ALG - Guía 7 - Factorización III

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FACTORIZACIÓN III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DE LAS IDENTIDADES 
Este método se basa en los productos notables, 
es decir: si se nos proporciona un polinomio cuya 
forma conocemos, podemos escribir la multiplicación 
indicada de factores que le dio origen. 
 
 
 
 
A. DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
a2 – b2 = (a + b) (a - b) 
 
Factorizar: 
 9x2 - 16 
Solución: 
Extraemos la raíz cuadrada a ambos 
términos. 
416
x3x9x9 22
=
==
 
La expresión factorizada será: 
9x2 – 16 = (3x + 4)(3x - 4) 
 
Factorizar: 
 E = 16x4 - 81 
Solución: 
Escribiendo la diferencia de cuadrados dada 
como la suma por la diferencia de sus 
cuadrados. 
E = 16x4 – 81 
 
 
 4x2 9 
E = (4x2 + 9) (4x2 – 9) 
 Los signos (+); (-) en el Siglo XVII para 
representarlos se usaban las letras P de plus 
para la suma y M de minus para la resta 
respectivamente. 
 Al extraer raíz cuadrada de variables, 
aplicamos exponente fraccionario es decir: 
n
m
a
n ma = 
 Por ejemplo: 
4xx8x 2/8 == 
 
 111 
 
El primer factor (4x2 + 9) es primo; el 
segundo factor obtenido (4x2 - 9) no lo es: 
 
E = (4x2 + 9) (4x2 - 9) 
 
 2x 3 
E = (4x2 + 9) (2x + 3) (2x - 3) 
 
 
B. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 
 
 
a b 
 
2ab 
 
Factorizar: 
 M = 4x2 + 12x + 9 
 
2x 3 
2(2x)(3) 
 
El polinomio M factorizado se escribe como 
el cuadrado de la suma de las raíces. 
M = (2x + 3)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Factorizar: 
 N = x2 + 10xy + 25y2 
 
x 5y 
2(x)(5y) 
 
N = (x + 5y)2 
 
Factorizar: 
 P = m16 – 2m8t2 + t4 
 
m8 t2 
2(m8)(t2) 
Si el doble producto de las raíces de los 
extremos es negativo. La expresión 
factorizada es el cuadrado de la diferencia 
de las raíces. 
 
P = (m8 – t2)2 
 
C. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) 
 
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) 
 
Factorizar: 
 E = a6 + 125 
Solución: 
▪ Raíz cúbica del 1º Término 
3 6a = a6/3 = a2 
 
▪ Raíz cúbica del 2º Término 
3
125 = 5 
 
▪ La suma de estas dos raíces cúbicas 
constituyen el primer factor buscado. 
E = a6 + 125 = (a2 + 5) ( ) 
 
▪ El factor trinomio se calcula así: 
– Los términos extremos son los 
cuadrados de los términos del factor 
binomio. 
E = a6 + 125 = (a2 + 5)(a4 + 25) 
 
– El término central es el producto de 
los términos del factor binomio con el 
signo cambiado. 
E = (a2 + 5) (a4 – 5a2 + 25) 
 
Factorizar: 
 F = 27x9 – 8y6 
Solución: 
▪ Raíz cúbica del 1º término. 
33 933 9 x3x.27x27 == 
 
▪ Raíz cúbica del 2º término. 
23 633 6 y2y8y8 == 
E = (3x3 – 2y2) (9x6 + 6x3y2 + 4y4) 
CCuuiiddaaddoo:: 
 La expresión (2x + 3)
2
 equivale a escribir: 
(2x + 3)(2x + 3) 
 
 112 
 
 
 
 
 Factorizar: 
1. a4 – b2 
2. 25x2 – 9y2 
3. 100 – y8 
4. 36 – z10 
5. x2 – 12x + 36 
6. 49a2 – 28a + 4 
7. x2 + 25y2 – 10xy 
8. m2 + 14mn2 + 49n4 
9. 4a16 + 4a8b + b2 
10. y15 + 1 
11. 8y3 + 1 
12. x3y3 + 8 
13. m3 – r6 
14. 8x18 – 1 
15. m30 – 8t3 
 
 
 
TAREA DOMICILIARIA Nº 7 
 
 
 Factorizar: 
1. 4x2 – y2 
2. 36a8 – b2 
3. 1 – 25z6 
4. 49x4 – 4y2 
5. 4x2 – 4x + 1 
6. 9t2 + c2 – 6tc 
7. 48m3 + 64m6 + 9 
8. 100x2 + 20x + 1 
9. y4 + 2y2 + 1 
10. x3 + 8 
11. x21 + 27 
12. 125y9 + 1 
13. a6 – b9 
14. 27 – x45 
15. 64x9 - 1 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN