Reporte de Exposición - 1CM2 - Equipo 5 (2) (1)

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Cómputo
Reporte de Exposición
Fórmulas de Integración Directas (Algebraicas y
Exponenciales)
Alumnos:
Castañeda González Giovanni
Martinez Riquelme Paola Natalia
Materia: Cálculo
Profesor(a): Claudia Jisela Dorantes
Fecha: 19/11/2021
Fórmulas de Integración directa
Las integrales directas o inmediatas son las integrales que por su sencillez no
requieren la aplicación de un método de integración para su resolución.
1. ∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤
Definición: La integral de un producto se puede separar siempre y cuando
no se altere su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que
ser 3 productos necesariamente para usar la formula
2. ∫ 𝑎 𝑑𝑣 = 𝑎∫ 𝑑𝑣
Definición: La integral de una constante siempre será constante * variable
+C (ax+C).
3. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
Definición: La integral de “x” número siempre será x + C.
4. ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
𝑛+1
𝑛+1 + 𝐶, 𝑛 ≠ 1
Definición: La integral de X elevado a “n” número será Xn+1, lo que se haga
en la exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una
regla establecida.
5. ∫ 𝑑𝑣𝑣 = 𝑙𝑛[𝑣] + 𝑐
Definición: La integral que divide arriba sobre una variable abajo será
logaritmo natural de variable más C. La formula marca ln[v]+C porque arriba
en dx no tiene constante ni variable pero sí un 1 imaginario
6. ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑣 = 𝑎
𝑣
𝑙𝑛 𝑎 + 𝑐
Definición: Se utiliza para sacar una constante que está multiplicando una
función en la integral
7. ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑣 = 𝑒𝑢 + 𝑐
Definición: En esta función exponencial se utiliza el caso particular donde
a=e (Euler)
Demostración
∫ 𝑎 𝑑 𝑣 = 𝑎∫ 𝑑𝑣
Esta comprobación es simple. Supongamos que F(x) es una antiderivada de f(x), es
decir F´(x) =f (x). Entonces por las propiedades de las derivadas tenemos que:
𝑎 𝐹´(𝑥) = 𝑎𝐹´(𝑋) = 𝑎 𝑓 (𝑥)
Y entonces a F´(x) es una antiderivada de es decir .En𝑎 𝑓 (𝑥) (𝑎𝐹´(𝑥))´ = 𝑎 𝑓 (𝑥)
otras palabras:
∫ 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑣 = 𝑎 𝐹(𝑥) + 𝐶 = 𝑎∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑣
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Para:
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑣 = 𝑒𝑢 + 𝑐
Su comprobación se basa en la antiderivada de función de la suma de la función𝑒𝑥
exponencial natural y de la constante de la integración (c)
𝑑
𝑑𝑥 (𝑒
𝑥 + 𝑐) = 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐
Entonces:
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐
Por lo tanto, está comprobado que la integración de la función exponencial natural
con respecto de la variable es igual a la suma de la función exponencial natural y de
la constante de la integración.
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Para:
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
𝑛+1
𝑛+1 + 𝐶, 𝑛 ≠ 1
Se evalúa que la derivada de la expresión es . De acuerdo con la𝑥𝑛+1 + 𝑐 (𝑛 + 1)𝑥𝑛
operación inversa, la antiderivada de la expresión , esta es igual a(𝑛 + 1)𝑥𝑛
.(𝑛 + 1)𝑥𝑛 + 𝑐
El factor constante n+1 puede ser separado de la operación integral al ser
multiplicado por la regla de la integración, teniendo:
𝑛 + 1𝑥 ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
𝑛+1
𝑛+1 + 𝐶
Ahora simplificamos la ecuación matemática
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
𝑛+1+𝑐
𝑛+1
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
𝑛+1
𝑛+1 +
𝑐
𝑛+1
En el lado derecho de la expresión de la ecuación, el primer término es una función
en x pero el segundo término es una constante. Entonces puede ser denotada por
una constante c que es conocida como la constante de la integración.
Entonces:
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥
𝑛+1
𝑛+1 + 𝐶
Ejemplos
Para una mejor comprensión de las fórmulas inmediatas de integración, se
adjuntará 4 ejemplos donde se aplicará alguna de las 7 fórmulas de integración
previamente expuestas.
Ejercicios de Tarea: