ActividadSoluciónECdiferencialesLaplace - Daniel Cuellar

Vista previa del material en texto

Ecuaciones diferenciales 
Nombre: Daniel Valdemar Cuellar Valles Fecha:06/12/2021 
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada 
de Laplace. 
1. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1 
𝐿{𝑦´´ + 3𝑦´ + 2𝑦} = 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦 (0) − 𝑦´(0) + 3(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) + 2𝐿{𝑦} = 0 
 𝑠2𝐿{𝑦} + 3𝑠𝐿{𝑦} − 𝑠 + 2𝐿{𝑦} − 4 = 0 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 + 3𝑠 + 2) = 𝑠 + 4
=
𝐿{𝑦}(𝑠2 + 3𝑠 + 2)
𝑠2 + 3𝑠 + 2
=
𝑠
𝑠2 + 3𝑠 + 2
+
4
𝑠2 + 3𝑠 + 2
: 𝐿{𝑦}
=
𝑠 + 4
𝑠2 + 3𝑠 + 2
: 𝑦 = 𝐿−1 {
𝑠 + 4
𝑠2 + 3𝑠 + 2
}
= 𝐿−1 {
3
𝑠 + 1
} − 𝐿−1 {
2
𝑠 + 2
} = 𝐿−1 {
3
𝑠 + 1
} : 3𝑒−𝑡
= 𝐿−1 {
2
𝑠 + 2
} : 2𝑒−2𝑡 𝑦 = 3𝑒−𝑡 − 2𝑒−2𝑡 
2. 𝑦′′ − 4𝑦 = 0 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0 
𝐿{𝑦´´ − 4𝑦} = 𝐿{𝑦´´} ∶ 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0)
= 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) − 4𝐿{𝑦} = 0 
𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠 ∗ 0 − 0 − 4𝐿{𝑦} = 0 = 𝑠2𝐿{𝑦} − 4𝐿{𝑦} = 0 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 4) = 0 
𝐿{𝑦}(𝑠2 − 4) = 0 ∶ 𝐿{𝑦} = 0 = 𝑦 = 𝐿−1{0} 𝑦 = 0 
 
3. 𝑦′′ − 2𝑦´ − 3𝑦 = 0 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = −1 
𝐿{𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦} = 𝐿{𝑦´´} − 2𝐿{𝑦´} − 3𝐿{𝑦}
= 𝐿{𝑦´´}: 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0)
= 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) − 2(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) − 3𝐿{𝑦} = 0 
𝑠2𝐿{𝑦} − 2𝑠𝐿{𝑦} − 𝑠 + 3 − 3𝐿{𝑦} = 0: 𝑠2𝐿{𝑦} − 2𝑠𝐿{𝑦} + 3 − 3𝐿{𝑦} − 3 = 𝑠 − 3
= 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3) = 𝑠 − 3 =
𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3)
𝑠2 − 2𝑠 − 3
=
𝑠
𝑠2 − 2𝑠 − 3
−
3
𝑠2 − 2𝑠 − 3
=
1
𝑠 + 1
 
𝑦 = 𝐿−1 {
1
𝑠 + 1
} = 𝑒−𝑡 𝑦 = 𝑒−𝑡 
 
4. . 𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 𝑒𝑡 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 4 
𝐿{𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦}: 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦{0} − 𝑦´(0) − 2(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) − 3𝐿{𝑦}
= 𝐿{𝑒𝑡}: 
1
𝑠 − 1
 
𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) − 2(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) − 3𝐿{𝑦}
=
1
𝑠 − 1
: 𝑠2𝐿{𝑦} − 2𝑠𝐿{𝑦} − 2𝑠 − 3𝐿{𝑦}
=
1
𝑠 − 1
: 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3) =
1
𝑠 − 1
+ 2𝑠
=
𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3)
𝑠2 − 2𝑠 − 3
=
1
𝑠 − 1
𝑠2 − 2𝑠 − 3
+
2𝑠
𝑠2 − 2𝑠 − 3
 
𝐿{𝑦} =
1 − 2𝑠(𝑠 − 1)
(𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 − 3)
: 𝑦 = 𝐿−1 {
1 − 2𝑠(𝑠 − 1)
(𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 − 3)
} 
−𝐿−1 {
1
4(𝑠 − 1)
} + 𝐿−1 {
5
8(𝑠 + 1)
} + 𝐿−1 {
13
8(𝑠 − 3)
} 
𝐿−1 {
1
4(𝑠 − 1)
} :
1
4
𝑒𝑡 𝐿−1 {
5
8(𝑠 + 1)
} :
5
8
𝑒−𝑡 𝐿−1 {
13
8(𝑠 − 3)
} :
13
8
𝑒3𝑡 
𝑦 = −
1
4
𝑒𝑡 +
5
8
𝑒−𝑡 +
13
8
𝑒3𝑡