Álgebra Lineal Mora (86)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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Usando las coordenadas de los vectores y la defi nición de norma, esta ecuación se 
puede escribir como:
(a � x)2 	 (b � y)2 � x2 	 y2 	 a2 	 b2 � 2 x y a b2 2 2 2	 	 cos(θ)
Desarrollando los cuadrados y simplifi cando, la ecuación anterior conduce a:
 cos(θ) �
 
ax by
x y a b
	
	 	2 2 2 2
 (3.6)
Notemos que la ecuación 3.6, establece que los vectores 
rα y 
r
β son perpendicu-
lares ⇔ ax 	 by � 0, pues para 0 � θ � π, cos(θ) � 0 ⇔ θ � 
π
2
.
Defi nición 3.3.3. Dados los vectores 
rα � (x, y) y 
r
β � (a, b), se defi ne su producto 
interno como �
rα , 
r
β � :� xa 	 yb.
Con esta notación, y usando la ecuación 3.6, el ángulo θ entre dos vectores 
rα y 
r
β 
se puede obtener a través de la ecuación:
 cos(θ) �
 
� �
��
r
β �� ��
rα ��
,
rα
r
β
 (3.7)
De la discusión anterior, una pregunta natural será si hay una expresión análoga
a la ecuación 3.7 para vectores en R3, es decir, si 
rα � (x, y, z) y 
r
β � (a, b, c) son ele-
mentos en R3, ¿cómo se determina el ángulo entre ellos? Puesto que si 
rα � (x, y, z) y 
r
β � (a, b, c) son vectores en R3, éstos y el origen pertenecen a un mismo plano. Ver 
fi gura 3.10.
���
� �
�
Figura 3.10. Ángulo entre vectores 
en R3.
Podemos proceder de manera análoga a lo que hicimos en R2 y aplicar la ley de los 
cosenos, es decir, se tiene:
��
r
β � 
rα ��2 � ��
rα ��2 	 ��
r
β ��2 � 2��
rα �� ��
r
β �� cos(θ)
Usando las coordenadas de α y β, así como la defi nición de norma de un vector, la 
ecuación anterior equivale a:
(a � x)2 	 (b � y)2 	 (c � z)2 � x2 	 y2 	 z2 	 a2 	 b2 	 c2 �
2 2 2 2 2 2 2x y z a b c	 	 	 	 cos(θ)
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