Álgebra Lineal Mora (200)

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Capítulo 7. Espacios con producto interno
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se puede representar en la forma:
 [ x y ] 
x
y 
 
a
 
b
2
 
b
2 
c
 	 dx 	 ey 	 f � 0 (7.12)
Haciendo A � 
a
 
b
2
 
b
2 
c
 y aplicando el teorema de los ejes principales, teorema 7.3.4, 
existe una matriz ortogonal P tal que:
 P tAP � diag{λ1, λ2} (7.13)
con λ1 y λ2 los valores característicos de A. 
Poniendo 
x
y � P 
x ′
y ′ � 
p11x ′ 	 p12y ′
p21x ′ 	 p22y ′ 
, y de lo anterior se tiene:
ax2 	 bxy 	 cy2 	 dx 	 ey 	 f � [ x y ] 
x
y 
 
a
 
b
2
 
b
2 
c
 	 dx 	 ey 	 f
� λ1x ′
2 	 λ2y ′
2 	 d(p11x ′ 	 p12y ′) 	 e(p21x ′ 	 p22y ′) + f
� λ1x ′
2 	 (p11d 	 p21e)x ′ 	 λ2y ′
2 	 (p12d 	 p22e)y ′ 	 f
De la representación anterior y de lo que sabemos de geometría analítica se tiene 
que la ecuación 7.11 representa: 
 1. Una parábola, si exactamente uno de los valores característicos es cero.
 2. Una circunferencia si, λ1 � λ2.
 3. Una elipse si, λ1λ2 > 0.
 4. Una hipérbola si, λ1λ2 < 0.
Para determinar cada uno de estos casos procedemos a encontrar los valores de λ1 
y λ2. El polinomio característico de A es: p(x) � 
 
a�x
 
b
2
 
b
2 
c�x
 � x2 � (a 	 c)x 	 ac �
b2
4
, 
por lo que sus valores característicos son:
 λ�
	 � 	 � 	
 � 
	 � � 	a c a c ac b a c a c b( ) ( )2 2 2 24
2 2 (7.14)
Notemos que si los dos valores característicos de A son cero, entonces de la ecua-
ción 7.13 se tiene que A � 0 y por tanto no tenemos una ecuación cuadrática. Pode-
mos suponer que A ≠ 0.
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