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15 FÍ SI CA I na superfície de um planeta de raio R, 2 mvE 2 c = e R GMmEp −= ; no infinito, Ec = Ep = 0. Assim: 0 2 mv R GMm 2 =+− R GMm 2 mv 2 = = R GM2v Energia Mecânica do Sistema Sabemos que a energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética com a energia potencial: Considerando o sistema composto pelo corpo de massa m cujo centro de massa está a uma distância d do centro de massa de um astro de massa M, vimos que este sistema tem 2 mvE 2 c = e d GMmEp −= Então: Em = Ec + Ep d GMm 2 mvE 2 m −= (I) Vimos também que a velocidade de um corpo em órbita é dado por: = d GMV (II) Substituindo (II) na equação (I), temos: d m M G d 2 d GMm E 2 m − = d m M G d 2 m M GEm −= d 2 m M GEm −= O resultado mostra claramente, que a energia mecânica deve ser nega- tiva caso o objeto esteja em órbita circular (que pode ser generalizado para órbita elíptica). Obs.: Para que um corpo não entre em órbita ao redor de outro (“escape”), basta que sua energia total seja não negativa (Em ≥ 0). Questões Resolvidas 01. (FUVEST) Considere o raio médio da órbita de Plutão 100 vezes maior que o raio médio da órbita de Mercúrio e 40 vezes maior que o raio médio da órbita da Terra. Sabendo que a duração aproximada do ano de Mercúrio é de três meses terrestres e que a velocidade orbital da Terra tem intensidade igual a 30 km/s, determine: a) a duração do ano de Plutão, expressa em anos terrestres; b) a intensidade da velocidade orbital de Plutão. Solução: a) Sendo a força gravitacional a única força atuante no movimento circular, temos: F = Fcp ⇒ ⇒= r v m r m MG 2 2 r M Gv = b) Relacionando as velocidades: == c i e i R GM R GM v v ⇒= ω ω 3 i 3 e e i R R 2/3 i e e i R R = ω ω 02. Qual a velocidade de escape de um planeta hipotético que possui raio de 8RT e massa de 9MT, onde RT e MT são os valores do raio e da massa da Terra. Solução: A velocidade de escape é dada por: Vescape = R GM2 Usando os dados do problema: Vescape = T T R9 M8G2 Vescape = T T R9 GM16 Vescape = 4/3 T T R GM Vescape = 4/3 VT Onde VT é a velocidade de escape da Terra. Questões Propostas 01. (UNICAP-modificada) Assinale na coluna I os itens verdadeiros e na coluna II os itens falsos. I II 0 0 A lei dos períodos diz que a razão entre o quadrado do período e o cubo do raio é constante, para qualquer planeta de um mesmo sistema. 1 1 A força de atração gravitacional varia na razão direta das massas e na razão inversa da distância que as separa. 2 2 O peso de um satélite, na superfície da Terra, é 1000 kgf. Ele foi posto em órbita a uma altura h = 4Rt (quatro raios terrestres), contados da superfície terrestre. A força centrípeta que o obriga a ficar em órbita é equivalente a 40kgf. 3 3 A velocidade do satélite, ao longo da sua órbita, é maior nas proximidades do foco ocupado pelo planeta. 02. (UPE) Um satélite da Terra está em órbita a uma altura h acima de sua superfície, M é a massa da Terra, R é o seu raio e G é a constante Questões Resolvidas Prof. Sérgio Torres Apostila - Caderno - 03 Física Pura 15/05/2010 15/132 Sergio Torres fisica
