Método de Gauss-Jordan

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Método de Gauss-Jordan
Márcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2
15 de setembro de 2014
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓
Realizar Operações Elementares sobre as linhas
de [A | b]
↓
Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓
Escrever o Sistema Equivalente
↓
Aplicar Substituição Reversa e encontrar a
SOLUÇÃO
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓
Realizar Operações Elementares sobre as linhas
de [A | b]
↓
Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓
Escrever o Sistema Equivalente
↓
Aplicar Substituição Reversa e encontrar a
SOLUÇÃO
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓
Realizar Operações Elementares sobre as linhas
de [A | b]
↓
Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓
Escrever o Sistema Equivalente
↓
Aplicar Substituição Reversa e encontrar a
SOLUÇÃO
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓
Realizar Operações Elementares sobre as linhas
de [A | b]
↓
Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓
Escrever o Sistema Equivalente
↓
Aplicar Substituição Reversa e encontrar a
SOLUÇÃO
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓
Realizar Operações Elementares sobre as linhas
de [A | b]
↓
Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓
Escrever o Sistema Equivalente
↓
Aplicar Substituição Reversa e encontrar a
SOLUÇÃO
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]
↓
Realizar Operações Elementares sobre as linhas
de [A | b]
↓
Obter a Forma Escalonada [E | b′]
↓
Escrever o Sistema Equivalente
↓
Aplicar Substituição Reversa e encontrar a
SOLUÇÃO
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação
Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos
coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa.
S

x − y + z = 0
−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação
Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos
coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa.
S

x − y + z = 0
−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação
Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos
coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa.
S

x − y + z = 0
−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação
Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos
coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa.
S

x − y + z = 0
−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4 1 −1 1 | 0−1 1 1 | −6
1 1 −2 | 4

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Para sistemas onde o número de equações é igual ao número
de variáveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir
a solução de uma forma mais direta: através da
DIAGONALIZAÇÃO da Matriz dos Coeficientes.
Vamos considerar, novamente, o sistema
S

x − y + z = 0
−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
Já vimos que sua forma escalonada é:
[E | b′] =
 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Para sistemas onde o número de equações é igual ao número
de variáveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir
a solução de uma forma mais direta: através da
DIAGONALIZAÇÃO da Matriz dos Coeficientes.
Vamos considerar, novamente, o sistema
S

x − y + z = 0
−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
Já vimos que sua forma escalonada é:
[E | b′] =
 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Para sistemas onde o número de equações é igual ao número
de variáveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir
a solução de uma forma mais direta: através da
DIAGONALIZAÇÃO da Matriz dos Coeficientes.
Vamos considerar, novamente, o sistema
S

x − y + z = 0
−x + y + z = −6
x + y − 2z = 4
Já vimos que sua forma escalonada é:
[E | b′] =
 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de
cada pivot.  1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L2
 2 0 −1 | 40 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L3← L2 + 32 L3
 4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de
cada pivot.  1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L2
 2 0 −1 | 40 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L3← L2 + 32 L3
 4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de
cada pivot.  1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L2
 2 0 −1 | 40 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L3← L2 + 32 L3
 4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6

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Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de
cada pivot.  1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6

 1 −1 1 | 00 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L2
 2 0 −1 | 40 2 −3 | 4
0 0 2 | −6
 ← 2L1 + L3← L2 + 32 L3
 4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6

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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Assim, essa é uma outra Forma Escalonada para o sistema
original S  4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6

Sistema Equivalente:
S ′

4x = 2
2y = −5
2z = −6
Substituição:
4x = 2 =⇒ x = 1
2
2y = −5 =⇒ x = −5
2
2z = −6 =⇒ z = −3
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Assim, essa é uma outra Forma Escalonada para o sistema
original S  4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6

Sistema Equivalente:
S ′

4x = 2
2y = −5
2z = −6
Substituição:
4x = 2 =⇒ x = 1
2
2y = −5 =⇒ x = −5
2
2z = −6 =⇒ z = −3
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Assim, essa é uma outra Forma Escalonada para o sistema
original S  4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6

Sistema Equivalente:
S ′

4x = 2
2y = −5
2z = −6
Substituição:
4x = 2 =⇒ x = 1
2
2y = −5 =⇒ x = −5
2
2z = −6 =⇒ z = −3
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Podeŕıamos facilitar ainda mais a determinação da solução se
em cada posição de pivot (na Forma Escalonada) tivéssemos 1. 4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6


4 0 0 | 2
0 2 0 | −5
0 0 2 | −6

← 14 L1
← 12 L2
← 12 L3
1 0 0 | 12
0 1 0 | −52
0 0 1 | −3

← x = 12
← y = −52
← z = −3
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Podeŕıamos facilitar ainda mais a determinação da solução se
em cada posição de pivot (na Forma Escalonada) tivéssemos 1. 4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6


4 0 0 | 2
0 2 0 | −5
0 0 2 |−6

← 14 L1
← 12 L2
← 12 L3

1 0 0 | 12
0 1 0 | −52
0 0 1 | −3

← x = 12
← y = −52
← z = −3
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
Podeŕıamos facilitar ainda mais a determinação da solução se
em cada posição de pivot (na Forma Escalonada) tivéssemos 1. 4 0 0 | 20 2 0 | −5
0 0 2 | −6


4 0 0 | 2
0 2 0 | −5
0 0 2 | −6

← 14 L1
← 12 L2
← 12 L3
1 0 0 | 12
0 1 0 | −52
0 0 1 | −3

← x = 12
← y = −52
← z = −3
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
• O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema [A | b], é a ELIMINAÇÃO
GAUSSIANA.
• Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema, é o MÉTODO DE
GAUSS-JORDAN.
• Ela nos dá a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema
[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos
independentes já é a própria solução do sistema!
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
• O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema [A | b], é a ELIMINAÇÃO
GAUSSIANA.
• Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema, é o MÉTODO DE
GAUSS-JORDAN.
• Ela nos dá a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema
[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos
independentes já é a própria solução do sistema!
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
• O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema [A | b], é a ELIMINAÇÃO
GAUSSIANA.
• Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema, é o MÉTODO DE
GAUSS-JORDAN.
• Ela nos dá a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema
[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos
independentes já é a própria solução do sistema!
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
• O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema [A | b], é a ELIMINAÇÃO
GAUSSIANA.
• Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema, é o MÉTODO DE
GAUSS-JORDAN.
• Ela nos dá a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema
[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos
independentes já é a própria solução do sistema!
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
• O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema [A | b], é a ELIMINAÇÃO
GAUSSIANA.
• Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E | b′].
• O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz
aumentada do sistema, é o MÉTODO DE
GAUSS-JORDAN.
• Ela nos dá a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema
[EA |s].
• Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos
independentes já é a própria solução do sistema!
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
• Eliminação Gaussiana -
Triangularização da
Matriz dos Coeficientes
F F . . . F F
0 F . . . F F
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . F F

• Método de Gauss-Jordan
- Diagonalização da
Matriz dos Coeficientes
1 0 . . . 0 ξ1
0 1 . . . 0 ξ2
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . 1 ξn

ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solução do
Sistema!
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento
• Eliminação Gaussiana -
Triangularização da
Matriz dos Coeficientes
F F . . . F F
0 F . . . F F
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . F F

• Método de Gauss-Jordan
- Diagonalização da
Matriz dos Coeficientes
1 0 . . . 0 ξ1
0 1 . . . 0 ξ2
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . 1 ξn

ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solução do
Sistema!
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• “Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma
colheita med́ıocre e um fardo de uma colheita ruim foram
vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da med́ıocre
e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,
dois da med́ıocre e três da ruim, foram vendidos por 26
dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo
associado a boa colheita, a colheita med́ıocre e a colheita
ruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita med́ıocre: 4,25 dou;
Colheita ruim: 2,75 dou.
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• “Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma
colheita med́ıocre e um fardo de uma colheita ruim foram
vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da med́ıocre
e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,
dois da med́ıocre e três da ruim, foram vendidos por 26
dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo
associado a boa colheita, a colheita med́ıocre e a colheita
ruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita med́ıocre: 4,25 dou;
Colheita ruim: 2,75 dou.
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• “Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma
colheita med́ıocre e um fardo de uma colheita ruim foram
vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da med́ıocre
e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,
dois da med́ıocre e três da ruim, foram vendidos por 26
dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo
associado a boa colheita, a colheita med́ıocre e a colheita
ruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita med́ıocre: 4,25 dou;
Colheita ruim: 2,75 dou.
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• “Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma
colheita med́ıocre e um fardo de uma colheita ruim foram
vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da med́ıocre
e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa,
dois da med́ıocre e três da ruim, foram vendidos por 26
dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo
associado a boa colheita, a colheita med́ıocre e a colheita
ruim?”
• Resposta...
• Colheita boa: 9,25 dou; Colheita med́ıocre: 4,25 dou;
Colheita ruim: 2,75 dou.
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das crianças
conforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,00
1 1 1 2 180,00
0 2 2 2 240,00
2 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 e
Fantasia: R$ 30,00.
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das crianças
conforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,00
1 1 1 2 180,00
0 2 2 2 240,00
2 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 e
Fantasia: R$ 30,00.
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das crianças
conforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,00
1 1 1 2 180,00
0 2 2 2 240,00
2 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 e
Fantasia: R$ 30,00.
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Método de
Gauss-Jordan
Márcio
Nascimento Resolva o seguinte problema usando o Método de
Gauss-Jordan:
• Uma loja vende kits de presentes para o dia das crianças
conforme a tabela a seguir:
Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,00
1 1 1 2 180,00
0 2 2 2 240,00
2 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
• Resposta...
• Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 e
Fantasia: R$ 30,00.
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