Álgebra Lineal Mora (80)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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consiste en notar que los vectores (1, 2) y (2, 1) determinan a las rectas L1 : y � 2x y 
L : y �
 
x
2
 respectivamente. Para alcanzar el punto (a, b), partiendo del origen, puede
uno desplazarse en direcciones paralelas a tales rectas hasta alcanzar dicho punto. Ver 
la fi gura 3.6.
De acuerdo con la fi gura 3.6, el plano queda dividido en cuatro regiones que he-
mos denotado R1, R2, R3 y R4.
Sin resolver la ecuación x(1, 2) 	 y(2, 1) � (a, b), podemos determinar los signos 
de x, y de manera que la satisfagan.
 1. Para (a, b) ∈ R1, los valores de x, y son positivos. (x, y � 0)
 2. Para (a, b) ∈ R2, se tiene x � 0 y y � 0.
 3. Para (a, b) ∈ R3, ambos son negativos. (x, y � 0)
 4. Para (a, b) ∈ R4, se tiene x � 0 y y � 0.
En la discusión anterior, a un sistema de ecuaciones lo hemos representado como 
una sola ecuación. Esto se puede extender a cualquier sistema de ecuaciones, por ejem-
plo, el sistema:
 a1x 	 b1y � c1 (3.2)
 a2x 	 b2y � c2 (3.3)
lo podemos representar en la forma x(a1, a2) 	 y(b1, b2) � (c1, c2) y esta ecuación tendrá 
solución exactamente cuando (c1, c2) sea combinación lineal de (a1, a2) y (b1, b2). Note 
que si c1 � c2 � 0 el sistema siempre tiene solución y cuando tiene más de una dire-
mos que los vectores (a1, a2) y (b1, b2) son linealmente dependientes. En caso contrario 
diremos que son linealmente independientes . Dado que el concepto de independen-
cia lineal es uno de los más importantes en álgebra lineal lo formulamos en una de-
fi nición.
1 2 3 4 5 6 7
(a, b)
L1 R1
x
L
R3
R4
R2
1
2
3
4
5
6
7
y
�3 �2 �1
�1
�2
�3
Figura 3.6. Representación de 
x(1, 2) + y(2, 1) = (a, b).
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