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ocurre cuando el número de ecuaciones inde pendientes dei sistema es igual al número de incógnitas. Por ejemplo: x V + xy = 6 X + y = 3 Sistema compatibie indeterminado: si el número de soluciones no se puede enumerar esto ocurre cuando el número de ecuaciones independientes del sistema es menor que el nú mero de incógnitas. Por ejemplo: x + 2y + z = 5 X -h 4y -H 3z = 11 2. Sistema incompatible: denominado también sis tema absurdo o inconsistente, es aquel que no admite alguna solución, esto ocurre cuando el nú mero de ecuaciones independientes del sistema es mayor que el número de incógnitas. Por ejemplo: x + 5y = 7 2x + lOy = 14 3. Sistemas equivalentes: dos sistemas son equiva lentes si tienen las mismas soluciones particulares, es decir el mismo conjunto solución. <4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Sistema lineal de dos incógnitas Ejemplo: a,x + ajX = 83 ...(I) b,x + bjy = bj ...(II) Resolución: 1. Método de reducción o eliminación b^(l) : a^bjx + 3;bjy = a,b2 \ ( - ) 32(11): b.asX + bjâ y = bjBj J (a,b2 - b.aj) x = ajb^ - b3a¿ ajbj -b^a^ 3i \̂ 2 — 3 bAnálogamente: y = ' b,a3 â b2 Bjbi 2. Método de Cramer 83 32 bl b̂ x — a, a b, b Método gráfico a, a, b, b3 83 a, b-, b- As De (I): - Vi = - b, b3 Donde; (x ;̂ y )̂ es la solución del sistema. Análisis del sistema lineal. El sistema está formado por (I) y (II). Puede ser: 1. Compatibie determinado Si; V A s / 0 b, 02 Gráficamente; ^ —— ¥= - r ^ D2 2̂ 2̂ Las rectas y, e y¿ tienen pendientes diferentes: 2. Compatible indeterminado S i : ^ = J¿ = ^ V Ax=Ay = As = 0 Gráficamente; Las dos rectas y, e yj coinciden Si: = V As = 0, Ax?^0, Ay?:0bj bj bj Gráficamente; 3i 3o — 3De; ^ = i l i . b, b l. rtg. £2 £3 _ £3 , ^ b, ' b, ^ b, a, ^ b. Sistema lineal de tres Incógnitas a,x + a2y + a^z - â ...(I) b,x + b¿y + b3Z = b4 ...(II) c,x + CiV + C3Z = C4 ...(III) Resolución; Por Cramer: x = ^ ; y = ^ ; As AS AZ As www.full-ebook.com a, a¿ 83 82 83 As = bi b2 b3 ; Ax = 4̂ 1̂2 1̂3 C, C2 C3 C4 C2 C3 a, 84 83 â 82 84 A y- b, b3 ; AZ = b, bí Ci C4 C3 Ct Cj C4 Análisis del sistema lineal de tres incógnitas. El sis tema formado por (I), (II), (III) puede ser: 1. Compatible determinado: Si: As?^0 2. Compatible indeterminado: Si: AX = A y = A z = A s = o 3. Incompatible; Si: A s = O a a x ?= O, A y O, A z * O Ejemplos: 1. Dado ei sistema: 5xy=12(x-fy) 5yz = 18(y z) 13xz = 36(x -f z) Hallar: x + y + z Resolución: Las ecuaciones propuestas pueden escribirse: 1 + 1 = A = y ^ X 12 36 1 1 _ _ 5 _ _ ^ z ^ y 18 36 1 + 1 = 11 z X 36 ..,(1) ...(2) ...(3) (1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) : 2 ( l + l + l ) = f X (1)en(4): z = 9 (2) en (4): x = 4 (3) en (4): y = 6 Se pide: X + y -t 19 36 (4) 2 = 4 + 6 + 9 = 19 Calcular el valor de x del siguiente sistema: ay + bx = c; ex + az = b; bz + cy = a Resolución; Las ecuaciones pueden escribirse como: bx + ay + Oz = c ex + Oy + az = b Ox + cy -I- bz = a Por Cramer: c a 0 c a b 0 a b 0 a c b a c b a 0 b a c 0 a c 0 0 c b 0 c a - ac -ab - abe - abe a(c^ b̂ â ) -2abc e + b - a 2bc 3. Resolver el sistema y dar como respuesta xy. h + y + 5 - 72^x + 20y = O /ÍO + /63 ^ f x - 1 = Resolución: Transformando el radical doble: ix + y + 5 - 2V5(x + y) = O suma producto Aplicando la regla práctica: Vx + y - •Í5 - O ^ X + y - 5 ...