Álgebra Lineal Mora (181)

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Álgebra lineal
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La masa m1 está bajo la acción de los resortes 1 y 2, por tanto m1ÿ1 � �k1y1 	 
k2(y2 � y1); la masa m2 está bajo la acción de los resorte 2 y 3; la fuerza proveniente del 
resorte 2 es la opuesta a la que actúa sobre m1, así que m2ÿ2 � �k2(y2 � y1) 	 k3(y3 � y2), 
en general, para 2 � i � n � 1 tenemos:
miÿi � �ki(yi � yi � 1) 	 ki 	 1(yi 	 1 � yi)
� kiyi � 1 � (ki 	 ki 	 1) yi 	 ki 	 1yi 	 1
Para i � n se tiene mnÿn � �kn(yn � yn� 1).
Este sistema puede ser escrito en forma matricial: Ÿ � AY, en donde A es la matriz:
 �
k1 	 k2
m1 
k1
m1
 0 0 · · · 0 0
 
k2
m2 
�
k2 	 k3
m2 
k3
m2 
0 · · · 0 0
 0 
k3
m3 
�
k3 	 k2
m3 
k4
m3 
· · · 0 0
 . . . . . . . . .
 0 0 0 0 
· · · 
kn
mn 
�
kn
mn
A � 
Por el corolario 6.3.1, sabemos que existe una matriz compleja no singular P tal 
que P–1AP � diag{J1, ... Jk} es la forma canónica de Jordan. Estamos suponiendo que el 
vector:
Y � 
y1(t)
· ·
 ·
yn(t)
 
está en Rn. Dado que P es no singular para cada t, existe Z(t) tal que Y(t) � PZ(t), 
Z(t) ∈ Cn. Como Y(t) tiene segunda derivada, también Z(t) admite segunda derivada y 
Ÿ(t) � PZ̈(t). De esto obtenemos AY � Ÿ(t) � PZ̈(t), por lo que APZ � PZ̈(t), concluyendo 
de lo anterior P–1APZ � JZ � Z̈.
Como cada matriz Ji es de la forma Ji � diag{Ji1, ..., Jis(i)} entonces el problema ha 
sido reducido a resolver el sistema: