Algunas aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell

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ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL y FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN 
rteutle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Radiación de OEM 
Medio ε, µ, σ 
f fE Jσ
→ → →
= +J 
v
0
f
f
D
B
B
E
t
D
H
t
ρ
→
→
→
→
→
→ →
∇ • =
∇ • =
∂∇× = −
∂
∂∇× = +
∂
J
 
2 2 1
v
2 2
t t f t f
t t f
E E E J
B B B J
µε µσ ε ρ µ
µε µσ µ
→ → → →
−
→ → → →
∇ = ∂ + ∂ + ∇ + ∂
∇ = ∂ + ∂ − ∇×
 
v
0, 0
f f
Jρ
→
= =
Propagación de OEM’s 
en medios sin fronteras 
v
0, 0
f f
Jρ
→
≠ ≠
t
A
E
trAtrB
∂
∂−Φ−∇=
×∇=
→
→
→→→→
),(),(
 
0 0 0 0 0 0, , ,
, , ,
i
E k B k B k E E B k
i
i
k k k k
i
β α ω
ω β α
β α ω
ω β α
→ ∧ → ∧ → ∧ → → → ∧
→ ∧ → ∧ → ∧ → → → ∧
−⊥ ⊥ = × = ×
−
−⊥ ⊥ = × = ×
−
� � � � � �
 
Requerimiento de las Ec. Maxwell 
( t )
0
( t )
0
Re
Re
[ ]
[ ]
k r i k r
k r i k r
E E
B B
e e
e e
α ω β
α ω β
∧ → ∧ →
∧ → ∧ →
→ → − • − •
→ → − • − •
=
=
 
1/2 1/2
2 2
2 2 1/2
1 ( ) 1 , 1 ( ) 1 ,
2 2
2
, v , ,
| | , | | ( ) , tan
i
FP FP
FP
i i ie
µε µεβ ω α ω
σ ω πλ
ωε β β
αβ α β α β α α β
β
− Ω
   = + + = + −
   
= = =
− = − − = + Ω =
 
 
1
k
Z
→ ∧ →
= � � 
t
f
fAA
∂
∂−Φ=Φ
∇+=
→→
'
'
 
Cambio de norma 
2
v2
0 0 2
0
2
2
0 0 02
f
f
t
A
A J
t
ρ
µ ε
ε
µ ε µ
→
→ →
∂ Φ∇ Φ − = −
∂
∂∇ − = −
∂
 
Simplificación 
 
del problema 
+ norma de Lorenz 
0 0 0tA µ ε
→
∇ • + ∂ Φ =
Solución sin 
v
0 '
0
'
v
v
| ' |
',
1
( , ) '
4 | ' |
| ' |
',
( , ) '
4
| ' |
( )
( )
f
V
f
V
r r
r t
r t dv
r r
r r
J r t
A r t dv
r r
ρ
πε
µ
π
→ →
→
→
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
−−
Φ =
−
−−
=
−
∫
∫
 
Variación temporal armónica 
t'
t'
v
0 0
( ', ') Re ( ')
( ', ') Re ( ')
v
[ ]
[ ]
i
f
i
f
J r t r
r t r
e
e
ω
ωρ
ωβ ω µ ε
→ → → →
→ →
=
=
= =
�
�
 
0
'
0 0
0 '
1
( , ) Re ( ') '
4
1 1
( , ) Re ( ') ( ') '
4
[ ]
[ ]
i R
i t
V
i R
i t
V
B r t i R r dv
R R
E r t i r R i r dv
R R
e
e
e
e
β
ω
β
ω
µ β
π
β ωµ ε
πε
−
→ → ∧ → →
−
→ → → ∧ → →
 = − + × 
 
  = + −  
  
∫
∫
�
� �
 
Teorema de Poynting 
( ) f
S V V
B D
E H d a H E dv E dv
t t
→ →
→ → → → → → → ∂ ∂ × • + • + • = − •
 ∂ ∂
 
∫ ∫ ∫� J 
| '|
0 '
| '|
0
'
( ')1
( , ) Re '
4 | ' |
( ')
( , ) Re '
4 | ' |
[ ]
[ ]
i r r
i t
V
i r r
i t
V
r
r t dv
r r
r
A r t dv
r r
e
e
e
e
β
ω
β
ω
πε
µ
π
→ →
→ →
→ − −
→
→ →
→ → − −
→ →
→ →
Φ =
−
=
−
∫
∫
�
�
 
1
( ') ' ( ')r r
iω
→ → →
= − ∇ •� � 
Ec. de continuidad 
2 1 s 2 1
2 1 2 1
( ) , ( ) 0
( ) 0, ( )
f
f
D D n n E E
B B n n H H K
ρ
→ → ∧ ∧ → →
→ → ∧ ∧ → → →
− • = × − =
− • = × − =
 
Condiciones de frontera 
 
i
µ ω
β α
Ζ ≡
−
1→
( , )B A r t
A
E
t
→ → →
→
→
= ∇×
∂= −∇Φ −
∂
 
fronteras 
 
Vía su forma 
Integral. 
Al sustituir en leyes de Gauss y 
Ampere en medios sin pérdidas 
Propagación de OEM’s 
en medios con fronteras: 
ec. de Fresnel, fibra óptica, 
guías de ondas conductoras, 
… 
Fuentes inmersas en el 
espacio libre + Variación 
armónica en el tiempo + 
Requerimiento de Ec. de 
 
Maxwell +…= complicado 
 
Variación armónica en el tiempo: 
 
t t
Re , Re[ ] [ ]i iE Be e
ω ω→ → → →= =� �
v 0, 0f fJρ
→
= =
Solución más simple de las ec. onda 
ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL y FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN 
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| '|
0 '
| '|
0
'
'
0
' ( ')
( , ) Re '
4 | ' |
( ')
( , ) Re '
4 | ' |
1 1
( , ) Re ( ') '
4
1
( , ) Re '
4
[ ]
[ ]
[ ]
[
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i t
V
i r r
i t
V
i R
i t
V
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r r
r
A r t dv
r r
H r t i R r dv
R R
i
E r t i
R
e
e
e
e
e
e
β
ω
β
ω
β
ω
πε ω
µ
π
β
π
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πε ω
→ →
→ →
→ → − −
→
→ →
→ → − −
→ →
→ →
−
→ → ∧ → →
→ → →
∇ •
Φ =
−
=
−
 = − + × 
 
 = + ∇ • 
 
∫
∫
∫
�
�
�
�
2
2
'
( ') ( ') '
v
]
i R
i t
V
r R r dv
R
e
e
β
ωω
−
→ ∧ → → 
− 
 
∫ �
 
( )
'
0 '
( )
'0
'
( )
'
'
( )
( , ) Re ' ( ') '
4
( , ) Re ( ') '
4
( , ) Re ( ') '
4
( , ) Re (
4
[ ]
[ ]
[ ]
[
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i r r
V
i t r
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V
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r
V
i t r
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i
r t r dv
r
A r t r dv
r
i
H r t H r r dv
r
i Z
E r t E r r r
r
e
e
e
e
e
e
e
ω β
β
ω β
β
ω β
β
ω β
πε ω
µ
π
β
π
β
π
∧ →
∧ →
∧ →
−
→ → → •
−
→ → → → •
−
→ → → ∧ → →•
−
→ → → ∧ ∧ →
Φ ≈ ∇ •
≈
≈ ≈ − ×
≈ ≈ × ×
∫
∫
∫
�
�
�
�
'
'
') ' ]i r r
V
dve
β
∧ →→ • 
 
 
∫
 
∧∧
•
−−
→∧→→
≈
≈
•−≈−=
→∧
rR
rR
rrrrrR
e
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'
'|'|
β
ββ
 
0
4
i r
N
r
e
βµ
π
→ →−=� 
 
'
'
( ') '
i r r
V
N r dve
β
∧ →→ → → •= ∫ � 
 
 i r
Z
ω→ ∧ →= − ×� � 
 
( )i r rω
→ ∧ ∧ →
= × ×� � 
1Z r Z r
→ ∧ → → ∧ →
−= − × ⇔ = ×� � � � 
( )
( )
i
i
Z
θ ϕ
ϕ θ
ω θ ϕ
ω θ ϕ
→ ∧ ∧
→ ∧ ∧
= − +
= − − +
� � �
� � �
 
∧∧∧→
++= ϕθ ϕθ AArAA r 
Lejos de las fuentes. 
 
.1,' >>>> Rrr β 
Región de campos radiados lejanos o de Fraunhofer: ∞<≤ rDλ
22 *. 
Aproximación del potencial vectorial+: 
 
'0
'
( ') '
4
i r
i r r
V
r dv
r
e
e
β
βµ
π
∧ →−→ → → •= ∫� � . 
Región de campos radiados próximos o de Fresnel: λλ
23
262.0 DD r ≤≤ *. 
Aproximación del potencial vectorial+: 
 
2 2' ( ')
'0 2
'
( ') '
4
i r
r r r
i r r i
r
V
r dv
r
e
e e
β
β βµ
π
∧ →
∧ →− − •→ → → • −= ∫� � . 
 
* D diámetro de la esfera menor que circunscribe la distribución de corriente ( λ>>D ). 
 
+
})'(''{})'('{'1|'| 32
2
122
2
1
16
)'2'(
8
)'2'(
2
)'2'(
26
32
4
22
2
2 →∧→∧→∧→∧•−•−•−
→→
•−•+•−+•−≈





 ++−+=−=
→→→→→→
rrrrrrrrrrrrrrR
rrr
rrr
r
rrr
r
rrr
⋯ 
2
0 '
'
Re ' ( ') ( ') ' ,
4
Re ( ') '
4
[ ]
[ ]
i R
i t
r
V
i R
i t
r
V
i
E i r R r dv
R
i
H R r dv
R
e
e
e
e
β
ω
β
ω
β β
πε ω
β
π
−
→ → → ∧ → →
−
→ ∧ → →
 = ∇ • −  
= − ×
∫
∫
� �
�
 
Campos lejanos o radiados Campos cercanos o inducidos 
2
0 '
2
'
Re ' ( ') ' ,
4
1
Re ( ') '
4
[ ]
[ ]
i R
i t
i
V
i R
i t
i
V
i
E r R dv
R
H R r dv
R
e
e
e
e
β
ω
β
ω
πε ω
π
−
→ → → ∧
−
→ ∧ → →
= ∇ •
= − ×
∫
∫
�
