Álgebra Lineal Mora (147)

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Álgebra lineal
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Figura 5.2. Volumen de un 
paralelepípedo.
 7. Sean U, V y W vectores en R3. Demuestre que el volumen del paralelepípedo 
determinado por estos tres vectores, ver la fi gura 5.2, es �〈U � V, W 〉�, en donde 
U � V denota al producto cruz de U y V. De esta consideración geométrica 
debiera ser claro que 〈U � V, W 〉 � 〈U, V � W 〉 � D(U, V, W), con D la fun-
ción determinante.
 8. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones en términos de t, usando la Re-
gla de Cramer. No olvide considerar el caso en que la matriz de coefi cientes es 
singular.
 a) 2(t 	 1)x 	 3y � 1
 3x 	 4(t 2 	 1)y � 3
 b) 2tx 	 3y 	 z � 1
 2x 	 ty 	 z � 0
 �x 	 3y 	 t2z � �1
 c) 2tx 	 3y � t2
 3x 	 4t2y � 3t
 d) 2x 	 3y 	 z 	 w � 1
 2x � y 	 z � 3w � 0
 �x 	 3y 	 z � w � �1
 x � y � z � w � 2
 9. Enuncie todos los teoremas y defi niciones que se han discutido en este ca-
pítulo.
10. Si A y B son matrices similares, demuestre que tienen el mismo determinante.
11. Sea A una matriz n � n, demuestre que hay a lo más n valores de c ∈ R tales 
que la matriz B � A � cIn es singular. Encuentre un ejemplo para el cual la ma-
triz B es singular exactamente para n valores de c.
12. Sean (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) y (c1, c2, c3) tres puntos no colineales en R
3. Demues-
tre que la ecuación del plano que los contiene está dada por:
UxV
W
V
U