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Proporcionalidad y semejanza GEOMETRIA Tema: OBJETIVOS Conocer la proporcionalidad de segmentos en el teorema de Thales. Entender que son triángulos semejantes. Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas. ES CUANDO UN PAR DE SEGMENTOS ESTÁN EN LA MISMA RELACIÓN O RAZÓN QUE OTRO SEGUNDO PAR DE SEGMENTOS. ¿QUÉ ENTENDEMOS POR SEGMENTOS PROPORCIONALES? 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐴𝐴 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 Observo que: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 20𝑐𝑐𝑐𝑐 30𝑐𝑐𝑐𝑐 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑀𝑀 𝑁𝑁 𝑃𝑃 𝑄𝑄 Y yo observo que: 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑄𝑄 = 40𝑐𝑐𝑐𝑐 60𝑐𝑐𝑐𝑐 Como 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2 3 Diremos que: 𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝐶𝐶𝐶𝐶 son proporcionales a 𝑀𝑀𝑁𝑁 y 𝑃𝑃𝑄𝑄 Y 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 2 3 → 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2 3 → 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑄𝑄 = 2 3 TEOREMA DE THALES 𝑐𝑐 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑏𝑏 Se cumple: Dada tres o más rectas paralelas. 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = APLICANDO LO APRENDIDO 𝑥𝑥 3 = 8 2 ∴ 𝑥𝑥 = 12 Por teorema de Thales 2 8 𝑥𝑥 3 Calcule x. LA CONDICIÓN NECESARIA ES TENER RECTAS PARALELAS https://www.youtube.com/watch?v=6nYnXeqrhKQ 𝑥𝑥 3 = 4 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 2 8 𝑥𝑥 3 OTRA FORMA: Como 8 es 4 veces 2, eso quiere decir que están en la relación de 1 a 4 Entonces x es 4 veces 3 = 4(3) ∴ 𝑥𝑥 = 12 https://www.youtube.com/watch?v=6nYnXeqrhKQ 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑏𝑏2 5 𝑥𝑥 3 4 9 𝑦𝑦 6 Calcule x. Calcule y. Del teorema de Thales podemos deducir las siguientes situaciones o consecuencias a las cuales le llamaremos COROLARIOS. CASO I COROLARIOS DE THALES 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = Se cumple: Se cumple: CASO II 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑏𝑏 APLICANDO LO APRENDIDO 𝑥𝑥 3 = 5 2 ∴ 𝑥𝑥 = 7,5 𝑦𝑦 4 = 9 6 ∴ 𝑦𝑦 = 6 Por corolario caso 1 Por corolario caso 2 𝑥𝑥 = 15 2 𝑦𝑦 = 36 6 RECORDEMOS UN POCO LO SUCEDIDO EL AÑO 2014, DONDE SE HACE USO DE LA BISECTRIZ COMO SOLUCIÓN AL DIFERENDO MARÍTIMO CON CHILE……. 𝜃𝜃 𝜃𝜃 Se cumple: 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Calcule x. 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑥𝑥2 9 3 3 9 = 2 𝑥𝑥 ∴ 𝑥𝑥 = 6 APLICANDO LO APRENDIDO Para cualquiera triángulo, dada la bisectriz. Por Teorema de la bisectriz interior 𝑥𝑥 = 2 9 3 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Fuente: youtube.com/watch?v=GZ6M0FAf_GU 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝜃𝜃 𝜔𝜔 𝛼𝛼 𝜃𝜃 𝜔𝜔 𝛼𝛼 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝑅𝑅 𝜃𝜃 𝜔𝜔 𝛼𝛼 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝜃𝜃 𝜔𝜔 𝛼𝛼 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝑅𝑅 HAGAMOS LA SIGUIENTE ACLARACIÓN , SOBRE CONGRUENCIA Y SEMEJANZA…. MISMA FORMA: ángulos iguales MISMO TAMAÑO: lados iguales MISMA FORMA: ángulos iguales DIFERENTE TAMAÑO: lados proporcionales ≅ ∼ TRIËNGULOS CONGRUENTES TRIËNGULOS SEMEJANTES SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Sus lados homólogos son proporcionales EN CONSECUENCIA: Si tienen 2 pares de ángulos de igual medida b m n 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝑅𝑅 𝑄𝑄 𝑃𝑃 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨~∆𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷Se cumple 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜔𝜔 𝜔𝜔 𝑥𝑥 12 = 3 9 ∴ 𝑥𝑥 = 4 APLICANDO LO APRENDIDO 𝜔𝜔 𝛼𝛼 9 12 𝜔𝜔 𝛼𝛼 3 𝑥𝑥 Del gráfico, calcule x. TEOREMA (Ángulo-Ángulo) Lados homólogos: son aquellos que se oponen a ángulos iguales. Por semejanza: 𝑥𝑥 12 = 1 3 𝑥𝑥 = 12 3 Respecto de 𝜔𝜔 Respecto de 𝛼𝛼 Número de diapositiva 1 Número de diapositiva 2 Número de diapositiva 3 Número de diapositiva 4 Número de diapositiva 5 Número de diapositiva 6 Número de diapositiva 7 Número de diapositiva 8 Número de diapositiva 9 Número de diapositiva 10 Número de diapositiva 11