 W 9 ( x 2 _ 1 ) 7 / 3 (x2 - 9)
Haciendo f"{x) = 0 x = 0 v x = 3 v : = -3
Y Y Y
(0,0) (3 ,-1) ( - 3 , - f )
APLICACIONES DE LA DERIVADA
( S ) /(x ) = 2x + 2 - 3^/(x + 1)2 
Solución:
I o DOMINIO: x e Dom(/) <=> X € Í ?
2o Derivar f ( x ) . De f (x) obtenemos /'(x ) = 2 + 0 - 3 - | ( x + l )_1/3
f ' (x) = 2 2^J x + 1 - 2^77T 
Son puntos críticos:
7 1 j 3/77T
i) Los puntos que resultan de jf'(x) = 0 a/x T T - 1 = o
>/x + 1 = 1 , elevado al cubo.
x +1 = 1 x = 0
//) Los puntos donde no existe / ' ( x ) . Esto se logra “igualando a cero el denomi­
nador” .
3 ¡------Así: y/x + 1=0 , elevando al cubo.
x + 1 = 0 x = —1
3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a) /(x ) es creciente <=> f ' (x) > 0
2(3/771-1)
3V77i
- ^ - > 0
X + 1
> 0 , simplificando el “2 ” y racionalizando 
tanto el numerador como el denomina­
dor, obtenemos. También se puede re­
solver por regla de los signos.
(+) H
X E < - 0 0 , - 1 ) U <0, +oo)
(+)
b) /(x ) es decreciente c=> f f(x) < 0 , el razonamiento es similar al anterior. 
c=> x e <-1,0)
Moisés Lázaro C.
Ilustrado en un diágrama, tenemos, si f '(x) = y'
máx. MÍNV
-1 o
y > o y' < 0
Entonces:
/) Existe máximo en x = -1 , donde Máx(/) = /(-1 ) = 2 (-l) + 2 - 3 \/0
= 0 <=> (-1,0) g Gr(/)
ii) Existe mínimo en x = 0, donde Mín(/) = / (0) = 2 (0) + 2 - 3 ̂ /(0 + 1)2
= - 1 <=* (0,-1) e Gr(/)
@ /(x) = ^ /(x -2 )2 + >/(x + 4 )2 = ( x - 2 )2 / 3 + ( x - 4 ) 2 / 3 
Solución:
I o DOMINIO: X G Dom(/) < = > X G fl?
2o PUNTOS CRÍTICOS: De /(x) obtenemos:
/'(x) = f ( x - 2 r 1 /3 + | ( x - 4 r ^ = | 3^ = + | ¥^ o /'(x) = f
Son puntos críticos:
/) Los puntos x g D om (/), tal que, /'(x) = 0
3 / ( x - 2 ) ( x - 4 )
só/o se iguala a cero 
el numerador pues 
f = 0 o a = 0 .
l l x - 4 + l l x - 2 = 0
Vx - 4 = - \ jx -2 , elevando al cubo: 
x - 4 = - ( x -2 ) <=> 2x = 6 x = 3
»i) L os puntos x e Dom(/), tal que. no existe /'(x ). Esto se consigue i
ĵ |HMHHBSKnMéMWM8WiM0 MnSSSSKnHSMMMM!SMWtdni ’ ? ' “ "*r / **'" *-'* |4'-, T
I* Dando d denominador es cero la 3^x _ 2 ) (x ~ 4 ) « 0 , e te w w ib M í# * C í 
; Diyisióí) £ No«xtotepues: %s±«o , , ^
(x - 2 ) ( x -4 )= o <=> v r ? T ®
NOTA: Cuando
y r«> no es número real.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
3 o Intervalos DONDE f(x) es creciente y decreciente:
a) /(x) es creciente <=> f'(x) > 0
3/x-4 + 3j ^ 2 
3 / ( x - 2 ) ( x - 4 )
x - 4 + x - 2 
(x - 2) (x - 4)
2x - 6 
( x - 2 ) ( x - 4 )
2 (x - 3)
(x - 2) (x - 4)
x-3
> 0 , racionalizando el numerador y 
denominador con x ^ 2 , x * 4 
o
y simplificando g- obtenemos:
( x - 2 ) ( x - 4 ) 
x g { 2 , 3 ) u < 4 , + oo)
>0 
>0
> 0 , simplificar 2 
>0
(-) (+) (-) (+)
b) f(x) es decreciente /'(x) < 0 , con un análisis similar, se obtiene:
x e (-co, 2} u (3,4)
Ilustrando en el siguiente diagrama: si /'(x) = y'
nmín/ m á x .
3
y' <0 y*> 0 y' < 0 y'>0
Luego:
i) Existe mínimo en x = 2 , donde:
Mín(/) = / ( 2 ) = Vo + ̂ Z f = V i
ii) Existe máximo en x = 3 , donde:
Máx/(3) = > /(3^2f + = 2
(2,V i ) e Gr(/)
(3,2)eGr (/)
///) Existe Mínimo en x = 4 , donde:
Mín(/) = /(4) = ^(4 - 2)2 + 3V (4 -4 )2 = ^/4 <=> (4 ,^ 4 )eG r{/)
Moisés Lázaro C.
13.4. FUNCIONES EXPONENCIALES
@ f(x) = (x2 -2 x + 2)ex 
Io DOMINIO: Dom(/) = x e B
Son puntes cnücos los xe Dom(/), tal que f ’ (x) = 0
Veamos De f(x) obtenemos f ’( x ) - ( x 2 -2 x + 2 )e x + ex(2x~2)
Haciendo f ( x ) - 0 tenemos xzCx =0 e * * 0 , V x e J?
3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN CRECE Y DECRECE:
a) f{x) es creciente <— > f'{x) > 0
x2ex > 0v___ y y
ésta proposición es verdadera V x e R , con x ^ 0 
luego /(x) es CRECIENTE V x e í ? excepto para x = 0 .
b) f(x) es decreciente <=> f'(x) < 0
<^> x2ex < 0
ésta proposición es falso V x e R . Luego, 
f(x) NO ES DECRECIENTE en ningún intervalo.
APLICACIONES DE LA DERIVADA {289}
En consecuencia, /(x) no tiene máximo ni mínimo.
4 o PUNTOS DE INFLEXIÓN:
De f'(x) obtenemos: f"(x) = x 2e x + e x (2x)
f ” (x) = x e x(x + 2 )
a) /(x) ES CÓNCAVO hacía arriba
x(x + 2 ) > 0
x e < - q o , - 2 ) u (0 , 4-go )
b) f(x) ES CÓNCAVO hacia abajo
=> f ” (x) > 0
x e x(x + 2 ) > 0
Simplificar ex por ser positivo.
-2
(+) (-) 
f"(x) < 0
x e ( - 2 ,0 )
(+)
Por lo tanto, son puntos de inflexión: /) (-2 ,/(-2 )) = (-2,10e 2) «(-2,1.35)
¿i) (0 , /(0 )) = (0 ,2 )
@ S(x) = x V x
I o DOMINIO: Dom(g) = X e < - 00, +oo)
2 o PUNTOS CRÍTICOS:
De g(x), obtenemos: g'(x) = x 2 [ex(-l)] + e X[2x]
g'(x) = xex(-x + 2 )
Son puntos críticos, los x e Dom(g),tal que g'{x) = 0
xex(-x + 2) = 0 , e “x >0 , V x e í? 
x (-x + 2 ) = 0
x = 0 v x = 2
11
2
1
-1 1 2 3
Moisés Lázaro C.
3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN CRECE Y DECRECE:
_ _ _ _ _
 ...........
á) g(x) es creciente
m^íÉfím
Visto en un diagrama, tendremos: si y = g'(x)
Por tanto:
i) EXISTE mínimo en x = 0 , Mín(g) = g(0)
= 0 2 e° = 0 <
ii) EXISTE máximo en x = 2 , Máx(g) = g(2)
= 2 2e -2
VMÍN;/
0
MAX
2
y'< 0 
(0,0)
y'> o y'<0
(2,4e ) «¡ (2,0.54)
@ Hallar los puntos de inflexión de la función f{x) = (a + í k ° - 
Solución:
De /(x ) obtenemos: /'(x) = ( a + ~ - j e 0 + e a [̂ 0 + -^*2x
= - l e - ° [a + ¿ - 2 x ]
= ——e aQ
f'(x) = y (x -a )ZC
/ " ( x ) = - 4 -
ÍÍ¿ + x ¿ - 2 a *
( x - a f e a ( —i) + e a *2 (x-a)
= —y(x-a)e ° £ -^ (x-a ) + 2 J 
= _ i (x_ 0 ) e - í [ z i l ^ 2a]
APLICACIONES DE LA DERIVADA
(19) La VARIABLE ALEATORIA X, tiene distribución NORMAL (ó GAUSSIANA) si su fun­
ción de densidad es:
/ ( X ) = -
PUNTOS CRÍTICOS:
l i!LzJL\2 L _ e" 2{— >
donde los parámetros jli y a deben cumplir que:
-00 < JU < +00 
<j > O
Dom (/) = x e (~co,+ao)
Son puntos críticos los x e Dom (/), tales que, f { x ) = O, /'(x) = .
Veamos: De: /(x ) obtenemos:
1 {x-vf
1 . 2 v a )/'(*) = r y¡2jr 
1/ (*) _ 3 rz— (* P) &<J y¡¿7T
Haciendo: /'(x) = 0 => x - // = 0 < X = jU
y = e=t es ay2n
INTERVALOS DONDE LA FUNCION ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:
a) /(x ) es creciente c=> f f(x) > 0
_i ix~ )̂2
' — K — ( x - j u ) e 2 a > 0a3̂
- (x - ju) > 0 <=> x - ju < 0 c=> x < / j X E < - 0 0 , JU)
b) f(x) es decreciente /'(* )< 0 x e </ / ,+oo>
(292) Moisés Lázaro C.
Luego, existe máximo en x = //, donde:
 1 0 ̂ _____Máx (/) = f { M) = —t = e ° = —L
PUNTOS DE INFLEXIÓN: De / '(x ) obtenemos:
1 i* M\2 / \ / \ —2.__
. _i(£zií)2: ------1__ ̂ 2 cr/ '(* )= t3
Haciendo: /"(x) = 0
— V (x-fj .)2 + 1 = 0 <=> { x - j u f = c r 2
i(£zü)2
<x3^
X = jU + <J 
X = jU-CT
=> X - ¡U~±<J
cr~
Los puntos de inflexión serán: ĵu + cr, e~^2j y J2 ■e~1/'2j
13.5. FUNCIONES LOGARITMICAS
20) /(x ) = x -L n ( l -x )
I o DOMINIO: x e Dom (x) <=> 1 - x > 0 <=> 1 > x <=> x < 1 <=> x € ( - 0 0 ,1)
ASINTOTA VERTICAL. X = 1
2o PUNTOS CRÍTICOS:
De f(x) obtenemos: f ’ (x) = l - ^ X
f ' { x ) ^ x + l
Haciendo: f'(x) = 0
- X
2 - x
1 — X
= 0 2 - x = 0 x = 2 £ Dom(/)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
X G ( -Q O , 1 )
/ '(x )< 0 A X E < - 0 0 , 1 )
x g ( 1 , 2 ) a x g ( - oo , 1 )
Esto quiere decir que la función es sólo creciente en x e (- l,+ oo ). 
@ f(x) = (x + 1) Ln2(x + 1)
I o DOMINIO: x e D o m ( /) < = > x + 1 > 0 < = > x > - 1 <= x e ( - 1 , + oo)
ASÍNTOTA VERTICAL: X = - 1
2 o PUNTOS CRÍTICOS:
De / (x) obtenemos: / '(x ) = (x + 1) (2 Ln (x + 1)) (3̂ - ) J + L2n (x + 1)
= 2Ln(x + l) + L2 n(x + l)
/'(x ) = [2 + Ln(x + 1)] Ln (x + 1)
Son puntos críticos los x e D om (/), tales que f'(x) = 0
o=> [2 + Ln(x + 1)] Ln(x + 1) = 0
2 + Ln(x + l) = 0 v
e » 2.7182 Ln(x + 1) = -2
e 2 * 7.388 
Ar *0.1354
x + 1 = e
e “ 2 - 1
Ln(x + 1) = 0 
x + l = l
x = 0 e Df
■ 1 « -0.86 i -086
 (294) Moisés Lázaro C.
3° INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE
a) / es creciente:
<=> f'(x)> 0
^=> [2 + Ln(x +1)] Ln(x +1) > 0
<=> [2 + Ln(x + l)>0 a Ln(x + 1)>0] v [2 + Ln(x + l)<0 a Ln(x + 1)<0] 
Ln(x + l )> -2 a x + l > l 
x +1 > e~2
[ x > e - 1 a x > 0 ]
e 2-1 0
v
v
[ x < e - 1 a x < 0 ]
e-2-1 o
Y
Dom(f)
y
Dom(f)
x e ( - l , e 2 - l> u <0 , + qo)
b) / es decreciente /'(x) < 0
x g (e 2 - 1 , 0 )
En un diagrama, podemos apreciar 
lo siguiente:
Por lo tanto:
o
i) Existe máximo en: x = e - 1 , donde:
máx. MlN..
e_2- 1 o
y'> 0 y'<0
Máx(f) = f(e-2 -1 ) = (e“ 2 -1 + 1) L2 n(e~2 -1 +1) = 4e“2
y‘>0
(e“2 - 1 ,4e-2)
ii) Existe mínimo en: x = 0 , donde:
Mín (/) = / (0) = (0 +1) L2 n(0 +1) = 0 <=> (0 ,0 )eGr(f)
4o PUNTOS DE INFLEXIÓN: De: /'(x) = [2 + Ln(x + l)]Ln(x + l)
obtenemos: / ' ’ (x) = [ 2 + Ln (x +1)] (3^ ) + (Ln (x +1) (0 + 3^ ]
= 7 7 í [2 + 2 Ln(x + 1)]
/ ' ( x H ^ U + Lníx + l)]
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Haciendo: /"(x) = 0 1 + Ln(x +1) = 0 Ln(x + 1) = -1
x + 1 = e,-i x = e -1 - !
Si: x = e 1 - 1 =>
/ (e_1 -1) = (e"1 -1 +1) Lzn (e~x -1 +1) = e '1
(§5 /(x) = Ln(x2 - l) + - J rT 
1° CAMPO DE DEFINICIÓN:
(e - l , e e ' 1 - 1 = 0.63
f 0.37
x e Dom(x) x 2 - 1 > 0 A x 2 -1 * 0 
x 2 > 1
<=> (x > 1 V X < -1) A X * ±1 
x € (-oo,- 1 ) u ( 1 , +oo) , asíntotas verticales: x ± 1
2o PUNTOS CRÍTICOS:
De /(x ) obtenemos:
/'(x ) = 2x , (x2 - l ) (0) - 1 (2x)
x2 - l (x2 - ! ) 2
_ 2x 2x
x2 - l (x2 - l ) 2
2x(x2 - l ) - 2 x 
(x2 - ! ) 2
2x (x - 2) 
(x2 -1 )
Haciendo: /'(x) = 0 2 x(x 2 - 2 ) = 0
<=> x = 0 í Dj v x = > / 2 v x = —v/ 2 
Entonces los puntos críticos son: { - % / 2 , - v / 2 }
3o INTERVALOS DONDE / CRECE Y DECRECE:
a) / es creciente:
(x2 - l ) 2 > 0 , V x e 2F 
x ^ +1
> 0 a x e D’f
f > 0
2x (x2 - 2 )
(x2 - 1 ) 2
x(x2 - 2 ) > 0
x(x + V2)(x-V2)>0 a xeDf
Moisés Lázaro C.
b) / es decreciente
<=> / '< 0
2x(x2 -2 ) 
(x2 - ! ) 2
<0
-V2 - 1 0 1 a/2 ’
(+) - (+) 
x e ( - ^ 2 , - l ) u ( , / 2 , +oo^
En un diagrama, tendremos:
yMÍNy
-V2 - 1
------------ 0
y' < 0 y '>0 !
<=> x e ( - o o , - V 2 ) u ( 1 , V2 )
Por lo tanto:
i) Existe mínimo en x = -y [2 , donde:
min(/) = /(-V 2 ) = L n (2 -l) + I l T = l <=> H /2 ,1 )
ii) Existe mínimo en x = *J~2 , donde:
min(/) = /(V2) = Ln(2-l) + 2^T = l <=> (>/2 ,1)
4o PUNTOS DE INFLEXIÓN:
De: / ' (x) = 2 xlx ? , obtenemos:
(x2 - ! ) 2
r w =
r w =
(x2 - 1)2 [2 (2x) + (x2 - 2) (2)] - 2 x (x 2 - 2 ) [2 (x2 - 1) (2x)]
(x2 - ! ) 4
-2 (x 4 - 3 x 2 -2 ) 
(x2 - ! ) 3
M̂ÍNy
V?
y' < 0 y '> 0
Haciendo: f"{x) = 0 x4 - 3 x 2 - 2 = 0 2 _ 2 _ 3 ± V 9 -4 (l)(-2 )X = X =
APLICACIONES DE LA DERIVADA
 3------ *1.33 1Í33)«<3r#|
*
- 1 ) —i-*— ̂
• (-1.89)2 -1
(23) /(x ) = ^ -L n ^ , a > 0
I o DOMINIO:
x e Dom(/) 
x > 0
* > 0a
x e ( 0 , + c o )
2o PUNTOS CRÍTICOS:
2
De: /(x ) = , obtenemos:
i
+ L n * [ ¿ .2 x ]
£ + xLn^
Z a
/ '(* ) =
x ( l + 2LnX)
Haciendo: /'(x ) = 0
x (l + 2Ln—) = 0 <̂ =>x a 1
x = 0 g Df v 1 + 2 Ln - = 0J a
L n f = - 1a Z
x - a e
^MlNy
ae-«
c----------- —
i y' < o r > o
Por lo tanto:
—1 !*?Existe mínimo en x = a Z , donde
Mín(/) = /(a e ‘
/¿ _-i
-t/2 ) - ( ae 1/2 )2 L n ae 1/2
Ln e
= 4 4 4 )
_ a _ 
- e
Moisés Lázaro C.
14. PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS
( J ) Hallar dos números cuya suma sea k y cuyo producto sea máximo.
D ATO S: Si la suma de dos números es k, entonces sean:
I o número: x
2 o número: k - x
El producto será: p(x) = x(k - x)
Para que el producto sea máximo debe cumplirse que: p{x) = 0
Veamos: Si: p(x) = x (/c-x )
Entonces: p (x) = x (-1) + (k - x) (1) = 0
- x + k - x = 0
- 2 x + /c = 0 =̂> x = k/2
Por lo tanto 1er número: k/2
2 o número: k - = k/2
Descomponer m en dos factores tal que la suma de ellos sea máximo.
numero: x
D ATO S: Si el producto de dos números es m, entonces sean
2 o número: —X
La suma será: S (x) = x + - ̂ , x^O
Para que la suma S (x) sea máximo, debe cumplirse que: ^ = 0
Veamos:
Si: S(x) = x + — , x * 0
=> £ S ( x ) =
1—“ - = 0X x - m = 0
x 2 = m
= ±Vm
Tomemos: x = \frñ
Entonces la solución será:
1 er número: Vm
2 o número: = /̂m
yjm
APLICACIONES DE LA DERIVADA
y = ^ ( p - 2 x). (1)
(2 )
( j í ) Un rectángulo tiene perímetro igual a P. Hallar sus dimensiones para que su 
área sea máxima.
D atos: Sea P el perímetro, entonces: p = 2x + 2y <
Su área será: A = x y .......
Reemplazar (1) en (2): A = x ^ (p -2 x )
A = ^ x ( p - 2 x)
Luego, para que el área sea máxima, debe cumplirse que: -j^A - 0
Veamos:
Si: A = —x (p - 2 x )
=* ~dx^ = *2* [ x(—2 ) + (p — 2 x ) (1 ) ] 
= l [ - 2 x + p - 2 x]
= l [ - 4 x + p]
Haciendo: ^ [ - 4x + p ] = 0
-4 x + p = 0 =̂> x = 
Como sus lados son x e y, entonces:
x — — X 4
‘ i b -
( J ) Dos puntos móviles salen de los puntos A(a,0) y B(0,b)con a > 0 , b> 0 y 
van hacia el origen con velocidades V y V'; ¿en qué momento su distancia es
mínima?
D atos:
y
Teniendo en cuenta que la distancia de 
punto P al Punto Q es función del tiempo, 
entonces la fórmula que expresa ésta diŝ
4(t) =|P§|= ^ [Q -(-o f ]2 +[(-u 't)-Q ]2 
d{t) = -\¡(a - vt'f + {b - v’ t f ’
Luego, para que la distancia de P a Q sea mínimo debe cumplirse que -^d(t) = 0
Moisés Lázaro C.
Veamos:
Entonces:
Si d (t) = -J(a-vt)2 + ( b -v ' t f
2 { a - v t ) { - v ) + 2{b-v ' t ) { -v’) _ q 
2^{a - vt)2 + {b - v’t)2
-2 {a-vt){ -v ) + 2 (b -v ft)(vf) = 0 
-av + v2t - b v r + v'2t = 0
t(v2 +v'2) = au + bu' t = av + bu'
RESPUESTA: La distancia de P a Q es mínima cuando el tiempo es t = av + bv'
( 5^ Se desea cercar un lote rectangular que tenga 4,000m2 de superficie, con uno
de sus lados a lo largo de un río recto. Si no se necesita cercar para el lado que 
da al río, ¿ que dimensiones requieren la menor cantidad de cerca?