(1) Transformando la segunda ecuación: /T0 + /6 x + i suma 2 VTÓ- v6 producto A radicales simples: M + ^ ^ Despejando la incógnita Luego en (1) : x = 4; y = 1 x - 1 = X 2 1/2 2 2 xy = 4 Calcular el valor de m para que el sistema sea in compatible. (m + 3)x + 2my = 5m - 9 (m + 4)x + (3m - 2)y = 2m + 1 Resolución: Para que sea incompatible deberá cumplirse lo si guiente; 2m m 5m - 9 3m - 2 ^ 2m + 1 ,„(l) Efectuando: 3m̂ + 7m - 6 = 2m̂ + 8m m̂ - m - 6 = O (m - 3)(m + 2) =» m = 3 a m = -2 • Si m = 3: en (I): y = y y (no puede ser) • Sim = -2: e n ( l ) : l - l / ^ m = - 2 Resolver: 6x - 5y = -9 4x + 3y = 13 Dar como respuesta el valor de x. Resoiución: Multiplicando por tres a la primera ecuación y por c in c o a la s e g u n d a : 18x - 15y = -27 2ÜX + 15y = 65 Sumando 38x + 0 - 38 . - . x - 1 Hallar el valor de x si: 3 + 2(x + 4) = 5(y + 1) - 4 5(x + 1) - 2y = 4(y + 1) www.full-ebook.com Resolución: Reduciendo cada ecuación: 2x - 5y = -10 5x - 6y = -1 -.(2) La ecuación (1) por 6 y la ecuación (2) por 5: 12x -' 30y = -60 / \ 25x -' 30y = -5 ( ) - 13x = -55 x = 55/13 Si y = a + b/x, con a y b constantes, determinar valor de m en: X -1 - 4 -2 y 2 5 m Resolución: Reemplazando valores de acuerdo al cuadro, se tendrá: Para x = -1 ; y = 2, entonces. 2 = a - b ...(1) Para x = - 4; y = 5, luego: 20 = 4a - b Restando las relaciones (2) - (1) 18 = 3a ^ a = 6; a b = 4 Finalmente para x = -2 ; y = m 4 .(2 ) m = 6 + -2 m = 4 8. Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2 2x - 3y = 2a - 1 determinar el valor de "a" para que x valga el doble de y. Resolución: Por dato: x = 2y • 3(2y) +2y = a + 2 ^ 8y = a + 2 • 2{2y) - 3y = 2a - 1 - y = 2 8 - 1 .„(2) Pero(1) = (2): ^ 4 ^ = 2a - 1O a + 2 = 16a - 8 .-. a = 2/3 9. Si P(x) = {a + b - c + 3)x̂ + (a- b + c - 2)x + (a - b - c - 1) es un polinomio idénticamente nulo, calcular: a + b + c Resolución: Por ser idénticamente nulo: a í b - c= -3 ...(1) a - b + c = 2 ...(2) a - b - c = 1 ...(3) (1) + (2): 2a = -1 ^ a = -1/2 (1) - (3): 2b = -4 == b = -2 En (2): - 1 - ( - 2 ) + 0 - 2 c - 1 Se pide: a + b + c = - 2 + ^ = -2 10. Resolver el sistema; mx + ny = fn ̂+ n̂ my + nx = m ̂- n̂ Resolución: Multiplicando a la primera ecuación por n y por m a la segunda: mnx + n^y = n{m ̂+ n )̂ ...(1) m^y + mnx = m(m ̂- n )̂ ...(2) Restando (1) - (2): (n̂ - m^)y = m^n + n' - - mn^ (n + m)(n - m)y = (n - m)(n^ + nm + m )̂ ^ m ̂+ mn + n̂ ^ m + n En (1): mnx + n = ( in !± J H 2 ^ j = n K + n̂ ) ^ x = - ^ .-.x + y = 2m^+mn + n̂ m + n ̂ m + n 11. Una gallina le dice a otra: “Si yo tripíicase mi pro ducción diaria y tú la duplicaras, pondríamos 151 huevos, pero si hiciéramos al revés solo pondría mos 139 huevos”. ¿Cuántos huevos semanales recoge el dueño de estas dos gallinas? Resolución: Sean x e y la producción de la primera y la segunda gallina, respectivamente: 3x + 2y = 151 ...(1) 2x + 3y=139 ...(2) La ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2; 9x + 6y = 453 ( - ) 4x + 6y = 278 5x =175 ^ X = 35 En (1): 3<35) + 2y = 151 ^ y = 23 Se pide: 7(23 + 35) = 406 huevos 12. A! dividir un terreno en dos partes, resulta que los 2/5 de la primera parte miden igual que los 3/7 de la segunda. Si el terreno mide 11 600 m', ¿Cuánto mide la parte mayor? Resolución: Supongamos que ei terreno se ha dividido en dos áreas que son x e y, respectivamente. Del enunciado: |^x = ^ y =» y = ...(1)O f 10 www.full-ebook.com 13. 14. 15. Además: x + y = 11 600 (1)en(2): x + = 11 600IO (2) 29x 15 = 11 600 - X = 6000 En (1): y = 5600 La mayor parte mide: 6000 En un teatro las entradas valen S/.65 y S/.25. Si al vender un total de 740 entradas se obtiene 38 500 soles, ¿cuántas entradas de S/.65 se vendió? Resolución: Sean: x: n.° de entradas vendidas de S/.65 y: n.'’ de entradas vendidas de S/.25 Del enunciado; x + y = 740 ...(1) 65x + 25y = 38 500 13x + 5y = 7700 ...(2) Resolviendo (1) y (2): x = 500 .-. Se vendieron 500 entradas de S/.65 La razón del número de varones ai de niñas, en un grupo era de 3 a 5. Después se fueron 24 niñas y llegaron 24 varones, con lo que la nueva razón de varones a niñas es de 5 a 3. ¿Cuántos varones habia en el grupo? Resolución: Sea: V: n.° de varones y N: n.° de niñas. Del enunciado. N = f v • ( 1 ) Además: = I ^ 3V + 72 = 5N - 120 3V + 72 = 5 (|V ) - 120 = V = 36 .-. El n.'" de varones es: 36 Hallar la suma de dos números tales que dividien do el mayor entre el menor su cociente sea 7 y el resto 4, y que la división del triple del mayor entre eldoble del menor resulte de cociente 11 y resto 4. Resolución: Sean a y b los números (a > b) r = 41.®' caso: -r- “ 7b a = 7b + 4 2.° caso: ■ü = ^ r = 42b 3a = 22b I 4 {1)en (2): 3(7b -r 4) = 22b + 4 21b + 12 = 22b + 4 .,(1) (2) De donde: b = 8; en (1): a = 60 Se pide: a + b = 68 16. Dividir 46 en dos sumandos tales que dividiendo el primero por 7 y el segundo por 3, la suma de ios cocientes sea 10. Dar como respuesta la diferencia de los mismos. Resolución: Sean a y b los sumandos: De donde: a + b = 46 • d ) •(2 )y f - ^= 10 = 3a + 7b = 210/ ó De(1)y{2): b = 18;a = 28 .-. Se pide: a - b = 10 17. Un estudiante se compromete a presentar a su pa dre la resolución de ocho problemas diarios. El pa dre da al hijo S/.9 por cada problema bien resuelto y el hijo abona a su padre S/.6 por cada problema que deje de presentar o este mal resuelto, Al cabo de 20 días el hijo ganó S/.540. ¿Cuántos proble mas resolvió bien el estudiante? Resolución: Asumiendo que no se equivocó en ningún proble ma entonces debería haber cobrado; (8){9)(20) = 1440 Pero recibe: 540 Devolvió al padre; 1440 - 540 = 900 Por cada problema mai resuello pierde 15 Se equivoco en ; 900 + 15 = 60 Recibió en total 160 problemas. Resolvió bien; 160 - 60 = 100 problemas 18. Si un padre tiene ahora 2 años más que sus dos hijos juntos y hace 8 años tenia 3 veces la edad del hijo menor y dos veces la del mayor. ¿Qué edad tiene ahora el hijo mayor? Resolución: Sea: x; edad del hijo mayor y; edad del hijo menor Actualmente P = x + y + 2 H = x Hm = y hace 8 años x + y - 6 X - 8 y - 8 Luego; x + y - 6 = 3(y - 8) = 2(x - 8) • x + y - 6 = 3(y -8} ^ x + y - 6 = 3y - 24 x - 2 y = -18 ...(1) • 3 {y - 8 ) = 2 {x - 8 ) ^ 3 y - 2 4 = 2 x - 1 6 2x - 3 y = - 8 .. .(2) Resolviendo (1) en (2): x = 38 a y = 28 El hijo mayor tiene: x = 38 años. 19. Jaime le dice a Hugo: yo tengo el doble de la edad que tu tenias, cuando yo tenía la edad que tu tie nes. si la suma de nuestras edades actuales es 42 www.full-ebook.com