Álgebra Lineal Mora (191)

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Álgebra lineal
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Se tiene que la matriz AtA es una matriz n × n y por lo observado antes, el sistema 
(7.3) tiene solución única ⇔ la matriz AtA es inversible. El siguiente teorema establece 
condiciones necesarias y sufi cientes para que esto ocurra.
Teorema 7.1.7. Sea A una matriz m � n. Entonces la matriz AtA es inversible ⇔ las 
columnas de A son linealmente independientes.
Demostración. Recordemos que el sistema AX � 0 tiene sólo la solución cero las 
columnas de A son linealmente independientes. Para concluir la prueba del teorema, 
demostraremos que las soluciones de AtAX � 0 coinciden con las de AX � 0.
Es claro que si X es solución de AX � 0, también lo es de AtAX � 0. Si AtAX � 0 en-
tonces X tA 
tAX � X t0 � 0. La parte de la izquierda en esta última ecuación es el producto 
punto de AX consigo mismo, por lo que AX = 0, terminando la prueba.
Otro resultado que ayudará a resolver el problema de mínimos cuadrados es el si-
guiente.
Teorema 7.1.8. Sea A una matriz m � n cuyas columnas, como elementos de Rm, son 
linealmente independientes. Entonces A � QR, donde Q es una matriz cuyas columnas 
son ortonormales y R es una matriz triangular superior, cuyos elementos de la diago-
nal principal son positivos.
Demostración. Sea V el espacio generado por las columnas de A. Por el proceso de 
Gram-Schmidt, existe una base ortonormal {B1, B2, ..., Bn} de V, más precisamente, si las 
columnas de A son denotadas A1, A2, ..., An y haciendo las identifi caciones correspon-
dientes, de la ecuación 7.2 se tiene:
 Ci � Ai � 〈Ai, B1〉B1 � · · · � 〈Ai, Bi�1〉Bi�1 (7.4)
Con la notación adecuada, Bi � 
Ci
��Ci�� 
; de esto se concluye que Ci � ��Ci��Bi. Susti-
tuyendo esta expresión en (7.4) y despejando Ai tenemos:
 Ai � ciiBi 	 ci�1iBi�1 	 · · · 	 c1iB1 (7.5)
con cii positivo. En términos matriciales la ecuación 7.5 dice que la columna i de A es el 
producto de la matriz que tiene por columnas a B1, B2, ..., Bn y la transpuesta de [c1i c2i 
· · · cii 0 · · · 0]; en resumen A = QR, con Q la matriz cuyas columnas son los vectores B1, 
B2, ..., Bn y R la matriz triangular cuya i-ésima columna es la transpuesta de [c1i c2i · · · cii 
0 · · · 0], terminando la demostración. 
Supongamos que las columnas de la matriz A son linealmente independientes y sea 
A � QR la descomposición del teorema 7.1.8, entonces el sistema AtA X̂ � AtB equivale 
a R tQ tQR X̂ � R tQ tB. Como las entradas de la diagonal de R son positivas, entonces R 
y Rt son inversibles. La condición sobre Q implica que Q tQ � I, por lo que la ecuación 
anterior se reduce a R X̂ � Q tB o a X̂ � R�1Q tB. Desde el punto de vista computacio-
nal, la ecuación R X̂ � Q tB tiene ventajas, dado que se trata de un sistema triangular y 
resolverlo se logra mediante sustitución regresiva.
7.2. Espacios vectoriales complejos
Al abordar varios problemas de ciencias e ingeniería es de gran utilidad considerar es-
pacios vectoriales en donde los escalares son números complejos, razón por la cual 
hace falta precisar la terminología y resultados básicos que se utilizan en este caso. 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 7 Espacios con producto interno
	7.2. Espacios vectoriales complejos