Datos:
El área del lote rectangular es:
xy = 4,000 4000 (1)
Si uno de sus lados del lote da al río, 
entonces no debe tener cerca y por lo 
tanto el perímetro es:
P = 2y + x . (2)
Reemplazando (1) en (2), se tiene:
p = 2 (áspa) + x
Luego, para que la cantidad de cerca sea 
menor (mínima), debe cumplirse que: 
- f P = 0dx
Veamos: 4 - p -dx
2(4000) + 1
2(4000)
+ 1 = 0
-2 (4000)+ x = 0 
x 2 = 2(4000)) => 4 0 S
RESPUESTA: Las dimensiones de la cerca serán <
:40 S
. 4000 
' 40V5 2 0 S
APLICACIONES DE LA DERIVADA
( J ) Se desea construir una caja sin tapa y de base cuadrada disponiendo de 300 
dm2 de material. Halle las dimensiones para que el volumen sea máximo.
D a t o s :
Como: A = B + AL 
Entonces: 300 = x2 + 4xh
Además: V = x2h ..........
Reemplazar (1) en (2):
Supongamos que:
x: lado de la base cuadrado 
h: altura de la caja 
A: Area total de la caja.
V: Volumen de la caja 
AL: área lateral de la caja, donde:
AL = p • h;P: perímetro.
B: área de la base.
, . , 300 - x2
4x ( 1)
(2 )
V = x 300 - x 2 4x
V = | x (3 0 0 -x2)
Para que el volumen sea máximo 
debe cumplirse que: V = 0
Veamos:
-d-V = l [x ( -2 x ) + (3 0 0 -x 2)(l)] 
= 1 [ - 3 x 2 + 3 0 0 ]
Haciendo: ^ V = 0, tenemos 
-3 x 2 + 300 = 0 <=̂ > x 2 = 100 : 10
RESPUESTA: Longitud de la base es: x = 1 0 dm
La altura es: h = 300 - (ior4(10) = 5dm
(^7) Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en 
un circulo de radio R.
D a t o s :
Sea: A = x y .......................
el área del rectángulo ABPC
( 1)
En el triángulo rectángulo OQP se tiene: 
|PQ|2 =|OP|2 -|O Q |2
\2 o / v2
Moisés Lázaro C.
¿d = ñ 2 _ x i
4 4
y2 = 4 R2 - x 2
y = yj'ÍR2 - x 2
Reemplazar (2) en (1):
A = x V4/ ? 2 - x 2
( 2 )
(3)
Luego, para que el área A del rectángulo ins­
crito sea máximo debe cumplirse que ~^A = 0
Veamos: De (3) Obtenemos:
-2 x- ¡ I -A = X Í r=---------
*** ' 2 1J4R2 - >
- x ¿ + 4 R¿ - x ¿
■ y 44 R2 - x2
^4 R2 - x 2
Haciendo: -4-A = 0dx x 2 + 4/?2 - x 2 = 0 => x = R>/2 
' x = R j¿
RESPUESTA: Los lados del rectángulo serán:
= V4R2 -(R V 2 ) = R > / 2
( j í ) Se inscribe un triángulo en un circulo de radio r. Determinar este triángulo para 
que su superficie sea máxima.
Supongamos que el área del triángulo QAB 
Sea: A(b,h) = b = \QB\ = x (1)
Fijémonos que el área A depende de dos varia­
bles “b” y “h” .
Ahora, lo que debemos hacer es expresar el área 
A en función de una sola variable.
En el triángulo rectángulo QPO, se tiene: 
\2
(h-r)2 = r2 - ( f j
= r
( r - r ) 2 = ^ L _ ^ 
h - r = i-\/4r2 - x 2
1
2h = ^y¡4r2 - x 2 +r (2)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Reemplazar (2) en (1): A(x): (3)
Para que el área sea máximo, debe cumplirse que: 757 A = 0 
Veamos:
d a _ 1 
ác 2
1 -2x
2^4r2 - x 2 J
+ ° v ( ^ 4 r2 - x 2 +r)(l)
2 ^ 4 r2 - x 2 2
r2 - x 2 + r = 0
-x 2 + 4 r2 - x 2 + 2 r ^4r2 - x 2 = 0 
-2 x 2 + 4 r 2 +2r^ 4 2 - x 2 = 0
xz (xz - 3 r 2) = 0 
>c2 = 0 v x 2 = 3r2 
x = 0 v x = r>/3
El triángulo debe tener base b = r V3 y altura h = ^ 4 r2 - 3 r2 + r = -|r
RESPUESTA:
Dividir por dos y transponer 
términos:
■ x = x - 2 rz
Elevando al cuadrado:
r2 (4r2 - x2) = x4 - 4r2 x 2 + 4r4 
4r4 - r2 x 2 = x4 - 4r2 + 4r4
x 4 - 3 r 2 x 2 =0
2 / 2
( J ) Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el sector de la parábola
y = 4 p x cortado por la recta: x = 4 a
D ATO S:
Supongamos que el rectángulo inscrito sea QRTS 
cuya área A sea:
A^ST\\TR\................ (1)
ISTU T - S ^ 4 a - x . ..................... . .(21
\TR\ = R -T = 2 y [ j^ - ( -2 4 ^ )
= 4 ^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3 ) -
Reemplazando (2) y (3) en (1):
A = (4a - x) (4 Jpx)
Moisés Lázaro C.
Para que la función A tenga máximo debe cumplirse que: A = 0.
Veamos: -^A = (4a -x ) [ -0==) + (4 jpx ) ( - l )
(4a - x)(2p) - 4px = 0 
8 a p -2 p x -4 p x = 0
8 ap = 6 px
RESPUESTA:
La base: |ST| = 4a--|a =-|a 
La altura: |TR| = 4 ^ p ( f a) = 8 ^
@ Hallar un punto sobre la curva y = x 2 que esté más próximo al punto (6,3).
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la curva
o
y = x , entonces el punto P será de la forma 
P(x,x2).
La distancia \BP\ del punto B al punto P será
Luego, para que la distancia |BP| sea mínima debe cumplirse que |BP| = 0
Veamos: -jL\BP\ = 2 (x _ 6 ) + 2 U _ -3 ) ( 2 x ) = Q
2 ^ ( x - 6 ) 2 + ( x 2 - 3 ) 2
Donde:
2 (x -6 ) + 2(x2 - 3 ) (2x) = 0 
2 [ x - 6 + 2 x 3 - 6 x] = 0 
2x3 - 5x - 6 = 0
Resolviendo ésta ecuación por el méto­
do de Ruffini.
2 2 0 -5 - 6
4 8 6
2 4 3 0
<=> (x - 2) (2x2 + 4x + 3) = 0 
=> x - 2 = 0 <=> x = 2
RESPUESTA: El punto será P(2,4)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
( l l | En un plano coordenado se da un punto M(a,b) situado en el primer cuadrante. 
Hacer pasar por éste punto una recta, de manera que el triángulo formado entre 
ella y los semiejes positivos de coordenadas tengo la menor área posible.
Datos:
Supongamos que la base del triángulo 
rectángulo AOB sea “x” y la altura “y”? 
entonces el área estará dado por la 
formula:
(1 )
Como los puntos A, M y B pasan por la 
recta entonces la pendiente del seg­
mento AM es igual a la pendiente del 
segmento MB, es decir:
b - y _ 0 - b 
a - 0 x - a
- ab
x-a (2 )
^ [ ab \
Reemplazar (2) en (1): A(x) = ——
Donde:
X 0
(x
Haciendo: ■4-A = oax
- a b x
( x - a f
+ b - abx - a
-abx + b(x - a) + ab(x -a) = 0 
-abx + bx2 - 2abx + ba2 + abx - a2b = 0 
bx2 - 2abx = 0
bx = 0 <bx(x - 2a) = 0
x - 2 a = 0 -
x = 0 
x = 2 a
RESPUESTA: Los lados del triángulo serán:
abx = 2a ; y = b + 2 a - a ■ 2b
(12) La base inferior de un trapecio isósceles es el eje mayor de una elipse, los ex­
tremos de la base superior son puntos de la elipse. Demostrar que en el trapecio 
de este tipo, de área máxima la longitud de la base superior es la mitad de la 
longitud de la base inferior.
D a t o s :
Sea el trapecio ABCD inscrito en la elipse:
+ ¿ = l 
a2 b2
Donde: |DC| = base mayor del trapecio.
| AB| = base menor del trapecio. 
h = altura
A = área del trapecio
Moisés Lázaro C
El área del trapecio es: A = \̂DC\ + \AB̂ h
Pero:
\DC\ = a - ( -a ) = 2a
|AB| = f Vb2 - h2 - ( - f Vb2 - h2 )
= ^ V b 2 - b 2
Entonces: A =
(2 a + f^ i'b2 - h2 h
2 a ( l + l x/fa2 - h 2 ) h 
= 2
A = a{l + j¡\jb2 - h 2 )h
Para que el área del trapecio sea máximo debe cumplirse que: ^ A = 0
Veamos:
é A = a ¿ Y~ . . / W ( ° Z J b 2 - h 2 'h( 1 + i Vb2 - h 2 ) ( 1 ) + ̂ 0 + i — 
0
b b ^ ~ í ?
by¡b2 - h 2 +b2 - h 2 - h 2 = 0
b\/b2 - h 2 = 2 h2 - b 2
b2(b2 - h 2) = 4b4 - 4b2 b2 +b4
3b2 b2 = 4b4 4h4 - 3bb2 =0 b2 (4b2 -3 b ) = 0
b2 = 0 v 4b2 - 3b = 0
b = 0 v b = |bV3 .Labase: \AB\ = ^ b 2 = a
1̂3) Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm. ¿Cuánto debe medir la ba­
se mayor para que el área sea máxima?
APLICACIONES DE LA DERIVADA
D a to s :
10 B Sea el trapecio ABCD, donde: | D C | = 10 + 2x
|DA| = 10 ; \AB\ = 10 ; |BC| = 10
El área del trapecio, es:
A =
Donde |DC| =10 + 2x 
|AB| = 10
h = V lO2 - x 2 
Reemplazar (2) en (1):
, ( 1 0 + 2 x + 1 0 ) ^ 1 0 ^
(2 )
A = (10 + x) VlO2 - x 2
Para que el área sea máxima debe 
cumplirse que: A = 0
{\DC\ + \AB\)h
2 .................
Veamos:
^ -A = (10 + x) -2x
•d)
W l 0 2 - x 2
d x " ' 2 fÜ ^ x 
XÍ1? 1 X> + -y/lQ2 -X 2 = 0
-lO x - x 2 + 102 - x 2 = 0 
- 2 x 2 - 1 0 x + 1 0 0 = 0 
x 2 + 5x - 50 = 0
(x + 10) (x - 5) = 0
x = - 1 0
V
x = 5
RESPUESTA: La base mayor mide:
\DC\ - 10 + 2(5) = 20cm
(14) Un cono circular recto tiene un volumen de 120 cm3 ¿Que dimensiones debe 
tener para que su área lateral sea máxima?
D a t o s :
2 f radio: r
I) Volumen del cono: V = \ n r h\
altura: h
II) Area lateral del cono: AL = n r g i
r : radio de la base 
g : generatriz
Lo que debemos hacer es expresar el AL en términos del 
radio r.
Moisés Lázaro C.
Veamos:
En el triángulo rectángulo AOB de la figura tenemos que:
g = 2 +r2 ..
De (I): 3 V
3(120) = nr2h 360
Reemplazando (IV) en (III): g = M ) +r2n r~ j
(V): g = -Va/3602 + 7r2r6
(III)
(IV)
Reemplazar (V) en (II): AL = /rr—̂ --^3602 +,r2 r6
AL(r) = í j 3602 +^ 2 r6
•Se quiere que: -j^AL - 0
Veamos: 
4 - ALdr
1 6* 2r5
r 2^3602 + ;r2 r6 r2 V '
3 r r
73602 + ;r:
3;r2r6 - 3602 - ;r2r6 = 0
2 + A 6 = 0
3602 c _ > r = 5¡3602
2jt2 V 2 n 2
¡ tí
2 l/3~2/3 2I 3 7 2.-'3
(VI)
í L fi« 2 , . 2 3602 V T . w 3 1/z 3 6021/3?r2(3 _ 3 1/2 3601/3 
f f - r lj36ü +;r 2 jT ~Ar360̂ 2 :~ *3602''3 ~ 2 1 / 2 ^ 3 6 0 2/2 ~ 2 1 /6 ^ 3
V
0 7 / 3602 \
\ 2 ff2 /
APLICACIONES DE LA DERIVADA
(15) Halle las dimensiones y el volumen del cono circular recto, de volumen máximo 
que puede ser inscrito en una esfera de radio R.
Da t o s :
Sean:
R: radio de la esfera (dato conocido), 
r : radio de la base del cono. 
h : altura del cono.
1 oV =^7ir h ... (I) volumen del cono.
Como vemos el volumen V está expre­
sado en función de dos variables “r” y 
“h”, lo que se debe hacer es expresar 
sólo en función de una variable.
Veamos:
En el triángulo rectángulo OAP, tenemos:
r2 =R2 ~{h-R)2
r2 = R2 - h 2 + 2 R h - R 2 
r2 = 2 R h - h 2 ................. (H)
Reemplazar (II) en (I):
V = ±n{2 R h - h 2)h
Como V debe ser máximo, debe cumplir­
se que:
Veamos:
j t = ± x [ ( 2 R h - h 2)(l) + (2R-2h)h] = 0 
(2Rh-h2) + (2R-2h)h = 0 
2R h -h 2 + 2 R h - -2 h ¿ =0 
4 /?h -3 h 2 =0 <=> 0
h = 0 v h = ±R (III)
Reemplazar (III) en (II)
rz =2R
= 4 R2 r = f V 2
(16) Halle las dimensiones y el volumen del cilindro circular recto, de volumen 
máximo que puede ser inscrito en una esfera de radio R.
D a t o s : Sean i
R : radio de la esfera (dato conocido) 
r : radio de la base circular del cilindro 
h : altura del cilindro
V : n r2h (I) VOLUMEN DEL CILINDRO
Moisés Lázaro C.
Debemos expresar el volumen V, en función de 
V o de “h” :
En el triángulo rectángulo OAP se tiene:
r2 = R 2 -f (II)
Reemplazar (II) en (I):
V = x ( t f - £ ) h
Como el volumen V debe ser máximo entonces:
R 2 - i f ) ( l ) + ( ^ | í l ) h ] = 0
r 2 - í ¿ - 4 = °
4R 2 - h 2 -2 h 2 = 0 
4R2 -3 h 2 =0 
4R2 = 3 
= # R 2
h = -í^R 
S
... (III)
REEMPLAZAR (III) en (II):
r2 = f i 2 - i ¿
2 4J?2/3 , ; i?V2/3
Luego el volumen del cilindro:
sera:
V = 4ttR
3\¡3
(l7) Hallar las dimensiones del triángulo isósceles, de área máxima, circunscrito a 
una elipse donde uno de sus lados es paralelo al eje X.
D a t o s :
2 2Sea el triángulo isósceles circunscrito ABC, circunscrito a la elipse \ + a>b .
El problema consiste en hallar UC" en 
términos de 6 .
1. Ecuación de la elipse: b2x 2 + a2y2 = a2b2
2. Ecuación de la recta % y = mx + k 
donde “m” y wfc” son valores por hallarse.
3. Pero: íc = b + c . Ahora debemos hallar ££m’\
APLICACIONES DE LA DERIVADA
4. Reemplazar 2 en 1:
b2x2 +a2(mx + k f = a2b2
b2x2 + a2 (m2x2 + 2m k x + k2) = a2b2
b2x2 + a2m2x2 + 2 mk a2x + a2k2 = a2b2
x2 (b2 +a2m2 + 2mka2 + a2(k2 - b 2) =0 
A B C
Como la recta es tangente a la 
elipse, entonces debe cumplirse que 
A = B2 - 4ac = 0 .
N O TA : Decir que el descriminante es 
igual a cero es equivalente a decir 
que las raíces de una ecuación de 2o 
grado sean iguales.
Luego: A = 4m2k2a4 -4 (b2 + a2m2)a2 0
Simplificar 4a2
m 2k 2a 2- (b 2 + a 2m) ) = 0
m2k2a2 - b2(k2 - b2) - (/c2 - b2) = 0
m2[k2a2 - b 2)] = b2(/c2 - b2)
m2[/c2a2 - a 2/c2
m b2 (k2 - b 2 )
2m
m 1 m - i A 2 ^ 2 (5)
Reemplazar 5 y 3 en 2:
y = - l^ / /c 2 - b 2 x + b + c
Ahora, debemos hallar las coordena­
das del punto C.
Pero:
C = n ÍÍ2 <=> <y = - l V f c 2 - b 2 X + b + C
y = - b
Igualando las ecuaciones (I) y (II):
b x + b + c
-ab = -yfk2- b 2x + ab + ac
a//c2 - b2x = 2ab + ac 
= a(2b + c)
a(2b + c ) _ a(2b + c) _ a{ 2b + c)X =
V ( b + c ) 2 - b 2 V e 2 + 2b c
En consecuencia, las coordenadas de los 
puntos B y C, serán:
B(0,b + c) CI ° (2b + c) , -b
Ve2 + 2bc
Moisés Lázaro C.
AREA DEL TRIANGULO RECTANGULO BRC:
\BR\ = 2 b + c
A = \\RC\\BR\ .donde:
A = ± a,i2b + c) (2 b + c)
\]c2 + 2 be 
A i a (2 b + c )2
|i?C| = a (2 b + c) 
>/ĉ ~+Zbc
^ <Jc2~f 2 bc
Como el área debe ser máxima, entonces debe cumplirse que: ^ = 0 
Veamos:
- f A = 4 ade 2
= 2a
<Jc2 + 2 b c2 (2 b + c ) -(2 b + c)2 <2c + 2b)
2^/c2 + 2bc
c2 + 2bc
2 (2 b + c) (c2 + 2 b c ) - ( 2 b + c )2 (b+c)
(c2 + 2 bc) yjc2 + 2 be
a(2b + c)
= ±a(2b + c)
■±a(2b + c)
2 (c + 2 b c ) - ( 2 b + c) (b + c) 
(c2 + 2 b c ) ,jc2 + 2 b c
c2 + be - 2 b 2 
(c2 + 2bc)yjc2 + 2bc
(c + 2 b)(c - b)
(c2 + 2 bc ) 3 / 2
Haciendo 4 -̂ = 0de
_ i a (2 b + c) (c -b ) 
“ 2 (c2 + 2 bc)3 / 2
c - b = 0 <=> c = b
Luego, la altura del triángulo ABC es: 
|í?B| = 2b + c = 2b + b = 3b
La base del triángulo ABC, será:
|AC | = 2 |/?C| = 2 g (2 b + c) _ 2 a(2 b+b) _ o Q ^ 3 
-y/e2 + 2 bc ^b2 + 2 b2
EL AREA DEL A ABC, ES:
A = U 3 b ) ( 2 a S ) = 3abyf3
APLICACIONES DE LA DERIVADA (313)
(18) Se tiene una plancha metálica cua­
drada de lado igual a 12 cm. Se debe cons­
truir de ella una caja cortando cuadrados 
iguales en cada esquina y doblando los 
bordes hacia arriba. Hallar las dimensiones 
de la caja de capacidad máxima que se 
puede construir de este modo.
Solución:
1. Hagamos el dibujo correspondiente.
x b
D x x C
|AB| = |BC| = 12
\PQ\ = \QR\ = 1 2 - 2 x
2. La caja por construirse debe tener vo­
lumen:
V(x) = (12-2x) ( 1 2 - 2 x)x 
= ( 1 2 - 2 x )2 x
3. La condición necesaria para hallar el 
máximo de V(x) es que V'(x) = 0 .
Hallemos V' (x) = ^ .
V'(x) = [(12 - 2x)]'x + (12 - 2x )2 [x]'
= [2 ( 1 2 - 2 x)(-2 )]x + ( 1 2 - 2 x )2 [1 ] 
= (12 - 2x)[-4x + (12 - 2x)]
= (12 - 2x)(12 - 5x)
= 1 2 (6 -x )( 2 -x )
4. Haciendo: Vf(x) = 0, obtenemos:
x = 6 v x = 2
5. La condición suficiente para que haya 
máximo es que V " ( x q ) < 0 , siendo 
x0 punto singular.
I o. Se halla V "(x ): De:
V'(x) = 12(x - 6 )(x - 2) = 12(x2 - 8 x +12)
Obtenemos: V"(x) = 12 (2x - 8 )
= 2 4 (x -4 )
2o. Con x = 2 obtenemos:
V"(2) = 24 (-2) < 0 
Con x = 2 .obtenemos:
V"(2) = 24 (-2) < 0 
3o. Por tanto con x = 2 existe máximo.
6 . Las medidas de la caja de capacidad 
máxima serán: altura = 2 cm .
Ancho = largo = 12 - 2 (2)
= 8 cm
PROBLEMA RELATIVO A LA FÍSICA. El
alcance R de un proyectil sobre un plano 
inclinado que toma un ángulo a con la 
horizontal está dado por:
R = 2V
geos2 a
eos 9 • ser\(8 -a )
donde 0 es el ángulo de elevación del 
cañón o arma que dispara el proyectil y V 
la velocidad inicial de la misma. Hallar 6 
para que R sea máxima.
Solución:
1. Para que R sea máxima debe cumplir 
dos condiciones:
I o. Que: d R
dO
: 0
Moisés Lázaro C.
2o. Que: 4dír < 0 Para un ■como
dOá punto singular.
c o n stan te
2 . De:R{0) = 2V¿~ cos<9 • sen(0-a)
g c o s a •— v— * ' v--------*
M v
d R 2 V ¿ -[jj'u + ju-u' ]
2V -[ -s e n # • sen(0 - a ) + cosO • cos(#-ar)l
dR3. Haciendo: -jj = 0, obtenemos:
eos 6 • eos ( 0 - a ) - sen 0 • sen ( 0 - a) = 0
s------------------------- v------------------------- '
eos[0 + 6 - a ] = 0 
cos[2 # - a ] = 0 
=> 2 6- a = arccos0
2L
2
n + 2 a
4. Como:
dR
de
2V¿
2gcos ¿ir
0 =
- cos(2<9-a)
2 V
d # 2 g c o s 2 ¿ir
(-sen(2 0 -a ) ) (2 )
/L
2gcos ¿ir
R”(0) = - ^ V — sen(20-a)
} . K "(£± 2 £L) = _ _ iY l_ sen(f )
' ^ f g c o s ¿irg c o s
= — ^ < o
g c o s ¿r
6 . Luego, existe máximo en:
# — 71 +
(20) PROBLEMA RELATIVO A LA FÍSICA.
Un cuerpo de peso W es arrastrado sobre 
un plano horizontal mediante una fuerza 
cuya línea de acción forma un ángulo 6 
con el plano y cuya magnitud P está da­
do por:
fl . U)
¡u sen 6 + eos 6
Donde // es coeficiente de rozamiento.
Probar que el empuje es mínimo para 
tg 0 = ¡u.
Solución:
1. Tenemos: P(6 ) = fi w
jli sen 9 + eos 6
2. Para que el empuje P(6) sea mínimo 
debe cumplir dos cosas:
dPI o. Que: P'{0) = 0 , P'(0) = %
2o. Que P"(60)> 0 , siendo 0Q un 
punto singular.
Veamos:
De: P(0)- jLlW , obtenemos:
¿ /s e n # + e o s # ’ 
dp _ [jusen9 + eos 9 ] [ jjw]' - [juw] [ /¿ s e n 9 + e o s # ] ' 
[¿ /s e n # + eos # ] 2
dp _ 0 —[ ¿/ tu ] [ ¿ /e o s 9 — s e n 9 ]
n2
APLICACIONES DE LA DERIVADA
(21) PROBLEMA RELATIVO A LA FÍSICA.
El tiempo de oscilación de un péndulo 
compuesto alrededor de un eje distante h 
pies del centro de gravedad G, está dado 
por:
T - 2tt hg
siendo k el radio de giro alrededor de G. 
Probar que T es mínimo para h = ±k y 
hallar su valor mínimo.
Solución:
1. Tenemos que T es función de h.
T(h) = 2n
h g
2. Para que T(h) tenga mínimo debe 
cumplir dos condiciones:
ÉL
d h
- O n PARA ALGÚN PUNTO
~ A d h 2 > SINGULAR.
3. Hallemos: 
d̂h
4L = 2 n
dh £‘ n
^2 + k2 
hg
■ 2 t t
- 2n
hg
h g ( 2 h ) - ( h 2 + k 2 )(g)
[hgf
hg
g ( h 2 - k 2 )
2 (hgy2 I h2 +k2hg
4. Hacer: 4r- = 0
d h
=> h2 - k 2 =0 => h = ±k
PUNTOS SINGULARES
5. Con h = k .obtenemos: 
T(k) = 2ftyj~-¡ k 2 + k z kg
: 2ttJ—
V s
ES EL VALOR MÍNIMO
(22) De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos de un em­
budo de la mayor capacidad posible.
Solución:
1. Sea la hoja circular (fig. 1) de centro “0” y radio “R” . donde podemos apreciar el 
sector circular AOB cuyo arco es A B .
2. Del sector circular AOB deseamos construir un embudo (fig. 2.) de altura “h” y cu­
ya base tenga radio r = ^
R2 03. Debemos recordar que el área del sector circular AOB es: A' - y la longitud
< §>
Moisés Lázaro C.
4. De esto podemos deducir que el radio “r” de la base del embudo (o cono) se halla 
de la relación siguiente:
OR- 2nr
0 R
0R = longitud del arco AB 
2 nr = longitud de la circunferencia de 
la base del embudo
5. El embudo tiene volumen cuya 
fórmula es: V = ^nr2 h .
6 . Pero: r debe ser expresado en fun­
ción de 6 y R. h debe ser expresado 
en función de R y 0.
fí R7. En 4. Tenemos: r = 73—
¿71
De la fig. 2 y por Pitágoras
h = ^R2 - r 2
R¿ ■ m
= J L j 4 x 2 - 0 2¿7T
8 . Reemplazar 7 en 5.
k 2
V(0):, - j i - e 2M n 2 - e 2
2 4 ;r
(8 *
El volumen está expresado 
-en función de 0.
R y 7T son constantes.
Veamos:
10. De (8*) obtenemos:
9. Para maximizar V(0) debe cumplir dos 
condiciones:
2 o. < 0 , para algún punto singular.
dv_
d0 \_{e2U ^ 2 - e 2 +0(V4jt2 "-0 2 )']
_ Ró 
2 4 n 20̂ 1 4 tt2 - 0 2 + 0 2 ■2 > k2-62
APLICACIONES DE LA DERIVADA 0
= -Bl 
2 4 n
= -£- 
2 4 n \¡4x2
11. Haciendo: ^ - = 0
0 = 0 v
0 = 0 v 
solo escogemos
Sn26 - 3<93 = 0 
1 (8n2 - 3 0 2 ) = 0 
8 iz2 -3< 92 = 0
G2 =■
0 = ±27ry¡ ¿
0 =
Porque es el único punto que 
maximisa la función V(8).
(23) Un depósito abierto, de hoja de la­
ta, con fondo cuadrado, debe tener 
capacidad para V ’ Litros ¿Qué dimen­
siones debe tener dicho depósito para 
que en su fabricación se necesita la me­
nor cantidad de hoja de lata?
Solución:
1. Sea el depósito abierto de base cua­
drado, cuyas dimensiones son:
x = Longitud de la base cuadrada 
y = altura del depósito
n
v = x y : volumen del depósito, u 
es constante (dato conocido)
iiM M ia
; f
llllllllÉilllllllll
2. El problema pide las dimensiones que 
debe tener el depósito para que en su 
fabricación se use LA MENOR CANTI­
DAD de la hoja de lata. Es decir se pi­
de MINIMIZAR EL ÁREA CONFORMA­
DA por el AREA LATERAL 4- AREA DE 
LA BASE, cuya expresión matemática 
es:
(2 *
A = A L + B 
= 4 x y + x2
í A: área total del depósito 
sin tapa.
| AL: área lateral.
I B: área de la base.
3. En 1 teníamos: v = x y
4. Sustituir: y en (2*)
A = 4x (?)+ x
A(x) = ^- + x ¿ (4*)
Moisés Lázaro C.
5. Para hallar las dimensiones ■ = ?
y = ? de modo que A(x) tenga 
mínimo, se debe hacer 2 cosas:
1°. = 0 < CONDICIÓN NECESARIA
Cl X
PARA MINIMIZAR.
2° . díA
d x 2
> 0 < - CONDICIÓN SUFICIENTE PARA QUE 
EXISTA MÍNIMO EN ALGÚN PUNTO 
SINGULAR.
6 . De (4*) obtenemos:
4 -̂ = - % + 2 x
d x
_ - 4 u + 2 x _ 2 (y - 2ü)
■ (6*)
7. Haciendo: iü = o
d x
x -2u = 0 
x =
8 . De (6 *) obtenemos:
d x 2
x 2 ( 3 x2 ) - ( x 3 - 2 u ) ( 2 x )
‘ + 4 u
9. Se cumple:
d2A 1 - 9 (^/2u )3 + 4 u
d x 2 _ X II
1 t
( 3 / 2^)3
: 6 > 0
Determinar la altura mínima h = OB que 
pueda tener la puerta de una torre vertical 
ABCD, para que a través de ella se pueda 
introducir en la torre una barra rígida MN de 
longitud cuyo extremo M resbalará a lo
largo de la línea horizontal AB. La anchura 
de la torre es d < í . (ver. Fig. adjunta):
Solución: Hacer otra fig. auxiliar.
D X. *(" y udT son constantes conocidos “ 
2. Se debe expresar h en términos de
f/» ' " ' -C f *
APLICACIONES DE LA DERIVADA
4. Debemos expresar h en función sólo de x. En el triángulo rectángulo NRM, por el 
TEOREMA DE PITÁGORAS, tenemos:
■t2 = y2 + (d + x )2 y2 = í2 - (d + x )2 => y = \ji2 - (d + x )2
5. Sustituir en (3*):
h(x) = : ^ 2 - ( d + x)2 d + x La forma más sencilla de hallar ^ es aplicar, en primer lugar 
logaritmo natural en ambos miembros.
Veamos:
Ln(h) = Lnx + iL n [f -(d + x) ]-Ln(d + x)
derivar
dh
dx __
h X " 2
dx _ 1 | 1 -2 (d + x) 
e2-(d + x)2
i
d + x
_ (x + d) I f2—(d + x)2 ]-x (x + d)2- x [ l 2 -(x + d)2 ] 
h x(x+d) [i2 - ( d+ x) 2 ]
_ ¿2 (x + d ) - (x + d)3 -x ( x + d)2 - x + + (x + d)2 
x (x + d) [ í2 -(d + x)2 ]
_ (2 x + C2 d - ( x + d)3 - x £ 2 
x(x + d )[í2 - (d + x)2 ]
dhck í2d -(x + d)3
x(x + d) [ f 2 - (d + x)2 ]
d h _ M í2 d - ( x + d)3] 
^ x(x + d)[í2-(d + x)2 ]
dh = 
dx
x ^ t 2 - ( d + x)2 
x + d
(2d - ( x + d f 
x(x + d) [ £2 - ( d + x)2
(2d - { x + d f 
(x + d)2^/í2-(d + x)2
6 . Haciendo: = 0 , se obtiene:dx ’
r d - ( x + c/r = 0 
(x + d f = e 2d
(x + d) = \fi2d x = l 2d - d .(6*)
Moisés Lázaro C.
7. Sustituir (6 *) en (5):
, (3J f d - d ) J f - [ 3J f d - d + d f
h = ------------- 3 / 2 --------------------d + y ¡ r d - d
(3J J d - d ^ ( 2 - ( ( 2/3d^3f
3/e2
fád 3*2
J £2 _ £m d 2l3
= ^ 2 /3 _ ¿ 2 /3 J 4 /3 c^ 3 
4 /3 “ 4 /3
■2 íA/ád
= (f2 / 3 - d2 / 3 )yje213 - d2 / 3
h = (4 /3 - d 2 / 3 )3 / 2
(25) Se va a construir un embalaje con 
tapapara contener 2m3 de naranjas. Se 
va dividir en dos partes mediante una se­
paración paralela a sus extremos cuadra­
dos. Encuentre las dimensiones del em­
balaje que requiere la menor cantidad de 
material.
Solución:
AT = dos veces área de la base +
2x y
área lateral + área de extremos cuadrados
(2 x + 2 y )x x 2
Que se puede expresar como:
AT = 2 xy + (2 x - 2 y)x + x 2 (1 *)
o2. Pero: x y = 2 « -v o lu m e n df, p a ra le le p íp e d o
3. Sustituir 2 en (1*):
AT = 2 x - 4 + ( 2 x + 2 - - ^ ) + x 2 
= £ + 3 x 2
X
APLICACIONES DE LA DERIVADA (321
4. Para que AT sea mínimo debe cum­
plir dos requisitos:
1». Que £ (A T ) = 0
2°. Que -é-j(AT) > 0 <- Para algún punto 
dx singular.
Veamos:
5. De A = — + 3x2 , obtenemos:
j L ( A T ) = - 4 + 6 x = -
¿ t (AT) = 4 + 6 .
dbcJ
(5*)
6 . Haciendo:
£ (A T ) = 0 = > - 6 x 3 - 8 = 0
2
punto angular
Al sustituir en 2: 2 = ^ = 1 ^
7. Al sustituir: x = en (5*
dx'
á-(AT)
3V6
, . ^ . - ( « ) + 6 > 0
8 . Conclusión: las dimensiones del em­
balaje son:
2 . - 2
?/6 ; y 3M
(26) problem a DE FÍSICA. La amplitud /d e la comente alterna que fluye en un cir-cuito eléctrico con inductancia L, capacidad C y resistencia R en serie está dan­
do por:
I = - v--------
f 2 + (L - ^ ) 2
donde v es la amplitud del voltaje alternante y u; = 2 ;r/ es la frecuencia de voltaje, 
además fes ciclos por segundos.
Demostrar que / es un máximo cuando / = — K = ciclos por segundo.
2 n y Le
Solución:
1. En la formula de /tener en cuenta que:
V 
R\w
Son variables i , constantes 1/
Moisés Lázaro C.
2. Para derivar I debe expresarse en función sólo de la variable /.
3. Sustituir: w = 2nf en I:
1 =
4. Ahora hallemos Pero antes, expresemos I como:
I = v
di i 
d f = 2 U
- 1/2
r 2 +(2 ' - * / - ¿ 7 ) ' 
r 2 + (2
-3/2
0 + 2 ■(2 le) ( f
^ + ( 2 L x f - ^ f
di5. Al hacer = 0 , sólo corresponde que: 2 L n j - g ~ j = 0
=> 4;r2 L c /2 - l = 0
=> / 2 = —i— => f = — K=
4 A c 2n^Lc
APLICACIONES DE LA DERIVADA
[ l5 . CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Introducción: Observemos los gráficos de las funciones /(x) y g(x) respectivamente.
f(x)=4 : ------' 3 3(x + l ) 1,/3(x - 1)2/3
9 9(x + l) 4/3( x - l ) 5/
Tenemos:
1. En los intervalos: ( - o o , - l ) u ( - l , l ) 
f(x) es cóncavo hacia arriba.
2. En el intervalo: ( 1 , + co), f(x) es: 
cóncavo hacia abajo.
3. B(1,0) es un punto de INFLEXIÓN, 
porque f(x) sufre un cambio de cur­
vatura: de cóncavo hacia arriba pasa a 
cóncavo hacia abajo.
4 . A ( - 1,0) A NO ES punto de inflexión, 
porque f(x) no sufre cambio de cur­
vatura.
Tenemos:
1. En los intervalos: < - o o , - l ) u ( l , + o o ) 
g(x) es cóncavo hacia abajo.
2. En el intervalo: (-1 ,1 ), g(x) es: 
cóncavo hacia arriba.
3. (-1 , es punto de inflexión, por­
que g(x) cambia de curvatura: de 
cóncavo hacia abajo pasa a cónca­
vo hacia arriba.
4 . ( 1 , - -22-) es punto de INFLEXIÓN,
porque g(x) cambia de curvatura: 
de cóncavo hacia abajo.
0
Moisés Lázaro C.
En este capítulo nos toca responder dos interrogantes:
1. ¿Cómo se hallan los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, respecti­
vamente?
2. ¿Cómo se hallan los puntos de inflexión?
La respuesta es: los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se hallan 
analizando la segunda derivada de la función en estudio.
El análisis que se deberá hacer con la segunda derivada /" (x ) , es similar al análisis 
que se hizo con la primera derivada / '(x ), cuando buscábamos los intervalos de 
crecimiento y decrecimiento de la función /(x ), para luego hallar los máximos y 
mínimos relativos de / (x ) .
NOTA: Visto el gráfico de las curvas desde arriba se observan dos curvaturas:
cóncavo (cóncavo hacia arriba) y convexo (cóncavo hacia abajo).
A
A y G no son puntos de inflexión. B, C, D, E, F son puntos de inflexión.
Resumen: Si la función /(x ) es dos veces diferenciable en un intervalo abierto /, en­
tonces al analizar la segunda derivada / " (x ) , deducimos 6 proposiciones básicas:
1. Lo posibles puntos de INFLEXIÓN de la función /(x ) se hallan en:
a) Los: x e / , tal que /"(x ) = 0.
b) Los: x g / , tal que 0 f " ( x ) .
2. Si /"(x) >0 , Vx g / , entonces f(x) es cóncava hacia arriba sobre I.
3. Si /"(x ) < 0 , V x e í , entonces /(x ) es cóncava hacia abajo sobre /.
4. Si x0 es un punto del intervalo J = (a,b), tal que: la segunda derivada /"(x)
cambia de signo al pasar de (a,x0) hacia (x0 ,b), entonces (x0 ,/(x0)) se llama
PUNTO DE INFLEXIÓN de la gráfica de f ( x ) .
f"<0 I f">0 í i f”>0 i f"<0 i I f"<0 i f">0 I i f"> O i f"<0
5. Si /"(x ) NO CAMBIA de signo al pasar de <a,x0) al intervalo (x0,b ) , entonces 
(x0 ,/(x0)) NO ES punto de inflexión.
6 . Si x0 e 1 = INTERVALO ABIERTO y /(x ) es diferenciable sobre I, entonces 
(x0 , /(x 0)) es punto de inflexió <=> existe /" (x 0) a / " ( x 0 ) = 0 .
Antes de formalizar la definición de concavidad de una curva, hagamos dos ilustracio­
nes gráficas:
En ambas figuras observemos la posición de los punte® My P, donde:
M pertenece a la cuerda Py P.¿ , Py . P¿ e Cr ( f ) .
P pertenece al gráfico de /.
En la fig.l, el punto P está por debajo del punto M, en este caso f (x) es “cóncav< 
hacia arriba”, pues “ordenada de P es menor que ordenada de M".
En la fig. 2, el punto P está por encima del punto M. en este caso es “cóncavo hacú 
abajo”; pues “ordenada de P es mayor que ordenada de M”.
La definición de concavidad se hace, precisamente comparando la “ordenada” de P con l¡ 
“ORDENADA” de M. siendo x¡ la abscisa común para ambos puntos y que x , e < X j.x 2 > .
Moisés Lázaro C.
El problema consiste en hallar “Las ordenadas de P y de M siendo xt la abscisa 
común con xt e <x1 ,x2) .
En 1er lugar, veamos que forma tiene xt , V x t e (x 1 ,x2).
1) En el eje x ¿ - j - ¡j—-x se tiene los siguientes segmentosde rectas:
OA = x1 ; OT = xt ; OB = x2
2 ) xt - x 1 es positivo, pues xt > x1. 
x2 - x1 es positivo, pues x2 > x1.
3) Establecemos la siguiente razón geométrica — ,que es positivo y menor que 1
x 2 X1
Es menor que 1, porque: 0 < (xt - x1) < (x2 - xx).
0 <Ü Z ÍL < 1 
x 2 ~ X1
4) Llamemos: t = ———
x 2 - X1
I
xt - x 1 =t(x2 - x 1) 0 < t < 1
En 2do lugar, hallemos las ordenas de P y de M.
5) Como P sGr (/) a xt es la abscisa de P, entonces la ordenada de P es:
/ ( x t) = / ( ( l - t ) x 1 + t x 2 ))
Luego: P = (xt , /(I - 1) x± + 1 x2)
6 ) Para hallar la ordenada de M, establecemos una proporción en el trapecio 
xt PiP2 x2 :
M- P,
*2 - ^ 1 P2~P1 = > t ■
M-P,
P - Pr2 1
=> M = P1 +t(P2 - P 1)
= (x1 , /(x 1)) + í[(x2 ,/{x 2 ) ) - (x 1 ,/(x 1))] 
= (x i,/(x1)) + t[x2 - x x , / ( x 2 ) - / ( x 1)]
= (X !,í(x 2 - x 1) , f ( x 1) + t lf{x2) - f ( x 1)]
Como vemos, la ordenada de M es: / (x1) + 1 [ f (x2) - / (x1)]
Por lo expuesto, estamos preparados para definir la concavidad.
Definición 1: La gráfica de la función / es cóncava hacia arriba en el intervalo 
(a,b), si V x e (a,b) se cumple:
/ ( ( l - t ) x 1 +íx 2 ) < ( l - í ) / ( x 1) + í / ( x 2), t £ (0 ,1 )
ORDENADA DE/» ORDENADA DE M
Definición 2: La gráfica de la función / es cóncava hacia abajo en el intervalo 
(a,b), si V x e (a,b) se cumple:
f { ( l - t ) x 1 + tx 2) > ( 1 - t ) / ( x 1) + í /(x 2), t e (0 ,1 )
Nuestro objetivo es relacionar la 2a derivada /"(x ) con las definiciones 1, 2 a través 
del siguiente teorema:
Teorema 21: Sea/diferenciable en el intervalo (a,b>:
a) Si f"(x) > 0 ,Vxe<a,b)=> la gráfica de / es cóncava hacia arriba sobre (a, b)
b) Si /"(x) < 0 , Vx e (a,b> => la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre (a ,b)
Prueba de b)
_________________________ APLICACIONES DE LA DERIVADA___________________________
HIPÓTESIS j/" (x ) > 0 , V x e (a,b) TESIS
1) Sean Xi,x2 e (a ,b), con x1 < x2 .
Debo probar que:
/ ((1 - 1) xx + 1 x2 ) < (1 - í ) / ( X j ) + í/(x 2 ) 
con t e (0 ,1 ), para afirmar que / es 
cóncava hacia arriba sobre (a, b)
c1 X, c2
Sea t e (0,t) , t fijo con xt e (x 1 ?x2) , donde xt = (1 - t)x1 + tx 2 .
2) Aplicando el T.V.M. sobre [xl 5xt] implica que 3 q e (x^ X j), tal que:
P (c \ f{xt) - f { x l) _ / ( ( l -Q x j + ¿x2) - / ( x 1) _ f { { l - t ) x 1 + t x 2) - f { x 1)
* ' 1 ' ^ (1 - 1) xt - 1x2 - t (x2 - x1)
3) Ahora, aplicando el T.V.M. sobre [xí?x2] implica que 3 c2 e (xt,x2) , tal que:
f \ __ /(x 2 ) - / ( x t ) _ /(x 2 ) - / ( ( l - ¿ ) x i + ¿x2 ) _ f{x2)~ } ( { l - t ) x 1 + t x 2)
2 ' x2 - x ¿ x2 - [ ( 1 - t)x2 + tx2 ] ( l - t ) ( x 2 - x 1)
Moisés Lázaro C.
4) Por hipótesis se tiene que /"(x) > 0 , x e (a,b> , esto implica que /'(x ) es creciente 
V x e (a,b) .
5) Como c1, c2 e <x1 ,x2) c= (a ,b ) con < c 2 a / ' es creciente, entonces:
/ '(q ) < /'(¿2)
f { ( l - t ) x 1 + t x 2 ) - f ( x 1) < f ( x 2 ) - f ( ( l - t ) x 1 + t x 2 ) 
t(x2 - x 1) ( l - í ) { x 2 - x 1)
( l - t ) f ( ( l - t ) x 1+ tx 2) - ( l - t ) f ( x 1) < t - f ( x 2) - t - f ( ( l - t ) x 1 + tx2) 
f ( ( l - t + tx2) - t - f ( ( l - t ) x 1 + tx2 ) - ( l - t ) / ( x 1) < t - / ( x 2 ) - t - / ( ( l - t ) x 1 + tx2)
/ ( ( l - f ) x x + íx2) < ( l - t ) f ( x 1) + t f ( x 2)
6 ) Esto implica que / es cóncavo hacia arribasobre (a,b) .
Prueba de b) Queda como ejercicio.
Definición 3. Un punto (c,/(x)) sobre la gráfica de una función / (x) donde la di­
rección de concavidad cambia, se llama PUNTO DE IN­
FLEXION.
Esto implica que existe una vecindad:
B(c,8) = ( c - 8 , c + 8) , tal que f(x) es cóncava hacia 
arriba en (c -S ,c ) y cóncavo hacia abajo en (c,c + 8) . 
o viceversa.
Teorema 22. Sea (c , /(c)) un punto de inflexión de la gráfica de la función / (x), 
diferenciable en el intervalo (a,b) con c e (a,b) . Si existe: /"(c ) => f"(c) = 0.
Prueba:
La demostración es por reducción al absurdo. Las hipótesis son:
¡\ : (c,/(c)) es un punto de inflexión del G rf . Esto es, en una vecindad
( c - S , c + S) de c hay cambio de dirección de la concavidad. 
h2 : / (x) es diferenciable en (a,b) con c e <a,b> . 
b3 : 3/ ' ' (c).
La tesis es T : /"(c) = 0 , ~T : /"(c) >0 v /"(c) < 0
Debo probar: - 7 ^ a h2 a b3 = > - f y
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Veamos:
1. Supongamos que: : /"(c) > 0 Debo probar ~ 1\ : en (c - S , c + S) no hay
0 c /v rtt \ cambio de dirección de la derivada.
2 . Sea: g(x) = / '(x).
3. Si x = c => g'(c) = / " (c).
4. Según la hipótesis: existe /"(c) = g'(c) > 0 .
5. La definición de g'(c) es g'(c)= lim , x ^ c .
X > c x c
Si existe g'(c) y haciendo g'(c) = L> 0 , aplicamos la definición de límite:
(V s > 0) (3 8 > 0), tal que, si:
xeDom(/ ) a 0<|x-c|<¿> s (x) -g{c) - L < 8
c - S < x < c + S
6 . Como el valor absoluto se cumple V s > 0 , en particular se cumplirá para s = L , 
así tendremos:
g ( x ) - g ( c ) 
x - c
- L < L _ L < g ( x ) - _g |( c ) _ L < L
X - C
0 < g ( x ) - g ( c )
X - c
<2L
7. El cociente es positivo para dos casos: c AVA¿= ~— pc+g
a) S i c - ¿ > < x < c , entonces x - c < 0, como > 0, luego: g(x) - g(c) < 0
g(x) /
3 /
=> g(x) < g(c)
V X E (c,c + 5)
C—8 X C
b) S i c < x < c + ¿>, entonces x - c > 0 , como ~ ~ ~ ~ > 0 , luego: g(x) - g(c) > 0
g(x)»
(
=> g(x) > g(c)
V x e ( c , c + S)
C 3< c+8
8 . Por a) afirmamos que: g(x) = f'(x) , es creciente sobre ( c -S , c ) .
Por b) afirmamos que: g(x) = f ' (x) , es creciente sobre (c,c + S) .
=> f f(x) es creciente sobre ( c -S , c + S ) .
, ^ q\_____________________________ Moisés Lázaro C.
9. Como: g(x) = f r(x) a 3g'(c) = /"(c) => /'(x) es continua en x - c .
NOTA: Si existe /'(c) => f(x) es continua en x = c. Igualmente, si existe
/"(c) => f f(x) . es continua en x = c .
í /'(x) es creciente sobre (c - S,c + S) => f"{x) > 0 V x e (c - S,c + S) 
Ya tenemos: <
[ f '(x) es continua en x = c
Ahora nos falta probar si f(x) es cóncava hacia arriba sobre ( c - S ,c + S ) .
10. Por hipótesis: /(x) es diferenciable en (a,b) , en particular es diferenciable en:
( c -S ,c + S) c= <a,b>.
11. V x1 ?x2 e ( c - S,c + S) con x± < x2 ; podemos aplicar el T.V.M. a /(x) en los
intervalos cerrados [x1 ?xt] a [xt,x2] , donde xt = ( 1 - t ) x i + t x 2 , t e (0 ,1 ).
a) Aplicando el T.V.M. en [x ^ x j : 3 q e (xlfxt) , tal que, ^ x*)^/(*i) = / '( c ^ .
xt xi
b) Aplicando el T.V.M. en [xí,x2 ] :3 c2 g (xl 5x2) , tal que, = / '( c2 ) ■
c -5 x 1 c1 x, c2 x2 c+8
12. Donde: c - í> < x, <: C] < x. < c? < x2 < c + ó y como f'(x) es creciente sobre 
( c - S ,c + S ) , entonces:
/ '(c 1 )< / ' ( c2)
< ’ Xí = (^- í )xl + t x 2 con * e ^ 0 , 1 )
f ( ( l - t ) x 1 + tx2)< ( l - t ) f { x 1) + t - f { x 2) , t e { 0 ,1)
13. Entonces / es cóncava hacia acriba sobre ( c - S , c + S ) , lo cual es absurdo, 
porque la concavidad de / debería cambiar de dirección en c e ( c - 5 ,c + $) Esto 
contradice a la hipótesis que afirma (c, f(c)) es punto de inflexión (~hj).
14. Igualmente, si suponemos que: f"(c) < 0 llegaremos a contradecir la hipótesis f\
15. Por tanto: no puede ser f " (c) > 0 v / " (c) < 0 , entonces debe ser f " (c) = 0 .
APLICACIONES DE LA DERIVADA
< § >
O b serv a c ió n El recíproco del Teorema 23 no siempre es verdadero. Es decir si 
/"(c) = 0 , ello no necesariamente implica que (c,/(c)) sea un punto de inflexión.
Ejemplo: Sea:
f(x) = ( 2 x - l f - l
f'(x) = 6 (2 x - l ) 5 (2 ) / " = 0 => x = \
= 1 2 (2 x - l )5 f"(x) = 1 2 0 (2x l )4 ------* / " > 0 => x e R
f ” (x) = 6 0 (2 x -l)4(2) .------ 2 ------ . / " < 0 => <t>
= 120(2x - 1)4 f">0 f"<0
Como vemos, /" (x) no cambia de signo al pasar de ( - 0 0 , 1 / 2 ) a < 1 / 2 , + 0 0 ), en­
tonces la concavidad no varía manteniéndose siempre hacia arriba.
Luego ( 1 / 2 , / ( 1 / 2 ) ) no es punto de inflexión de la gráfica de/:
15.1. REGLAS PARA POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION
Teorema 23. Sea f(x) una función continua sobre el intervalo abierto (a,b) .
Sea x0 e (a,b) , donde / " (x0) = 0 ó / f " (x0) , entonces:
1) Si: / " (x )<0 ,Vxe(a ,x 0 ) A f ( x ) > 0 , V x e ( x 0 , b ) ^ ( x 0 ,/(x0)) es pto. de inflexión
2) Si: / " (x)>0, Vxe(a,x 0 >A/"(x)<0, VxG(x0 , b ) ^ ( x 0 , /(x0)) es pto. de inflexión
íxo/(*o))
. . , . , « . v . . , . . , . , no es punto
de inflexión
f ’’(x) > 0 A f ”(x)> 0 f ” (x) < 0 A f"(x)< 0
V x e <a,x0) V x e (x0,b)_
V
_Vxe<a,x0> V x e (x0,b)
Ilustración Gráfica:
Moisés Lázaro C.
15.2. APLICACIONES AL TRAZADO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION
Trazar el gráfico eje una función es muy importante ya que es una forma objetiva de 
apreciar el comportamiento de la función.
Los pasos a seguir pueden ser los siguientes:
1. Determinar el dominio de la función f ( x ) .
2. Determinar las intersecciones con los ejes.
3. Verificar las simetrías con respecto a los ejes y con respecto al origen.
4. Determinar las asíntotas: verticales (límites laterales en los puntos de discontinui­
dad), las asíntotas horizontales y oblicuas (límites en x -> ±co).
a) / ' = 0
5. Hallar la Ia derivada / ' ( x ) , resolver
6 . Hallar la 2a derivada / " (x), resolver <
7. Construir la gráfica de la función.
Ejemplo 1: Graficar: /(x) = 5(x -1 )2 / 3 
Solución:
y determinar los extremos de la función
b) r > o /(x).
c) / '< 0
a) / " = 0
b) / " > 0 y hallar los puntos de inflexión
c) / " < 0
- ( x - 1 )',5/3
1. Dom(/) = x e í ? , porque la raíz cubica es cero, positiva o negativa.
2. Intersecciones:
Con el eje x: hacemos /(x) = 0
=> 5 (x - 1)2 / 3 - (x - 1)5 / 3 = 0
(x - 1 ) 2 / 3 [ 5 - ( x - 1 ) ] = 0 
=> (x - 1)2/3 (6 - x) = 0
=> x = 1 v x = 6
3. Simetría: no hay.
4. Asíntotas: no tiene.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5. /'(x) = ? (x-l)' 4 ( x - i ) 3
/ '(* ) = 5 (3-x)3 3̂ T
a) f'(x) = 0 =>
b) f'{x) > 0 =*
x = 0, X /'(1). Los puntos críticos son: {0 ,1 } .
( 3 - x )
4 • 3^_ül > 0 , racionalizar.
c) /"(x) = |
, < 0X-l _̂____+
=> X E (1 , 3)
_ 2
^ T T ( - 1 ) - ( 3 - x ) - ( x - 1 ) 3 
.1 0 x
9 3̂ f
Extremos:
a) Existe mínimo en x = 1 que es /(1) = 0 .
b) Existe máximo en x = 3 que es /(3) = 3y¡4 « 4.76
6 . r ( x ) = |
3
- _ 1 0 .
3y7ri(- i ) - (3-x) . i (x- ir3
9
a) /" (x) = 0 => x = 0 , X /" (!)-
b) f"(x) > 0 => x < 0 : cóncava hacia arriba.
c) / " ( x ) < 0 => x > 0 : cóncava hacia abajo.
v 3 - 9Ejemplo 2. Graficar f (x) = -------
(x — 1)
Solución:
1. Dom(/) = X£ JR - { x = 1} .
2 . Intersecciones:
a) Con eje x: /(x) = 0 => x 3 - 2 = 0 => x = ¡̂2
b) Cone jey :x = 0 => /(0) = -2
Moisés Lázaro C.
3. Simetría: No hay
4. Asíntotas
a) Verticales: x = 1
b) Horizontales: No hay, pues lim f(x)=±oo
X -> + C O
c) Oblicuas: y = a x + b , donde:
a = lim
X - > ± c O
/(*) lim x - 2
b= lim [ f ( x ) -b x ]= lim
X —> ± 0 0 X —> ± 0 0
= lim
X —> ± 0 0
= lim
X - > ± 0 0
La asíntota oblicua es y = x + 2 .
X —> ±CO x ( x 1) X —>00
x 3 - 2
lim Mr = 1Mr
(x - 1 )"■ - X
x - 2x +1
2x - x - 2 
x 2 - 2x +1
= 2
5 ( x - 1 ) 2 - 3 x 2 - ( x 3 - 2 ) - 2 ( x - 1 ) _ (x + l ) ( x - 2 )2
(x- ir
a) / '(x) = 0 =>
b) f '(x)> 0 =>
c) /'(x) < 0
>0
(x + 1) (x - 2)
(x - 1 ) 3
(x + 1) (x - 2)2 
(x - 1 ) 3
M > °x - 1
x e ( -o o ,- l ) u (l,+ o o )
x e <—1,1)
x = —1 
ix = 2
. Puntos críticos { - 1 , 2 }
y '>0 y '<0 y '>0 y '>0
Existe máximo en x = -1 , que es /(-1 ) =-3 /4 .
6 . De: / '(x) = (x + 1̂ x q2) se obtiene:
/
( x - l ) J
„ _ (x + 1)3 [(x - 2 ) 2 + (x + l) -2 (x - 2 ) - ( x + 1) (x - 2 ) 2 • 3(x - 1)2 
(x - 1 )6
APLICACIONES DE LA DERIVADA
/ " (*) = (x-iy
Punto de inflexión: /(2) = 6
/ " = 0 => x = 2
f " > 0 => x > 2
/ " < 0 => x < 2 , x * l
PROBLEMAS:
Graficar las siguientes funciones hallando máximos y mínimos, puntos de inflexión,
intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad.
1 . f(x) = x4 - 8 x 2 + 7.
Puntos críticos { 0 , 2 } . De: /"(x) = 0 se obtienen x = ±^¡̂ -
Asíntota y = 2, de / ' = 0 se obtienen x = 2, x = 4 . De / " = 0 , x = 1, § , 4.
Moisés Lázaro C.
5. f(x) = Ln(cos2x), x e [-n,n]
-|x+2|
6 . / ( x ) = -
, x < 0
-2-x¿x + e “ ~ , x > 0
7. f(x) = Ln|2sen hx\
x > 0
8 - f M =
l - x
ex
2x +1 n
 r- , X < 0
X + 1
9. /(x) = (x - l ) (x z - 2 x r 1/3+ l
10. / (x) = i e ‘
11. /(x) =
1 2 . / ( x ) =
13. /(x) =
x + e
5 x 2/3 - x 5/3 , x < 1
, x < 0
, x > 0
x - 2 x + 2
7^1 , X > 1
, X S - 1
X - — + -Í- , X < ” 1
X 3 ’
14. f(x) = x2^ 2 x - 5 , x e [ 0 , 3 ]
15. f(x) =
16. f(x) =
, x < 1(1 + xK
( l - x ) 2 
X2 - 2 -
 i - , x > 1X - 1 ’
( l - x ) 2 ( l + x )3 , X < 1
X + 6 x -V 3 X > 1
17. Si f e s una función continua en R 
tal que:
í 2 , X < 1
r W = _ i & ( x - 4 / 3 + x - l / 3 ) j X > 1
/(O) = -1 , /'(O) = 4 , / '( 8 ) = -5 .
Graficar / indicando crecimiento, con­
cavidad y valores extremos.
18. Esbozar la gráfica de una función f 
continua en JR, tal que cumpla las 
siguientes condiciones:
i) /(O) = /(4) = /(12) = 0, / ( 6 ) = -5 ,
/ ( - 1) = 2, / ( 2 ) = 1
ii) / '( 2 ) = f (6 ) = 0 , /'(O) no existe.
iii) f'(x) > 0 ,. Si O < x < 2 v x > 6 
f'(x) <0 , Si x <0 v 2 < x < 6
iu) / " ( x ) > 0 , . S i - l < x < 0 v x > 4 
f"(x) < 0 , S i x < - l v 0 < x < 4
19. f(x) = \j(x + 4)2 (x - 5 ) , x e R
20. f(x) = 3s j(x - l ) (x + 2)2 , x e [ - 3 , 2 ]
2 1 . / ( x ) = -
x + x - 6
x + 1
x < 5 
x >5
x 2 / 3 (x + 2 ) i / J - x , x < 0, 4 / 3
22. / (X) :
(x - 6 ) 1/3(x - 1 2 ) zm , x > 6, 2 /3
CAPÍTULO B
DIFERENCIALES
1. INCREMENTO DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE E INCREMENTO 
DE UNA FUNCIÓN._____________________________________________________
Supongamos que x sea la variable independiente y /(x) sea una función de x.
Como los números reales son bien ordenados, entonces la variable x puede expe­
rimentar cambios desde un valor x0 hasta otro valor, tal que x0 < x . Ver gráfico.
La diferencia x - x0 se llama incremento de la variable x:
Notación: El incremento de x se denota por el símbolo A x . Así habremos obtenido 
la siguiente definición.
1.1. Definición: el incremento de una variable x (denotado por Ax) es el au­
mento o disminución que experimenta la variable x, desde el valor 
x0 hasta otro valor x, esto es: A x = x - x0
x = x0 +Ax
Ax
Xq x = Xq A x
0
— 337 —
Aplicando suma de segmentos, se tiene:
OX = x
OX = QXo + XOX , pero GX^ = x0 
x = x0 + Ax x0x = x - x0 =Ax
Si los puntos x0 , Xi, x2 , x3 , ... , xn son equidistantes entonces las siguientes dife­
rencias son iguales:
Xj-Xq = x 2 -Xi =X3 - X 2 = ... = xn- x n_i =Ax
Así tendremos que:
Xi = x0 + A x 
x2 = x0 + 2Ax 
x3 = x0 +3Ax
xn = x0 + n A x
Ahora» veamos cómo se comportan las imágenes de los puntos: x0 , xx , x2 ......
Si x varia de x0 hastax, siendo x0 < x , donde Ax = x ~ x 0 , entonces las imágenes 
de x0 y x que son respectivamente / (x0) y f{x) han sufrido también un cambio 
desde f ( x0) hasta / (x) y la diferencia / ( x ) - / ( x 0} se llama incremento de lafun-
La NOTACIÓN Af = f ( x1) - f ( x 0) expresa el incremento de / . 
ó Ay = y - y0 => y = y0 +Ay
Como: x - x0 = A x
x = x0 +Ax => Ay = / (x 0 + A x ) - / ( x 0)
Si x es una variable discreta y tuviéramos un conjunto de valores de x con sus respec­
tivas imágenes, tales como lo mostramos en el siguiente cuadro:
Moisés Lázaro C.____________________________ _
DIFERENCIALES
VALORES DE X IMÁGENES DE X INCREMENTO DE X INCREMENTO DE Y
* 0 X o ^X
1 X o
II > o* y i ~ y 0 = A y 0 y i = y 0 + A Vo
* i Vi = / ( xi) X C\D 1 II > X y2 - y i = A y i y2 = y i + A y 1
x 2 V2 = i f (x 2 ) x 3 - x 2 = A x 2 i > 3 ~ V 2 = A i>2 < = > V 3 = l > 2 + A V2
x.3
V3 = / (x/3) I
;
i
x n — xn-l = A xn-l x n - x „ - l = A x n-l <= > V n = V n - 1 + A Vn-1
*n-l xn-l = / ( xn-l>
% = / ( x „)
Entonces el análisis matemático que haríamos, estaría basado en el comportamiento 
que experimentan las variaciones de la variable x y sus imágenes / ( x ) .
Así por ejemplo:
A p l i c a c i o n e s :
[TI En geometría Analítica: en la ecuación cartesiana de la recta y = ax + b
se tiene a = ■— = pendiente de la recta.
Ejemplo: y = 2x + 5 , donde ^ = 2
Moisés Lázaro C.
2] En economía: La ecuación de la demanda: q = -|-p +10 , = •
r3| En física: e = vt + e0 , e = espacio recorrido 
e = 2f + 5 t = tiempo
donde: ^ 7 = 2 km/h = V = velocidad de un móvil
3. En Ax = x - x0 , si “x tiende a acercarse a x0 ” Ax tiende a acercarse a cero, en­
tonces Ax se convierte en dx.
Es decir: lim Ax = dx
X X° I----------Diferencial de X.
4. Igualmente: Si en el cociente 4” , llamado variación media de y con respecto a x, 
hallamos el límite cuando Ax tiende hacia cero, entonces el cociente 4^ tiende a9 Ax
convertirse en “la derivada de y con respecto a x” .
Así: l im„f£ = |£ = y', siendo y = / (x) , y ' = / ' ( * ) = 7 7 7
Ax 0 dx
Se llama: variación instantánea de y con respecto a x o razón 
de cambio instantáneo de y con respecto a x.
5. Numéricamente, al comparar Ay con dy, se cumple que “dy es una buena aproxi­
mación de Ax”.
Ejemplo: Dado la función: y = / (x) = x - x
Hallar: Ay y dx para x = 10, Ax = 0.1
Solución:
a) Ay = / (x 0 + A x ) - / ( x 0)
= / (10 + 0.1) — / (10)
= [10 - 1)2 -10 • 1]-[(10)2 -10]
Ay = 1.91
t_____________
b ) dy = y • dx
Donde:
= /'(10) • dx /(x) = x2 - x
= (19)-(0.1) f'(x) = 2x -1
/'(10) = 2(10) —1O)HII*T3 = 19
........... _ t
Hay un error: Ay -d y = 0.01
DIFERENCIALES
<£>
Como vemos: el dy es una buena aproximación de Ay. Para el presente ejemplo 
hay un error de 0.01 entre Ay y dy a este error le llamaremos: ERROR ABSOLU-
TO y al cociente se le llama ERROR RELATIVO al Ay.
ERROR ABSOLUTO: Ay -d y
ERROR RELATIVO AL INCREMENTO DE: y =
Ay - dy 
Ay
1.2. ERROR RELATIVO Y ERROR PORCENTUAL APROXIMADO
Al usar notaciones matemáticas se tendría:
Cuando una cantidad y0 = / (x0) se aproxima mediante la cantidad / ( x 0 + Ax) con 
un error Ay = / ( x 0 + Ax) - / ( x 0) , entonces se llama ERROR RELATIVO al valor: y
al valor | 100)% se llama PORCENTAJE ERROR.
Es decir: ERRO R RELAT IVO = Ay _
iOv11
Vo J»0
PO RC EN TAJE D E ERROR = /A y X io o )%
1̂ 0 )
Respecto al ejemplo anterior:
X 1 2
/ (x ) = y 20 25
f ( xo) /(*)
Moisés Lázaro C.
a) ERROR RELATIVO = — = - ^ = ^ = 0 .2 5yo 20
b) PORCENTAJE DE ERROR = ( ^ x 100 j% = (0.25 x 100)% = 25%
Cuando la función / = /(x) es continua, el Ay se aproxima por dy = d/(x0) en­
tonces el ERROR RELATIVO APROXIMADO y el PORCENTAJE DE ERROR APROXIMADO 
serán respectivamente:
ERROR RELATIVO APROXIMADO = —77—̂7- =f(x0) 1
II 
1
PORCENTAJE DE ERROR APROXIMADO =
1 '-"
5;
~H X h
-1 0 0
1 %
Problema 01. Dada la función continua y = f(x) = x2, si x0 = 2 , Ax = 0.4, hallar: 
el error relativo, error porcentual, error relativo aproximado, error 
porcentual aproximado, e = ■
Solución:
X 2 2.04
y / (2 ) / (2.04)
Donde: Si Ax = x - x0 
0.4 = x - 2 
x = 2.4 
f{2) = 22 = 4 
/(2.04) = (2.04)2 = 5.76
Luego:
a) ERROR RELATIVO = ^ = l í ^ ^ L / i 2)
yo 
5 .7 6 -4 = 0.44
b) ERROR PORCENTUAL = | 100 j% = 44%
c) De y = x 
En x = 2
dy = 2x * dx 
dy = 2(2) • (0.4) = 1.6
ERROR RELATIVO APROXIMADO = ~ = ~ = 0.40yo 4
d) ERROR PORCENTUAL APROX = | ^ x 100 j % = 40 %
e) ERROR ABSOLUTO = A y - d y
= 1.76-1.60 = 0.16
DIFERENCIALES
Problema 02. Dada la función y = f(x) = x2 +5x - 8 , hallar AY e cuando x
Ax = 0 .8 -1 = -0.2
2) Ay = (/(x1) - / ( x 0)
= / (0.8)- / (1)
= [ (0.8)2 + 5(0.8) - 8 ] - [ l 2 + 5(1) - 8 ] 
= 0.64 + 4 - 8 - 1 - 5 + 8 = 4 .6 4 -6 
AY = -1.36
Problema 03. Calcular la velocidad media de los siguientes movimientos:
b) S = (2í2 +5£-3)m y ¿pasa de 2 a 3 seg.
varia de x0 = 1 a = 0.8 .
Solución:
1) Ax = x1 - x 0
a) S = (3í2 +5)m y t pasa de 2 a 3 seg.
Solución de a)
1) La velocidad media es
Solución de b)
1) La velocidad media es: 4rA t
2) Pero: A£ = 3 - 2 = 1 
Además: A S = S(3) - S(2) 
AS = 15
donde: A£ = 5 - 2 = 3
Además: AS = S(5)-S(2)
AS = 57
3) Ü = T = 15m/seg
2) ^| = -^ = 19m/seg
Moisés Lázaro C.
2. DIFERENCIALES
Proposición. Sea la función /: I c R -----> R , I es un intervalo abierto.
a) Probar que el diferencial de la función /e n Xq y h e s:
d /(x 0 ; h) = f (x 0)h, lo cual es la aplicación lineal T(h) -m h
[Teslineal, si T{¡\ + ̂ ) = T(h,) + T {^ ) y T(ah) = aT(h)]
, h * 0
, h = 0
Se lee: /(xo) + h/'(xo) es una buena aproximación de / {x 0 +h) en el intervalo
d) Decimos que / es diferenciable en x0 e I sí y solo sí existe el número /'(x 0) tal que
lim l / ( * o +h> ~ h *o )-h /'(*o )| Q 
h - * 0 h
Recordemos la definición de la derivada de una función, y hagamos el gráfico siguien­
te: »
f/vV
1° Sabemos que f\ x0 ) = l̂irn̂ ^ x°~+ĥ , donde h = Ax = x - x0
2o Tenemos que la ecuación de la recta tangente £ T que pasa por el punto 
(x0, / (x0)) con pendiente / ' (x0),es:
AY - f(x0 + h) - f(xQ)
Si h = x - x0
=> X = Xq + h
y - / ( x 0 ) = / '(x o ) ( x - X 0 ) (1)
DIFERENCIALES
< § >
3o Como podemos apreciar, el punto A pertenece a la recta £ T. La primera compo­
nente del punto A es x = x0 + h en consecuencia la segunda componente del pun­
to A se halla sustituyendo x = x0 + h en la ecuación (1), Así obtendremos:
y - / ( * o ) = / ' ( x o ) ( * o + ^ - * 0 )
=> i> -f (xQ) = h f ’(x0)
y = (/(x0) + h/'(xo) = BA (2 )
De este modo las componentes del punto A, son A (x0 + h, f (x0 ) + h / '(x 0).
4o Por otro lado tenemos que: BA = BR + RA
 __ Pero
Donde: RA = BA- BR
Luego: RA = f (x0) + h f { x 0) - f ( x 0)
RA = h f ( x o )
BA = f (x0) + h f { x 0) 
BR = /(x0)
................... (3)
como h = Ax = dx = x - x0 .
/ \
Incremento de x. Diferencial de x.
Entonces la relación (3) se podrá escribir como: RA = f { x 0)h o RA = f ’(x0)dx
Esta ecuación es “el diferencial de la función f(x)
Definición: H diferencial de la fundón /(x) en xq y h es el producto de la de 
de la fundón multiplicado por el diferencial de x.
NOTACIÓN^ 1 d / ( x 0 .*) = /'(xo)h {4}
Que también se escribe así: dy = Y’ ■ dx
Como /'(x0) = m es un nümero real único, pendiente de la recta tangente a /en i 
y h es una variable, entonces la diferencial de /en x0 y h es la aplicación lineal.
T(h) = mh he R
5° Ahora, veamos cómo es la segunda componente del punto P pertenece a la fun­
ción y = /(x ).
(346} Moisés Lázaro C.
Se tiene que: 
BP = BÁ + AP (5) Donde
BP = f (x0 + h)
{ BA = / (x0) + hf'(x0) 
Entonces la ecuación (5) se expresa del modo siguiente:
/(x 0 + h) = f{x0) + hf'(x0) + AP
Donde: AP = f (x0 + h ) - f ( x 0)-h f ' (x0)
(6)
(7)
Dividir por h: /(x° +^ /(Xo)- / ' ( x 0 )
Tomando límites cuando h tiende hacia cero:
lim ^ = 
h->0 h
lim ^ =: 
h- » 0 h
lim
h->0
/ U q .± » - _ / ( « a I _ 1 ¡ m f ( X o )
 J \__________ )
f'(xo) / ' ( x 0 )
lim
h- * 0
A P de ésta igualdad se desprende que el cociente ^ es una función que 
depende de la variable h, a ésta función llamémosla (p(h) de modo que 
se tendrá:
m = - f AP = (p(h) (8)
Hemos probado entonces, que la función <p(h) está cumpliendo dos condiciones:
m ■■ í ; T f ° / ' , ° T , l v - / ' ( * o ) . s¡ i i íQ
[| 0 si h = 0
Lo cual quiére decir que <p{h) es CONTINUA EN 0.
6 o Sustituir (8 )! en (6 ):
/ (x0 4 h ) = f (x 0 ) + h / ' ( x 0 ) + h <p ( h )
=> / (x0 + b ) - / ( x 0 ) = h f f( x 0 ) + h ( p { h )
p r im e r o : Q u e #>(0) = 0 
= 0s e g u n d o : limh -»0
A f = hf'(x0) + h < p ( h ) (9)
DIFERENCIALES
Cuando la función <ph es muy pequeño, puede despreciarse el término h<p(h) en­
tonces la ecuación (9) podría escribirse del siguiente modo:
( 10)
- SE LLAMA DIFERENCIAL DE/.
Lo cual quiere decir que, la expresión h f f(x0) es una buena aproximación al in­
cremento de la función /.
A /
De (10) tenemos entonces: / (x 0 + h ) - / ( x 0) ~ hf'(xo)
/ (x 0 + h ) « / ( x 0) + h /'(x0)
lo cual indica que la expresión / (x0) + h/ '(x 0) es una buena aproximación de:
ordenada del punto A
f ( x0 +h)
ordenada del punto P
Todo lo descrito anteriormente indica que, en el intervalo infinitésimo [x0 , x0 + h] 
la recta tangente £ T es aproximadamente igual a la gráfica de la función/.
Problema 04. Usando diferenciables, calcúlese un valor aproximado de cada uno de 
los siguientes datos:
a) ^123 b) eos 57°
Solución de a) ^¡123 « ?
1) FÓRMULA: / (x 0 + h ) « / ( x 0) + h/ '(x0), donde: <
2) Entonces: /(125-2 )*/(125) + (-2)/'(125)
f(x) = Vx
=* /'(*>=r ir3 V *
x0 + h = 123 
125+ (-2) = 123
4.973
Moisés Lázaro C.
Solución de b) eos 57° « ?
1) FÓRMULA: / (x0 + h) ~ / (x0) + h/'(x 0 ) donde
2) Entonces: cos(60 - 3 )« cos60° + (-3°) (-sen60°)
« 1 + (0.052)4
1 + 0.09 . 0.545
/(x) = cosx 
Xq + h = 57° 
6 0 - 3 = 57
Io -> 0.01745
3o -> x 
x = 0.052
3. RAZÓN DE CAMBIO
1. Sea la fundón y = / (x) se lee ‘ Y es fundón de X". Lo que quiere dedr que “x” e 
la variable independiente e ‘‘Y” es la variable dependiente.
2. Supongamos que x0 cambia en la cantidad Ax .
Es dedr. a la cantidad x0 se le aumenta la cantidad Ax, así habremos obtenidi 
una nueva cantidad que sería x = x0 + Ax <=> Ax = x - x0.
3. Como Y depende de X. entonces la imagen de x0 . que es /(x0) .cambiaré en 1¡ 
cantidad A / = AY . Es decir, a la cantidad /(x0) se le aumentará la cantidad AY 
así ©bténdreríios la cantidad:
DIFERENCIALES
f(x) = f (x o) AY = / ( x ) - / ( x o )
AY = / (x + x0 ) - / ( x 0) 
AY = y - y 0
4. Simplificando lo dicho anteriormente tenemos:
Si: Ax = x - x0 .............................................
Entonces: A y = / (x) - / (x0) ..........................
Dividiendo ( 2 ) entre (T ) , tenemos: 
© Ay _ / ( x ) - / ( x 0 ) Ax x - x0 x - x0 ̂0
- éste cociente se llama: “RAZÓN PROMEDIO 
DE CAMBIO de Y CON RESPECTO a X ”.
©
5. Si al cociente que tenemos en 3, le sacamos límite cuando el incremento de x, o 
sea Ax , tiende acercarse a CERO, entonces obtenemos: “La derivada de y con
respecto a x en el punto x0
Es decir: lim 4 ¿ = lim 1 ÍA M M = / ' (Xo)
A x ^ 0 A x x - » x 0 x-x 0
- Se lee “La derivada de / con 
respecto a x en el punto x 0
Donde el valor /'(x 0) = ^ Se llama RAZÓ N DE C A M B IO (instantá- 
x = x0 neo] de y con respecto a x en x0 .
6 . Si “La variable Y es fundón de la variable xn y las dos , tanto x como y, son a sí 
vez “funciones que dependan de ia variable t que sea el tiempo, entonces, obtert 
dremos la función compuesta y = f (x (t) ) .
Ahora, derivar con respecto a t aplicando la regia de la cadena:
dp
rét ' ¿3L
dt
Moisés Lázaro C.
3.1. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Problema 05. En un cierto instante t0 , la longitud de un lado de un cuadrado es de
20,32 cm. y cada lado del cuadrado está aumentando en longitud a 
razón de 0,508 cm/min. ¿Cuál de la razón de cambio del área del 
cuadrado con respecto al tiempo y con respecto a la longitud de un 
lado en el instante í0 ?
Solución: A = L AREA DEL CUADRADO
datos "S
L = 20,32cm
lado del cuadrado aumenta en longitud a
d trazón de 0,508 cm/min =
Se pide hallar:
RAZON DE CAMBIO DEL AREA DEL CUADRADO CON RESPECTO AL TIEMPO =
dA
dt
RAZON DE CAMBIO DEL AREA DEL CUADRADO CON RESPECTO A LA LONGITUD DE UN LADO
dA
dt
1. Pero: L
se lee: A es función de L a L es función de t.
Entonces: dA dA d t dt dL dt
L es la razón de cambio del área del cuadrado con respecto al tiempo
2. Corno: A = L => dAdL = 2 L ©
DIFERENCIALES
< § >
3. Sustituir (2*) en (1*):
d A q r dL
dA
dt = 2 (20,32 cm) (0,508 cm/min) 4 rr = 20,65 cm2 / mindt ’
4. # = 2LdL
dA
dL 2(20.32cm) => - 40.64 cmdL
Problema 06. La ley del movimiento de un punto sobre el eje x es x = 3 t - t 
Hallar la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes 
tQ = 0 , ti = 1 y í2 - 2 (x se da en centímetros, t en segundos).
Solución:
d x1) Se pide calcular = velocidad del movimiento del punto.
Q
2) Como x = 3 t - t , entonces 4t- = 3 - 3í2at
Problema 07. Un voltaje constante de 12 voltios es lo que se suministra a un circui­
to. Si a medida que el circuito se calienta aumenta su resistencia a 
razón de 0 . 1 ohmio/seg, encuéntrese la razón de cambio de la co­
rriente cuando la resistencia es de 4 ohms.
Use la ley de Ohm. E = R I
Solución:
Datos: De la fórmula £ = ! ? • / , despejamos /: 
E = 12 voltios
^
< § >
Moisés Lázaro C.
— = 0 . 1 ohm/seg ̂=
R = 4 ohm . De donde obtenemos: ^ = E |
di _ J L . . dR
dt ~ R2 dt
Luego: v°lt'̂ - (0 . 1 Ohm/seg) = - (0.1 ohm/seg)
ut {4 ohm) 16ohm
S = (-0-75) (0.1) «fe/seg
■jj- = -(0.075 amp/seg)
Problema 08. Un depósito en forma de un cono invertido, tiene una altura de 10 
metros y una base de 10 mts. de diámetro. Si el depósito está llenán-
o
dose a razón de 2 m /seg?A qué velocidad se está elevando el nivel 
del agua cuando el nivel se encuentra a 3 metros de la parte superior 
del depósito ?
Solución:
o
DIFERENCIALES
El triángulo OSR es semejante al triángulo OTQ, entonces:
j l - J l 
5 10
r-ÉÍL-'-A 
1 10 2
Sustituir ( 3 ) en ( 2 ) :
v = i 2 ) 2/i
i dü 1 / o í 2 \ d hLuego: _ = ̂ ( 3 h )—
' d t
1 1 , 2 dh
i ' 1 *
©
©
sustituyendo los datos: 2m3 /seg = (7m)2 ^ => 8 m3 / seg = 49¿rm2 ^
=> l£ = -k rn/se2 = ÉÍLdt = 0,0519 » 0.052 m/seg
Problema 09. De un recipiente cónico de 3 metros de radio y 10 de profundidad
q
sale agua a razón de 4m /minuto . Hallar la variación con respecto 
al tiempo, de la altura de la superficie libre y del radio de ésta cuan­
do la profundidad del agua es de 6 metros.
^ = 4m 3/min, donde V = volumen del cono QTS
dh
dt
= ?
dr _ p 
~ d t ~ '
r = 3mts 
h = 6 mis
1) V = ± x r 2 h
Moisés Lázaro C.
2) El triángulo QRS es semejante al trián­
gulo QOP: 7 = x
3) r = ± h .
4) Sustituir (3) en (1)
v = M i hhf h
V = -^Trfth3 , donde v ^ h->t
d v 3 / o u 2 \^ = - 4 ^ ( 3 h ) wd h
1 0
5) d u _ 9 n h2 —dt " 102 1 dt
6 ) Pero: h = 6 m y^- = 4m3/min
7) Sustituir 6 en 5
4 m /min = (6 m )
1 0 * d i
4m3/ m i n = ^ ( 3 6 m 2) ^
10
d h _ 102 (4m3 /min)= ^Q_m/min
d i 9 ;r (3 6 m
8 ) De (2) despejar la variable h
9) Sustituir: h = ^ -r en 1:
r2 1 0, 
r 3 1
10) 1 0 _ r 2 dr d t 3 n dt
11) De:
se tiene: r
r = , si h = 6
3 ( 6 ) 9
10 5 (12)
13) Sustituir (12) en (10): 
4m3/min = f
d r _ 3 ( 2 5 ) ( 4 m 3 /m in ) _
d i 10;r (81m 2171 m/min
Problema 10. Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150 metros. Sa­
biendo que la cometa se aleja del muchacho a una velocidad de 2 0 
metros por segundo, hallar la velocidad a la que suelta el hilo cuan­
do la cometa se encuentra a una distancia de 250 metros del mu­
chacho.
Solución:
h = 150 mts 
i = 250 mts
150
^ = 2 0 m/seg
dt rj
~dt = ’
X
DIFERENCIALES
1) Por teorema de Pitágoras, se tiene x = ^ £2 -150 2
2) Derivar “x” y con respecto a “í” :
d x _ 2í
d t 2 - j l 2 - 1 5 0 2 dt
dx _ i d i
¿ e 2 ' i s o 2
3) Sustituir datos: 20 m/seg = --r= = 2̂ Qm : ^
\ j (2 5 0 m )2 - (150m )
2 m/sea =£& — ¿in /seg 20Q dt
d i _ 2 0 ^OfTí/seg ) _ _ —
= 16 m/seg
Problema 11. Si Bq es la longitud de un alambre de cobre a 0o centígrados la lon­
gitud í(T) , aT grados centígrados es aproximadamente.
e(T) = /0(l + aT + bT2)
donde a = 0.16 x 10” 4 y b = 0.10 x 10~ 7 . Encuéntrese la razón de cambio de la lon­
gitud del alambre con respecto a la temperatura cuando T = 2 2 °C y iQ = lOOcm .
Datos: t{T) = l0(l+aT+bT2) ............................... ®
@ Déla ecuación (T), obtenemos:
§ = £0 (a + 2bT)
Moisés Lázaro C.
Sustituyendo los datos, se tendrá:
= 100 cm (0.16 x 1 (T4 +2 x 0 . 1 0 x 1 (T7 x 22°C)
= 16 x 1 0 " 4 + 2 x 0 . 1 0 x 10 5 x 22°C 
= 16 x 10- 4 + 44 x 10~ 6 
- 10_2(16 x 1CT2 + 44 x 10“ 4 
= 10“2(0.16 + 0.0044)
4? = 0.1644 xlO“2 cm/°Ca 1
Problema 12. Una plancha circular está siendo calentada y su diámetro está expo- 
niéndose a razón de 0.02 x 10 cm/seg. Encuéntrese la razón de 
cambio respecto al tiempo del área cuando el diámetro es de 3 cm.
Datos:
1) Si el diámetro es D entonces tenemos ^ = 0.02 x 10- 2 cm/seg y si el radio es R, 
entonces tendremos: = 0 02 — = 0 . 0 1 x 1 0 ~ 2 cm/seg
2) Hallar: = ?, siendo A = ttR 2 el área del circulo de radio R .
3) D = 3cm y R = cm .
4) De la fórmula A = x R 2 , obtenemos:
dA _ _ o d dR
dt - 2n (3/2cm) (0.01 x 10 ;rcm/seg
-y -= 0.03x10 2 ;rcm2/seg 
= 3 7r x 10~4 cm2/seg
3(3.1416)10 cm /seg
dtdA = 9.43 x 10 4cm/seg
DIFERENCIALES
< § >
También se puede resolver del modo siguiente:
Si A = ttR ¿
A = ,r ( § ) 2 
A = f D 2
dA _ 7t_n r\ dD 
dt ~ dt
dA 
dt
D = diámetro 
R = radio
dA
dt
nD dR 
2 dt
= ^-(3cm)(0.02 x 10 z cm/seg) = 3 x 10 4 ;rcm/seg
Problema 13. Un objeto de 5 metros de altura se encuentra justamente debajo de 
un foco de luz de la calle situado a 20 m. de altura. Suponiendo que 
el objeto se mueva a una velocidad de 4 m/seg Calcular:
a) La velocidad del extremo de la sombra.
b) La variación de la longitud de la sombra en la unidad de tiempo.
La velocidad que se mueve el objeto es: V = 4 m/seg.
dxa) calcular - ¡ j : velocidad del extremo de la sombra.
d íb) : variación de la longitud de la sombra en la 
*s unidad de tiempo.
Datos:
P
K
20 r
5
—- V = 3 m/seg.
e = v . t ¿ = x - v . t
(T ) El triángulo SRT es semejante al
triángulo SQP, luego:
x - v t _ 5 _ 1 
x 20 4
=> 4(x-uf) = x
=> 4 x - 4 v- t = x 
4 x - x = 4 vt 
3x = 4 ut
x = -I v.t ^ = i ¡ j dt 3 V
como u = 4m/seg => ^ = -|-{4m/seg)
=> ^T = f ]mlseQ
(3 ) Como: i = x - v t
(4) Sustituir (2 ) en ©
£ = -| v t - v t =-^vt
d£ 1 
~dt = 3 V
Pero: v = 4 m/seg
:^(4m/seg)d£dt
í = Í ( 4 m/seg)
< § >
Moisés Lázaro C.
Problema 14. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con 
vértice hacia abajo. Su altura es de 10u y el radio de la base 15u . El
Q
agua sale por el fondo de modo constante a razón de lu /seg . Se
o
vierte agua en el depósito a razón de cu /seg . Calcular c de modo 
que el nivel del agua asciende a razón de 4u/seg , en el instante en 
el que el agua alcance la altura de 2 u .
Solución:
Si: h = 2u
©
©
^ = 4u/seg 
h = 2u
\J = \nr2h 
j~ = Jl =>
15 10 ^ r = — h ' 10 "
2 " ©
Sustituir (3 ) en (T):
ü = 3 ^ ( 2 h ) 2h
v = \ n ( l h2 )h
v =-| 7rh3
áv_
dt
= -f ;r3h2^-. Pero -^ = ( c - l ) u 3/seg
dt
( c - l ) u 3/seg = |;rh2^
( c - l ) u /seg
{c -1} = 36 ti
4u2 —4 seg
c = 1 + 36 n
Problema 15. Un trozo de madera de 12 dm. de largo tiene la forma de un tronco 
de cono circular recto de diámetro 4dm y (a + h)dm en sus bases, 
donde h > 0 . Determinar en función de h el volumen del mayor cilin­
dro circular recto que se puede cortar de este trozo de madera, de 
manera que su eje coincida con el tronco de cono.
Solución:
DIFERENCIALES
< § >
A) Triángulo APQ semejante al TRIÁNGULO 
ABC.
Luego:
1 2 - y 2 x _ 1 2 - y
1 2 "7T— 12~~
24x = (12-y)h 
24x = 12 h - y h 
yh = 1 2h -2 4 x
y =
1 2 (h - 2 x)
©
B) Volumen del cilindro interior: 
v = n ( 2 + x)2y ..................
C) Sustituir (T ) en (¡2):
(Q , v2 T I 2 (h -2 x ) 1y = ;r (2 + x ) L - S i — J
u = ^ ( 2 + x)2 ( /?- 2 x)
¿ = ^ [ 2 ( 2 + x)(h- 2 x) + ( 2 + x )2 (—2 )] 
= l|íL.2 ( 2 + x ) [ h - 2 x - 2 - x ]
du _ 24;r 
dx h (2 + x ) { h -3 x -2 )
Haciendo: ^ = 0, obtenemos:
X = -2 V X : h-2
Analizando:
a) x - - 2 no puede ser.
b) Lo único que puede ser es: 
x = -Sp siendo x > 0
i) Si: x = 0 => -^-^ = 0 => h = 2
Si: h = 2 y = 1 2
Luego: V = w(2 + 0r(12) = 48>r
ii) x = > 0 , el volumen será:
V = 1 2 £ [ 2 + Í i £ ] [ í . - 2 ( i ^ )
12 * (4 + h)¿ {h + 4)
= ̂ ( 4 + h f
(360) Moisés Lázaro C.
Problema 16.
Solución:Un triángulo rectángulo variable abe en el plano xy tiene su ángulo 
recto en el vértice B, un vértice A fijo en el origen, y el tercer vértice C
sobre la parábola y = 1 + -^ x 2 . El vértice B parte del punto (0,1) en
el tiempo t - 0 y se desplaza hacia arriba siguiendo el eje y a una ve­
locidad constante de 2cm/seg . ¿Con que rapidez crece el área del
triángulo cuando t = i segundos?
y = i + £ * 2
^ = 2 cm/seg
t = ^seg
Se pide:
2
d A
dt t = 4r
1. El área del triángulo rectángulo ABC 
es :A = f .
2. De: ^ = 2cm/seg se deduce:
dy = 2 ^-.cfey seg
=> y = 2 í + /c
3. Como el vértice B parte del punto 
(0 ,1 ) en el tiempo t = 0 , entonces.
(5 ) ........ y = 2í + l , V t> 0 .
Igualando las ecuaciones (7) y (O) 
obtenemos:
2 ¿ + l = l + ^ x 2 
3 6
=> X 2 = - y - ( 2 t )
■ejIsTt (ni)
5. Sustituir (III) y (II) en 1.
A = 2 [ 6 ^ V í l ( 2 í + 1)
A = 3 i j z Jt (2t + 1) luego:
4 r = 3 i / f [ i 7 7 < 2 < + 1 > + ^ - 2
_ q ¡ 1 1” 2t + 1 + ‘
" 2 Vi
= 3 #
6 t + 1
2j i
Si: t = , obtenemos:
dA
di
6 ( 7 / 2 ) + 1 
2s¡7/2
= cm/seg
DIFERENCIALES
Problema 17. Un tanque de agua cónico con vértice hacia abajo, tiene una altura de 
5 metros y un radio de 1.50 m . Si la altura del agua en el tanque está 
disminuyendo a razón de 30cm/hr. Encuéntrese la razón a la que el 
volumen de agua decrece cuando la altura es de 2.40 metros.
Solución:
= 30cm/h = 0.30mts/h
©
dh
~dt
dv_
dt
v = í Bh
v=±7rR2h
Si h - 2.40mts
V = volumen del cono OAS 
B = Area de la Base. 
h = altura del cono OAS.
El triángulo OTS es semejante al triángulo OPQ, entonces se puede establecer la si­
guiente proporcionalidad:
R
1.50
R = 1M h
R = 0.30 h
PROBLEMAS
 Moisés Lázaro C.
1. Una escalera de 10 m. de largo está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la 
escalera resbala alejándose de la pared a razón de 2m/seg. ¿Con qué rapidez desciende el 
extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 8 metros del piso?
Rpta.: —| m/seg
2. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 16 dm3/min. ¿Si la presión se mantiene cons­
tante, cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el diámetro mide 80 cm?
Rpta.: - f - dm/min4 7T
3. Una avioneta vuela con velocidad constante de 500 km/h y con una inclinación de 45° 
hacia arriba. Hallar la rapidez de cambio de distancia de la avioneta a una torre de control 
en tierra, un minuto después de que éste pasó directamente a 3 km. arriba de ella (no consi­
derar la altura de la torre).
Rpta.: 353.6 mi/h
4 . Al conectarse dos resistencias y í?2 en paralelo, la resistencia total es . Si
f?! y í?2 aumentan a razón de 0.01 Q/s y 0.02í2/s respectivamente ¿a razón de cuántos 
ohms por segundo varia R en el momento en que R1 = 30 Q y R2 = 90 Q?
Rpta.: 11/1600 Q/s
5 . Un tanque esférico de agua de radio a contiene este líquido con una profundidad h y el vo­
lumen del agua en el tanque está dado por v = ~ 7rh2 {3a - h). Suponga que un tanque esfé­
rico de 5m de radio se está llenando a razón de 400 L/min. Calcular a razón de cuántos 
metros por segundo se eleva el nivel del agua cuando h = 1.25 m .
Rpta.: 13.37/112;r = 0.38 pie/min
o
6 . El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4cm /min . Calcule la rapidez de
variación de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 
200cm2.
Rpta.: -0 .2 1 5 cm/min
7. Se lanza una piedra a una laguna y produce ondas circulares cuyos radios crecen a razón de
0.5 m/s . ¿A razón de cuántos metros por segundo aumenta el perímetro de una onda 
cuando su radio mide 4m.
Rpta.: xm/s
8. Un vaso de cartón con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 15 cm. de 
altura y radios 2 cm y 4 cm, respectivamente. El agua se fuga del vaso a razón del00m3/h. 
¿A razón de cuántos cm. por hora disminuye la profundidad del agua cuando es de 10 cm.?
Rpta.: -27/(25tc)
LA DERIVADA DE LA
FUNCION INVERSA
1. TEOREMAS RELATIVOS A FUNCIONES INVERSAS
Teorema 24. Si fes una función CRECIENTE sobre /entonces:
2) /* , también es CRECIENTE sobre / (/ ).
Prueba de 1)
Para afirmar que la función / tiene inversa sobre / ( / ) , bastará probar que fes inyectiva.
Definición 1: / es inyectiva, si y sólo si, f(x{) = / (x2) => x̂_ = x2 ; V xj , x2 e I
La prueba se hace por contradicción: [~q => ~ p] <=> [p => q]
Donde: ~q : Xj ^ x2
~ p : / ( X i ) ^ / ( x 2) c=> /(Xi) < / ( x 2) v /(Xi) > f ( x 2)
Veamos:
1. Supongamos: ~ q : x-l ̂x2 <=> Xj < x2 v x2 < xx
2. Si: x-̂ < x2 y / es CRECIENTE sobre / => f (x1) < f { x 2)
Acabamos de probar que ~q => ~p , lo que es equivalente haber probado p => q .
1) /tiene inversa sobre / ( / ) . Donde
/ * es la inversa de /
/ (/) = Rang(/)
p
3. Si: x2 <Xj y / es CRECIENTE sobre / => /(x 2 )< / ( x 1)
~ p
______________________________Moisés Lázaro C.
4. Luego / es inyectiva sobre / y por tanto / tiene inversa.
Prueba de 2)
Si /* es CRECIENTE sobre / ( / ) , debo probar: Si < V2 ^ < /*(V 2 )
V y 1 )y2 e/(J) = Rang(/) ñ^) < ^ 2)
v----------v----------, v----------y----------✓
Esta demostración se hace por contradicción: p q
í ~q : x1 > x 2
[q => ~p <=> [p => q ], donde
[ ~P : / (X i )> / (X 2 )
Veamos:
1. Supongamos ~p : > x2 c=> Xj = x2 v x±> x2
2. Si xx = x 2 =>/ (xx) = / ( x 2) contradice a p: /(x 1 ) < / ( x 2)
3. Si x2 <X2 y como/ es CRECIENTE: => / (x 2 ) < / ( x 1) contadice a “p” .
4. Por tanto , debe cumplirse: p => q , lo cual prueba que /* es
yi<V2 /%i)</*(/2 )
creciente Vy 1 ?y2 <e /(/).
1. / tiene inversa sobre / ( / ) .
2 . / * , también, es decreciente sobre / ( / ) . Donde J* és la inversa d é/,
/ ( / ) = Rang(/) /: / — ► /( / ) = Rang(/)
2. DOS TEOREMAS RELATIVOS A LA CONTINUIDAD DE LA INVER- 
SADE LA FUNCIÓN/, CUANDO/ES CONTINUA
Teorema 26. Sea / una función estrictamente creciente y continua en el intervalo 
cerrado [a, fc>]. Sean r = f(a), s = f(b) y /* la inversa de / sobre 
Rango (/), entonces:
1 . /* es estrictamente creciente sobre f([a,b]).Es decir, se cumple: 
Si Vi < y2 => / * ( y i ) < / * ( y 2)» y2 e / ( [a -b ] )
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
2 . f ( [ a M = i m j ( b ) ] = [r,s]
3. /* es continua sobre [r,s ] = / ([a, b ])
Demostración:
1. Está probado en el teorema 16.
2. 1. Como / es continua en [a,b], entonces /([a,b]) = { / (x ) /xe [a ,b ]} es la ima­
gen de [a,b] .
2. Como / es estrictamente creciente, entonces f([a,b]) también es un intervalo 
que tendrá un mínimo y un máximo en [a,b].
3. Supongamos que /([a,b]) = [ / (x 0 )>/(xi)] para algún x0 , x 1 e[a,b]
i , f / ( x 0 ) = m i n { / ( x ) : x G [ a , b ] }donde: <
[ / ( x 1 ) = m a x { / ( x ) : x e [ a , b ] }
p_________________ q___________
Siendo así: V x e [ a ,b ] => / (x0) < f(x±) < f(b)
Debo probar que x0 = a y que x1 =b
4. Como x1 e[o,bl , supongamos que X! < 6 - / ( * l ) < / ( fc) -- time^wfenie)
t Contradice a “q”.5. Por tanto, no es x1 < b , si no: x-l > b 1
l esto implica que Xj = b Pues f ) es
6 . A su vez, como x1 ,g [a , b] => x-l < b J
(f es estrictamente
7. Como x0 e [a , b ] , suponer que a a < x0 = > / (a) < / (x0) ...... creciente)
| Contradice a “q” , pues
8 . Por tanto, no debe ser a < x0 , sino: a > x0l /(Xq) es mínimo
> implica que a = x0
9. Como x0 e[a,b] => a < x 0 J
3. Debo probar dos cosas:
A) Que/* es continua sobre el intervalo abierto ( f (a ) , / (b)>
B) Que lim /*(y) = a a lim /*(y) = b
y-*/{a)+ y->/(*>)“
A) 1. Sea y0 e</(a),/(b)> => 3x0 e (a , b) , tal que, y0 = / (x0 )
2. Dado £ > 0, construimos la vencidad: x0 - s < x0 < x0 + e , de modo que
Xq — £ y Xq h- £ pertenezcan al intervalo (a , b)
3. Escoger S = min{/(x0 ) - / ( x 0 - £ ) , f ( xQ + £ ) - f ( x 0)}
4. Si: y e (y0 - c>, y0 + ¿’ ) c (/(a), /(b)) => /(x0 - e) < y0 - £ < y < y0 + ¿> < /(x0 + £■)
♦ 4,
/(x0) /(x0)
=> /(x 0 - £ ) < y < / ( x 0 +e)
5. Aplicar/* => / * ( / ( x 0 - e) < /*(y) < / * ( / ( x 0 +
=> x0 - s < / * (y) < x0 + £•
=> ~£<f* (y )~Xo < £ ’ X0 = / * (y 0)
=> l /* (y )- /* (yo)l < v I y - Po I< s
Así, resulta que /* es continua sobre <(a),/(b))
B) Queda como ejercicio. Por tanto /* es continua sobre ((a), f (b))
Teorema 27. Sea / una función estrictamente decreciente y continua en [a , b] y 
f* su inversa, entonces: y
1 ) f* es estrictamente decreciente sobre rango (/)
2) f ( [a ,b]) = [f(b),f(a)]
3) /* es continua sobre [ / (b), /(a)]
la demostración queda 
como ejercicio:
Moisés Lázaro C.______________________________
3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
En el capítulo 1, demostramos el Teorema 10: 
“Si g[x) es derivable en x0 y f e s derivable en g{x0), entonces f ° g es derivable* 
Para obtener la derivada de la inversa de una función aplicamos el teorema 10. A cc 
tinuación estudiemos el teorema de la función inversa.
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA 0
DEMOSTRACION
implica que g(y) -» g(b) esto es x ^ q
Debo probar: gf (b ) = 
Veamos:
/ ( g ( y ) ) - / ( g ( b )
y^b g(y)-g(b)
1. Si g es la inversa de / , se cumplen: 
/ ( s ( y ) ) = y y , s ( / M ) = x
2. Si / es derivable en a e I , entonces / 
es continua en a.
3. Si g es continua en b, entonces:
lim g(y) = g(b) = a . Pues b = f{a)
y -> b
implica g(b) = a , porque / y g son in­
versas.
4. Si y e J - { a } , entonces g(y)^a 
Luego:
S ' ( b ) = lim fl(V>-g(b) , donde ÍS<b) = a
y -» b 
= lim
y-b
s(y)~
y = /(s(v)) 
. 9 { y ) * a
l i m W 2)fJ.!£l f’ia) 
s(v) - a
Pues g(y) = x , además, cuando y b
5. Con este resultado afirmamos que 
g'(b) exi
m * 0 .
(«=)
g'(b) existe y g ’ (b) = j cuando
Se sabe que: (g ° f)(x) = I(x) , I(x) = x 
g(f(x)) = x 
Derivar: g'(f(x))f'(x) = 1
Si existe g'{b), para x = a , obtenemos: 
S '( /(a )) /'(a ) = 1 , f(a) = b 
g'{b)f'(a) = 1 => g'(b) = j±J
Moisés Lázaro C.
Ejemplo: Sea la fundón / : [0 ,+oo) » [0 ,+oo) biyectiva. Si /* es
x -----> y = (x) = T-x2 su inversa, hallar [/*(x)]' si existe.
Soludón: Se tiene: [ /* (x)]' = , si f ’(x) * 0, x = / * ( y ) . Como / ' (x) = ^x
y x = / * (y ) = 2 J y , entonces [/* (x)]' = A- , siempre que y ̂0 , esto es x * 0 .
vv
ILUSTRACIÓN GRÁFICA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA /*(y) = 2 ^ y , y e <0,+oo)
Hallar la derivada de / * (y) en y = -j
1
/'(a)Se pide: / * ( i )
Debemos hallar: a y f ' (x) :
1 ) D e / ( x ) = l x 2 => f'(x) = ± x
2 ) / (a) = 1 , porque a = /*(•!-)
= 4 a = l
3) Luego, / ' (1) = i ( l ) = -|. Por tanto: = i = 2
4) Si /'(l) = tg cr a ) = tg/?, entonces / (1) = 1 se puede escribir co-
mo tg ¡3 • tg a = 1, lo cual prueba que a + /? = -1-; esto es, ay /?son complementarios.
En general si / * (x ) es la inversa de /(x), donde y0 = / ( x 0) y / * ( y o ) “ xo
Tenemos: tg 0 - /'(x0)
tga = (P)'{y0) = (/^ (/(x 0)) 
si a - ^ - 0
En ambos casos: ;
1) tgcr = tg ̂ - 0 ̂ = cotg 0
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
= t g ( ; r + f - 0 )
= cotg 9
Como: tqa = cotg# t9 a = ¿ :
i
f(/*íy0)) * 0 = / * ( y 0)
DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS QUE PROVIENEN DE FUNCIONES CRECIENTES 0 DECRECIENTES.
Proposición: Si la función /: I e l? -----» i? es creciente sobre /. entonces / tiene
inversa. Si / es decreciente sobre /. también tiene inversa.
Teorema 29. Sea f una función diferendabie sobre un intervalo / tal que f ( x ) > 0, 
V x e l , entonces la fundón f * es diferendabie sobre el intervalo 
/( /), y además: V x € /{/): y0 = / (% ) , x0 = / *(yo)
 ̂ donde x0 = / * (y0)
Demostración:
1) Como: /'(x) > 0, V x g / = > / ( x ) es creciente en V x e I .
2) Si: /(x) es creciente, lo es también / * , V x e / ( / ) .
3) Sea: y0 = / ( x 0) <=> x0 = / * ( y 0).
4) Recordar las definiciones •
[ / * ] ' ( y 0 ) = ,lim /*(y0 +h)-/»(y0) h- > 0 h
f ’ ( X o ) = iim /( * o + ^ ,.- ,/(*o,,),
/c > 0 *
Debo probar: lim
h^O
Veamos:
/ *(y0 + b ) - / * ( y 0 )
h
1
lim
k ->0
f ( x a + h ) - f (xQ)
5) Definimos: K = / * (y0 + h) - / * (y0), donde
f*(yo + h) = f*(vo)
f * (VO + = K + Xq <“
Si: h = 0 => k = 0 
Si: h ̂ 0 => k & 0
y0 + h = f(k + x0)
h = /(K + x0 ) - y 0
Definición de 
inversa de /.
h = f (K + x0) - f ( x 0)
Moisés Lázaro C.
6 ) Pero: lim
o
. lim /*<yo+ft>-/*(yo>= ü m i Pero í h - /(fc + x° ) - / ( x o )
h r ^ + v - r w ’ ! / * ( % + >» ) - /* (%) = *
= ,1¡mn^ = J‘mn 7ÍKT7W T/c -> 0 Je — > 0 O O 1
-L
lim
Je -> 0
[/*]'(yo) = 7 (^y. Pues: h - > 0 <=> k - > 0
Que también denotamos por: D /* (y0 ) = yf(*o)
NOTA: 1) Otra forma de denotar [ / *] es D f * , de modo que:
sobre / ( / ) f (I)D f* = — i__W / w *
2) El teorema 25 se cumple también, cuando f r(x) < 0 , V x e /
Problema 1. Hallar D/*(2) para /(x) = x 2 - 2 x - 6 , Dom(f) = [ - 3 / 2 ,+qo) 
Solución:
1) Fórmula: D /* (y 0) = y 0 = / ( x 0)
Debo hallar: x0 e [ - 3/2 , + oo), conociendo y0 = 0 
Veamos:
2 ) como: y0 = / ( x 0)
LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
3) Como: x0 = 4 , todo lo que habrá de hallar es: D/(x) y D/(4) 
Veamos: si / (x) = x 2 - 2x - 6
D/(x) = 2 x - 2 => D/(4) = 2(4 )-2 = 6
4) Portante: D /* ( 2 ) = ~
Problema 2. Dado: / (x ) 
Solución:
, Dom(/) = [0, +C30) - {2 } ; Hallar: D /* (3 /5 ) .
x - 4
1) Fórmula: D/*(y0 ) = y, donde y0 = / (x0 )
En primer lugar debo hallar x0 sabiendo que y0 = j
2) Como: y0 = / ( x 0)
3 _ *o
5 x 02 - 4
=> 3xq -12 = 5x,o
3xg - 5x0 -12 = 0 (3x0 + 4) (xq - 3)
3x0
*o
+ 4 
-3
3) Como x0 = 3, ahora hallamos: D/(x) y D / ( 3).
. . , .■=* £ / ( * ) - ........P 74F.. :.. - W T y,
Problema 3. Dada la función / (x ) = x¿ - 2 x + 2 x - 1 X * 1
x0 = 3 e Dom (/) 
x0 = - | í Dom(/)
a) Hallar los intervalos sobre los cuales /(x) tiene inversa continua b
b) Hallar el valor de D/ * (■| )
Moisés Lázaro C.
Solución de a)
1) En primer lugar, tenemos que /(x) es continua en ( - 00, - 1 ) u ( 1 ,+qo) .
2) En segundo lugar, hallemos los intervalos sobre los cuales tiene inversa.
a) f > 0
Esto se logra resolviendo las inecuaciones
b) / '< 0
3) Hallemos f ' (x) =(x -1 ) (2x - 2) - (x - 2x + 2) (1)
(x - 1 ) 2
x (x - 2)
2 +
(x - l f
=> x ( x - 2 ) > 0
x * l
=> x e ( -oo , 0 ) u <2 ,+0 0)
=> x ( x - 2 ) < 0
x * 1 
=> x e { 0 , 2 ) - l
<=> x e < 0 , 1 ) u <1 , 2 )
4) Afirmamos:
/) Si / ' > 0 , V xe ( - co ,0 ) u <2,+oo), entonces /(x) es creciente en 
V x e ( - o o , 0 ) u <2, + oo), por tanto /(x) tiene inversa /* continua sobre 
/ « - o o , 0 ) u ( 2 , + c o ) ) = < - o o , - 2 ) u < 2 , + c o ) .
Donde: <-oo,- 2 ) u <2 ,+w>
/ « - ° o , 0 >u< 2 ,+oo>) = ^ lim /(x) , lim f(x)\\u( lim f(x) , lim /(x)\
x -> 0 / \x ->2+
ii) Si / ' < 0 , V x e (0,1) u (1,2), entonces /(x) es decreciente en
V x e (0,1) u (1,2) por tanto / (x) tiene inverso /* continua sobre:
/ ( ( 0 , 1 ) u ( 1 , 2 ) ) = ( - o o , - 2 ) u ( 2 , + o o >
Donde:
/ ( ( 0 , l ) u ( l , 2 )) = / lim /(x) , lim / ( x ) \ u / lim f(x) , lim f(x)
\x - + r x -> 0+ / \x-+2~ x ~>1+
= ( - 00, - 2 ) U (2 ,4-oo)
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
< § >
Solución de b)
5/2
2) Como: y0 = / (x0)
5 = Xq - 2Xq + 2
2 Xq - 1
=> 5x0 - 5 = 2xq - 4 x 0 + 4 
0 = 2 xq — 9xq + 9
x0 = 3 e ( - 0 0 , 0) u (2, oo)
(2x0 - 3 ) ( x 0 -3 ) = 0 < C^ ^ x 0 =3 /2e<oo , l ) u <1 , 2 )
Como /* existe sólo cuando / es inyectiva, entonces a cada y0 le debe corres­
ponder un solo x0 .
i) Para el caso en que /(x) e$ CRECIENTE sobre <-oo,0) u (2,oo) se tiene que a 
y0 = -•, le corresponde sólo x0 = 3 e (-co,0) u <2 ,oo) .
Por tanto:
ii) Para el caso en que /(x) es decreciente sobre (0, l>u(l ,2) se tiene que a 
yo = j le corresponde sólo x0 = e < 0 , 1 ) u <1 , 2 )
- 1-1 
1 3
4
Por tanto:
Moisés Lázaro C.
NOTA: De: y = x2 - 2 x + 2 _ , y ± > /y 2 - 41 ̂ -X ' OX — 1
1 + y ± ^ 2 i
/*(y) = l + ̂ ^ - i > x = / *(v)e <0 , 1 ) u ( 1 , 2 )
/*(y) - 1 + ^ ~ 2 — “ ’ x = / * ( y ) e < - » , 0 ) u <3, oo)
4. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
(T) DERIVADA DEL ARCO SENO: D>aresenx = r
Sea
y = /(x) = s e n x , x e [ - - | , -§] 
/*(y) = x = arcseny , y e [ - l , l ]
Se sabe que: D/ * (y ) =
Si f[x) = senx, x e [ - ^ , - | ] 
=>D/(x) = c osx
z) si cos x = 0 X = + — X _ 2
z'z) si cosx > 0 => x e | - - | , - | )
/ ( x ) e / ( ( - f , f ) ) 
y e < - l , l >
zz'z) Como: cosx >0 => —L > 0' cosx
> 0
D are sen y =_ i
sen2 x
D are sen y = - t= ¿ = , y e ( - 1 , 1 )
Por tanto:
Dv are sen x = -==L= , V x e ( - l , l )
La función sen x es creciente en ̂ ^
La función arcsen y es creciente en ( - 1 , 1 )
LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
DERIVADA DEL ARCO COSENO: Dxare eos x = ?
íy = / (x )=cosx , x e [ 0 ,;r]
Sea:
/*(y) = x = arccosy , y e [ - 1 , 1 ]
Pero: /{x) = cosx, x e[0,jr]
y D f ( x ) - - senx 
¡) si: -senx = 0 <=> x = 0 , / T 
ii) - s e n x < 0 , Vxe<0,^r)
Se sabe: D/(y) = ^ L _
Darccosy = —±— <0 , V x e ( 0 , j )* - senx ’ \ > /
-F -
T i
, y e < - 1 , 1 >
Por tanto:
D^arccos x =
l-X
, x e ( - 1 , 1 )
Ejemplos:
® Dado f(x) = are sen ̂ l - x 2 , |x| < 1, hallar Dxf .
Solución:
Dx f (x) = —
l-X* |x| >/1 — X
, para 0 < |x| < 1
4 - x 
l + x 2
f¡J| Dado / (x ) = árceos
a) Hallar el dominio de /(x).
b) Hallar los extremos de /(x)
c) Bosquejar la gráfica de / (x)
Solución:
a) Dom(/) = j x e m j 
Resolver la desigualdad:
Moisés Lázaro C.
4 - x 2
1 + x > - 1 A
4-x
1 + x2
+ 1>0
4 - x 
1 + x2
4 -x 2 
1 + x2
<1
- 1<0
1 + X ■ > 0 A 1 + X < 0
x e ’ _ u ’, + 0 0
b) / ' ( x ) = ~
(1 + x2 ) ( -2 x ) - (4 - x2 )(2x ) 
(1+x2 )2
4 -x2 y 
1+x2 J
lOx v 2
^ 5 ( 2 x 2 - 3 ) ’ 2
Puntos críticos:
/) De /'(x) = 0 , se obtiene x = 0 e Dom(/)
— x - V I . » - # ■
m )L o s x e D // / / ' { x ) , son x = , x =
Intervalos donde /(x) es creciente y decreciente:
/) De /'(x) > 0 => x > 0 a x 2 > -| => x >
ii) De /'(x) < 0 => x < 0 a x2 > -| => x <
CO|CM
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Los extremos son: / - J-|) = are cos(l) = 0
4>/t)=arccoŝ =0
Asíntota horizontal: lim f (x ) = arccos(-l) = n y
X - » ± c o
Asíntota vertical: /) lim / (x ) = are cos(l) = 0
X
ii) lim f ( x ) = arccos(l) = 0
<H DERIVADA DEL ARCO TANGENTE: Dxarc tg x = ?
1 ) Sea: /(x) = y = tgx , x g ( - j / 2 , n!2)
2 ) Donde: x = / * (y) = arctgy , y e l?
3) Como: f(x) = tgx es creciente, V x e ( - W 2 , ní2)
Entonces /'(x) = sec2 x > 0 , V x g { - n i 2 , n¡2)
4) Pero: Df *( y ) = - ^
2sec x
1
1 + tg2 -x
D are tg y = — u e IR
1 i r/
Lo que es lo mismo:
5) Dx arctg x = —L_ , x e IR
1 + x
f ¡| DERIVADA DEL ARCO COTANGENTE: Dxarccotgx = ?
1) Sea: / (x) = y = cotgx, x g ( 0 , j >
Donde: x = /* (y) = arccotgy , y e í ?
Moisés Lázaro C.
2) Como: /(x) = cotgx es decreciente V x g { 0 , j )
n
Entonces: f'(x) = -esc x < 0, V x e { 0 , f ) .
DERIVADA DEL ARCO SECANTE: Dxarcsecx = ?
1) Sea: /(x) = y = secc , x e [0, r̂] — { ^r/2}
Donde: x = /*(y) = arcsecy , |y| > 1
2) Pero: /(x) = secx es creciente en V x g ( 0 , ^ > - { j / 2 }
Luegorse cumple que:
f f(x) = secx tgx > 0 , x e ( 0 ,;r/2 } u ( ; r / 2 ,;r> .
Pues:
a) sec x
b) tgx
> 0 , X G ( 0 , 7 r / 2 )
< 0 , x e { W 2 ,^ )
p> 0 , x e ( 0 , 7i¡2)
l < 0 , x g ( j / 2 , n )
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
3) Por otro lado:
(+ secx) (+ tgx)
> 0 , X G { 0 , 7 1 1 2 )
sec x • t g x > x e {n,nl 2 )( - s e c x ) ( - tg x )
Darcsecy = — — , |y| > 1
y V y2 - 1
De: sec x = y => sec2 x = y2
4) Dy are sec x = — , * - — , Ixl > 1* 2 iX y X — 1
( ? ) DERIVADA DEL ARCO COSECANTE: Dxarc esc x = ?
1) Sea: /(x) = y = cscx , x e [ — tt/2 , n¡2 ] - { 0 }
Donde: x = / * (y) = are esc y , |y| > 1
2) Pero: /(x) = cscx es decreciente en Vx e ( - n ¡2 , tu 12) - { 0 }
Luego: /'(x) = esex • cotgx < 0 , V x e ( - W 2 ,0 ) u (0 ,^ /2 )
3) Además: D /* (y ) =
1 < 0 , x e { tz¡ 2 , 0 )- [ ( + cscx )(+ cotgx)]
- [ ( - esex) ( - cotgx)] < 0 , x e { 0 , 7i ¡2)
- CSC X J CSC2 x - 1- CSC X
Darccscy = i , |y| > 1
- y V y - 1
Moisés Lázaro C.
4) Lo que es lo mismo:
Dv arccsc x = ------ t=L = , I x I > 1X ’ I I
5. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICASINVERSAS COM­
PUESTASV __ ___ ____
Si u = u(x) , u' = ^
@ Dx arccotg(u) = - i ^ U® Dx are sen(u) = - ^ M -
(? ) Dx are cos(u) == — I...
© Dk ore ctg(u) = y y jj^
Solución de (2)
Empleando la regla de la cadena: si y — u — -> x , entonces: ^ =
® D.arcsecCu)^ ^ ! ^ j
í)x'arc áfe(áfa^ ; '
u{x)4tr{x)~l
Asi tenemos:
d [are cos(u(x))] = -^ (are eos u ) * du
d x dx
1 du _ u ' ( ^ )
2 dx , U' W = f
Teorema 30. Sea y = /(x) continua y monótona en [a,b], si /(x) es diferenciable
dos veces en [a,b] y /'(x) ̂0, V x e [a,b], entonces la segunda de­
rivada de: / * (y) = x es:
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
< § >
Prueba:
1) La primera derivada de: / * (y) es:
2) Derivando por 2da. vez:
[ / ' ( / * (y))]'
= - [ / ' ( / * ( y ) ] “ 2 [ / " ( / * ( y ) ) l [ ( / * ) ' ( y ) ] 
= - [ / ' ( / * ( y ) ] “ 2 [ / ' ( / * ( y ) ) ]
_ f(r(v))
i
r w
[/'(x )]3
, pues / * (y) = x
Ejemplo. Sea: f(x) = x3 - 3 x 2 +3 , x e [0,2]. Hallar [ / * ] " ( ^ )
Solución:
1 . /(x) es continua y decreciente.
Es continua en [0,2] porque / es poli­
nomio, /es decreciente <— > / f < 0
/'(x) = 3x2 -6 x => 3 x (x -2 )< 0 
=> x g ( 0 , 2 )
2. Fórmula
i r
. í " ( f * { f ) ) ... ..... / * (xn)
( ¥ ) " [ / ' ( /•(¥)) ]“ _I/'(xb)I3
3. Pero: / * ( f ) = x0 « f = f ( x 0 )
19 — Xq — 3 Xq + 3
8 xq -24xq + 5 = 0 
Se obtiene: x0 = \ e [0 , 2]
4. Ahora hallemos f y f
De: /(x) = x 3 - 3 x 2 +3
f(x) = 3x 2 - 6 x A f ( i ) = -
/ ' ' ( x ) = 6 x - 6 a / ' ' ( í ) = -3
5. Reemplazar en 2:
W
64
'243
Moisés Lázaro C.
Proposición: De la fórmula [f*]"(y) = — ̂ , deducimos las siguientes relaciones:
[ / ' ( X ) ] 3
A) Si: [ / * ] ' ( y ) < 0 •<0
i/':
f > 0 <=> [ / " > 0 A / ' >0] V [ f "< 0 A / ' < 0]
/"
i/ ' ] 3
>0
i l < 0 <=> [ / " < 0 A / ' >0] V [ / " > 0 A / " < 0]
De todo esto, concluimos:
A) si / ' > 0, entonces / es CRECIENTE
© t/*]"(y) 0 <=> / " > o
CÓNCAVO HACIA ARRIBA 
© [/*](y) > 0 <=> / " < 0
CÓNCAVO HACIA AB^O
B) Si / ' < 0, entonces / es DECRECIENTE
' Q [/*]"(y ) < 0 <=> f " > 0
CÓNCAVO HACIA ABAJO
© [/*]"(y ) > 0 <=> / " > 0
CÓNCAVO HACIA ARRIBA
Problema 01. Sea f(x) = axS+bx2 + c x + d una función cuya inversa f * es de­
creciente y cóncava hacia abajo en [0 ,2 ] y donde:
/*(0) = 1, / * ( 2) = 0, a + d = 3
( / * ) ' ( ) = - 5 > ( /* ) " ( 2 7 ) = _ i2 5 - Halle la función f M con su
respectivo dominio y rango. Grafique f(x) y /* .
Solución:
1. Si /* es decreciente en [0,2] => / , también, es decreciente en: -
[ /* (2), /* (0)3 y JO, 1} y por tanto: f ( x ) < 0 . V xe<0 , l>
2. Si /* es cóncava hacia abajo => [ / *] ,< 0 , V x e (0,2)
3 Según el TEO. si: / ' < 0 => { [ /* ] "< 0 <=> / " <0 , Vxe <0,1)}
(3*)
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
4. Si
' / * ( 0 ) = 1 <=> / ( 1 ) <=í> O = a + b + c + d
f* (2 ) = O <=> 2 = /(O) <=> 2 = 0 + 0 + 0 + d => d = 2
5. Ahora, tenemos 3 ecuaciones
a + d = 3 
a + b + c + d = 0 
d = 2
a + 2 = 3 => |a = 1 
b + c = -3
d = 2
6 . Por el TEO. [ /*] ' (y0)= , f*(vo) = *o - 0̂ = 2 7
7. Por el TEO. [ / * ] ff(y0)
108
125
/'(/*(%» 
7 ( r ( f ) ]
/'(/*( W3» 
[/'(/*(% » ] 3
> ' ( f ( § ) )
1 2 5 1 [ - § r
r ( / * ( f ) ) = - 4
3 2 f Q ~ 1
8 . Por otro lado: / (x) = ax + b x + c x + d, donde t
[ d = 2
Por hallarse: b = ? , c = 2/(x) = x 3 + b x 2 + c x + 2
(6*)
(7*)
/ ' ( x ) * 3 x 2 ,+2iÉ»C + C , cettao: i>+c = - 3 =>' & » - 3 - & ,v
nxO^bx .-2b-. r . x , : ;0 .1 )
! - 3 [ / * ( f ) ] Z + 2 b [ / * ( f ) ] - 3
10. Reemplazando (6*) y (7*) en (9)
Moisés Lázaro C.
12. Si: b = 0, en (9): /"(x) = 6 x , Vx e (0 ,1)
Pero /"(x) = 6 x > 0 , Vx e (0 ,1} , lo cual contradice a (3*) 
luego el valor de b no es “0 ” .
13. Si b = -3 , en (9): f"(x) = 6 x - 6
= 6 ( x - l ) < 0 , Vx e { 0,1) esto no contradice (3*)
14. Com: b = -3 , en b + c = - 3 -3 + c = -3=> c = 0
15. Reemplazar en (8 ):
f(x) = x 3 - 3 x 2 + 2
x e [0 , 1 ]
/ ( x ) e [ / ( l ) , / ( 0 )] = [0 , 2 ]
16. El gráfico es:
LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
Problema0 2 . Dada la función: / ( x ) =
sen(-|-x) , 0 < x < 2
x > 2^-x2 - x + 2
a) Utilizando el criterio de la primera derivada, indique si /(x) tiene inversa.
b) Hallar la derivada de la función inversa, en caso de existir la inversa de /.
Solución de a)
1. Para saber si f{x) tiene inversa, debo probar que / (x) sea estrictamente creciente 
o decreciente en su respectivo dominio.
— cos ( -f ^ ) » 0 < x < 2 
TjrX-l , x > 2
2. Pero: / '(x) =
3. Si pruebo que f r(x) > 0 , V x g D j o / ' < 0 , V x g D j , entonces afirmaremos que / 
tiene inversa.
Veamos:
4. En consecuencia f(x) es estrictamente creciente sobre:
Dom (/) = <0 , 2) u <2,+oo) y por tanto /(x) tiene inversa sobre Dom(/)
Solución de b) La derivada de /* será:
Moisés Lázaro C.
f cos( f x )
-¿•x-l 2 1
, 0 < x < 2
, x > 2
/ * ( y ) =
, 0 < y < 1
si y = sen ( -f * ) -
si y = -jrx2 - x + 2
W 1 - y2
— -— , y > 1
eos ( í * ) ^
-vr
sen
= ¿ ( x - 2 )2 + l 
Ay = (x - 2 )2 +4 ( x - 2 )¿ = 
x - 2 = 
x =
X =
A y -A 
±y]Ay-A 
2 ± 2 j y - 1 7 
2 + 2yfy^l
- ix
Problema 03 . Dada la función: f ( x ) = e 2 sen(2;rx), x e [0,1/4]. 
Hallar: [/*]"(j/0) . con y0 = e " 1 / 8 .
LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
Solución:
1. Fórmula: [ / * ] ' ( ^ ) = - - £ & > , x0 = /* (y 0)
lj (yo)J yo = / U 0)
2. Hallemos x0 conociendo: y0 = / ( x 0) en /(x) = e 1 /2 ;rsen(2ttx)
e 8 = e 2 X0 -sen(2 ^Xo)
e 2 x° • sen (2 tt x0)
_ i _ l , 
e 8 = e 2' * 0 =■
1 = sen(2 /rx0 ) 2 ;rx0 = f *0 = t
3. Ahora, hallemos: /'(1/4) y /"(1/4) , pues 1/4 = x0
Veamos:
De f(x) = e sen (2 ;rx)
a) => f ' (x) = - j e 2* • sen (2xx ) + e 2*2x-eos (2?rx)
= ~ 2 e 2 [sen(2;rx)-4;r-cos(2;rx)
b) / ' ( x ) = | e " 2 x [sen(2^x)-4w•cos(2^x)] + ( - i e ” ^JC)[2^<x)s2^x + 8jr2 sen2ffxl
4. Luego: ^ — ! 1 l6* 1 = 2 e M l - 1 6 * 2)
N * " ' 2]
(388) Moisés Lázaro C.
Problema 04 . Dada la función f ( x )= x , x > i
x V 2
a) Calcular. [ / * ] (y0) , para y0 = f
b) Si: g = / * , calcular (con diferenciales) g ( 4:^ 4“)
Solución de a)
1. Hallar, en primer lugar, el valor de x0 = ?
Se sabe que: x0 = /* (y0) <=> y0 = / ( * 0 )
.. 9__ *0 + 1
4 2xq
c=> 18 xl = 4xq + 4 
<=> 4xq - 1 8 x0 + 4 = 0 
<=> 2 x q - 9 x 0 + 2 = 0
2 2 0 -9 + 2
4 8 - 2
2 4 -1 0
<=> (x0 - 2 ) (2 x0 +4x 0 - l ) = 0 
Sólo x0 = 0 pertenece al intervalo: x > v 2
Por tanto: 2 = (9/4)
2» Lueoo. hallaremos: f f -§-) = —. Luego, hallaremos: ) =
3 .
“/ / (2 )
4. Portanto: [ / * f = =
LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
Sofafitón de b) Aplicar: g(x0 +h) = g(x0) + hg'{xQ) , donde x0 = f , h
5. Se pide hallar: g ( | -| ) = g ( f ) + ( - ^ ) g ' ( f )
6 . Como 0 ^ / * < j - A " ' v' '
7. Reemplazar (6 ) en (5): g( | - i ) = 2-■!•( = 2815
Problema 0 5 . y = f(x) y existe /* sobre Dom(/) = (a , b) probar que:
a) [ f * ] m(y) = - 3[í(x)’2-{'[x)í(x) .Si / ' (x ) > 0[/ (*)]
b) Si 3 [ f m{x)]2 - f ( x ) - f m(x) = 0 , / ' (x )>0 , entonces /* es un polinomio de grado
<2
Solución de a)
1. Se tiene: [ /*]"(y) = - { {x)3 , donde x = /*(y) c=^> y = /(x)
U v-̂ /J
2 =5, r p f / m r t (x )]3 r ( x ) - r ( x ) - 3 [ / ' ( x ) ] 2 [r(x )]
[ / ' ( x ) ] 6
- Í ¿ W ¿ ( 3 [ / ' ( x ) ] 2 - / ' ( x ) - r ( x ) )
i / ’(x)]6
Ii
[/'Mi
a t / ( * > ] - / W - / W , si f ’( x ) > 0
Solución de b)
3. Si 3 [ / " (x ) ] 2 - f ' (x ) • f"(x) = 0 , entonces:
[/*]"'(y) = o
= > [ / * ] " ( y ) = a
=> [/*]'(y) = ay + b
2
a, b, c SON CONSTANTES
[/*](y) = ajV + Í5y + C <= POUNOMIO DE GRADO <2
/gggx______________________________Moisés Lázaro C.
Problema 06. Sea / una función creciente definida sobre [ 2 , o o ) y seá 
F (x ) = / | — y J. Demostrar que F es univalente y hallar F * en términos de /* .
Solución:
1. La función F(x) es una composición de dos funciones, y se puede escribir de li[ 
siguiente forma:
F {x) = f{g{x)) = (f o g)(x), siendo g(x) = ^ T = l + 7 iT y
2. Dom(F) = Dom(/o g) = x e Dom(g) a g(x)eDom(/)
= x e D o m g ( x ) a g ( x ) e [ 2 , + o o )
-indica que el rango de 
= x e ( l , 2 ] a x e [ l , 2 ) g(x) es [2;+oo>
= X e ( 1 , 2 ]
3. Si g (x ) e [ 2 ,+oo) => 2 <g(x)<+oo
= > 2 < 1 H— L - < + o ox - 1
= > 1 < — < + o ox - 1
Al invertir, en el límite: => 1 > x - 1 > —+ 00
l > x - l > 0
2 > x > l => x e (1, 2] = Dom(g)
4. De: g(x) = 1 + —+ , obtenemos g' (x) = ------
x~i (x - l r
Si x e (1, 2] => l < x < 2 = > 0 < x - l => 0 < ( x - l ) 2 < l
■>0
( x - 1 ) 2
( x - 1 ) 2
<0
=> g'(x) < 0 , V xe< l ,2 ]
Luego, g(x) es decreciente Vx e <1, 2].
LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
5. Además, si: F (x) = {f ° g) (x)
F'(x) = f'{g(x)) • g'(x)
= (+) (-) = -pues
f'isM) > 0 , porque g es creciente 
g'(x) < 0 , porque g es decrteciente
Luego: f f(x) < 0 , entonces F(x) es decreciente, por tanto F es univalente.
6 . De: F = g o f
Se obtiene: F* = g * o / *
F * ( z ) = g * ( f * ( z ) )
_ /*(*) 
f ( z ) - 1
Como: g(x) = , la inversa de g se halla:
9(9*(x)) = x
g*
—t — r = X 
ff ~ 1
g* = x g * - x 
x = ( x - l ) g *
9 * M = j z T
í*{z)
7. Ahora, falta hallar el recorrido de z.
Como / es decreciente sobre [2, + 0 0) también /*(z) es decreciente sobre 
/ [ 2 , + oo»
Además: Si y = /(z) <==> z = / ( y ) , con y e [2 , +00)
=> y > 2
=> /(y) > / ( 2 ) , porque/ es creciente
z>/(2)
8 . CONCLUSION: F*(z) = /* («) z > / ( 2)
Moisés Lázaro C.
/ 2"
Problema 07. Probar que / (x) = * ̂* , para x e [ - 2 , - 1 ] posee inversa.
Hallar / *.
Solución:
y,,/f' 'i'*
M W
''</F;éi'f é/l^MpX f̂k'ií vifiT'T ',-:p0W é .' /;.;/. < '̂ J^î '̂ ''. ’ -/‘ -:-; ’' •' </ '-. -'■’- './jj
/-s: t ' '. ' '■■■■.' i T i Ti ''íT rf k'T^TTTM é,3F?
x2 ^ 2
HM
2. /e s CRECIENTE / ' > 0
: \¡l ‘ XJ
>0 r r — ^ < 0
' / 1 +; • es falso, esta relación
Afirmamos que / NO es CRECIENTE, en el intervalo V x e ( - 2 , - l )
3. / es DECRECIENTE C=> / ' < 0
l
<0
es verdadero 
" V x e < - l , - 2 >
Afirmamos, que / es DECRECIENTE sobre V x e < - 2 , - l ) , por lo tanto / tiene inversa.
4. Hallemos la inversa de / ( x ) . Teniendo en cuenta que: / [ / * (x)] = x .
JTTT*i‘
/* = X
/ = (x2 -l)( /<
Vl + (/*)2 = xf *
1 + ( / * ) 2 = x 2 ( / * ) 2
l = x 2 ( / * ) 2 - ( / * ) 2
( / * ) 2 = ~5~"
x e [ - > / 2 , - V 5 / 2 ]
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
RANGO D E /
Como: x e [ - 2 , - l ] / e s decreciente entonces el rango de fes:
/ ( x ) e [ / ( - 1 ) , / ( —2 )]: - V a , - f , donde:
/ ( - 2) = = £ = - £ -
Problema 08. Pruebe que: y = f(x) = 2 are tgx + are sen constante, cuan-
1 + X
do x > 1. Hallar el valor de dicha constante.
Solución:
1. Si “y” es constante debe ser que y' = 0 .
Veamos:
(1 + x ) (2) - 2 x (2x)
y ' = 2 —1 (1 + x2 )2 2 . 2(1 + x )(1 + x )
1 + x*
1 - 4x2 l + x¿ (1 + x 2 ) 4 ¡ 1 + X'
.2 \ 2
_ 2 ^ + ) , analizar el signo de | l - x 2 | = |1 -x||l + x|=
1 + x (l + x¿ ) \ l - x ¿
2 , 2 ( 1 + x )
1 + x2 - ( l + x2 ) ( l - x 2 ) 1 + x2 1 + x2
= |x-l||x + l| = (x + l) = - ( l - x 2) 
Para x > l = > x - l > 0 y x + l > 2 > 0
— - 2 2—= 0
f ' (x ) = d ¿ = y '= ° > Para x > 1
2. En consecuencia y = /(x) es constante, puesto que la derivada de una constante
es cero.
3. Si: +p = 0dx y - c C = constante
4. Para: x = 1, el valor de f(x) es /(1) = 2arctg(l) + arcsen(l) = = ;r
Es decir: c = n => /(x) = /r, V x > 1.
Moisés Lázaro C.
Problemas sobre Razón de Cambio y Teorema del Valor Medio.
1. Se está grabando un vídeo de una carrera desde un lugar que está a 40m de la pis­
ta siguiendo a un auto que se mueve a 290 km/h.
a) ¿con qué rapidez cambia el ángulo 9 de la cámara cuando el auto se encuentra 
exactamente frente a ésta (es decir 9 = 0)?
b) ¿con qué rapidez cambia el ángulo medio segundo después?
R n t n - — - - 2 9 0 _ < * * / < * t“ P™ - dt 40 » oít — 40 s e c 2 q
2. Un avión vuela a velocidad constante de 300km/h, pasa sobre una estación terres­
tre de radar a una altura de lkm y se eleva a un ángulo de 30°.
¿A qué velocidad aumenta la distancia del avión respecto de la estación del radar 1 
minutomás tarde?
3. Usando el Teorema del Valor Medio o el Rolle, verifique que:
— - < Ln x < x -1 , para x > 1
4
5.
. Por el T.V.M. demostrar que < are tanx < x , V x > 0
X 2 + 1
TI
La piscina de la fig. tiene un ancho de 30 pies y está 
siendo llenada mediante una bomba a razón de 
28 pies3/min. ¿Con qué velocidad sube el nivel del
/ 2 0 ! i. 4o--------- ̂ agua en el instante en que ha alcanzado 4 pies en la
parte más honda?
6 . Usando el T.V.M. demostrar que Ln(x +1) > y y y , V x > 0
7. El radio r de la base de un cono circular recto está creciendo a una razón de 
3 cm/min y la altura h está creciendo a razón de 4 cm/min. ¿Con qué rapidez cam­
bia el área lateral de la superficie del cono cuando r = 5 cm y h = 12 cm ?
8 . Si se bombea agua en el tanque hemisférico que se muestra ¡--------------------------jt
en la figura a razón de 22.5 pies/min. Si el radio r de la es- V / I
fera es 1 0 pies, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel del v ii
agua, cuando está a 5 pies de profundidad en el centro? 1
Fórmula: v =^7rh2 ( 3 r - h ) Rpta.: —- = -^r pies/min
9. Demostrar que x + tanx > Ln(l + x2) , V x e J 0 , -| [\
POLINOMIO DE TAYLOR
1. POLINOMIOS DE TAYLOR Y APROXIMACIONES
Introducción: En este capítulo trataremos de aproximar un polinomio Pn(x) de
grado n hacía una función /(x) pasando por el pun­
to común x = a , es decir cuando f(a) = Pn(a). En 
un intervalo I muy pequeño que contiene el punto a 
la aproximación de Pn(x) a la función f(x) es casi 
exacta.
cuando x —» a entonces Pn(x) —> f(x)
¿Qué hipótesis debe tener la función /(x) para poder ser aproximado por un poli­
nomio Pn(x) alrededor de un punto “a”?. Para que Pn(x) se aproxima a /(x) al­
rededor del punto “a”, la función /(x) debe ser derivable hasta el orden n + 1 en 
un intervalo I muy pequeño que contiene el punto a.
¿Qué forma tiene el polinomio Pn(x) alrededor del punto “a” y cómo se halla?.
A continuación se da la forma del polinomio Pn(x) y después justificamos su exis­
tencia por medio de un teorema.
1.1. DEFINICIÓN DEL n-ésimo POLINOMIO DE TAYLOR
Si/tiene n derivadas en el punto “a”, el polinomio.
Pn(x) = / (a) + / ' (a)x + ̂ ( x - a ) 2 + ^ ( x - a ) 3 +... + ̂ ( x - a ) n.
Se llama POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para /(x) en a.
Moisés Lázaro C.
NOTA: Si a = 0, entonces.
ff m f (n)
p jx ) = /(O) + / '(0)x + x 2 + L m x3 + ....+ Im xn
se llama POLINOMIO DE MACLAURIN de grado n para /.
Teorema 1. Si /(x) es una función tal que existe ff”j y si Pn(x) es un polinom 
de grado n centrado en “a" cuya forma es:
Pn{x) = c0 +c1(x-a) + c2(x -a r +... + cn( x -a f 
P> ) - / ' ( a )
• P;(a) = /"(ü). '
Entonces: Pn(x) = / (a) + / ' (a )(x -a ) + ̂ p (x _ a )2 + ••• + ̂ nj - (x -a)
Demostración:
Derivar la función polinomial Pn (x) y sustituir x por a.
Así:
1. Pn(x) = c0 + c 1 (x-a) + c2 ( x - a )2 +c 3 ( x - a )3 + ... + cn(x -a )n
Pn'(x) = 0 + q +2c2 (x-a)+ 3 - 0 3 ( x - a )2 + .... + ncn( x - a )n'“ 1 
P„'(x) = 0 + 2 c2 + 2 .3 . c3 ( x - a ) + ,... + n ( n - l ) c n ( x - a )n _ 2
P {̂ ( x ) = 0 + 2 • 3 • c3 + ... + n ( n - l ) ( n - 2 )cn( x - a ) " ' 3
P<n)(x) = n (n - l ) (n -2 ) ... 3 ,2 ,1 Cn
POLINOMIO DE TAYLOR
2. Sustituir en Pn(x) y sus derivadas P íkl{x) en x = a.
Pn (a) = c0 c0 =Pn(a) = f(a)
Pn'(a) = q cx =Pn'(a) = /'(a)
P » = 2 c2 C2 = 5¿í£) = n £ i
Pn(3 )(a) = 2 . 3 . c 3 P(3)(g) / (3) (o)
Pnn(a) = n ( n - l ) (n -2 ) . . . 3 - 3 - l . c 3
„ p ñn (o) / (n)(a)
3. Sustituir en (1) los coeficientes Q obtenidos en (2):
Pn (x) = f (a)+ f '(a) (x - a) + ̂ p ( x - a f + + (x _ a)n
I. EJERCICIOS
En los ejercicios 1-5, hallar el polinomio de Maclauirin de grado n para la función 
dada:
1. f(x) = e “x , n = 3
2. / (x) = x e x , n = 4
3. / ( x:) = 7 7 Y > n = 4 Rpta.: P4 (x) = 1- x + x 2 - x 3 + x 4
4. /(x) = senx , n = 5 Rpta.: P5 M = x - - ¿ x 3 +T¿ñX5
Solución:
1. B polinomio de Maclaurin de grado 3 buscado es: 
P3M = /(0)+/'(0)x + JQ 21* 3
De: /(x) = e~x — > /{0}=e^ = l
f ( x ) = e~x f"(0) = -e° = -1
/í3)(x) = -e-JC— >/<3)(0} = -e° = -1 
/ (3)(x) = -c"x — > /í3í{0) = -e°= -l
Moisés Lázaro C.___________________
Sustituir en P3 (x), obtenemos:
2. El polinomio de Maclaurin de grado n = 4 , buscado es:
' P4 (x) = / ( 0 ) + / ' ( 0 )x + 2y p x 2 + ^ x 3 + ^ f x 4
De: /(x) = xCx > / ( 0) = 0
/'(x) = ex + xex — ► /'(0) = 1
f"(x) = e x +ex +xex
= 2ex + x - e x — ► / " ( 0) = 2
/ (3)(x) = 2ex +ex +xex
= 3ex +xex — > / (3)(0) = 3
/ (4)(x) = 3ex +ex +xex
= 4ex +xex — > / (4 >(0) = 4
Sustituir en P4 (x) , obtenemos:
^n(x ) ” 0 + x + -2ix 2 + j i x 3 + 7 jX4 
= x + x2 + i x3 + l x4
II. EJERCICIOS
5. Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en ^que se aproxima a la fun-
o
ción/(x) = x -cosx.
Solución:
El polinomio de Taylor de grado 2 centrado en ;res:
P2 (x) = f(ff) + f V ) (x-7t) + (x - n 2
POLINOMIO DE TAYLOR
Sustituir en P2 (x): P2 (x) = - n 2 - 2n (x - n) + n 2 2 (x - ;r)2
6. Aproximar Ln(1.2) mediante un polinomio de cuarto grado.
Solución:
Se pide aproximar /(x) = Ln(x)« P4 (x) , para x = 1 • 2. Como x = 1 • 2 está cerca de 
1, entonces hallemos P4 (x) alrededor de a = 1 .
P4 (x) = / ( l ) + / ' ( l ) ( x - l ) + ̂ ( x - l ) 2 + ^ ( x - l ) 3 + ™ ( x - l )4
De: ¿ / (x) = Lnx -----> / ( 1) = 0
/'(x) = l > / ' ( 1 ) = 1
f " M = i ------ > / ” (!) = - 1
3 !
( 3 ) / i \ _ .
( 4 ) /
Al sustituir los valores de /(1), / ' (l). / " ( I ) , / í3 |(l) y / 1<+,(1) en P4 (x), obtenemos: 
P4 (x) = 0 + ( x - l ) - i ( x - l ) 2 +| f ( x - l ) 3 + ^ ( x - l )4
t(4)/
P4 (x ) = (x - 1 ) - ¿ ( x - 1 ) 2 + I ( x - 1 ) 3 - ¿ ( x - 1 ) 4
Como: / (x) = Lnx « P4(x) para todo “x” cerca al número “1” entonces:
/ 4qq\_____ Moisés Lázaro C.
Ln (1.2)» P4 (1.2)
* (1 . 2 - 1 ) - 1 (1 . 2 - 1 f + ¿ (1 . 2 ~ l )3 - i (1 . 2 - 1 ) 4 
» 0 .2 - 1 (0 .2 ) 2 (0 .2 ) 3 (0 .2 ) 4
w 0.1822666
Problema. Aplicar el polinomio de Maclaurin para calcular Ln(1.2).
Solución:
Como Ln(1.2) = Ln (1 + 0.2) = Ln (1 + x) = g (x ), para x = 0.2 y como x = 0.2 está 
muy próximo a “0”, entonces el polinomio de Maclaurin de cuarto grado que se 
aproxima a la función g(x) = Ln(l + x) alrededor “0” es:
p4 W , s (0 ) + g '(0 ) x + f i x 2 + 4 r i 3 + ^ x 4
Donde: g(x) = Ln(l + x) > g(0) = 0
s 'W = T|7 — + s (0) = 1
<?"(*) = ■ 
g ( 3 ) ( x ) _ _ 2 _ , ( 3 )
(1 + x)2
------ >
2 V
(1 + x)3
r
6 ------->+ 4>(x) = - — 6- 5- -----> 5 (4)(0) = -6
(1 + xP
Sustituir en P4(x): P4(x) = 0 + x - ± x 2 + ± x 3 - j x 4
Por tanto: 
g(x) = Ln(l + x )« P 4(x) 
s(0.2) = Ln(l + 0.2) * P4{0.2) * 0.2-¿ (0 .2 )2 +i(0 .2)3 -| (0.2)4
« 0.1822666
Observación: El cálculo de muchas funciones elementales, tales como: 
^ 0 4 , e02sen30.7°, etc. se hacen por aproximación me­
diante los polinomios de Maclaurin.
POLINOMIO DE TAYLOR
< § >
1.2. EL RESTO DE UN POLINOMIO DE TAYLOR
En los ejemplos anteriores hemos visto que es posible hallar polinomios Pn(x) que se 
aproximen a una función f(x) alrededor de un punto fijo “a” .
Es decir: Pn (x) « / (x), para todo x tal que x > ap
y
Notación: Pn{x )« /(x ) , V x/x — ■» a
Se lee “ Pn(x)se aproxima a /(x ), para todo x, tal que x tiende en acer­
carse hacía el número a\
Cuando se trabaja con aproximaciones, se debe tener especial cuidado de saber 
con qué precisión se está haciendo la aproximación. Cuando el error es mínimo afir­
mamos con mucha confianza que la aproximación es buena,
Para medir la PRECISIÓN del valor exacto de f{x) cuando es aproximado por el 
polinomio de Taylor Pn(x ), usaremos el concepto de resto.
Si denotamos por Rn(x) el resto, definimos:
/ÓO = PrMl + ^nW
Valor exacto Valor aproximado resto
De donde obtenemos: Rn (x) = / (x) - Pn (x).
Al valor absoluto de Rn(x) le llamamos ERROR, es decir:
ERROR = |Pn(x)| = | /(x)-Pn(x)|
En la práctica, el error es imposible de hallarse en forma exacta, lo que se hace es ESTI­
M AR dicho ERROR mediante un procedimiento general conocido con el nombre de TEO­
REMA